Tangenta na graf funkcije y f x. Kako pronaći nagib jednačine

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, pravnim postupkom, odnosno na osnovu javnog zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

U ovom članku ćemo analizirati sve vrste problema koje treba pronaći

Podsjetimo se geometrijsko značenje derivat: ako je tangenta nacrtana na graf funkcije u nekoj tački, tada je koeficijent nagiba tangente (jednak tangenti kuta između tangente i pozitivnog smjera ose) jednak derivaciji funkcije u tački.

Uzmimo proizvoljnu tačku na tangenti sa koordinatama:

I razmislite o pravokutnom trokutu:

U ovom trouglu

Odavde

Ovo je jednadžba tangente povučene na graf funkcije u tački.

Da bismo napisali jednadžbu tangente, potrebno je samo znati jednadžbu funkcije i tačku u kojoj je tangenta nacrtana. Tada možemo pronaći i .

Postoje tri glavna tipa problema tangentnih jednačina.

1. Date kontaktnu tačku

2. Dat je koeficijent nagiba tangente, odnosno vrijednost derivacije funkcije u tački.

3. Date su koordinate tačke kroz koju je povučena tangenta, ali koja nije tačka tangente.

Pogledajmo svaku vrstu zadatka.

1 . Napišite jednadžbu tangente na graf funkcije u tački .

.

b) Pronađite vrijednost derivacije u tački . Prvo pronađimo derivaciju funkcije

Zamijenimo pronađene vrijednosti u tangentnu jednadžbu:

Otvorimo zagrade na desnoj strani jednačine. Dobijamo:

odgovor: .

2. Pronađite apscisu tačaka u kojima su funkcije tangente na graf paralelno sa x-osom.

Ako je tangenta paralelna sa x-osom, onda je ugao između tangente i pozitivnog smera ose jednaka nuli, stoga je tangent ugla tangente nula. To znači da je vrijednost derivacije funkcije na dodirnim tačkama je nula.

a) Naći derivaciju funkcije .

b) Izjednačimo derivaciju sa nulom i pronađemo vrijednosti u kojima je tangenta paralelna s osom:

Izjednačavajući svaki faktor sa nulom, dobijamo:

Odgovor: 0;3;5

3. Napišite jednadžbe za tangente na graf funkcije , paralelno ravno .

Tangenta je paralelna pravoj. Nagib ove linije je -1. Pošto je tangenta paralelna sa ovom pravom, nagib tangente je takođe -1. To je znamo nagib tangente, i, samim tim, vrijednost derivata u tački tangente.

Ovo je druga vrsta problema za pronalaženje tangentne jednačine.

Dakle, data nam je funkcija i vrijednost derivacije u tački tangente.

a) Pronađite tačke u kojima je derivacija funkcije jednaka -1.

Prvo, pronađimo jednačinu derivata.

Izjednačimo derivaciju sa brojem -1.

Nađimo vrijednost funkcije u tački.

(po stanju)

.

b) Pronađite jednadžbu tangente na graf funkcije u tački .

Nađimo vrijednost funkcije u tački.

(po stanju).

Zamijenimo ove vrijednosti u tangentnu jednadžbu:

.

odgovor:

4 . Napišite jednadžbu tangente na krivu , prolazeći kroz tačku

Prvo, hajde da proverimo da li je tačka tačka tangente. Ako je tačka tangentna tačka, tada pripada grafu funkcije, a njene koordinate moraju zadovoljiti jednadžbu funkcije. Zamenimo koordinate tačke u jednadžbu funkcije.

Title="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем !} negativan broj, jednakost nije tačna, a tačka ne pripada grafu funkcije i nije kontaktna tačka.

Ovo je posljednja vrsta problema za pronalaženje tangentne jednačine. Prva stvar moramo pronaći apscisu tačke tangente.

Hajde da nađemo vrednost.

Neka bude tačka kontakta. Tačka pripada tangenti na graf funkcije. Ako zamenimo koordinate ove tačke u tangentnu jednačinu, dobićemo tačnu jednakost:

.

Vrijednost funkcije u tački je .

Nađimo vrijednost derivacije funkcije u tački.

Prvo, pronađimo derivaciju funkcije. Ovo .

Izvod u tački je jednak .

Zamijenimo izraze za i u tangentnu jednadžbu. Dobijamo jednačinu za:

Hajde da riješimo ovu jednačinu.

Smanjite brojilac i nazivnik razlomka za 2:

Dovedemo desnu stranu jednačine na zajednički nazivnik. Dobijamo:

Pojednostavimo brojilac razlomka i pomnožimo obje strane sa - ovaj izraz je striktno veći od nule.

Dobijamo jednačinu

Hajde da to rešimo. Da bismo to učinili, kvadriramo oba dijela i prijeđimo na sistem.

Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0) ) ))( )">!}

Rešimo prvu jednačinu.

Hajde da odlučimo kvadratna jednačina, dobijamo

Drugi korijen ne zadovoljava uslov title="8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Napišimo jednačinu tangente na krivu u tački. Da biste to učinili, zamijenite vrijednost u jednadžbu - Već smo to snimili.

odgovor:
.

Razmotrite sljedeću sliku:

Ona prikazuje određenu funkciju y = f(x), koja je diferencibilna u tački a. Tačka M sa koordinatama (a; f(a)) je označena. Sekansa MR se povlači kroz proizvoljnu tačku P(a + ∆x; f(a + ∆x)) grafa.

Ako se sada tačka P pomeri duž grafika do tačke M, tada će prava linija MR rotirati oko tačke M. U ovom slučaju, ∆x će težiti nuli. Odavde možemo formulirati definiciju tangente na graf funkcije.

Tangenta na graf funkcije

Tangenta na graf funkcije je granična pozicija sekansa jer inkrement argumenta teži nuli. Treba shvatiti da postojanje derivacije funkcije f u tački x0 znači da u ovoj tački grafa postoji tangenta za njega.

Gde nagib tangenta će biti jednaka derivaciji ove funkcije u ovoj tački f’(x0). Ovo je geometrijsko značenje izvedenice. Tangenta na graf funkcije f diferencibilne u tački x0 je određena prava linija koja prolazi kroz tačku (x0;f(x0)) i ima ugaoni koeficijent f’(x0).

Tangentna jednadžba

Pokušajmo dobiti jednadžbu tangente na graf neke funkcije f u tački A(x0; f(x0)). Jednačina prave linije sa nagibom k ima sljedeći oblik:

Pošto je naš koeficijent nagiba jednak izvodu f’(x0), tada će jednačina poprimiti sljedeći oblik: y = f’(x0)*x + b.

Sada izračunajmo vrijednost b. Da bismo to učinili, koristimo činjenicu da funkcija prolazi kroz tačku A.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, odavde izražavamo b i dobijamo b = f(x0) - f’(x0)*x0.

Dobivenu vrijednost zamjenjujemo u tangentnu jednadžbu:

y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

Razmotrite sljedeći primjer: pronađite jednadžbu tangente na graf funkcije f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 u tački x = 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Zamijenite dobijene vrijednosti u tangentnu formulu, dobijamo: y = 1 + 4*(x - 2). Otvarajući zagrade i donoseći slične pojmove dobijamo: y = 4*x - 7.

Odgovor: y = 4*x - 7.

Opća shema za sastavljanje tangentne jednačine na graf funkcije y = f(x):

1. Odrediti x0.

2. Izračunajte f(x0).

3. Izračunajte f’(x)

Naučite uzimati derivate funkcija. Izvod karakterizira brzinu promjene funkcije u određenoj tački koja leži na grafu ove funkcije. U ovom slučaju, graf može biti ravna ili kriva linija. To jest, derivacija karakterizira brzinu promjene funkcije u određenom trenutku. Zapamti opšta pravila, kojim se uzimaju derivati, a tek onda prelazimo na sljedeći korak.

• Pročitajte članak.
• Kako uzeti najjednostavnije derivate, na primjer, derivat eksponencijalna jednačina, opisano. Proračuni predstavljeni u sljedećim koracima će se zasnivati ​​na metodama opisanim u njima.

Naučite razlikovati probleme u kojima koeficijent nagiba treba izračunati kroz derivaciju funkcije. Problemi ne traže uvijek od vas da pronađete nagib ili derivaciju funkcije. Na primjer, od vas će se možda tražiti da pronađete stopu promjene funkcije u tački A(x,y). Od vas se takođe može tražiti da pronađete nagib tangente u tački A(x,y). U oba slučaja potrebno je uzeti derivaciju funkcije.

Uzmite derivaciju funkcije koja vam je data. Ovdje nije potrebno graditi graf - potrebna vam je samo jednadžba funkcije. U našem primjeru uzmite derivaciju funkcije. Uzmite derivat prema metodama navedenim u gore spomenutom članku:

• Derivat:

Zamijenite koordinate tačke date vam u pronađenu derivaciju da biste izračunali nagib. Derivat funkcije jednak je nagibu u određenoj tački. Drugim riječima, f"(x) je nagib funkcije u bilo kojoj tački (x,f(x)). U našem primjeru:

• Pronađite nagib funkcije f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) u tački A(4,2).
• Derivat funkcije:
  • f ′ (x) = 4 x + 6 (\displaystyle f"(x)=4x+6)
• Zamijenite vrijednost "x" koordinate ove tačke:
  • f ′ (x) = 4 (4) + 6 (\displaystyle f"(x)=4(4)+6)
• Pronađite nagib:
• Funkcija nagiba f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) u tački A(4,2) jednako je 22.

Ako je moguće, provjerite svoj odgovor na grafikonu. Zapamtite da se nagib ne može izračunati u svakoj tački. Diferencijalni račun ispituje složene funkcije i složeni grafovi, gdje se nagib ne može izračunati u svakoj tački, au nekim slučajevima tačke uopće ne leže na grafovima. Ako je moguće, koristite grafički kalkulator da provjerite da li je nagib funkcije koja vam je data ispravan. U suprotnom, nacrtajte tangentu na graf u tački koja vam je data i razmislite o tome da li se vrijednost nagiba koju ste pronašli poklapa s onim što vidite na grafu.

• Tangenta će imati isti nagib kao graf funkcije u određenoj tački. Da nacrtate tangentu u datoj tački, pomerite se levo/desno na osi X (u našem primeru, 22 vrednosti udesno), a zatim jednu gore na osi Y. Označite tačku, a zatim je povežite sa poen koji vam je dat. U našem primjeru spojite tačke sa koordinatama (4,2) i (26,3).

Neka je data funkcija f koja u nekoj tački x 0 ima konačan izvod f (x 0). Tada se prava linija koja prolazi kroz tačku (x 0 ; f (x 0)), koja ima ugaoni koeficijent f ’(x 0), naziva tangentom.

Šta se dešava ako izvod ne postoji u tački x 0? Postoje dvije opcije:

1. Ne postoji ni tangenta na graf. Klasičan primjer je funkcija y = |x | u tački (0; 0).
2. Tangenta postaje vertikalna. To vrijedi, na primjer, za funkciju y = arcsin x u tački (1; π /2).

Tangentna jednadžba

Svaka nevertikalna prava linija je data jednačinom oblika y = kx + b, gdje je k nagib. Tangenta nije izuzetak, a da bi se stvorila njena jednadžba u nekoj tački x 0, dovoljno je znati vrijednost funkcije i derivacije u ovoj tački.

Dakle, neka je data funkcija y = f (x) koja ima izvod y = f ’(x) na segmentu. Tada se u bilo kojoj tački x 0 ∈ (a ; b) može povući tangenta na graf ove funkcije, koja je data jednadžbom:

y = f ’(x 0) (x − x 0) + f (x 0)

Ovdje je f’(x 0) vrijednost derivacije u tački x 0, a f (x 0) je vrijednost same funkcije.

Zadatak. Zadata funkcija y = x 3 . Napišite jednadžbu za tangentu na graf ove funkcije u tački x 0 = 2.

Jednačina tangente: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Tačka x 0 = 2 nam je data, ali će se morati izračunati vrijednosti f (x 0) i f ’(x 0).

Prvo, pronađimo vrijednost funkcije. Ovdje je sve lako: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Sada pronađimo izvod: f ’(x) = (x 3)’ = 3x 2;
Zamjenjujemo x 0 = 2 u izvod: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 2 2 = 12;
Ukupno dobijamo: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Ovo je tangentna jednadžba.

Zadatak. Napišite jednadžbu za tangentu na graf funkcije f (x) = 2sin x + 5 u tački x 0 = π /2.

Ovaj put nećemo detaljno opisivati ​​svaku radnju - samo ćemo naznačiti ključne korake. Imamo:

f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f ’(x) = (2sin x + 5)’ = 2cos x;
f ’(x 0) = f ’(π /2) = 2cos (π /2) = 0;

Tangentna jednadžba:

y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

U potonjem slučaju, ravna linija se pokazala vodoravnom, jer njegov ugaoni koeficijent k = 0. U ovome nema ništa loše - upravo smo naišli na tačku ekstrema.