Dom / Šuga/ “Istorija nastanka kvadratnih jednačina. Istorija razvoja kvadratnih jednačina

“Istorija nastanka kvadratnih jednačina. Istorija razvoja kvadratnih jednačina

Početna > Prijavi

Opštinska obrazovna ustanova Srednja škola imena Heroja Sovjetski savez
Sotnikova A.T. i Shepeleva N. G. selo Uritskoye

Izvještaj na temu:

„Istorija porekla

kvadratne jednačine»

Pripremljen od:Izotova Julija,
Ampleeva Elena,
Šepelev Nikolaj,

Dyachenko Yuri.

Oh matematika. Vekovima si prekriven slavom,

Svjetlo svih zemaljskih svjetiljki.

Ti si veličanstvena kraljica

Nije ni čudo što ga je Gauss krstio.

Strog, logičan, veličanstven,

Vitka u letu, kao strijela,

Tvoja neuvenljiva slava

Tokom vekova, ona je stekla besmrtnost.

Hvalimo ljudski um,

Njegovi poslovi magične ruke,

Nada ovog veka,

Kraljica svih zemaljskih nauka.

Želimo vam reći danas

Istorija porekla

Šta svaki student treba da zna -

Istorija kvadratnih jednačina.

Euklid, u 3. veku pre nove ere e. posvetio je cijelu drugu knjigu geometrijskoj algebri u svojim Elementima, gdje su svi potreban materijal za rješavanje kvadratnih jednačina.

Euklid (Eνκλειδηζ), starogrčki matematičar, autor prve teorijske rasprave o matematici koja je stigla do nas

Znanje o Euklidu je izuzetno oskudno. Jedino što se može smatrati pouzdanim je da on naučna djelatnost odigrala se u Aleksandriji u 3. veku pre nove ere. e. Euklid je prvi matematičar Aleksandrijske škole. Njegovo glavno djelo “Principia” (u latiniziranom obliku – “Elementi”) sadrži prikaz planimetrije, stereometrije i niz pitanja iz teorije brojeva; u njemu je sažeo prethodni razvoj grčke matematike i stvorio temelj dalji razvoj matematike. Heron - Grčki matematičar i inženjer prvi u Grčkoj u 1. veku nove ere. daje čist algebarska metoda rješavanje kvadratne jednačine.

Heron od Aleksandrije; Čaplja, 1. vek n. e., grčki mehaničar i matematičar. Vrijeme njegovog života je neizvjesno, poznato je samo da je citirao Arhimeda (koji je umro 212. pne), a njega samog citira Papus (oko 300. godine nove ere). Trenutno preovlađuje mišljenje da je živio u 1. vijeku. n. e. Studirao je geometriju, mehaniku, hidrostatiku, optiku; izmislio prototip parna mašina i precizni alati za nivelisanje. Najpopularnije su bile automatske mašine kao što su automatsko kazalište, fontane itd. G. je opisao teodolit, oslanjajući se na zakone statike i kinetike, te dao opis poluge, bloka, zavrtnja i vojnih vozila. U optici je formulisao zakone refleksije svjetlosti, u matematici - metode za mjerenje najvažnijih geometrijski oblici. Glavna G. dela su Ietrika, Pneumatika, Automatopoetika, Mehanika (francuski; delo je sačuvano u potpunosti na arapskom), Katoptika (nauka o ogledalima; sačuvana samo u latinskom prevodu) i dr. G. je koristio dostignuća svog prethodnici: Euklid, Arhimed, Straton od Lampsaka. Njegov stil je jednostavan i jasan, iako je ponekad previše lakonski ili nestrukturiran. Interesovanje za G. dela javlja se u 3. veku. n. e. Grčki, a zatim vizantijski i arapski studenti komentarisali su i prevodili njegova djela.

Diofant- grčki naučnik u 3. veku nove ere, ne pribegavajući geometriji, rešio je neke kvadratne jednačine čisto algebarski, i zapisao samu jednačinu i njeno rešenje u simboličkom obliku

“Reći ću vam kako je grčki matematičar Diofant sastavio i riješio kvadratne jednačine. Evo, na primjer, jednog od njegovih zadataka:“Pronađi dva broja znajući da je njihov zbir 20, a proizvod 96.”

1. Iz uslova zadatka proizlazi da traženi brojevi nisu jednaki, jer da su jednaki, onda njihov proizvod ne bi bio 96, već 100.

2. Dakle jedan od njih će biti više od polovine njihovog iznosa, tj. 10 + x, drugi je manji, tj. 10 – x.

3. Razlika između njih je 2x.

4. Otuda jednačina (10 + x) * (10 – x) = 96

100 – x 2 = 96 x 2 – 4 = 0

5. Odgovor x = 2. Jedan od brojeva koje tražimo je 12,
ostalo - 8. Rešenje x = - 2 ne postoji za Diofanta, jer Grčka matematika je znala samo pozitivne brojeve.” Diofant je veoma znao da odluči složene jednačine, koristio je slovne oznake za nepoznate, uveo poseban simbol za proračune i koristio skraćenice riječi. Bhaskare – Akaria- Indijski matematičar u 12. veku nove ere. otkrio opću metodu za rješavanje kvadratnih jednačina.

Pogledajmo jedan od problema indijskih matematičara, na primjer, problem Bhaskare:

„Jato majmuna se zabavlja: osmina njihovog ukupnog broja na trgu se brčka u šumi, preostalih dvanaest vrište na vrhu brda. Reci mi koliko ima majmuna?”

Komentarišući problem, želio bih reći da problem odgovara jednačini (x/8) 2 + 12 = x. Bhaskara piše kao x 2 – 64x = - 768. Dodavanjem kvadrata od 32 na obje strane, jednačina postaje:

x 2 – 64 x + 32 2 = - 768 + 1024

(x – 32) 2 = 256

Nakon ekstrakcije kvadratni korijen dobijamo: x – 32 =16.

„U ovom slučaju“, kaže Bhaskara, „negativne jedinice prvog dijela su takve da su jedinice drugog dijela manje od njih, pa se potonji mogu smatrati i pozitivnim i negativnim, i dobijamo dvostruku vrijednost nepoznato: 48 i 16.”

Neophodno je zaključiti: Bhaskarino rješenje pokazuje da je znao da su korijeni kvadratnih jednadžbi dvovrijedni.

Predlaže se rješavanje problema drevne indijske Bhaskare:

“Kvadrat od petine majmuna, smanjen za tri, sakrio se u pećini, jedan majmun se popeo na drvo i bio je vidljiv. Koliko je majmuna bilo? Treba napomenuti da se ovaj problem može riješiti na elementaran način, svodeći se na kvadratnu jednačinu.

Al - Khorezmi - arapski učenjak koji je 825. godine napisao knjigu “Knjiga obnove i opozicije”. Ovo je bio prvi udžbenik algebre na svijetu. Dao je i šest vrsta kvadratnih jednačina i za svaku od šest jednačina formulisao riječima posebno pravilo za rješavanje. U Horezmijevoj raspravi postoji 6 vrsta jednačina, koje ih izražavaju na sljedeći način:

1. “Kvadrati su jednaki korijenima”, tj. ah 2 = in.

2. „Kvadrati su jednaki brojevima“, tj. sjekira 2 = c.

3. “Korijeni su jednaki broju”, tj. ah = s.

4. “Kvadrati i brojevi su jednaki korijenima”, tj. ax 2 + c = in.

5. “Kvadrati i korijeni su jednaki brojevima”, tj. ax 2 + inx = s.

6. “Korijeni i brojevi su jednaki kvadratima”, tj. u + c = ax 2.

Hajde da analiziramo problem al-Khorezmija, koji se svodi na rješavanje kvadratne jednadžbe. "Kvadrat i broj jednaki su korijenima." Na primjer, jedan kvadrat i broj 21 jednaki su 10 korijena istog kvadrata, tj. pitanje je, šta se formira od kvadrata, koji, nakon što mu se doda 21, postaje jednak 10 korijena istog kvadrata?

I Koristeći 4. al-Khorezmi formulu, učenici treba da napišu: x 2 + 21 = 10x

Francois Viet - Francuski matematičar, formulisao je i dokazao teoremu o zbiru i proizvodu korena date kvadratne jednačine.

Umjetnost koju izlažem je nova, ili je barem toliko iskvarena vremenom i izobličena utjecajem varvara, da sam smatrao potrebnim da joj dam potpuno novi izgled.

Francois Viet

Iet Francois (1540-13.12. 1603) rođen je u gradu Fontenay-le-Comte u provinciji Poitou, nedaleko od čuvene tvrđave La Rochelle. Nakon što je stekao diplomu prava, od svoje devetnaeste godine uspješno se bavio advokaturom u svom rodnom gradu. Kao advokat, Viet je uživao autoritet i poštovanje među stanovništvom. Bio je široko obrazovan čovjek. Znao astronomiju i matematiku i sve ostalo slobodno vrijeme dao ovim naukama.

Viethova glavna strast bila je matematika. Duboko je proučavao djela klasika Arhimeda i Diofanta, najbližih prethodnika Kardana, Bombellija, Stevina i drugih. Viet im se ne samo divio, već je u njima vidio i veliku manu, a to je bilo teško razumijevanje zbog verbalne simbolike: Skoro sve radnje i znakovi bili su zapisani riječima, nije bilo ni nagoveštaja onih zgodnih, gotovo automatskih pravila koja mi sada koristiti. Bilo je nemoguće snimiti i stoga započeti opšti pogled algebarska poređenja ili neki drugi algebarski izrazi. Svaka vrsta jednadžbe sa numeričkim koeficijentima rješavana je prema posebnom pravilu. Stoga je bilo potrebno dokazati da postoje takve opće akcije na sve brojeve koje ne zavise od samih brojeva. Viet i njegovi sljedbenici su ustanovili da nije bitno da li je broj u pitanju broj objekata ili dužina segmenta. Glavna stvar je da s ovim brojevima možete izvoditi algebarske operacije i, kao rezultat, opet dobiti brojeve iste vrste. To znači da se mogu označiti nekim apstraktnim znakovima. Viet je upravo to uradio. On ne samo da je uveo svoj doslovni račun, već je napravio fundamentalno novo otkriće, postavljajući sebi cilj da proučava ne brojeve, već operacije nad njima. Ova metoda označavanja omogućila je Viethu da napravi važna otkrića prilikom proučavanja općih svojstava algebarskih jednačina. Nije slučajno što se zbog toga Vieta naziva „ocem“ algebre, osnivačem slovnih simbola.

Informativni resursi:

http :// som. fio. ru/ Resursi/ Karpuhina/2003/12/ Complimented%20 rad/ Koncert/ index1. htm

http :// stranice. marsu. ru/ iac/ škola/ s4/ stranica74. html

1.1. Iz istorije nastanka kvadratnih jednačina

Algebra je nastala u vezi s rješavanjem raznih problema korištenjem jednadžbi. Tipično, problemi zahtijevaju pronalaženje jedne ili više nepoznanica, uz poznavanje rezultata nekih radnji koje se izvode na željenim i datim količinama. Takvi problemi se svode na rješavanje jedne ili sistema od više jednačina, na pronalaženje traženih pomoću algebarskih operacija nad datim veličinama. Algebra se proučava opšta svojstva akcije na količine.

Neke algebarske tehnike za rješavanje linearnih i kvadratnih jednadžbi bile su poznate prije 4000 godina u Drevni Babilon.

Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu

Potreba za rješavanjem jednačina ne samo prvog, već i drugog stepena, još u antičko doba bila je uzrokovana potrebom rješavanja problema vezanih za pronalaženje površina zemljišnih parcela i iskopnih radova vojnog karaktera, kao i kao i sa razvojem same astronomije i matematike. Babilonci su bili u stanju da reše kvadratne jednačine oko 2000. godine pre nove ere. Koristeći modernu algebarsku notaciju, možemo reći da u njihovim klinastim tekstovima, osim nepotpunih, postoje i, na primjer, potpune kvadratne jednadžbe:

Pravilo za rješavanje ovih jednačina, postavljeno u babilonskim tekstovima, u suštini se poklapa sa savremenim, ali nije poznato kako su Babilonci došli do ovog pravila. Gotovo svi do sada pronađeni klinopisni tekstovi daju samo probleme s rješenjima izloženim u obliku recepata, bez naznaka kako su pronađeni. Uprkos visoki nivo razvoj algebre u Babilonu, klinastim tekstovima nedostaje koncept negativnog broja i opšte metode rješavanje kvadratnih jednačina.

Diofantova aritmetika ne sadrži sistematski prikaz algebre, ali sadrži sistematski niz zadataka, praćenih objašnjenjima i rešavanih konstruisanjem jednačina različitih stepena.

Prilikom sastavljanja jednačina, Diofant vješto bira nepoznanice kako bi pojednostavio rješenje.

Evo, na primjer, jednog od njegovih zadataka.

Zadatak 2. “Pronađi dva broja, znajući da je njihov zbir 20, a proizvod 96.”

Diofant obrazlaže ovako: iz uslova zadatka proizilazi da traženi brojevi nisu jednaki, jer da su jednaki, onda njihov proizvod ne bi bio jednak 96, već 100. Dakle, jedan od njih će biti veći od polovina njihovog zbira, tj. .10 + x. Drugi je manji, tj. 10 - x. Razlika između njih je 2x. Otuda jednačina:

(10+x)(10-x) =96,

Otuda je x = 2. Jedan od traženih brojeva je 12, drugi je 8. Rešenje x = - 2 ne postoji za Diofanta, pošto je grčka matematika poznavala samo pozitivne brojeve.

Ako ovaj problem riješite odabirom jednog od traženih brojeva kao nepoznatog, možete doći do rješenja jednadžbe:

Jasno je da biranjem polurazlike traženih brojeva kao nepoznate, Diofant pojednostavljuje rješenje; on uspijeva svesti problem na rješavanje nepotpune kvadratne jednačine.

Kvadratne jednadžbe u Indiji

Problemi o kvadratnim jednačinama nalaze se već u astronomskoj raspravi „Arijabhattiam“, koju je 499. godine sastavio indijski matematičar i astronom Aryabhatta. Još jedan indijski naučnik, Brahmagupta (7. vek), je izložio opšte pravilo rješenja kvadratnih jednadžbi svedena na jedan kanonski oblik:

ax 2 + bx = c, a> 0. (1)

U jednačini (1) koeficijenti mogu biti i negativni. Brahmaguptino pravilo je u suštini isto kao i naše.

Javni konkursi u rješavanju teških problema bili su uobičajeni u Indiji. Jedna od starih indijskih knjiga o takvim takmičenjima kaže sljedeće: „Kao što sunce obasjava zvijezde svojim sjajem, tako će učen čovjek zasjeniti svoju slavu na javnim skupovima predlažući i rješavajući algebarske probleme.” Zadaci su često bili obučeni poetsku formu.

Ovo je jedan od problema poznatog indijskog matematičara iz 12. veka. Bhaskars.

Bhaskarino rješenje ukazuje da je autor znao da su korijeni kvadratnih jednadžbi dvovrijedni.

Jednačina koja odgovara problemu 3 je:

Bhaskara piše pod maskom:

x 2 - 64x = - 768

i, da dovršimo lijevu stranu ove jednadžbe na kvadrat, dodamo 32 2 na obje strane, a zatim dobijemo:

x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x 1 = 16, x 2 = 48.

Al-Khwarizmijeve kvadratne jednadžbe

Al-Khwarizmijeva algebarska rasprava daje klasifikaciju linearnih i kvadratnih jednadžbi. Autor broji 6 vrsta jednačina, izražavajući ih na sljedeći način:

1) „Kvadrati su jednaki korijenima“, tj. ax 2 = bx.

2) „Kvadrati su jednaki brojevima“, tj. ax 2 = c.

3) “Korijeni su jednaki broju”, tj. ax = c.

4) „Kvadrati i brojevi su jednaki korijenima“, tj. ax 2 + c = bx.

5) „Kvadrati i korijeni su jednaki broju“, tj. ax 2 + bx = c.

6) „Korijeni i brojevi su jednaki kvadratima“, tj. bx + c == ax 2.

Za Al-Khwarizmija, koji je izbjegavao konzumaciju negativni brojevi, članovi svake od ovih jednačina su sabirci, a ne oduzimani. U ovom slučaju se očito ne uzimaju u obzir jednačine koje nemaju pozitivna rješenja. Autor postavlja metode za rješavanje ovih jednačina koristeći tehnike al-jabr i al-mukabal. Njegova odluka se, naravno, ne poklapa u potpunosti s našom. Da ne spominjemo da je to čisto retoričko, treba napomenuti, na primjer, da Al-Khorezmi, kao i svi matematičari do 17. stoljeća, prilikom rješavanja nepotpune kvadratne jednačine prvog tipa, ne uzima u obzir nulto rješenje, vjerovatno zato što u konkretnoj praksi to nije bitno u zadacima. Kada rješava potpune kvadratne jednadžbe, Al-Khwarizmi postavlja pravila za njihovo rješavanje koristeći određene numeričke primjere, a zatim i njihove geometrijske dokaze.

Dajemo primjer.

Zadatak 4. „Kvadrat i broj 21 jednaki su 10 korijena. Nađi korijen” (što znači korijen jednačine x 2 + 21 = 10x).

Rješenje: podijelite broj korijena na pola, dobijete 5, pomnožite 5 sa sobom, oduzmete 21 od proizvoda, ostaje 4. Uzmite korijen iz 4, dobijete 2. Oduzmite 2 od 5, dobijete 3, ovo će biti korijen koji tražite. Ili dodajte 2 do 5, što daje 7, ovo je također korijen.

Al-Khorezmijeva rasprava je prva knjiga koja je došla do nas, a koja sistematski postavlja klasifikaciju kvadratnih jednačina i daje formule za njihovo rješavanje.

Kvadratne jednačine u Evropi u 12.-17. veku.

Forme za rješavanje kvadratnih jednačina po modelu Al-Khwarizmija u Evropi su prvi put izložene u "Knjizi Abacus", napisanoj 1202. godine. Italijanski matematičar Leonard Fibonači. Autor je samostalno razvio neke nove algebarske primjere rješavanja problema i prvi u Europi pristupio uvođenju negativnih brojeva.

Ova knjiga je doprinijela širenju algebarskog znanja ne samo u Italiji, već iu Njemačkoj, Francuskoj i drugim evropskim zemljama. Mnogi problemi iz ove knjige korišćeni su u gotovo svim evropskim udžbenicima 14.-17. Opšte pravilo za rješavanje kvadratnih jednačina svedenih na jedan kanonski oblik x 2 + bh = s za sve moguće kombinacije predznaka i koeficijenata b, c formulirao je u Evropi 1544. godine M. Stiefel.

Izvođenje formule za rješavanje kvadratne jednadžbe u općem obliku dostupno je od Viètea, ali Viète je prepoznao samo pozitivne korijene. Italijanski matematičari Tartaglia, Cardano, Bombelli bili su među prvima u 16. veku. Osim pozitivnih, u obzir se uzimaju i negativni korijeni. Tek u 17. veku. zahvaljujući radovima Girarda, Descartesa, Newtona i drugih naučnika, metoda rješavanja kvadratnih jednačina uzima moderan izgled..

Poreklo algebarskih metoda za rešavanje praktičnih problema povezano je sa naukom antički svijet. Kao što je poznato iz istorije matematike, značajan deo matematičkih problema koje su rešavali egipatski, sumerski i vavilonski pisari i kalkulatori (XX-VI vek pre nove ere) bio je računske prirode. Međutim, i tada su se s vremena na vrijeme javljali problemi u kojima se željena vrijednost neke veličine specificirala određenim indirektnim uslovima koji su, sa naše moderne tačke gledišta, zahtijevali sastavljanje jednačine ili sistema jednačina. U početku su se za rješavanje takvih problema koristile aritmetičke metode. Nakon toga su se počeli formirati počeci algebarskih koncepata. Na primjer, babilonski kalkulatori su bili u stanju riješiti probleme koji se mogu smanjiti sa stanovišta moderna klasifikacija na jednačine drugog stepena. Stvorena je metoda za rješavanje riječnih zadataka, koja je kasnije poslužila kao osnova za izolaciju algebarske komponente i njeno samostalno proučavanje.

Ovo istraživanje je sprovedeno u drugoj eri, prvo od strane arapskih matematičara (VI-X vek nove ere), koji su identifikovali karakteristične radnje pomoću kojih su jednačine svedene na standardni pogled dovodeći slične članove, prenoseći članove iz jednog dijela jednačine u drugi s promjenom predznaka. A zatim od evropskih matematičara renesanse, koji su kao rezultat dugog traganja stvorili jezik moderne algebre, upotrebu slova, uvođenje simbola za aritmetičke operacije, zagrade itd. Na prelazu iz 16. 17. vijeka. algebra kao poseban dio matematike, sa svojim predmetom, metodom i područjima primjene, već je formirana. Njegov dalji razvoj, sve do našeg vremena, sastojao se od poboljšanja metoda, proširenja obima primjene, razjašnjavanja pojmova i njihovih veza sa pojmovima drugih grana matematike.

Dakle, s obzirom na važnost i obimnost materijala vezanog za pojam jednačine, njeno proučavanje u savremenim metodama matematike povezano je sa tri glavna područja njenog nastanka i funkcionisanja.

Iz istorije kvadratnih jednačina Autor: učenica 9. „A“ razreda Svetlana Radčenko Rukovodilac: Alabugina I.A. nastavnik matematike MBOU „Srednja škola br. 5 Guryevsk“ Kemerovska oblast Predmetna oblast prezentacije: matematika Napravljeno da pomogne nastavniku Ukupno 20 slajdova Sadržaj Uvod………………………………………………………… …………… ……………3 Iz istorije nastanka kvadratnih jednadžbi Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu…………………………………………….4 Kvadratne jednačine u Indiji………………………… …………………… ……...5 Kvadratne jednadžbe u Al-Khwarizmi…………………………………6 Kako je Diofant sastavio i riješio kvadratne jednadžbe…………… ..... 7 Kvadratne jednadžbe u Evropi Xll – XVll st.………………………………8 3. Kvadratne jednadžbe danas………………………………………………………… ……………… .10 Metodologija proučavanja kvadratnih jednačina………………………………………………11 10 načina rješavanja kvadratnih jednačina…………………………….12 Algoritam za rješavanje nepotpune kvadratne jednadžbe………… ………………13 Algoritam za rješavanje potpune kvadratne jednadžbe…………………………..14 Rješavanje datih kvadratnih jednačina……………………………………… ……15 4. Praktične primjene kvadratnih jednadžbi za rješavanje primijenjenih problema…………………………………………………………………………………………….16 5. Zaključak . …………………………………………………………………………………………………18 1. 2. 6. Spisak korištenih referenci ……… ………………………………………….19 2 Uvod Smatrajte nesrećnim taj dan ili sat u kojem niste naučili ništa novo, niste ništa dodali svom obrazovanju. Jan Amos Komenski 3 Kvadratne jednadžbe su temelj na kojem počiva veličanstveno zdanje algebre. Široko se koriste u rješavanju trigonometrijskih, eksponencijalnih, logaritamskih, iracionalnih i transcendentalnih jednačina i nejednačina. Kvadratne jednačine zauzimaju vodeće mjesto u školskom kursu algebre. Mnogo vremena u školskom kursu matematike posvećeno je njihovom učenju. U osnovi, kvadratne jednadžbe služe specifičnim praktičnim svrhama. Većina problema o prostornim oblicima i kvantitativnim odnosima u stvarnom svijetu svodi se na rješavanje razne vrste jednadžbe, uključujući kvadratne. Savladavajući načine za njihovo rješavanje, ljudi pronalaze odgovore na razna pitanja iz nauke i tehnologije. Iz istorije nastanka kvadratnih jednačina Drevni Babilon: već oko 2000 godina pre nove ere, Babilonci su znali kako da rešavaju kvadratne jednačine. Poznate su metode za rješavanje potpunih i nepotpunih kvadratnih jednadžbi. Na primjer, u Drevnom Babilonu su riješene sljedeće kvadratne jednačine: 4 Indija Problemi riješeni kvadratnim jednadžbama nalaze se u raspravi o astronomiji "Aryabhattiam", koju je napisao indijski astronom i matematičar Aryabhatta 499. godine. Drugi indijski naučnik, Brahmagupta, iznio je univerzalno pravilo za rješavanje kvadratne jednačine svedene na njen kanonski oblik: ax2+bx=c; Štaviše, pretpostavljeno je da svi koeficijenti u njemu, osim "a", mogu biti negativni. Pravilo koje je formulisao naučnik u suštini se poklapa sa savremenim. 5 Kvadratne jednadžbe u Al-Khorezmi: U algebarskoj raspravi Al-Khorezmi, data je klasifikacija linearnih i kvadratnih jednadžbi. Autor broji 6 vrsta jednačina, izražavajući ih na sljedeći način: „Kvadrati su jednaki korijenima“, tj. ax2 = bx.; „Kvadrati su jednaki brojevima“, tj. ax2 = c; “Korijeni su jednaki broju”, tj. ax = c; "Kvadrati i brojevi su jednaki korijenima", tj. ax2 + c = bx; „Kvadrati i korijeni su jednaki broju“, tj. ax2 + bx = c; “Korijeni i brojevi su jednaki kvadratima”, tj. bx + c = ax2. 6 Kako je Diofant sastavljao i rešavao kvadratne jednačine: Jedan od najunikatnijih starogrčkih matematičara bio je Diofant iz Aleksandrije. Ni godina rođenja ni datum Diofantove smrti nisu razjašnjeni; Veruje se da je živeo u 3. veku. AD Od Diofantovih djela najvažnije je Aritmetika, od kojih je do danas sačuvano 13 knjiga samo 6. Diofantova aritmetika ne sadrži sistematski prikaz algebre, ali sadrži niz problema, praćenih objašnjenjima i rješavanih konstruiranjem jednačina različitih stupnjeva. Prilikom sastavljanja jednačina, Diofant vješto bira nepoznanice kako bi pojednostavio rješenje. 7 Kvadratne jednačine u Evropi u 12.-17. veku: Italijanski matematičar Leonard Fibonači samostalno je razvio neke nove algebarske primere rešavanja problema i bio je prvi u Evropi koji je uveo negativne brojeve. Opšte pravilo za rješavanje kvadratnih jednačina svedenih na jedan kanonski oblik x2 + bh = s za sve moguće kombinacije predznaka i koeficijenata b, c formulisao je u Evropi 1544. Michael Stiefel. 8 Francois Viet Francuski matematičar F. Viet (1540-1603), uveo sistem algebarskih simbola, razvio osnove elementarne algebre. Bio je jedan od prvih koji je brojeve označavao slovima, što je značajno razvilo teoriju jednačina. Izvođenje formule za rješavanje kvadratne jednadžbe u općem obliku dostupno je od Viètea, ali Viète je prepoznao samo pozitivne korijene. 9 Kvadratne jednačine danas Sposobnost rješavanja kvadratnih jednačina služi kao osnova za rješavanje drugih jednačina i njihovih sistema. Učenje rješavanja jednadžbi počinje s njihovim najjednostavnijim tipovima, a program određuje postupno gomilanje i njihovih vrsta i „fonda“ identičnih i ekvivalentnih transformacija, uz pomoć kojih možete svesti proizvoljnu jednadžbu na najjednostavniju. U tom pravcu treba graditi i proces razvoja generalizovanih tehnika za rešavanje jednačina u školskom kursu algebre. Na predmetu matematike u srednjoj školi, učenici se suočavaju sa novim klasama jednačina, sistema ili sa detaljnim proučavanjem već poznatih jednačina. posvećena metodama rješavanja kvadratnih jednačina, koje postaju poseban predmet proučavanja. Ovu temu karakteriše velika dubina prezentacija i bogatstvo veza uspostavljenih uz njegovu pomoć u nastavi, logička valjanost izlaganja. Stoga zauzima izuzetan položaj u nizu jednačina i nejednačina. Važna tačka u proučavanju kvadratnih jednačina je razmatranje Vietine teoreme, koja navodi postojanje veze između korena i koeficijenata redukovane kvadratne jednačine. Poteškoće savladavanja Vietine teoreme nastaju zbog nekoliko okolnosti. Prije svega, potrebno je uzeti u obzir razliku između direktne i inverzne teoreme. 11 10 načina rješavanja kvadratnih jednačina: Faktoriranje lijeve strane jednačine. Metoda za odabir cijelog kvadrata. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću formule. Rješavanje jednadžbi pomoću Vietine teoreme. Rješavanje jednadžbi metodom “bacanja” Osobine koeficijenata kvadratne jednačine. Grafičko rješenje kvadratne jednadžbe. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću šestara i ravnala. 12 Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću nomograma. Geometrijska metoda za rješavanje kvadratnih jednadžbi. Algoritam za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednačina 1) ako jednačina ima oblik ax2 = 0, tada ima jedan korijen x = 0; 2) ako jednačina ima oblik ax2 + bx = 0, tada se koristi metoda faktorizacije: x (ax + b) = 0; to znači ili x = 0 ili ax + b = 0. Kao rezultat, dobijamo dva korijena: x1 = 0; x2 = 3) ako jednačina ima oblik ax2 + c = 0, onda se transformira u oblik ax2 = - c, a zatim x2.= U slučaju kada je -< 0, уравнение х2 =- не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0, tj. - = m, gdje je m>0, jednadžba x2 = m ima dva korijena.Tako, nepotpuna kvadratna jednadžba može imati dva korijena, jedan korijen ili nijedan korijen. 13 Algoritam za rješavanje potpune kvadratne jednačine. To su jednadžbe oblika ax2 + bx + c = 0, gdje su a, b, c dati brojevi, a ≠ 0, x je nepoznanica. Svaka potpuna kvadratna jednadžba se može pretvoriti u oblik kako bi se odredio broj korijena kvadratne jednadžbe i pronašli ti korijeni. Razmatraju se sljedeći slučajevi rješavanja potpunih kvadratnih jednačina: D< 0, D = 0, D >0. 1. Ako je D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней. Так как D = 0, то данное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле. 3. Если D > 0, tada kvadratna jednadžba ax2 + bx + c = 0 ima dva korijena, koji se nalaze po formulama: ; 14 Rješenje reduciranih kvadratnih jednadžbi F. Vietin teorem: Zbir korijena redukovane kvadratne jednadžbe jednak je drugom koeficijentu uzetom sa suprotnim predznakom, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu. Drugim riječima, ako su x1 i x2 korijeni jednačine x2 +px + q = 0, tada je x1 + x2 = - p, x1 x2 = q. (*) Inverzna teorema Vietinoj teoremi: Ako formule (*) vrijede za brojeve x1, x2, p, q, tada su x1 i x2 korijeni jednadžbe x2 +px + q = 0. 15 Praktične primjene kvadratnih jednadžbi za rješavanje primijenjenih problema Bhaskar (1114-1185) - najveći indijski matematičar i astronom 12. stoljeća. Bio je na čelu astronomske opservatorije u Ujjainu. Bhaskara je napisao raspravu "Siddhanta-shiromani" ("Kruna učenja"), koja se sastoji od četiri dijela: "Lilavati" je posvećen aritmetici, "Bizhaganita" - algebri, "Goladhaya" - sferi, "Granhaganita" - teorija kretanja planeta. Bhaskara je dobio negativne korijene jednadžbi, iako je sumnjao u njihov značaj. Posjeduje jedan od najranijih dizajna vječnog motora. 16 Jedan od problema poznatog indijskog matematičara iz 12. vijeka. Bhaskara: Bhaskarino rješenje pokazuje da je autor znao da su korijeni kvadratnih jednadžbi dvovrijedni. 17 Zaključak Razvoj nauke o rješavanju kvadratnih jednačina prošao je dug i trnovit put. Tek nakon djela Stiefela, Viete, Tartaglie, Cardana, Bombellija, Girarda, Descartesa i Newtona, nauka o rješavanju kvadratnih jednačina poprimila je svoj moderni oblik. Značaj kvadratnih jednačina nije samo u eleganciji i kratkoći rješavanja problema, iako je i to vrlo važno. Jednako je važno da se kao rezultat upotrebe kvadratnih jednadžbi u rješavanju problema često otkrivaju novi detalji, mogu se napraviti zanimljive generalizacije i pojašnjenja, što sugerira analiza rezultirajućih formula i relacija. Proučavajući literaturu i internet resurse vezane za istoriju razvoja kvadratnih jednačina, zapitao sam se: „Šta je motivisalo naučnike koji su živeli u tako teškom vremenu da se bave naukom, čak i pod pretnjom smrću?“ Vjerovatno je, prije svega, radoznalost ljudskog uma, koja je ključ razvoja nauke. Pitanja o suštini svijeta, o mjestu čovjeka na ovom svijetu progone misli, radoznale, inteligentne ljude u svakom trenutku. Ljudi su oduvijek nastojali razumjeti sebe i svoje mjesto u svijetu. Pogledajte u sebe, možda vaša prirodna radoznalost pati jer ste se prepustili svakodnevici i lijenosti? Sudbine mnogih naučnika su 18 primjera koje treba slijediti. Nisu sva imena poznata i popularna. Razmislite o tome: kakav sam prema ljudima koji su mi bliski? Ali najvažnije je kako se osjećam o sebi, da li sam vrijedan poštovanja? Razmislite o tome... Literatura 1. Zvavich L.I. “Algebra 8. razred”, M., 2002. 2. Savin Yu.P. “ enciklopedijski rječnik mladi matematičar”, M., 1985. 3. Yu.N.Makarychev “Algebra 8. razred”, M, 2012. 4. https://ru.wikipedia.org 5. http://www.ido.rudn.ru /nfpk/matemat/05/main_1.htm 6. http://rudocs.exdat.com/docs/index-14235.html 7. http://podelise.ru/docs/40825/index-2427.html 19 Hvala tebi za pažnju 20

Iz istorije nastanka kvadratnih jednačina

Neke algebarske tehnike za rješavanje linearnih i kvadratnih jednačina bile su poznate prije 4000 godina u starom Babilonu.

Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu

https://pandia.ru/text/78/002/images/image002_15.gif" width="93" height="41 src=">

Pravilo za rješavanje ovih jednačina, postavljeno u babilonskim tekstovima, u suštini se poklapa sa savremenim, ali nije poznato kako su Babilonci došli do ovog pravila. Gotovo svi do sada pronađeni klinopisni tekstovi daju samo probleme s rješenjima izloženim u obliku recepata, bez naznaka kako su pronađeni. Uprkos visokom nivou razvoja algebre u Babilonu, klinastim tekstovima nedostaje koncept negativnog broja i opšte metode za rešavanje kvadratnih jednačina.

Diofantova aritmetika ne sadrži sistematski prikaz algebre, ali sadrži sistematski niz zadataka, praćenih objašnjenjima i rešavanih konstruisanjem jednačina različitih stepena.

Prilikom sastavljanja jednačina, Diofant vješto bira nepoznanice kako bi pojednostavio rješenje.

Evo, na primjer, jednog od njegovih zadataka.

Zadatak 2. “Pronađi dva broja, znajući da je njihov zbir 20, a proizvod 96.”

(10+x)(10-x) =96,

Otuda je x = 2. Jedan od traženih brojeva je 12, drugi je 8. Rešenje x = - 2 ne postoji za Diofanta, pošto je grčka matematika poznavala samo pozitivne brojeve.

Ako ovaj problem riješite odabirom jednog od traženih brojeva kao nepoznatog, možete doći do rješenja jednadžbe:

Jasno je da biranjem polurazlike traženih brojeva kao nepoznate, Diofant pojednostavljuje rješenje; on uspijeva svesti problem na rješavanje nepotpune kvadratne jednačine.

Kvadratne jednadžbe u Indiji

Problemi o kvadratnim jednačinama nalaze se već u astronomskoj raspravi „Arijabhattiam“, koju je 499. godine sastavio indijski matematičar i astronom Aryabhatta. Drugi indijski naučnik, Brahmagupta (7. vek), izložio je opšte pravilo za rešavanje kvadratnih jednačina svedenih na jedan kanonski oblik:

ax2 + bx = c, a>

U jednačini (1) koeficijenti mogu biti i negativni. Brahmaguptino pravilo je u suštini isto kao i naše.

Ovo je jedan od problema poznatog indijskog matematičara iz 12. veka. Bhaskars.

Bhaskarino rješenje ukazuje da je autor znao da su korijeni kvadratnih jednadžbi dvovrijedni.

Jednačina koja odgovara problemu 3 je:

https://pandia.ru/text/78/002/images/image004_11.gif" width="12" height="26 src=">x2 - 64x = - 768

i, da dovršimo lijevu stranu ove jednadžbe u kvadrat, dodaje 322 na obje strane, a zatim dobijemo:

x2 - b4x + 322 = -768 + 1024,

(x - 32)2 = 256,

x1 = 16, x2 = 48.

Al-Khwarizmijeve kvadratne jednadžbe

Al-Khwarizmijeva algebarska rasprava daje klasifikaciju linearnih i kvadratnih jednadžbi. Autor broji 6 vrsta jednačina, izražavajući ih na sljedeći način:

1) „Kvadrati su jednaki korijenima“, tj. ax2 = bx.

2) „Kvadrati su jednaki brojevima“, tj. ax2 = c.

3) “Korijeni su jednaki broju”, tj. ax = c.

4) „Kvadrati i brojevi su jednaki korijenima“, tj. ax2 + c = bx.

5) „Kvadrati i korijeni su jednaki broju“, tj. ax2 + bx = c.

6) „Korijeni i brojevi su jednaki kvadratima“, tj. bx + c == ax2.

Za Al-Khwarizmija, koji je izbjegao upotrebu negativnih brojeva, članovi svake od ovih jednačina su sabirci, a ne oduzimajući. U ovom slučaju se očito ne uzimaju u obzir jednačine koje nemaju pozitivna rješenja. Autor postavlja metode za rješavanje ovih jednačina koristeći tehnike al-jabr i al-mukabal. Njegova odluka se, naravno, ne poklapa u potpunosti s našom. Da ne spominjemo da je to čisto retoričko, treba napomenuti, na primjer, da Al-Khorezmi, kao i svi matematičari do 17. stoljeća, prilikom rješavanja nepotpune kvadratne jednačine prvog tipa, ne uzima u obzir nulto rješenje, vjerovatno zato što u konkretnoj praksi to nije bitno u zadacima. Kada rješava potpune kvadratne jednadžbe, Al-Khwarizmi postavlja pravila za njihovo rješavanje koristeći određene numeričke primjere, a zatim i njihove geometrijske dokaze.

Dajemo primjer.

Zadatak 4. „Kvadrat i broj 21 jednaki su 10 korijena. Nađi korijen” (što znači korijen jednačine x2 + 21 = 10x).

Al-Khorezmijeva rasprava je prva knjiga koja je došla do nas, a koja sistematski postavlja klasifikaciju kvadratnih jednačina i daje formule za njihovo rješavanje.

Kvadratne jednačine u EvropiXII- XVIIV.

Ova knjiga je doprinijela širenju algebarskog znanja ne samo u Italiji, već iu Njemačkoj, Francuskoj i drugim evropskim zemljama. Mnogi problemi iz ove knjige korišćeni su u gotovo svim evropskim udžbenicima 14.-17. Opšte pravilo za rješavanje kvadratnih jednačina svedenih na jedan kanonski oblik x2 + bh = s za sve moguće kombinacije predznaka i koeficijenata b, c formulirao je u Evropi 1544. godine M. Stiefel.

Izvođenje formule za rješavanje kvadratne jednadžbe u općem obliku dostupno je od Viètea, ali Viète je prepoznao samo pozitivne korijene. Italijanski matematičari Tartaglia, Cardano, Bombelli bili su među prvima u 16. veku. Osim pozitivnih, u obzir se uzimaju i negativni korijeni. Tek u 17. veku. Zahvaljujući radovima Girarda, Descartesa, Newtona i drugih naučnika, metoda rješavanja kvadratnih jednačina poprima moderan oblik.

Poreklo algebarskih metoda za rešavanje praktičnih problema povezano je sa naukom starog sveta. Kao što je poznato iz istorije matematike, značajan deo matematičkih problema koje su rešavali egipatski, sumerski i vavilonski pisari i kalkulatori (XX-VI vek pre nove ere) bio je računske prirode. Međutim, i tada su se s vremena na vrijeme javljali problemi u kojima se željena vrijednost neke veličine specificirala određenim indirektnim uslovima koji su, sa naše moderne tačke gledišta, zahtijevali sastavljanje jednačine ili sistema jednačina. U početku su se za rješavanje takvih problema koristile aritmetičke metode. Nakon toga su se počeli formirati počeci algebarskih koncepata. Na primjer, babilonski kalkulatori su mogli riješiti probleme koji se, sa stanovišta moderne klasifikacije, mogu svesti na jednačine drugog stepena. Stvorena je metoda za rješavanje riječnih zadataka, koja je kasnije poslužila kao osnova za izolaciju algebarske komponente i njeno samostalno proučavanje.

Ovo istraživanje je sprovedeno u drugoj eri, prvo od strane arapskih matematičara (VI-X stoljeće nove ere), koji su identifikovali karakteristične radnje pomoću kojih su jednačine dovedene u standardni oblik: dovođenje sličnih članova, prenošenje članova iz jednog dijela jednačine u drugi sa promena znaka. A zatim od evropskih matematičara renesanse, koji su kao rezultat dugog traganja stvorili jezik moderne algebre, upotrebu slova, uvođenje simbola za aritmetičke operacije, zagrade itd. Na prelazu iz 16. 17. vijeka. algebra kao poseban dio matematike, sa svojim predmetom, metodom i područjima primjene, već je formirana. Njegov dalji razvoj, sve do našeg vremena, sastojao se od poboljšanja metoda, proširenja obima primjene, razjašnjavanja pojmova i njihovih veza sa pojmovima drugih grana matematike.

Da biste riješili bilo koju kvadratnu jednačinu, morate znati:

formula za pronalaženje diskriminanta;

· formula za pronalaženje korijena kvadratne jednačine;

· algoritmi za rješavanje jednačina ovog tipa.

· rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe;

· riješiti potpune kvadratne jednadžbe;

· riješiti zadate kvadratne jednačine;

· pronaći greške u riješenim jednačinama i ispraviti ih;

· izvršite provjeru.

Rješenje svake jednadžbe sastoji se od dva glavna dijela:

· transformacija ove jednadžbe na najjednostavniju;

· rješavanje jednačina korištenjem poznatih pravila, formula ili algoritama.

Uopštavanje metoda aktivnosti učenika pri rješavanju kvadratnih jednačina odvija se postepeno. Prilikom proučavanja teme "Kvadratne jednadžbe" mogu se razlikovati sljedeće faze:

Faza I – “Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednačina.”

Faza II – “Rješavanje potpunih kvadratnih jednačina.”

Faza III – “Rješavanje redukovanih kvadratnih jednačina.”

U prvoj fazi razmatraju se nepotpune kvadratne jednadžbe. Pošto su u početku matematičari naučili rješavati nepotpune kvadratne jednadžbe, jer za to nisu morali ništa, kako kažu, izmišljati. Ovo su jednadžbe oblika: ax2 = 0, ax2 + c = 0, gdje je c≠ 0, ax2 + bx = 0, gdje je b ≠ 0. Razmotrimo rješavanje nekoliko ovih jednačina:

1. Ako je ax2 = 0. Jednačine ovog tipa rješavaju se pomoću algoritma:

1) naći x2;

2) naći x.

Na primjer, 5x2 = 0. Deljenjem obe strane jednačine sa 5 dobija se: x2 = 0, odakle je x = 0.

2. Ako je ax2 + c = 0, c≠ 0 Jednačine ovog tipa rješavaju se pomoću algoritma:

1) pomeriti pojmove na desnu stranu;

2) pronaći sve brojeve čiji su kvadrati jednaki broju c.

Na primjer, x2 - 5 = 0, ova jednadžba je ekvivalentna jednadžbi x2 = 5. Dakle, moramo pronaći sve brojeve čiji su kvadrati jednaki broju 5..gif" width="16" height="19 ">..gif" width=" 16" height="19 src="> i nema drugih korijena.

3. Ako je ax2 + bx = 0, b ≠ 0. Jednačine ovog tipa rješavaju se pomoću algoritma:

1) pomeriti zajednički faktor iz zagrada;

2) naći x1, x2.

Na primjer, x2 - 3x = 0. Prepišimo jednačinu x2 - 3x = 0 u obliku x (x - 3) = 0. Ova jednačina očigledno ima korijene x1 = 0, x2 = 3. Ona nema drugih korijena, jer ako u Ako zamijenite bilo koji broj osim nule i 3 umjesto x, tada na lijevoj strani jednačine x (x – 3) = 0 dobijate broj koji nije jednak nuli.

Dakle, ovi primjeri pokazuju kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe:

1) ako jednačina ima oblik ax2 = 0, tada ima jedan korijen x = 0;

2) ako jednačina ima oblik ax2 + bx = 0, tada se koristi metoda faktorizacije: x (ax + b) = 0; to znači ili x = 0 ili ax + b = 0..gif" width="16" height="41"> U slučaju kada -< 0, уравнение х2 = - не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0, tj. - = m, gdje je m>0, jednadžba x2 = m ima dva korijena

https://pandia.ru/text/78/002/images/image010_9.gif" width="29" height="24 src=">.gif" width="29" height="24 src=">, (u ovom slučaju je dozvoljena kraća notacija =.

Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba može imati dva korijena, jedan korijen ili nijedan korijen.

U drugoj fazi se vrši prijelaz na rješavanje kompletne kvadratne jednadžbe. To su jednadžbe oblika ax2 + bx + c = 0, gdje su a, b, c dati brojevi, a ≠ 0, x je nepoznanica.

Svaka potpuna kvadratna jednadžba se može pretvoriti u oblik , kako bi se odredio broj korijena kvadratne jednadžbe i pronašao te korijene. Razmatraju se sljedeći slučajevi rješavanja potpunih kvadratnih jednačina: D< 0, D = 0, D > 0.

1. Ako D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней.

Na primjer, 2x2 + 4x + 7 = 0. Rješenje: ovdje je a = 2, b = 4, c = 7.

D = b2 – 4ac = 42 – 4*2*7 = 16 – 56 = - 40.

Od D< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

2. Ako je D = 0, tada kvadratna jednadžba ax2 + bx + c = 0 ima jedan korijen koji se nalazi po formuli.

Na primjer, 4x – 20x + 25 = 0. Rješenje: a = 4, b = - 20, c = 25.

D = b2 – 4ac = (-20) 2 – 4*4*25 = 400 – 400 = 0.

Pošto je D = 0, ova jednadžba ima jedan korijen. Ovaj korijen se nalazi pomoću formule ..gif" width="100" height="45">.gif" width="445" height="45 src=">.

Sastavlja se algoritam za rješavanje jednadžbe oblika ax2 + bx + c = 0.

1. Izračunajte diskriminanta D koristeći formulu D = b2 – 4ac.

2. Ako D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет корней.

3. Ako je D = 0, tada kvadratna jednadžba ima jedan korijen, koji se nalazi po formuli

4..gif" width="101" height="45">.

Ovaj algoritam je univerzalan; primjenjiv je i na nepotpune i na potpune kvadratne jednadžbe. Međutim, nepotpune kvadratne jednadžbe se obično ne rješavaju ovim algoritmom.

Matematičari su praktični, ekonomični ljudi, pa koriste formulu: https://pandia.ru/text/78/002/images/image022_5.gif" width="155" height="53">. (4)

2..gif" width="96" height="49 src=">, koji ima isti predznak kao D..gif" width="89" height="49"> tada jednadžba (3) ima dva korijena;

2) ako ta jednačina ima dva podudarna korena;

3) ako ta jednačina nema korijen.

Važna tačka u proučavanju kvadratnih jednačina je razmatranje Vietine teoreme, koja navodi postojanje veze između korena i koeficijenata redukovane kvadratne jednačine.

Vietin teorem. Zbir korijena gornje kvadratne jednadžbe jednak je drugom koeficijentu uzetom sa suprotnim predznakom, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu.

Drugim riječima, ako su x1 i x2 korijeni jednadžbe x2 + px + q = 0, tada

Ove formule se zovu Vietine formule u čast francuskog matematičara F. Viete (), koji je uveo sistem algebarskih simbola i razvio osnove elementarne algebre. Bio je jedan od prvih koji je brojeve označavao slovima, što je značajno razvilo teoriju jednačina.

Na primjer, data jednadžba x2 - 7x +10 = 0 ima korijene 2 i 5. Zbir korijena je 7, a proizvod je 10. Vidi se da je zbir korijena jednak drugom uzetom koeficijentu sa suprotnim predznakom, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu.

Tačna je i obrnuto od Vietine teoreme.

Teorema inverzna Vietinoj teoremi. Ako formule (5) vrijede za brojeve x1, x2, p, q, tada su x1 i x2 korijeni jednadžbe x2 + px + q = 0.

Vietin teorem i njegov obrat se često koriste za rješavanje raznih problema.

Na primjer. Napišimo sljedeću kvadratnu jednačinu čiji su korijeni brojevi 1 i -3.

Prema Vietinim formulama

– p = x1 + x2 = - 2,

Dakle, tražena jednačina ima oblik x2 + 2x – 3 = 0.

Poteškoće savladavanja Vietine teoreme nastaju zbog nekoliko okolnosti. Prije svega, potrebno je uzeti u obzir razliku između direktne i inverzne teoreme. Vietin direktni teorem daje kvadratnu jednačinu i njene korijene; u inverzu postoje samo dva broja, a kvadratna jednadžba se pojavljuje na kraju teoreme. Učenici često griješe zasnivajući svoja razmišljanja na pogrešnoj referenci na Vietinu direktnu ili obrnutu teoremu.

Na primjer, kada se odabirom pronalaze korijeni kvadratne jednadžbe, morate se pozvati na inverznu Vietinu teoremu, a ne na direktnu, kao što studenti često rade. Da bismo proširili Vietine teoreme na slučaj nulte diskriminante, moramo se složiti da u ovom slučaju kvadratna jednačina ima dva jednakih korena. Pogodnost takvog sporazuma postaje očigledna kada se proširimo kvadratni trinom po množiteljima.

Kovalchuk Kirill

Projekat „Kvadratne jednačine kroz vekove i zemlje“ upoznaje studente sa naučnicima matematičarima čija su otkrića osnova naučni i tehnološki napredak, razvija interesovanje za matematiku kao predmet na osnovu poznavanja istorijskog materijala, širi vidike učenika, podstiče njihovu saznajnu aktivnost i kreativnost.

Skinuti:

Pregled:

Da biste koristili preglede prezentacija, kreirajte račun za sebe ( račun) Guglajte i prijavite se: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

Projektni rad učenika 8. razreda Opštinske obrazovne ustanove Srednja škola br. 17 u selu Borisovka Kiril Kovalčuk Rukovodilac G.V. Muljukova

Kvadratne jednačine kroz vijekove i zemlje

Cilj projekta: Upoznavanje studenata sa naučnicima matematike čija su otkrića osnova naučnog i tehnološkog napretka. Pokažite značaj radova naučnika za razvoj geometrije i fizike.??????????? Jasno demonstrirajte primjenu naučnim otkrićima u životu. Razvijati interesovanje za matematiku kao predmet na osnovu poznavanja istorijskog materijala. Proširiti vidike učenika, potaknuti njihovu kognitivnu aktivnost i kreativnost

Potreba za rješavanjem jednačina ne samo prvog, već i drugog stepena, u antičko doba bila je uzrokovana potrebom rješavanja problema vezanih za pronalaženje površina zemljišnih parcela, sa razvojem same astronomije i matematike. Kvadratne jednačine su se mogle riješiti oko 2000. godine prije Krista. e. Babilonci. Pravila za rješavanje ovih jednačina postavljena u babilonskim tekstovima su u suštini ista kao i moderna, ali ovim tekstovima nedostaje koncept negativnog broja i opće metode za rješavanje kvadratnih jednačina.

. (oko 365 - 300 pne) - starogrčki matematičar, autor prvih teorijskih rasprava o matematici koje su došle do nas. Euklid, ili Euklid

Euklidovi počeci Gdje se Nil spaja s morem, U drevnoj vrućoj zemlji piramida Živio je grčki matematičar - Znalac, Mudri Euklid. Studirao je geometriju, predavao geometriju. Napisao je veliko djelo. Ova knjiga se zove "Počeci".

Euklid 3. vek pne Euklid je rješavao kvadratne jednadžbe geometrijskom metodom. Evo jednog od problema iz starogrčkog traktata: „Postoji grad sa granicom u obliku kvadrata sa stranom nepoznate veličine, u sredini svake strane nalaze se kapija. Na udaljenosti od 20bu (1bu=1,6m) od sjeverne kapije nalazi se stub. Ako idete iz južna kapija 14b pravo, zatim skrenite na zapad i idite još 1775b, možete vidjeti stub. Pitanje je: sa koje strane gradske granice? »

Da bismo odredili nepoznatu stranu kvadrata, dobijamo kvadratnu jednačinu x ² +(k+l)x-2kd =0. U ovom slučaju, jednačina izgleda kao x² +34x-71000=0, odakle je x=250bu l x d k

Kvadratne jednadžbe u Indiji Problemi o kvadratnim jednadžbama se također nalaze u astronomskoj raspravi „Aryabhattiam“, koju je 499. godine sastavio indijski matematičar i astronom Aryabhatta. Drugi indijski naučnik, Brahmagupta, izložio je opšte pravilo za rešavanje kvadratnih jednačina svedenih na jedan kanonski oblik: ax² +bx=c, a>0 V Ancient India Javni konkursi u rješavanju teških problema bili su uobičajeni. U jednoj od starih indijskih knjiga o takvim takmičenjima stoji sljedeće: „Kao što sunce obasjava zvijezde svojim sjajem, tako će učen čovjek nadmašiti slavu drugoga na javnim skupovima, predlažući i rješavajući algebarske probleme.

Jedan od problema poznatog indijskog matematičara iz 12. veka Bhaskare Jato žustrih majmuna, pojevši do mile volje, zabavilo se. Osmi dio njih na trgu sam se zabavljao na čistini. I dvanaest na loze... Počeli su da skaču dok su bili... Koliko je majmuna bilo, recite mi, u ovom jatu?

Rješenje. () 2 +12 = x, x 2 - 64x +768 = 0, a = 1, b = -64, c = 768, zatim D = (-64) 2 -4 1 768 = 1024 > 0. X 1, 2 = , x 1 = 48, x 2 = 16. Odgovor: Majmuna je bilo 16 ili 48. Hajde da to riješimo.

Formula za korijene kvadratne jednadžbe je “ponovno otkrivena” nekoliko puta. Jedna od prvih izvođenja ove formule koja je preživjela do danas pripada indijskom matematičaru Brahmagupti. Centralnoazijski naučnik al-Khwarizmi, u svojoj raspravi “Kitab al-jerb wal-mukabala”, dobio je ovu formulu metodom izolacije potpunog kvadrata.

Kako je al-Khorezmi riješio ovu jednačinu? Napisao je: „Pravilo je ovo: udvostručite broj korijena, x = 2x · 5 u ovom zadatku dobijete pet, pomnožite 5 sa ovim jednako tome, postaje dvadeset pet, 5 · 5 = 25 dodajte ovo na trideset -devet, 25 + 39 postaje šezdeset četiri , 64 uzmi korijen iz ovoga, bit će osam, 8 i oduzeti od ove polovine broja korijena, tj. pet, 8-5 će ostati tri - ovo je i 3 će biti korijen kvadrata koji ste tražili." Šta je sa drugim korijenom? Drugi korijen nije pronađen, jer negativni brojevi nisu bili poznati. x 2 +10 x = 39

Kvadratne jednačine u Evropi 13-17 stoljeća. Formule za rješavanje kvadratnih jednačina po uzoru na al-Khwarizmija u Evropi su prvi put izložene u "Knjizi o abakusima", koju je 1202. napisao italijanski matematičar Leonardo Fibonacci. Ovo obimno djelo, koje odražava utjecaj matematike iz obje islamske zemlje i Ancient Greece, odlikuje se potpunošću i jasnoćom prezentacije. Autor je samostalno razvio neka nova algebarska rješenja problema i prvi u Europi uveo negativne brojeve. Njegova knjiga je doprinijela širenju algebarskog znanja ne samo u Italiji, već iu Njemačkoj, Francuskoj i drugim evropskim zemljama. Mnogi problemi iz knjige Abacus korišćeni su u gotovo svim evropskim udžbenicima 16. i 17. veka. i djelimično 18.

Francois Viète - najveći matematičar 16. vijeka

Prije F. Viete, rješavanje kvadratne jednačine se odvijalo prema vlastitim pravilima u obliku vrlo dugih verbalnih argumenata i opisa, prilično glomaznih radnji. Nisu mogli čak ni zapisati samu jednačinu; to je zahtijevalo prilično dug i složen verbalni opis. On je skovao termin "koeficijent". Predložio je da se tražene količine označe samoglasnicima, a podaci suglasnicima. Zahvaljujući Vietinoj simbolici, kvadratnu jednačinu možemo napisati u obliku: ax 2 + bx + c =0. Teorema: Zbir korijena date kvadratne jednadžbe jednak je drugom koeficijentu uzetom sa suprotnim predznakom, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu. Uprkos činjenici da se ova teorema zove „Vietina teorema“, bila je poznata i prije njega, a on ju je samo transformirao u njen moderni oblik. Vieta se naziva "ocem algebre"

Čovječanstvo je prešlo dug put od neznanja do znanja, neprestano zamjenjujući nepotpuno i nesavršeno znanje na tom putu sve potpunijim i savršenijim znanjem. Završna riječ

Mi živimo u početak XXI veka, privlači antiku. Kod naših predaka uočavamo prije svega ono što im nedostaje sa moderne tačke gledišta, a obično ne primjećujemo ono što nedostaje nama samima u poređenju s njima.

Ne zaboravimo na njih...

Hvala vam na pažnji!

“Istorija nastanka kvadratnih jednačina. Istorija razvoja kvadratnih jednačina

Skinuti:

Pregled:

Naslovi slajdova:

Obnavljanje šifre