Dokažite da je funkcija neparna na mreži. Parne i neparne funkcije

Kako umetnuti matematičke formule na web stranicu?

Ako ikada trebate dodati jednu ili dvije matematičke formule na web stranicu, najlakši način da to učinite je kako je opisano u članku: matematičke formule se lako ubacuju na stranicu u obliku slika koje automatski generira Wolfram Alpha . Osim jednostavnosti, ova univerzalna metoda će pomoći u poboljšanju vidljivosti stranice tražilice. Radi već dugo (i mislim da će raditi zauvijek), ali je već moralno zastario.

Ako redovno koristite matematičke formule na svom sajtu, onda preporučujem da koristite MathJax - posebnu JavaScript biblioteku koja prikazuje matematičke zapise u web pretraživačima koristeći MathML, LaTeX ili ASCIIMathML markup.

Postoje dva načina da počnete koristiti MathJax: (1) pomoću jednostavnog koda možete brzo povezati MathJax skriptu na svoju web stranicu, koja će se automatski učitati sa udaljenog servera u pravo vrijeme (lista servera); (2) preuzmite MathJax skriptu sa udaljenog servera na vaš server i povežite ga sa svim stranicama vašeg sajta. Drugi metod - složeniji i dugotrajniji - ubrzaće učitavanje stranica vaše stranice, a ako roditeljski MathJax server iz nekog razloga postane privremeno nedostupan, to ni na koji način neće utjecati na vašu vlastitu stranicu. Unatoč ovim prednostima, odabrao sam prvi način jer je jednostavniji, brži i ne zahtijeva tehničke vještine. Slijedite moj primjer i za samo 5 minuta moći ćete koristiti sve mogućnosti MathJaxa na svojoj web stranici.

Možete povezati skriptu MathJax biblioteke sa udaljenog servera koristeći dvije opcije koda preuzete sa glavne MathJax web stranice ili na stranici dokumentacije:

Jednu od ovih opcija koda potrebno je kopirati i zalijepiti u kod vaše web stranice, po mogućnosti između oznaka i ili odmah nakon oznake. Prema prvoj opciji, MathJax se brže učitava i manje usporava stranicu. Ali druga opcija automatski prati i učitava najnovije verzije MathJaxa. Ako unesete prvi kod, morat ćete ga povremeno ažurirati. Ako umetnete drugi kod, stranice će se učitavati sporije, ali nećete morati stalno pratiti ažuriranja MathJaxa.

Najlakši način da povežete MathJax je u Blogger-u ili WordPress-u: u kontrolnu ploču web-mjesta dodajte widget dizajniran za umetanje JavaScript koda treće strane, kopirajte prvu ili drugu verziju koda za preuzimanje prikazanog iznad u njega i postavite widget bliže na početak šablona (usput, to uopće nije potrebno, pošto se MathJax skripta učitava asinhrono). To je sve. Sada naučite sintaksu označavanja MathML-a, LaTeX-a i ASCIIMathML-a i spremni ste da umetnete matematičke formule u web stranice svoje web stranice.

Svaki fraktal se konstruiše prema određenom pravilu, koje se dosledno primenjuje neograničen broj puta. Svako takvo vrijeme naziva se iteracija.

Iterativni algoritam za konstruisanje Mengerovog sunđera je prilično jednostavan: originalna kocka sa stranom 1 podeljena je ravninama paralelnim sa njenim plohama na 27 jednakih kocki. Iz nje se uklanja jedna središnja kocka i 6 susjednih kocki duž lica. Rezultat je set koji se sastoji od preostalih 20 manjih kockica. Učinivši isto sa svakom od ovih kockica, dobijamo set koji se sastoji od 400 manjih kockica. Nastavljajući ovaj proces beskonačno, dobijamo Menger sunđer.

Funkcija se naziva parna (neparna) ako je za bilo koji i jednakost

.

Grafikon parne funkcije je simetričan u odnosu na os
.

Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište.

Primjer 6.2. Ispitajte je li funkcija parna ili neparna

1)
; 2)
; 3)
.

Rješenje.

1) Funkcija je definirana kada
. Naći ćemo
.

One.
. znači, ovu funkciju je čak.

2) Funkcija je definirana kada

One.
. Dakle, ova funkcija je čudna.

3) funkcija je definirana za , tj. Za

,
. Stoga funkcija nije ni parna ni neparna. Nazovimo to funkcijom općeg oblika.

3. Proučavanje funkcije za monotonost.

Funkcija
naziva se povećanjem (opadanjem) na određenom intervalu ako je u tom intervalu svaki veća vrijednost argument odgovara većoj (manjoj) vrijednosti funkcije.

Funkcije koje rastu (opadaju) u određenom intervalu nazivaju se monotonim.

Ako je funkcija
diferencibilan na intervalu
i ima pozitivan (negativni) izvod
, zatim funkciju
povećava (smanjuje) u ovom intervalu.

Primjer 6.3. Naći intervale monotonosti funkcija

1)
; 3)
.

Rješenje.

1) Ova funkcija je definirana na cijeloj brojevnoj pravoj. Nađimo derivat.

Izvod je jednak nuli ako
I
. Domen definicije je brojevna osa, podijeljena tačkama
,
u intervalima. Odredimo predznak derivacije u svakom intervalu.

U intervalu
derivacija je negativna, funkcija opada na ovom intervalu.

U intervalu
derivacija je pozitivna, dakle, funkcija raste u ovom intervalu.

2) Ova funkcija je definirana ako
ili

.

Određujemo predznak kvadratnog trinoma u svakom intervalu.

Dakle, domen definicije funkcije

Nađimo derivat
,
, Ako
, tj.
, Ali
. Odredimo predznak derivacije u intervalima
.

U intervalu
derivacija je negativna, pa se funkcija smanjuje na intervalu
. U intervalu
izvod je pozitivan, funkcija raste u intervalu
.

4. Proučavanje funkcije na ekstremumu.

Dot
naziva maksimalnom (minimalnom) tačkom funkcije
, ako postoji takva okolina tačke to je za sve
iz ovog susjedstva vrijedi nejednakost

.

Maksimalne i minimalne tačke funkcije nazivaju se tačke ekstrema.

Ako je funkcija
u tački ima ekstrem, onda je derivacija funkcije u ovoj tački jednaka nuli ili ne postoji (neophodan uslov za postojanje ekstrema).

Tačke u kojima je izvod nula ili ne postoji nazivaju se kritičnim.

5. Dovoljni uslovi postojanje ekstremuma.

Pravilo 1. Ako je tokom tranzicije (s lijeva na desno) kroz kritičnu tačku derivat
mijenja znak iz “+” u “–”, a zatim u tački funkcija
ima maksimum; ako je od “–” do “+”, onda minimum; Ako
ne mijenja predznak, onda nema ekstrema.

Pravilo 2. Neka u tački
prvi izvod funkcije
jednaka nuli
, a drugi izvod postoji i razlikuje se od nule. Ako
, To – maksimalni bod, ako
, To – minimalna tačka funkcije.

Primjer 6.4. Istražite maksimalne i minimalne funkcije:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Rješenje.

1) Funkcija je definirana i kontinuirana na intervalu
.

Nađimo derivat
i riješi jednačinu
, tj.
.Odavde
– kritične tačke.

Odredimo predznak derivacije u intervalima ,
.

Prilikom prolaska kroz tačke
I
derivacija mijenja predznak iz “–” u “+”, dakle, prema pravilu 1
– minimalni bodovi.

Prilikom prolaska kroz tačku
derivacija mijenja predznak iz “+” u “–”, dakle
– maksimalni poen.

,
.

2) Funkcija je definirana i kontinuirana u intervalu
. Nađimo derivat
.

Nakon što smo riješili jednačinu
, naći ćemo
I
– kritične tačke. Ako je imenilac
, tj.
, onda izvod ne postoji. dakle,
– treća kritična tačka. Odredimo predznak derivacije u intervalima.

Dakle, funkcija ima minimum u tački
, maksimum u bodovima
I
.

3) Funkcija je definirana i kontinuirana ako
, tj. at
.

Nađimo derivat

.

Nađimo kritične tačke:

Susjedstva tačaka
ne pripadaju domenu definicije, stoga nisu ekstremi. Dakle, hajde da ispitamo kritične tačke
I
.

4) Funkcija je definirana i kontinuirana na intervalu
. Koristimo pravilo 2. Pronađite izvod
.

Nađimo kritične tačke:

Nađimo drugi izvod
i odredi njegov predznak u tačkama

U tačkama
funkcija ima minimum.

U tačkama
funkcija ima maksimum.

Koje su vam bile poznate u ovom ili onom stepenu. Tamo je također napomenuto da će se zaliha svojstava funkcije postepeno popunjavati. U ovom odjeljku će se raspravljati o dvije nove nekretnine.

Definicija 1.

Funkcija y = f(x), x ê X, zove se čak i ako za bilo koju vrijednost x iz skupa X vrijedi jednakost f (-x) = f (x).

Definicija 2.

Funkcija y = f(x), x ê X, naziva se neparnom ako za bilo koju vrijednost x iz skupa X vrijedi jednakost f (-x) = -f (x).

Dokaži da je y = x 4 - ravnomjerna funkcija.

Rješenje. Imamo: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Ali (-x) 4 = x 4. To znači da za bilo koji x vrijedi jednakost f(-x) = f(x), tj. funkcija je parna.

Slično, može se dokazati da su funkcije y - x 2, y = x 6, y - x 8 parne.

Dokazati da je y = x 3 ~ neparna funkcija.

Rješenje. Imamo: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Ali (-x) 3 = -x 3. To znači da za bilo koje x vrijedi jednakost f (-x) = -f (x), tj. funkcija je neparna.

Slično, može se dokazati da su funkcije y = x, y = x 5, y = x 7 neparne.

Vi i ja smo se već više puta uvjerili da novi pojmovi u matematici najčešće imaju „zemaljsko“ porijeklo, tj. mogu se nekako objasniti. To je slučaj i sa parnim i neparnim funkcijama. Vidite: y - x 3, y = x 5, y = x 7 su neparne funkcije, dok su y = x 2, y = x 4, y = x 6 parne funkcije. I općenito, za bilo koju funkciju oblika y = x" (u nastavku ćemo posebno proučavati ove funkcije), gdje je n prirodan broj, možemo zaključiti: ako je n - Ne čak broj, tada je funkcija y = x" neparna; ako je n paran broj, onda je funkcija y = xn paran.

Postoje i funkcije koje nisu ni parne ni neparne. Takva je, na primjer, funkcija y = 2x + 3. Zaista, f(1) = 5, a f (-1) = 1. Kao što vidite, ovdje, dakle, ni identitet f(-x) = f ( x), niti identitet f(-x) = -f(x).

Dakle, funkcija može biti parna, neparna ili nijedna.

Proučavanje pitanja da li datu funkciju parno ili neparno se obično naziva proučavanjem funkcije za paritet.

U definicijama 1 i 2 mi pričamo o tome o vrijednostima funkcije u točkama x i -x. Ovo pretpostavlja da je funkcija definirana i u tački x i u tački -x. To znači da tačka -x pripada domenu definicije funkcije istovremeno sa tačkom x. Ako numerički skup X, zajedno sa svakim svojim elementom x, sadrži i suprotni element -x, tada se X naziva simetričnim skupom. Recimo, (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) su simetrični skupovi, dok \) .

Budući da je \(x^2\geqslant 0\) , tada je lijeva strana jednačine (*) veća ili jednaka \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Dakle, jednakost (*) može biti istinita samo kada su obje strane jednačine jednake \(\mathrm(tg)^2\,1\) . To znači da je \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \ mathrm( tg)\,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(case) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(case) x=0\\ \mathrm(tg)\, (\ cos x)=\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Dakle, vrijednost \(a=-\mathrm(tg)\,1\) nam odgovara .

odgovor:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Zadatak 2 #3923

Nivo zadatka: jednak Jedinstvenom državnom ispitu

Pronađite sve vrijednosti parametra \(a\) , za svaku od kojih je graf funkcije \

simetrično u odnosu na porijeklo.

Ako je graf funkcije simetričan u odnosu na ishodište, onda je takva funkcija neparna, to jest, \(f(-x)=-f(x)\) vrijedi za bilo koje \(x\) iz domene definicije funkcije. Dakle, potrebno je pronaći one vrijednosti parametara za koje je \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(poravnano) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\desno)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\desno)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\desno)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\desno) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\desno)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(poravnano)\]

Posljednja jednadžba mora biti zadovoljena za sve \(x\) iz domene definicije \(f(x)\) , dakle, \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n \in\ mathbb(Z)\) .

odgovor:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Zadatak 3 #3069

Nivo zadatka: jednak Jedinstvenom državnom ispitu

Pronađite sve vrijednosti parametra \(a\) , za svaku od kojih jednačina \ ima 4 rješenja, gdje je \(f\) parna periodična funkcija s periodom \(T=\dfrac(16)3\) definiran na cijeloj brojevnoj pravoj, i \(f(x)=ax^2\) za \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Zadatak od pretplatnika)

Pošto je \(f(x)\) parna funkcija, njen graf je simetričan u odnosu na ordinatnu osu, dakle, za \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\) \(f(x)=ax^ 2\) . Dakle, za \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\) , a ovo je segment dužine \(\dfrac(16)3\), funkcija je \(f(x)=ax^2\ ) .

1) Neka \(a>0\) . Tada će graf funkcije \(f(x)\) izgledati ovako:


Zatim, da bi jednadžba imala 4 rješenja, potrebno je da graf \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) prolazi kroz tačku \(A\) :


Prema tome, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(sakupljeno)\begin(poravnano) &9(a+2)=32a\\ &9 (a+2)=-32a\kraj(poravnano)\kraj(sakupljeno)\desno. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(sakupljeno)\begin(poravnano) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(poravnano) \end( prikupljeno)\desno.\] Pošto je \(a>0\) , onda je \(a=\dfrac(18)(23)\) pogodan.

2) Neka \(a0\) ). Ako je proizvod dva korijena pozitivan, a njihov zbir pozitivan, tada će i sami korijeni biti pozitivni. Dakle, trebate: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a