Kako pronaći primjere odz jednadžbi. Raspon prihvatljivih vrijednosti je rješenje. Područje trigonometrijskih funkcija

Kako ?
Primjeri rješenja

Ako nešto negdje nedostaje, to znači da negdje nešto postoji

Nastavljamo s proučavanjem odjeljka „Funkcije i grafovi“, a sljedeća stanica na našem putovanju je. Aktivna diskusija ovaj koncept započelo u članku o skupovima i nastavilo se u prvoj lekciji o grafovi funkcija, gdje sam pogledao elementarne funkcije, a posebno njihove domene definicije. Stoga, preporučujem da lutke počnu s osnovama teme, jer se neću više zadržavati na nekim osnovnim točkama.

Pretpostavlja se da čitalac poznaje domen definicije sledećih funkcija: linearne, kvadratne, kubna funkcija, polinomi, eksponencijalni, sinusni, kosinusni. Oni su definisani na (skup svih realnih brojeva). Za tangente, arksinuse, neka bude, opraštam ti =) - rjeđi grafovi se ne pamte odmah.

Čini se da je opseg definicije jednostavan i postavlja se logično pitanje: o čemu će članak biti? U ovoj lekciji ću se osvrnuti na uobičajene probleme pronalaženja domena funkcije. Štaviše, ponovićemo nejednakosti sa jednom promenljivom, čije će se vještine rješavanja zahtijevati u drugim zadacima višu matematiku. Materijal je, inače, sav školski materijal, tako da će biti koristan ne samo za učenike, već i za učenike. Informacija, naravno, ne pretenduje na enciklopediju, ali ovdje se ne radi o nategnutim “mrtvim” primjerima, već o pečenim kestenima, koji su preuzeti iz stvarnih praktičnih radova.

Počnimo s brzim uronom u temu. Ukratko o glavnoj stvari: govorimo o funkciji jedne varijable. Njegov domen definicije je mnoga značenja "x", za koji postoje značenja "igrača". Pogledajmo hipotetički primjer:

Domen definicije ove funkcije je unija intervala:
(za one koji su zaboravili: - ikona ujedinjenja). Drugim riječima, ako uzmete bilo koju vrijednost “x” iz intervala , ili iz , ili iz , tada će za svaki takav “x” postojati vrijednost “y”.

Grubo govoreći, tamo gdje je domen definicije, postoji graf funkcije. Ali poluinterval i tačka “tse” nisu uključeni u područje definicije i tamo nema grafikona.

Kako pronaći domenu funkcije? Mnogi ljudi pamte dječju rimu: "kamen, papir, makaze", a u ovom slučaju se može sa sigurnošću parafrazirati: "korijen, razlomak i logaritam". Dakle, ako vi životni put ako naiđe na razlomak, korijen ili logaritam, trebali biste odmah biti vrlo, vrlo oprezni! Tangenta, kotangens, arcsin, arkosinus su mnogo rjeđi, a o njima ćemo također govoriti. Ali prvo, skice iz života mrava:

Domena funkcije koja sadrži razlomak

Pretpostavimo da nam je dana funkcija koja sadrži neki razlomak. Kao što znate, ne možete podijeliti sa nulom: , dakle one Vrijednosti "X" koje pretvaraju nazivnik na nulu nisu uključene u opseg ove funkcije.

Neću se zadržavati na najjednostavnijim funkcijama kao što su itd., pošto svako savršeno vidi tačke koje nisu uključene u njihov domen definicije. Pogledajmo značajnije razlomke:

Primjer 1

Pronađite domenu funkcije

Rješenje: Nema ničeg posebnog u brojiocu, ali imenilac mora biti različit od nule. Postavimo ga na nulu i pokušamo pronaći "loše" točke:

Rezultirajuća jednačina ima dva korijena: . Vrijednosti podataka nisu u opsegu funkcije. Zaista, zamijenite ili u funkciju i vidjet ćete da imenilac ide na nulu.

Odgovori: domena:

Unos glasi ovako: „domen definicije su svi realni brojevi sa izuzetkom skupa koji se sastoji od vrijednosti " Da vas podsjetim da simbol obrnute kose crte u matematici označava logičko oduzimanje, a vitičaste zagrade označavaju skup. Odgovor se može ekvivalentno napisati kao unija tri intervala:

Ko god voli.

U tačkama funkcija toleriše beskrajne pauze, i prave linije, dato jednačinama su vertikalne asimptote za graf ove funkcije. Međutim, ovo je nešto drugačija tema i dalje se neću fokusirati na to.

Primjer 2

Pronađite domenu funkcije

Zadatak je u suštini usmeni i mnogi od vas će gotovo odmah pronaći područje definicije. Odgovor je na kraju lekcije.

Hoće li razlomak uvijek biti “loš”? br. Na primjer, funkcija je definirana na cijeloj brojevnoj pravoj. Bez obzira koju vrijednost “x” uzmemo, imenilac neće ići na nulu, štoviše, uvijek će biti pozitivan: . Dakle, opseg ove funkcije je: .

Sve funkcije kao definisano i kontinuirano na .

Situacija je malo komplikovanija kada je nazivnik zauzet kvadratni trinom:

Primjer 3

Pronađite domenu funkcije

Rješenje: Pokušajmo pronaći tačke u kojima imenilac ide na nulu. Za ovo ćemo odlučiti kvadratna jednačina:

Ispostavilo se da je diskriminant negativan, što znači da nema pravih korijena, a naša funkcija je definirana na cijeloj brojevnoj osi.

Odgovori: domena:

Primjer 4

Pronađite domenu funkcije

Ovo je primjer za nezavisna odluka. Rješenje i odgovor nalaze se na kraju lekcije. Savjetujem vam da ne budete lijeni s jednostavnim problemima, jer će se nesporazumi gomilati s daljnjim primjerima.

Domena funkcije s korijenom

Funkcija kvadratnog korijena definirana je samo za one vrijednosti "x" kada radikalni izraz nije negativan: . Ako se korijen nalazi u nazivniku , onda je uvjet očito pooštren: . Slični izračuni vrijede za bilo koji korijen pozitivnog parnog stepena: , međutim, korijen je već 4. stepena u studije funkcije Ne sjećam se.

Primjer 5

Pronađite domenu funkcije

Rješenje: radikalni izraz mora biti nenegativan:

Prije nego što nastavim sa rješenjem, da vas podsjetim na osnovna pravila za rad sa nejednakostima, poznata iz škole.

Imajte na umu Posebna pažnja! Sada razmatramo nejednakosti sa jednom promenljivom- to jest, za nas postoji samo jedna dimenzija duž ose. Molimo nemojte brkati sa nejednakosti dvije varijable, gdje je cijela koordinatna ravan geometrijski uključena. Međutim, postoje i prijatne koincidencije! Dakle, za nejednakost su sljedeće transformacije ekvivalentne:

1) Uslovi se mogu prenositi s dijela na dio promjenom njihovih (uslova) znakovi.

2) Obje strane nejednakosti mogu se pomnožiti pozitivnim brojem.

3) Ako se obje strane nejednakosti pomnože sa negativan broj, onda morate promijeniti znak same nejednakosti. Na primjer, ako je bilo “više”, onda će postati “manje”; ako je bilo “manje ili jednako”, onda će postati “veće ili jednako”.

U nejednakosti pomeramo „trojku“ na desnu stranu sa promenom predznaka (pravilo br. 1):

Pomnožimo obje strane nejednakosti sa –1 (pravilo br. 3):

Pomnožimo obje strane nejednakosti sa (pravilo br. 2):

Odgovori: domena:

Odgovor se također može napisati u ekvivalentnoj frazi: "funkcija je definirana na ."
Geometrijski, područje definicije je prikazano senčenjem odgovarajućih intervala na osi apscise. U ovom slučaju:

Podsećam te još jednom geometrijsko značenje domena definicije – graf funkcije postoji samo u zasjenjenom području i nema ga na .

U većini slučajeva, čisto analitičko određivanje domene definicije je prikladno, ali kada je funkcija vrlo komplikovana, trebalo bi da nacrtate os i napravite bilješke.

Primjer 6

Pronađite domenu funkcije

Ovo je primjer koji možete sami riješiti.

Kada se ispod kvadratnog korijena nalazi kvadratni binom ili trinom, situacija postaje malo složenija, a sada ćemo detaljno analizirati tehniku ​​rješenja:

Primjer 7

Pronađite domenu funkcije

Rješenje: radikalni izraz mora biti striktno pozitivan, odnosno moramo riješiti nejednakost. U prvom koraku pokušavamo rastaviti kvadratni trinom na faktore:

Diskriminant je pozitivan, tražimo korijene:

Dakle, parabola siječe osu apscise u dvije tačke, što znači da se dio parabole nalazi ispod ose (nejednakost), a dio parabole iznad ose (nejednakost koja nam je potrebna).

Budući da je koeficijent , grane parabole usmjerene su prema gore. Iz navedenog proizilazi da je nejednakost zadovoljena na intervalima (grane parabole idu prema gore u beskonačnost), a vrh parabole se nalazi na intervalu ispod x-ose, što odgovara nejednakosti:

! Bilješka: Ako ne razumijete u potpunosti objašnjenja, nacrtajte drugu os i cijelu parabolu! Preporučljivo je da se vratite na članak i priručnik Vruće formule za školski kurs matematike.

Imajte na umu da su same tačke uklonjene (nisu uključene u rješenje), jer je naša nejednakost stroga.

Odgovori: domena:

Općenito, mnoge nejednakosti (uključujući i razmatranu) rješavaju se univerzalom intervalna metoda, ponovo poznat iz školskog programa. Ali u slučajevima kvadratnih binoma i trinoma, po mom mišljenju, mnogo je zgodnije i brže analizirati lokaciju parabole u odnosu na os. A glavnu metodu - metodu intervala - detaljno ćemo analizirati u članku. Funkcija nule. Intervali konstantnosti.

Primjer 8

Pronađite domenu funkcije

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Uzorak detaljno komentariše logiku rasuđivanja + drugu metodu rješenja i još jednu važnu transformaciju nejednakosti, bez znanja o kojoj će učenik šepati na jednu nogu..., ...hmm... možda sam se uzbudio o nozi, vjerovatnije na jednom prstu. Thumb.

Može li se funkcija kvadratnog korijena definirati na cijeloj brojevnoj pravoj? Svakako. Sva poznata lica: . Ili sličan zbroj s eksponentom: . Zaista, za bilo koje vrijednosti "x" i "ka": , dakle također i .

Evo manje očiglednog primjera: . Ovdje je diskriminant negativan (parabola ne siječe x-osu), dok su grane parabole usmjerene prema gore, otuda i domen definicije: .

Suprotno pitanje: može li domen definicije funkcije biti prazan? Da, i primitivan primjer se odmah nameće , gdje je izraz radikala negativan za bilo koju vrijednost “x”, a domen definicije: (ikona praznog skupa). Takva funkcija uopće nije definirana (naravno, i graf je iluzoran).

Sa čudnim korenima itd. sve je mnogo bolje - ovde radikalni izraz može biti negativan. Na primjer, funkcija je definirana na cijeloj brojevnoj pravoj. Međutim, funkcija ima jednu tačku koja još uvijek nije uključena u domenu definicije, budući da je nazivnik postavljen na nulu. Iz istog razloga za funkciju bodovi su isključeni.

Domen funkcije s logaritmom

Treća uobičajena funkcija je logaritam. Kao uzorak ću nacrtati prirodni logaritam, što se javlja u otprilike 99 primjera od 100. Ako određena funkcija sadrži logaritam, tada bi njena domena definicije trebala uključivati ​​samo one vrijednosti “x” koje zadovoljavaju nejednakost. Ako je logaritam u nazivniku: , onda dodatno uslov je nametnut (od ).

Primjer 9

Pronađite domenu funkcije

Rješenje: u skladu sa navedenim, sastavićemo i rešiti sistem:

Grafičko rješenje za lutke:

Odgovori: domena:

Zadržat ću se na još jednoj tehničkoj stvari - nemam naznačenu skalu i podjele duž ose nisu označene. Postavlja se pitanje: kako napraviti takve crteže u bilježnici na kariranom papiru? Treba li razmak između tačaka mjeriti ćelije striktno prema mjerilu? Kanonički je i stroži, naravno, u mjerilu, ali shematski crtež koji u osnovi odražava situaciju je također sasvim prihvatljiv.

Primjer 10

Pronađite domenu funkcije

Da biste riješili problem, možete koristiti metodu iz prethodnog paragrafa - analizirajte kako se parabola nalazi u odnosu na x-os. Odgovor je na kraju lekcije.

Kao što vidite, u području logaritama sve je vrlo slično situaciji s kvadratnim korijenima: funkcija (kvadratni trinom iz primjera br. 7) definiran je na intervalima i funkciji (kvadratni binom iz primjera br. 6) na intervalu . Nezgodno je čak i reći da su funkcije tipa definirane na cijeloj brojevnoj liniji.

Korisne informacije : tipična funkcija je zanimljiva, definirana je na cijeloj brojevnoj pravoj osim tačke. Prema svojstvu logaritma, "dva" se može množiti izvan logaritma, ali da se funkcija ne bi promijenila, "x" mora biti zatvoreno pod znakom modula: . Evo još jednog za tebe" praktična upotreba» modul =). To je ono što trebate učiniti u većini slučajeva kada rušite čak stepen, na primjer: . Ako je osnova stepena očigledno pozitivna, na primer, onda nema potrebe za znakom modula i dovoljno je koristiti zagrade: .

Da bismo izbjegli ponavljanje, zakomplikujmo zadatak:

Primjer 11

Pronađite domenu funkcije

Rješenje: u ovoj funkciji imamo i korijen i logaritam.

Radikalni izraz mora biti nenegativan: , a izraz pod predznakom logaritma mora biti striktno pozitivan: . Dakle, potrebno je riješiti sistem:

Mnogi od vas vrlo dobro znaju ili intuitivno nagađaju da sistemsko rješenje mora zadovoljiti svakome stanje.

Ispitivanjem položaja parabole u odnosu na osu dolazimo do zaključka da je nejednakost zadovoljena intervalom (plavo sjenčanje):

Nejednakost očigledno odgovara “crvenom” poluintervalu.

Pošto oba uslova moraju biti ispunjena istovremeno, tada je rješenje sistema presjek ovih intervala. "Zajednički interesi" se ispunjavaju na poluvremenu.

Odgovori: domena:

Tipičnu nejednakost, kao što je pokazano u Primjeru br. 8, nije teško analitički riješiti.

Pronađena domena se neće promijeniti za “slične funkcije”, npr. ili . Također možete dodati neke kontinuirane funkcije, na primjer: , ili ovako: , ili čak ovako: . Kako kažu, korijen i logaritam su tvrdoglave stvari. Jedina stvar je da ako se jedna od funkcija "resetuje" na nazivnik, tada će se promijeniti domen definicije (iako u općem slučaju to nije uvijek tačno). Pa, u matan teoriji o ovom verbalnom... oh... postoje teoreme.

Primjer 12

Pronađite domenu funkcije

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Korištenje crteža je sasvim prikladno, jer funkcija nije najjednostavnija.

Još nekoliko primjera za jačanje materijala:

Primjer 13

Pronađite domenu funkcije

Rješenje: sastavimo i riješimo sistem:

Sve radnje su već razmotrene u cijelom članku. Opišimo interval koji odgovara nejednakosti na brojevnoj pravoj i, prema drugom uvjetu, eliminiramo dvije točke:

Ispostavilo se da je značenje potpuno nebitno.

Odgovori: domena

Mala matematička igra riječi na varijaciji 13. primjera:

Primjer 14

Pronađite domenu funkcije

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Oni koji su propustili nemaju sreće ;-)

Završni dio lekcije posvećen je rijetkijim, ali i „radnim“ funkcijama:

Područja definicije funkcije
sa tangentama, kotangensima, arksinusima, arkosinusima

Ako neka funkcija uključuje , onda iz svoje domene definicije isključeno bodova , Gdje Z– skup cijelih brojeva. Konkretno, kao što je navedeno u članku Grafovi i svojstva elementarnih funkcija, funkcija je probijena sljedeće vrijednosti:

To jest, domen definicije tangente: .

Ne ubijajmo previše:

Primjer 15

Pronađite domenu funkcije

Rješenje: u ovom slučaju, sljedeće tačke neće biti uključene u domenu definicije:

Bacimo "dvojku" sa leve strane u imenilac desne strane:

Kao rezultat :

Odgovori: domena: .

U principu, odgovor se može napisati kao unija beskonačnog broja intervala, ali konstrukcija će biti vrlo glomazna:

Analitičko rješenje je u potpunosti u skladu sa geometrijska transformacija grafa: ako se argument funkcije pomnoži sa 2, tada će se njen graf dvaput smanjiti na os. Primijetite kako je period funkcije prepolovljen, i tačke prekida udvostručila frekvenciju. tahikardija.

Slična priča sa kotangensom. Ako neka funkcija uključuje , tada su točke isključene iz njezine domene definicije. Konkretno, za funkciju automatskog rafalnog snimanja snimamo sljedeće vrijednosti:

Drugim riječima:

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, pravnim postupkom, odnosno na osnovu javnog zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Svaki izraz sa varijablom ima svoj raspon važećih vrijednosti, gdje postoji. ODZ se uvijek mora uzeti u obzir prilikom donošenja odluka. Ako ga nema, možete dobiti netačan rezultat.

Ovaj članak će pokazati kako pravilno pronaći ODZ i koristiti primjere. Biće reči io važnosti naznačavanja DZ prilikom donošenja odluke.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Važeće i nevažeće vrijednosti varijable

Ova definicija se odnosi na dozvoljene vrijednosti varijable. Kada uvedemo definiciju, da vidimo do kakvog će rezultata to dovesti.

Počevši od 7. razreda, počinjemo raditi s brojevima i numeričke izraze. Početne definicije sa varijablama prelaze na značenje izraza sa odabranim varijablama.

Kada postoje izrazi sa odabranim varijablama, neke od njih možda neće zadovoljiti. Na primjer, izraz oblika 1: a, ako je a = 0, onda nema smisla, jer je nemoguće podijeliti sa nulom. Odnosno, izraz mora imati vrijednosti koje su prikladne u svakom slučaju i koje će dati odgovor. Drugim riječima, imaju smisla s postojećim varijablama.

Definicija 1

Ako postoji izraz sa varijablama, onda ima smisla samo ako se vrijednost može izračunati zamjenom.

Definicija 2

Ako postoji izraz sa varijablama, onda nema smisla kada se prilikom njihove zamjene vrijednost ne može izračunati.

Odnosno, ovo implicira potpunu definiciju

Definicija 3

Postojeće dopuštene varijable su one vrijednosti za koje izraz ima smisla. A ako to nema smisla, onda se smatraju neprihvatljivim.

Da pojasnim gore navedeno: ako postoji više od jedne varijable, onda može postojati par odgovarajućih vrijednosti.

Primjer 1

Na primjer, razmotrite izraz oblika 1 x - y + z, gdje postoje tri varijable. Inače, možete ga napisati kao x = 0, y = 1, z = 2, dok drugi unos ima oblik (0, 1, 2). Ove vrijednosti se nazivaju validnim, što znači da se vrijednost izraza može pronaći. Dobijamo da je 1 0 - 1 + 2 = 1 1 = 1. Iz ovoga vidimo da su (1, 1, 2) neprihvatljivi. Zamjena rezultira dijeljenjem sa nulom, odnosno 1 1 - 2 + 1 = 1 0.

Šta je ODZ?

Raspon prihvatljivih vrijednosti – važan element pri evaluaciji algebarskih izraza. Stoga je vrijedno obratiti pažnju na to prilikom izračunavanja.

Definicija 4

ODZ area je skup vrijednosti dozvoljenih za dati izraz.

Pogledajmo primjer izraza.

Primjer 2

Ako imamo izraz oblika 5 z - 3, onda ODZ ima oblik (− ∞, 3) ∪ (3, + ∞) . Ovo je raspon važećih vrijednosti koji zadovoljava varijablu z za dati izraz.

Ako postoje izrazi oblika z x - y, onda je jasno da x ≠ y, z ima bilo koju vrijednost. To se zove ODZ izrazi. Mora se uzeti u obzir kako ne bi došlo do dijeljenja sa nulom prilikom zamjene.

Opseg dozvoljenih vrijednosti i opseg definicije imaju isto značenje. Samo drugi od njih se koristi za izraze, a prvi se koristi za jednačine ili nejednačine. Uz pomoć DL, izraz ili nejednakost ima smisla. Područje definicije funkcije poklapa se sa rasponom dozvoljenih vrijednosti varijable x za izraz f (x).

Kako pronaći ODZ? Primjeri, rješenja

Pronalaženje ODZ-a znači pronalaženje svih valjanih vrijednosti za koje datu funkciju ili nejednakosti. Neispunjavanje ovih uslova može dovesti do netačnih rezultata. Da bi se pronašao ODZ, često je potrebno proći kroz transformacije u datom izrazu.

Postoje izrazi kod kojih je njihovo izračunavanje nemoguće:

• ako postoji podjela sa nulom;
• uzimanje korijena negativnog broja;
• prisustvo negativnog celobrojnog indikatora – samo za pozitivne brojeve;
• izračunavanje logaritma negativnog broja;
• domen definicije tangente π 2 + π · k, k ∈ Z i kotangensa π · k, k ∈ Z;
• pronalaženje vrijednosti arksinusa i arkkosinusa broja za vrijednost koja ne pripada [ - 1 ; 1 ] .

Sve ovo pokazuje koliko je važno imati ODZ.

Primjer 3

Pronađite ODZ izraz x 3 + 2 x y − 4 .

Rješenje

Bilo koji broj se može kockati. Ovaj izraz nema razlomak, tako da vrijednosti x i y mogu biti bilo koje. Odnosno, ODZ je bilo koji broj.

odgovor: x i y – bilo koje vrijednosti.

Primjer 4

Pronađite ODZ izraza 1 3 - x + 1 0.

Rješenje

Može se vidjeti da postoji jedan razlomak čiji je imenilac nula. To znači da ćemo za bilo koju vrijednost x dobiti podjelu sa nulom. To znači da možemo zaključiti da se ovaj izraz smatra nedefinisanim, odnosno da nema nikakvu dodatnu odgovornost.

odgovor: ∅ .

Primjer 5

Pronađite ODZ datog izraza x + 2 · y + 3 - 5 · x.

Rješenje

Prisustvo kvadratnog korijena znači da ovaj izraz mora biti veći ili jednak nuli. At negativnu vrijednost nema smisla. To znači da je potrebno napisati nejednačinu oblika x + 2 · y + 3 ≥ 0. Odnosno, ovo je željeni raspon prihvatljivih vrijednosti.

odgovor: skup x i y, gdje je x + 2 y + 3 ≥ 0.

Primjer 6

Odredite ODZ izraz oblika 1 x + 1 - 1 + log x + 8 (x 2 + 3) .

Rješenje

Po uslovu imamo razlomak, tako da njegov imenilac ne bi trebao biti jednak nuli. Dobijamo da je x + 1 - 1 ≠ 0. Radikalni izraz uvijek ima smisla kada je veći ili jednak nuli, to jest, x + 1 ≥ 0. Pošto ima logaritam, njegov izraz mora biti striktno pozitivan, odnosno x 2 + 3 > 0. Osnova logaritma također mora imati pozitivnu vrijednost i različitu od 1, tada dodajemo uslove x + 8 > 0 i x + 8 ≠ 1. Iz toga slijedi da će željeni ODZ imati oblik:

x + 1 - 1 ≠ 0, x + 1 ≥ 0, x 2 + 3 > 0, x + 8 > 0, x + 8 ≠ 1

Drugim rečima, naziva se sistem nejednakosti sa jednom promenljivom. Rješenje će dovesti do sljedeće ODZ notacije [ − 1, 0) ∪ (0, + ∞) .

odgovor: [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞)

Zašto je važno uzeti u obzir DPD prilikom pokretanja promjena?

Prilikom transformacije identiteta važno je pronaći ODZ. Postoje slučajevi kada do postojanja ODZ-a ne dođe. Da biste razumjeli da li dati izraz ima rješenje, morate uporediti VA varijabli originalnog izraza i VA rezultirajućeg izraza.

Transformacije identiteta:

• ne može uticati na DL;
• može dovesti do proširenja ili dodavanja DZ;
• može suziti DZ.

Pogledajmo primjer.

Primjer 7

Ako imamo izraz oblika x 2 + x + 3 · x, tada je njegov ODZ definiran u cijelom domenu definicije. Čak i pri donošenju sličnih pojmova i pojednostavljivanju izraza, ODZ se ne mijenja.

Primjer 8

Ako uzmemo primjer izraza x + 3 x − 3 x, onda stvari stoje drugačije. Imamo frakcijski izraz. A znamo da je podjela sa nulom neprihvatljiva. Tada ODZ ima oblik (− ∞, 0) ∪ (0, + ∞) . Vidi se da nula nije rješenje, pa je dodajemo u zagradi.

Razmotrimo primjer s prisustvom radikalnog izraza.

Primjer 9

Ako postoji x - 1 · x - 3, onda treba obratiti pažnju na ODZ, jer se mora napisati kao nejednakost (x − 1) · (x − 3) ≥ 0. Moguće je riješiti metodom intervala, tada nalazimo da će ODZ poprimiti oblik (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) . Nakon transformacije x - 1 · x - 3 i primjene svojstva korijena, imamo da se ODZ može dopuniti i sve se može napisati u obliku sistema nejednačina oblika x - 1 ≥ 0, x - 3 ≥ 0. Prilikom rješavanja nalazimo da je [ 3 , + ∞) . To znači da je ODZ u potpunosti napisan na sljedeći način: (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) .

Transformacije koje sužavaju DZ moraju se izbjegavati.

Primjer 10

Razmotrimo primjer izraza x - 1 · x - 3, kada je x = - 1. Prilikom zamjene dobijamo da je - 1 - 1 · - 1 - 3 = 8 = 2 2 . Ako transformišemo ovaj izraz i dovedemo ga u oblik x - 1 · x - 3, onda prilikom izračunavanja nalazimo da je 2 - 1 · 2 - 3 izraz nema smisla, jer radikalni izraz ne bi trebao biti negativan.

Treba se pridržavati transformacije identiteta, koji ODZ neće mijenjati.

Ako postoje primjeri koji ga proširuju, onda ga treba dodati u DL.

Primjer 11

Pogledajmo primjer razlomka oblika x x 3 + x. Ako poništimo za x, onda ćemo dobiti da je 1 x 2 + 1. Tada se ODZ širi i postaje (− ∞ 0) ∪ (0 , + ∞) . Štoviše, prilikom izračunavanja već radimo s drugim pojednostavljenim razlomkom.

U prisustvu logaritama situacija je nešto drugačija.

Primjer 12

Ako postoji izraz oblika ln x + ln (x + 3), on se zamjenjuje sa ln (x · (x + 3)), na osnovu svojstva logaritma. Iz ovoga možemo vidjeti da je ODZ od (0 , + ∞) do (− ∞ , − 3) ∪ (0 , + ∞) . Stoga za ADL definicije ln (x · (x + 3)) potrebno je izvršiti proračune na ODZ, odnosno skupu (0 , + ∞).

Prilikom rješavanja uvijek je potrebno obratiti pažnju na strukturu i tip izraza datog uvjetom. Ako je područje definicije ispravno pronađeno, rezultat će biti pozitivan.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Funkcija je model. Definirajmo X kao skup vrijednosti nezavisne varijable // nezavisna znači bilo koja.

Funkcija je pravilo uz pomoć kojeg se za svaku vrijednost nezavisne varijable iz skupa X može pronaći jedinstvena vrijednost zavisne varijable. // tj. za svaki x postoji jedno y.

Iz definicije proizilazi da postoje dva pojma - nezavisna varijabla (koju označavamo sa x i može uzeti bilo koju vrijednost) i zavisna varijabla (koju označavamo sa y ili f (x) i ona se izračunava iz funkcije kada zamjenjujemo x).

NA PRIMJER y=5+x

1. Nezavisno je x, što znači da uzimamo bilo koju vrijednost, neka je x=3

2. Sada izračunajmo y, što znači y=5+x=5+3=8. (y zavisi od x, jer god x da zamenimo, dobijamo isto y)

Kaže se da varijabla y funkcionalno zavisi od varijable x i označava se na sljedeći način: y = f (x).

NA PRIMJER.

1.y=1/x. (naziva se hiperbola)

2. y=x^2. (naziva se parabola)

3.y=3x+7. (naziva se prava linija)

4. y= √ x. (naziva se parabola grana)

Nezavisna varijabla (koju označavamo sa x) naziva se argument funkcije.

Funkcija domena

Skup svih vrijednosti koje argument funkcije uzima naziva se domenom funkcije i označava se D(f) ili D(y).

Uzmimo D(y) za 1.,2.,3.,4.

1. D (y)= (∞; 0) i (0;+∞) //cijeli skup realnih brojeva osim nule.

2. D (y)= (∞; +∞)//svi broj realnih brojeva

3. D (y)= (∞; +∞)//svi broj realnih brojeva

4. D (y)= )