Pronađite najmanju vrijednost funkcije u intervalu. Najveća i najmanja vrijednost funkcije na segmentu

Standardni algoritam za rješavanje ovakvih problema uključuje, nakon pronalaženja nula funkcije, određivanje predznaka izvoda na intervalima. Zatim izračunavanje vrijednosti u pronađenim maksimalnim (ili minimalnim) točkama i na granici intervala, ovisno o tome koje je pitanje u uvjetu.

Savjetujem vam da stvari radite malo drugačije. Zašto? Pisao sam o ovome.

Predlažem rješavanje takvih problema na sljedeći način:

1. Pronađite izvod.
2. Pronađite nule izvoda.
3. Odredite koji od njih pripadaju ovom intervalu.
4. Izračunavamo vrijednosti funkcije na granicama intervala i tačaka koraka 3.
5. Izvodimo zaključak (odgovaramo na postavljeno pitanje).

Prilikom rješavanja prikazanih primjera rješenje nije detaljno razmatrano kvadratne jednačine, morate to moći. I oni bi trebali znati.

Pogledajmo primjere:

77422. Find najveća vrijednost funkcije y=x 3 –3x+4 na segmentu [–2;0].

Nađimo nule derivacije:

Tačka x = –1 pripada intervalu navedenom u uvjetu.

Izračunavamo vrijednosti funkcije u tačkama –2, –1 i 0:

Najveća vrijednost funkcije je 6.

Odgovor: 6

77425. Find najmanju vrijednost funkcije y = x 3 – 3x 2 + 2 na segmentu.

Nađimo derivat datu funkciju:

Nađimo nule derivacije:

Tačka x = 2 pripada intervalu navedenom u uvjetu.

Izračunavamo vrijednosti funkcije u tačkama 1, 2 i 4:

Najmanja vrijednost funkcije je –2.

Odgovor: –2

77426. Pronađite najveću vrijednost funkcije y = x 3 – 6x 2 na segmentu [–3;3].

Nađimo derivaciju date funkcije:

Nađimo nule derivacije:

Interval naveden u uslovu sadrži tačku x = 0.

Izračunavamo vrijednosti funkcije u tačkama –3, 0 i 3:

Najmanja vrijednost funkcije je 0.

Odgovor: 0

77429. Pronađite najmanju vrijednost funkcije y = x 3 – 2x 2 + x +3 na segmentu.

Nađimo derivaciju date funkcije:

3x 2 – 4x + 1 = 0

Dobijamo korijene: x 1 = 1 x 1 = 1/3.

Interval naveden u uslovu sadrži samo x = 1.

Nađimo vrijednosti funkcije u tačkama 1 i 4:

Otkrili smo da je najmanja vrijednost funkcije 3.

Odgovor: 3

77430. Pronađite najveću vrijednost funkcije y = x 3 + 2x 2 + x + 3 na segmentu [– 4; -1].

Nađimo derivaciju date funkcije:

Nađimo nule izvoda i riješimo kvadratnu jednačinu:

3x 2 + 4x + 1 = 0

Uzmimo korijene:

Interval naveden u uvjetu sadrži korijen x = –1.

Nalazimo vrijednosti funkcije u tačkama –4, –1, –1/3 i 1:

Otkrili smo da je najveća vrijednost funkcije 3.

Odgovor: 3

77433. Pronađite najmanju vrijednost funkcije y = x 3 – x 2 – 40x +3 na segmentu.

Nađimo derivaciju date funkcije:

Nađimo nule izvoda i riješimo kvadratnu jednačinu:

3x 2 – 2x – 40 = 0

Uzmimo korijene:

Interval naveden u uvjetu sadrži korijen x = 4.

Pronađite vrijednosti funkcije u tačkama 0 i 4:

Otkrili smo da je najmanja vrijednost funkcije –109.

Odgovor: –109

Razmotrimo način određivanja najveće i najmanje vrijednosti funkcija bez derivacije. Ovaj pristup se može koristiti ako imate velikih problema s određivanjem derivata. Princip je jednostavan - sve cjelobrojne vrijednosti iz intervala zamjenjujemo u funkciju (činjenica je da je u svim takvim prototipovima odgovor cijeli broj).

77437. Pronađite najmanju vrijednost funkcije y=7+12x–x 3 na segmentu [–2;2].

Zamjena bodova od –2 do 2: Pogledajte rješenje

77434. Pronađite najveću vrijednost funkcije y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 na segmentu [–2;0].

To je sve. Sretno ti!

S poštovanjem, Alexander Krutitskikh.

P.S: Bio bih vam zahvalan ako mi kažete nešto o stranici na društvenim mrežama.

Najveća i najmanja vrijednost funkcije

Najveća vrijednost funkcije je najveća, najmanja vrijednost je najmanja od svih njenih vrijednosti.

Funkcija može imati samo jednu najveću i samo jednu najmanju vrijednost, ili može imati nijednu. Pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti kontinuiranih funkcija temelji se na sljedećim svojstvima ovih funkcija:

1) Ako je u određenom intervalu (konačnom ili beskonačnom) funkcija y=f(x) kontinuirana i ima samo jedan ekstrem i ako je to maksimum (minimum), onda će to biti najveća (najmanja) vrijednost funkcije u ovom intervalu.

2) Ako je funkcija f(x) kontinuirana na određenom segmentu, onda ona nužno ima najveću i najmanju vrijednost na ovom segmentu. Ove vrijednosti se postižu ili na ekstremnim tačkama koje leže unutar segmenta, ili na granicama ovog segmenta.

Da biste pronašli najveće i najmanje vrijednosti na segmentu, preporučuje se korištenje sljedeće sheme:

1. Pronađite izvod.

2. Pronađite kritične tačke funkcije u kojima =0 ili ne postoji.

3. Pronađite vrijednosti funkcije u kritičnim tačkama i na krajevima segmenta i od njih izaberite najveći f max i najmanji f max.

Prilikom rješavanja primijenjenih problema, posebno onih optimizacijskih, bitan imaju zadatak da pronađu najveću i najmanju vrijednost (globalni maksimum i globalni minimum) funkcije na intervalu X. Za rješavanje ovakvih problema treba, na osnovu uvjeta, odabrati nezavisnu varijablu i iskazati vrijednost koja se proučava kroz ovu varijablu. Zatim pronađite željenu najveću ili najmanju vrijednost rezultirajuće funkcije. U ovom slučaju, interval promjene nezavisne varijable, koji može biti konačan ili beskonačan, također se određuje iz uslova zadatka.

Primjer. Rezervoar, koji ima oblik otvorenog gornjeg pravougaonog paralelepipeda sa četvrtastim dnom, mora biti iznutra kalajisan limom. Koje bi trebale biti dimenzije rezervoara ako je njegov kapacitet 108 litara? vode tako da trošak kalajisanja bude minimalan?

Rješenje. Trošak oblaganja rezervoara limom bit će minimalan ako je za dati kapacitet njegova površina minimalna. Označimo sa a dm stranu baze, b dm visinu rezervoara. Tada je površina S njegove površine jednaka

I

Rezultirajući odnos uspostavlja odnos između površine rezervoara S (funkcija) i strane baze a (argument). Ispitajmo funkciju S za ekstrem. Nađimo prvi izvod, izjednačimo ga sa nulom i riješimo rezultirajuću jednačinu:

Stoga je a = 6. (a) > 0 za a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Primjer. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije na intervalu.

Rješenje: Iza ovu funkciju kontinuirano na cijeloj brojevnoj pravoj. Derivat funkcije

Derivat za i za . Izračunajmo vrijednosti funkcije u ovim tačkama:

.

Vrijednosti funkcije na krajevima datog intervala su jednake. Dakle, najveća vrijednost funkcije je jednaka na , najmanja vrijednost funkcije je jednaka na .

Pitanja za samotestiranje

1. Formulirajte L'Hopitalovo pravilo za otkrivanje nesigurnosti oblika. Navedite različite vrste nesigurnosti za koje se L'Hopitalovo pravilo može koristiti.

2. Formulirajte znake rastuće i opadajuće funkcije.

3. Definirajte maksimum i minimum funkcije.

4. Formulirajte neophodno stanje postojanje ekstremuma.

5. Koje vrijednosti argumenta (koje tačke) se nazivaju kritičnim? Kako pronaći ove tačke?

6. Koji su dovoljni znaci postojanja ekstremuma funkcije? Nacrtajte shemu za proučavanje funkcije u ekstremumu koristeći prvi izvod.

7. Nacrtajte shemu za proučavanje funkcije u ekstremumu koristeći drugi izvod.

8. Definirati konveksnost i konkavnost krive.

9. Šta se naziva tačka pregiba grafa funkcije? Navedite metodu za pronalaženje ovih tačaka.

10. Formulirajte potrebne i dovoljnih znakova konveksnost i konkavnost krive na datom segmentu.

11. Definirajte asimptotu krive. Kako pronaći vertikalne, horizontalne i kose asimptote grafa funkcije?

12. Outline opšta šema istraživanje funkcije i konstruisanje njenog grafa.

13. Formulirajte pravilo za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije na datom intervalu.

U praksi je prilično uobičajeno koristiti derivaciju za izračunavanje najveće i najmanje vrijednosti funkcije. Ovu radnju izvodimo kada shvatimo kako da minimiziramo troškove, povećamo profit, izračunamo optimalno opterećenje proizvodnje itd., odnosno u slučajevima kada trebamo odrediti optimalnu vrijednost nekog parametra. Da biste ispravno riješili takve probleme, morate dobro razumjeti koje su najveće i najmanje vrijednosti funkcije.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Obično ove vrijednosti definiramo unutar određenog intervala x, koji zauzvrat može odgovarati cijeloj domeni funkcije ili njenom dijelu. Može biti kao segment [a; b ] , i otvoreni interval (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), beskonačan interval (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) ili beskonačan interval - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

U ovom materijalu ćemo vam reći kako izračunati najveću i najmanju vrijednost eksplicitno definirane funkcije s jednom varijablom y=f(x) y = f (x) .

Osnovne definicije

Počnimo, kao i uvijek, sa formulacijom osnovnih definicija.

Definicija 1

Najveća vrijednost funkcije y = f (x) na određenom intervalu x je vrijednost m a x y = f (x 0) x ∈ X, što za bilo koju vrijednost x x ∈ X, x ≠ x 0 čini nejednakost f (x) ≤ f (x) vrijedi 0) .

Definicija 2

Najmanja vrijednost funkcije y = f (x) na određenom intervalu x je vrijednost m i n x ∈ X y = f (x 0) , koja za bilo koju vrijednost x ∈ X, x ≠ x 0 čini nejednakost f(X f (x) ≥ f (x 0) .

Ove definicije su sasvim očigledne. Još jednostavnije, možemo reći ovo: najveća vrijednost funkcije je njena najveća vrijednost na poznatom intervalu na apscisi x 0, a najmanja je najmanja prihvaćena vrijednost na istom intervalu na x 0.

Definicija 3

Stacionarne točke su one vrijednosti argumenta funkcije u kojima njena derivacija postaje 0.

Zašto moramo znati šta su stacionarne tačke? Da bismo odgovorili na ovo pitanje, moramo se sjetiti Fermatove teoreme. Iz toga slijedi da je stacionarna tačka tačka u kojoj se nalazi ekstrem diferencijabilne funkcije (tj. njen lokalni minimum ili maksimum). Posljedično, funkcija će uzeti najmanju ili najveću vrijednost na određenom intervalu upravo u jednoj od stacionarnih tačaka.

Funkcija također može poprimiti najveću ili najmanju vrijednost u onim točkama u kojima je sama funkcija definirana, a njen prvi izvod ne postoji.

Prvo pitanje koje se nameće prilikom proučavanja ove teme: možemo li u svim slučajevima odrediti najveću ili najmanju vrijednost funkcije na datom intervalu? Ne, ne možemo to učiniti kada se granice datog intervala poklapaju sa granicama područja definicije, ili ako imamo posla sa beskonačnim intervalom. Takođe se dešava da će funkcija u datom segmentu ili u beskonačnosti uzeti beskonačno male ili beskonačno velike vrednosti. U tim slučajevima nije moguće odrediti najveću i/ili najmanju vrijednost.

Ove tačke će postati jasnije nakon što budu prikazane na grafikonima:

Prva slika nam prikazuje funkciju koja uzima najveću i najmanju vrijednost (m a x y i m i n y) u stacionarnim tačkama koje se nalaze na segmentu [ - 6 ; 6].

Hajde da detaljno ispitamo slučaj prikazan u drugom grafikonu. Promijenimo vrijednost segmenta u [ 1 ; 6 ] i nalazimo da će maksimalna vrijednost funkcije biti postignuta u tački sa apscisom na desnoj granici intervala, a minimalna - u stacionarnoj tački.

Na trećoj slici, apscise tačaka predstavljaju granične tačke segmenta [ - 3 ; 2]. Oni odgovaraju najvećoj i najmanjoj vrijednosti date funkcije.

Pogledajmo sada četvrtu sliku. U njemu funkcija uzima m a x y (najveća vrijednost) i m i n y (najmanja vrijednost) u stacionarnim tačkama na otvorenom intervalu (- 6; 6).

Ako uzmemo interval [ 1 ; 6), tada možemo reći da će se najmanja vrijednost funkcije na njemu postići u stacionarnoj tački. Najveća vrijednost će nam biti nepoznata. Funkcija bi mogla poprimiti svoju maksimalnu vrijednost na x jednaku 6 ako x = 6 pripada intervalu. Upravo je to slučaj prikazan na grafikonu 5.

Na grafikonu 6 ova funkcija dobija svoju najmanju vrijednost na desnoj granici intervala (- 3; 2 ], a ne možemo izvući definitivne zaključke o najvećoj vrijednosti.

Na slici 7 vidimo da će funkcija imati m a x y u stacionarnoj tački koja ima apscisu jednaku 1. Funkcija će dostići svoju minimalnu vrijednost na granici intervala na desnoj strani. Na minus beskonačnosti, vrijednosti funkcije će se asimptotski približiti y = 3.

Ako uzmemo interval x ∈ 2 ; + ∞ , tada ćemo vidjeti da data funkcija neće uzeti ni najmanju ni najveću vrijednost na njoj. Ako x teži 2, tada će vrijednosti funkcije težiti minus beskonačnosti, jer je prava linija x = 2 vertikalna asimptota. Ako apscisa teži plus beskonačnosti, tada će se vrijednosti funkcije asimptotski približiti y = 3. Upravo je to slučaj prikazan na slici 8.

U ovom odlomku predstavićemo redosled radnji koje je potrebno izvršiti da bi se pronašla najveća ili najmanja vrednost funkcije na određenom segmentu.

1. Prvo, pronađimo domenu definicije funkcije. Provjerimo da li je segment naveden u uvjetu uključen u njega.
2. Sada izračunajmo tačke sadržane u ovom segmentu u kojima prvi izvod ne postoji. Najčešće se mogu naći u funkcijama čiji je argument napisan pod znakom modula, ili u funkcije snage, čiji je eksponent razlomački racionalan broj.
3. Zatim ćemo saznati koje će stacionarne tačke pasti u dati segment. Da biste to učinili, morate izračunati derivaciju funkcije, zatim je izjednačiti sa 0 i riješiti rezultirajuću jednadžbu, a zatim odabrati odgovarajuće korijene. Ako ne dobijemo ni jednu stacionarnu tačku ili ne spadaju u dati segment, prelazimo na sljedeći korak.
4. Određujemo koje će vrijednosti funkcija imati u datim stacionarnim točkama (ako ih ima), ili u onim tačkama u kojima prvi izvod ne postoji (ako ih ima), ili izračunavamo vrijednosti za x = a i x = b.
5. 5. Imamo niz vrijednosti funkcije, od kojih sada trebamo odabrati najveću i najmanju. To će biti najveće i najmanje vrijednosti funkcije koje trebamo pronaći.

Pogledajmo kako pravilno primijeniti ovaj algoritam prilikom rješavanja problema.

Primjer 1

Stanje: data je funkcija y = x 3 + 4 x 2. Odrediti njegovu najveću i najmanju vrijednost na segmentima [ 1 ; 4 ] i [ - 4 ; - 1 ] .

Rješenje:

Počnimo od pronalaženja domene definicije date funkcije. U ovom slučaju, to će biti skup svih realnih brojeva osim 0. Drugim riječima, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Oba segmenta navedena u uvjetu bit će unutar područja definicije.

Sada izračunavamo derivaciju funkcije prema pravilu diferencijacije razlomaka:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Naučili smo da će izvod funkcije postojati u svim tačkama segmenata [1; 4 ] i [ - 4 ; - 1 ] .

Sada moramo odrediti stacionarne tačke funkcije. Uradimo to pomoću jednačine x 3 - 8 x 3 = 0. Ima samo jedan pravi korijen, a to je 2. To će biti stacionarna tačka funkcije i pasti u prvi segment [1; 4 ] .

Izračunajmo vrijednosti funkcije na krajevima prvog segmenta iu ovoj tački, tj. za x = 1, x = 2 i x = 4:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Otkrili smo da je najveća vrijednost funkcije m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 će se postići pri x = 1, a najmanji m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – pri x = 2.

Drugi segment ne uključuje niti jednu stacionarnu tačku, tako da moramo izračunati vrijednosti funkcije samo na krajevima datog segmenta:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

To znači m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

odgovor: Za segment [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , za segment [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

pogledajte sliku:

Prije proučavanja ove metode savjetujemo vam da pregledate kako pravilno izračunati jednostranu granicu i granicu u beskonačnosti, kao i da naučite osnovne metode za njihovo pronalaženje. Da biste pronašli najveću i/ili najmanju vrijednost funkcije na otvorenom ili beskonačnom intervalu, izvršite sljedeće korake uzastopno.

1. Prvo morate provjeriti da li je dati interval podskup domene definicije ove funkcije.
2. Odredimo sve tačke koje se nalaze u traženom intervalu i u kojima prvi izvod ne postoji. Obično se javljaju za funkcije kod kojih je argument zatvoren u znaku modula i za funkcije stepena s razlomno racionalnim eksponentom. Ako ove tačke nedostaju, možete preći na sljedeći korak.
3. Sada odredimo koje će stacionarne tačke pasti unutar zadanog intervala. Prvo izjednačavamo derivaciju sa 0, rješavamo jednačinu i odabiremo odgovarajuće korijene. Ako nemamo niti jednu stacionarnu tačku ili ne spadaju u navedeni interval, odmah prelazimo na daljnje radnje. Oni su određeni tipom intervala.

• Ako je interval u obliku [ a ; b) , tada trebamo izračunati vrijednost funkcije u tački x = a i jednostranoj granici lim x → b - 0 f (x) .
• Ako interval ima oblik (a; b ], onda trebamo izračunati vrijednost funkcije u tački x = b i jednostranoj granici lim x → a + 0 f (x).
• Ako interval ima oblik (a; b), onda moramo izračunati jednostrane granice lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
• Ako je interval u obliku [ a ; + ∞), tada trebamo izračunati vrijednost u tački x = a i granicu na plus beskonačno lim x → + ∞ f (x) .
• Ako interval izgleda kao (- ∞ ; b ] , izračunavamo vrijednost u tački x = b i granicu u minus beskonačnosti lim x → - ∞ f (x) .
• Ako je - ∞ ; b , tada razmatramo jednostranu granicu lim x → b - 0 f (x) i granicu na minus beskonačnost lim x → - ∞ f (x)
• Ako je - ∞; + ∞ , tada razmatramo granice na minus i plus beskonačnost lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

1. Na kraju morate izvući zaključak na osnovu dobijenih vrijednosti funkcije i ograničenja. Ovdje su dostupne mnoge opcije. Dakle, ako je jednostrana granica jednaka minus beskonačnosti ili plus beskonačnosti, onda je odmah jasno da se ništa ne može reći o najmanjoj i najvećoj vrijednosti funkcije. U nastavku ćemo pogledati jedan tipičan primjer. Detaljni opisi pomoći će vam da shvatite šta je šta. Ako je potrebno, možete se vratiti na slike 4 - 8 u prvom dijelu materijala.

Primjer 2

Uslov: data funkcija y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Izračunajte njegovu najveću i najmanju vrijednost u intervalima - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ∞) .

Rješenje

Prije svega, nalazimo domenu definicije funkcije. Imenilac razlomka sadrži kvadratni trinom, koji ne bi trebao ići na 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Dobili smo domenu definicije funkcije kojoj pripadaju svi intervali navedeni u uvjetu.

Sada ćemo razlikovati funkciju i dobiti:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 ​​x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Prema tome, derivati ​​funkcije postoje u cijelom njenom domenu definicije.

Pređimo na pronalaženje stacionarnih tačaka. Derivat funkcije postaje 0 na x = - 1 2 . Ovo je stacionarna tačka koja leži u intervalima (- 3 ; 1 ] i (- 3 ; 2) .

Izračunajmo vrijednost funkcije na x = - 4 za interval (- ∞ ; - 4 ], kao i granicu na minus beskonačnost:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Pošto je 3 e 1 6 - 4 > - 1, to znači da je m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. To nam ne dozvoljava da jedinstveno odredimo najmanju vrijednost Možemo samo zaključiti da postoji ograničenje ispod - 1, budući da se ovoj vrijednosti funkcija približava asimptotski na minus beskonačnosti.

Posebnost drugog intervala je u tome što u njemu ne postoji niti jedna stacionarna tačka, niti jedna stroga granica. Posljedično, nećemo moći izračunati ni najveću ni najmanju vrijednost funkcije. Nakon što smo definirali granicu na minus beskonačnost i kako argument teži - 3 na lijevoj strani, dobijamo samo interval vrijednosti:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

To znači da će se vrijednosti funkcije nalaziti u intervalu - 1; +∞

Da bismo pronašli najveću vrijednost funkcije u trećem intervalu, odredimo njenu vrijednost u stacionarnoj tački x = - 1 2 ako je x = 1. Također ćemo morati znati jednostrano ograničenje za slučaj kada argument teži - 3 na desnoj strani:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Pokazalo se da će funkcija poprimiti najveću vrijednost u stacionarnoj tački m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Što se tiče najmanje vrijednosti, ne možemo je odrediti. Sve što znamo , je prisustvo donje granice na -4.

Za interval (- 3 ; 2) uzmite rezultate prethodnog proračuna i još jednom izračunajte čemu je jednaka jednostrana granica kada težite 2 na lijevoj strani:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

To znači da je m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, a najmanja vrijednost se ne može odrediti, a vrijednosti funkcije su ograničene odozdo brojem - 4 .

Na osnovu onoga što smo dobili u prethodna dva proračuna, možemo reći da na intervalu [ 1 ; 2) funkcija će uzeti najveću vrijednost pri x = 1, ali je nemoguće pronaći najmanju.

Na intervalu (2 ; + ∞) funkcija neće dostići ni najveću ni najmanju vrijednost, tj. uzimat će vrijednosti iz intervala - 1; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Izračunavši koliko će biti jednaka vrijednost funkcije pri x = 4, saznajemo da je m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , a data funkcija na plus beskonačno će se asimptotski približiti pravoj liniji y = - 1 .

Uporedimo ono što smo dobili u svakom proračunu sa grafikom date funkcije. Na slici su asimptote prikazane isprekidanim linijama.

To je sve što smo vam htjeli reći o pronalaženju najveće i najmanje vrijednosti funkcije. Slijedovi radnji koje smo dali pomoći će vam da izvršite potrebne proračune što je brže i jednostavnije moguće. Ali zapamtite da je često korisno prvo otkriti u kojim intervalima će se funkcija smanjivati, a u kojim će se povećavati, nakon čega možete izvući daljnje zaključke. Na taj način možete preciznije odrediti najveću i najmanju vrijednost funkcije i opravdati dobivene rezultate.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Najveća (najmanja) vrijednost funkcije je najveća (najmanja) prihvaćena vrijednost ordinate na razmatranom intervalu.

Da biste pronašli najveću ili najmanju vrijednost funkcije potrebno je:

1. Provjerite koje su stacionarne tačke uključene u dati segment.
2. Izračunajte vrijednost funkcije na krajevima segmenta i na stacionarnim tačkama iz koraka 3
3. Od dobivenih rezultata odaberite najveću ili najmanju vrijednost.

Da biste pronašli maksimalne ili minimalne bodove potrebno je:

1. Pronađite izvod funkcije $f"(x)$
2. Pronađite stacionarne tačke rješavanjem jednačine $f"(x)=0$
3. Faktor derivacije funkcije.
4. Nacrtajte koordinatnu liniju, postavite stacionarne tačke na nju i odredite predznake derivacije u rezultujućim intervalima, koristeći oznaku u koraku 3.
5. Nađite maksimalne ili minimalne tačke prema pravilu: ako u nekoj tački derivacija promijeni predznak s plusa na minus, onda će to biti maksimalna tačka (ako je od minusa do plusa, onda će to biti minimalna tačka). U praksi je zgodno koristiti sliku strelica na intervalima: na intervalu gdje je derivacija pozitivna, strelica se povlači prema gore i obrnuto.

Tabela izvoda nekih elementarnih funkcija:

Funkcija	Derivat
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^(n-1), n∈N$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$	$-(n)/(x^(n+1)), n∈N$
$√^n(x), n∈N$	$(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$
$cos^2x$	$-sin2x$
$sin^2x$	$sin2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	$(1)/(x)$
$log_(a)x$	$(1)/(xlna)$

Osnovna pravila diferencijacije

1. Derivat zbira i razlike jednak je izvodu svakog člana

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Pronađite izvod funkcije $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

Izvod zbira i razlike jednak je izvodu svakog člana

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Derivat proizvoda.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Pronađite izvod $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Derivat količnika

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

Pronađite izvod $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Derivat složena funkcija jednak je proizvodu izvoda eksterne funkcije i izvoda unutrašnje funkcije

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Pronađite minimalnu tačku funkcije $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. Hajde da pronađemo ODZ funkcije: $x+11>0; x>-11$

2. Pronađite izvod funkcije $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. Pronađite stacionarne tačke izjednačavanjem derivacije sa nulom

$(2x+21)/(x+11)=0$

Razlomak je jednak nuli ako je brojilac jednaka nuli, a imenilac nije nula

$2x+21=0; x≠-11$

4. Nacrtajmo koordinatnu liniju, postavimo stacionarne tačke na nju i odredimo predznake derivacije u rezultujućim intervalima. Da biste to učinili, zamijenite bilo koji broj iz krajnje desne regije u derivat, na primjer, nulu.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. U minimalnoj tački, derivacija mijenja predznak iz minusa u plus, stoga je tačka $-10,5$ minimalna tačka.

Odgovor: $-10,5$

Pronađite najveću vrijednost funkcije $y=6x^5-90x^3-5$ na segmentu $[-5;1]$

1. Pronađite izvod funkcije $y′=30x^4-270x^2$

2. Izjednačite derivaciju sa nulom i pronađite stacionarne tačke

$30x^4-270x^2=0$

Uzmimo ukupan faktor $30x^2$ iz zagrada

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Izjednačimo svaki faktor sa nulom

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Odaberite stacionarne tačke koje pripadaju datom segmentu $[-5;1]$

Odgovaraju nam stacionarne tačke $x=0$ i $x=-3$

4. Izračunajte vrijednost funkcije na krajevima segmenta i na stacionarnim tačkama iz koraka 3

U ovom članku govorit ću o tome kako primijeniti vještinu pronalaženja na proučavanje funkcije: pronaći njenu najveću ili najmanju vrijednost. A onda ćemo riješiti nekoliko problema iz zadatka B15 iz Otvorene banke zadataka za.

Kao i obično, prisjetimo se prvo teorije.

Na početku svakog proučavanja funkcije nalazimo je

Da biste pronašli najveću ili najmanju vrijednost funkcije, morate ispitati na kojim intervalima funkcija raste, a na kojima opada.

Da bismo to učinili, moramo pronaći derivaciju funkcije i ispitati njene intervale konstantnog predznaka, odnosno intervale u kojima derivacija zadržava svoj predznak.

Intervali preko kojih je derivacija funkcije pozitivna su intervali rastuće funkcije.

Intervali na kojima je derivacija funkcije negativna su intervali opadajuće funkcije.

1 . Rešimo zadatak B15 (br. 245184)

Da bismo to riješili, slijedit ćemo sljedeći algoritam:

a) Pronađite domen definicije funkcije

b) Nađimo derivaciju funkcije.

c) Hajde da ga izjednačimo sa nulom.

d) Nađimo intervale konstantnog predznaka funkcije.

e) Pronađite tačku u kojoj funkcija poprima najveću vrijednost.

f) Pronađite vrijednost funkcije u ovoj tački.

Detaljno rješenje ovog zadatka objašnjavam u VIDEO TUTORIALU:

Vaš pretraživač vjerovatno nije podržan. Da biste koristili simulator "Sat objedinjenog državnog ispita", pokušajte preuzeti
Firefox

2. Rešimo zadatak B15 (br. 282862)

Pronađite najveću vrijednost funkcije na segmentu

Očigledno je da funkcija zauzima najveću vrijednost na segmentu u tački maksimuma, na x=2. Nađimo vrijednost funkcije u ovom trenutku:

Odgovor: 5

3. Rešimo zadatak B15 (br. 245180):

Pronađite najveću vrijednost funkcije

1. title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Jer prema domenu definicije originalne funkcije title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. Brojilac je jednak nuli na . Provjerimo da li ODZ pripada funkciji. Da bismo to uradili, proverimo da li je uslov title="4-2x-x^2>0"> при .!}

Title="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

to znači da tačka pripada ODZ funkciji

Pogledajmo znak derivacije desno i lijevo od tačke:

Vidimo da funkcija poprima najveću vrijednost u tački . Sada pronađimo vrijednost funkcije na:

Napomena 1. Imajte na umu da u ovom zadatku nismo pronašli domen definicije funkcije: samo smo popravili ograničenja i provjerili da li tačka u kojoj je derivacija jednaka nuli pripada domenu definicije funkcije. Ovo se pokazalo dovoljnim za ovaj zadatak. Međutim, to nije uvijek slučaj. Zavisi od zadatka.

Napomena 2. Kada proučavate ponašanje složene funkcije, možete koristiti sljedeće pravilo:

• Ako eksterna funkcija kompleksne funkcije raste, tada funkcija poprima svoju najveću vrijednost u istoj tački u kojoj interna funkcija poprima najveću vrijednost. Ovo slijedi iz definicije rastuće funkcije: funkcija raste na intervalu I ako veća vrijednost argument iz ovog intervala odgovara većoj vrijednosti funkcije.
• ako se vanjska funkcija kompleksne funkcije smanjuje, tada funkcija poprima najveću vrijednost u istoj točki u kojoj unutrašnja funkcija poprima svoju najmanju vrijednost . Ovo slijedi iz definicije opadajuće funkcije: funkcija se smanjuje na intervalu I ako veća vrijednost argumenta iz ovog intervala odgovara manjoj vrijednosti funkcije

U našem primjeru, eksterna funkcija se povećava u cijeloj domeni definicije. Pod znakom logaritma nalazi se izraz - kvadratni trinom, koji sa negativnim vodećim koeficijentom poprima najveću vrijednost u tački . Zatim, ovu vrijednost x zamjenjujemo u jednadžbu funkcije i pronaći njegovu najveću vrijednost.