Materijalna tačka se kreće pravolinijski. Fizičko značenje izvedenice. Zadaci

− Učitelj Dumbadze V.A.
iz škole 162 Kirovskog okruga Sankt Peterburga.

Naša grupa VKontakte
Mobilne aplikacije:

(Gdje x t- vrijeme u sekundama mjereno od početka kretanja). Pronađite njegovu brzinu (u m/s) u trenutku t= 9 s.

At t= 9 s imamo:

Zašto izostavljamo broj 17 iz originalne jednačine?

pronaći derivaciju originalne funkcije.

u izvedenici nema broja 17

Zašto pronaći derivat?

Brzina je derivacija koordinate u odnosu na vrijeme.

Problem traži od vas da pronađete brzinu

x- udaljenost od referentne tačke u metrima, t- vrijeme u sekundama mjereno od početka kretanja). Pronađite njegovu brzinu u (m/s) u trenutku t= 6 s.

Nađimo zakon promjene brzine:

(6)=3/2*36-6*6+2=54-38=16, a ne 20

zapamtite proceduru

Od kada je sabiranje poželjnije od oduzimanja?

Množenje ima prednost nad sabiranjem i oduzimanjem. Sjetite se primjera iz dječje škole: 2 + 2 · 2. Da vas podsjetim da ovdje ispada ne 8, kako neki misle, već 6.

Niste razumjeli odgovor gosta.

1,5*36 — 6*6 + 2 = 54 — 36 + 2 = 18 + 2 = 20.

Dakle, sve je tačno, izračunajte sami.

2) množenje/deljenje (zavisi od redosleda u jednačini; prvo se rešava ono što je prvo);

3) sabiranje/oduzimanje (slično zavisi od redosleda u primeru).

Množenje = dijeljenje, sabiranje = oduzimanje =>

Ne 54 - (36+2), već 54-36+2 = 54+2-36 = 20

Prvo, za vas - Sergej Batkovič. Drugo, da li ste razumeli šta želite da kažete i kome? Nisam te razumio.

Materijalna tačka se kreće pravolinijski prema zakonu (gdje je x udaljenost od referentne točke u metrima, t je vrijeme u sekundama mjereno od početka kretanja). Pronađite njegovu brzinu u (m/s) u vremenu s.

Nađimo zakon promjene brzine: m/s. kada imamo:

Lekcija na temu: „Pravila diferencijacije“, 11. razred

Odjeljci: Matematika

Vrsta lekcije: generalizacija i sistematizacija znanja.

Ciljevi lekcije:

• edukativni:
  • generalizovati i sistematizovati gradivo na temu nalaženja izvoda;
  • konsolidovati pravila diferencijacije;
  • otkriti studentima politehnički i primijenjeni značaj teme;
• razvijanje:
  • vrši kontrolu sticanja znanja i vještina;
  • razviti i poboljšati sposobnost primjene znanja u promijenjenoj situaciji;
  • razvijati kulturu govora i sposobnost izvođenja zaključaka i generalizacije;
• edukativni:
  • razvijati kognitivni proces;
  • Usaditi učenicima tačnost u dizajnu i odlučnost.

Oprema:

• grafoskop, platno;
• kartice;
• kompjuteri;
• stol;
• diferencirani zadaci u obliku multimedijalnih prezentacija.

I. Provjera domaćeg zadatka.

1. Poslušajte izvještaje učenika o primjerima upotrebe izvedenica.

2. Razmotriti primjere upotrebe derivata u fizici, hemiji, inženjerstvu i drugim oblastima koje predlažu studenti.

II. Ažuriranje znanja.

Učitelj:

1. Definirajte derivaciju funkcije.
2. Koja se operacija naziva diferencijacija?
3. Koja pravila diferencijacije se koriste pri izračunavanju derivacije? (Pozivaju se traženi učenici da dođu na ploču).
   • derivat sume;
   • derivat djela;
   • derivat koji sadrži konstantni faktor;
   • derivat količnika;
   • derivat kompleksne funkcije;
4. Navedite primjere primijenjenih problema koji vode do koncepta derivata.

Niz posebnih problema iz različitih oblasti nauke.

Zadatak br. 1. Tijelo se kreće pravolinijski prema zakonu x(t). Zapišite formulu za određivanje brzine i ubrzanja tijela u trenutku t.

Zadatak br. 2. Poluprečnik kružnice R varira prema zakonu R = 4 + 2t 2. Odredite brzinu kojom se mijenja njegova površina V moment t = 2 s. Radijus kruga se mjeri u centimetrima. Odgovor: 603 cm 2 /s.

Zadatak br. 3. Materijalna tačka mase 5 kg kreće se pravolinijski prema zakonu

S(t) = 2t+ , gdje S- udaljenost u metrima, t– vrijeme u sekundama. Pronađite silu koja djeluje na tačku u ovom trenutku t = 4 s.

odgovor: N.

Zadatak br. 4. Zamajac, koji drži kočnica, okreće se iza t s pod uglom od 3t - 0,1t 2 (rad). Nađi:

a) ugaona brzina rotacije zamašnjaka u momentu t = 7 With;
b) u kom trenutku će se zamašnjak zaustaviti.

odgovor: a) 2,86; b) 150 s.

Primjeri korištenja izvedenica također mogu uključivati ​​probleme nalaženja: specifični toplotni kapacitet supstance dato telo, linearna gustina i kinetička energija tijela itd.

III. Obavljanje diferenciranih zadataka.

Oni koji žele da završe zadatke nivoa „A“ sjedaju za računar i završavaju test sa programiranim odgovorom. ( Aplikacija. )

1. Pronađite vrijednost izvoda funkcije u tački x 0 = 3.

2. Pronađite vrijednost izvoda funkcije y = xe x u tački x 0 = 1.

1) 2e;
2) e;
3) 1 + e;
4) 2 + e.

3. Riješite jednačinu f / (x) = 0 ako je f (x) = (3x 2 + 1)(3x 2 – 1).

1) ;
2) 2;
3) ;
4) 0.

4. Izračunajte f/(1) ako je f(x) = (x 2 + 1)(x 3 – x).

5. Odrediti vrijednost izvoda funkcije f(t) = (t4 – 3)(t2 + 2) u tački t0 = 1.

6. Tačka se kreće pravolinijski prema zakonu: S(t) = t 3 – 3t 2. Odaberite formulu koja određuje brzinu kretanja ove tačke u trenutku t.

1) t 2 – 2t;
2) 3t 2 – 3t;
3) 3t 2 – 6t;
4) t 3 + 6t.

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Primjena derivata u fizici, tehnologiji, biologiji, životu

Prezentacija za lekciju

Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda ne predstavljaju sve karakteristike prezentacije. Ako ste zainteresovani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.

Vrsta lekcije: integrisan.

Svrha lekcije: proučavati neke aspekte primjene derivata u različitim oblastima fizike, hemije i biologije.

Zadaci:širenje vidika i kognitivne aktivnosti učenika, razvijanje logičko razmišljanje i sposobnost primjene svog znanja.

Tehnička podrška: interaktivna tabla; kompjuter i disk.

I. Organizacioni momenat

II. Postavljanje cilja lekcije

– Želeo bih da vodim lekciju pod motom Alekseja Nikolajeviča Krilova, sovjetskog matematičara i brodograditelja: „Teorija bez prakse je mrtva ili beskorisna, praksa bez teorije je nemoguća ili štetna.

– Pogledajmo osnovne koncepte i odgovorimo na pitanja:

– Recite mi osnovnu definiciju izvedenice?
– Šta znate o izvodu (osobine, teoreme)?
– Znate li neke primjere zadataka koji se koriste izvodicama u fizici, matematici i biologiji?

Razmatranje osnovne definicije derivata i njegovog obrazloženja (odgovor na prvo pitanje):

Derivat – jedan od osnovnih pojmova matematike. Sposobnost rješavanja problema korištenjem derivata zahtijeva dobro poznavanje teorijskog materijala i sposobnost sprovođenja istraživanja u različitim situacijama.

Stoga ćemo danas na času objediniti i sistematizovati stečena znanja, razmotriti i vrednovati rad svake grupe i na primjeru nekih zadataka pokazati kako rješavati druge probleme koristeći izvod i nestandardni zadaci koristeći derivate.

III. Objašnjenje novog materijala

1. Trenutna snaga je derivat rada u odnosu na vrijeme:

W = lim ΔA/Δt ΔA – promjena posla.

2. Ako tijelo rotira oko ose, tada je ugao rotacije funkcija vremena t
Tada je ugaona brzina jednaka:

W = lim Δφ/Δt = φ׳(t) Δ t → 0

3. Jačina struje je derivat Ι = lim Δg/Δt = g′, Gdje g– pozitivni električni naboj koji se prenosi kroz poprečni presjek provodnika tokom vremena Δt.

4. Neka ΔQ– količina topline potrebna za promjenu temperature Δt onda je vreme lim ΔQ/Δt = Q′ = C – specifična toplota.

5. Problem o brzini hemijske reakcije

m(t) – m(t0) – količina supstance koja reaguje tokom vremena t0 prije t

V= lim Δm/Δt = m Δt → 0

6. Neka je m masa radioaktivne supstance. Stopa radioaktivnog raspada: V = lim Δm/Δt = m׳(t) Δt→0

U diferenciranom obliku, zakon radioaktivnog raspada ima oblik: dN/dt = – λN, Gdje N– broj jezgara koja se nisu raspala u vremenu t.

Integracijom ovog izraza dobijamo: dN/N = – λdt ∫dN/N = – λ∫dt lnN = – λt + c, c = konst at t = 0 broj radioaktivnih jezgara N = N0, odavde imamo: ln N0 = konst, dakle

n N = – λt + ln N0.

Potencirajući ovaj izraz dobijamo:

– zakon radioaktivnog raspada, gdje N0– broj jezgara odjednom t0 = 0, N– broj jezgara koja se nisu raspala tokom vremena t.

7. Prema Newtonovoj jednačini prijenosa topline, brzina protoka topline dQ/dt je direktno proporcionalna površini prozora S i temperaturnoj razlici ΔT između unutrašnjeg i vanjskog stakla i obrnuto proporcionalna njegovoj debljini d:

dQ/dt =A S/d ΔT

8. Fenomen difuzije je proces uspostavljanja ravnotežne distribucije

Unutar faza koncentracije. Difuzija ide u stranu, izravnavajući koncentracije.

m = D Δc/Δx c – koncentracija
m = D c׳x x – koordinata, D – koeficijent difuzije

9. Bilo je poznato da električno polje pobuđuje ili električne naboje ili magnetsko polje, koje ima jedan izvor - električnu struju. James Clark Maxwell uveo je jedan amandman na zakone elektromagnetizma koji su otkriveni prije njega: magnetsko polje također nastaje kada se promijeni električno polje. Naizgled mali amandman imao je ogromne posljedice: pojavio se potpuno novi fizički objekt, doduše samo na vrhu olovke - elektromagnetski val. Maxwell je majstorski, za razliku od Faradaya, koji je mislio da je njegovo postojanje moguće, izveo jednačinu za električno polje:

∂E/∂x = M∂B/Mo ∂t Mo = const t

Promjena električnog polja uzrokuje pojavu magnetsko polje u bilo kojoj tački u prostoru, drugim riječima, brzina promjene električnog polja određuje veličinu magnetskog polja. Pod velikim strujni udar– veće magnetno polje.

IV. Konsolidacija naučenog

– Ti i ja smo proučavali derivat i njegova svojstva. Želio bih da pročitam Gilbertovu filozofsku izjavu: „Svaka osoba ima određeni pogled. Kada se ovaj horizont suzi na beskonačno mali, pretvara se u tačku. Tada osoba kaže da je to njegovo gledište.”
Pokušajmo izmjeriti gledište o primjeni derivata!

Radnja "Lista"(upotreba derivata u biologiji, fizici, životu)

Razmotrimo pad kao neravnomjerno kretanje ovisno o vremenu.

dakle: S = S(t) V = S′(t) = x′(t), a = V′(t) = S″(t)

(Teorijski pregled: mehaničko značenje izvedenice).

1. Rješavanje problema

Riješite probleme sami.

2. F = ma F = mV′ F = mS″

Zapišimo Portonov II zakon, pa uzimajući u obzir mehaničko značenje derivacije, prepišemo ga u obliku: F = mV′ F = mS″

Radnja filma "Vukovi, goferi"

Vratimo se na jednačine: Razmotrimo diferencijalne jednadžbe eksponencijalnog rasta i smanjenja: F = ma F = mV’ F = mS"
Rješavanje mnogih problema iz fizike, tehničke biologije i društvene znanosti svode se na problem nalaženja funkcija f"(x) = kf(x), zadovoljavanje diferencijalne jednadžbe, gdje k = konst .

Ljudska formula

Osoba je onoliko puta veća od atoma koliko je manja od zvijezde:

Iz toga slijedi
Ovo je formula koja određuje čovjekovo mjesto u svemiru. U skladu s tim, veličina osobe predstavlja prosječnu proporcionalnost zvijezde i atoma.

Želio bih da završim lekciju riječima Lobačevskog: „Ne postoji nijedno područje matematike, ma koliko apstraktno bilo, koje jednog dana neće biti primjenjivo na fenomene stvarnog svijeta.

V. Rješenje brojeva iz zbirke:

Samostalno rješavanje problema na tabli, kolektivna analiza rješenja problema:

№ 1 Pronađite brzinu kretanja materijalna tačka na kraju 3. sekunde, ako je kretanje tačke dato jednačinom s = t^2 –11t + 30.

№ 2 Tačka se kreće pravolinijski prema zakonu s = 6t – t^2. U kom trenutku će biti njegova brzina jednak nuli?

№ 3 Dva tijela se kreću pravolinijski: jedno po zakonu s = t^3 – t^2 – 27t, drugo po zakonu s = t^2 + 1. Odredi trenutak kada se ispostavi da su brzine ovih tijela jednake .

№ 4 Za automobil koji se kreće brzinom od 30 m/s, put kočenja je određen formulom s(t) = 30t-16t^2, gdje je s(t) udaljenost u metrima, t vrijeme kočenja u sekundama . Koliko vremena je potrebno za kočenje dok se automobil potpuno ne zaustavi? Koja je udaljenost auto će proći od početka kočenja do njegovog potpunog zaustavljanja?

№5 Tijelo mase 8 kg kreće se pravolinijski prema zakonu s = 2t^2+ 3t – 1. Nađi kinetička energija tijelo (mv^2/2) 3 sekunde nakon početka pokreta.

Rješenje: Nađimo brzinu kretanja tijela u bilo kojem trenutku:
V = ds / dt = 4t + 3
Izračunajmo brzinu tijela u trenutku t = 3:
V t=3 = 4 * 3 + 3=15 (m/s).
Odredimo kinetičku energiju tijela u trenutku t = 3:
mv2/2 = 8 – 15^2 /2 = 900 (J).

№6 Odrediti kinetičku energiju tijela 4 s nakon početka kretanja, ako je njegova masa 25 kg, a zakon kretanja ima oblik s = 3t^2- 1.

№7 Tijelo čija je masa 30 kg kreće se pravolinijski po zakonu s = 4t^2 + t. Dokazati da se kretanje tijela odvija pod utjecajem stalne sile.
Rješenje: Imamo s’ = 8t + 1, s” = 8. Dakle, a(t) = 8 (m/s^2), tj. po ovom zakonu kretanja tijelo se kreće sa konstantno ubrzanje 8 m/s^2. Nadalje, budući da je masa tijela konstantna (30 kg), onda je, prema drugom Newtonovom zakonu, sila koja djeluje na njega F = ma = 30 * 8 = 240 (H) također konstantna vrijednost.

№8 Telo mase 3 kg kreće se pravolinijski po zakonu s(t) = t^3 – 3t^2 + 2. Naći silu koja deluje na telo u trenutku t = 4s.

№9 Materijalna tačka se kreće po zakonu s = 2t^3 – 6t^2 + 4t. Pronađite njegovo ubrzanje na kraju 3. sekunde.

VI. Primjena derivata u matematici:

Izvod u matematici pokazuje numerički izraz stepen promene veličine koja se nalazi u istoj tački pod uticajem različitih uslova.

Formula izvedenice datira iz 15. veka. Veliki talijanski matematičar Tartagli, razmatrajući i razvijajući pitanje koliko domet leta projektila ovisi o nagibu pištolja, primjenjuje ga u svojim radovima.

Izvedena formula se često nalazi u radovima poznatih matematičara 17. vijek. Koristili su ga Newton i Leibniz.

Slavnom posvećuje čitavu raspravu o ulozi izvedenica u matematici naučnik Galileo Galileo. Tada su se derivat i različiti prikazi s njegovom primjenom počeli nalaziti u djelima Descartesa, francuskog matematičara Robervala i Engleza Gregoryja. Veliki doprinos proučavanju derivata dali su umovi kao što su L'Hopital, Bernoulli, Langrange i drugi.

1. Nacrtajte graf i ispitajte funkciju:

Rješenje ovog problema:

Trenutak opuštanja

VII. Primjena derivata u fizici:

Prilikom proučavanja određenih procesa i pojava često se postavlja zadatak određivanja brzine ovih procesa. Njegovo rješenje dovodi do koncepta derivacije, koji je osnovni koncept diferencijalnog računa.

Metoda diferencijalnog računa nastala je u 17. i 18. veku. Imena dva velika matematičara – I. Newtona i G.V. – povezana su s pojavom ove metode. Leibniz.

Newton je došao do otkrića diferencijalnog računa rješavajući probleme o brzini kretanja materijalne tačke u ovog trenutka vrijeme (trenutna brzina).

U fizici se derivat koristi uglavnom za izračunavanje najvećeg odn najniže vrijednosti bilo koje količine.

№1 Potencijalna energija U polje čestice u kojem se nalazi druga, potpuno ista čestica ima oblik: U = a/r 2 – b/r, Gdje a I b- pozitivne konstante, r- udaljenost između čestica. Pronađite: a) vrijednost r0 odgovara ravnotežnom položaju čestice; b) utvrditi da li je ova situacija stabilna; V) Fmax vrijednost sile privlačenja; d) nacrtajte približne grafove zavisnosti U(r) I F(r).

Rješenje ovog problema: Odrediti r0 koji odgovara ravnotežnom položaju čestice koju proučavamo f = U(r) do krajnosti.

Koristeći vezu između potencijalne energije polja

U I F, Onda F = – dU/dr, dobijamo F = – dU/dr = – (2a/r3+ b/r2) = 0; pri čemu r = r0; 2a/r3 = b/r2 => r0 = 2a/b; Stabilnu ili nestabilnu ravnotežu određujemo predznakom drugog izvoda:
d2U/dr02= dF/dr0 = – 6a/r02 + 2b/r03 = – 6a/(2a/b)4 + 2b/(2a/b)3 = (– b4/8a3) 2 = FM / (M + µt ) 2

Razmotrite slučaj kada se pijesak izlije iz napunjene platforme.
Promjena zamaha u kratkom vremenskom periodu:
Δ p = (M – µ(t + Δ t))(u+ Δ u) +Δ µtu – (M – µt)u = FΔ t
Pojam Δ µtu je impuls količine pijeska koja se izlila iz platforme za vrijeme Δ t. onda:
Δ p = MΔ u – µtΔ u – Δ µtΔ u = FΔ t
Podijelite sa Δ t i prijeđite na granicu Δ t → 0
(M – µt)du/dt = F
Or a1= du/dt= F/(M – µt)

odgovor: a = FM / (M + µt) 2 , a1= F/(M – µt)

VIII. Samostalni rad:

Pronađite derivate funkcija:

Prava linija y = 2x tangenta je na funkciju: y = x 3 + 5x 2 + 9x + 3. Pronađite apscisu tačke tangente.

IX. Sumiranje lekcije:

– Kojim pitanjima je bila posvećena lekcija?
– Šta ste naučili na lekciji?
– Koje su teorijske činjenice sažete u lekciji?
– Koji zadaci su se smatrali najtežim? Zašto?

Bibliografija:

1. Amelkin V.V., Sadovski A.P. Matematički modeli i diferencijalne jednadžbe. – Minsk: Viša škola, 1982. – 272 str.
2. Amelkin V.V. Diferencijalne jednadžbe u primjenama. M.: Nauka. Glavna redakcija fizičke i matematičke literature, 1987. – 160 str.
3. Erugin N.P. Knjiga za čitanje o opštem toku diferencijalnih jednačina. – Minsk: Nauka i tehnologija, 1979. – 744 str.
4. .Časopis "Potencijal" novembar 2007. br. 11
5. “Algebra i principi analize” 11. razred S.M. Nikolsky, M.K. Potapov i drugi.
6. “Algebra i matematička analiza” N.Ya. Vilenkin et al.
7. "Matematika" V.T. Lisichkin, I.L. Solovejčik, 1991

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Fizičko značenje izvedenice. Zadaci!

Fizičko značenje derivat. Jedinstveni državni ispit iz matematike uključuje grupu zadataka za rješavanje za koje je potrebno poznavanje i razumijevanje fizičkog značenja izvodnice. Konkretno, postoje problemi u kojima je dat zakon gibanja određene tačke (objekta), izražen jednačinom, a traži se da se pronađe njena brzina u određenom trenutku kretanja, odnosno vremenu nakon kojeg je predmet će postići određenu zadatu brzinu. Zadaci su vrlo jednostavni, mogu se riješiti u jednoj akciji. dakle:

Neka je zadan zakon kretanja materijalne tačke x (t) duž koordinatne ose, gde je x koordinata pokretne tačke, t vreme.

Brzina u određenom trenutku vremena je derivacija koordinate u odnosu na vrijeme. Ovo je mehaničko značenje izvedenice.

Isto tako, ubrzanje je derivacija brzine u odnosu na vrijeme:

Dakle, fizičko značenje derivacije je brzina. To može biti brzina kretanja, brzina promjene procesa (na primjer, rast bakterija), brzina rada (i tako dalje, postoji mnogo primijenjenih problema).

Osim toga, morate znati tablicu derivacije (treba je znati baš kao tablicu množenja) i pravila diferencijacije. Naime, za rješavanje navedenih problema potrebno je poznavanje prvih šest izvedenica (vidi tabelu):

x (t) = t 2 – 7t – 20

gdje je x udaljenost od referentne točke u metrima, t je vrijeme u sekundama, mjereno od početka kretanja. Pronađite njegovu brzinu (u metrima u sekundi) u vremenu t = 5 s.

Fizičko značenje derivata je brzina (brzina kretanja, brzina promjene procesa, brzina rada itd.)

Nađimo zakon promjene brzine: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

Materijalna tačka se kreće pravolinijski prema zakonu x (t) = 6t 2 – 48t + 17, gdje je x- udaljenost od referentne tačke u metrima, t- vrijeme u sekundama mjereno od početka pokreta. Pronađite njegovu brzinu (u metrima u sekundi) u vremenu t = 9 s.

Materijalna tačka se kreće pravolinijski prema zakonu x (t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, pri čemu je x- udaljenost od referentne tačke u metrima, t- vrijeme u sekundama mjereno od početka pokreta. Pronađite njegovu brzinu (u metrima u sekundi) u vremenu t = 6 s.

Materijalna tačka se kreće pravolinijski u skladu sa zakonom

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

Gdje x- udaljenost od referentne tačke u metrima, t- vrijeme u sekundama mjereno od početka pokreta. Pronađite njegovu brzinu (u metrima u sekundi) u vremenu t = 3 s.

Materijalna tačka se kreće pravolinijski u skladu sa zakonom

x(t) = (1/6)t 2 + 5t + 28

gdje je x udaljenost od referentne točke u metrima, t je vrijeme u sekundama, mjereno od početka kretanja. U kom trenutku (u sekundama) je njegova brzina bila jednaka 6 m/s?

Nađimo zakon promjene brzine:

Da biste saznali u kom trenutku t brzina je bila 3 m/s, potrebno je riješiti jednačinu:

Materijalna tačka se kreće pravolinijski prema zakonu x (t) = t 2 – 13t + 23, pri čemu je x- udaljenost od referentne tačke u metrima, t- vrijeme u sekundama mjereno od početka pokreta. U kom trenutku (u sekundama) je njegova brzina bila jednaka 3 m/s?

Materijalna tačka se kreće pravolinijski u skladu sa zakonom

x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3

Gdje x- udaljenost od referentne tačke u metrima, t- vrijeme u sekundama mjereno od početka pokreta. U kom trenutku (u sekundama) je njegova brzina bila jednaka 2 m/s?

Napominjem da se na Jedinstvenom državnom ispitu ne treba fokusirati samo na ovu vrstu zadataka. Oni mogu potpuno neočekivano uvesti probleme koji su suprotni od predstavljenih. Kada se zada zakon promjene brzine i pitanje će biti pronalaženje zakona kretanja.

Savjet: u ovom slučaju morate pronaći integral funkcije brzine (ovo je također problem u jednom koraku). Ako trebate pronaći udaljenost prijeđenu u određenom trenutku, morate zamijeniti vrijeme u rezultirajuću jednadžbu i izračunati udaljenost. Međutim, analiziraćemo i takve probleme, nemojte to propustiti! Želim ti uspjeh!

matematikalegko.ru

Algebra i počeci matematička analiza, 11. razred (S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin) 2009.

Strana br. 094.

udžbenik:

OCR verzija stranice iz udžbenika (tekst stranice se nalazi iznad):

Kao što slijedi iz problema razmatranih na početku ovog paragrafa, tačne su sljedeće tvrdnje:

1. Ako je, tokom pravolinijskog kretanja, putanja s kojom prelazi tačka funkcija vremena t, tj. s = f(t), tada je brzina tačke derivacija putanje u odnosu na vrijeme, tj. t) =

Ova činjenica izražava mehaničko značenje izvedenice.

2. Ako se u tački x 0 povuče tangenta na graf funkcije y = f (jc), tada je broj f"(xo) tangenta ugla a između ove tangente i pozitivnog smjera ose Ox , tj. /"(x 0) =

Tga. Ovaj ugao se naziva tangentni ugao.

Ova činjenica izražava geometrijsko značenje derivat.

PRIMJER 3. Nađimo tangentu ugla nagiba tangente na grafik funkcije y = 0,5jc 2 - 2x + 4 u tački sa apscisom x = 0.

Nađimo derivaciju funkcije f(x) = 0.5jc 2 - 2x + 4 u bilo kojoj tački x, koristeći jednakost (2):

0,5 2 x - 2 = jc - 2.

Izračunajmo vrijednost ove derivacije u tački x = 0:

Stoga je tga = -2. Grafikon x funkcije y = /(jc) i tangenta na njen graf u tački sa apscisom jc = 0 prikazani su na slici 95.

4.1 Neka se tačka kreće pravolinijski prema zakonu s = t 2. Nađi:

a) vremenski prirast D£ u vremenskom intervalu od t x = 1 do £ 2 - 2;

b) prirast putanje As tokom vremenskog perioda od t x = 1 do t 2 = 2;

V) prosječna brzina u vremenskom intervalu od t x = 1 do t 2 = 2.

4.2 U zadatku 4.1 pronađite:

b) prosječna brzina u vremenskom intervalu od t do t + At;

c) trenutnu brzinu u trenutku t;

d) trenutnu brzinu u trenutku t = 1.

4.3 Neka se tačka kreće pravolinijski prema zakonu:

1) s = 3t + 5; 2) s = t 2 - bt.

a) povećanje putanje As tokom vremenskog perioda od t do t + At;

udžbenik: Algebra i početak matematičke analize. 11. razred: vaspitni. za opšte obrazovanje institucije: osnovne i profilne. nivoi / [S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin]. - 8. izd. - M.: Obrazovanje, 2009. - 464 str.: ilustr.

Tačka se kreće pravolinijski prema zakonu S = t 4 +2t (S - u metrima, t- u sekundi). Pronađite njegovo prosječno ubrzanje u intervalu između trenutaka t 1 = 5 s, t 2 = 7 s, kao i njegovo pravo ubrzanje u ovom trenutku t 3 = 6 s.

Rješenje.

1. Pronađite brzinu tačke kao derivaciju putanje S u odnosu na vrijeme t, one.

2. Zamjenom umjesto t njegovim vrijednostima t 1 = 5 s i t 2 = 7 s, nalazimo brzine:

V 1 = 4 5 3 + 2 = 502 m/s; V 2 = 4 7 3 + 2 = 1374 m/s.

3. Odredite prirast brzine ΔV za vrijeme Δt = 7 - 5 =2 s:

ΔV = V 2 - V 1= 1374 - 502 = 872 m/s.

4. Dakle, prosječno ubrzanje tačke će biti jednako

5. Odrediti pravo značenje ubrzanje tačke, uzimamo derivaciju brzine s obzirom na vrijeme:

6. Zamjena umjesto toga t vrijednost t 3 = 6 s, u ovom trenutku dobijamo ubrzanje

a av =12-6 3 =432 m/s 2 .

Krivolinijsko kretanje. Tokom krivolinijskog kretanja, brzina tačke se mijenja po veličini i smjeru.

Hajde da zamislimo poentu M, koji se tokom vremena Δt, krećući se po nekoj krivolinijskoj putanji, pomjerio u poziciju M 1(Sl. 6).

Vektor povećanja (promjene) brzine ΔV će

Za da biste pronašli vektor ΔV, pomerite vektor V 1 u tačku M i konstruisati trougao brzine. Odredimo vektor prosječnog ubrzanja:

Vector a Wed je paralelan vektoru ΔV, budući da dijeljenje vektora skalarnom veličinom ne mijenja smjer vektora. Pravi vektor ubrzanja je granica do koje omjer vektora brzine i odgovarajućeg vremenskog intervala Δt teži nuli, tj.

Ova granica se naziva vektorski izvod.

dakle, pravo ubrzanje tačke tokom krivolinijskog kretanja jednako je vektorskom izvodu u odnosu na brzinu.

Od sl. 6 to je jasno vektor ubrzanja pri krivolinijskom kretanju je uvijek usmjeren prema konkavnosti putanje.

Radi praktičnosti proračuna, ubrzanje se razlaže na dvije komponente na putanju kretanja: duž tangente, koja se naziva tangencijalno (tangencijalno) ubrzanje A, i duž normale, koja se zove normalno ubrzanje a n (slika 7).

U ovom slučaju, ukupno ubrzanje će biti jednako

Tangencijalno ubrzanje poklapa se u smjeru sa brzinom tačke ili je suprotno njoj. Karakterizira promjenu brzine i prema tome se određuje formulom

Normalno ubrzanje je okomito na smjer brzine tačke, a njegova numerička vrijednost određena je formulom

gdje je r - radijus zakrivljenosti putanje u tački koja se razmatra.

Kako su tangencijalno i normalno ubrzanje međusobno okomite, vrijednost ukupnog ubrzanja određuje se formulom

i njegov pravac

Ako , tada su tangencijalni vektori ubrzanja i brzine usmjereni u jednom smjeru i kretanje će biti ubrzano.

Ako , tada je tangencijalni vektor ubrzanja usmjeren u smjeru suprotnom od vektora brzine, a kretanje će biti sporo.

Vektor normalnog ubrzanja je uvijek usmjeren prema centru zakrivljenosti, zbog čega se naziva centripetalnim.

Fizičko značenje izvedenice. Jedinstveni državni ispit iz matematike uključuje grupu zadataka za rješavanje za koje je potrebno poznavanje i razumijevanje fizičkog značenja izvodnice. Konkretno, postoje problemi u kojima je dat zakon gibanja određene tačke (objekta), izražen jednačinom, a traži se da se pronađe njena brzina u određenom trenutku kretanja, odnosno vremenu nakon kojeg je predmet će postići određenu zadatu brzinu.Zadaci su vrlo jednostavni, mogu se riješiti u jednoj akciji. dakle:

Neka je zadan zakon kretanja materijalne tačke x (t) duž koordinatne ose, gde je x koordinata pokretne tačke, t vreme.

Brzina u određenom trenutku vremena je derivacija koordinate u odnosu na vrijeme. Ovo je mehaničko značenje izvedenice.

Isto tako, ubrzanje je derivacija brzine u odnosu na vrijeme:

Dakle, fizičko značenje derivacije je brzina. To može biti brzina kretanja, brzina promjene procesa (na primjer, rast bakterija), brzina rada (i tako dalje, postoji mnogo primijenjenih problema).

Osim toga, morate znati tablicu derivacije (treba je znati baš kao tablicu množenja) i pravila diferencijacije. Naime, za rješavanje navedenih problema potrebno je poznavanje prvih šest izvedenica (vidi tabelu):

Razmotrimo zadatke:

x (t) = t 2 – 7t – 20

gdje je x t vrijeme u sekundama mjereno od početka kretanja. Pronađite njegovu brzinu (u metrima u sekundi) u vremenu t = 5 s.

Fizičko značenje derivata je brzina (brzina kretanja, brzina promjene procesa, brzina rada itd.)

Nađimo zakon promjene brzine: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

Kod t = 5 imamo:

Odgovor: 3

Odlučite sami:

Materijalna tačka se kreće pravolinijski prema zakonu x (t) = 6t 2 – 48t + 17, gdje je x- udaljenost od referentne tačke u metrima, t- vrijeme u sekundama mjereno od početka pokreta. Pronađite njegovu brzinu (u metrima u sekundi) u vremenu t = 9 s.

Materijalna tačka se kreće pravolinijski prema zakonu x (t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, gdje xt- vrijeme u sekundama mjereno od početka pokreta. Pronađite njegovu brzinu (u metrima u sekundi) u vremenu t = 6 s.

Materijalna tačka se kreće pravolinijski u skladu sa zakonom

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

Gdje x- udaljenost od referentne tačke u metrima,t- vrijeme u sekundama mjereno od početka pokreta. Pronađite njegovu brzinu (u metrima u sekundi) u vremenu t = 3 s.

Materijalna tačka se kreće pravolinijski u skladu sa zakonom

x(t) = (1/6)t 2 + 5t + 28

gdje je x udaljenost od referentne točke u metrima, t je vrijeme u sekundama, mjereno od početka kretanja. U kom trenutku (u sekundama) je njegova brzina bila jednaka 6 m/s?

Nađimo zakon promjene brzine:

Da biste saznali u kom trenutkutbrzina je bila 3 m/s, potrebno je riješiti jednačinu:

Odgovor: 3

Odlučite sami:

Materijalna tačka se kreće pravolinijski prema zakonu x (t) = t 2 – 13t + 23, pri čemu je x- udaljenost od referentne tačke u metrima, t- vrijeme u sekundama mjereno od početka pokreta. U kom trenutku (u sekundama) je njegova brzina bila jednaka 3 m/s?

Materijalna tačka se kreće pravolinijski u skladu sa zakonom

x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3

Gdje x- udaljenost od referentne tačke u metrima, t- vrijeme u sekundama mjereno od početka pokreta. U kom trenutku (u sekundama) je njegova brzina bila jednaka 2 m/s?

Napominjem da se na Jedinstvenom državnom ispitu ne treba fokusirati samo na ovu vrstu zadataka. Oni mogu potpuno neočekivano uvesti probleme koji su suprotni od predstavljenih. Kada se zada zakon promjene brzine i pitanje će biti pronalaženje zakona kretanja.

Savjet: u ovom slučaju morate pronaći integral funkcije brzine (ovo je također problem u jednom koraku). Ako trebate pronaći udaljenost prijeđenu u određenom trenutku, morate zamijeniti vrijeme u rezultirajuću jednadžbu i izračunati udaljenost. Međutim, analiziraćemo i takve probleme, nemojte to propustiti!Želim ti uspjeh!

S poštovanjem, Alexander Krutitskikh.

P.S: Bio bih vam zahvalan ako mi kažete nešto o ovoj stranici na društvenim mrežama.