UlazPrimjeri izračunavanja logaritama. Prirodni logaritam, funkcija ln x
Slijedi iz njegove definicije. I tako logaritam broja b na osnovu A definira se kao eksponent na koji se broj mora podići a da dobijem broj b(logaritam postoji samo za pozitivne brojeve).
Iz ove formulacije proizilazi da je proračun x=log a b, je ekvivalentno rješavanju jednačine a x =b. Na primjer, log 2 8 = 3 jer 8 = 2 3 . Formulacija logaritma omogućava da se opravda ako b=a c, zatim logaritam broja b na osnovu a jednaki With. Takođe je jasno da je tema logaritama usko povezana sa temom stepena broja.
Sa logaritmima, kao i sa svakim brojevima, možete operacije sabiranja, oduzimanja i transformisati na svaki mogući način. Ali zbog činjenice da logaritmi nisu sasvim obični brojevi, ovdje vrijede njihova posebna pravila, koja se nazivaju glavna svojstva.
Sabiranje i oduzimanje logaritama.
Uzmimo dva logaritma sa po istoj osnovi: log a x I log a y. Tada je moguće izvršiti operacije sabiranja i oduzimanja:
log a x+ log a y= log a (x·y);
log a x - log a y = log a (x:y).
log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log a x 1 + log a x 2 + log a x 3 + ... + log a x k.
Od logaritamski kvocijent teorema Može se dobiti još jedno svojstvo logaritma. Opšte je poznato da log a 1= 0, dakle
log a 1 /b= log a 1 - log a b= - log a b.
To znači da postoji jednakost:
log a 1 / b = - log a b.
Logaritmi dva recipročna broja iz istog razloga će se međusobno razlikovati isključivo po znaku. dakle:
Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.
Šta je logaritam?
Pažnja!
Postoje dodatni
materijala u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")
Šta je logaritam? Kako riješiti logaritme? Ova pitanja zbunjuju mnoge diplomce. Tradicionalno, tema logaritama se smatra složenom, nerazumljivom i zastrašujućom. Posebno jednadžbe sa logaritmima.
Ovo apsolutno nije istina. Apsolutno! Ne vjerujete mi? U redu. Sada, za samo 10 - 20 minuta vi:
1. Razumjeti šta je logaritam.
2. Naučite riješiti cijeli razred eksponencijalne jednačine. Čak i ako niste ništa čuli o njima.
3. Naučite izračunati jednostavne logaritme.
Štaviše, za ovo ćete morati samo znati tablicu množenja i kako podići broj na stepen...
Osećam kao da sumnjaš... Pa, dobro, označi vreme! Idi!
Prvo, riješite ovu jednačinu u svojoj glavi:
Ako vam se sviđa ovaj sajt...
Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)
Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.
Nastavljamo da proučavamo logaritme. U ovom članku ćemo govoriti o izračunavanje logaritama, ovaj proces se zove logaritam. Prvo ćemo razumjeti izračunavanje logaritama po definiciji. Dalje, pogledajmo kako se vrijednosti logaritama pronalaze pomoću njihovih svojstava. Nakon toga ćemo se fokusirati na izračunavanje logaritama kroz početno navedene vrijednosti drugih logaritama. Na kraju, hajde da naučimo kako koristiti logaritamske tablice. Cijela teorija je opskrbljena primjerima sa detaljnim rješenjima.
Navigacija po stranici.
Izračunavanje logaritama po definiciji
U najjednostavnijim slučajevima moguće je izvesti prilično brzo i lako nalaženje logaritma po definiciji. Pogledajmo bliže kako se ovaj proces odvija.
Njegova suština je da broj b predstavi u obliku a c, iz kojeg je, po definiciji logaritma, broj c vrijednost logaritma. To jest, po definiciji, sljedeći lanac jednakosti odgovara pronalaženju logaritma: log a b=log a a c =c.
Dakle, izračunavanje logaritma po definiciji se svodi na pronalaženje broja c takvog da je a c = b, a sam broj c je željena vrijednost logaritma.
Uzimajući u obzir informacije iz prethodnih paragrafa, kada je broj pod znakom logaritma zadan određenom snagom baze logaritma, možete odmah naznačiti čemu je logaritam jednak - jednak je eksponentu. Pokažimo rješenja na primjerima.
Primjer.
Naći log 2 2 −3 i izračunati prirodni logaritam broja e 5,3.
Rješenje.
Definicija logaritma nam omogućava da odmah kažemo da je log 2 2 −3 =−3. Zaista, broj pod predznakom logaritma jednak je bazi 2 na stepen −3.
Slično, nalazimo drugi logaritam: lne 5.3 =5.3.
odgovor:
log 2 2 −3 =−3 i lne 5,3 =5,3.
Ako broj b ispod znaka logaritma nije naveden kao stepen osnove logaritma, onda morate pažljivo pogledati da li je moguće doći do prikaza broja b u obliku a c. Često je ovaj prikaz prilično očigledan, posebno kada je broj pod znakom logaritma jednak bazi na stepen od 1, ili 2, ili 3, ...
Primjer.
Izračunajte logaritme log 5 25 , i .
Rješenje.
Lako je vidjeti da je 25=5 2, ovo vam omogućava da izračunate prvi logaritam: log 5 25=log 5 5 2 =2.
Pređimo na izračunavanje drugog logaritma. Broj se može predstaviti kao stepen 7: 
(pogledajte ako je potrebno). dakle, 
.
Prepišimo treći logaritam u sljedećem obliku. Sada to možete vidjeti 
, iz čega zaključujemo da 
. Dakle, po definiciji logaritma 
.
Ukratko, rješenje bi se moglo napisati na sljedeći način: .
odgovor:
log 5 25=2 , 
I .
Kada se pod predznakom logaritma nalazi dovoljno veliki prirodan broj, ne škodi ga rastaviti u proste faktore. Često pomaže da se takav broj predstavi kao neki stepen baze logaritma i da se stoga izračuna ovaj logaritam po definiciji.
Primjer.
Pronađite vrijednost logaritma.
Rješenje.
Neka svojstva logaritama vam omogućavaju da odmah odredite vrijednost logaritama. Ova svojstva uključuju svojstvo logaritma jedinice i svojstvo logaritma broja jednakog bazi: log 1 1=log a a 0 =0 i log a a=log a a 1 =1. Odnosno, kada se pod znakom logaritma nalazi broj 1 ili broj a jednak osnovici logaritma, tada su u ovim slučajevima logaritmi jednaki 0 i 1, respektivno.
Primjer.
Čemu su jednaki logaritmi i log10?
Rješenje.
Budući da , onda iz definicije logaritma slijedi 
.
U drugom primjeru, broj 10 pod predznakom logaritma poklapa se sa svojom bazom, pa decimalni logaritam od deset jednako jedan, odnosno log10=lg10 1 =1.
odgovor:
I lg10=1 .
Imajte na umu da izračunavanje logaritama po definiciji (o čemu smo govorili u prethodnom pasusu) podrazumijeva korištenje jednakosti log a a p =p, što je jedno od svojstava logaritama.
U praksi, kada se broj pod znakom logaritma i baza logaritma lako mogu predstaviti kao stepen određenog broja, vrlo je zgodno koristiti formulu 
, što odgovara jednom od svojstava logaritma. Pogledajmo primjer pronalaženja logaritma koji ilustruje upotrebu ove formule.
Primjer.
Izračunajte logaritam.
Rješenje.
odgovor:
.
Svojstva logaritama koja nisu pomenuta se takođe koriste u proračunima, ali ćemo o tome govoriti u narednim paragrafima.
Pronalaženje logaritama kroz druge poznate logaritme
Informacije u ovom odlomku nastavljaju na temu korištenja svojstava logaritama prilikom njihovog izračunavanja. Ali ovdje je glavna razlika u tome što se svojstva logaritma koriste za izražavanje originalnog logaritma u terminima drugog logaritma čija je vrijednost poznata. Dajemo primjer za pojašnjenje. Recimo da znamo da je log 2 3≈1,584963, onda možemo pronaći, na primjer, log 2 6 tako što ćemo napraviti malu transformaciju koristeći svojstva logaritma: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .
U gornjem primjeru bilo nam je dovoljno koristiti svojstvo logaritma proizvoda. Međutim, mnogo češće je potrebno koristiti širi arsenal svojstava logaritama da bi se kroz zadane izračunao originalni logaritam.
Primjer.
Izračunajte logaritam od 27 do baze 60 ako znate da je log 60 2=a i log 60 5=b.
Rješenje.
Dakle, moramo pronaći log 60 27 . Lako je vidjeti da je 27 = 3 3 , a originalni logaritam, zbog svojstva logaritma stepena, može se prepisati kao 3·log 60 3 .
Sada da vidimo kako izraziti log 60 3 u terminima poznatih logaritama. Svojstvo logaritma broja jednakog bazi omogućava nam da zapišemo log jednakosti 60 60=1. S druge strane, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . dakle, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. dakle, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.
Konačno, izračunavamo originalni logaritam: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
odgovor:
log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
Odvojeno, vrijedi spomenuti značenje formule za prijelaz na novu bazu logaritma oblika 
. Omogućuje vam prelazak s logaritma s bilo kojom bazom na logaritme s određenom bazom, čije su vrijednosti poznate ili ih je moguće pronaći. Obično se iz originalnog logaritma, koristeći prelaznu formulu, prelaze na logaritme u jednoj od baza 2, e ili 10, jer za ove baze postoje tablice logaritama koje omogućavaju da se njihove vrijednosti izračunaju s određenim stupnjem tačnost. U sljedećem paragrafu ćemo pokazati kako se to radi.
Logaritamske tablice i njihova upotreba
Za približno izračunavanje vrijednosti logaritma mogu se koristiti logaritamske tablice. Tabela logaritama baze 2 koja se najčešće koristi je tabela prirodni logaritmi i tablicu decimalnih logaritama. Kada radite u decimalnom brojevnom sistemu, zgodno je koristiti tablicu logaritama na bazi deset. Uz njegovu pomoć naučit ćemo pronaći vrijednosti logaritama.
Prikazana tablica vam omogućava da pronađete vrijednosti decimalnih logaritama brojeva od 1.000 do 9.999 (sa tri decimalna mjesta) s točnošću od jedne desetohiljaditinke. Analizirat ćemo princip nalaženja vrijednosti logaritma pomoću tablice decimalnih logaritama u konkretan primjer– tako je jasnije. Nađimo log1.256.
U lijevom stupcu tablice decimalnih logaritama nalazimo prve dvije cifre broja 1.256, odnosno nalazimo 1.2 (ovaj broj je zaokružen plavom bojom radi jasnoće). Treća znamenka broja 1.256 (cifra 5) nalazi se u prvom ili posljednjem redu lijevo od dvostrukog reda (ovaj broj je zaokružen crvenom bojom). Četvrta znamenka originalnog broja 1.256 (cifra 6) nalazi se u prvom ili posljednjem redu desno od dvostrukog reda (ovaj broj je zaokružen zelenom linijom). Sada nalazimo brojeve u ćelijama tabele logaritama na preseku označenog reda i označenih kolona (ovi brojevi su istaknuti narandžasta). Zbir označenih brojeva daje željenu vrijednost decimalnog logaritma sa tačnošću do četvrte decimale, tj. log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.
Da li je moguće, koristeći gornju tabelu, pronaći vrijednosti decimalnih logaritama brojeva koji imaju više od tri znamenke iza decimalnog zareza, kao i onih koji izlaze iz raspona od 1 do 9,999? Da, možeš. Pokažimo kako se to radi na primjeru.
Izračunajmo lg102.76332. Prvo treba da zapišete broj u standardni obrazac : 102,76332=1,0276332·10 2. Nakon ovoga, mantisu treba zaokružiti na treću decimalu, imamo 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, dok je originalni decimalni logaritam približno jednak logaritmu rezultirajućeg broja, odnosno uzimamo log102.76332≈lg1.028·10 2. Sada primjenjujemo svojstva logaritma: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Konačno, vrijednost logaritma lg1.028 nalazimo iz tabele decimalnih logaritama lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Kao rezultat, cijeli proces izračunavanja logaritma izgleda ovako: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.
U zaključku, vrijedno je napomenuti da pomoću tablice decimalnih logaritama možete izračunati približnu vrijednost bilo kojeg logaritma. Da biste to učinili, dovoljno je koristiti formulu prijelaza za prelazak na decimalne logaritme, pronaći njihove vrijednosti u tablici i izvršiti preostale proračune.
Na primjer, izračunajmo log 2 3 . Prema formuli za prijelaz na novu bazu logaritma, imamo . Iz tabele decimalnih logaritama nalazimo log3≈0,4771 i log2≈0,3010. dakle, 
.
Bibliografija.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: Udžbenik za 10. - 11. razred opšteobrazovnih ustanova.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za one koji upisuju tehničke škole).
Zadaci čije je rješenje transformacija logaritamski izrazi , prilično su česti na Jedinstvenom državnom ispitu.
Da biste se uspješno nosili s njima uz minimalno vrijeme, pored osnovnih logaritamskih identiteta, potrebno je znati i pravilno koristiti još neke formule.
Ovo je: a log a b = b, gdje je a, b > 0, a ≠ 1 (direktno slijedi iz definicije logaritma).
log a b = log c b / log c a ili log a b = 1/log b a
gdje su a, b, c > 0; a, c ≠ 1.
log a m b n = (m/n) log |a| |b|
gdje su a, b > 0, a ≠ 1, m, n Ê R, n ≠ 0.
a log c b = b log c a
gdje su a, b, c > 0 i a, b, c ≠ 1
Da bismo pokazali valjanost četvrte jednakosti, uzmimo logaritam lijeve i desne strane na osnovu a. Dobijamo log a (a log sa b) = log a (b log sa a) ili log sa b = log sa a · log a b; log c b = log c a · (log c b / log c a); log sa b = log sa b.
Dokazali smo jednakost logaritama, što znači da su i izrazi pod logaritmima jednaki. Formula 4 je dokazana.
Primjer 1.
Izračunaj 81 log 27 5 log 5 4 .
Rješenje.
81 = 3 4 , 27 = 3 3 .
log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5. Dakle,
log 27 5 log 5 4 = 1/3 log 3 5 (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.
Tada je 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.
Sljedeći zadatak možete obaviti sami.
Izračunaj (8 log 2 3 + 3 1/ log 2 3) - log 0,2 5.
Kao nagoveštaj, 0,2 = 1/5 = 5 -1; log 0,2 5 = -1.
Odgovor: 5.
Primjer 2.
Izračunaj (√11) log √3 9- log 121 81 .
Rješenje.
Promenimo izraze: 9 = 3 2, √3 = 3 1/2, log √3 9 = 4,
121 = 11 2, 81 = 3 4, log 121 81 = 2 log 11 3 (korišćena je formula 3).
Tada (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 log 11 3) = 121/3.
Primjer 3.
Izračunajte log 2 24 / log 96 2 - log 2 192 / log 12 2.
Rješenje.
Logaritme sadržane u primjeru zamjenjujemo logaritmima s bazom 2.
log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);
log 2 192 = log 2 (2 6 3) = (log 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3);
log 2 24 = log 2 (2 3 3) = (log 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3);
log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).
Zatim log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/( 2 + log 2 3)) =
= (3 + log 2 3) · (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3)(2 + log 2 3).
Nakon otvaranja zagrada i donošenja sličnih pojmova, dobijamo broj 3. (Kada pojednostavljujemo izraz, možemo označiti log 2 3 sa n i pojednostaviti izraz
(3 + n) · (5 + n) – (6 + n)(2 + n)).
Odgovor: 3.
Sljedeći zadatak možete izvršiti sami:
Izračunaj (log 3 4 + log 4 3 + 2) log 3 16 log 2 144 3.
Ovdje je potrebno izvršiti prijelaz na logaritma baze 3 i faktorizaciju velikih brojeva u proste faktore.
Odgovor:1/2
Primjer 4.
Zadata su tri broja A = 1/(log 3 0,5), B = 1/(log 0,5 3), C = log 0,5 12 – log 0,5 3. Rasporedi ih rastućim redoslijedom.
Rješenje.
Transformirajmo brojeve A = 1/(log 3 0,5) = log 0,5 3; C = log 0,5 12 – log 0,5 3 = log 0,5 12/3 = log 0,5 4 = -2.
Hajde da ih uporedimo
log 0,5 3 > log 0,5 4 = -2 i log 0,5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.
Ili 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.
Odgovori. Dakle, redosled postavljanja brojeva je: C; A; IN.
Primjer 5.
Koliko je cijelih brojeva u intervalu (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48).
Rješenje.
Odredimo između kojih stepena broja 3 se nalazi broj 1/16. Dobijamo 1/27< 1 / 16 < 1 / 9 .
Budući da je funkcija y = log 3 x u porastu, onda je log 3 (1 / 27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.
log 6 48 = log 6 (36 4 / 3) = log 6 36 + log 6 (4 / 3) = 2 + log 6 (4 / 3). Uporedimo log 6 (4/3) i 1/5. I za ovo upoređujemo brojeve 4/3 i 6 1/5. Podignimo oba broja na 5. stepen. Dobijamo (4 / 3) 5 = 1024 / 243 = 4 52 / 243< 6. Следовательно,
log 6 (4 / 3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.
Dakle, interval (log 3 1 / 16 ; log 6 48) uključuje interval [-2; 4] i na njega se stavljaju cijeli brojevi -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.
Odgovor: 7 cijelih brojeva.
Primjer 6.
Izračunajte 3 lglg 2/lg 3 - lg20.
Rješenje.
3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lo g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.
Tada je 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 – lg 20 = lg 0,1 = -1.
Odgovor: -1.
Primjer 7.
Poznato je da je log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 – 2) = A. Pronađite log 2 (√3 –1) + log 2 (√6 + 2).
Rješenje.
Brojevi (√3 + 1) i (√3 – 1); (√6 – 2) i (√6 + 2) su konjugirani.
Izvršimo sljedeću transformaciju izraza
√3 – 1 = (√3 – 1) · (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);
√6 + 2 = (√6 + 2) · (√6 – 2)) / (√6 – 2) = 2/(√6 – 2).
Tada log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =
Log 2 2 – log 2 (√3 + 1) + log 2 2 – log 2 (√6 – 2) = 1 – log 2 (√3 + 1) + 1 – log 2 (√6 – 2) =
2 – log 2 (√3 + 1) – log 2 (√6 – 2) = 2 – A.
Odgovor: 2 – A.
Primjer 8.
Pojednostavite i pronađite približnu vrijednost izraza (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.
Rješenje.
Svedemo sve logaritme na zajedničku bazu 10.
(log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9 = (lg 2 / lg 3) (lg 3 / LG 4) (lg 4 / LG 5) (lg 5 / LG 6) · … · (lg 8 / lg 9) · lg 9 = lg 2 ≈ 0,3010 (Približna vrijednost lg 2 može se pronaći pomoću tabele, kliznog ravnala ili kalkulatora).
Odgovor: 0,3010.
Primjer 9.
Izračunajte log a 2 b 3 √(a 11 b -3) ako je log √ a b 3 = 1. (U ovom primjeru, a 2 b 3 je osnova logaritma).
Rješenje.
Ako je log √ a b 3 = 1, onda je 3/(0,5 log a b = 1. I log a b = 1/6.
Tada log a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log a a 11 + log a b -3) / (2(log a a 2 + log a b 3)) = (11 – 3log a b) / (2(2 + 3log a b)) S obzirom da je log a b = 1/ 6 dobijamo (11 – 3 1 / 6) / (2(2 + 3 1 / 6)) = 10,5/5 = 2,1.
Odgovor: 2.1.
Sljedeći zadatak možete izvršiti sami:
Izračunajte log √3 6 √2.1 ako je log 0.7 27 = a.
Odgovor: (3 + a) / (3a).
Primjer 10.
Izračunajte 6,5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log125.
Rješenje.
6.5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 · 3 2/ log 2 13 + 2log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = ( 3 2 /(2 log 13 3) 2) · (2 log 13 3) 2 + 6.
(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (formula 4))
Dobijamo 9 + 6 = 15.
Odgovor: 15.
Imate još pitanja? Niste sigurni kako pronaći vrijednost logaritamskog izraza?
Za pomoć od tutora -.
Prva lekcija je besplatna!
blog.site, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelimično, potrebna je veza do originalnog izvora.
Prilikom pretvaranja izraza sa logaritmima, navedene jednakosti se koriste i s desna na lijevo i s lijeva na desno.
Vrijedi napomenuti da nije potrebno pamtiti posljedice svojstava: pri izvođenju transformacija možete se snaći s osnovnim svojstvima logaritama i drugim činjenicama (na primjer, činjenicom da je za b≥0), iz čega se slijede odgovarajuće posljedice. " Nus-efekat“Ovaj pristup se manifestuje samo u tome što će rješenje biti malo duže. Na primjer, kako bi se bez posljedica, koje se izražavaju formulom 
, a počevši samo od osnovnih svojstava logaritama, morat ćete provesti lanac transformacija sljedećeg oblika: 
.
Isto se može reći i za posljednju osobinu sa gornje liste, na koju odgovara formula 
, budući da to proizilazi i iz osnovnih svojstava logaritama. Glavna stvar koju treba razumjeti je da je uvijek moguće da stepen pozitivnog broja s logaritmom u eksponentu zamijeni bazu stepena i broj ispod predznaka logaritma. Iskreno rečeno, napominjemo da su u praksi rijetki primjeri koji impliciraju implementaciju ovakvih transformacija. U nastavku teksta ćemo dati nekoliko primjera.
Pretvaranje numeričkih izraza logaritmima
Prisjetili smo se svojstava logaritama, sada je vrijeme da naučimo kako ih primijeniti u praksi za transformaciju izraza. Prirodno je početi s pretvaranjem numeričkih izraza, a ne izraza s varijablama, budući da su prikladniji i lakši za učenje osnova. To je ono što ćemo uraditi, i počećemo sa veoma jednostavni primjeri, naučiti kako odabrati željeno svojstvo logaritma, ali ćemo postupno komplikovati primjere, sve do tačke kada će za dobivanje konačnog rezultata biti potrebno primijeniti nekoliko svojstava za redom.
Odabir željenog svojstva logaritama
Postoje mnoga svojstva logaritama i jasno je da morate biti u mogućnosti da od njih odaberete odgovarajući, što će u ovom konkretnom slučaju dovesti do traženog rezultata. Obično to nije teško učiniti poređenjem tipa konvertovanog logaritma ili izraza sa tipovima levog i desnog dela formula koji izražavaju svojstva logaritma. Ako se lijeva ili desna strana jedne od formula poklapa sa datim logaritmom ili izrazom, tada, najvjerovatnije, to svojstvo treba koristiti tokom transformacije. Sljedeći primjeri to jasno pokazuju.
Počnimo s primjerima transformacije izraza pomoću definicije logaritma, koji odgovara formuli a log a b =b, a>0, a≠1, b>0.
Primjer.
Izračunajte, ako je moguće: a) 5 log 5 4, b) 10 log(1+2·π), c) 
, d) 2 log 2 (−7) , e) .
Rješenje.
U primjeru ispod slova a) jasno je vidljiva struktura a log a b, gdje je a=5, b=4. Ovi brojevi zadovoljavaju uslove a>0, a≠1, b>0, tako da možete bezbedno koristiti jednakost a log a b =b. Imamo 5 log 5 4=4 .
b) Ovde a=10, b=1+2·π, ispunjeni su uslovi a>0, a≠1, b>0. U ovom slučaju se ostvaruje jednakost 10 log(1+2·π) =1+2·π.
c) U ovom primjeru imamo posla sa stepenom oblika a log a b, gdje je i b=ln15. Dakle 
.
Uprkos tome što pripada istom tipu a log a b (ovde a=2, b=−7), izraz pod slovom g) ne može se pretvoriti pomoću formule a log a b =b. Razlog je taj što je besmislen jer sadrži negativan broj ispod predznaka logaritma. Štaviše, broj b=−7 ne zadovoljava uslov b>0, što onemogućava pribegavanje formuli a log a b =b, jer zahteva ispunjenje uslova a>0, a≠1, b> 0. Dakle, ne možemo govoriti o izračunavanju vrijednosti 2 log 2 (−7) . U ovom slučaju, pisanje 2 log 2 (−7) =−7 bila bi greška.
Slično, u primjeru pod slovom e) nemoguće je dati rješenje oblika 
, pošto originalni izraz nema smisla.
odgovor:
a) 5 log 5 4 =4, b) 10 log(1+2·π) =1+2·π, c) , d), e) izrazi nemaju smisla.
Često je korisno transformirati u koji pozitivan broj je predstavljen kao stepen nekog pozitivnog i nejediničnog broja sa logaritmom u eksponentu. Zasniva se na istoj definiciji logaritma a log a b =b, a>0, a≠1, b>0, ali se formula primjenjuje s desna na lijevo, odnosno u obliku b=a log a b . Na primjer, 3=e ln3 ili 5=5 log 5 5 .
Pređimo na korištenje svojstava logaritama za transformaciju izraza.
Primjer.
Pronađite vrijednost izraza: a) log −2 1, b) log 1 1, c) log 0 1, d) log 7 1, e) ln1, f) log1, g) log 3,75 1, h) log 5 π 7 1 .
Rješenje.
U primjerima pod slovima a), b) i c) dati su izrazi log −2 1, log 1 1, log 0 1, koji nemaju smisla, jer osnova logaritma ne bi trebala sadržavati negativan broj, nula ili jedan, jer smo definirali logaritam samo za bazu koja je pozitivna i različita od jedinice. Stoga, u primjerima a) - c) ne može biti govora o pronalaženju značenja izraza.
U svim ostalim zadacima, očigledno, baze logaritma sadrže pozitivne i ne-jedinstvene brojeve 7, e, 10, 3,75 i 5·π 7, respektivno, a pod predznacima logaritma svuda se nalaze jedinice. I znamo svojstvo logaritma jedinice: log a 1=0 za bilo koje a>0, a≠1. Dakle, vrijednosti izraza b) – e) jednake su nuli.
odgovor:
a), b), c) izrazi nemaju smisla, d) log 7 1=0, e) ln1=0, f) log1=0, g) log 3,75 1=0, h) log 5 e 7 1= 0 .
Primjer.
Izračunajte: a) , b) lne , c) lg10 , d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2), e) log −3 (−3) , f) log 1 1 .
Rješenje.
Jasno je da moramo koristiti svojstvo logaritma baze, što odgovara formuli log a a=1 za a>0, a≠1. Zaista, u zadacima pod svim slovima, broj pod znakom logaritma poklapa se s njegovom bazom. Stoga bih odmah htio reći da je vrijednost svakog od datih izraza 1. Međutim, ne treba žuriti sa zaključcima: u zadacima pod slovima a) - d) vrijednosti izraza su zaista jednake jedan, a u zadacima e) i f) originalni izrazi nemaju smisla, pa ne može se reći da su vrijednosti ovih izraza jednake 1.
odgovor:
a) , b) lne=1 , c) lg10=1 , d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2)=1, e), f) izrazi nemaju smisla.
Primjer.
Pronađite vrijednost: a) log 3 3 11, b) 
, c) , d) log −10 (−10) 6 .
Rješenje.
Očigledno, pod znacima logaritma postoje neke potencije baze. Na osnovu ovoga shvatamo da će nam ovde biti potrebno svojstvo stepena baze: log a a p =p, gde je a>0, a≠1 i p bilo koji realan broj. Uzimajući ovo u obzir, imamo sljedeće rezultate: a) log 3 3 11 =11, b) 
, V) 
. Da li je moguće napisati sličnu jednakost za primjer pod slovom d) oblika log −10 (−10) 6 =6? Ne, ne možete, jer izraz log −10 (−10) 6 nema smisla.
odgovor:
a) log 3 3 11 =11, b) , V) , d) izraz nema smisla.
Primjer.
Predstavite izraz kao zbir ili razliku logaritama koristeći istu bazu: a) 
, b) , c) log((−5)·(−12)) .
Rješenje.
a) Pod znakom logaritma nalazi se proizvod, a znamo svojstvo logaritma proizvoda log a (x·y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0 , y>0. U našem slučaju, broj u osnovi logaritma i brojevi u proizvodu su pozitivni, odnosno zadovoljavaju uvjete odabranog svojstva, stoga ga možemo sigurno primijeniti: 
.
b) Ovdje koristimo svojstvo kvocijentnog logaritma, gdje je a>0, a≠1, x>0, y>0. U našem slučaju, osnova logaritma je pozitivan broj e, brojilac i nazivnik π su pozitivni, što znači da zadovoljavaju uslove svojstva, tako da imamo pravo koristiti odabranu formulu: 
.
c) Prvo, imajte na umu da izraz log((−5)·(−12)) ima smisla. Ali u isto vrijeme, za njega nemamo pravo primijeniti formulu za logaritam proizvoda log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0, y >0, pošto su brojevi −5 i −12 – negativni i ne zadovoljavaju uslove x>0, y>0. Odnosno, ne možete izvršiti takvu transformaciju: log((−5)·(−12))=log(−5)+log(−12). Pa šta da radimo? U takvim slučajevima, originalnom izrazu je potrebna preliminarna transformacija kako bi se izbjegli negativni brojevi. O sličnim slučajevima transformacije izraza sa negativnim brojevima pod predznakom logaritma ćemo detaljno govoriti u jednom od članaka, ali za sada ćemo dati rješenje za ovaj primjer, koji je unaprijed jasan i bez objašnjenja: log((−5)·(−12))=log(5·12)=log5+lg12.
odgovor:
A) , b) , c) log((−5)·(−12))=log5+lg12.
Primjer.
Pojednostavite izraz: a) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5, b) .
Rješenje.
Ovdje će nam pomoći sva ista svojstva logaritma proizvoda i logaritma količnika koje smo koristili u prethodnim primjerima, samo što ćemo ih sada primijeniti s desna na lijevo. To jest, pretvaramo zbir logaritama u logaritam proizvoda, a razliku logaritama u logaritam količnika. Imamo
A) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5=log 3 (0,25 16 0,5)=log 3 2.
b) 
.
odgovor:
A) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5=log 3 2, b) 
.
Primjer.
Riješite se stepena pod znakom logaritma: a) log 0,7 5 11, b) 
, c) log 3 (−5) 6 .
Rješenje.
Lako je vidjeti da imamo posla sa izrazima oblika log a b p . Odgovarajuće svojstvo logaritma ima oblik log a b p =p·log a b, gdje je a>0, a≠1, b>0, p bilo koji realan broj. To jest, ako su ispunjeni uslovi a>0, a≠1, b>0, iz logaritma snage log a b p možemo preći na proizvod p·log a b. Izvršimo ovu transformaciju sa datim izrazima.
a) U ovom slučaju a=0,7, b=5 i p=11. Dakle, log 0,7 5 11 =11·log 0,7 5.
b) Ovdje su ispunjeni uslovi a>0, a≠1, b>0. Zbog toga 
c) Izraz log 3 (−5) 6 ima istu strukturu log a b p , a=3 , b=−5 , p=6 . Ali za b uslov b>0 nije zadovoljen, što onemogućava upotrebu formule log a b p =p·log a b. Pa šta, ne možete da se nosite sa zadatkom? Moguće je, ali je potrebna preliminarna transformacija izraza, o čemu ćemo detaljno raspravljati u nastavku u odlomku pod naslovom. Rješenje će biti ovako: log 3 (−5) 6 =log 3 5 6 =6 log 3 5.
odgovor:
a) log 0,7 5 11 =11 log 0,7 5 ,
b)
c) log 3 (−5) 6 =6·log 3 5.
Vrlo često, prilikom izvođenja transformacija, formula za logaritam stepena se mora primijeniti s desna na lijevo u obliku p·log a b=log a b p (isti uslovi moraju biti ispunjeni za a, b i p). Na primjer, 3·ln5=ln5 3 i log2·log 2 3=log 2 3 lg2.
Primjer.
a) Izračunajte vrijednost log 2 5 ako je poznato da su log2≈0,3010 i log5≈0,6990. b) Izrazite razlomak kao logaritam na osnovu 3.
Rješenje.
a) Formula za prelazak na novu logaritamsku bazu omogućava nam da ovaj logaritam predstavimo kao omjer decimalnih logaritama, čije su nam vrijednosti poznate: . Ostaje samo da izvršimo proračune, imamo 
.
b) Ovdje je dovoljno koristiti formulu za prelazak na novu bazu, i primijeniti je s desna na lijevo, odnosno u obliku 
. Dobijamo 
.
odgovor:
a) log 2 5≈2,3223, b) .
U ovoj fazi smo prilično pažljivo razmotrili transformaciju većine jednostavni izrazi koristeći osnovna svojstva logaritma i definiciju logaritma. U ovim primjerima morali smo primijeniti jedno svojstvo i ništa više. Sada, mirne savjesti, možete prijeći na primjere, čija transformacija zahtijeva korištenje nekoliko svojstava logaritama i drugih dodatnih transformacija. O njima ćemo se pozabaviti u sljedećem paragrafu. Ali prije toga, pogledajmo ukratko primjere primjene posljedica iz osnovnih svojstava logaritama.
Primjer.
a) Riješite se korijena ispod znaka logaritma. b) Pretvorite razlomak u logaritam sa osnovom 5. c) Oslobodite se moći pod znakom logaritma i u njegovoj osnovi. d) Izračunajte vrijednost izraza 
. e) Zamijenite izraz sa stepenom sa osnovom 3.
Rješenje.
a) Ako se prisjetimo posljedica iz svojstva logaritma stepena 
, tada možete odmah dati odgovor: 
.
b) Ovdje koristimo formulu 
s desna na lijevo, imamo 
.
c) U ovom slučaju, formula vodi do rezultata . Dobijamo 
.
d) I ovdje je dovoljno primijeniti korolar kojem formula odgovara 
. Dakle 
.
e) Svojstvo logaritma nam omogućava da postignemo željeni rezultat: 
.
odgovor:
A) . b) . V) 
. G) 
. d) .
Uzastopna primjena nekoliko svojstava
Pravi zadaci transformacije izraza korištenjem svojstava logaritama obično su složeniji od onih kojima smo se bavili u prethodnom paragrafu. U njima se po pravilu rezultat ne dobija u jednom koraku, već se rješenje već sastoji u sekvencijalnoj primjeni jednog svojstva za drugom, zajedno sa dodatnim identičnim transformacijama, kao što su otvaranje zagrada, dovođenje sličnih pojmova, smanjenje razlomaka itd. . Pa da se približimo takvim primjerima. U tome nema ništa komplicirano, glavna stvar je postupati pažljivo i dosljedno, poštujući redoslijed akcija.
Primjer.
Izračunajte vrijednost izraza (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5.
Rješenje.
Razlika između logaritama u zagradama, prema svojstvu kvocijentnog logaritma, može se zamijeniti logaritmom log 3 (15:5), a zatim izračunati njegovu vrijednost log 3 (15:5)=log 3 3=1. A vrijednost izraza 7 log 7 5 po definiciji logaritma jednaka je 5. Zamjenom ovih rezultata u originalni izraz, dobijamo (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =1 5=5.
Evo rješenja bez objašnjenja:
(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =log 3 (15:5) 5=
=log 3 3·5=1·5=5 .
odgovor:
(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =5.
Primjer.
Kolika je vrijednost numeričkog izraza log 3 log 2 2 3 −1?
Rješenje.
Prvo transformiramo logaritam pod znakom logaritma koristeći formulu za logaritam stepena: log 2 2 3 =3. Dakle, log 3 log 2 2 3 =log 3 3 i onda log 3 3=1. Dakle, log 3 log 2 2 3 −1=1−1=0 .
odgovor:
log 3 log 2 2 3 −1=0 .
Primjer.
Pojednostavite izraz.
Rješenje.
Formula za prelazak na novu logaritamsku bazu omogućava da se omjer logaritama prema jednoj bazi predstavi kao log 3 5. U ovom slučaju, originalni izraz će imati oblik . Po definiciji logaritma 3 log 3 5 =5, tj 
, a vrijednost rezultirajućeg izraza, na osnovu iste definicije logaritma, jednaka je dva.
Evo kratke verzije rješenja koje se obično daje: 
.
odgovor:
.
Da bismo glatko prešli na informacije u sljedećem pasusu, pogledajmo izraze 5 2+log 5 3 i log0.01. Njihova struktura ne odgovara nijednom od svojstava logaritma. Pa šta se dešava, oni se ne mogu konvertovati koristeći svojstva logaritama? Moguće je ako izvršite preliminarne transformacije koje pripremaju ove izraze za primjenu svojstava logaritama. Dakle 5 2+log 5 3 =5 2 5 log 5 3 =25 3=75, 
i log0.01=log10 −2 =−2. Zatim ćemo detaljno pogledati kako se izvodi takva priprema izraza.
Priprema izraza za korištenje svojstava logaritama
Logaritmi u izrazu koji se pretvara se vrlo često razlikuju po strukturi zapisa od lijevog i desnog dijela formula koje odgovaraju svojstvima logaritama. Ali ne manje često, transformacija ovih izraza uključuje korištenje svojstava logaritama: njihova upotreba zahtijeva samo preliminarnu pripremu. A ova priprema se sastoji od izvođenja određenih transformacije identiteta, dovodeći logaritme u oblik pogodan za primenu svojstava.
Da budemo pošteni, napominjemo da gotovo svaka transformacija izraza može djelovati kao preliminarne transformacije, od banalne redukcije sličnih pojmova do primjene trigonometrijske formule. To je razumljivo, jer izrazi koji se pretvaraju mogu sadržavati bilo koje matematičke objekte: zagrade, module, razlomke, korijene, potencije, itd. Dakle, mora se biti spreman izvršiti bilo koju potrebnu transformaciju kako bi dalje mogao iskoristiti svojstva logaritama.
Recimo odmah da u ovom trenutku ne postavljamo sebi zadatak da klasifikujemo i analiziramo sve zamislive preliminarne transformacije koje bi nam omogućile da naknadno primenimo svojstva logaritma ili definiciju logaritma. Ovdje ćemo se fokusirati na samo četiri od njih, koji su najtipičniji i najčešće se susreću u praksi.
A sada o svakom od njih detaljno, nakon čega, u okviru naše teme, ostaje samo razumjeti transformaciju izraza s varijablama pod znakovima logaritama.
Identifikacija stepena pod znakom logaritma i u njegovoj osnovi
Počnimo odmah s primjerom. Hajde da imamo logaritam. Očigledno, u ovom obliku njegova struktura nije pogodna za korištenje svojstava logaritama. Da li je moguće nekako transformisati ovaj izraz da ga pojednostavimo, a još bolje da izračunamo njegovu vrijednost? Da bismo odgovorili na ovo pitanje, pogledajmo bliže brojeve 81 i 1/9 u kontekstu našeg primjera. Ovdje je lako primijetiti da se ovi brojevi mogu predstaviti kao stepen od 3, zaista, 81 = 3 4 i 1/9 = 3 −2. U ovom slučaju, originalni logaritam se prikazuje u obliku i postaje moguće primijeniti formulu . dakle, 
.
Analiza analiziranog primjera daje povoda na sljedeću misao: ako je moguće, možete pokušati izolovati stepen pod znakom logaritma iu njegovoj osnovi kako biste primijenili svojstvo logaritma stepena ili njegove posljedice. Ostaje samo shvatiti kako razlikovati ove stupnjeve. Hajde da damo neke preporuke po ovom pitanju.
Ponekad je sasvim očito da broj pod predznakom logaritma i/ili u njegovoj osnovi predstavlja neki cjelobrojni stepen, kao u primjeru koji je gore razmotren. Gotovo konstantno imamo posla sa potencijama dvojke, koje su nam dobro poznate: 4=2 2, 8=2 3, 16=2 4, 32=2 5, 64=2 6, 128=2 7, 256=2 8 , 512= 2 9, 1024=2 10. Isto se može reći i za moći trojke: 9 = 3 2, 27 = 3 3, 81 = 3 4, 243 = 3 5, ... Općenito, neće škoditi ako imate pred očima tabela stepeni prirodni brojevi u roku od desetak. Također nije teško raditi sa cijelim potencijama deset, sto, hiljada, itd.
Primjer.
Izračunajte vrijednost ili pojednostavite izraz: a) log 6 216, b) , c) log 0,000001 0,001.
Rješenje.
a) Očigledno, 216=6 3, pa log 6 216=log 6 6 3 =3.
b) Tabela stepena prirodnih brojeva vam omogućava da brojeve 343 i 1/243 predstavite kao stepene 7 3 i 3 −4, respektivno. Stoga je moguća sljedeća transformacija datog logaritma: 
c) Kako je 0,000001=10 −6 i 0,001=10 −3, onda log 0,000001 0,001=log 10 −6 10 −3 =(−3)/(−6)=1/2.
odgovor:
a) log 6 216=3, b) 
, c) log 0,000001 0,001=1/2.
U složenijim slučajevima, da biste izolirali potencije brojeva, morate pribjeći.
Primjer.
Pretvorite izraz u više jednostavan pogled log 3 648 log 2 3 .
Rješenje.
Pogledajmo šta je faktorizacija 648:
To jest, 648=2 3 ·3 4. dakle, log 3 648 log 2 3=log 3 (2 3 3 4) log 2 3.
Sada pretvaramo logaritam proizvoda u zbir logaritama, nakon čega primjenjujemo svojstva logaritma stepena:
log 3 (2 3 3 4)log 2 3=(log 3 2 3 +log 3 3 4)log 2 3=
=(3·log 3 2+4)·log 2 3 .
Na osnovu posledica iz svojstva logaritma stepena, što odgovara formuli , proizvod log32·log23 je proizvod , i, kao što je poznato, jednak je jedan. Uzimajući ovo u obzir, dobijamo 3 log 3 2 log 2 3+4 log 2 3=3 1+4 log 2 3=3+4 log 2 3.
odgovor:
log 3 648 log 2 3=3+4 log 2 3.
Vrlo često, izrazi pod znakom logaritma i u njegovoj bazi predstavljaju proizvode ili omjere korijena i/ili potencija nekih brojeva, na primjer, , . Takvi izrazi se mogu izraziti kao moći. Da bi se to postiglo, vrši se prijelaz s korijena na moći, i koriste se i. Ove transformacije omogućavaju da se izoluju stepeni pod znakom logaritma i u njegovoj osnovi, a zatim se primenjuju svojstva logaritma.
Primjer.
Izračunaj: a) 
, b) .
Rješenje.
a) Izraz u osnovici logaritma je proizvod potencija sa istim bazama; prema odgovarajućem svojstvu potencija imamo 5 2 ·5 −0,5 ·5 −1 =5 2−0,5−1 =5 0,5.
Sada transformirajmo razlomak pod znakom logaritma: preći ćemo iz korijena na stepen, nakon čega ćemo koristiti svojstvo omjera potencija s istim bazama: 
.
Ostaje zamijeniti dobivene rezultate u originalni izraz, koristiti formulu i završi transformaciju: 
b) Pošto je 729 = 3 6 i 1/9 = 3 −2, originalni izraz se može prepisati kao .
Zatim primjenjujemo svojstvo korijena stepena, prelazimo iz korijena na stepen i koristimo svojstvo omjera potencija da pretvorimo bazu logaritma u stepen: 
.
Razmatrati posljednji rezultat, imamo 
.
odgovor:
A) 
, b) .
Jasno je da u opštem slučaju, za dobijanje stepena pod znakom logaritma i u njegovoj osnovi, mogu biti potrebne različite transformacije različitih izraza. Navedimo par primjera.
Primjer.
Šta znači izraz: a) 
, b) 
.
Rješenje.
Dalje napominjemo da dati izraz ima oblik log A B p , gdje je A=2, B=x+1 i p=4. Numerički izrazi Ovaj tip smo transformisali u skladu sa svojstvom logaritma snage log a b p =p·log a b , dakle, sa datim izrazom želim da uradim isto, i idem od log 2 (x+1) 4 do 4·log 2 (x+1) . Sada izračunajmo vrijednost originalnog izraza i izraza dobijenog nakon transformacije, na primjer, kada je x=−2. Imamo log 2 (−2+1) 4 =log 2 1=0 , i 4 log 2 (−2+1)=4 log 2 (−1)- besmislen izraz. Ovo postavlja logično pitanje: "Šta smo pogriješili?"
A razlog je sledeći: izvršili smo transformaciju log 2 (x+1) 4 =4·log 2 (x+1) , na osnovu formule log a b p =p·log a b , ali imamo pravo da primenimo ovu formulu samo ako su uslovi a >0, a≠1, b>0, p - bilo koji realan broj. To jest, transformacija koju smo uradili se odvija ako je x+1>0, što je isto kao x>−1 (za A i p, uslovi su ispunjeni). Međutim, u našem slučaju, ODZ varijable x za originalni izraz sastoji se ne samo od intervala x>−1, već i od intervala x<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.
Potreba da se uzme u obzir DL
Nastavimo analizirati transformaciju izraza koji smo odabrali log 2 (x+1) 4 , a sada da vidimo šta se dešava sa ODZ-om kada pređemo na izraz 4 · log 2 (x+1) . U prethodnom pasusu smo pronašli ODZ originalnog izraza - ovo je skup (−∞, −1)∪(−1, +∞) . Sada pronađimo raspon prihvatljivih vrijednosti varijable x za izraz 4·log 2 (x+1) . Određuje se uslovom x+1>0, koji odgovara skupu (−1, +∞). Očigledno je da se pri prelasku sa log 2 (x+1) 4 na 4·log 2 (x+1), raspon dozvoljenih vrijednosti sužava. I dogovorili smo se da izbjegavamo transformacije koje dovode do sužavanja DL, jer to može dovesti do raznih negativnih posljedica.
Ovdje je vrijedno napomenuti da je korisno kontrolirati OA u svakom koraku transformacije i spriječiti njegovo sužavanje. A ako je odjednom u nekoj fazi transformacije došlo do sužavanja DL, onda je vrijedno pažljivo pogledati da li je ova transformacija dopuštena i da li smo imali pravo da je izvršimo.
Da budemo pošteni, recimo da u praksi obično moramo raditi s izrazima u kojima je vrijednost varijabli varijabli takva da, prilikom izvođenja transformacija, možemo koristiti svojstva logaritama bez ograničenja u obliku koji nam je već poznat, oboje s lijeva na desno i s desna na lijevo. Brzo se naviknete na to i počinjete mehanički provoditi transformacije, ne razmišljajući o tome da li ih je moguće izvesti. I u takvim trenucima, srećom, provlače se složeniji primjeri u kojima nepažljiva primjena svojstava logaritama dovodi do grešaka. Zato morate uvijek biti na oprezu i paziti da ne dođe do sužavanja ODZ-a.
Ne bi škodilo da se posebno istaknu glavne transformacije zasnovane na svojstvima logaritama, koje se moraju provesti vrlo pažljivo, što može dovesti do sužavanja OD-a, a kao rezultat - i grešaka:
Neke transformacije izraza zasnovane na svojstvima logaritama mogu dovesti i do suprotnog - proširenja ODZ-a. Na primjer, prijelaz sa 4·log 2 (x+1) na log 2 (x+1) 4 proširuje ODZ iz skupa (−1, +∞) na (−∞, −1)∪(−1, +∞) . Takve transformacije se dešavaju ako ostanemo u okvirima ODZ-a za izvorni izraz. Tako se upravo spomenuta transformacija 4·log 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 odvija na ODZ-u varijable x za originalni izraz 4·log 2 (x+1), tj. x+1> 0, što je isto kao (−1, +∞).
Sada kada smo razgovarali o nijansama na koje trebate obratiti pažnju kada transformirate izraze s varijablama koristeći svojstva logaritama, ostaje da shvatimo kako ispravno izvršiti ove transformacije.
X+2>0 . Da li radi u našem slučaju? Da bismo odgovorili na ovo pitanje, pogledajmo ODZ varijable x. Određuje se sistemom nejednakosti 
, što je ekvivalentno uslovu x+2>0 (ako je potrebno, pogledajte članak rješavanje sistema nejednačina). Dakle, možemo bezbedno primeniti svojstvo logaritma stepena.
Imamo
3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =
=3·7·log(x+2)−log(x+2)−5·4·log(x+2)=
=21 log(x+2)−log(x+2)−20 log(x+2)=
=(21−1−20)·log(x+2)=0 .
Možete postupiti drugačije, jer vam ODZ to dozvoljava, na primjer ovako: 
odgovor:
3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =0.
Ali što učiniti kada uvjeti koji prate svojstva logaritama nisu ispunjeni u ODZ-u? To ćemo razumjeti na primjerima.
Neka se od nas traži da pojednostavimo izraz log(x+2) 4 − log(x+2) 2 . Transformacija ovog izraza, za razliku od izraza iz prethodnog primjera, ne dozvoljava slobodno korištenje svojstva logaritma stepena. Zašto? ODZ varijable x u ovom slučaju je unija dva intervala x>−2 i x<−2 . При x>−2 lako možemo primijeniti svojstvo logaritma stepena i ponašati se kao u gornjem primjeru: log(x+2) 4 −log(x+2) 2 =4 log(x+2)−2 log(x+2)=2 log(x+2). Ali ODZ sadrži još jedan interval x+2<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к log(−|x+2|) 4 −log(−|x+2|) 2 i dalje zbog svojstava stepena k lg|x+2| 4 −lg|x+2| 2. Rezultirajući izraz se može transformirati korištenjem svojstva logaritma stepena, budući da je |x+2|>0 za bilo koju vrijednost varijable. Imamo log|x+2| 4 −lg|x+2| 2 =4·lg|x+2|−2·lg|x+2|=2·lg|x+2|. Sada se možete osloboditi modula, pošto je obavio svoj posao. Budući da provodimo transformaciju na x+2<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .
Pogledajmo još jedan primjer kako bi vam rad s modulima postao poznat. Hajde da zamislimo iz izraza 
idemo na zbir i razliku logaritama linearnih binoma x−1, x−2 i x−3. Prvo nalazimo ODZ: 
Na intervalu (3, +∞) vrijednosti izraza x−1, x−2 i x−3 su pozitivne, tako da lako možemo primijeniti svojstva logaritma zbira i razlike: 
A na intervalu (1, 2) vrijednosti izraza x−1 su pozitivne, a vrijednosti izraza x−2 i x−3 negativne. Dakle, na razmatranom intervalu predstavljamo x−2 i x−3 koristeći modul kao −|x−2| i −|x−3| respektivno. Gde 
Sada možemo primijeniti svojstva logaritma proizvoda i količnika, budući da su na razmatranom intervalu (1, 2) vrijednosti izraza x−1 , |x−2| i |x−3| - pozitivno.
Imamo 
Dobijeni rezultati se mogu kombinovati:
Općenito, slično razmišljanje omogućava, na osnovu formula za logaritam proizvoda, omjera i stepena, da se dobiju tri praktično korisna rezultata, koja su prilično zgodna za korištenje:
- Logaritam proizvoda dva proizvoljna izraza X i Y oblika log a (X·Y) može se zamijeniti zbirom logaritama log a |X|+log a |Y| , a>0 , a≠1 .
- Logaritam određenog oblika log a (X:Y) može se zamijeniti razlikom logaritama log a |X|−log a |Y| , a>0, a≠1, X i Y su proizvoljni izrazi.
- Od logaritma nekog izraza B na parni stepen p oblika log a B p možemo preći na izraz p·log a |B| , gdje je a>0, a≠1, p paran broj, a B proizvoljan izraz.
Slični rezultati dati su, na primjer, u uputama za rješavanje eksponencijalnih i logaritamskih jednadžbi u zbirci zadataka iz matematike za studente koji upisuju fakultete, koju je uredio M. I. Skanavi.
Primjer.
Pojednostavite izraz 
.
Rješenje.
Bilo bi dobro primijeniti svojstva logaritma stepena, zbira i razlike. Ali možemo li ovo uraditi ovdje? Da bismo odgovorili na ovo pitanje moramo poznavati DZ.
Hajde da ga definišemo: 
Sasvim je očigledno da izrazi x+4, x−2 i (x+4) 13 u opsegu dozvoljenih vrednosti varijable x mogu poprimiti i pozitivne i negativne vrednosti. Stoga ćemo morati djelovati kroz module. 
Svojstva modula vam omogućavaju da ga prepišete kao , so 
Također, ništa vas ne sprječava da koristite svojstvo logaritma stepena, a zatim donesete slične pojmove: 
Drugi niz transformacija dovodi do istog rezultata: 
a pošto na ODZ izraz x−2 može poprimiti i pozitivne i negativne vrijednosti, onda kada se uzme paran eksponent 14