Jednostavne matematičke teoreme i dokazi. Metode dokazivanja teorema i tehnike rješavanja geometrijskih problema

Nekada davno, geometrija je personificirala svu matematiku. Geometrija je, kao i svaka nauka, nastala pod uticajem vitalnih potreba. Potreba da ih se svakodnevno zadovoljava, osobu susreće sa brojnim pitanjima o obliku objekata oko njega, proračunima vezanim za premjer, izgradnju itd. Riječ „geometrija“ znači „premjer zemljišta“ i jasno ukazuje na izvor njegovog porijekla.

Postoje prilično pouzdani podaci o značajnom razvoju geometrijskog znanja u Egiptu više od dvije hiljade godina prije Krista. Uski plodni pojas zemlje između pustinje i rijeke Nil bio je podložan godišnjim poplavama, a svaki put je poplava isprala granice parcela koje su pripadale pojedincima. Nakon što se voda slegla, bilo je potrebno što preciznije obnoviti ove granice, jer je svako od područja bilo visoko cijenjeno. To je natjeralo Egipćane da se pozabave pitanjima mjerenja, odnosno premjerom zemljišta. Osim toga, vodili su razvijenu trgovinu i stoga im je bila potrebna sposobnost mjerenja kapaciteta plovila. Umjetnost navigacije dovela ih je do astronomskih informacija. Izvanredne građevine Egipćana - piramide, koje su preživjele do danas, ukazuju da je njihova izgradnja zahtijevala poznavanje prostornih oblika. Sve ovo ukazuje na čisto eksperimentalno porijeklo geometrije.

Ali matematika je rasla i razvijala se, posebno brzo u posljednjih 200 godina. Pojavili su se novi pravci: matematička analiza, teorija skupova, topologija, algebra počeli su izgledati potpuno drugačije. Naravno, razvijala se i geometrija, ali su počeli neki matematičari U poslednje vreme klasificirati ga kao sekundarni matematički smjer. Ovo mišljenje se ogleda u sadržaju školskih nastavnih planova i programa matematike, kako u SAD, tako iu nizu drugih zemalja.

Možda se činjenica da geometrija zauzima jedno od posljednjih mjesta u školskom programu objašnjava činjenicom da nastavnici malo znaju o prirodi geometrije i uspjesima koje su postigli njeni istraživači. Mislim na mnoge briljantne rezultate, kao što su Feirbachova teorema, Ceva teorema, Menelausova teorema, itd.

Elementarna geometrija je dio geometrije uključen u osnovnu matematiku. Granice elementarne geometrije, kao i elementarne matematike uopšte, nisu striktno definisane. Kažu da je elementarna geometrija onaj dio geometrije koji se izučava u srednjoj školi; ova definicija, međutim, ne samo da ne otkriva sadržaj i prirodu elementarne geometrije, već je ni na koji način ne iscrpljuje, jer ne uključuje opsežno gradivo koje je izvan školskog programa (na primjer, aksiomatika, sferna geometrija) . možemo reći da je elementarna geometrija istorijski i, shodno tome, logički prvo poglavlje geometrije (pošto su se iz nje razvili drugi geometrijski pravci); u svojim temeljima razvila se u Ancient Greece, a prikaz njegovih temelja daju već Euklidovi Elementi (3. stoljeće prije Krista). Takva historijska definicija je prirodna, ali ne razjašnjava ni opći sadržaj i prirodu elementarne geometrije, pogotovo što se njen razvoj nastavlja do danas. Stoga se definicija elementarne geometrije može otkriti i dopuniti.

Elementarna geometrija proizlazi iz najjednostavnijih figura - tačke, segmenta, prave linije, ugla, ravni i osnovnog koncepta jednakosti segmenata ili uglova ili, uopšteno, kombinacije figura kada se nadograđuju, što određuje njihov jednakost.

Predmet elementarne geometrije je:

1) figure definisane konačnim brojem jednostavnih figura;

2) figure definisane jednim ili drugim svojstvom formulisanim u originalnim konceptima.

Geometrija koja se izučava u školi ilustruje metodu konstruisanja teorije, koja se naziva aksiomatska metoda.

Do početka 3. vijeka. BC e. U djelima starogrčkog naučnika Aristotela formulirana je ideja o izgradnji naučne teorije. U odnosu na geometriju, to je realizovao Euklid u svom djelu “Elementi”. Na osnovu činjenica i saznanja akumuliranih u to vrijeme, identificirao je i formulirao nekoliko iskaza (postulata), prihvaćenih bez dokaza, iz kojih su izvedene njihove logičke posljedice u obliku teorema. Euklidov sistem je bio prvo iskustvo u korišćenju aksiomatske metode i postojao je bez promena do 19. veka nove ere. e. Međutim, sa savremene tačke gledišta aksiomatske metode imao je niz nedostataka, pa je na prelazu iz 19. u 20. vek izgrađen geometrijski sistem koji je bio oslobođen ovih nedostataka.

Sredinom 19. vijeka, kao što je već napomenuto, temelji euklidske geometrije ostali su na istom nivou na kojem su postavljeni u Euklidovim djelima. kako god Opšti trend povećanje matematičke strogosti u drugoj polovini 19. veka podstaklo je mnoge autore da revidiraju osnove geometrije kako bi predložili kompletan, dosledan, nezavisan sistem aksioma. Najveće priznanje među različitim formulisanim sistemima dobila je aksiomatika Nemca Davida Hilberta, iznesena u njegovoj knjizi „Osnove geometrije” 1899. godine. On je uspeo da izgradi aksiomatiku geometrije, raščlanjenu na tako prirodan način da se struktura geometrije postala je potpuno transparentna: tri grupe aksioma određuju svaki svoj osnovni odnos – pripadnost, red, jednakost. Ova podjela je omogućila, prvo, da se aksiomi formulišu na kratak i jednostavan način; drugo, istražiti dokle se može razviti geometrija ako za osnovu uzmemo ne sve aksiomatike, već samo jednu ili drugu grupu njih. Istovremeno, sistem je specificirao istinski apstraktnu teoriju, u kojoj su objekti i odnosi između njih jednostavno neke zamislive „stvari“, za koje se zna samo da zadovoljavaju aksiome.

Elementarna geometrija uključuje ona pitanja geometrije koja u svojoj formulaciji i rješavanju ne uključuju opći koncept beskonačnog skupa, već samo konstruktivno definirane skupove (geometrijska mjesta). Kada kažu da je euklidska geometrija zasnovana, recimo, na Hilbertovom sistemu aksioma ili na drugom sistemu aksioma sličnih po prirodi, zaboravljaju da kada uvode opšti koncepti kriva konveksnog tijela dužine, itd. U stvari, oni koriste metode formiranja koncepata koji uopće nisu predviđeni aksiomima, već se temelje na općem konceptu skupa, niza i granice, preslikavanja ili funkcija. Ono što je izvedeno iz Hilbertovih aksioma bez takvih dodataka čini elementarni dio euklidske geometrije. Ova razlika se može poboljšati u smislu matematičke logike. Istovremeno, prema ovakvom shvatanju elementarne geometrije, možemo govoriti o elementarnoj geometriji n-dimenzionalnog euklidskog prostora, o elementarnoj geometriji Lobačevskog, itd. To se odnosi na one odeljke, teoreme i zaključke ovih geometrijskih teorija koji karakterišu iste karakteristike.

Tema mog rada: “Razni dokazi teorema elementarne geometrije koji se ne izučavaju u školi.” Ona ispituje „nominalne teoreme, ili teoreme velikih naučnika. Ova tema je zanimljiva jer prilikom dokazivanja teorema u školskom kursu geometrije ne znamo uvijek da se one zasnivaju na dokazu teoreme dokazane u antičko doba.

Pogledajmo dokaze teorema, ne zaboravljajući velike matematičare koji su ih dokazali.

1. Ćeva Đovani (3.3.1648, Milano, - 13.12.1734, Mantova) - italijanski inženjer i matematičar. Diplomirao na Univerzitetu u Pizi. Osnovni radovi iz geometrije i mehanike. Dokazano (1678) teorema o odnosu između segmenata određenih pravih koji seku trokut (Ceva teorema). Izgradio je doktrinu sekanti, koja je označila početak sintetičke geometrije; navedeno je u op. “O linijama koje se međusobno sijeku” (“De line is rectis se inuicem secantibus”, Mediolani, 1678).

Teorema. Neka su dati trougao ABC i tri prave koje prolaze kroz njegove vrhove. Prava koja prolazi kroz njen vrh A seče pravu BC u tački A1, prava linija koja prolazi kroz vrh B seče stranu AC u tački B1, prava linija koja prolazi kroz vrh C seče stranu AB u tački C1. Ove prave prolaze kroz jednu tačku ako i samo ako

Dokaz

Nužnost.

Za slučaj linija koje se seku

Razmotrimo trougao ABC1 i pravu liniju CC1 koja ga seče.

Prema Menelajevoj teoremi

Razmotrimo trougao CBB1 i pravu AA1 koja ga seče.

Prema Menelajevoj teoremi

Podijelite prvi omjer sa drugim

Za slučaj disjunktnih linija

Prema Talesovoj teoremi, zapisujemo proporcije: i

Pomnožimo proporcije: , što znači

Adekvatnost.

Kao što je već dokazano.

Ali, šta onda znači da će se A i A’ poklopiti, itd.

2. Menelajeva teorema je klasična teorema afine geometrije.

Sličan rezultat u sfernoj geometriji spominje se u raspravi “Sphaerica” Menelaja Aleksandrijskog (oko 100. godine nove ere) i, očigledno, sličan rezultat na ravni je već bio poznat. Ova teorema nosi ime Menelaj jer ne postoje ranije pisane reference za ovaj rezultat.

Iako su oba matematičara - starogrčki i italijanski - razdvojeni sa 17 vekova, teoreme nazvane po njima imaju dvojnost. Ako u bilo kojem od njih ravnu liniju zamijenimo tačkom, a tačku pravom linijom, onda će Menelajev teorem postati Cevov teorem, i obrnuto. Oni su korisni iz ovog razloga: oni problemi koji se tradicionalno prilično teško rješavaju pomoću aparata vektorske algebre rješavaju se doslovno u jednom redu koristeći Menelajeve i Cheveove teoreme. Ovo se također odnosi i na suprotne teoreme. Dokaz da tri tačke pripadaju jednoj pravoj rješava se vrlo jednostavno korištenjem teoreme suprotne Menelajevoj teoremi, dokaz da se tri prave seku u jednoj tački jednako se lako rješava korištenjem teoreme suprotne Ćevinoj teoremi. Ovo je najviše važan događaj u istoriji geometrije (otkriće ovih teorema), što je uticalo i na razvoj matematike i na razvoj tehnologije i srodnih oblasti nauke!

Teorema. Neka su prave BC, CA, AB koje sadrže stranice trougla ABC date tačke A, B, C. Da bi ove tačke ležale na istoj pravoj, potrebno je i dovoljno da je jednakost

Dokaz.

Nužnost.

Izvodimo BKA "B". Iz sličnosti trouglova CA"/A"B=CB"/B"K; BC"/C"A=KB"/B"A. Tada AB"/B"C*CA"/A"B*BC"/C"A= =AB"/CB"*CB"/KB"*KB"/AB"=1. Ako istu stvar zapišemo u vektorima, onda, uzimajući u obzir smjer vektora, dobivamo traženu jednakost.

Adekvatnost.

Neka A", B", C" ne leže na istoj pravoj, ali je jednakost (1) tačna. Onda neka se A"B" seče sa AB u tački C". Tada je jednakost (1) tačna za tačke A", B", C". Ali tada, kada zapišemo jednakost jedan, skraćeno na AB"/CB"*CA"/BA" (2), dobijamo da je BC"/AC " =BC"/AC". Ako sve ovo zapišemo u vektorima, dobijamo jednakost (2) sa vektorima. Dakle, C"=C", tj. A", B", C" leže na istoj pravoj liniji.

Ako tačke A, B" i C" leže redom na pravima BC, CA i AB trougla, tada su kolinearne ako i samo ako

Povucimo pravu paralelnu pravoj AB kroz tacku C, a sa K oznacimo tacku preseka ove prave sa pravom B"C". Budući da su trokuti i slični (pod dva ugla), onda i, dakle -

S druge strane, pošto su trokuti i takođe slični, onda i, dakle -

Ali u tom slučaju

Ostaje napomenuti da postoje dvije moguće lokacije tačaka A", B" i C", ili dvije leže na odgovarajućim stranicama trokuta, a jedna na nastavku, ili sve tri leže na nastavcima odgovarajućih stranica , dakle za odnose usmjerenih segmenata imamo h. itd.

Teorema. Ako se stranice BC, CA, AB trougla ABC sijeku u istim tačkama a, b, c, onda između ovako definiranih odsječaka na stranicama imamo sljedeću relaciju:

Dokaz.

Da bismo to dokazali, povučemo kroz vrhove trokuta do sjecišta s transverzalom (transverzala je svaka prava koja siječe stranice trokuta) tri prave paralelne nekom istom smjeru, na kojima utvrđujemo isti pozitivnog smjera.

Neka su α, β, γ udaljenosti vrhova od transverzale, računajući duž paralelnih pravih linija; imamo

Odakle, množenjem, dobijamo:

Kada bi transverzala bila paralelna sa stranicom BC, tada bi tačku a trebalo smatrati da leži u beskonačnosti, a omjer jednakim 1. Traženi odnos bi se tada pretvorio u, tj. u teoremu o pravoj paralelnoj bilo kojoj strani trougla. Ako bi dvije stranice AB i AC trougla postale paralelne, tada bi tačka A ležala u beskonačnosti; napisavši izraz u obliku, zamijenili bismo kroz 1 i dobili teoremu o pravoj paralelnoj jednoj od stranica trougla.

Obratna teorema. Ako se na stranicama BC, CA, AB trougla ABC uzmu tri tačke a, b, c koje zadovoljavaju odnos, tada ove tri tačke leže na istoj pravoj liniji.

Zaista, prava ab siječe stranu AB u nekoj tački c" tako da vrijedi jednakost:

Ova jednakost u poređenju sa prethodnom pokazuje da se, dakle, tačke c i c" podudaraju.

Bilješka. Ova teorema se, u suštini, svodi na teoremu o pravoj paralelnoj bilo kojoj strani trougla. Zaista, moguće je pronaći tri segmenta α, δ i γ (date po veličini i predznaku) tako da vrijede sljedeće jednakosti:

Otuda, na osnovu relacije, slijedi

Kao rezultat, tri homotetičke figure u paru, u kojima su tačke A, B i C tri odgovarajuće tačke, a α, δ, γ tri odgovarajuća segmenta, imaće tačke a, b, sa centrima sličnosti.

3. Feuerbachova teorema. Dokazana 1822. godine, teorema Karla Wilhelma Feuerbacha (1800-1834) kaže da je krug od devet tačaka (krug koji prolazi središtem stranica, osnovice visina i sredine segmenata koji povezuju ortocentar sa vrhovima ) je tangenta na upisanu kružnicu trougla i njegove tri vanokružnice. Ova teorema je jedna od najčešćih lijepe činjenice elementarne geometrije.

Feuerbachova teorema. Ojlerov krug dodiruje upisano i iznosi ekskrug.

Dokaz.

Neka je centar upisane kružnice I, centar excircle dodirujući BC - I", tačka njihove dodirne tačke sa BC - L" i L", sredina stranica DABC - A", B", C". GH je segment simetričan segmentu BC u odnosu na AI. Pošto I, I" leže na AI, BC je unutrašnja tangenta na ove 2 kružnice, onda je GH takođe unutrašnja tangenta. Neka je GH∩A"B" - M, GH∩A"C" - N. Neka je GH ∩BC =P, tada P leži na AI. Pošto je GH simetričan sa BC, onda je AG=AC, tj. AI seče GC u sredini. A"B", kao srednja linija seče CG u sredini, tj. AI, A" B", CG se seku u jednoj tački. Nazovimo to K. Iz ekscikruga i upisanog dobijamo CL"=BL"; L"L"=AB-AC (označavamo vrhove tako da je AB>AC A"L"= (AB-AC)/2=BG/2=A"K(prosječna linija). DA"PK~DAPB, tj. A"M/A"K=BG/BA; DA"CB"~DACB, tj. BG/BA=A"K/A"B", tj. A"M/A"K=A "K/A"B". Otuda A"M*A"B"=A"K2=A"L"2=A"L"2. Iz ove relacije A"M= (c-b)2/(2c). Pošto je c>b, onda je A"M

4. Ptolomej (Ptolemej) Klaudije, čuveni grčki geometar, astronom i fizičar; u prvoj polovini živeo u Aleksandriji. II vek Glavno djelo "Velika skupština", poznatije na arapskom. prevedeno pod imenom "Almagest". U geometriji, naziv P. je dat teoremi o proizvodu dijagonala upisanog četverougla. U P. astronomiji, teorija epiciklusa je data da objasni vidljivo kretanje neba. svetiljke oko nepokretne zemlje (Ptolomejev sistem). Ostala djela: “Geografija”, “Harmonicorum libri III” (učenje o harmoniji) su u potpunosti sačuvani i “Optika” (dio u arapskom prevodu; sadrži učenje o refleksiji i prelamanju svjetlosti); takođe 3 knjige o muzici, važan izvor informacija o staroj muzici.

Teorema. Da bi se kružnica mogla opisati oko četverokuta, potrebno je i dovoljno da zbir proizvoda suprotnih strana bude jednak proizvodu njegovih dijagonala.

Dokaz.

Nužnost.

Neka je a=AB; b=BC; c=CD; d=DA; e=AC; f=BD, dakle, koristeći Bretschneiderovu relaciju (U bilo kojem četverokutu (ef)2=(ac)2+(bd)2-2abcdcos(A+C), gdje je e=AC; f=BD; a=AB; b = BC; c=CD; d=DA, ÐBAC=ÐA; ÐBCD=ÐC.), dobijamo: (ef)2=(ac)2+(bd)2-2abcdcos(A+C). Kako je ABCD upisan u krug, onda je ÐA+ÐC=180o, tj. cos(A+C)=-1, tj. (ef)2=(ac)2+(bd)2+2abcd . Dakle (ef)2=(ac+bd)2, tj. ef=ac+bd.

Adekvatnost.

ef=ac+bd, tj. (ef)2=(ac)2+(bd)2+2abcd. Prema Brettschneiderovoj relaciji (ef)2=(ac)2+(bd)2-2abcdcos(A+C). Dakle, cos(A+C)=-1. Jer A+C

Teorema. Zbir proizvoda suprotnih strana upisanog četverokuta jednak je proizvodu njihovih dijagonala.

Izvršimo SM tako da je MSD = VI.

ΔABC~ΔDMC

ΔADC~ΔVSM

Dodajmo rezultirajuće jednakosti AB*DC+BC*AD=AC*DM+AC*BM itd.

5. Blaise Pascal je rođen 1623. godine u provincijskom gradu. Ispostavilo se da je Blaise bio nadaren briljantnim umom. Sa 14 godina je počeo da pohađa matematički krug (iz kojeg je kasnije izrasla Francuska akademija nauka), a sa 16 je već napisao delo o konusnim presecima („Paskalova teorema“), koje su njegove kolege nazvali „ najmoćniji i najvredniji doprinos matematičkoj nauci od Arhimedovih dana.”

Teorema. Za šestougao upisan u krug, presječne točke suprotnih (ako ih ima) leže na pravoj koja se zove Pascal linija upisanog šestougla.

Dokaz.

Neka je naš šesterokut AB"CA"BC". Neka je M=(AB")∩(A"B); P=(BC")∩(B"C); N=(CA")∩(C"A) ; X=(AB")∩(CA"); P=(BC")∩(CA"); N=(CA")∩(BC"). Svojstvom sekanti XA*XB"=XC*XA " ( 1); YB*YC"=YC*YA" (2); ZB*ZC"=ZA*ZB" (3). Po Menelajevom teoremu na DXYZ i na trojke tačaka (A; C"; N) ; (C; B"; P); (B; A"; M) dobijamo:

Nakon množenja ovih izraza i primjene formula (1); (2); (3) dobijamo da:

Odavde, prema Menelajevoj teoremi, slijedi da su M, N, P kolinearni.

Teorema. U bilo kojem šesterokutu upisanom u krug, točke presjeka suprotnih strana leže na istoj pravoj liniji.

Dokaz.

Neka je ABCDEF šestougao čije se suprotne stranice AB i DE sijeku u tački L, stranice BC i EF u M, stranice CD i FA u N. Razmotrimo trokut IJK koji čine stranice AB, CD, EF, drugim riječima, stranice od ovaj šestougao, provučen kroz jedan.

Tačke L, M i N nalaze se redom na stranicama JK, KI, IJ ovog trougla. Ove tačke leže na istoj pravoj liniji ako vrijedi sljedeća relacija:

Ali, ako siječemo trokut IJK uzastopno sa svakom od preostalih stranica DE, BC, FA šesterokuta, dobićemo sljedeće odnose:

Množeći ove tri jednakosti pojam po član, možemo napisati, grupisajući faktore brojilaca i nazivnika na odgovarajući način:

Ali svaki od posljednja tri razlomka koji su uključeni u lijevu stranu jednak je 1. Na primjer, proizvodi CI * DI i EI * FI jednaki su kao proizvodi segmenata odsječenih kružnicom na sekantima koji dolaze iz tačke I. Time je dobijena relacija i teorema je dokazana.

Bilješka. Prethodni dokaz ostaje važeći ako se tačke A i B, C i D, E i F poklapaju u parovima i ako su stranice trougla IJK tangente na kružnicu.

U ovom slučaju, teorema ima sljedeći oblik: Tangente povučene kroz vrhove trougla upisanog u kružnicu sijeku odgovarajuće stranice u tri tačke koje leže na istoj pravoj liniji.

6. Gerard Desargues je rođen 1593. (prema drugim izvorima - 1591.). Pascal ga je nazvao svojim starijim savremenikom i pod utjecajem Desargueovih djela preuzeo je projektivnu geometriju. U eri kada naučni časopisi još nisu postojali, aktivnost matematičara kao što je Desargues našla je izraz u prepisci naučnika i aktivnostima diskusionih krugova. Dopisivao se sa Marinom Mersenom, Descartesom, Fermaom, Pascalom i mnogim drugim naučnicima. Akademije su izrasle iz diskusionih krugova naučnika. Objavio je svoju "Desargovu teoremu" o perspektivnom prikazu trouglova 1648. Plodnost ovih ideja u potpunosti je ostvarena tek u devetnaestom veku. Tako je Viktora Ponceleta, učenika Gasparda Mongea, direktora Ecole Polytechnique u Parizu, 1813. godine privukao sistem ideja koje je Desargues stvorio dva veka ranije. Naučni radovi Desargue je formirao osnovu projektivne geometrije. Desarguesove projektivne geometrijske ideje privukle su interesovanje brojnih naučnika.

Teorema. Trokuti A1B1C1 i A2B2C2 nalaze se na ravni tako da prave A1A2, B1B2 i C1C2 imaju zajedničku tačku O. Neka je A tačka preseka pravih B1C1 i B2C2, B tačka preseka pravih A1C1 i A2C2, C je tačka preseka pravih A1B1 i A2B2. Tada tačke A, B i C leže na istoj pravoj liniji.

Dokaz.

Primijenimo Menelajevu teoremu na trougao OB1C1 i pravu AB2C2.

Slično za trouglove OC1A1 i OA1B1, presečene pravim linijama BC2A2 i CA2B2, respektivno.

Množenjem, nakon skraćenica dobijamo

Tačke A, B i C leže na stranicama ili produžecima stranica trokuta A1B1C1 i, prema Menelajevoj teoremi, leže na istoj pravoj liniji.

Da bismo dokazali Desarguesovu teoremu na sljedeći način, moramo se prisjetiti tri prostorna aksioma:

1. Dvije ravni definiraju jednu i samo jednu pravu; tri ravni koje ne prolaze kroz istu pravu definišu jednu i samo jednu tačku.

2. Dvije prave koje se seku definiraju jednu i samo jednu tačku i jednu i samo jednu ravan.

3. Dvije tačke definiraju jednu i samo jednu pravu. Tri tačke koje nisu na istoj pravoj definišu jednu i samo jednu ravan.

Ovaj sistem aksioma ostaje nepromijenjen ako se riječi “tačka” i “ravan” zamijene (u ovom slučaju, prvi aksiom će zamijeniti mjesta sa trećim, a drugi će ostati nepromijenjen).

Teorema. Neka su u prostoru data dva trokuta ABC i A"B"C. Neka su ti trouglovi raspoređeni tako da se prave koje povezuju odgovarajuće vrhove sijeku u jednoj tački O. Tada se, prvo, tri para odgovarajućih stranica trokuta sijeku u tri tačke R, S, T i, drugo, ove tri tačke leže na istoj pravoj liniji.

Dokaz.

Prvi dio ove teoreme je dokazan prilično jednostavno. Dvije prave koje se seku AA" i BB" određuju određenu ravan prema drugom prostornom aksiomu. Ali u ovoj ravni se prave AB i AB" nalaze tako da se, prema drugom aksiomu ravni, sijeku u nekoj tački R. Ostaje neizvjesno da li tačka R leži u konačnom dijelu prostora ili u beskonačnosti. Na isti način se može dokazati postojanje još dvije točke sjecišta S i T.

Drugi dio teoreme je lako uspostaviti u slučaju kada se trokuti nalaze u različitim ravnima. Tada ove ravni određuju jednu – konačnu ili beskonačno udaljenu – liniju preseka (prema prvom prostornom aksiomu). Od svakog para odgovarajućih stranica trougla: jedna se nalazi u jednoj ravni, druga u drugoj. A pošto se obe strane seku, tačka njihovog preseka mora ležati na pravoj koja pripada obe ravni. Tako smo dokazali Desarguesovu teoremu za opći slučaj.

Međutim, posebno je važan upravo poseban slučaj kada oba trokuta leže u istoj ravni. U ovom slučaju, dokaz se može izvesti korištenjem projekcije u prostoru, slično kao što je dokazana Brianchonova teorema. Trebamo samo dokazati da se svaka ravna dezargova figura može predstaviti kao projekcija neke prostorne dezargove figure. U tu svrhu povezujemo sve tačke i prave ravne Dezargove figure sa određenom tačkom S koja leži izvan ravni figure. Zatim nacrtajte ravan kroz pravu liniju AC; Neka se ova ravan siječe sa pravom BS u tački B0, različitoj od tačke S. Zatim povlačimo pravu OB0. Ova prava leži u istoj ravni kao i prava B"S, pa se obe prave seku u tački B0". Ali tada trouglovi AB0C i A"B0"C" formiraju prostornu dezargovsku figuru, budući da prave linije koje povezuju odgovarajuće vrhove prolaze kroz tačku O. Linija preseka ravnina oba trokuta je prikazana kada se projektuje iz tačke S kao prave linije na ravni projekcije, a presečne tačke odgovarajućih parova stranica prvobitno razmatranih trouglova ABC i A"B"C" moraju ležati na ovoj pravoj. Desarguesova teorema je u potpunosti dokazana.

7. Papus Aleksandrijski grčki geometar. Živeo krajem 3. veka. nakon Rođenja Hristovog, stajao na čelu filozofska škola, o kojoj, osim činjenice da postoji, nema drugih podataka. Od djela koja do nas nisu stigla, Papus je poznat po imenu, a ponekad i po nekim podacima o sadržaju: “Primjedbe” ili komentar na Ptolemejev Almagest, komentar na Diodorovu “Analemu” i komentar na Euklidove “Elemente”. Najvažnije Papusovo djelo poznato je pod nazivom "Zbirke" (συναγωγή), koje iznosi sadržaj onih matematičkih djela koja su posebno cijenili njegovi savremenici.

Teorema. Ako se tačke A1, B1, C1 uzmu na jednoj pravoj, a tačke A2, B2, C2 na drugoj, tada se prave A1B2 i A2B1, B1C2 i B2C1, C1A2 i C2A1 seku u tri kolinearne tačke.

Dokaz.

Neka se prave A1B2 i A2B1, B1C2 i B2C1, C1A2 i C2A1 sijeku u tačkama C, A, B, redom, i neka se prave A1B2 i A2C1, B1C2 i B2A1, C1A2 i C2B1 sijeku u tačkama A0, B0, C0, redom . Sada primijenite Menelajevu teoremu na sljedećih pet trojki tačaka: (A, B2, C1), (B, C2, A1), (C, A2, B1), (A1, B1, C1) i (A2, B2, C2). Kao rezultat dobijamo:

Nakon množenja pet zadatih jednakosti, dobijamo, tj. tačke A, B i C su kolinearne.

8. Gauss Karl Friedrich (1777-1855). Mnoge izvanredne stranice u istoriji matematike povezane su sa imenom K. F. Gaussa. Dao je dokaz osnovne teoreme algebre (svaki algebarska jednačina sa realnim koeficijentima ima korijen). Gauss je stvorio teoriju površina. Prije njega geometrije su proučavane samo na dvije površine: na ravni (euklidska planimetrija) i na sferi (sferna geometrija). Gauss je pronašao način za konstruisanje geometrije na bilo kojoj površini, odredio koje linije igraju ulogu pravih linija na površini, kako mjeriti udaljenosti između tačaka na površini, itd. Gaussova teorija je nazvana unutrašnja geometrija. Svoje radove o neeuklidskoj geometriji i teoriji eliptičkih funkcija nije objavio. Ove rezultate su ponovo otkrili njegovi mlađi savremenici: ruski matematičar J. I. Lobačevski i mađarski matematičar J. Bolyai u prvom slučaju, te norveški matematičar G. H. Abel i njemački matematičar K. G. Jacobi u drugom.

Teorema. Da bi tri tačke koje leže na linijama koje sadrže stranice trougla BC, CA, AB (A, B, C" respektivno) bile kolinearne, potrebno je i dovoljno da sredine odsječaka AA", BB" , CC" biti kolinearna.

Dokaz.

Nužnost.

Neka su M, N, P sredine AA", BB", CC" respektivno, A", B", C" sredine BC, CA, AB respektivno. Prema svojstvu srednje linije PAB; MBC; N.C.A. Također, prema svojstvu srednjih linija, imamo: (1).

Prema Menelajevoj teoremi. Koristeći (1), dobijamo da su A", B", C" kolinearni prema Menelajevoj teoremi.

Adekvatnost.

Neka su A", B", C" kolinearni, tada po Menelajevom teoremu (2). Po svojstvu srednjih linija imamo: (3). Po (2) i (3) dobijamo da, tj. po Menelaju ' teorema A", B, C" su kolinearni.

Studiranje ovu temu Došao sam do zaključka da ove teoreme uglavnom razmatraju geometriju trougla. I mnoga imena su ostala u istoriji matematike samo zahvaljujući ovim teoremama. Geometrija trougla je osnova sve planimetrije. Teoreme je teško dokazati i razumjeti, ali na osnovu ovih teorema se dokazuju mnoge teoreme u školskom kursu planimetrije i rješavaju praktični problemi.

Dokaz matematičke tvrdnje, po pravilu, je lanac ispravnog zaključivanja koristeći aksiome i teoreme, čija je valjanost prethodno utvrđena. Obrazloženje se naziva ispravnim ako istinitost svih premisa implicira istinitost zaključka. Neka su iskazi \(A_1,A_2, \ldots,A_n\) premise, a iskaz \(A\) zaključak. Obrazloženje se provodi prema shemi \(\frac(A_1,A_2,\ldots, A_n)(B)\), tj. iz pretpostavki \(A_1,A_2,\ldots,A_n\) slijedi zaključak \(B\). Ovo rezonovanje je ispravno ako je formula \((A_1\I A_2\I \ldots\I A_n)\Strelica desno B\) identično istinito, tj. istinito za sve istinite vrijednosti iskaza uključenih u njega \(A_1,A_2,\ldots,A_n,B\) .

Na primjer, sljedeći dijagrami odgovaraju ispravnom zaključivanju:

\(\frac(A\Rightarrow B,A)(B)\)- pravilo zaključivanja ( modus ponens);

\(\frac(A\Rightarrow B,B\Rightarrow C)(A \Rightarrow C)\)- pravilo silogizma;

\(\frac(A\Rightarrow B,\lnot B)(\lnot A)\)- pravilo kontrapozicije.

Na osnovu prve i treće šeme, konstruisano je sledeće rezonovanje:

– ako je prirodni broj \(n\) djeljiv sa 4, onda je paran. Broj \(n\) je djeljiv sa 4. Dakle, broj n je paran;

– ako je prirodni broj \(n\) djeljiv sa 4, onda je paran. Broj \(n\) je neparan. Dakle, broj \(n\) nije djeljiv sa 4.

Oba argumenta su tačna za bilo koji prirodni brojevi\(n\) . U stvari, čak i sa \(n=1\), uprkos očiglednoj nedosljednosti, imamo ispravno rezonovanje: "ako je broj 1 djeljiv sa 4, onda je paran. Broj 1 je djeljiv sa 4. Dakle, broj 1 je paran,” budući da se iz lažnih premisa može izvući bilo kakav zaključak.

Razmotrimo primjer zaključivanja prema shemi \(\frac(A\Rightarrow B,B)(A):\)

– ako je prirodni broj \(n\) djeljiv sa 4, onda je paran. Broj \(\) je paran. Dakle, broj \(n\) je djeljiv sa 4.

Za \(n=6\) i \(n=8\), respektivno, dobijamo:

– ako je prirodni broj 6 djeljiv sa 4, onda je paran. Broj 6 je paran. Dakle, broj 6 je djeljiv sa 4;

– ako je prirodni broj 8 djeljiv sa 4, onda je paran. Broj 8 je paran. Dakle, broj 8 je djeljiv sa 4.

Oba argumenta su netačna, iako je zaključak drugog argumenta tačan (broj 8 je zapravo djeljiv sa 4), tj. shema \(\frac(A\Rightarrow B,B)(A)\) ne odgovara ispravnom zaključivanju.

Često, umjesto dokazivanja teoreme oblika \(A\Rightarrow B\), oni dokazuju istinitost neke druge izjave ekvivalentne originalnoj. Takvi oblici dokaza se nazivaju indirektni. Jedna od njih je metoda dokazivanja kontradikcijom. Da bismo dokazali istinitost iskaza \(A\Rightarrow B\), pretpostavljamo da je ova izjava netačna. Na osnovu ove pretpostavke dolazimo do kontradikcije, naime, dokazujemo da je neka tvrdnja tačna i netačna u isto vrijeme. Iz ovoga zaključujemo da je pretpostavka netačna i da je originalna izjava istinita.

Koristeći opisanu metodu, dokazujemo tvrdnju:

ako \(n\) nije čak broj, tada je broj \(n^2\) neparan.

Pretpostavimo suprotno, tj. neka bude tako nešto neparan broj\(n\) , da je broj \(n^2\) paran. Tada će, s jedne strane, razlika \(n^2-n\) biti neparan broj, a s druge strane, broj \(n^2-n=n(n-1)\) je očigledno čak, kao proizvod dva uzastopna cijela broja. Dobija se kontradikcija, naime: broj \(n^2-n\) je paran i neparan u isto vrijeme. Ovo dokazuje da je napravljena pretpostavka netačna i stoga je originalna izjava tačna.

Razmatrana shema dokaza kontradikcijom nije jedina. Koriste se i druge sheme za dokaz kontradikcijom:

\(\frac(A,\lnot B)(\lnone A)\) ili \(\frac(A,\lnot B)(B)\) .

Druga shema indirektnog dokaza (prema zakonu kontrapozicije) zasniva se na ekvivalenciji dvaju iskaza \(A\Rightarrow B\) i \(B\Rightarrow \lnot A\) . Zaista, ove izjave su ili istinite ili obje netačne. Na primjer, izjave „ako pada kiša, onda su na nebu oblaci" i "ako nema oblaka na nebu, onda ne pada kiša" su tačne i izjave "ako ima oblaka na nebu, onda pada kiša" i "ako ne pada kiša, onda nema oblaka na nebu" oba su tačna laž.

U mnogim problemima morate dokazati valjanost neke izjave (formule) za bilo koji prirodni broj \(n\) . Direktna provjera takvih iskaza za svaku vrijednost n je nemoguća, jer je skup prirodnih brojeva beskonačan. Da bismo dokazali takve iskaze (formule) koristimo se metoda matematičke indukcije, čija je suština sljedeća. Neka je potrebno dokazati istinitost iskaza \(A(n)\) za sve \(n\in \mathbb(N)\) . Da biste to učinili, dovoljno je dokazati dvije tvrdnje:

1) izjava \(A(n)\) je tačna za \(n=1\) . Ovaj dio dokaza naziva se baza indukcije;

2) za bilo koji prirodni broj \(k\) iz činjenice da je tvrdnja tačna za \(n=k\) (induktivna pretpostavka) slijedi da je tačna za sljedeći broj \(n=k+1\) , tj. \(A(k)\Strelica desno A(k+1)\) . Ovaj dio dokaza naziva se induktivni korak.

Ako su tačke 1, 2 dokazane, možemo zaključiti da je izjava \(A(n)\) tačna za bilo koji prirodni broj \(n\) .

U stvari, ako je izjava \(A(1)\) tačna (vidi tačku 1), onda je i izjava \(A(2)\) također tačna (vidi tačku 2 za \(n=1\)). Pošto je \(A(2)\) tačno, onda je i \(A(3)\) tačno (vidi tačku 2 za \(n=2\)), itd. Na ovaj način možete doći do bilo kojeg prirodnog broja \(n\) dok se uvjerite da je \(A(n)\) istina.

Napomena B.6. U nizu slučajeva može biti potrebno dokazati valjanost određene izjave \(A(n)\) ne za sve prirodne \(n\), već samo za \(n\geqslant p\), tj. počevši od nekog fiksnog broja \(p\) . Tada se metoda matematičke indukcije modificira na sljedeći način:

1) baza indukcije: dokazati istinitost \(A(p)\) ;

2) korak indukcije: dokazati \(A(k)\Rightarrow A(k+1)\) za bilo koji fiksni \(k\geqslant p\) .

Iz tačaka 1, 2 proizlazi da je tvrdnja \(A(n)\) tačna za sve prirodne brojeve \(n\geqslant p\) .

Primjer B.16. Dokažite valjanost jednakosti \(1+3+5+\ldots+(2n-1)=n^2\) za bilo koji prirodni broj \(n\) .

Rješenje. Označimo zbir prvih \(n\) neparnih brojeva sa \(S_n=1+3+\ldots+(2n-1)\) . Potrebno je dokazati tvrdnju \(A(n):\) "jednakost \(S_n=n^2\) je tačna za bilo koje \(n\in \mathbb(N)\)". Dokaz ćemo izvesti indukcijom.

1) Pošto je \(S_1=1=1^2\) , tada je za \(n=1\) jednakost \(S_n=n^2\) tačna, tj. izjava \(A(1)\) je tačna. Osnova indukcije je dokazana.

2) Neka je \(k\) bilo koji prirodan broj. Izvršimo korak indukcije \(A(k)\Rightarrow A(k+1)\) . Pod pretpostavkom da je izjava \(A(n)\) tačna za \(n=k\), tj. \(S_k=k^2\) , dokažimo da je tvrdnja \(A(n)\) tačna za sljedeći prirodni broj \(n=k+1\), odnosno, \(S_(k+ 1)=(k +1)^2\) . stvarno,

\(S_(k+1)= \underbrace(1+3+5+\ldots+(2k-1))_(S_k)+ \bigl= S_k+2k+1= k^2+2k+1= (k +1)^2.\)

Stoga \(A(k)\Rightarrow A(k+1)\) i na osnovu metode matematičke indukcije zaključujemo da je tvrdnja \(A(n)\) tačna za bilo koji prirodni broj \(n\) , to jest, formula \( S_n=n^2\) je tačna za bilo koje \(n\in \mathbb(N)\) .

Primjer B.17. Permutacija \(n\) brojeva je skup prvih \(n\) prirodnih brojeva, uzetih nekim redoslijedom. Dokažite da je broj različitih permutacija jednak \(n!\) . Izraz \(n!\) (čitaj "\(n\) faktorijel") je jednak \(n!= 1\cdot2 \cdot3\cdot \ldots\cdot (n-1)\cdot n\). Dvije permutacije \((i_1,i_2,\ldots,i_n)\) i \((j_1,j_2,\ldots,j_n)\) brojeva \(n\) smatraju se jednakima ako \(i_1=j_1, i_2=j_2,\ldots,i_n=j_n\), a ako je barem jedna od jednakosti prekršena, permutacije se smatraju različitim.

Rješenje. Provedimo dokaz metodom matematičke indukcije.

1) Za \(n=1\) postoji samo jedna permutacija \((1)\), tj. \(1!=1\) i izjava je tačna.

2) Pretpostavimo da je za bilo koje \(k\) broj permutacija jednak \(k!\) . Dokažimo da je broj permutacija \((k+1)\) brojeva jednak \((k+1)!\) . U stvari, popravimo broj \((k+1)\) na bilo kojem mjestu u permutaciji \((k+1)\) brojeva i smjestimo prve \(k\) prirodne brojeve u preostale \ (k\) mjesta . Broj takvih permutacija jednak je broju permutacija \(k\) brojeva, tj. \(k!\) induktivnom hipotezom. Kako se broj \((k+1)\) može postaviti na bilo koje od (k+1) mjesta u permutaciji, zaključujemo da je broj različitih permutacija \((k+1)\) brojeva jednak na \((k+ 1)\cdot(k!)=(k+1)!\) . Dakle, pod pretpostavkom da je izjava tačna za \(n=k\) , bilo je moguće dokazati da je tačna za \(n=k+1\) .

Iz tačaka 1 i 2 slijedi da je tvrdnja tačna za bilo koji prirodni broj \(n\) .

Napomena B.7. Formalne metode za izvođenje teorema korištenjem višestrukih obrazaca ispravnog zaključivanja proučavaju se u matematičkoj logici. Ove metode po pravilu stvaraju samo nove formulacije teorema koje odražavaju stari sadržaj. Stoga su neefikasne za razvoj matematičke teorije. Međutim, zakoni matematičke logike i šeme ispravnog zaključivanja moraju se poštovati kada se proučava bilo koji matematički problem.

Javascript je onemogućen u vašem pretraživaču.
Da biste izvršili proračune, morate omogućiti ActiveX kontrole!

... § 18. Studenti koji počnu sa geometrijom često ne osećaju potrebu da dokazuju istine sa kojima se susreću na početku kursa geometrije. Učenik je, prije nego što je počeo studirati geometriju, već bio naviknut na pitanje: zašto tako mislite? I sam nastavnik geometrije je morao da mu postavi ovo pitanje više od jednom pre nego što je smatrao da je vreme da počne da objašnjava šta je teorema, a šta dokaz. I stoga, uz takvo objašnjenje učitelja, glavna stvar je ukazati na prednosti spekulativnog dokaza u odnosu na druge, njegovu obaveznu prirodu u rješavanju geometrijskih pitanja. Nastavnik će morati odabrati jednu od teorema na početku kursa i njome objasniti značenje i svrhu geometrijskog dokaza. Oni predlažu da se za ovo odabere teorema, čija valjanost studentima možda neće biti sasvim očigledna, i da, koristeći to, izazovu sumnju kako u samu njenu istinitost, tako i u neprikladnost onih metoda rješavanja problema koji su poznato studentima, i na taj način ih dovode do neophodnosti da potvrde ili opovrgnu traže u drugom metodu dokaza. Kao što smo vidjeli, postoji čak i mišljenje da bi bilo još ispravnije sačekati dok sami učenici ne naiđu na sumnju prilikom rješavanja bilo kojeg geometrijskog pitanja, a zatim početi tumačiti teoremu. Ovaj prijedlog je, čini mi se, zasnovan na nesporazumu. Stvar bi tako stajala da, ponavljamo još jednom, učenici do tada nisu dokazali istine i da bi sve što su im rekli nastavnici prihvatili kao aksiome. U stvari, učenici razumiju razliku između istine i neistine, pa čak razlikuju istine koje zahtijevaju potvrdu od aksioma. Prepoznajući nešto kao istinito, govore iz uvjerenja i mogu iznijeti argumente u korist svog mišljenja. Ali, počevši od geometrije, još nisu upoznati s preciznijim dokazom, čiji primjeri postoje obuka prvi put se susreću u geometriji. Štaviše, oni možda još ne prepoznaju samu potrebu da se pronađu tačnije metode dokaza od onih koje su koristili. Ilustrirajmo to primjerom. Učenik može uzeti jednakost svih pravih uglova kao aksiom, odnosno može potpuno vjerovati svom neposrednom utisku i ne sumnjati da se svi slažu oko veličine pravih uglova, da u to niko ne sumnja. Ali ako sumnjate i tražite dokaze, on bi se našao i nametnuo bi ih, kao što je to činio na časovima crtanja i na propedeutskom kursu. Istu tehniku ​​koristio je i u sistematskom kursu: izmjerivši dvije prave, rekao je koja je od njih veća, i pritom se uvjerio da je ovo mjerenje poslužilo kao argument, dokaz valjanosti njegovog zaključka o uporednom dužine dve prave linije. Ovo uvjerenje je tačka na koju bi u ovom slučaju nastavnik trebao posvetiti svu svoju pažnju. Za njega je važno da ne dovodi u sumnju valjanost sadržaja teoreme - učenici takvu sumnju prepoznaju kao legitimnu i neće biti iznenađeni pitanjem nastavnika: zašto? dokaži to! - ali da se učenicima usadi koliko je važno biti u stanju generalizirati istinu pronalaženjem spekulativnih dokaza za to. Ako govorimo o dvije ravne linije, onda je, kada se odlučuje o pitanju uporedne dužine, sasvim moguće ili vjerovati dojmu oka, ili, ako to nije dovoljno, izmjeriti ih. Ali geometrija nema na umu takve praktične potrebe: kao nauku je ne zanimaju nikakve proizvoljne prave, već prave, čija je veličina određena poznatim uslovima. Istine koje pripadaju geometriji imaju određeni stepen uopštenosti, ali važe samo pod određenim uslovima. Izbor teme za demonstriranje značaja spekulativnog dokaza stoga je određen time da li je njegov dokaz prikladan za razumijevanje njegove prirode i vrijednosti, a ne da li je moguće kod učenika izazvati sumnju u valjanost samog sadržaja. teoreme. Da bi naša poenta bila jasnija, pretpostavimo da smo odabrali teoremu: svaka tetiva je manja od prečnika iste kružnice i zabilježite glavne dijelove lekcije posvećene uvjeravanju učenika u potrebu dokaza. 1. Prečnik i tetiva su nacrtani u istom krugu. Na pitanje koja od ovih linija je duža, učenici će sa uvjerenjem reći da je ovaj prečnik veći od ove tetive. Ako u istom krugu nacrtamo još nekoliko tetiva, onda će se sa istom lakoćom i sa istim stepenom tačnosti dobiti zaključak da će sve biti kraće od prečnika. Možete, naravno, zahtijevati da se poređenje izvrši preciznije, to jest, ne očima, već mjerenjem. 2. Dalje, pitanje je riješeno: možemo li sada reći da su sve tetive također manje od prečnika? Potrebno je uvjeriti studente da je takva generalizacija nemoguća. S jedne strane, nemoguće je izmeriti sve akorde, jer ih ima bezbroj (a ne zato što bi to oduzelo mnogo vremena), as druge strane, ako je nemoguće sve izmeriti, onda je uvijek je moguće sumnjati da li će se među neizmjerenim naći tetiva koja će biti veća ili barem jednaka prečniku. Ako od kraja prečnika povučemo tetivu pod vrlo malim uglom prema njemu, onda nije teško navesti učenike da osjete da nas poređenje mjerenjem može dovesti do pogrešnog zaključka, zbog mogućnosti greške u samom mjerenju. , što može imati vrlo veliki značaj, kada su upoređena proširenja vrlo bliska po veličini. Otuda zaključak da je potrebno pronaći drugi način za rješavanje problema, koji bi omogućio da se naš zaključak proširi na sve akorde. 3. Općenitost argumenta ili spekulativnog dokaza se ne izvodi iz njegovog ponavljanja u nekoliko crteža, već iz analize dijelova dokaza. Da li je moguće spojiti krajeve svakog akorda sa centrom? U ovom slučaju, hoće li tetiva uvijek biti ravna, a poluprečnici tvore izlomljenu liniju koja počiva na jednom od ravnih krajeva? Hoće li se ova izlomljena linija uvijek sastojati od dva poluprečnika i stoga će biti jednaka prečniku? Analizirajući dokaz na ovaj način, imamo pravo reći da kada govorimo o jednom akordu, mislimo na sve akorde. Ako se u našem dokazu čak i jedan dio ne bi mogao primijeniti na svaki akord, onda bi dokaz izgubio svu svoju vrijednost. Ponavljanje dokaza na drugom crtežu ima značenje ponavljanja, kao način njegove bolje asimilacije, a ne kao potvrda njegove općenitosti. Treba napomenuti da se od učenika ne može očekivati ​​da odmah u potpunosti razumiju ovaj aspekt geometrijskih dokaza. U daljem izlaganju predmeta biće potrebno vratiti se na ovaj aspekt materije i u tu svrhu natjerati studente da korak po korak provjeravaju dokaz, da li svi njegovi dijelovi imaju opšti karakter i da li je nešto pošteno nije u njega uveden samo slučajno, zbog posebnosti crteža. Da bismo u potpunosti razjasnili značenje teoreme i njenog dokaza, potrebno je zadržati se na riječima u teoremi: tetiva i prečnik jedne kružnice. Najbolje je, slijedeći isti put naznačen gore, osvrnuti se na činjenicu da je izlomljena linija u ovom slučaju jednaka dva polumjera, a samim tim i prečniku iste kružnice u koju je upisana tetiva, što ako uzmemo tetivu jednog kruga, a prečnik je inače, onda pomenuta jednakost neće postojati, a kada bismo je spomenuli u našem obrazloženju, onda bi samo rezonovanje bilo netačno. Pozvati se na crtež za potvrdu dodatih riječi (uzeti tetivu velikog kruga, a prečnik drugog malog) značilo bi vraćanje neposrednom utisku, dok je formalna strana časa uvjeravanje učenika u potrebu da se koristi spekulacije...

Tema 13. Teoreme i dokazi

U ovoj temi ćete se upoznati karakteristična karakteristika Matematika, u poređenju sa fizikom i drugim naukama, priznaje samo one istine ili zakone koji su dokazani. S tim u vezi, analizirat će se pojam teorema i razmotriti neke vrste teorema i metode njihovog dokazivanja.

09-13-03. Posebnost matematike

Teorija

1.1. Ako uporedimo matematiku i fiziku, obje ove nauke koriste i zapažanja i dokaze. Uz eksperimentalnu fiziku, postoji i teorijska fizika, u kojoj se neke tvrdnje, poput teorema iz matematike, dokazuju na osnovu zakona fizike tako što se uzastopno izvode neke tvrdnje iz drugih. kako god fizički zakoni priznaju se kao istinite samo kada se potvrde veliki broj eksperimenti. Ovi zakoni se vremenom mogu poboljšati.

Matematika takođe koristi zapažanja.

Primjer 1: Uočavanje toga

možemo pretpostaviti da je zbir prvih hiljadu neparnih prirodnih brojeva 1.000.000.

Ova izjava se može potvrditi direktnim proračunima, trošeći ogromnu količinu vremena.

Također možemo napraviti opću pretpostavku da je za bilo koji prirodni broj zbir početnih neparnih brojeva jednak . Ova tvrdnja se ne može provjeriti direktnim proračunima, jer je skup svih prirodnih brojeva beskonačan. Međutim, postavljena pretpostavka je tačna jer se može dokazati.

Primjer 2. Možemo izmjeriti uglove mnogih trouglova..gif" height="20">, istina je ako uzmemo Euklidov peti postulat kao aksiom. dokazan u 7. razredu.

Primjer 3. Zamjena u polinom

umjesto prirodnih brojeva od 1 do 10 dobijamo proste brojeve 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151. Može se pretpostaviti da za bilo koji prirodna vrijednost kvadratni trinom je prost broj. Provjera je pokazala da to zaista vrijedi za bilo koji prirodni broj od 1 do 39. Međutim, pretpostavka je netačna, jer je rezultat složeni broj:

Upotreba dokaza umjesto posmatranja za utvrđivanje istinitosti teorema je obilježje matematike.

Zaključak donesen na osnovu čak i brojnih zapažanja smatra se matematičkim zakonom samo kada je dokazan.

1.2. Ograničimo se na intuitivni koncept dokaza, kao sekvencijalno izvođenje nekih sudova iz drugih, bez provođenja tačna analiza koncepte zaključivanja ili zaključivanja. Analizirajmo koncept teoreme detaljnije.

Teoremom se obično naziva izjava čija se istinitost utvrđuje dokazom. Koncept teoreme se razvijao i usavršavao zajedno sa konceptom dokaza.

U klasičnom smislu, teorema se shvata kao tvrdnja koja se dokazuje izvođenjem nekih tvrdnji iz drugih. U ovom slučaju, neki moraju biti odabrani početni zakoni ili aksiome, koji se prihvataju bez dokaza.

Sistem aksioma u geometriji prvi je konstruisao starogrčki matematičar Euklid u svom čuvenom delu Elementi. Slijedeći aksiome u Euklidovim elementima, teoreme i probleme za konstruiranje pod uobičajeno ime ponude. Teoreme su raspoređene u strogom nizu.

Svaka teorema se prvo iznosi, zatim se navodi šta je dato, a šta treba dokazati. Zatim se predstavlja dokaz sa svim referencama na prethodno dokazane tvrdnje i aksiome. Ponekad se dokaz završava riječima koje je trebalo dokazati. Prevedeni na sve evropske jezike, Euklidovi elementi, uključujući 13 knjiga, ostali su do 18. veka jedini udžbenik koji se koristio za izučavanje geometrije u školama i na univerzitetima.

1.3. Da bi se lakše identifikovalo šta je dato, a šta treba dokazati, teoreme su formulisane u obliku ako..., onda.... Prvi deo formulacije teoreme između ako i tada naziva se stanje teorema, a drugi dio, koji je napisan nakon toga, zove se zaključak teoreme.

Uslovi teoreme sadrže opis onoga što je dato, a zaključak sadrži ono što treba dokazati.

Ponekad se ovaj oblik teoreme naziva logička forma teoremi, a skraćeno je kao ako-onda oblik.

Primjer 4. Razmotrite sljedeću teoremu.

Ako je paran prirodan broj, onda je to neparan broj.

U ovoj teoremi, uslov je da se bilo koji paran broj uzima ..gif" width="32 height=19" height="19"> neparan.

Često su uvjet i zaključak napisani različitim riječima.

Primjer 5. Teorema iz primjera 1 može se napisati u sljedećem obliku:

Neka je paran prirodan broj. Tada je neparan broj.

U ovom slučaju umjesto riječi ako koriste riječ neka, a umjesto riječi onda pišu riječ onda.

Primjer 6. Teorema iz primjera 1 se također može napisati u sljedećem obliku:

Iz činjenice da je prirodni broj paran, proizilazi da broj .gif" width="13" height="15"> implicira da je broj neparan.

U ovom slučaju, riječ if je izostavljena, a umjesto riječi then koristi se riječ povlači.

Ponekad se koriste druge vrste zapisa teorema.

1.4. U nekim slučajevima, uslovi teoreme nisu zapisani u njenoj formulaciji. To se dešava kada je iz teksta jasno u kakvom obliku ovo stanje može imati.

Primjer 8. Znate teoremu: medijane trougla seku se u jednoj tački.

U logičkom obliku, ova teorema se može napisati na sljedeći način:

Ako nacrtate sve medijane u bilo kojem trouglu, tada će se ove medijane sjeći u jednoj tački.

Primjer 9. Teorema o beskonačnosti skupa prostih brojeva može se napisati kao:

Ako je skup svih prostih brojeva, onda je beskonačan.

Da bi uspostavili veze između teorema u matematici, koriste se poseban jezik, o čemu će se djelimično govoriti u narednim paragrafima ovog poglavlja.

Kontrolna pitanja

1. Koje primjere zapažanja iz matematike znate?

2. Koje aksiome geometrije poznajete?

3. Koji zapis teoreme se naziva logičkim oblikom teoreme?

4. Koji je uslov teoreme?

5. Kako se naziva zaključak teoreme?

6. Koje oblike pisanja teorema poznajete?

Zadaci i vježbe

1. Koje pretpostavke možete napraviti posmatrajući:

a) proizvod dva susedna prirodna broja;

b) zbir dva susedna prirodna broja;

c) zbir tri uzastopna prirodna broja;

d) zbir tri neparna broja;

e) posljednje cifre u decimalnom zapisu brojeva .gif" width="13 height=15" height="15">;

f) broj dijelova na koje je ravan podijeljena različitim pravim linijama koje prolaze kroz jednu tačku;

g) broj delova na koje je ravan podeljena raznim pravim linijama, od kojih su prave paralelne u parovima i seku .gif" width="13" height="20">.gif" height="20" > brojevi oblika , gdje je prirodan broj;

d) zbir dva iracionalna broja?

3. Koju pretpostavku možete napraviti posmatrajući središta opisanih kružnica oko tupouglova?

4. Napišite teoremu u logičkom obliku:

a) zbir unutrašnjih uglova konveksnog https://pandia.ru/text/80/293/images/image017_1.gif" width="81 height=24" height="24">;

b) bilo koja dva pravougaona jednakokraki trougao slično;

c) jednakost vrijedi za bilo koje cijele brojeve i ;

d) visina jednakokrakog trougla povučena do njegove osnove prepolovi ugao na vrhu ovog trougla;

e) za sve nenegativne brojeve i nejednakost je zadovoljena;

f) zbir dva suprotna ugla četvorougla upisanog u krug je 180;

g) broj nije racionalan broj;

h) svi prosti brojevi koji su veći od 10 su neparni;

i) dijagonale kvadrata su jednake, okomite i popolovljene u tački preseka;

j) iz svih četvorouglova upisanih u dati krug, kvadrat ima najveću površinu;

k) postoji paran prost broj;

l) nijedan prost broj se ne može predstaviti kao zbir dva različita neparna prirodna broja;

m) zbir kubova prvih prirodnih brojeva je kvadrat nekog prirodnog broja.

5.* Napišite svaku od teorema datih u prethodnom zadatku u nekoliko različitih oblika.

Odgovori i upute

Zadatak 1. Koje pretpostavke možete napraviti posmatrajući:

a) proizvod dva susedna prirodna broja;

b) zbir dva susedna prirodna broja;

c) zbir tri uzastopna prirodna broja;

d) zbir tri neparna broja;

d)posljednje cifre u decimalnom zapisusa prirodnim;

e) https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" width="9 height=20" height="20"> broj delova na koje je ravan podeljen https://pandia.ru/text/80/293/images/image014_1.gif" width="17" height="15"> prave su u paru paralelne i seku.gif" width="13 height=20" height="20"> broj delova na koje je ravan podeljen https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" height="20 src="> mogu se dobiti samo četiri cifre:

0, 1, 5, 6; e)https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" height="20 src=">.gif" width="13" height="20 src=">.gif" width ="13" visina="15"> -gon je jednako;

b) bilo koja dva pravougla jednakokračna trougla su slična;

c) jednakostradi za bilo koje cijele brojeveI;

Indukcija- oblik mišljenja kroz koji se misao usmjerava na nešto opšte pravilo, opšti položaj, svojstveno svim specifičnim objektima bilo koje klase.
Odbitak- oblik mišljenja kada je nova misao izvedena čisto logički iz prethodnih misli. Ovaj slijed misli naziva se zaključak, a svaka komponenta ovog zaključka je ili prethodno dokazana misao, aksiom ili hipoteza.
Deduktivni dokaz- jedan od oblika dokaza kada se teza, koja je neka vrsta pojedinačne ili posebne presude, podvede pod opšte pravilo.
Svaki dokaz se sastoji od tri dijela:
teze, argumenti, demonstracije.
Pravila dokazivanja:
1. Teza i argumenti moraju biti jasni i određeni.
2. Teza mora ostati ista tokom cijelog dokaza.
3. Teza ne treba da sadrži logičku kontradikciju.
4. Teza koja se dokazuje ne treba da bude u logičkoj suprotnosti sa prethodno izrečenim sudovima.
5. Argumenti dati u prilog tezi ne bi trebali biti u suprotnosti jedni s drugima.
6. Svođenje do apsurda. Istinitost jedne ili druge teze može se potkrijepiti dokazivanjem netačnosti suprotne teze.
7. Teza i argumenti moraju biti potkrijepljeni činjenicama.
8. Dokaz mora biti potpun.
9. Argumenti dati za potvrdu istinitosti teze moraju biti dovoljni za ovu tezu.
10. Argumenti dati da se dokaže istinitost teze moraju sami biti tačni.
11. Argumenti moraju biti sudovi čija je istinitost dokazana nezavisno, bez obzira na tezu.
NAPOMENA: Teza - ideja ili tvrdnja čiju istinu treba dokazati.

Naučimo dokazati teoremu.

Nije tako teško savladati sadržaj teorema (pravila, formula, identiteta, itd.) koje se izučavaju u školi. Da biste to učinili, potrebno je sistematski pokušavati razumjeti značenje teoreme (pravila, formule, identiteti itd., primjenjivati ​​ih što je češće moguće pri rješavanju problema, pri dokazivanju drugih teorema. Takav rad, kako praksa pokazuje, vodi do nehotične asimilacije njihovog sadržaja, pamćenja njihovih formulacija. Mnogo je teže naučiti dokazivati ​​teoreme. U ovom slučaju ne govorimo o pamćenju dokaza određene teoreme o kojoj se raspravljalo na času. Nema potrebe da biste konkretno zapamtili dokaz, morate naučiti kako sami dokazati teoreme.Dokaze teorema u udžbeniku treba posmatrati kao model (standardno) rezonovanje prilikom dokazivanja tvrdnje.

Šta znači dokazati teoremu, šta je dokaz?

Dokaz u širem smislu je logičko rasuđivanje, tokom kojeg se istinitost misli opravdava uz pomoć drugih odredbi.

Dakle, kada svog prijatelja u nešto uvjeravate ili branite svoje mišljenje, svoje gledište u sporu s njim, tada u suštini iznosite dokaz (vješto ili nevješto - to je drugo pitanje). U životu, sve vrijeme, svaki dan u komunikaciji sa drugim ljudima, moraš dokazati određene misli, izjave, moraš u nešto uvjeravati, tj. dokazivati.

Dokaz matematičkih teorema je poseban slučaj dokaza uopšte. Razlikuje se od dokaza u svakodnevnim uslovima ili u drugim naukama po tome što se izvodi što je moguće čistije deduktivno (od latinske reči dedukcija - zaključak), tj. deduciranjem nove dokazive misli (tvrdnje, suda) iz prethodno dokazane ili prihvaćene bez dokazati misli (aksiome) prema pravilima logike bez ikakvog pozivanja na primjere ili iskustvo. U drugim naukama, u svakodnevnim okolnostima, često pribjegavamo primjerima i iskustvu za dokaz. Kažemo: "Pogledaj" - i to može poslužiti kao dokaz. U matematici je ova metoda dokazivanja neprihvatljiva; pozivanje, na primjer, na očigledne odnose ilustrovane crtežom nije dozvoljeno. Matematički dokaz mora biti lanac logičkih posljedica od početnih aksioma, definicija, uslova teoreme i prethodno dokazanih teorema do traženog zaključka.

Dakle, prilikom dokazivanja teoreme, mi je svodimo na prethodno dokazane teoreme, a ove, pak, na druge, itd. Očigledno, ovaj proces redukcije mora biti konačan, i stoga svaki dokaz na kraju svodi teoremu koja se dokazuje na originalne definicije i aksiomi prihvaćeni bez dokaza.

Prema tome, aksiomi služe ne samo za indirektno definiranje primarnih pojmova, već i kao osnova za dokaz svih matematičkih teorema. Zato među aksiomima ima i onih koji ukazuju na posebna svojstva pojmova koji imaju logičke definicije. Tako, na primjer, paralelne linije u kursu geometrije nisu primarni koncept, već definirani. Međutim, jedno od svojstava paralelnih pravih je to h kroz tačku koja ne leži na datoj pravoj, na ravni je moguće povući najviše jednu pravu paralelnu sa datom, prinuđeni smo da to uzmemo kao aksiom, jer, kako je ustanovio veliki ruski geometar N. I. Lobachevsky (1792-1856), kao i njemački matematičar K. F. Gauss (1777-1855) i mađarski matematičar J. Bolyai (1802-1860), nemoguće je dokazati ovo svojstvo paralelnih pravih samo na osnovu preostalih aksiome geometrije.

Svaki korak dokaza sastoji se od tri dijela:

1) propozicija (aksiom, teorema, definicija) na osnovu koje se izvodi ovaj korak dokazivanja; ova osnova koraka dokazivanja naziva se premisa ili argument;

2) logičko rasuđivanje, pri čemu se premisa primenjuje na uslove teoreme ili na prethodno dobijene posledice;

3) logična posledica primene premise na uslove ili prethodno dobijene posledice.

U zadnjem koraku dokaza teoreme, kao posljedicu dobijamo tvrdnju koju je trebalo dokazati. Hajde da demonstriramo postupak dokazivanja koristeći sljedeću teoremu kao primjer: "Diagonale pravokutnika su jednake."

U ovoj teoremi dat nam je proizvoljan (bilo koji) pravougaonik.Da bismo olakšali rasuđivanje tokom procesa dokazivanja, postupite na sljedeći način. Nacrtajmo dobro definiran pravougaonik ABCD, ali u dokazu nećemo koristiti nikakve posebne karakteristike ovog pravokutnika (na primjer, da je njegova stranica AB približno 2 puta veća od stranice AD, itd.). Stoga će naše razmišljanje o ovom konkretnom pravougaoniku biti istinito za bilo koji drugi pravougaonik, odnosno biće opšte prirode za sve pravougaonike.

Nacrtajmo dijagonale AC i BD. Razmotrimo dobijene trouglove ABC i ABD. Za ove trouglove uglovi ABC i BAD su jednaki kao pravi uglovi, krak AB je zajednički, a kraci BC i AD jednaki su kao suprotne strane pravougaonika. Dakle, ovi trouglovi su podudarni. Iz toga slijedi da su stranice AC i BD također jednake, što je i trebalo dokazati.

Cijeli dokaz ove teoreme može se prikazati na sljedećem dijagramu.

Korak br.	Prostorije (argumenti)	Uslovi	Posljedice
1.	Definicija: pravougaonik je četvorougao sa svim pravim uglovima	ABCD - pravougaonik	A - ravno B> - ravno.
2.	Teorema: Pravi uglovi su jednaki.	A - ravno B - ravno.	A=B.
3.	Teorema: Suprotne strane pravougaonika su jednake.	ABCD - pravougaonik	BC=AD
4.	Prvi znak jednakosti dva trougla.	BC=AD, AB=AB,B=A	ABC=LOŠE.
5.	Određivanje jednakosti trouglova.	ABC =LOŠE AC i BD su odgovarajuće strane	AC=BD.

Najteže u dokazu je pronaći niz premisa (aksioma, teorema, definicija), primjenom koje na uslove teoreme ili međurezultate (posljedice) na kraju možete dobiti željenu posljedicu – poziciju koja se dokazuje.

Koja pravila trebate slijediti kada tražite ovu sekvencu? Očigledno, ova pravila ne mogu biti obavezna, već samo ukazuju na moguće puteve pretraživanja. Stoga se nazivaju heurističkim pravilima ili jednostavno heuristika (od grčke riječi eureka - nalazim, pronalazim). Mnogi izuzetni matematičari, kao što su Pap (starogrčki matematičar koji je živeo u 3. veku), Blaise Pascal (1623-1662), René Descartes (1596-1650), Jacques Hadamard (1865-1963), Derge Poya (1887) i mnogi drugi, proučavao razvoj heuristike za pronalaženje dokaza teorema i rješavanje problema. Evo nekih heuristika koje je korisno zapamtiti:

1. Korisno je zamijeniti nazive objekata o kojima mi pričamo o tome u teoremu (problemu), njihove definicije ili karakteristike.

Na primjer, teorema o kojoj smo gore govorili bila je o pravokutniku, a mi smo koristili definiciju pravokutnika da to dokažemo.

2. Ako je moguće, onda morate podijeliti poziciju koju treba dokazati na dijelove i dokazati svaki dio posebno.

Tako, na primjer, dokaz teoreme: "Ako se u četverokutu dijagonale sijeku i podijele na pola točkom presjeka, onda je ovaj četverokut paralelogram" - može se podijeliti na dva dijela: prvo dokazati da je jedan par suprotnih strana ovog četvorougla je paralelan, a zatim dokazati da je i drugi par suprotnih strana paralelan.

To treba učiniti uvijek kada je moguće iskaz koji se dokazuje razbiti na nekoliko dijelova jednostavnijih iskaza.

3. U potrazi za dokazom teoreme, korisno je ići iz dva smjera: od uslova teoreme do zaključka i od zaključka do uslova.

Na primjer, trebate dokazati sljedeću teoremu: „Ako je određeni niz takav da je bilo koji od njegovih članova, počevši od drugog, aritmetička sredina prethodnog i narednih članova, tada je ovaj niz aritmetička progresija».

Pođimo od uslova teoreme. Šta nam je dato? Dato je da svaki član niza, počevši od drugog (označavamo ga a n, gdje je n³ 2), je aritmetička sredina prethodnog i narednog člana, tj.

a n- 1 i a n+1. Dakle, tačna je sljedeća jednakost:
(1)

Idemo sada sa zaključka. Šta treba da dokažemo? Moramo dokazati da je ovaj niz aritmetička progresija. Koji niz se naziva aritmetička progresija? Prisjetimo se definicije:

a n = a n-1 + d, Gdje n2, d- konstantan broj. (2)

Usporedimo uslov (1) koji nam je dat sa zaključkom (2). Da bi uslov dobio oblik zaključka, mora se transformisati na sledeći način:

2a n = a n-1 + a n+1 , (3)

Odavde a n- a n-1= a n+1 - a n . (4)

Lijeva i desna strana (4) znače istu stvar, odnosno razliku između dva uzastopna člana datog niza. Ako je u jednakosti (4) P dajemo sekvencijalne vrijednosti 2, 3, itd., dobijamo: a 2 -a 1 = a 3 - a 2, onda a 3 - a 2 = a 4 - a 3 itd. Shodno tome, sve ove razlike su međusobno jednake, što znači da je razlika a p - a p-1 je konstantan broj koji se može označiti slovom, na primjer slovom d:

a n - a n-1 = d.

Odavde dobijamo: a n = a n-1 + d, a to znači da je, prema definiciji (2), ovaj niz aritmetička progresija, što smo morali dokazati.

Ova heuristika se može formulirati na sljedeći način: moramo pokušati približiti uvjet i zaključak teoreme, transformirajući ih ili zamjenjujući posljedicama.

Postoji i niz specifičnijih heurističkih pravila koja se koriste kada se traže samo neke teoreme. Na primjer, ova heuristika: da bi se dokazala jednakost bilo kojeg segmenta, potrebno je pronaći ili konstruirati figure čije su odgovarajuće strane ovi segmenti; ako se ispostavi da su brojke jednake, tada će odgovarajući segmenti biti jednaki.

Kada proučavate teoreme, ne morate samo zapamtiti njihov dokaz, već svaki put razmisliti i utvrditi kojim metodama se dokazuju, koja su heuristička pravila korištena za pronalaženje ovih dokaza, kako ste pogodili (došli do) ovih dokaza.

U brojnim slučajevima, za dokazivanje teorema koristi se posebna tehnika koja se naziva „dokaz kontradikcijom“ ili „svođenje na apsurd“.

Suština ove tehnike je da pretpostavljaju nepravednost (pogrešnost) zaključka date teoreme i dokazuju da takva pretpostavka vodi u kontradikciju sa uslovom ili sa prethodno dokazanim teoremama ili aksiomima. A budući da bilo koja izjava može biti ili istinita ili lažna (ništa drugo ne može biti), rezultirajuća kontradikcija pokazuje da je pretpostavka da je zaključak teoreme lažan i, prema tome, zaključak je istinit, čime se dokazuje teorema.

Dajemo primjer.

Teorema. Dvije prave, odvojeno paralelne s trećom, paralelne su jedna s drugom.

Dato: a||c, b||c.
Dokaži: a||b.

Dokažimo ovu teoremu kontradikcijom. Pretpostavimo da je zaključak teoma netačan, odnosno da prava a nije paralelna pravoj b. Tada se seku u određenoj tački M. A pošto je, po uslovu, svaka od ovih pravih paralelna pravoj c, ispada da su dve prave a i b povučene kroz tačku M, paralelne sa istom pravom c. A iz aksioma paralelizma znamo da kroz tačku izvan prave ne možemo povući više od jedne prave paralelne datoj. Došli smo do kontradikcije sa aksiomom. Ovo pokazuje da je naša pretpostavka da prave a i b nisu paralelne netačna, dakle, a||b, što smo morali da dokažemo.

Još jedan primjer.

Teorema. Aritmetička sredina dva pozitivni brojevi ne manje (što znači: veće ili jednako) geometrijske sredine ovih brojeva.

Ova teorema se može napisati ovako:

Gdje je a>0, b>0, (1)

Može se dokazati direktno ili kontradiktorno. Dokažimo to kontradikcijom.

Da bismo to učinili, pretpostavimo da je netačno, odnosno da je aritmetička sredina manja od geometrijske sredine dva pozitivna broja:; (2)

Pomnožite obje strane (2) sa 2 i kvadrirajte ih, dobićemo: a 2 + 2ab + b 2<.4ab или a 2 - 2ab + b 2 < 0. По формуле квадрата разности двух чисел получаем: (а - b) 2 < 0.

Rezultat je bio očigledan apsurd: kvadrat određenog broja (a - b) je negativan, što ne može biti. Shodno tome, pretpostavka da je teorema netačna dovela je do kontradikcije, što dokazuje valjanost teoreme.

Dakle, dokaz kontradiktornosti određene teoreme sastoji se u činjenici da pretpostavimo da je zaključak teoreme netačan. Zatim donosimo niz logičkih zaključaka zasnovanih na ovoj pretpostavci, usled čega dolazimo do jasno apsurdnog stava (kontradikcija sa uslovom ili prethodno dokazanim teoremama, aksiomima). Dalje, razmišljamo ovako: da je naša pretpostavka tačna, onda bismo mogli samo doći do ispravnog zaključka, a pošto smo došli do pogrešnog zaključka, to znači da je naša pretpostavka bila lažna, dakle, time smo bili uvjereni da je zaključak teorema je tačna.

Imajte na umu da ako kao rezultat rasuđivanja nismo dobili apsurd (kontradikciju), to ne bi značilo da je pretpostavka tačna. Drugim riječima, ako polazimo od ispravnosti (pravednosti) zaključka teoreme i iz ove pretpostavke dobijemo ispravnu (očiglednu) posljedicu, to ne znači da je pretpostavka tačna: može se dogoditi da je izvorna teorema samo pogrešno.

Mnogi sofizmi su izgrađeni na tome (namjerno pogrešno konstruirani zaključci koji se čine jedino ispravnim), to objašnjava mnoge greške koje se prave prilikom rješavanja problema.

Razmotrimo, na primjer, sljedeću jednakost: a - b = b - a(1), gdje A I b- proizvoljni brojevi. Pretpostavimo da je (1) tačno, tada kvadriramo obje strane (1) i dobijemo:

a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2

Pomjeranjem svih članova na jednu stranu i dovođenjem sličnih dolazimo do potpuno ispravne jednakosti: 0 = 0. Ali iz ovoga ne možemo zaključiti da je i izvorna jednakost (1) tačna. Ako bismo donijeli takav zaključak, došli bismo do sljedećeg sofizma: 2a = 2b ili a = b, odnosno, bilo koji proizvoljni brojevi su međusobno jednaki. Greška je što jednakost kvadrata dva broja ne podrazumijeva jednakost samih brojeva. Na primjer, (-2) 2 = 2 2 , ali -22.

Evo primjera pogrešnog rješenja problema.

Zadatak. Riješite jednačinu 3+ x + 2 = 0 (1).

Pretpostavimo da jednačina (1) ima rješenje i da je, prema tome, jednakost (1) tačna. Tada dobijamo: 3 = - x - 2. Kvadirajmo obje strane jednakosti: 9x = x 2 + 4x + 4 ili x 2 -5x + 4 = 0, dakle x 1 = 4, x 2 = 1. Mogu li se pronađene vrijednosti x smatrati korijenima jednadžbe (1)? Neki učenici na ovo pitanje odgovaraju potvrdno, jer su sve transformacije jednačine tačne. Pa ipak, nijedna od pronađenih vrijednosti x nije korijen (1). Ovo je potvrđeno provjerom. Zamjenom pronađenih vrijednosti x u (1) dobijamo jasno apsurdne jednakosti: 12 = 0 i 6 = 0.

Ali kako riješiti ovu jednačinu? Imajte na umu da izraz na lijevoj strani jednačine ima smisla ako je x0. Tada lijeva strana jednadžbe, za bilo koje dopuštene vrijednosti x, uzima samo pozitivne vrijednosti i ni na koji način ne može biti jednaka 0, stoga ova jednadžba nema korijen.

Dakle, morate naučiti dokazivati ​​teoreme (formule, identitete, itd.), ovladati općim metodama traženja dokaza teorema.