Kako se izračunava standardna devijacija? Kako izračunati standardnu ​​devijaciju? Izračunajmo veličinu moda

U statističkom testiranju hipoteza, pri mjerenju linearne veze između slučajnih varijabli.

Prosjek standardna devijacija:

Standardna devijacija(procjena standardne devijacije slučajne varijable Pod, zidovi oko nas i strop, x u odnosu na njegovo matematičko očekivanje zasnovano na nepristrasnoj procjeni njegove varijanse):

gdje je disperzija; - Pod, zidovi oko nas i plafon, i th element selekcije; - veličina uzorka; - aritmetička sredina uzorka:

Treba napomenuti da su obje procjene pristrasne. U opštem slučaju, nemoguće je konstruisati nepristrasnu procenu. Međutim, procjena zasnovana na nepristrasnoj procjeni varijanse je konzistentna.

Pravilo tri sigma

Pravilo tri sigma() - gotovo sve vrijednosti normalno raspoređene slučajne varijable leže u intervalu. Još strožije – sa ne manje od 99,7% pouzdanosti, vrednost normalno raspoređene slučajne varijable leži u navedenom intervalu (pod uslovom da je vrednost tačna, a ne dobijena kao rezultat obrade uzorka).

Ako je prava vrijednost nepoznata, onda trebamo koristiti ne, već pod, zidove oko nas i plafon, s. Tako se pravilo tri sigme transformiše u pravilo tri sprata, zidova oko nas i plafona, s .

Tumačenje vrijednosti standardne devijacije

Velika vrijednost standardne devijacije pokazuje veliki raspon vrijednosti u prikazanom skupu s prosječne veličine mnoštvo; mala vrijednost, prema tome, pokazuje da su vrijednosti u skupu grupisane oko srednje vrijednosti.

Na primjer, imamo tri skupa brojeva: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) i (6, 6, 8, 8). Sva tri skupa imaju srednje vrijednosti jednake 7, a standardne devijacije, respektivno, jednake 7, 5 i 1. Posljednji skup ima malu standardnu ​​devijaciju, pošto su vrijednosti u skupu grupisane oko srednje vrijednosti; prvi set ima najviše veliki značaj standardna devijacija - vrijednosti unutar skupa uvelike odstupaju od prosječne vrijednosti.

U opštem smislu, standardna devijacija se može smatrati mjerom neizvjesnosti. Na primjer, u fizici se standardna devijacija koristi za određivanje greške serije uzastopnih mjerenja neke veličine. Ova vrijednost je vrlo važna za određivanje vjerodostojnosti fenomena koji se proučava u poređenju sa vrijednošću predviđenom teorijom: ako se prosječna vrijednost mjerenja jako razlikuje od vrijednosti koje predviđa teorija (velika standardna devijacija), tada treba ponovo provjeriti dobivene vrijednosti ili način njihovog dobijanja.

Praktična upotreba

U praksi, standardna devijacija vam omogućava da odredite koliko se vrijednosti u setu mogu razlikovati od prosječne vrijednosti.

Klima

Pretpostavimo da postoje dva grada sa istom prosječnom maksimalnom dnevnom temperaturom, ali jedan se nalazi na obali, a drugi u unutrašnjosti. Poznato je da gradovi koji se nalaze na obali imaju mnogo različitih maksimalnih dnevnih temperatura koje su niže od gradova koji se nalaze u unutrašnjosti. Dakle, standardna devijacija maksimalnih dnevnih temperatura za primorski grad će biti manja nego za drugi grad, uprkos činjenici da je njihova prosječna vrijednost ista, što u praksi znači da je vjerovatnoća da će Maksimalna temperatura zrak svakog određenog dana u godini će se jače razlikovati od prosječne vrijednosti, veće za grad koji se nalazi unutar kontinenta.

Sport

Pretpostavimo da postoji nekoliko fudbalskih timova koji se ocjenjuju po nekom skupu parametara, na primjer, broju postignutih i primljenih golova, šansi za pogodak itd. Najvjerovatnije je da će najbolji tim u ovoj grupi imati bolje vrijednosti na više parametara. Što je manja standardna devijacija tima za svaki od prikazanih parametara, to je rezultat tima predvidljiviji; takvi timovi su izbalansirani. S druge strane, tim sa velika vrijednost standardna devijacija otežava predviđanje rezultata, što se zauzvrat objašnjava neravnotežom, na primjer, jakom odbranom, ali slabim napadom.

Korištenje standardne devijacije timskih parametara omogućava da se u ovoj ili drugoj mjeri predvidi rezultat utakmice između dva tima, procjenjujući snage i slabe strane komande, a samim tim i izabrane metode borbe.

Tehnička analiza

vidi takođe

Književnost

* Borovikov, V. STATISTIKA. Umetnost analize podataka na računaru: Za profesionalce / V. Borovikov. - St. Petersburg. : Peter, 2003. - 688 str. - ISBN 5-272-00078-1.

Standardna devijacija je jedan od onih statističkih pojmova u korporativnom svijetu koji daje kredibilitet ljudima koji to uspijevaju dobro izvesti u razgovoru ili prezentaciji, ostavljajući pritom nejasnu konfuziju za one koji ne znaju šta je, ali im je previše neugodno. pitaj. U stvari, većina menadžera ne razumije koncept standardne devijacije i ako ste jedan od njih, vrijeme je da prestanete živjeti u laži. U današnjem članku ću vam reći kako vam ova nedovoljno cijenjena statistička mjera može pomoći da bolje razumijete podatke s kojima radite.

Šta mjeri standardna devijacija?

Zamislite da ste vlasnik dvije radnje. A da biste izbjegli gubitke, važno je imati jasnu kontrolu stanja zaliha. U pokušaju da saznate koji menadžer bolje upravlja zalihama, odlučujete se za analizu zadnjih šest sedmica zaliha. Prosječna sedmična cijena zaliha za obje trgovine je približno ista i iznosi oko 32 konvencionalne jedinice. Na prvi pogled, prosječan drugi krug pokazuje da oba menadžera rade slično.

Ali ako bolje pogledate aktivnosti druge trgovine, uvjerit ćete se da iako je prosječna vrijednost tačna, varijabilnost zaliha je vrlo velika (od 10 do 58 USD). Dakle, možemo zaključiti da prosjek ne procjenjuje uvijek podatke ispravno. Tu dolazi u pomoć standardna devijacija.

Standardna devijacija pokazuje kako su vrijednosti raspoređene u odnosu na srednju vrijednost u našem . Drugim riječima, možete razumjeti koliko je veliko širenje oticaja iz sedmice u sedmicu.

U našem primjeru koristili smo Excelovu STDEV funkciju za izračunavanje standardne devijacije zajedno sa srednjom vrijednosti.

U slučaju prvog menadžera, standardna devijacija je bila 2. To nam govori da svaka vrijednost u uzorku u prosjeku odstupa 2 od srednje vrijednosti. je li dobro? Pogledajmo pitanje iz drugog ugla - standardna devijacija od 0 nam govori da je svaka vrijednost u uzorku jednaka njenoj srednjoj vrijednosti (u našem slučaju 32,2). Dakle, standardna devijacija od 2 nije mnogo drugačija od 0, što ukazuje da je većina vrijednosti blizu srednje vrijednosti. Što je standardna devijacija bliže 0, to je prosek pouzdaniji. Štaviše, standardna devijacija blizu 0 ukazuje na malu varijabilnost u podacima. Odnosno, vrijednost odljeva sa standardnom devijacijom od 2 ukazuje na nevjerovatnu konzistentnost prvog menadžera.

U slučaju druge trgovine, standardna devijacija je bila 18,9. Odnosno, cijena oticaja u prosjeku odstupa za 18,9 od prosječne vrijednosti iz sedmice u sedmicu. Crazy spread! Što je standardna devijacija dalje od 0, to je prosjek manje tačan. U našem slučaju, brojka 18,9 ukazuje da se prosječnoj vrijednosti (32,8 USD sedmično) jednostavno ne može vjerovati. To nam također govori da je sedmični protok veoma varijabilan.

Ovo je koncept standardne devijacije ukratko. Iako ne pruža uvid u druga važna statistička mjerenja (Mode, Median...), u stvari, standardna devijacija igra ključnu ulogu u većini statističkih proračuna. Razumijevanje principa standardne devijacije će baciti svjetlo na mnoge vaše poslovne procese.

Kako izračunati standardnu ​​devijaciju?

Dakle, sada znamo šta govori broj standardne devijacije. Hajde da shvatimo kako se to izračunava.

Pogledajmo skup podataka od 10 do 70 u koracima od 10. Kao što vidite, već sam izračunao vrijednost standardne devijacije za njih koristeći STANDARDEV funkciju u ćeliji H2 (narandžasto).

Ispod su koraci koje Excel preduzima da bi stigao do 21.6.

Imajte na umu da su svi proračuni vizualizirani radi boljeg razumijevanja. U stvari, u Excelu se izračunavanje dešava trenutno, ostavljajući sve korake iza scene.

Prvo, Excel pronalazi srednju vrijednost uzorka. U našem slučaju se pokazalo da je prosjek 40, koji se u sljedećem koraku oduzima od svake vrijednosti uzorka. Svaka dobijena razlika se kvadrira i zbraja. Dobili smo zbir jednak 2800, koji se mora podijeliti sa brojem elemenata uzorka minus 1. Pošto imamo 7 elemenata, ispada da trebamo podijeliti 2800 sa 6. Iz rezultata nalazimo Kvadratni korijen, ova brojka će biti standardna devijacija.

Za one kojima nije sasvim jasan princip izračunavanja standardne devijacije pomoću vizualizacije, dajem matematičku interpretaciju pronalaženja ove vrijednosti.

Funkcije za izračunavanje standardne devijacije u Excelu

Excel ima nekoliko tipova formula standardne devijacije. Sve što treba da uradite je da upišete =STDEV i uverićete se sami.

Vrijedi napomenuti da funkcije STDEV.V i STDEV.G (prva i druga funkcija na listi) dupliciraju funkcije STDEV i STDEV (peta i šesta funkcija na listi), koje su ostavljene radi kompatibilnosti sa više ranije verzije Excel.

Generalno, razlika u završecima .B i .G funkcija ukazuje na princip izračunavanja standardne devijacije uzorka ili stanovništva. Već sam objasnio razliku između ova dva niza u prethodnom.

Posebnost funkcija STANDARDEV i STANDDREV (treća i četvrta funkcija na listi) je da se prilikom izračunavanja standardne devijacije niza uzimaju u obzir logičke i tekstualne vrijednosti. Tekst i prave logičke vrijednosti su 1, a lažne logičke vrijednosti su 0. Ne mogu zamisliti situaciju u kojoj bi mi bile potrebne ove dvije funkcije, pa mislim da se mogu zanemariti.

Jedan od glavnih alata statističke analize je izračunavanje standardne devijacije. Ovaj indikator vam omogućava da procijenite standardnu ​​devijaciju za uzorak ili za populaciju. Naučimo kako koristiti formulu standardne devijacije u Excelu.

Hajde da odmah definišemo šta je to standardna devijacija i kako izgleda njegova formula. Ova vrijednost je kvadratni korijen prosjeka aritmetički broj kvadrata razlike između svih vrijednosti serije i njihove aritmetičke sredine. Za ovaj indikator postoji identičan naziv - standardna devijacija. Oba imena su potpuno ekvivalentna.

Ali, naravno, u Excelu korisnik to ne mora izračunati, jer program radi sve za njega. Naučimo kako izračunati standardnu ​​devijaciju u Excelu.

Obračun u Excelu

Možete izračunati navedenu vrijednost u Excelu pomoću dvije posebne funkcije STDEV.V(na osnovu populacije uzorka) i STDEV.G(na osnovu opšte populacije). Princip njihovog rada je apsolutno isti, ali se mogu nazvati na tri načina, o kojima ćemo govoriti u nastavku.

Metoda 1: Čarobnjak za funkcije

Metoda 2: Formule Tab

Metoda 3: Ručni unos formule

Postoji i način na koji uopšte nećete morati da pozivate prozor argumenata. Da biste to učinili, morate ručno unijeti formulu.

Kao što vidite, mehanizam za izračunavanje standardne devijacije u Excelu je vrlo jednostavan. Korisnik samo treba da unese brojeve iz populacije ili reference na ćelije koje ih sadrže. Sve proračune vrši sam program. Mnogo je teže razumjeti šta je izračunati indikator i kako se rezultati proračuna mogu primijeniti u praksi. Ali razumijevanje ovoga se već odnosi više na polje statistike nego na učenje rada sa softverom.

Standardna devijacija je klasičan pokazatelj varijabilnosti od deskriptivne statistike.

Standardna devijacija, standardna devijacija, standardna devijacija, uzorak standardne devijacije (eng. standard deviation, STD, STDev) - vrlo čest indikator disperzije u deskriptivna statistika. Ali, jer tehnička analiza je srodna statistici; ovaj indikator se može (i treba) koristiti u tehničkoj analizi za otkrivanje stepena disperzije cijene analiziranog instrumenta tokom vremena. Označeno grčkim simbolom Sigma "σ".

Hvala Karlu Gausu i Pearsonu što su nam omogućili da koristimo standardnu ​​devijaciju.

Koristeći standardna devijacija u tehničkoj analizi, okrećemo ovo "indeks disperzije"" V "indikator volatilnosti“, zadržavajući značenje, ali mijenjajući pojmove.

Šta je standardna devijacija

Ali pored srednjih pomoćnih proračuna, standardna devijacija je sasvim prihvatljiva za nezavisan proračun i primjene u tehničkoj analizi. Kao aktivni čitalac našeg časopisa čičak je primetio, „ Još uvijek ne razumijem zašto standardna devijacija nije uključena u set standardnih indikatora domaćih dilerskih centara«.

stvarno, standardna devijacija može mjeriti varijabilnost instrumenta na klasičan i "čist" način. Ali, nažalost, ovaj pokazatelj nije toliko čest u analizi vrijednosnih papira.

Primjena standardne devijacije

Ručno izračunavanje standardne devijacije nije baš zanimljivo, ali korisno za iskustvo. Standardna devijacija se može izraziti formula STD=√[(∑(x-x) 2)/n], koja zvuči kao korijen zbira kvadrata razlika između elemenata uzorka i srednje vrijednosti, podijeljen sa brojem elemenata u uzorku.

Ako broj elemenata u uzorku prelazi 30, tada nazivnik razlomka ispod korijena uzima vrijednost n-1. Inače se koristi n.

Korak po korak proračun standardne devijacije:

1. izračunati aritmetičku sredinu uzorka podataka
2. oduzmite ovaj prosjek od svakog elementa uzorka
3. kvadriramo sve nastale razlike
4. zbrojite sve rezultirajuće kvadrate
5. rezultujuću količinu podijelite s brojem elemenata u uzorku (ili sa n-1, ako je n>30)
6. izračunajte kvadratni korijen rezultirajućeg količnika (zv disperzija)

$X$. Za početak, podsjetimo se sljedeće definicije:

Definicija 1

Populacija-- skup nasumično odabranih objekata date vrste, nad kojima se provode opservacije kako bi se dobile specifične vrijednosti slučajne varijable, koje se provode pod konstantnim uvjetima pri proučavanju jedne slučajne varijable datog tipa.

Definicija 2

Opšta varijansa-- aritmetička sredina kvadrata odstupanja vrijednosti varijante populacije od njihove srednje vrijednosti.

Neka vrijednosti opcije $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ imaju, respektivno, frekvencije $n_1,\ n_2,\dots ,n_k$. Tada se opća varijansa izračunava pomoću formule:

Razmotrimo poseban slučaj. Neka su sve opcije $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ različite. U ovom slučaju $n_1,\ n_2,\dots ,n_k=1$. Nalazimo da se u ovom slučaju opća varijansa izračunava pomoću formule:

Ovaj koncept je takođe povezan sa konceptom opšte standardne devijacije.

Definicija 3

Opća standardna devijacija

\[(\sigma )_g=\sqrt(D_g)\]

Varijanca uzorka

Neka nam je data populacija uzorka u odnosu na slučajnu varijablu $X$. Za početak, podsjetimo se sljedeće definicije:

Definicija 4

Populacija uzorka -- dio odabranih objekata iz opće populacije.

Definicija 5

Varijanca uzorka-- prosek aritmetičke vrijednosti opcija uzorkovanja.

Neka vrijednosti opcije $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ imaju, respektivno, frekvencije $n_1,\ n_2,\dots ,n_k$. Zatim se varijansa uzorka izračunava pomoću formule:

Razmotrimo poseban slučaj. Neka su sve opcije $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ različite. U ovom slučaju $n_1,\ n_2,\dots ,n_k=1$. Nalazimo da se u ovom slučaju varijansa uzorka izračunava pomoću formule:

Takođe je povezan sa ovim konceptom koncept standardne devijacije uzorka.

Definicija 6

Standardna devijacija uzorka-- kvadratni korijen opće varijanse:

\[(\sigma )_v=\sqrt(D_v)\]

Ispravljena varijansa

Da biste pronašli ispravljenu varijansu $S^2$ potrebno je pomnožiti varijansu uzorka sa razlomkom $\frac(n)(n-1)$, tj.

Ovaj koncept je također povezan s konceptom korigirane standardne devijacije, koji se nalazi po formuli:

U slučaju kada vrijednosti varijanti nisu diskretne, već predstavljaju intervale, tada se u formulama za izračunavanje općih ili uzoraka varijansi vrijednost $x_i$ uzima kao vrijednost sredine intervala do kojoj pripada $x_i.$.

Primjer problema za pronalaženje varijanse i standardne devijacije

Primjer 1

Populacija uzorka definirana je sljedećom tablicom distribucije:

Slika 1.

Pronađimo za njega varijansu uzorka, standardnu ​​devijaciju uzorka, ispravljenu varijansu i korigovanu standardnu ​​devijaciju.

Da bismo riješili ovaj problem, prvo napravimo tablicu proračuna:

Slika 2.

Vrijednost $\overline(x_v)$ (prosjek uzorka) u tabeli nalazi se po formuli:

\[\overline(x_in)=\frac(\sum\limits^k_(i=1)(x_in_i))(n)\]

\[\overline(x_in)=\frac(\sum\limits^k_(i=1)(x_in_i))(n)=\frac(305)(20)=15,25\]

Nađimo uzorak varijanse koristeći formulu:

Standardna devijacija uzorka:

\[(\sigma )_v=\sqrt(D_v)\približno 5,12\]

Ispravljena varijansa:

\[(S^2=\frac(n)(n-1)D)_v=\frac(20)(19)\cdot 26.1875\približno 27.57\]

Ispravljena standardna devijacija.