Jednačina ravni koja prolazi. Jednačina paralelne ravni. Linearne nejednakosti u prostoru

Možete postaviti Različiti putevi(jedna tačka i vektor, dve tačke i vektor, tri tačke itd.). Imajući to na umu jednačina ravni može imati različite vrste. Takođe, pod određenim uslovima, ravni mogu biti paralelne, okomite, ukrštane, itd. O tome ćemo razgovarati u ovom članku. Naučit ćemo kako napraviti opštu jednadžbu ravnine i još mnogo toga.

Normalan oblik jednačine

Recimo da postoji prostor R 3 koji ima pravougaoni XYZ koordinatni sistem. Definirajmo vektor α, koji će biti oslobođen iz početne tačke O. Kroz kraj vektora α povlačimo ravan P, koja će biti okomita na nju.

Označimo proizvoljnu tačku na P kao Q = (x, y, z). Označimo radijus vektor tačke Q slovom p. U ovom slučaju, dužina vektora α je jednaka r=IαI i Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Ovo je jedinični vektor koji je usmjeren u stranu, poput vektora α. α, β i γ su uglovi koji se formiraju između vektora Ʋ i pozitivnih pravaca prostornih osa x, y, z, redom. Projekcija bilo koje tačke QϵP na vektor Ʋ je konstantna vrijednost koja je jednaka p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Gornja jednadžba ima smisla kada je p=0. Jedino što će ravan P u ovom slučaju preseći tačku O (α=0), koja je ishodište koordinata, a jedinični vektor Ʋ oslobođen iz tačke O će biti okomit na P, uprkos svom pravcu, koji znači da je vektor Ʋ određen s točnošću predznaka. Prethodna jednačina je jednačina naše ravni P, izražena u vektorskom obliku. Ali u koordinatama to će izgledati ovako:

P je ovdje veće ili jednako 0. Pronašli smo jednadžbu ravnine u prostoru u normalnom obliku.

Opća jednačina

Ako pomnožimo jednačinu u koordinatama bilo kojim brojem koji nije jednak nuli, dobićemo jednačinu koja je ekvivalentna ovoj, koja definira upravo tu ravan. To će izgledati ovako:

Ovdje su A, B, C brojevi koji su istovremeno različiti od nule. Ova jednačina se zove opšta ravan jednačina.

Jednačine ravnina. Posebni slučajevi

Jednačina u opšti pogled može se mijenjati pod dodatnim uvjetima. Pogledajmo neke od njih.

Pretpostavimo da je koeficijent A 0. To znači da je ova ravan paralelna sa datom Ox osom. U ovom slučaju, oblik jednačine će se promijeniti: Vu+Cz+D=0.

Slično, oblik jednačine će se promijeniti pod sljedećim uvjetima:

• Prvo, ako je B = 0, tada će se jednadžba promijeniti u Ax + Cz + D = 0, što će ukazati na paralelizam s Oy osom.
• Drugo, ako je C=0, tada će jednačina biti transformisana u Ax+By+D=0, što će ukazati na paralelizam sa datom Oz osom.
• Treće, ako je D=0, jednačina će izgledati kao Ax+By+Cz=0, što će značiti da ravan seče O (početak).
• Četvrto, ako je A=B=0, tada će se jednačina promijeniti u Cz+D=0, što će se pokazati paralelnim sa Oxy.
• Peto, ako je B=C=0, onda jednačina postaje Ax+D=0, što znači da je ravan na Oyz paralelna.
• Šesto, ako je A=C=0, tada će jednadžba dobiti oblik Vu+D=0, to jest, ona će izvesti paralelizam Oxz.

Tip jednadžbe u segmentima

U slučaju kada su brojevi A, B, C, D različiti od nule, oblik jednačine (0) može biti sljedeći:

x/a + y/b + z/c = 1,

u kojoj je a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Dobijamo kao rezultat.Vrijedi napomenuti da će ova ravan presjeći osu Ox u tački s koordinatama (a,0,0), Oy - (0,b,0) i Oz - (0,0,c ).

Uzimajući u obzir jednačinu x/a + y/b + z/c = 1, nije teško vizuelno zamisliti položaj ravni u odnosu na dati koordinatni sistem.

Normalne vektorske koordinate

Vektor normale n na ravan P ima koordinate koje su koeficijenti opšta jednačina date ravni, odnosno n (A, B, C).

Da bi se odredile koordinate normale n, dovoljno je poznavati opštu jednačinu date ravni.

Kada koristite jednadžbu u segmentima, koja ima oblik x/a + y/b + z/c = 1, kao i kada koristite opštu jednačinu, možete napisati koordinate bilo kojeg vektora normale date ravni: (1 /a + 1/b + 1/ sa).

Vrijedi napomenuti da normalni vektor pomaže u rješavanju raznih problema. Najčešći su problemi koji uključuju dokazivanje okomitosti ili paralelnosti ravnina, problemi nalaženja uglova između ravnina ili uglova između ravnina i pravih.

Vrsta ravnine jednadžbe prema koordinatama tačke i vektora normale

Vektor različit od nule n okomit na datu ravan naziva se normalan za datu ravan.

Pretpostavimo da su u koordinatnom prostoru (pravougaoni koordinatni sistem) Oxyz dati:

• tačka Mₒ sa koordinatama (xₒ,yₒ,zₒ);
• nulti vektor n=A*i+B*j+C*k.

Potrebno je napraviti jednačinu za ravan koja će prolaziti kroz tačku Mₒ okomito na normalu n.

Biramo bilo koju proizvoljnu tačku u prostoru i označavamo je M (x y, z). Neka je vektor radijusa bilo koje tačke M (x,y,z) r=x*i+y*j+z*k, a vektor radijusa tačke Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Tačka M će pripadati datoj ravni ako je vektor MₒM okomit na vektor n. Zapišimo uvjet ortogonalnosti koristeći skalarni proizvod:

[MₒM, n] = 0.

Kako je MₒM = r-rₒ, vektorska jednadžba ravni će izgledati ovako:

Ova jednačina može imati i drugi oblik. Za to se koriste svojstva skalarnog proizvoda, a lijeva strana jednadžbe se transformira. = - . Ako ga označimo sa c, dobijamo sljedeću jednačinu: - c = 0 ili = c, koja izražava konstantnost projekcija na vektor normale vektora radijusa datih tačaka koje pripadaju ravni.

Sada možemo dobiti koordinatni oblik pisanja vektorske jednadžbe naše ravni = 0. Pošto je r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, a n = A*i+B *j+S*k, imamo:

Ispada da imamo jednadžbu za ravan koja prolazi kroz tačku okomitu na normalu n:

A*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Tip ravnine jednadžbe prema koordinatama dvije tačke i vektora kolinearnog ravni

Definirajmo dvije proizvoljne tačke M′ (x′,y′,z′) i M″ (x″,y″,z″), kao i vektor a (a′,a″,a‴).

Sada možemo kreirati jednačinu za datu ravan koja će prolaziti kroz postojeće tačke M′ i M″, kao i bilo koju tačku M sa koordinatama (x, y, z) paralelnim datom vektoru a.

U ovom slučaju, vektori M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) i M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) moraju biti komplanarni sa vektorom a=(a′,a″,a‴), što znači da je (M′M, M″M, a)=0.

Dakle, naša jednačina ravnine u prostoru će izgledati ovako:

Vrsta jednačine ravnine koja seče tri tačke

Recimo da imamo tri tačke: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), koje ne pripadaju istoj pravoj. Potrebno je napisati jednačinu ravni koja prolazi kroz date tri tačke. Teorija geometrije tvrdi da ova vrsta ravni zaista postoji, ali je jedina i jedinstvena. Pošto ova ravan siječe tačku (x′,y′,z′), oblik njene jednadžbe će biti sljedeći:

Ovdje se A, B, C razlikuju od nule u isto vrijeme. Takođe, data ravan seče još dve tačke: (x″,y″,z″) i (x‴,y‴,z‴). U tom smislu moraju biti ispunjeni sljedeći uslovi:

Sada možemo kreirati homogeni sistem sa nepoznatim u, v, w:

U našem slučaj x,y ili z djeluje kao proizvoljna tačka koja zadovoljava jednačinu (1). S obzirom na jednačinu (1) i sistem jednačina (2) i (3), sistem jednačina prikazan na gornjoj slici zadovoljava vektor N (A,B,C), koji nije trivijalan. Zbog toga je determinanta ovog sistema jednaka nuli.

Jednačina (1) koju smo dobili je jednačina ravnine. Prolazi tačno kroz 3 tačke i to je lako provjeriti. Da bismo to učinili, moramo proširiti našu determinantu na elemente u prvom redu. Iz postojećih svojstava determinante proizilazi da naša ravan istovremeno siječe tri početno date tačke (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Odnosno, riješili smo zadatak koji nam je dodijeljen.

Diedarski ugao između ravnina

Diedarski ugao predstavlja prostorni geometrijska figura, formiran od dvije poluravnine koje izlaze iz jedne prave linije. Drugim riječima, ovo je dio prostora koji je ograničen ovim poluravnima.

Recimo da imamo dvije ravni sa sljedećim jednadžbama:

Znamo da su vektori N=(A,B,C) i N¹=(A¹,B¹,C¹) okomiti prema dati avioni. U tom smislu, ugao φ između vektora N i N¹ jednak je uglu (diedralu) koji se nalazi između ovih ravni. Tačkasti proizvod ima oblik:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

upravo zato

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Dovoljno je uzeti u obzir da je 0≤φ≤π.

Zapravo, dvije ravni koje se seku formiraju dva ugla (diedral): φ 1 i φ 2. Njihov zbir je jednak π (φ 1 + φ 2 = π). Što se tiče njihovih kosinusa, njihove apsolutne vrijednosti su jednake, ali se razlikuju po predznaku, odnosno cos φ 1 = -cos φ 2. Ako u jednačini (0) zamijenimo A, B i C brojevima -A, -B i -C, redom, tada će jednačina koju dobijemo odrediti istu ravan, jedinu, ugao φ u jednačini cos φ= NN 1 /|N||N 1 | će biti zamijenjen sa π-φ.

Jednadžba okomite ravni

Ravnine između kojih je ugao od 90 stepeni nazivaju se okomite. Koristeći gore predstavljeni materijal, možemo pronaći jednadžbu ravnine koja je okomita na drugu. Recimo da imamo dvije ravni: Ax+By+Cz+D=0 i A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Možemo reći da će biti okomite ako je cosφ=0. To znači da je NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Jednačina paralelne ravni

Dvije ravni koje ne sadrže zajedničke tačke nazivaju se paralelne.

Uslov (njihove jednačine su iste kao u prethodnom paragrafu) je da su vektori N i N¹, koji su okomiti na njih, kolinearni. To znači da su ispunjeni sljedeći uvjeti proporcionalnosti:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Ako su uslovi proporcionalnosti prošireni - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

ovo ukazuje da se ove ravni poklapaju. To znači da jednačine Ax+By+Cz+D=0 i A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 opisuju jednu ravan.

Udaljenost do ravnine od tačke

Recimo da imamo ravan P, koja je data jednačinom (0). Potrebno je pronaći udaljenost do nje od tačke sa koordinatama (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Da biste to učinili, trebate dovesti jednadžbu ravnine P u normalan oblik:

(ρ,v)=r (r≥0).

U ovom slučaju, ρ (x,y,z) je vektor radijusa naše tačke Q koja se nalazi na P, p je dužina okomice P koja je oslobođena od nulte tačke, v je jedinični vektor, koji se nalazi u smjer a.

Razlika ρ-ρº vektor radijusa neke tačke Q = (x, y, z), koja pripada P, kao i vektor radijusa date tačke Q 0 = (xₒ, uₒ, zₒ) je takav vektor, apsolutna vrijednost projekcije na v jednaka je udaljenosti d koju treba pronaći od Q 0 = (xₒ,uₒ,zₒ) do P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, ali

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =r-(ρ 0 ,v).

Tako se ispostavilo

d=|(ρ 0 ,v)-r|.

Pa ćemo naći apsolutna vrijednost rezultirajući izraz, odnosno željeni d.

Koristeći jezik parametara, dobijamo očigledno:

d=|Ahₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+V²+S²).

Ako set lopta Q 0 je na drugoj strani ravni P, kao i ishodište koordinata, tada se između vektora ρ-ρ 0 i v nalazi:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-r>0.

U slučaju kada se tačka Q 0, zajedno sa ishodištem koordinata, nalazi na istoj strani od P, tada je stvoreni ugao oštar, odnosno:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=r - (ρ 0 , v)>0.

Kao rezultat toga, ispada da je u prvom slučaju (ρ 0 ,v)>r, u drugom (ρ 0 ,v)<р.

Tangentna ravan i njena jednadžba

Tangentna ravan na površinu u tački kontakta Mº je ravan koja sadrži sve moguće tangente na krivulje povučene kroz ovu tačku na površini.

Sa ovom vrstom površinske jednačine F(x,y,z)=0, jednačina tangentne ravni u tački tangente Mº(xº,yº,zº) će izgledati ovako:

F x (xº,yº,zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y- yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

Ako zadate površinu u eksplicitnom obliku z=f (x,y), tada će tangentna ravan biti opisana jednadžbom:

z-zº =f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).

Presjek dvije ravni

U koordinatnom sistemu (pravougaonom) nalazi se Oxyz, date su dve ravni P′ i P″ koje se seku i ne poklapaju. Pošto je bilo koja ravan koja se nalazi u pravougaonom koordinatnom sistemu određena opštom jednačinom, pretpostavićemo da su P′ i P″ date jednačinama A′x+B′y+C′z+D′=0 i A″x +B″y+ S″z+D″=0. U ovom slučaju imamo normalu n′ (A′,B′,C′) ravni P′ i normalu n″ (A″,B″,C″) ravni P″. Pošto naše ravni nisu paralelne i ne poklapaju se, ovi vektori nisu kolinearni. Koristeći jezik matematike, ovaj uslov možemo napisati na sljedeći način: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Neka prava linija koja leži na raskrsnici P′ i P″ bude označena slovom a, u ovom slučaju a = P′ ∩ P″.

a je prava linija koja se sastoji od skupa svih tačaka (zajedničkih) ravni P′ i P″. To znači da koordinate bilo koje tačke koja pripada pravoj a moraju istovremeno zadovoljiti jednačine A′x+B′y+C′z+D′=0 i A″x+B″y+C″z+D″=0 . To znači da će koordinate tačke biti djelomično rješenje sljedećeg sistema jednačina:

Kao rezultat toga, ispada da će (opće) rješenje ovog sistema jednadžbi odrediti koordinate svake od tačaka prave, koja će djelovati kao presječna tačka P′ i P″, i odrediti pravu liniju a u Oxyz (pravougaonom) koordinatnom sistemu u prostoru.

Pretpostavimo da treba da pronađemo jednačinu ravni koja prolazi kroz tri date tačke koje ne leže na istoj pravoj. Označavajući njihove radijus vektore sa, a trenutni radijus vektor sa , lako možemo dobiti traženu jednačinu u vektorskom obliku. U stvari, vektori moraju biti komplanarni (svi leže u željenoj ravni). Dakle, vektorsko-skalarni proizvod ovih vektora mora biti jednak nuli:

Ovo je jednadžba ravni koja prolazi kroz tri date tačke, u vektorskom obliku.

Prelazeći na koordinate, dobijamo jednačinu u koordinatama:

Ako tri date tačke leže na istoj pravoj, tada bi vektori bili kolinearni. Stoga bi odgovarajući elementi zadnja dva reda determinante u jednačini (18) bili proporcionalni i determinanta bi bila identično jednaka nuli. Prema tome, jednadžba (18) bi postala identična za bilo koje vrijednosti x, y i z. Geometrijski, to znači da kroz svaku tačku u prostoru prolazi ravan u kojoj leže tri date tačke.

Napomena 1. Isti problem se može riješiti bez upotrebe vektora.

Označavajući koordinate tri date tačke, respektivno, napisaćemo jednačinu bilo koje ravni koja prolazi kroz prvu tačku:

Da bi se dobila jednačina željene ravni, potrebno je zahtijevati da jednačina (17) bude zadovoljena koordinatama još dvije tačke:

Iz jednadžbi (19) potrebno je odrediti odnos dva koeficijenta prema trećem i pronađene vrijednosti unijeti u jednačinu (17).

Primjer 1. Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tačke.

Jednačina ravnine koja prolazi kroz prvu od ovih tačaka bit će:

Uslovi da ravan (17) prođe kroz dve druge tačke i prvu tačku su:

Dodajući drugu jednačinu prvoj, nalazimo:

Zamjenom u drugu jednačinu dobijamo:

Zamjenom u jednačinu (17) umjesto A, B, C, redom, 1, 5, -4 (brojevi proporcionalni njima), dobijamo:

Primjer 2. Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tačke (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Jednačina bilo koje ravni koja prolazi kroz tačku (0, 0, 0) bit će]

Uslovi za prolazak ove ravni kroz tačke (1, 1, 1) i (2, 2, 2) su:

Smanjujući drugu jednačinu za 2, vidimo da za određivanje dvije nepoznate postoji jedna jednačina sa

Odavde dobijamo . Sada zamjenjujući vrijednost ravnine u jednačinu, nalazimo:

Ovo je jednadžba željene ravni; zavisi od proizvoljnog

veličine B, C (naime, iz relacije, tj. postoji beskonačan broj ravni koje prolaze kroz tri date tačke (tri date tačke leže na istoj pravoj liniji).

Napomena 2. Problem provlačenja ravni kroz tri date tačke koje ne leže na istoj pravoj lako se može riješiti u opštem obliku ako koristimo determinante. Zaista, pošto u jednačinama (17) i (19) koeficijenti A, B, C ne mogu istovremeno biti jednaki nuli, onda, posmatrajući ove jednadžbe kao homogeni sistem sa tri nepoznate A, B, C, pišemo neophodan i dovoljan uslov za postojanje rješenja ovog sistema, različitog od nule (1. dio, poglavlje VI, § 6):

Proširivši ovu determinantu na elemente prvog reda, dobijamo jednačinu prvog stepena u odnosu na trenutne koordinate, koju će zadovoljiti, posebno, koordinate tri date tačke.

Ovo posljednje također možete provjeriti direktno zamjenom koordinata bilo koje od ovih tačaka umjesto . Na lijevoj strani dobijamo determinantu u kojoj su ili elementi prvog reda nule ili postoje dva identična reda. Dakle, konstruisana jednačina predstavlja ravan koja prolazi kroz tri date tačke.

U ovoj lekciji ćemo pogledati kako koristiti determinantu za kreiranje ravan jednadžba. Ako ne znate što je determinanta, prijeđite na prvi dio lekcije - "Matrice i determinante". U suprotnom, rizikujete da ne razumijete ništa u današnjem materijalu.

Jednadžba ravnine koja koristi tri tačke

Zašto nam je uopšte potrebna jednačina u ravni? Jednostavno je: znajući to, lako možemo izračunati uglove, udaljenosti i ostalo sranje u zadatku C2. Općenito, ne možete bez ove jednadžbe. Stoga formuliramo problem:

Zadatak. U prostoru su date tri tačke koje ne leže na istoj pravoj. Njihove koordinate:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3);

Morate napraviti jednačinu za ravan koja prolazi kroz ove tri tačke. Štaviše, jednačina bi trebala izgledati ovako:

Ax + By + Cz + D = 0

gdje su brojevi A, B, C i D koeficijenti koje, u stvari, treba pronaći.

Pa, kako dobiti jednadžbu ravni ako su poznate samo koordinate tačaka? Najlakši način je da zamenite koordinate u jednačinu Ax + By + Cz + D = 0. Dobićete sistem od tri jednačine koji se lako mogu rešiti.

Mnogi studenti ovo rješenje smatraju izuzetno zamornim i nepouzdanim. Prošlogodišnji Jedinstveni državni ispit iz matematike pokazao je da je vjerovatnoća greške u proračunu zaista velika.

Stoga su najnapredniji nastavnici počeli tražiti jednostavnija i elegantnija rješenja. I našli su ga! Istina, dobivena tehnika se prije odnosi na višu matematiku. Lično, morao sam da preturam po cijeloj Saveznoj listi udžbenika kako bih se uvjerio da imamo pravo koristiti ovu tehniku ​​bez ikakvog opravdanja ili dokaza.

Jednačina ravnine kroz determinantu

Dosta stihova, pređimo na posao. Za početak, teorema o tome kako su determinanta matrice i jednačina ravnine povezani.

Teorema. Neka su date koordinate tri tačke kroz koje se mora povući ravan: M = (x 1, y 1, z 1); N = (x 2, y 2, z 2); K = (x 3, y 3, z 3). Tada se jednačina ove ravni može napisati kroz determinantu:

Kao primjer, hajde da pokušamo pronaći par ravnina koje se stvarno javljaju u problemima C2. Pogledajte kako se brzo sve računa:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);

Sastavljamo determinantu i izjednačavamo je sa nulom:

Proširujemo determinantu:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Kao što vidite, prilikom izračunavanja broja d, malo sam „pročešljao“ jednačinu tako da su varijable x, y i z bile u ispravnom nizu. To je sve! Jednačina ravni je spremna!

Zadatak. Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tačke:

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Odmah zamjenjujemo koordinate tačaka u determinantu:

Ponovo proširujemo determinantu:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Dakle, opet se dobija jednačina ravnine! Opet, u posljednjem koraku morali smo promijeniti znakove u njemu kako bismo dobili "ljepšu" formulu. U ovom rješenju to uopće nije potrebno, ali se ipak preporučuje - pojednostaviti dalje rješavanje problema.

Kao što vidite, sastavljanje jednačine ravni je sada mnogo lakše. Zamjenjujemo tačke u matricu, izračunavamo determinantu - i to je to, jednadžba je spremna.

Ovo bi moglo završiti lekciju. Međutim, mnogi studenti stalno zaboravljaju šta je unutar determinante. Na primjer, koji red sadrži x 2 ili x 3, a koji red sadrži samo x. Da bismo ovo zaista maknuli s puta, pratimo odakle dolazi svaki broj.

Odakle dolazi formula sa determinantom?

Dakle, hajde da shvatimo odakle dolazi tako oštra jednačina sa determinantom. To će vam pomoći da ga zapamtite i uspješno primijenite.

Sve ravnine koje se pojavljuju u zadatku C2 su definisane sa tri tačke. Ove tačke su uvek označene na crtežu, ili čak direktno naznačene u tekstu problema. U svakom slučaju, da bismo stvorili jednačinu, morat ćemo zapisati njihove koordinate:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3).

Razmotrimo još jednu tačku na našoj ravni sa proizvoljnim koordinatama:

T = (x, y, z)

Uzmite bilo koju tačku iz prve tri (na primjer, tačku M) i nacrtajte vektore iz nje do svake od tri preostale tačke. Dobijamo tri vektora:

MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 );
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1 );
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1 ).

Sada napravimo kvadratnu matricu od ovih vektora i izjednačimo njenu determinantu sa nulom. Koordinate vektora će postati redovi matrice - i dobićemo samu determinantu koja je naznačena u teoremi:

Ova formula znači da je zapremina paralelepipeda izgrađenog na vektorima MN, MK i MT jednaka nuli. Dakle, sva tri vektora leže u istoj ravni. Konkretno, proizvoljna tačka T = (x, y, z) je upravo ono što smo tražili.

Zamjena tačaka i pravih determinante

Odrednice imaju nekoliko sjajnih svojstava koja to čine još lakšim rješenje problema C2. Na primjer, nije nam bitno iz koje točke crtamo vektore. Stoga, sljedeće determinante daju istu ravansku jednačinu kao i gornja:

Također možete zamijeniti redove determinante. Jednačina će ostati nepromijenjena. Na primjer, mnogi ljudi vole da napišu liniju sa koordinatama tačke T = (x; y; z) na samom vrhu. Molimo, ako vam odgovara:

Neki ljudi su zbunjeni činjenicom da jedna od linija sadrži varijable x, y i z, koje ne nestaju prilikom zamjene tačaka. Ali ne bi trebalo da nestanu! Zamjenom brojeva u determinantu, trebali biste dobiti ovu konstrukciju:

Zatim se determinanta proširi prema dijagramu datom na početku lekcije i dobije se standardna jednačina ravnine:

Ax + By + Cz + D = 0

Pogledajte primjer. Ovo je posljednja u današnjoj lekciji. Namjerno ću zamijeniti linije kako bih bio siguran da će odgovor dati istu jednadžbu ravnine.

Zadatak. Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tačke:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).

Dakle, razmatramo 4 tačke:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Prvo, napravimo standardnu ​​determinantu i izjednačimo je sa nulom:

Proširujemo determinantu:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

To je to, dobili smo odgovor: x + y + z − 2 = 0.

Sada preuredimo nekoliko redova u determinanti i vidimo šta će se desiti. Na primjer, napišimo red s varijablama x, y, z ne na dnu, već na vrhu:

Ponovo proširujemo rezultujuću determinantu:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Dobili smo potpuno istu jednadžbu u ravnini: x + y + z − 2 = 0. To znači da ona zaista ne zavisi od redosleda redova. Ostaje samo da zapišete odgovor.

Dakle, uvjereni smo da jednačina ravnine ne ovisi o nizu pravih. Možemo izvršiti slične proračune i dokazati da jednačina ravnine ne zavisi od tačke čije koordinate oduzimamo od drugih tačaka.

U gore razmatranom problemu koristili smo tačku B 1 = (1, 0, 1), ali je bilo sasvim moguće uzeti C = (1, 1, 0) ili D 1 = (0, 1, 1). Općenito, bilo koja tačka sa poznatim koordinatama koja leži na željenoj ravni.

Prvi nivo

Koordinate i vektori. Sveobuhvatni vodič (2019.)

U ovom članku počet ćemo raspravljati o jednom "čarobnom štapiću" koji će vam omogućiti da svedete mnoge probleme geometrije na jednostavnu aritmetiku. Ovaj “štap” može vam umnogome olakšati život, pogotovo kada niste sigurni u konstruiranje prostornih figura, presjeka itd. Sve to zahtijeva određenu maštu i praktične vještine. Metoda koju ćemo ovdje početi razmatrati omogućit će vam da se gotovo potpuno apstrahujete od svih vrsta geometrijskih konstrukcija i zaključivanja. Metoda se zove "koordinatni metod". U ovom članku ćemo razmotriti sljedeća pitanja:

1. Koordinatna ravan
2. Tačke i vektori na ravni
3. Konstruisanje vektora iz dve tačke
4. Dužina vektora (udaljenost između dvije tačke).
5. Koordinate sredine segmenta
6. Tačkasti proizvod vektora
7. Ugao između dva vektora

Mislim da ste već pogodili zašto se koordinatni metod tako zove? Tako je, dobio je ovo ime jer ne operiše geometrijskim objektima, već njihovim numeričkim karakteristikama (koordinatama). A sama transformacija, koja nam omogućava da pređemo sa geometrije na algebru, sastoji se u uvođenju koordinatnog sistema. Ako je originalna figura bila ravna, tada su koordinate dvodimenzionalne, a ako je figura trodimenzionalna, onda su koordinate trodimenzionalne. U ovom članku ćemo razmotriti samo dvodimenzionalni slučaj. A glavni cilj članka je naučiti vas kako koristiti neke osnovne tehnike koordinatne metode (ponekad se pokažu korisnim pri rješavanju zadataka o planimetriji u dijelu B Jedinstvenog državnog ispita). Sljedeća dva odjeljka na ovu temu posvećena su raspravi o metodama rješavanja problema C2 (problem stereometrije).

Gdje bi bilo logično započeti raspravu o koordinatnoj metodi? Vjerovatno iz koncepta koordinatnog sistema. Sjetite se kada ste je prvi put susreli. Čini mi se da u 7. razredu, kada ste učili za postojanje linearne funkcije npr. Dozvolite mi da vas podsjetim da ste ga gradili tačku po tačku. Sjećaš li se? Izabrali ste proizvoljan broj, zamijenili ga u formulu i tako ga izračunali. Na primjer, ako, onda, ako, onda, itd. Šta ste na kraju dobili? I dobili ste bodove sa koordinatama: i. Zatim ste nacrtali "križ" (koordinatni sistem), na njemu odabrali skalu (koliko ćelija ćete imati kao jedinični segment) i na njemu označili tačke koje ste dobili, koje ste zatim povezali pravom linijom; rezultirajući linija je graf funkcije.

Ovdje postoji nekoliko tačaka koje bi vam trebalo malo detaljnije objasniti:

1. Odabirete jedan segment iz razloga pogodnosti, tako da se sve lijepo i kompaktno uklopi u crtež.

2. Prihvaćeno je da os ide s lijeva na desno, a os ide odozdo prema gore

3. Seku se pod pravim uglom, a tačka njihovog preseka naziva se ishodište. Označeno je slovom.

4. U pisanju koordinata tačke, na primjer, lijevo u zagradi je koordinata tačke duž ose, a desno, duž ose. Konkretno, to jednostavno znači da u tom trenutku

5. Da biste odredili bilo koju tačku na koordinatnoj osi, potrebno je navesti njene koordinate (2 broja)

6. Za bilo koju tačku koja leži na osi,

7. Za bilo koju tačku koja leži na osi,

8. Os se naziva x-osa

9. Osa se zove y-osa

Sada idemo na sljedeći korak: označite dvije tačke. Povežimo ove dvije tačke segmentom. I stavićemo strelicu kao da crtamo segment od tačke do tačke: to jest, naš segment ćemo usmeriti!

Sjećate li se kako se zove drugi usmjereni segment? Tako je, to se zove vektor!

Dakle, ako povežemo tačku sa tačkom, i početak će biti tačka A, a kraj tačka B, tada dobijamo vektor. I ovu konstrukciju ste radili u 8. razredu, sjećate se?

Ispada da se vektori, kao i tačke, mogu označiti sa dva broja: ti brojevi se nazivaju vektorskim koordinatama. Pitanje: Mislite li da je dovoljno da znamo koordinate početka i kraja vektora da bismo pronašli njegove koordinate? Ispostavilo se da da! A to se radi vrlo jednostavno:

Dakle, pošto je u vektoru tačka početak, a tačka kraj, vektor ima sledeće koordinate:

Na primjer, ako, onda koordinate vektora

Sada uradimo suprotno, pronađite koordinate vektora. Šta trebamo promijeniti za ovo? Da, morate zamijeniti početak i kraj: sada će početak vektora biti u tački, a kraj će biti u tački. onda:

Pogledajte pažljivo, koja je razlika između vektora i? Njihova jedina razlika su znaci u koordinatama. Oni su suprotnosti. Ova činjenica se obično piše ovako:

Ponekad, ako nije posebno navedeno koja je tačka početak vektora, a koja kraj, vektori se ne označavaju sa dva velika slova, već jednim malim slovom, na primjer: , itd.

Sad malo praksa sami i pronađite koordinate sljedećih vektora:

pregled:

Sada riješite malo teži problem:

Vektor sa početkom u tački ima ko-ili-di-na-ti. Pronađite abs-cis-su tačke.

Svejedno je prilično prozaično: Neka su koordinate tačke. Onda

Sistem sam sastavio na osnovu definicije vektorskih koordinata. Tada tačka ima koordinate. Nas zanima apscisa. Onda

odgovor:

Šta još možete učiniti s vektorima? Da, gotovo sve je isto kao i sa običnim brojevima (osim što ne možete dijeliti, ali možete množiti na dva načina, od kojih ćemo o jednom govoriti malo kasnije)

1. Vektori se mogu dodavati jedan drugom
2. Vektori se mogu oduzimati jedan od drugog
3. Vektori se mogu pomnožiti (ili podijeliti) sa proizvoljnim brojem koji nije nula
4. Vektori se mogu množiti jedan s drugim

Sve ove operacije imaju vrlo jasnu geometrijsku reprezentaciju. Na primjer, pravilo trokuta (ili paralelograma) za sabiranje i oduzimanje:

Vektor se rasteže ili skuplja ili mijenja smjer kada se pomnoži ili podijeli brojem:

Međutim, ovdje će nas zanimati pitanje šta se događa s koordinatama.

1. Prilikom sabiranja (oduzimanja) dva vektora, sabiramo (oduzimamo) njihove koordinate element po element. To je:

2. Prilikom množenja (dijeljenja) vektora brojem, sve njegove koordinate se množe (dijele) ovim brojem:

Na primjer:

· Pronađite količinu co-or-di-nat cent-to-ra.

Nađimo prvo koordinate svakog od vektora. Obojica imaju isto porijeklo - početnu tačku. Njihovi krajevi su različiti. Zatim, . Sada izračunajmo koordinate vektora i tada je zbir koordinata rezultirajućeg vektora jednak.

odgovor:

Sada sami riješite sljedeći problem:

· Pronađite zbroj vektorskih koordinata

Provjeravamo:

Razmotrimo sada sljedeći problem: imamo dvije tačke na koordinatnoj ravni. Kako pronaći udaljenost između njih? Neka bude prva tačka, a druga. Označimo udaljenost između njih sa. Napravimo sljedeći crtež radi jasnoće:

Šta sam učinio? Prvo sam povezao tačke i, takođe, iz tačke sam povukao pravu paralelnu sa osom, a iz tačke sam povukao liniju paralelnu sa osom. Da li su se ukrštale u jednoj tački, formirajući izuzetnu figuru? Šta je tako posebno kod nje? Da, ti i ja znamo skoro sve o pravouglom trouglu. Pa, Pitagorina teorema sigurno. Traženi segment je hipotenuza ovog trougla, a segmenti su katete. Koje su koordinate tačke? Da, lako ih je pronaći sa slike: Budući da su segmenti paralelni osi i, respektivno, njihove dužine je lako pronaći: ako dužine segmenata označimo sa, respektivno, onda

Sada upotrijebimo Pitagorinu teoremu. Znamo dužine kateta, naći ćemo hipotenuzu:

Dakle, rastojanje između dve tačke je koren zbira kvadrata razlika od koordinata. Ili - udaljenost između dvije tačke je dužina segmenta koji ih povezuje. Lako je vidjeti da udaljenost između tačaka ne ovisi o smjeru. onda:

Odavde izvlačimo tri zaključka:

Vježbajmo malo u izračunavanju udaljenosti između dvije tačke:

Na primjer, ako, onda je udaljenost između i jednaka

Ili idemo drugim putem: pronađite koordinate vektora

I pronađite dužinu vektora:

Kao što vidite, to je ista stvar!

Sada malo vježbajte sami:

Zadatak: pronađite udaljenost između navedenih tačaka:

Provjeravamo:

Evo još nekoliko problema koji koriste istu formulu, iako zvuče malo drugačije:

1. Pronađite kvadrat dužine kapka.

2. Pronađite kvadrat dužine kapka

Mislim da ste se s njima nosili bez poteškoća? Provjeravamo:

1. I ovo je za pažnju) Već smo ranije pronašli koordinate vektora: . Tada vektor ima koordinate. Kvadrat njegove dužine bit će jednak:

2. Pronađite koordinate vektora

Tada je kvadrat njegove dužine

Ništa komplikovano, zar ne? Jednostavna aritmetika, ništa više.

Sljedeći problemi se ne mogu jednoznačno klasificirati, oni se više odnose na opću erudiciju i sposobnost crtanja jednostavnih slika.

1. Pronađite sinus ugla iz reza, koji povezuje tačku, sa osom apscise.

I

Kako ćemo dalje? Moramo pronaći sinus ugla između i ose. Gdje možemo tražiti sinus? Tako je, u pravouglu. Dakle, šta treba da radimo? Napravi ovaj trougao!

Pošto su koordinate tačke i, tada je segment jednak i segmentu. Moramo pronaći sinus ugla. Dozvolite mi da vas podsjetim da je sinus onda omjer suprotne strane i hipotenuze

Šta nam preostaje da radimo? Nađi hipotenuzu. To možete učiniti na dva načina: korištenjem Pitagorine teoreme (noge su poznate!) ili korištenjem formule za udaljenost između dvije točke (u stvari, ista stvar kao i prva metoda!). Ići ću drugim putem:

odgovor:

Sljedeći zadatak će vam se činiti još lakšim. Ona je na koordinatama tačke.

Zadatak 2. Od tačke se per-pen-di-ku-lyar spušta na osu ab-cis. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Napravimo crtež:

Osnova okomice je tačka u kojoj ona seče x-osu (os), za mene je ovo tačka. Slika pokazuje da ima koordinate: . Zanima nas apscisa - to jest komponenta "x". Ona je jednaka.

odgovor: .

Zadatak 3. U uslovima prethodnog zadatka naći zbir udaljenosti od tačke do koordinatnih osa.

Zadatak je općenito elementaran ako znate kolika je udaljenost od točke do osi. Ti znaš? Nadam se, ali ipak ću vas podsjetiti:

Dakle, na mom crtežu malo iznad, da li sam već nacrtao jednu takvu okomitu? Na kojoj je osi? Do ose. I koja je onda njegova dužina? Ona je jednaka. Sada sami nacrtajte okomicu na osu i pronađite njenu dužinu. Biće ravnopravno, zar ne? Tada je njihov zbir jednak.

odgovor: .

Zadatak 4. U uslovima zadatka 2, pronaći ordinatu tačke simetrične tački u odnosu na osu apscise.

Mislim da vam je intuitivno jasno šta je simetrija? Imaju ga mnogi objekti: mnoge zgrade, stolovi, avioni, mnogi geometrijski oblici: lopta, cilindar, kvadrat, romb, itd. Grubo govoreći, simetrija se može shvatiti na sljedeći način: figura se sastoji od dvije (ili više) identičnih polovina. Ova simetrija se naziva aksijalna simetrija. Šta je onda osovina? To je upravo linija duž koje se figura može, relativno govoreći, "prerezati" na jednake polovine (na ovoj slici je os simetrije ravna):

Vratimo se sada našem zadatku. Znamo da tražimo tačku koja je simetrična u odnosu na os. Tada je ova osa osa simetrije. To znači da trebamo označiti tačku tako da os siječe segment na dva jednaka dijela. Pokušajte sami označiti takvu tačku. Sada uporedi sa mojim rešenjem:

Da li je i vama ispalo na isti način? Fino! Zanima nas ordinata pronađene tačke. Jednako je

odgovor:

Sada mi recite, nakon razmišljanja nekoliko sekundi, kolika će biti apscisa tačke simetrične tački A u odnosu na ordinatu? Šta je vaš odgovor? Tačan odgovor: .

Općenito, pravilo se može napisati ovako:

Tačka simetrična tački u odnosu na osu apscise ima koordinate:

Tačka simetrična u odnosu na tačku u odnosu na ordinatnu osu ima koordinate:

E, sad je potpuno strašno zadatak: pronaći koordinate tačke simetrične tački u odnosu na ishodište. Prvo razmislite sami, a onda pogledajte moj crtež!

odgovor:

Sad problem paralelograma:

Zadatak 5: Tačke se pojavljuju ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Pronađite or-di-na toj tački.

Ovaj problem možete riješiti na dva načina: logikom i koordinatnom metodom. Prvo ću koristiti koordinatnu metodu, a onda ću vam reći kako to možete riješiti drugačije.

Sasvim je jasno da je apscisa tačke jednaka. (leži na okomici povučenoj od tačke do ose apscise). Moramo pronaći ordinatu. Iskoristimo činjenicu da je naša figura paralelogram, to znači da. Nađimo dužinu segmenta koristeći formulu za udaljenost između dvije tačke:

Spuštamo okomicu koja povezuje točku sa osom. Tačku raskrsnice označit ću slovom.

Dužina segmenta je jednaka. (pronađite sami problem tamo gdje smo raspravljali o ovoj tački), tada ćemo pronaći dužinu segmenta koristeći Pitagorinu teoremu:

Dužina segmenta se tačno poklapa sa njegovom ordinatom.

odgovor: .

Drugo rješenje (daću samo sliku koja to ilustruje)

Napredak rješenja:

1. Ponašanje

2. Pronađite koordinate tačke i dužinu

3. Dokažite to.

Drugi problem dužine segmenta:

Tačke se pojavljuju na vrhu trougla. Pronađite dužinu njegove srednje linije, paralelne.

Sjećate li se koja je srednja linija trougla? Onda je ovaj zadatak za vas elementaran. Ako se ne sjećate, podsjetit ću vas: srednja linija trougla je linija koja spaja sredine suprotnih strana. Paralelan je osnovici i jednak njenoj polovini.

Baza je segment. Ranije smo morali tražiti njegovu dužinu, jednaka je. Tada je dužina srednje linije upola manja i jednaka.

odgovor: .

Komentar: ovaj problem se može riješiti i na drugi način, na koji ćemo se obratiti malo kasnije.

U međuvremenu, evo nekoliko problema za vas, vježbajte na njima, vrlo su jednostavni, ali vam pomažu da bolje koristite koordinatnu metodu!

1. Tačke su vrh tra-pecija. Pronađite dužinu njegove srednje linije.

2. Bodovi i pojave ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Pronađite or-di-na toj tački.

3. Nađite dužinu iz reza, spajajući tačku i

4. Pronađite područje iza obojene figure na koordinatnoj ravni.

5. Krug sa centrom u na-cha-le ko-or-di-nat prolazi kroz tačku. Nađi joj ra-di-us.

6. Nađi-di-te ra-di-us kruga, opiši-san-noy oko pravog-no-ka, vrhovi nečega imaju ko-ili-di-na-ti si tako-odgovoran

rješenja:

1. Poznato je da je srednja linija trapeza jednaka polovini zbira njegovih osnova. Osnova je jednaka, a baza. Onda

odgovor:

2. Najlakši način za rješavanje ovog problema je primjetiti da (pravilo paralelograma). Izračunavanje koordinata vektora nije teško: . Prilikom dodavanja vektora, dodaju se koordinate. Zatim ima koordinate. Tačka takođe ima ove koordinate, pošto je početak vektora tačka sa koordinatama. Zanima nas ordinata. Ona je jednaka.

odgovor:

3. Odmah postupamo prema formuli za udaljenost između dvije tačke:

odgovor:

4. Pogledajte sliku i recite mi između koje dvije figure je zasjenjeno područje “u sendviču”? U sendviču je između dva kvadrata. Tada je površina željene figure jednaka površini velikog kvadrata minus površina malog. Stranica malog kvadrata je segment koji povezuje tačke i njegova dužina je

Tada je površina malog kvadrata

Isto radimo i sa velikim kvadratom: njegova stranica je segment koji spaja tačke, a njegova dužina je

Tada je površina velikog kvadrata

Površinu željene figure pronalazimo pomoću formule:

odgovor:

5. Ako krug ima ishodište kao centar i prolazi kroz tačku, tada će njegov polumjer biti tačno jednak dužini segmenta (napravite crtež i shvatit ćete zašto je to očigledno). Nađimo dužinu ovog segmenta:

odgovor:

6. Poznato je da je poluprečnik kružnice opisane oko pravougaonika jednak polovini njegove dijagonale. Nađimo dužinu bilo koje od dvije dijagonale (na kraju krajeva, u pravokutniku su jednake!)

odgovor:

Pa, jeste li se snašli u svemu? Nije bilo teško shvatiti to, zar ne? Ovdje postoji samo jedno pravilo - biti u stanju napraviti vizualnu sliku i jednostavno "pročitati" sve podatke iz nje.

Ostalo nam je jako malo. Postoje bukvalno još dvije stvari o kojima bih želio da prodiskutujem.

Pokušajmo riješiti ovaj jednostavan problem. Neka dva boda i daju. Pronađite koordinate sredine segmenta. Rješenje ovog problema je sljedeće: neka je tačka željena sredina, tada ima koordinate:

To je: koordinate sredine segmenta = aritmetička sredina odgovarajućih koordinata krajeva segmenta.

Ovo pravilo je vrlo jednostavno i obično ne izaziva poteškoće kod učenika. Pogledajmo u kojim problemima i kako se koristi:

1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-ny from-cut, connect-the-point and

2. Čini se da su tačke vrh svijeta. Find-di-te or-di-na-tu pointers per-re-se-che-niya njegovog dia-go-na-ley.

3. Pronađite-di-te abs-cis-su centar kruga, opišite-san-noy o pravokutnom-no-ka, vrhovi nečega imaju ko-ili-di-na-ti tako-odgovorno-ali.

rješenja:

1. Prvi problem je jednostavno klasičan. Odmah nastavljamo da odredimo sredinu segmenta. Ima koordinate. Ordinata je jednaka.

odgovor:

2. Lako je vidjeti da je ovaj četverougao paralelogram (čak i romb!). To možete sami dokazati tako što ćete izračunati dužine stranica i međusobno ih uporediti. Šta ja znam o paralelogramima? Njegove dijagonale su podijeljene na pola točkom sjecišta! Da! Dakle, koja je tačka presjeka dijagonala? Ovo je sredina bilo koje od dijagonala! Odabrat ću, posebno, dijagonalu. Tada tačka ima koordinate. Ordinata tačke je jednaka.

odgovor:

3. S čim se poklapa središte kružnice opisane oko pravougaonika? Poklapa se sa točkom preseka njegovih dijagonala. Šta znaš o dijagonalama pravougaonika? Oni su jednaki i tačka preseka ih deli na pola. Zadatak je sveden na prethodni. Uzmimo, na primjer, dijagonalu. Tada ako je centar opisane kružnice, onda je sredina. Tražim koordinate: apscisa je jednaka.

odgovor:

Sada malo vježbajte sami, ja ću samo dati odgovore na svaki problem kako biste se mogli testirati.

1. Pronađi-di-te ra-di-us kruga, opiši-san-noy o trokutu-no-ka, vrhovi nečega imaju co-or-di-no gospodo

2. Pronađite-di-te ili-di-na tom centru kruga, opišite-san-noy o trokutu-no-ka, čiji vrhovi imaju koordinate

3. Kakav ra-di-u-sa treba da bude kružnica sa centrom u tački tako da dodiruje osu ab-cis?

4. Pronađite-di-te ili-di-na-toj tački ponovnog se-ce-cije ose i od-reza, povežite-tačku i

odgovori:

Je li sve bilo uspješno? Zaista se tome nadam! Sada - posljednji guranje. Sada budite posebno oprezni. Materijal koji ću sada objasniti direktno je vezan ne samo za jednostavne probleme na koordinatnoj metodi iz Dijela B, već se također nalazi svuda u Zadatku C2.

Koje od svojih obećanja još nisam ispunio? Sjećate se koje sam operacije na vektorima obećao uvesti, a koje sam na kraju uveo? Jesi li siguran da nisam ništa zaboravio? Zaboravio sam! Zaboravio sam da objasnim šta znači množenje vektora.

Postoje dva načina da se vektor pomnoži sa vektorom. Ovisno o odabranoj metodi, dobićemo objekte različite prirode:

Unakrsni proizvod je napravljen prilično pametno. Razgovarat ćemo o tome kako to učiniti i zašto je to potrebno u sljedećem članku. A u ovom ćemo se fokusirati na skalarni proizvod.

Postoje dva načina koji nam omogućavaju da ga izračunamo:

Kao što ste pretpostavili, rezultat bi trebao biti isti! Pogledajmo prvo prvu metodu:

Točkasti proizvod preko koordinata

Pronađite: - općeprihvaćenu notaciju za skalarni proizvod

Formula za izračun je sljedeća:

To jest, skalarni proizvod = zbir proizvoda vektorskih koordinata!

primjer:

Find-di-te

Rješenje:

Nađimo koordinate svakog od vektora:

Izračunavamo skalarni proizvod koristeći formulu:

odgovor:

Vidite, apsolutno ništa komplikovano!

Pa, sad probajte sami:

· Pronađite skalarni pro-iz-ve-de-nie stoljeća i

Jeste li uspjeli? Možda ste primijetili malu zamku? provjerimo:

Vektorske koordinate, kao u prethodnom zadatku! Odgovor: .

Osim koordinatnog, postoji još jedan način izračunavanja skalarnog proizvoda, naime, kroz dužine vektora i kosinus ugla između njih:

Označava ugao između vektora i.

To jest, skalarni proizvod je jednak proizvodu dužina vektora i kosinusa ugla između njih.

Zašto nam treba ova druga formula, ako imamo prvu, koja je mnogo jednostavnija, barem u njoj nema kosinusa. A potrebno je da iz prve i druge formule ti i ja možemo zaključiti kako pronaći ugao između vektora!

Neka Onda zapamti formulu za dužinu vektora!

Zatim ako zamijenim ove podatke u formulu skalarnog proizvoda, dobijem:

Ali na drugi način:

Pa šta smo ti i ja dobili? Sada imamo formulu koja nam omogućava da izračunamo ugao između dva vektora! Ponekad se radi kratkoće piše i ovako:

Odnosno, algoritam za izračunavanje ugla između vektora je sljedeći:

1. Izračunajte skalarni proizvod kroz koordinate
2. Pronađite dužine vektora i pomnožite ih
3. Podijelite rezultat tačke 1 rezultatom tačke 2

Vježbajmo na primjerima:

1. Pronađite ugao između očnih kapaka i. Dajte odgovor u grad-du-sah.

2. U uslovima prethodnog zadatka pronaći kosinus između vektora

Hajde da uradimo ovo: pomoći ću ti da rešiš prvi problem, a drugi pokušaj da uradiš sam! Slažem se? Onda počnimo!

1. Ovi vektori su naši stari prijatelji. Već smo izračunali njihov skalarni proizvod i bio je jednak. Njihove koordinate su: , . Zatim nalazimo njihove dužine:

Zatim tražimo kosinus između vektora:

Koliki je kosinus ugla? Ovo je ugao.

odgovor:

Pa, sad sami riješite drugi problem, a onda uporedite! Daću samo vrlo kratko rešenje:

2. ima koordinate, ima koordinate.

Neka je ugao između vektora i, onda

odgovor:

Treba napomenuti da su problemi direktno na vektorima i koordinatnoj metodi u dijelu B ispitnog rada prilično rijetki. Međutim, velika većina C2 problema može se lako riješiti uvođenjem koordinatnog sistema. Dakle, ovaj članak možete smatrati temeljom na osnovu kojeg ćemo napraviti prilično pametne konstrukcije koje će nam trebati za rješavanje složenih problema.

KOORDINATE I VEKTORI. PROSJEČAN NIVO

Ti i ja nastavljamo proučavati koordinatni metod. U zadnjem dijelu smo izveli niz važnih formula koje vam omogućavaju:

1. Pronađite vektorske koordinate
2. Pronađite dužinu vektora (alternativno: udaljenost između dvije tačke)
3. Sabiranje i oduzimanje vektora. Pomnožite ih realnim brojem
4. Pronađite sredinu segmenta
5. Izračunati tačkasti proizvod vektora
6. Pronađite ugao između vektora

Naravno, cijela koordinatna metoda se ne uklapa u ovih 6 tačaka. Ona leži u osnovi takve nauke kao što je analitička geometrija, s kojom ćete se upoznati na univerzitetu. Samo želim da izgradim temelj koji će vam omogućiti da rješavate probleme u jednoj državi. ispit. Bavili smo se zadacima Dijela B. Sada je vrijeme da pređemo na potpuno novi nivo! Ovaj članak će biti posvećen metodi za rješavanje onih C2 problema u kojima bi bilo razumno prijeći na koordinatnu metodu. Ova razumnost je određena onim što je potrebno pronaći u problemu i koja je brojka data. Dakle, koristio bih koordinatnu metodu ako su pitanja:

1. Pronađite ugao između dvije ravni
2. Pronađite ugao između prave i ravni
3. Pronađite ugao između dvije prave
4. Pronađite udaljenost od tačke do ravni
5. Pronađite udaljenost od tačke do prave
6. Pronađite udaljenost od prave do ravni
7. Pronađite razmak između dvije linije

Ako je figura data u opisu problema tijelo rotacije (kugla, cilindar, konus...)

Pogodne brojke za koordinatnu metodu su:

1. Pravougaoni paralelepiped
2. Piramida (trokutasta, četvorougaona, šestougaona)

Takodje iz mog iskustva neprikladno je koristiti metodu koordinata za:

1. Pronalaženje površina poprečnih presjeka
2. Proračun volumena tijela

Međutim, odmah treba napomenuti da su tri „nepovoljno” situacije za koordinatni metod prilično rijetke u praksi. U većini zadataka može postati vaš spasilac, posebno ako niste baš dobri u trodimenzionalnim konstrukcijama (koje ponekad mogu biti prilično zamršene).

Koje su sve brojke koje sam naveo gore? Nisu više ravne, kao, na primjer, kvadrat, trokut, krug, već obimne! Shodno tome, moramo uzeti u obzir ne dvodimenzionalni, već trodimenzionalni koordinatni sistem. Sasvim je lako konstruisati: samo uz apscisu i ordinatnu os, uvest ćemo još jednu os, aplikantnu os. Slika šematski prikazuje njihov relativni položaj:

Svi su oni međusobno okomiti i sijeku se u jednoj tački koju ćemo nazvati ishodištem koordinata. Kao i ranije, označit ćemo apscisnu os, ordinatnu osu - , i uvedenu aplikantnu osu - .

Ako je ranije svaka tačka na ravni bila okarakterisana sa dva broja - apscisa i ordinata, onda je svaka tačka u prostoru već opisana sa tri broja - apscisa, ordinata i aplikat. Na primjer:

Prema tome, apscisa točke je jednaka, ordinata je , a aplikacija je .

Ponekad se apscisa tačke naziva i projekcija tačke na apscisnu osu, ordinata - projekcija tačke na osu ordinate, a aplikacija - projekcija tačke na osu aplikacije. Prema tome, ako je data tačka, onda je tačka sa koordinatama:

zove se projekcija tačke na ravan

zove se projekcija tačke na ravan

Postavlja se prirodno pitanje: da li su sve formule izvedene za dvodimenzionalni slučaj važeće u prostoru? Odgovor je da, pošteni su i imaju isti izgled. Za mali detalj. Mislim da ste već pogodili koji je to. U sve formule morat ćemo dodati još jedan pojam odgovoran za aplikantnu osu. Naime.

1. Ako su date dvije točke: , tada:

• Vektorske koordinate:
• Udaljenost između dvije tačke (ili dužina vektora)
• Sredina segmenta ima koordinate

2. Ako su data dva vektora: i, onda:

• Njihov skalarni proizvod je jednak:
• Kosinus ugla između vektora jednak je:

Međutim, prostor nije tako jednostavan. Kao što razumete, dodavanje još jedne koordinate unosi značajnu raznolikost u spektar figura koje „žive” u ovom prostoru. A za dalje pripovijedanje morat ću uvesti neku, grubo rečeno, “generalizaciju” prave linije. Ova „generalizacija“ će biti avion. Šta znaš o avionu? Pokušajte odgovoriti na pitanje šta je avion? Veoma je teško reći. Međutim, svi mi intuitivno zamišljamo kako to izgleda:

Grubo govoreći, ovo je neka vrsta beskonačnog "čaršava" zaglavljenog u svemiru. „Beskonačnost“ treba shvatiti da se ravan proteže u svim smjerovima, odnosno da je njena površina jednaka beskonačnosti. Međutim, ovo „praktično“ objašnjenje ne daje ni najmanju predstavu o strukturi aviona. I ona je ta koja će biti zainteresovana za nas.

Prisjetimo se jednog od osnovnih aksioma geometrije:

• ravna linija prolazi kroz dvije različite tačke na ravni i samo jednu:

Ili njegov analog u svemiru:

Naravno, sjećate se kako izvesti jednadžbu prave iz dvije zadane tačke; to uopće nije teško: ako prva tačka ima koordinate: a druga, tada će jednadžba prave biti sljedeća:

Uzeli ste ovo u 7. razredu. U prostoru jednadžba prave izgleda ovako: daju nam se dvije točke s koordinatama: , tada jednadžba prave koja prolazi kroz njih ima oblik:

Na primjer, prava prolazi kroz tačke:

Kako ovo treba shvatiti? Ovo treba shvatiti na sljedeći način: tačka leži na pravoj ako njene koordinate zadovoljavaju sljedeći sistem:

Jednačina prave nas neće mnogo zanimati, ali moramo obratiti pažnju na veoma važan koncept vektora pravca pravca. - bilo koji vektor različit od nule koji leži na datoj pravoj ili paralelan s njom.

Na primjer, oba vektora su vektori smjera prave linije. Neka je točka koja leži na liniji i neka bude njen vektor smjera. Tada se jednačina prave može napisati u sljedećem obliku:

Još jednom, neće me baš zanimati jednačina prave linije, ali zaista treba da zapamtite šta je vektor pravca! opet: ovo je BILO KOJI vektor različit od nule koji leži na pravoj ili paralelan s njom.

Povuci se jednadžba ravni zasnovana na tri date tačke više nije tako trivijalan, a problem se obično ne obrađuje u srednjoškolskim kursevima. Ali uzalud! Ova tehnika je od vitalnog značaja kada pribjegavamo koordinatnoj metodi za rješavanje složenih problema. Ipak, pretpostavljam da ste željni da naučite nešto novo? Štaviše, moći ćete da impresionirate svog nastavnika na univerzitetu kada se pokaže da već znate kako da koristite tehniku ​​koja se obično izučava na kursu analitičke geometrije. Pa počnimo.

Jednačina ravnine se ne razlikuje previše od jednačine prave na ravni, naime, ima oblik:

neki brojevi (nisu svi jednaki nuli), ali varijable, na primjer: itd. Kao što vidite, jednadžba ravni se ne razlikuje mnogo od jednačine prave (linearne funkcije). Međutim, zapamtite šta smo se ti i ja svađali? Rekli smo da ako imamo tri tačke koje ne leže na istoj pravoj, onda se jednačina ravni može jedinstveno rekonstruisati iz njih. Ali kako? Pokušaću da ti objasnim.

Pošto je jednadžba ravni:

I tačke pripadaju ovoj ravni, onda kada zamenimo koordinate svake tačke u jednadžbu ravnine treba da dobijemo tačan identitet:

Dakle, postoji potreba da se reše tri jednačine sa nepoznanicama! Dilema! Međutim, uvijek možete pretpostaviti da (da biste to učinili morate podijeliti sa). Tako dobijamo tri jednadžbe sa tri nepoznanice:

Međutim, nećemo rješavati takav sistem, već ćemo ispisati misteriozni izraz koji iz njega slijedi:

Jednačina ravni koja prolazi kroz tri date tačke

\[\lijevo| (\begin(niz)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(niz)) \desno| = 0\]

Stani! Šta je ovo? Neki vrlo neobičan modul! Međutim, objekat koji vidite ispred sebe nema nikakve veze sa modulom. Ovaj objekat se naziva determinanta trećeg reda. Od sada, kada se bavite metodom koordinata na ravni, vrlo često ćete se susresti sa istim tim determinantama. Šta je determinanta trećeg reda? Čudno, to je samo broj. Ostaje razumjeti koji ćemo konkretni broj uporediti s determinantom.

Zapišimo prvo determinantu trećeg reda u općenitijem obliku:

Gdje su neki brojevi. Štaviše, pod prvim indeksom podrazumijevamo broj reda, a pod indeksom broj kolone. Na primjer, to znači da se ovaj broj nalazi na sjecištu drugog reda i treće kolone. Postavimo sljedeće pitanje: kako ćemo tačno izračunati takvu determinantu? Odnosno, s kojim konkretnim brojem ćemo ga uporediti? Za determinantu trećeg reda postoji heurističko (vizuelno) pravilo trougla, koje izgleda ovako:

1. Umnožak elemenata glavne dijagonale (od gornjeg lijevog ugla do donjeg desnog) umnožak elemenata koji formiraju prvi trokut "okomit" na glavnu dijagonalu proizvod elemenata koji formiraju drugi trokut "okomit" na glavna dijagonala
2. Umnožak elemenata sekundarne dijagonale (od gornjeg desnog ugla do donjeg lijevog) umnožak elemenata koji formiraju prvi trokut „okomito“ na sekundarnu dijagonalu proizvod elemenata koji formiraju drugi trokut „okomit“ na sekundarna dijagonala
3. Tada je determinanta jednaka razlici između vrijednosti dobijenih u koraku i

Ako sve ovo zapišemo brojevima, dobićemo sledeći izraz:

Međutim, ne morate pamtiti način izračunavanja u ovom obliku, dovoljno je samo zadržati u glavi trokute i samu ideju šta se dodaje na šta i šta se onda oduzima od čega).

Ilustrirajmo metodu trokuta na primjeru:

1. Izračunajte determinantu:

Hajde da shvatimo šta dodajemo, a šta oduzimamo:

Uslovi koji dolaze sa plusom:

Ovo je glavna dijagonala: proizvod elemenata je jednak

Prvi trokut, "okomit na glavnu dijagonalu: proizvod elemenata je jednak

Drugi trokut, okomito na glavnu dijagonalu: proizvod elemenata je jednak

Zbrojite tri broja:

Uslovi koji dolaze sa minusom

Ovo je bočna dijagonala: proizvod elemenata je jednak

Prvi trokut, “okomit na sekundarnu dijagonalu: proizvod elemenata je jednak

Drugi trokut, “okomit na sekundarnu dijagonalu: proizvod elemenata je jednak

Zbrojite tri broja:

Sve što ostaje da se uradi je da oduzmemo zbir članova „plus“ od zbira „minus“ članova:

dakle,

Kao što vidite, nema ništa komplikovano ili natprirodno u izračunavanju determinanti trećeg reda. Važno je samo zapamtiti trouglove i ne praviti aritmetičke greške. Sada pokušajte sami izračunati:

Provjeravamo:

1. Prvi trokut okomit na glavnu dijagonalu:
2. Drugi trokut okomit na glavnu dijagonalu:
3. Zbir pojmova sa plusom:
4. Prvi trokut okomit na sekundarnu dijagonalu:
5. Drugi trokut okomit na bočnu dijagonalu:
6. Zbir pojmova sa minusom:
7. Zbir članova sa plusom minus zbir članova sa minusom:

Evo još par determinanti, sami izračunajte njihove vrijednosti i uporedite ih s odgovorima:

odgovori:

Pa, da li se sve poklopilo? Odlično, onda možete dalje! Ako postoje poteškoće, moj savjet je sljedeći: na internetu postoji mnogo programa za izračunavanje determinante na mreži. Sve što trebate je da smislite svoju determinantu, sami je izračunate, a zatim uporedite sa onim što program izračunava. I tako sve dok rezultati ne počnu da se podudaraju. Siguran sam da ovaj trenutak neće dugo trajati!

Vratimo se sada na odrednicu koju sam napisao kada sam govorio o jednačini ravni koja prolazi kroz tri date tačke:

Sve što trebate je da direktno izračunate njegovu vrijednost (pomoću metode trougla) i postavite rezultat na nulu. Naravno, pošto su to varijable, dobićete izraz koji zavisi od njih. Taj izraz će biti jednačina ravnine koja prolazi kroz tri date tačke koje ne leže na istoj pravoj liniji!

Ilustrirajmo ovo jednostavnim primjerom:

1. Konstruirajte jednačinu ravni koja prolazi kroz tačke

Sastavljamo determinantu za ove tri tačke:

Hajde da pojednostavimo:

Sada ga izračunavamo direktno koristeći pravilo trokuta:

\[(\left| (\begin(niz)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(niz)) \ desno| = \left((x + 3) \desno) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \desno) + \left((y - 2) \desno) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Dakle, jednačina ravnine koja prolazi kroz tačke je:

Sada pokušajte sami riješiti jedan problem, a onda ćemo o njemu razgovarati:

2. Naći jednačinu ravnine koja prolazi kroz tačke

Pa, hajde da sada razgovaramo o rješenju:

Napravimo determinantu:

I izračunajte njegovu vrijednost:

Tada jednačina ravni ima oblik:

Ili, smanjivanjem za, dobijamo:

Sada dva zadatka za samokontrolu:

1. Konstruišite jednačinu ravni koja prolazi kroz tri tačke:

odgovori:

Je li se sve poklopilo? Opet, ako postoje određene poteškoće, onda je moj savjet sljedeći: uzmite tri točke iz glave (sa velikim stupnjem vjerovatnoće neće ležati na istoj pravoj liniji), izgradite avion na osnovu njih. A onda se provjerite na internetu. Na primjer, na web stranici:

Međutim, uz pomoć determinanti konstruisaćemo ne samo jednadžbu ravnine. Zapamtite, rekao sam vam da nije samo tačkasti proizvod definiran za vektore. Postoji i vektorski proizvod, kao i mješoviti proizvod. A ako je skalarni proizvod dva vektora broj, onda će vektorski proizvod dva vektora biti vektor, a ovaj vektor će biti okomit na date:

Štaviše, njegov će modul biti jednak površini paralelograma izgrađenog na vektorima i. Ovaj vektor će nam trebati za izračunavanje udaljenosti od tačke do prave. Kako možemo izračunati vektorski proizvod vektora i ako su date njihove koordinate? U pomoć nam opet dolazi odrednica trećeg reda. Međutim, prije nego što pređem na algoritam za izračunavanje vektorskog proizvoda, moram napraviti malu digresiju.

Ova digresija se odnosi na bazne vektore.

Oni su šematski prikazani na slici:

Šta mislite zašto se nazivaju osnovnim? Činjenica je da:

Ili na slici:

Valjanost ove formule je očigledna, jer:

Vector artwork

Sada mogu početi predstavljati unakrsni proizvod:

Vektorski proizvod dva vektora je vektor, koji se izračunava prema sljedećem pravilu:

Sada dajmo nekoliko primjera izračunavanja unakrsnog proizvoda:

Primjer 1: Pronađite unakrsni proizvod vektora:

Rješenje: Ja pravim odrednicu:

I ja izračunam:

Sada od pisanja kroz bazne vektore, vratit ću se na uobičajenu vektorsku notaciju:

ovako:

Sada probaj.

Spreman? Provjeravamo:

I tradicionalno dva zadaci za kontrolu:

1. Pronađite vektorski proizvod sljedećih vektora:
2. Pronađite vektorski proizvod sljedećih vektora:

odgovori:

Mješoviti proizvod tri vektora

Posljednja konstrukcija koja će mi trebati je miješani proizvod tri vektora. On je, kao skalar, broj. Postoje dva načina da se to izračuna. - kroz determinantu, - kroz mješoviti proizvod.

Naime, neka nam budu data tri vektora:

Tada se mješoviti proizvod tri vektora, označen sa, može izračunati kao:

1. - to jest, mješoviti proizvod je skalarni proizvod vektora i vektorski proizvod dva druga vektora

Na primjer, mješoviti proizvod tri vektora je:

Pokušajte sami izračunati koristeći vektorski proizvod i uvjerite se da se rezultati podudaraju!

I opet, dva primjera za samostalna rješenja:

odgovori:

Odabir koordinatnog sistema

Pa, sada imamo svu potrebnu osnovu znanja za rješavanje složenih problema stereometričke geometrije. Međutim, prije nego što prijeđemo direktno na primjere i algoritme za njihovo rješavanje, vjerujem da će biti korisno zadržati se na sljedećem pitanju: kako točno odabrati koordinatni sistem za određenu figuru. Na kraju krajeva, izbor relativnog položaja koordinatnog sistema i figure u prostoru će na kraju odrediti koliko će proračuni biti glomazni.

Da vas podsjetim da u ovom dijelu razmatramo sljedeće brojke:

1. Pravougaoni paralelepiped
2. Prava prizma (trouglasta, heksagonalna...)
3. Piramida (trokutasta, četvorougaona)
4. Tetraedar (isto kao trouglasta piramida)

Za pravougaoni paralelepiped ili kocku preporučujem vam sljedeću konstrukciju:

Odnosno, postaviću figuru „u ugao“. Kocka i paralelepiped su veoma dobre figure. Za njih uvijek možete lako pronaći koordinate njegovih vrhova. Na primjer, ako (kao što je prikazano na slici)

tada su koordinate vrhova kako slijedi:

Naravno, ne morate ovo zapamtiti, ali zapamtite kako najbolje postaviti kocku ili pravokutni paralelepiped je preporučljivo.

Prava prizma

Prizma je štetnija figura. Može se pozicionirati u prostoru na različite načine. Međutim, najprihvatljivija mi se čini sljedeća opcija:

Trokutasta prizma:

Odnosno, jednu od stranica trokuta stavljamo u potpunosti na osu, a jedan od vrhova se poklapa sa ishodištem koordinata.

Heksagonalna prizma:

To jest, jedan od vrhova se poklapa sa ishodištem, a jedna od stranica leži na osi.

Četvorougaona i šestougaona piramida:

Situacija je slična kocki: dvije strane baze poravnamo s koordinatnim osa, a jedan od vrhova poravnamo s ishodištem koordinata. Jedina mala poteškoća bit će izračunavanje koordinata tačke.

Za heksagonalnu piramidu - isto kao i za heksagonalnu prizmu. Glavni zadatak će opet biti pronaći koordinate vrha.

Tetraedar (trokutasta piramida)

Situacija je vrlo slična onoj koju sam dao za trouglastu prizmu: jedan vrh se poklapa sa ishodištem, jedna strana leži na koordinatnoj osi.

E, sad smo ti i ja konačno blizu početka rješavanja problema. Iz onoga što sam rekao na samom početku članka, možete izvući sljedeći zaključak: većina C2 problema podijeljena je u 2 kategorije: problemi uglova i problemi udaljenosti. Prvo ćemo razmotriti probleme nalaženja ugla. Oni su pak podijeljeni u sljedeće kategorije (kako se složenost povećava):

Problemi za pronalaženje uglova

1. Pronalaženje ugla između dvije prave
2. Pronalaženje ugla između dvije ravni

Pogledajmo ove probleme redom: počnimo od pronalaženja ugla između dvije prave. Pa, zapamtite, nismo li ti i ja ranije rješavali slične primjere? Sjećate li se, već smo imali nešto slično... Tražili smo ugao između dva vektora. Da vas podsjetim, ako su data dva vektora: i, onda se ugao između njih nalazi iz relacije:

Sada nam je cilj pronaći ugao između dvije prave. Pogledajmo "ravnu sliku":

Koliko uglova smo dobili kada su se dve prave presekle? Samo nekoliko stvari. Istina, samo dva od njih nisu jednaka, dok su ostali okomiti na njih (i samim tim se poklapaju s njima). Dakle, koji ugao treba da uzmemo u obzir kao ugao između dve prave: ili? Ovdje je pravilo: ugao između dvije prave uvijek nije veći od stepeni. Odnosno, iz dva ugla uvek ćemo izabrati ugao sa najmanjom stepenom mere. Odnosno, na ovoj slici ugao između dve prave je jednak. Kako se ne bi svaki put mučili s pronalaženjem najmanjeg od dva ugla, lukavi matematičari su predložili korištenje modula. Dakle, ugao između dve prave linije određuje se formulom:

Vi, kao pažljivi čitalac, trebalo je da imate pitanje: odakle, tačno, dobijamo baš te brojeve koji su nam potrebni da izračunamo kosinus ugla? Odgovor: uzet ćemo ih iz vektora smjera linija! Dakle, algoritam za pronalaženje ugla između dve prave je sledeći:

1. Primjenjujemo formulu 1.

Ili detaljnije:

1. Tražimo koordinate vektora smjera prve prave linije
2. Tražimo koordinate vektora smjera druge prave linije
3. Izračunavamo modul njihovog skalarnog proizvoda
4. Tražimo dužinu prvog vektora
5. Tražimo dužinu drugog vektora
6. Pomnožite rezultate iz tačke 4 sa rezultatom iz tačke 5
7. Podijelimo rezultat tačke 3 rezultatom tačke 6. Dobijamo kosinus ugla između pravih
8. Ako nam ovaj rezultat omogućava da precizno izračunamo ugao, tražimo ga
9. Inače pišemo kroz arc kosinus

E, sad je vrijeme da pređemo na probleme: za prva dva ću detaljno demonstrirati rješenje, za drugi ću ukratko iznijeti rješenje, a na zadnja dva problema ću dati samo odgovore; morate sami izvršiti sve proračune za njih.

Zadaci:

1. U desnom tet-ra-ed-re pronađite ugao između visine tet-ra-ed-ra i srednje strane.

2. U desnom šestougaonom pi-ra-mi-de, sto os-no-va-nija su jednake, a bočne ivice su jednake, pronađite ugao između pravih i.

3. Dužine svih ivica desnog četverouglja pi-ra-mi-dy su jednake jedna drugoj. Pronađite ugao između pravih linija i ako iz reza - vi ste sa datim pi-ra-mi-dy, tačka je se-re-di-na svojim bo-ko-drugim rebrima

4. Na rubu kocke nalazi se tačka tako da Nađite ugao između pravih i

5. Tačka - na rubovima kocke Pronađite ugao između pravih i.

Nije slučajno što sam zadatke rasporedio ovim redom. Dok još niste počeli da se krećete koordinatnom metodom, ja ću sam analizirati „najproblematičnije“ figure, a vama ću ostaviti da se bavite najjednostavnijom kockom! Postepeno ćete morati naučiti kako raditi sa svim figurama; povećavat ću složenost zadataka od teme do teme.

Počnimo rješavati probleme:

1. Nacrtajte tetraedar, postavite ga u koordinatni sistem kao što sam ranije predložio. Pošto je tetraedar pravilan, sve njegove strane (uključujući bazu) su pravilni trouglovi. Pošto nam nije data dužina stranice, mogu uzeti da je jednaka. Mislim da razumete da ugao zapravo neće zavisiti od toga koliko je naš tetraedar „rastegnut“?. Također ću nacrtati visinu i medijan u tetraedru. Usput ću nacrtati njegovu osnovu (i nama će biti od koristi).

Moram pronaći ugao između i. šta mi znamo? Znamo samo koordinate tačke. To znači da moramo pronaći koordinate tačaka. Sada mislimo: tačka je tačka preseka visina (ili simetrala ili medijana) trougla. A tačka je podignuta tačka. Tačka je sredina segmenta. Tada konačno trebamo pronaći: koordinate tačaka: .

Počnimo od najjednostavnije stvari: koordinata tačke. Pogledajte sliku: Jasno je da je primena tačke jednaka nuli (tačka leži na ravni). Njegova ordinata je jednaka (pošto je medijana). Teže je pronaći njegovu apscisu. Međutim, to se lako radi na osnovu Pitagorine teoreme: Razmotrimo trokut. Njegova hipotenuza je jednaka, a jedan krak jednak. Tada:

Konačno imamo: .

Sada pronađimo koordinate tačke. Jasno je da je njegova primjena opet jednaka nuli, a ordinata ista kao i kod tačke, tj. Nađimo njegovu apscisu. Ovo je učinjeno prilično trivijalno ako se toga sećate visine jednakostraničnog trougla tačkom preseka su podeljene proporcionalno, računajući od vrha. Pošto je: , tada je tražena apscisa tačke, jednaka dužini segmenta, jednaka: . Dakle, koordinate tačke su:

Nađimo koordinate tačke. Jasno je da se njena apscisa i ordinata poklapaju sa apscisom i ordinatom tačke. A aplikacija je jednaka dužini segmenta. - ovo je jedan od krakova trougla. Hipotenuza trougla je segment - krak. Traži se iz razloga koje sam podebljao:

Tačka je sredina segmenta. Zatim moramo zapamtiti formulu za koordinate sredine segmenta:

To je to, sada možemo tražiti koordinate vektora smjera:

Pa, sve je spremno: sve podatke zamjenjujemo u formulu:

dakle,

odgovor:

Ne bi se trebali plašiti ovakvih „zastrašujućih“ odgovora: za C2 zadatke to je uobičajena praksa. Radije bih se iznenadio “lijepim” odgovorom u ovom dijelu. Također, kao što ste primijetili, praktično nisam pribjegao ničemu drugom osim Pitagorinoj teoremi i svojstvu visina jednakostraničnog trougla. Odnosno, da bih riješio stereometrijski problem, koristio sam minimum stereometrije. Dobitak u tome se djelimično „ugasi“ prilično glomaznim proračunima. Ali oni su prilično algoritamski!

2. Oslikajmo pravilnu heksagonalnu piramidu zajedno sa koordinatnim sistemom, kao i njenu osnovu:

Moramo pronaći ugao između linija i. Dakle, naš zadatak se svodi na pronalaženje koordinata tačaka: . Naći ćemo koordinate posljednje tri pomoću malog crteža, a koordinatu temena pronaći ćemo kroz koordinatu tačke. Ima puno posla, ali moramo početi!

a) Koordinata: jasno je da su njena aplikacija i ordinata jednake nuli. Nađimo apscisu. Da biste to učinili, razmislite o pravokutnom trokutu. Avaj, u njemu znamo samo hipotenuzu, koja je jednaka. Pokušat ćemo pronaći katet (jer je jasno da će nam dupla dužina kateta dati apscisu tačke). Kako to možemo tražiti? Prisjetimo se kakvu figuru imamo u podnožju piramide? Ovo je pravilan šestougao. Šta to znači? To znači da su sve strane i svi uglovi jednaki. Moramo pronaći jedan takav ugao. Ima li ideja? Ima mnogo ideja, ali postoji formula:

Zbir uglova pravilnog n-ugla je .

Dakle, zbir uglova pravilnog šestougla jednak je stepenima. Tada je svaki od uglova jednak:

Pogledajmo ponovo sliku. Jasno je da je segment simetrala ugla. Tada je ugao jednak stepenima. onda:

Odakle onda.

Dakle, ima koordinate

b) Sada možemo lako pronaći koordinate tačke: .

c) Pronađite koordinate tačke. Pošto se njena apscisa poklapa sa dužinom segmenta, ona je jednaka. Pronalaženje ordinate također nije teško: ako spojimo tačke i označimo točku presjeka prave linije kao, recimo, . (uradite sami jednostavnu konstrukciju). Tada je ordinata tačke B jednaka zbiru dužina segmenata. Pogledajmo ponovo trougao. Onda

Tada od Tada tačka ima koordinate

d) Hajde sada da pronađemo koordinate tačke. Razmotrimo pravougaonik i dokažimo da su koordinate tačke:

e) Ostaje pronaći koordinate vrha. Jasno je da se njena apscisa i ordinata poklapaju sa apscisom i ordinatom tačke. Hajde da pronađemo aplikaciju. Od tada. Razmotrimo pravougli trougao. Prema uslovima problema, bočna ivica. Ovo je hipotenuza mog trougla. Tada je visina piramide noga.

Tada tačka ima koordinate:

E, to je to, imam koordinate svih tačaka koje me zanimaju. Tražim koordinate usmjeravajućih vektora pravih linija:

Tražimo ugao između ovih vektora:

odgovor:

Opet, u rješavanju ovog problema nisam koristio nikakve sofisticirane tehnike osim formule za zbir uglova pravilnog n-ugla, kao i definicije kosinusa i sinusa pravokutnog trougla.

3. Pošto nam opet nisu date dužine ivica u piramidi, smatrat ću ih jednakima jedan. Dakle, pošto su SVE ivice, a ne samo bočne, jednake jedna drugoj, onda u osnovi piramide i mene postoji kvadrat, a bočne strane su pravilni trouglovi. Nacrtajmo takvu piramidu, kao i njenu osnovu na ravni, bilježeći sve podatke date u tekstu problema:

Tražimo ugao između i. Napraviću vrlo kratke proračune kada tražim koordinate tačaka. Morat ćete ih "dešifrirati":

b) - sredina segmenta. Njegove koordinate:

c) Naći ću dužinu segmenta koristeći Pitagorinu teoremu u trouglu. Mogu ga pronaći koristeći Pitagorinu teoremu u trouglu.

koordinate:

d) - sredina segmenta. Njegove koordinate su

e) Vektorske koordinate

f) Vektorske koordinate

g) Traženje ugla:

Kocka je najjednostavnija figura. Siguran sam da ćeš to sama shvatiti. Odgovori na probleme 4 i 5 su sljedeći:

Pronalaženje ugla između prave i ravni

Pa, vrijeme jednostavnih zagonetki je prošlo! Sada će primjeri biti još složeniji. Da bismo pronašli ugao između prave i ravni, postupit ćemo na sljedeći način:

1. Koristeći tri tačke konstruišemo jednačinu ravni
   ,
   koristeći determinantu trećeg reda.
2. Koristeći dvije točke tražimo koordinate usmjeravajućeg vektora prave linije:
3. Primjenjujemo formulu za izračunavanje ugla između prave i ravnine:

Kao što vidite, ova formula je vrlo slična onoj koju smo koristili za pronalaženje uglova između dvije prave. Struktura na desnoj strani je jednostavno ista, a na lijevoj sada tražimo sinus, a ne kosinus kao prije. Pa, dodata je jedna gadna radnja - traženje jednačine ravnine.

Nemojmo odlagati primjeri rješenja:

1. Glavna-ali-va-ni-em direktna prizma-mi smo trougao jednak siromašnom. Pronađite ugao između prave i ravni

2. U pravougaonom par-ral-le-le-pi-pe-de sa zapada Pronađite ugao između prave i ravni

3. U pravoj šesterokutnoj prizmi sve su ivice jednake. Pronađite ugao između prave i ravni.

4. U desnom trouglastom pi-ra-mi-de sa os-no-va-ni-em poznatih rebara Pronađite ugao, ob-ra-zo-van -ravno u osnovi i ravan, koji prolazi kroz sivo rebra i

5. Dužine svih ivica pravog četvorougaonog pi-ra-mi-dy sa vrhom jednake su jedna drugoj. Pronađite ugao između prave i ravni ako je tačka na strani ivice pi-ra-mi-dyja.

Opet ću detaljno riješiti prva dva problema, treći ukratko, a posljednja dva ostaviti da sami riješite. Osim toga, već ste imali posla sa trouglastim i četvorougaonim piramidama, ali još ne i sa prizmama.

rješenja:

1. Naslikajmo prizmu, kao i njenu osnovu. Kombinirajmo ga s koordinatnim sistemom i zabilježimo sve podatke koji su dati u iskazu problema:

Izvinjavam se zbog nepoštovanja proporcija, ali za rješavanje problema to zapravo i nije toliko bitno. Avion je jednostavno "zadnji zid" moje prizme. Dovoljno je samo pogoditi da jednačina takve ravni ima oblik:

Međutim, ovo se može direktno prikazati:

Odaberimo proizvoljne tri tačke na ovoj ravni: na primjer, .

Kreirajmo jednačinu ravnine:

Vježba za vas: sami izračunajte ovu determinantu. Jeste li uspjeli? Tada jednačina ravni izgleda ovako:

Ili jednostavno

dakle,

Da bih riješio primjer, trebam pronaći koordinate vektora smjera prave linije. Pošto se tačka poklapa sa ishodištem koordinata, koordinate vektora će se jednostavno poklopiti sa koordinatama tačke.Da bismo to uradili, prvo pronađemo koordinate tačke.

Da biste to učinili, razmotrite trokut. Nacrtajmo visinu (također poznatu kao medijana i simetrala) iz vrha. Budući da je ordinata tačke jednaka. Da bismo pronašli apscisu ove tačke, moramo izračunati dužinu segmenta. Prema Pitagorinoj teoremi imamo:

Tada tačka ima koordinate:

Tačka je "podignuta" tačka:

Tada su vektorske koordinate:

odgovor:

Kao što vidite, u rješavanju takvih problema nema ništa suštinski teško. U stvari, proces je još malo pojednostavljen "pravošću" figure kao što je prizma. Sada pređimo na sljedeći primjer:

2. Nacrtajte paralelepiped, nacrtajte ravan i pravu liniju u njemu, a također posebno nacrtajte njegovu donju osnovu:

Prvo, nalazimo jednadžbu ravnine: koordinate tri tačke koje leže u njoj:

(prve dvije koordinate se dobijaju na očigledan način, a zadnju koordinatu lako možete pronaći sa slike iz tačke). Zatim sastavljamo jednačinu ravnine:

Računamo:

Tražimo koordinate vodećih vektora: Jasno je da se njegove koordinate poklapaju sa koordinatama tačke, zar ne? Kako pronaći koordinate? Ovo su koordinate tačke, podignute duž aplikativne ose za jedan! . Zatim tražimo željeni ugao:

odgovor:

3. Nacrtajte pravilnu heksagonalnu piramidu, a zatim u njoj nacrtajte ravan i pravu liniju.

Ovdje je čak problematično nacrtati ravan, da ne spominjemo rješavanje ovog problema, ali koordinatni metod nije briga! Njegova svestranost je njegova glavna prednost!

Avion prolazi kroz tri tačke: . Tražimo njihove koordinate:

1) . Koordinate za posljednje dvije točke saznajte sami. Za ovo ćete morati riješiti problem heksagonalne piramide!

2) Konstruišemo jednačinu ravni:

Tražimo koordinate vektora: . (Pogledajte ponovo problem trokutaste piramide!)

3) Traženje ugla:

odgovor:

Kao što vidite, u ovim zadacima nema ništa natprirodno teško. Samo treba da budete veoma oprezni sa korenima. Daću odgovore samo na poslednja dva problema:

Kao što vidite, tehnika rješavanja problema je svugdje ista: glavni zadatak je pronaći koordinate vrhova i zamijeniti ih u određene formule. Ostaje nam da razmotrimo još jednu klasu problema za izračunavanje uglova, i to:

Izračunavanje uglova između dve ravni

Algoritam rješenja će biti sljedeći:

1. Koristeći tri tačke tražimo jednačinu prve ravni:
2. Koristeći ostale tri tačke tražimo jednačinu druge ravni:
3. Primjenjujemo formulu:

Kao što možete vidjeti, formula je vrlo slična dvije prethodne, uz pomoć kojih smo tražili uglove između pravih i između prave i ravni. Tako da vam neće biti teško zapamtiti ovo. Pređimo na analizu zadataka:

1. Stranica osnove prave trouglaste prizme je jednaka, a dijagonala bočne strane jednaka. Pronađite ugao između ravnine i ravnine ose prizme.

2. U desnom četvorouglu pi-ra-mi-de, čije su sve ivice jednake, pronađite sinus ugla između ravni i ravni kosti, koji prolazi kroz tačku per-pen-di-ku- lyar-ali pravo.

3. U pravilnoj četverougaonoj prizmi, stranice osnove su jednake, a bočne ivice jednake. Postoji tačka na ivici od-me-che-on tako da. Pronađite ugao između ravnina i

4. U pravoj četverougaonoj prizmi, stranice osnove su jednake, a bočne ivice jednake. Postoji tačka na ivici od tačke tako da Pronađite ugao između ravnina i.

5. U kocki pronađite ko-sinus ugla između ravni i

Rješenja problema:

1. Nacrtam pravilnu (jednakostranični trokut u osnovi) trouglastu prizmu i na njoj označim ravnine koje se pojavljuju u iskazu problema:

Moramo pronaći jednačine dvije ravni: Jednačina baze je trivijalna: možete sastaviti odgovarajuću determinantu koristeći tri tačke, ali ja ću odmah sastaviti jednačinu:

Sada pronađimo jednačinu Tačka ima koordinate Tačka - Budući da je medijan i visina trokuta, lako se može pronaći pomoću Pitagorine teoreme u trokutu. Tada tačka ima koordinate: Nađimo primjenu tačke. Da bismo to učinili, razmotrimo pravokutni trokut

Tada dobijamo sledeće koordinate: Sastavljamo jednačinu ravni.

Izračunavamo ugao između ravnina:

odgovor:

2. Izrada crteža:

Najteže je shvatiti kakva je to misteriozna ravan, koja prolazi okomito kroz tačku. Pa, glavna stvar je, šta je to? Glavna stvar je pažnja! U stvari, linija je okomita. Prava linija je također okomita. Tada će ravan koja prolazi kroz ove dvije prave biti okomita na pravu i, usput, prolaziti kroz tačku. Ova ravan takođe prolazi kroz vrh piramide. Onda željeni avion - I avion nam je već dat. Tražimo koordinate tačaka.

Pronalazimo koordinatu tačke kroz tačku. Iz male slike lako je zaključiti da će koordinate tačke biti sljedeće: Šta sada treba pronaći za pronalaženje koordinata vrha piramide? Također morate izračunati njegovu visinu. Ovo se radi pomoću iste Pitagorine teoreme: prvo to dokažite (trivijalno od malih trouglova koji formiraju kvadrat na bazi). Pošto po uslovu imamo:

Sada je sve spremno: koordinate vrhova:

Sastavljamo jednačinu ravnine:

Već ste stručnjak za izračunavanje determinanti. Bez poteškoća ćete dobiti:

Ili drugačije (ako obje strane pomnožimo korijenom iz dva)

Sada pronađimo jednačinu ravnine:

(Nisi zaboravio kako dobijamo jednačinu ravni, zar ne? Ako ne razumeš odakle je došao ovaj minus jedan, onda se vratimo na definiciju jednačine ravni! Jednostavno je uvek ispalo pre toga moj avion je pripadao poreklu koordinata!)

Izračunavamo determinantu:

(Možda ćete primijetiti da se jednačina ravni poklapa sa jednadžbom prave koja prolazi kroz tačke i! Razmislite zašto!)

Sada izračunajmo ugao:

Moramo pronaći sinus:

odgovor:

3. Šaljivo pitanje: šta mislite da je pravougaona prizma? Ovo je samo paralelepiped koji dobro poznajete! Napravimo crtež odmah! Ne morate čak ni bazu posebno prikazivati; ovdje je od male koristi:

Ravan je, kao što smo ranije primijetili, napisana u obliku jednadžbe:

Sada napravimo avion

Odmah kreiramo jednačinu ravnine:

Tražim ugao:

Sada odgovori na zadnja dva problema:

E pa, sada je vrijeme za malu pauzu, jer ti i ja smo super i uradili smo odličan posao!

Koordinate i vektori. Napredni nivo

U ovom članku ćemo s vama razgovarati o drugoj klasi problema koji se mogu riješiti korištenjem koordinatnog metoda: problemi izračunavanja udaljenosti. Naime, razmotrićemo sledeće slučajeve:

1. Proračun udaljenosti između linija koje se seku.

Naručio sam ove zadatke po sve većoj težini. Ispostavilo se da je to najlakše pronaći udaljenost od tačke do ravni, a najteže je pronaći udaljenost između linija ukrštanja. Iako, naravno, ništa nije nemoguće! Nemojmo odlagati i odmah pređimo na razmatranje prve klase problema:

Izračunavanje udaljenosti od tačke do ravni

Šta nam je potrebno da riješimo ovaj problem?

1. Koordinate tačaka

Dakle, čim dobijemo sve potrebne podatke, primjenjujemo formulu:

Već biste trebali znati kako konstruišemo jednačinu ravni iz prethodnih zadataka o kojima sam govorio u prošlom dijelu. Pređimo direktno na zadatke. Shema je sljedeća: 1, 2 - pomažem vam da odlučite, a u pojedinostima, 3, 4 - samo odgovor, sami donosite rješenje i uporedite. Počnimo!

Zadaci:

1. Zadana kocka. Dužina ivice kocke je jednaka. Pronađite udaljenost od se-re-di-na od reza do ravni

2. S obzirom na pravo četiri uglja pi-ra-mi-da, stranica stranice jednaka je osnovici. Pronađite rastojanje od tačke do ravni gde - se-re-di-na ivicama.

3. U desnom trouglastom pi-ra-mi-de sa os-no-va-ni-em, bočna ivica je jednaka, a sto-ro-na os-no-vania je jednaka. Pronađite udaljenost od vrha do ravnine.

4. U pravoj heksagonalnoj prizmi sve su ivice jednake. Pronađite udaljenost od tačke do ravni.

rješenja:

1. Nacrtajte kocku sa pojedinačnim ivicama, konstruišite segment i ravan, označite sredinu segmenta slovom

.

Prvo, počnimo s jednostavnim: pronađite koordinate tačke. Od tada (zapamtite koordinate sredine segmenta!)

Sada sastavljamo jednadžbu ravnine koristeći tri tačke

\[\lijevo| (\begin(niz)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(niz)) \right| = 0\]

Sada mogu početi da tražim udaljenost:

2. Počinjemo ponovo sa crtežom na kojem obeležavamo sve podatke!

Za piramidu bi bilo korisno posebno nacrtati njenu osnovu.

Čak i činjenica da crtam kao kokoška šapom neće nas spriječiti da ovaj problem riješimo sa lakoćom!

Sada je lako pronaći koordinate tačke

Pošto su koordinate tačke, onda

2. Pošto su koordinate tačke a sredina segmenta, onda

Bez problema možemo pronaći koordinate još dvije tačke na ravni.Napravimo jednačinu za ravan i pojednostavimo je:

\[\lijevo| (\levo| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(niz)) \right|) \right| = 0\]

Pošto tačka ima koordinate: , izračunavamo udaljenost:

Odgovor (veoma retko!):

Pa, jesi li shvatio? Čini mi se da je ovdje sve jednako tehničko kao i u primjerima koje smo pogledali u prethodnom dijelu. Tako da sam siguran da ako ste savladali to gradivo, onda vam neće biti teško riješiti preostala dva problema. Samo ću vam dati odgovore:

Izračunavanje udaljenosti od prave do ravni

U stvari, tu nema ničeg novog. Kako se prava linija i ravan mogu postaviti jedna u odnosu na drugu? Imaju samo jednu mogućnost: da se preseku, ili je prava paralelna sa ravninom. Šta mislite kolika je udaljenost od prave do ravni sa kojom se ta prava linija seče? Čini mi se da je ovdje jasno da je takva udaljenost jednaka nuli. Nije zanimljiv slučaj.

Drugi slučaj je složeniji: ovdje je udaljenost već različita od nule. Međutim, pošto je prava paralelna sa ravninom, tada je svaka tačka prave jednako udaljena od ove ravni:

ovako:

To znači da je moj zadatak sveden na prethodni: tražimo koordinate bilo koje tačke na pravoj liniji, tražimo jednadžbu ravnine i izračunavamo udaljenost od tačke do ravni. Zapravo, takvi zadaci su izuzetno rijetki na Jedinstvenom državnom ispitu. Uspio sam pronaći samo jedan problem, a podaci u njemu su bili takvi da koordinatni metod nije bio baš primjenjiv na njega!

Sada pređimo na drugu, mnogo važniju klasu problema:

Izračunavanje udaljenosti tačke do prave

Šta nam treba?

1. Koordinate tačke iz koje tražimo udaljenost:

2. Koordinate bilo koje tačke koja leži na pravoj

3. Koordinate usmjeravajućeg vektora prave linije

Koju formulu koristimo?

Šta znači imenilac ovog razlomka trebalo bi da vam bude jasno: ovo je dužina usmeravajućeg vektora prave linije. Ovo je veoma lukav brojilac! Izraz označava modul (dužinu) vektorskog proizvoda vektora i Kako izračunati vektorski proizvod, proučavali smo u prethodnom dijelu rada. Osvježite svoje znanje, sada će nam jako trebati!

Dakle, algoritam za rješavanje problema bit će sljedeći:

1. Tražimo koordinate tačke od koje tražimo udaljenost:

2. Tražimo koordinate bilo koje tačke na pravoj do koje tražimo udaljenost:

3. Konstruirajte vektor

4. Konstruirati usmjeravajući vektor prave linije

5. Izračunajte vektorski proizvod

6. Tražimo dužinu rezultirajućeg vektora:

7. Izračunajte udaljenost:

Imamo puno posla, a primjeri će biti prilično složeni! Sada usmjerite svu svoju pažnju!

1. Dat je pravi trouglasti pi-ra-mi-da sa vrhom. Sto-ro-na osnovu pi-ra-mi-dy je jednako, vi ste jednaki. Pronađite udaljenost od sive ivice do ravne linije, gdje su tačke i sivi rubovi i od veterinarske.

2. Dužine rebara i ravnog ugla-no-go par-ral-le-le-pi-pe-da su prema tome jednake i Pronađite udaljenost od vrha do prave linije

3. U pravoj heksagonalnoj prizmi, sve ivice su jednake, pronađite udaljenost od tačke do prave linije

rješenja:

1. Napravimo uredan crtež na kojem označavamo sve podatke:

Imamo puno posla! Prvo bih želio riječima opisati šta ćemo tražiti i kojim redoslijedom:

1. Koordinate tačaka i

2. Koordinate tačaka

3. Koordinate tačaka i

4. Koordinate vektora i

5. Njihov unakrsni proizvod

6. Dužina vektora

7. Dužina vektorskog proizvoda

8. Udaljenost od do

Pa, čeka nas mnogo posla! Idemo na to sa zasukanim rukavima!

1. Da bismo pronašli koordinate visine piramide, moramo znati koordinate tačke. Njena aplikacija je nula, a njena ordinata je jednaka njenoj apscisi je jednaka dužini segmenta. jednakostranični trokut, podijeljen je u omjeru, računajući od vrha, odavde. Konačno, dobili smo koordinate:

Koordinate tačaka

2. - sredina segmenta

3. - sredina segmenta

Sredina segmenta

4.Koordinate

Vektorske koordinate

5. Izračunajte vektorski proizvod:

6. Dužina vektora: najlakši način za zamjenu je da segment bude srednja linija trougla, što znači da je jednak polovini baze. Dakle.

7. Izračunajte dužinu vektorskog proizvoda:

8. Konačno, nalazimo udaljenost:

Uf, to je to! Iskreno ću vam reći: rješavanje ovog problema tradicionalnim metodama (kroz konstrukciju) bilo bi mnogo brže. Ali ovdje sam sve sveo na gotov algoritam! Mislim da vam je algoritam rješenja jasan? Stoga ću vas zamoliti da sami riješite preostala dva problema. Hajde da uporedimo odgovore?

Opet ponavljam: lakše je (brže) rješavati ove probleme kroz konstrukcije, umjesto pribjegavanja koordinatnoj metodi. Ovu metodu rješenja sam demonstrirao samo da bih vam pokazao univerzalnu metodu koja vam omogućava da „ne dovršite izgradnju bilo čega“.

Konačno, razmotrite posljednju klasu problema:

Izračunavanje udaljenosti između linija koje se seku

Ovdje će algoritam za rješavanje problema biti sličan prethodnom. šta imamo:

3. Bilo koji vektor koji povezuje tačke prve i druge linije:

Kako pronalazimo udaljenost između linija?

Formula je sljedeća:

Brojilac je modul mješovitog proizvoda (uveli smo ga u prethodnom dijelu), a nazivnik je, kao u prethodnoj formuli (modul vektorskog proizvoda vektora smjera pravih, udaljenost između kojih smo traže).

Podsetiću te na to

Onda formula za udaljenost se može prepisati kao:

Ovo je determinanta podijeljena determinantom! Mada, da budem iskren, ovde nemam vremena za šale! Ova formula je, zapravo, vrlo glomazna i dovodi do prilično složenih proračuna. Da sam na tvom mestu, pribegao bih tome samo u krajnjem slučaju!

Pokušajmo riješiti nekoliko problema koristeći gornju metodu:

1. U pravoj trouglastoj prizmi, čije su sve ivice jednake, pronađite rastojanje između pravih i.

2. S obzirom na pravu trouglastu prizmu, sve ivice osnove su jednake presjeku koji prolazi kroz tijelo rebra, a re-re-di-well rebra su kvadrat. Pronađite udaljenost između pravih i

Ja odlučujem o prvom, a na osnovu njega vi odlučujete o drugom!

1. Crtam prizmu i označavam prave linije i

Koordinate tačke C: tada

Koordinate tačaka

Vektorske koordinate

Koordinate tačaka

Vektorske koordinate

Vektorske koordinate

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(niz)(*(20)(l))(\begin(niz)(*(20)(c))0&1&0\end(niz))\\(\begin(niz)(*(20) (c))0&0&1\end(niz))\\(\begin(niz)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\kraj(niz))\kraj(niz)) \desno| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Izračunavamo vektorski proizvod između vektora i

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(niz)(l)\begin(niz)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(niz)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(niz)\\\begin(niz)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\kraj(niz)\kraj(niz) \desno| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Sada izračunavamo njegovu dužinu:

odgovor:

Sada pokušajte pažljivo obaviti drugi zadatak. Odgovor na to će biti: .

Koordinate i vektori. Kratak opis i osnovne formule

Vektor je usmjereni segment. - početak vektora, - kraj vektora.
Vektor je označen sa ili.

Apsolutna vrijednost vektor - dužina segmenta koji predstavlja vektor. Označeno kao.

Vektorske koordinate:

,
gdje su krajevi vektora \displaystyle a .

Zbir vektora: .

Proizvod vektora:

Tačkasti proizvod vektora:

U ovom materijalu ćemo pogledati kako pronaći jednadžbu ravni ako znamo koordinate tri različite tačke koje ne leže na istoj pravoj liniji. Da bismo to učinili, moramo se sjetiti šta je pravougaoni koordinatni sistem u trodimenzionalnom prostoru. Za početak ćemo uvesti osnovni princip ove jednadžbe i pokazati kako se točno koristiti za rješavanje specifičnih problema.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Prvo, moramo zapamtiti jedan aksiom, koji zvuči ovako:

Definicija 1

Ako se tri tačke ne poklapaju jedna s drugom i ne leže na istoj pravoj, tada u trodimenzionalnom prostoru kroz njih prolazi samo jedna ravan.

Drugim riječima, ako imamo tri različite točke čije se koordinate ne poklapaju i koje se ne mogu povezati ravnom linijom, tada možemo odrediti ravan koja prolazi kroz nju.

Recimo da imamo pravougaoni koordinatni sistem. Označimo ga O x y z. Sadrži tri tačke M sa koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), koje se ne mogu povezati duž. Na osnovu ovih uslova možemo zapisati jednačinu ravnine koja nam je potrebna. Postoje dva pristupa rješavanju ovog problema.

1. Prvi pristup koristi opštu ravninu jednačinu. U obliku slova, piše se kao A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Uz njegovu pomoć možete definirati u pravokutnom koordinatnom sistemu određenu alfa ravan koja prolazi kroz prvu datu tačku M 1 (x 1, y 1, z 1). Ispada da će normalni vektor ravni α imati koordinate A, B, C.

Definicija N

Poznavajući koordinate vektora normale i koordinate tačke kroz koju ravan prolazi, možemo zapisati opštu jednačinu ove ravni.

To je ono od čega ćemo polaziti u budućnosti.

Dakle, prema uslovima zadatka, imamo koordinate željene tačke (čak tri) kroz koju ravan prolazi. Da biste pronašli jednačinu, morate izračunati koordinate njenog vektora normale. Označimo ga n → .

Setimo se pravila: svaki vektor koji nije nula date ravni je okomit na vektor normale iste ravni. Tada imamo da će n → biti okomito na vektore sastavljene od originalnih tačaka M 1 M 2 → i M 1 M 3 → . Tada možemo označiti n → kao vektorski proizvod oblika M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

Pošto M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) i M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (dokazi ovih jednakosti dati su u članku posvećenom izračunavanju koordinata vektora iz koordinata tačaka), tada se ispostavlja da:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1

Ako izračunamo determinantu, dobićemo koordinate vektora normale n → koje su nam potrebne. Sada možemo da zapišemo jednačinu koja nam je potrebna za ravan koja prolazi kroz tri date tačke.

2. Drugi pristup pronalaženju jednačine koja prolazi kroz M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), zasniva se na konceptu kao što je koplanarnost vektora.

Ako imamo skup tačaka M (x, y, z), onda u pravougaonom koordinatnom sistemu one definišu ravan za date tačke M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2 , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) samo u slučaju kada su vektori M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2 → = ( ​​x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) i M 1 M 3  → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) bit će komplanarni .

Na dijagramu će to izgledati ovako:

To će značiti da će mješoviti proizvod vektora M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → biti jednak nuli: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , pošto je ovo glavni uslov komplanarnosti: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1), M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) i M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1).

Zapišimo rezultirajuću jednačinu u koordinatnom obliku:

Nakon što izračunamo determinantu, možemo dobiti jednadžbu ravnine koja nam je potrebna za tri tačke koje ne leže na istoj pravoj M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2 ), M 3 (x 3 , y 3 , z 3) .

Iz rezultirajuće jednačine možete prijeći na jednadžbu ravnine u segmentima ili na normalnu jednačinu ravnine, ako uvjeti problema to zahtijevaju.

U narednom paragrafu daćemo primere kako se pristupi koje smo naveli provode u praksi.

Primjeri zadataka za sastavljanje jednačine ravnine koja prolazi kroz 3 tačke

Prethodno smo identificirali dva pristupa koja se mogu koristiti za pronalaženje željene jednačine. Pogledajmo kako se koriste za rješavanje problema i kada treba izabrati svaki od njih.

Primjer 1

Postoje tri tačke koje ne leže na istoj pravoj, sa koordinatama M 1 (- 3, 2, - 1), M 2 (- 1, 2, 4), M 3 (3, 3, - 1). Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz njih.

Rješenje

Koristimo obje metode naizmjenično.

1. Pronađite koordinate dva vektora koja su nam potrebna M 1 M 2 →, M 1 M 3 →:

M 1 M 2 → = - 1 - - 3 , 2 - 2 , 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2 , 0 , 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3 , 3 - 2 , - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Sada izračunajmo njihov vektorski proizvod. Nećemo opisivati ​​proračune determinante:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

Imamo vektor normale ravni koji prolazi kroz tri tražene tačke: n → = (- 5, 30, 2) . Zatim trebamo uzeti jednu od tačaka, na primjer, M 1 (- 3, 2, - 1), i zapisati jednačinu za ravan sa vektorom n → = (- 5, 30, 2). Dobijamo da: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

Ovo je jednačina koja nam je potrebna za ravan koja prolazi kroz tri tačke.

2. Zauzmimo drugačiji pristup. Napišimo jednačinu za ravan sa tri tačke M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) u sljedeći obrazac:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Ovdje možete zamijeniti podatke iz iskaza problema. Kako je x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, kao rezultat dobijamo:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

Dobili smo potrebnu jednačinu.

odgovor:- 5 x + 30 y + 2 z - 73 .

Ali šta ako date tačke i dalje leže na istoj pravoj i za njih treba da napravimo jednadžbu u ravni? Ovdje se mora odmah reći da ovo stanje neće biti sasvim ispravno. Kroz takve tačke može proći beskonačan broj ravnina, tako da je nemoguće izračunati jedan odgovor. Razmotrimo takav problem da bismo dokazali netačnost takve formulacije pitanja.

Primjer 2

Imamo pravougaoni koordinatni sistem u trodimenzionalnom prostoru, u kojem su postavljene tri tačke sa koordinatama M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1 , 1) . Potrebno je napisati jednačinu za ravan koja prolazi kroz nju.

Rješenje

Koristimo prvu metodu i počnimo s izračunavanjem koordinata dva vektora M 1 M 2 → i M 1 M 3 →. Izračunajmo njihove koordinate: M 1 M 2 → = (- 4, 6, 2), M 1 M 3 → = - 6, 9, 3.

Unakrsni proizvod će biti jednak:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

Pošto je M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 →, tada će naši vektori biti kolinearni (ponovo pročitajte članak o njima ako ste zaboravili definiciju ovog koncepta). Dakle, početne tačke M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) su na istoj pravoj, a naš problem ima beskonačno mnogo opcije odgovora.

Ako koristimo drugu metodu, dobićemo:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8 z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Iz rezultirajuće jednakosti proizilazi i da su date tačke M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) na istoj pravoj.

Ako želite pronaći barem jedan odgovor na ovaj problem iz beskonačnog broja njegovih opcija, onda morate slijediti ove korake:

1. Zapišite jednačinu prave M 1 M 2, M 1 M 3 ili M 2 M 3 (ako je potrebno, pogledajte materijal o ovoj radnji).

2. Uzmite tačku M 4 (x 4, y 4, z 4), koja ne leži na pravoj M 1 M 2.

3. Zapišite jednačinu ravni koja prolazi kroz tri različite tačke M 1, M 2 i M 4 koje ne leže na istoj pravoj.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter