Neophodan i dovoljan uslov za fleksiju funkcije. Intervali konveksnosti i konkavnosti grafa funkcije

Kada proučavamo funkciju i konstruišemo njen graf, u jednoj fazi određujemo tačke pregiba i intervale konveksnosti. Ovi podaci, zajedno sa intervalima povećanja i smanjenja, omogućavaju šematski prikaz grafika funkcije koja se proučava.

Dalja prezentacija pretpostavlja da možete raditi do nekog reda i različitih vrsta.

Počnimo proučavati materijal s potrebnim definicijama i konceptima. Zatim ćemo izraziti vezu između vrijednosti drugog izvoda funkcije na određenom intervalu i smjera njene konveksnosti. Nakon toga prelazimo na uslove koji nam omogućavaju da odredimo prevojne tačke grafa funkcije. Kroz tekst ćemo navoditi tipične primjere sa detaljnim rješenjima.

Navigacija po stranici.

Konveksnost, konkavnost funkcije, tačka pregiba.

Definicija.

konveksno nadole na intervalu X ako njegov graf nije niže od tangente na njega u bilo kojoj tački intervala X.

Definicija.

Poziva se funkcija koju treba razlikovati konveksno gore na intervalu X ako se njegov graf ne nalazi više od tangente na njega u bilo kojoj tački intervala X.

Često se naziva konveksna funkcija naviše konveksan, i konveksno prema dolje – konkavna.

Pogledajte crtež koji ilustruje ove definicije.

Definicija.

Tačka se zove tačka pregiba grafa funkcije y=f(x), ako u datoj tački postoji tangenta na graf funkcije (može biti paralelna s Oy osi) i postoji susjedstvo tačke unutar koje se nalazi lijevo i desno od tačke M graf funkcije ima različitim pravcima izbočine.

Drugim riječima, tačka M naziva se tačka pregiba grafa funkcije ako u ovoj tački postoji tangenta i graf funkcije mijenja smjer konveksnosti, prolazeći kroz nju.

Ako je potrebno, pogledajte odjeljak da se prisjetite uslova za postojanje ne-vertikalne i vertikalne tangente.

Na slici ispod prikazani su neki primjeri pregibnih tačaka (označenih crvenim tačkama). Imajte na umu da neke funkcije možda nemaju točke pregiba, dok druge mogu imati jednu, nekoliko ili beskonačno mnogo točaka pregiba.

Pronalaženje intervala konveksnosti funkcije.

Formulirajmo teoremu koja nam omogućava da odredimo intervale konveksnosti funkcije.

Teorema.

Ako funkcija y=f(x) ima konačan drugi izvod na intervalu X i ako vrijedi nejednakost (), tada graf funkcije ima konveksnost usmjerenu prema dolje (gore) sa X.

Ova teorema vam omogućava da pronađete intervale konkavnosti i konveksnosti funkcije; trebate samo riješiti nejednakosti i, respektivno, na domenu definicije originalne funkcije.

Treba napomenuti da će tačke u kojima je funkcija y=f(x) definirana, a drugi izvod ne postoji, biti uključene u intervale konkavnosti i konveksnosti.

Hajde da to shvatimo na primjeru.

Primjer.

Saznati intervale na kojima je graf funkcije ima konveksnost usmjerenu prema gore i konveksnost usmjerenu prema dolje.

Rješenje.

Domen funkcije je cijeli skup realnih brojeva.

Nađimo drugi izvod.

Područje definicije druge derivacije poklapa se sa domenom definicije izvorne funkcije, pa je za pronalaženje intervala konkavnosti i konveksnosti dovoljno riješiti i prema tome.

Dakle, funkcija je konveksna prema dolje na intervalu i konveksna prema gore na intervalu .

Grafička ilustracija.

Dio grafa funkcije u konveksnom intervalu prikazan je plavom bojom, a u intervalu konkavnosti – crvenom bojom.

Razmotrimo sada primjer kada se domen definicije drugog izvoda ne poklapa sa domenom definicije funkcije. U ovom slučaju, kao što smo već napomenuli, u intervale konveksnosti i (ili) konkavnosti treba uključiti tačke domena definicije u kojima ne postoji konačni drugi izvod.

Primjer.

Naći intervale konveksnosti i konkavnosti grafa funkcije.

Rješenje.

Počnimo s domenom funkcije:

Nađimo drugi izvod:

Područje definicije drugog izvoda je skup . Kao što vidite, x=0 pripada domenu originalne funkcije, ali ne pripada domenu drugog izvoda. Ne zaboravite na ovu točku; morat će biti uključena u interval konveksnosti i (ili) konkavnosti.

Sada rješavamo nejednakosti u domeni definicije originalne funkcije. Hajde da se prijavimo. Brojač izraza ide na nulu u ili , imenilac – kod x = 0 ili x = 1. Šematski crtamo ove tačke na brojevnoj pravoj i nalazimo predznak izraza na svakom od intervala koji su uključeni u domenu definicije originalne funkcije (prikazuje se kao zasjenjeno područje na donjoj brojevnoj pravoj). Za pozitivnu vrijednost stavljamo znak plus, za negativnu vrijednost stavljamo znak minus.

dakle,

I

Dakle, uključivanjem tačke x=0 dobijamo odgovor.

At graf funkcije ima konveksnost usmjerenu prema dolje, s - konveksnost usmjerena prema gore.

Grafička ilustracija.

Dio grafa funkcije na intervalu konveksnosti prikazan je plavom bojom, na intervalima konkavnosti - crvenom, crna tačkasta linija je vertikalna asimptota.

Neophodni i dovoljni uslovi za infleksiju.

Neophodan uslov za pregib.

Hajde da formulišemo neophodan uslov za pregib funkcionalna grafika.

Neka graf funkcije y=f(x) ima infleksiju u tački i kontinuirani drugi izvod, tada vrijedi jednakost.

Iz ovog uvjeta slijedi da apscisu prevojnih tačaka treba tražiti među onima u kojima drugi izvod funkcije nestaje. ALI, ovaj uvjet nije dovoljan, odnosno nisu sve vrijednosti u kojima je drugi izvod jednak nuli apscise prevojnih tačaka.

Također treba napomenuti da definicija točke pregiba zahtijeva postojanje tangentne linije, ili vertikalne. Šta to znači? A to znači sljedeće: apscisa prevojnih tačaka može biti sve iz domene definicije funkcije za koju I . To su obično tačke u kojima nazivnik prvog izvoda nestaje.

Prvi dovoljan uslov za fleksiju.

Nakon što su pronađene sve što može biti apscisa prevojnih tačaka, trebali biste koristiti prvi dovoljan uslov za fleksiju funkcionalna grafika.

Neka je funkcija y=f(x) neprekidna u tački, ima tangentu (moguće vertikalnu) na njoj i neka ova funkcija ima drugi izvod u nekom susjedstvu tačke. Zatim, ako unutar ovog susjedstva lijevo i desno od , drugi izvod ima različiti znakovi, tada je tačka pregiba grafa funkcije.

Kao što vidite, prvi dovoljan uslov ne zahteva postojanje drugog izvoda u samoj tački, već zahteva njegovo postojanje u okolini tačke.

Sada sumiramo sve informacije u obliku algoritma.

Algoritam za pronalaženje prevojnih tačaka funkcije.

Pronalazimo sve apscise mogućih točaka fleksije grafa funkcije (ili I ) i saznaj prolaskom kroz koji drugi izvod mijenja predznak. Takve vrijednosti će biti apscisa točaka pregiba, a odgovarajuće točke će biti točke pregiba grafa funkcije.

Pogledajmo dva primjera pronalaženja pregibnih tačaka radi pojašnjenja.

Primjer.

Naći prevojne tačke i intervale konveksnosti i konkavnosti grafa funkcije .

Rješenje.

Domen funkcije je cijeli skup realnih brojeva.

Nađimo prvi izvod:

Područje definicije prvog izvoda je također cijeli skup realnih brojeva, dakle jednakosti I nije ispunjen ni za jedan .

Nađimo drugi izvod:

Hajde da saznamo pri kojim vrijednostima argumenta x drugi izvod ide na nulu:

Dakle, apscise mogućih prevojnih tačaka su x=-2 i x=3.

Sada ostaje samo provjeriti dovoljan znak fleksija, u kojoj od ovih tačaka drugi izvod menja predznak. Da biste to učinili, nacrtajte tačke x=-2 i x=3 na brojevnoj osi i, kao u metoda generalizovanog intervala, stavljamo predznake drugog izvoda na svaki interval. Ispod svakog intervala, smjer konveksnosti grafa funkcije je shematski prikazan lukovima.

Drugi izvod mijenja predznak sa plus na minus, prolazeći kroz tačku x=-2 s lijeva na desno, i mijenja predznak iz minusa u plus, prolazeći kroz x=3. Dakle, i x=-2 i x=3 su apscise prevojnih tačaka grafa funkcije. Oni odgovaraju tačkama grafikona i .

Pogledavši još jednom brojevnu pravu i predznake druge derivacije na njenim intervalima, možemo izvući zaključke o intervalima konveksnosti i konkavnosti. Graf funkcije je konveksan na intervalu i konkavan na intervalima i .

Grafička ilustracija.

Dio grafa funkcije na konveksnom intervalu prikazan je plavom bojom, na intervalu konkavnosti – crvenom bojom, a tačke pregiba su prikazane kao crne tačke.

Primjer.

Pronađite apscisu svih prevojnih tačaka grafa funkcije .

Rješenje.

Područje definicije ove funkcije je cijeli skup realnih brojeva.

Nađimo derivat.

Prvi izvod, za razliku od originalne funkcije, nije definiran na x=3. Ali I . Dakle, u tački sa apscisom x=3 postoji vertikalna tangenta na grafik originalne funkcije. Dakle, x=3 može biti apscisa prevojne tačke grafa funkcije.

Pronalazimo drugu derivaciju, njenu oblast definicije i tačke u kojima ona nestaje:

Dobili smo još dvije moguće apscise prevojnih tačaka. Označimo sve tri tačke na brojevnoj pravoj i odredimo predznak drugog izvoda na svakom od rezultirajućih intervala.

Druga derivacija mijenja predznak pri prolasku kroz svaku od tačaka, dakle, sve su apscise prevojnih tačaka.

Ostaje da se razmotri konveksnost, konkavnost i pregibi grafa. Počnimo sa stranicama koje posjetitelji toliko vole fizičke vežbe. Ustanite i nagnite se naprijed ili nazad. Ovo je izbočina. Sada ispružite ruke ispred sebe, dlanovima prema gore, i zamislite da na grudima držite veliki balvan... ...pa, ako vam se ne sviđa balvan, neka to uradi nešto/neko drugi = ) Ovo je konkavnost. Brojni izvori sadrže sinonimne pojmove izbočiti se I izbočiti dole, ali ja sam ljubitelj kratkih naslova.

! Pažnja : neki autori odrediti konveksnost i konkavnost upravo suprotno. Ovo je također matematički i logički ispravno, ali često potpuno netačno sa suštinske tačke gledišta, uključujući i na nivou našeg laičkog razumijevanja pojmova. Tako se, na primjer, sočivo s tuberkulama naziva bikonveksno sočivo, ali ne i s udubljenjima (bikonkavno).
I, recimo, "konkavni" krevet - još uvijek se očito ne "zalijepi" =) (međutim, ako se popnete ispod njega, onda ćemo već pričati o konveksnosti; =)) Pridržavam se pristupa koji odgovara prirodnom ljudska udruženja.

Formalna definicija konveksnosti i konkavnosti grafa je prilično teška za čajnik, pa ćemo se ograničiti na geometrijsku interpretaciju koncepta na konkretni primjeri. Razmotrimo graf funkcije koja kontinuirano na cijeloj brojevnoj pravoj:

Sa njim je lako graditi geometrijske transformacije, a vjerovatno su mnogi čitaoci svjesni kako se ona dobija iz kubične parabole.

Hajde da pozovemo akord povezivanje linija dva razne tačke grafike.

Graf funkcije je konveksan na nekom intervalu, ako se nalazi ne manje bilo koji akord datog intervala. Eksperimentalna linija je konveksna na , i, očito, ovdje se bilo koji dio grafa nalazi IZNAD njegove akord. Da bih ilustrovao definiciju, nacrtao sam tri crne linije.

Funkcije grafa su konkavna na intervalu, ako se nalazi ne viši bilo koji akord ovog intervala. U primjeru koji se razmatra, pacijent je konkavan na intervalu . Par smeđih segmenata uvjerljivo pokazuje da se ovdje bilo koji dio grafa nalazi ISPOD njega akord.

Tačka na grafu u kojoj se mijenja iz konveksnog u konkavno ili konkavnost do konveksnost se zove tačka pregiba. Imamo ga u jednom primjerku (prvi slučaj), a u praksi pod tačkom pregiba možemo podrazumijevati i zelenu tačku koja pripada samoj liniji i vrijednost “X”.

BITAN! Prelome grafa treba pažljivo nacrtati i vrlo glatko. Sve vrste “nepravilnosti” i “hrapavosti” su neprihvatljive. Potrebno je samo malo treninga.

Drugi pristup određivanju konveksnosti/konkavnosti u teoriji je dat kroz tangente:

Konveksna na intervalu se nalazi graf ne viši tangenta povučena na njega u proizvoljnoj tački datog intervala. Konkavna na grafu intervala – ne manje bilo koja tangenta na ovom intervalu.

Hiperbola je konkavna na intervalu i konveksna na:

Prilikom prolaska kroz ishodište koordinata, konkavnost se mijenja u konveksnost, ali tačka NE BROJTE tačka pregiba, budući da je funkcija nije utvrđeno u tome.

Rigoroznije tvrdnje i teoreme na ovu temu mogu se naći u udžbeniku, a prelazimo na intenzivni praktični dio:

Kako pronaći intervale konveksnosti, intervale konkavnosti
i prevojne tačke grafa?

Materijal je jednostavan, šablonski i strukturno se ponavlja proučavanje funkcije za ekstrem.

Konveksnost/konkavnost grafa karakteriše drugi derivat funkcije.

Neka je funkcija dvaput diferencibilna na nekom intervalu. onda:

– ako je drugi izvod na intervalu, onda je graf funkcije konveksan na tom intervalu;

– ako je drugi izvod na intervalu, onda je graf funkcije konkavan na tom intervalu.

Što se tiče predznaka druge derivacije u odnosu na razmake obrazovne institucije praistorijska asocijacija šeta okolo: “–” pokazuje da “ne možete sipati vodu u graf funkcije” (konveksnost),
i “+” – “daje takvu priliku” (konkavnost).

Neophodan uslov pregiba

Ako u nekoj tački postoji tačka pregiba u grafu funkcije, To:
ili vrijednost ne postoji(hajde da to sredimo, čitaj!).

Ova fraza implicira da je funkcija kontinuirano u tački iu slučaju – je dva puta diferencibilan u nekoj njegovoj okolini.

Neophodnost uslova sugeriše da obrnuto nije uvek tačno. Odnosno iz jednakosti (ili nepostojanja vrijednosti) još ne bi trebalo postojanje fleksije u grafu funkcije u tački . Ali u obje situacije zovu kritična tačka druge derivacije.

Dovoljan uslov za pregib

Ako drugi izvod promijeni predznak kada prolazi kroz tačku, tada u ovoj tački dolazi do infleksije u grafu funkcije.

Možda uopće nema prelomnih tačaka (primjer je već nađen) iu tom smislu su neki elementarni primjeri indikativni. Analizirajmo drugi izvod funkcije:

Dobija se pozitivna konstantna funkcija, tj za bilo koju vrijednost "x". Činjenice koje leže na površini: parabola je konkavna po cijeloj površini domenu definicije, nema prevojnih tačaka. Lako je primijetiti da negativni koeficijent na "invertira" parabolu i čini je konveksnom (kao što će nam reći drugi izvod, negativna konstantna funkcija).

Eksponencijalna funkcija također konkavna na:

za bilo koju vrijednost "x".

Naravno, graf nema prevojnih tačaka.

Ispitujemo graf na konveksnost/konkavnost logaritamska funkcija :

Dakle, grana logaritma je konveksna na intervalu. Drugi izvod je također definiran na intervalu, ali razmotrite ga ZABRANJENO JE, budući da ovaj interval nije uključen u domena funkcije Zahtjev je očigledan - pošto tamo nema logaritamskog grafa, onda, naravno, nema govora ni o kakvoj konveksnosti/konkavnosti/fleksiji.

Kao što vidite, sve zaista jako podsjeća na priču sa povećanje, smanjenje i ekstremi funkcije. Slično meni algoritam za proučavanje grafa funkcijeza konveksnost, konkavnost i prisustvo pregiba:

2) Tražimo kritične vrijednosti. Da biste to učinili, uzmite drugi izvod i riješite jednačinu. Kritičnim se smatraju i tačke u kojima ne postoji 2. izvod, ali koje su uključene u domen definicije same funkcije!

3) Označite na brojevnoj pravoj sve pronađene tačke prekida i kritične tačke ( možda ne postoji ni jedno ni drugo - onda nema potrebe nista crtati (kao u prejednostavnom slucaju), dovoljno je ograniciti se na pisani komentar). Intervalna metoda odrediti predznake na rezultujućim intervalima. Kao što je upravo objašnjeno, treba uzeti u obzir samo one intervali koji su uključeni u domenu definicije funkcije. Izvodimo zaključke o konveksnosti/konkavnosti i tačkama pregiba grafa funkcije. Dajemo odgovor.

Pokušajte verbalno primijeniti algoritam na funkcije . U drugom slučaju, inače, postoji primjer kada u grafu nema prevojne tačke na kritičnoj tački. Međutim, počnimo s malo težim zadacima:

Primjer 1

Rješenje:
1) Funkcija je definirana i kontinuirana na cijeloj brojevnoj pravoj. Veoma dobro.

2) Nađimo drugi izvod. Prvo možete izvesti konstrukciju kocke, ali je mnogo isplativije koristiti pravilo za diferencijaciju složenih funkcija:

Imajte na umu da , što znači da je funkcija neopadajući. Iako ovo nije relevantno za zadatak, uvijek je preporučljivo obratiti pažnju na takve činjenice.

Nađimo kritične tačke drugog izvoda:

- kritična tačka

3) Provjerimo da li je ispunjen uslov dovoljne fleksije. Odredimo predznake drugog izvoda na rezultujućim intervalima.

Pažnja! Sada radimo sa drugom derivacijom (a ne sa funkcijom!)

Kao rezultat, dobijena je jedna kritična tačka: .

3) Označite dvije tačke diskontinuiteta na brojevnoj pravoj, kritičnu tačku, i odredite predznake drugog izvoda na rezultujućim intervalima:

Podsjećam vas na važnu tehniku intervalna metoda, što vam omogućava da značajno ubrzate rješenje. Drugi derivat pokazao se vrlo glomazan, pa nije potrebno izračunati njegove vrijednosti, dovoljno je napraviti „procjenu“ u svakom intervalu. Odaberimo, na primjer, tačku koja pripada lijevom intervalu,
i izvršite zamjenu:

Sada analizirajmo množitelje:

Dva „minus“ i „plus“ daju „plus“, dakle, što znači da je druga derivacija pozitivna u celom intervalu.

Komentirane radnje je lako izvesti verbalno. Osim toga, korisno je potpuno zanemariti faktor - on je pozitivan za bilo koji "x" i ne utječe na predznake našeg drugog izvoda.

Dakle, koje ste nam informacije dostavili?

Odgovori: Grafikon funkcije je konkavan na i konveksno na . Na početku (jasno je da) na grafu postoji tačka pregiba.

Prilikom prolaska kroz tačke, drugi izvod također mijenja predznak, ali se one ne smatraju tačkama pregiba, jer funkcija pati u njima beskrajne pauze.

U analiziranom primjeru, prvi izvod informira nas o rastu funkcije u cijelom domenu definicije. Uvijek bi postojao takav freebie =) Osim toga, očito je da postoje tri asimptota. Prikupljeno je dosta podataka, što omogućava visok stepen sadašnja pouzdanost izgled grafike. Za hrpu, funkcija je također čudna. Na osnovu utvrđenih činjenica pokušajte napraviti grubu skicu. Slika na kraju lekcije.

Zadatak za nezavisna odluka:

Primjer 6

Ispitajte graf funkcije na konveksnost, konkavnost i pronađite točke pregiba grafa, ako postoje.

U uzorku nema crteža, ali nije zabranjeno iznositi hipotezu;)

Materijal meljemo bez numerisanja tačaka algoritma:

Primjer 7

Ispitajte graf funkcije na konveksnost, konkavnost i pronađite točke pregiba, ako postoje.

Rješenje: funkcija toleriše beskrajni jaz u tački .

Kao i obično, kod nas je sve u redu:

Derivati ​​nisu najteže, glavna stvar je da pazite na njihovu "frizuru".
U induciranom maratonu otkrivaju se dvije kritične točke druge derivacije:

Odredimo predznake na rezultujućim intervalima:

U grafu postoji tačka pregiba u tački; ​​hajde da pronađemo ordinatu tačke:

Prilikom prolaska kroz tačku, drugi izvod ne mijenja predznak, stoga NEMA infleksije u grafu.

Odgovori: intervali konveksnosti: ; interval konkavnosti: ; tačka pregiba: .

Pogledajmo posljednje primjere s dodatnim zvonima i zviždaljkama:

Primjer 8

Pronađite intervale konveksnosti, konkavnosti i pregibnih tačaka grafa

Rješenje: uz nalaz domenu definicije Nema posebnih problema:
, dok funkcija trpi diskontinuitete u tačkama.

Idemo utabanom stazom:

- kritična tačka.

Hajde da definišemo znakove i razmotrimo intervale samo iz domena funkcije:

U grafu postoji tačka pregiba u jednoj tački; ​​izračunajmo ordinatu:

Instrukcije

Poeni fleksija funkcije mora pripadati domenu njegove definicije, koji se mora prvo pronaći. Raspored funkcije je linija koja može biti kontinuirana ili imati prekide, monotono se smanjivati ​​ili povećavati, imati minimum ili maksimum bodova(asimptote), biti konveksna ili konkavna. Nagla promena dva najnovije države i naziva se fleksija.

Neophodan uslov za postojanje fleksija funkcije sastoji se u jednakosti sekunde prema nuli. Dakle, diferenciranjem funkcije dvaput i izjednačavanjem rezultirajućeg izraza sa nulom, možemo pronaći apscisu mogućih tačaka fleksija.

Ovaj uslov proizilazi iz definicije svojstava konveksnosti i konkavnosti grafa funkcije, tj. negativan i pozitivna vrijednost drugi derivat. U tački fleksija oštra promjena ovih svojstava znači da derivacija prelazi nultu oznaku. Međutim, to što je jednako nuli još nije dovoljno da ukaže na infleksiju.

Postoje dva dovoljna uslova da apscisa pronađena u prethodnoj fazi pripada tački fleksija: Kroz ovu tačku možete povući tangentu na funkcije. Drugi derivat ima različite predznake desno i lijevo od očekivanog bodova fleksija. Dakle, njegovo postojanje u samoj tački nije neophodno, dovoljno je utvrditi da u njoj menja predznak.Drugi izvod funkcije je jednako nuli, a treći nije.

Rješenje: Pronađite . U ovom slučaju nema ograničenja, dakle, radi se o čitavom prostoru realnih brojeva. Izračunajte prvi izvod: y’ = 3 ∛(x - 5) + (3 x + 3)/∛(x - 5)².

Obratite pažnju na . Iz ovoga slijedi da je domen definicije derivacije ograničen. Tačka x = 5 je probušena, što znači da kroz nju može proći tangenta, što dijelom odgovara prvom znaku dovoljnosti fleksija.

Odredite rezultirajući izraz za x → 5 – 0 i x → 5 + 0. Oni su jednaki -∞ i +∞. Dokazali ste da vertikalna tangenta prolazi kroz tačku x=5. Ova tačka se može ispostaviti kao tačka fleksija, ali prvo izračunajte drugi izvod: Y'' = 1/∛(x - 5)² + 3/∛(x - 5)² – 2/3 (3 x + 3)/∛(x - 5)^5 = (2 x – 22)/∛(x - 5)^5.

Izostavite imenilac jer ste već uzeli u obzir tačku x = 5. Riješite jednačinu 2 x – 22 = 0. Ima jedan korijen x = 11. Zadnji korak je da potvrdite da je bodova x=5 i x=11 su tačke fleksija. Analizirati ponašanje druge derivacije u njihovoj blizini. Očigledno, u tački x = 5 mijenja predznak sa “+” na “-”, au tački x = 11 – obrnuto. Zaključak: oboje bodova su bodovi fleksija. Prvi dovoljan uslov je zadovoljen.

Kada grafički prikazujemo funkciju, važno je identificirati intervale konveksnosti i točke pregiba. Oni su nam potrebni, zajedno sa intervalima smanjenja i povećanja, da jasno predstavimo funkciju u grafičkom obliku.

Razumijevanje ove teme zahtijeva znanje o tome šta je derivacija funkcije i kako je procijeniti nekim redom, kao i sposobnost rješavanja različite vrste nejednakosti

Na početku članka definirani su osnovni pojmovi. Zatim ćemo pokazati kakav odnos postoji između smjera konveksnosti i vrijednosti drugog izvoda u određenom intervalu. Zatim ćemo naznačiti uslove pod kojima se mogu odrediti prevojne tačke grafa. Svi argumenti će biti ilustrovani primjerima rješenja problema.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definicija 1

U smjeru prema dolje u određenom intervalu u slučaju kada se njegov graf nalazi ne niže od tangente na njega u bilo kojoj tački ovog intervala.

Definicija 2

Funkcija koju treba razlikovati je konveksna prema gore u određenom intervalu ako se graf date funkcije ne nalazi više od tangente na nju u bilo kojoj tački ovog intervala.

Konveksna funkcija prema dolje može se nazvati i konkavnom funkcijom. Obje definicije su jasno prikazane na grafikonu ispod:

Definicija 3

Prelomna tačka funkcije– ovo je tačka M (x 0 ; f (x 0)), u kojoj postoji tangenta na graf funkcije, pod uslovom da postoji derivacija u blizini tačke x 0, gde je na levoj strani a sa desne strane graf funkcije ima različite smjerove konveksnosti.

Jednostavno rečeno, tačka pregiba je mjesto na grafu gdje postoji tangenta, a smjer konveksnosti grafa prilikom prolaska kroz ovo mjesto će promijeniti smjer konveksnosti. Ako se ne sjećate pod kojim uvjetima je moguće postojanje vertikalne i nevertikalne tangente, preporučujemo da ponovite dio o tangenti grafa funkcije u tački.

Ispod je grafikon funkcije koja ima nekoliko prelomnih tačaka, koje su označene crvenom bojom. Pojasnimo da prisustvo pregibnih tačaka nije obavezno. Na grafu jedne funkcije može biti jedna, dvije, nekoliko, beskonačno mnogo ili nijedna.

U ovom dijelu ćemo govoriti o teoremi pomoću koje možete odrediti intervale konveksnosti na grafu određene funkcije.

Definicija 4

Graf funkcije će biti konveksan nadole ili nagore ako odgovarajuća funkcija y = f (x) ima drugi konačni izvod na navedenom intervalu x, pod uslovom da je nejednakost f "" (x) ≥ 0 ∀ x ∈ X (f "" (x) ≤ 0 ∀ x ∈ X) će biti istinito.

Koristeći ovu teoremu, možete pronaći intervale konkavnosti i konveksnosti na bilo kojem grafu funkcije. Da biste to učinili, jednostavno morate riješiti nejednakosti f "" (x) ≥ 0 i f "" (x) ≤ 0 na domenu definicije odgovarajuće funkcije.

Pojasnimo da će one tačke u kojima drugi izvod ne postoji, ali je definirana funkcija y = f (x) biti uključene u intervale konveksnosti i konkavnosti.

Pogledajmo primjer specifičnog problema da vidimo kako pravilno primijeniti ovu teoremu.

Primjer 1

Stanje: zadana funkcija y = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 . Odredite u kojim intervalima će njegov graf imati konveksnost i konkavnost.

Rješenje

Područje definicije ove funkcije je cijeli skup realnih brojeva. Počnimo s izračunavanjem drugog izvoda.

y " = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 " = x 2 2 - 2 x + 3 ⇒ y " " = x 2 2 - 2 x + 3 = x - 2

Vidimo da se domen definicije drugog izvoda poklapa sa domenom same funkcije.To znači da za identifikaciju intervala konveksnosti moramo riješiti nejednakosti f "" (x) ≥ 0 i f "" (x ) ≤ 0.

y "" ≥ 0 ⇔ x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 y "" ≤ 0 ⇔ x - 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2

Imamo taj raspored datu funkciju imaće udubljenje na segmentu [ 2 ; + ∞) i konveksnost na segmentu (- ∞; 2 ] .

Radi jasnoće, nacrtajmo graf funkcije i označimo konveksni dio plavom bojom, a konkavni dio crvenom.

odgovor: graf date funkcije će imati udubljenje na segmentu [ 2 ; + ∞) i konveksnost na segmentu (- ∞; 2 ] .

Ali šta učiniti ako se domen definicije drugog izvoda ne poklapa sa domenom definicije funkcije? Ovdje će nam biti od koristi gornja napomena: uključićemo i one tačke u kojima konačni drugi izvod ne postoji u konkavnim i konveksnim segmentima.

Primjer 2

Stanje: s obzirom na funkciju y = 8 x x - 1 . Odredite u kojim intervalima će njegov graf biti konkavan, a u kojim će biti konveksan.

Rješenje

Prvo, hajde da saznamo domen definicije funkcije.

x ≥ 0 x - 1 ≠ 0 ⇔ x ≥ 0 x ≠ 1 ⇔ x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞)

Sada izračunavamo drugi izvod:

y " = 8 x x - 1 " = 8 1 2 x (x - 1) - x 1 (x - 1) 2 = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 y "" = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 " = - 4 1 x x - 1 2 - (x + 1) x x - 1 2 " x (x - 1) 4 = = - 4 1 x x - 1 2 - x + 1 1 2 x ( x - 1) 2 + x 2 (x - 1) x x - 1 4 = = 2 3 x 2 + 6 x - 1 x 3 2 · (x - 1) 3

Područje definicije drugog izvoda je skup x ∈ (0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) . Vidimo da će x jednako nuli pripadati domeni originalne funkcije, ali ne i domeni drugog izvoda. Ova tačka mora biti uključena u konkavni ili konveksni segment.

Nakon toga trebamo riješiti nejednakosti f "" (x) ≥ 0 i f "" (x) ≤ 0 na domenu definicije date funkcije. Za to koristimo metodu intervala: sa x = - 1 - 2 3 3 ≈ - 2, 1547 ili x = - 1 + 2 3 3 ≈ 0, 1547 brojilac 2 · (3 x 2 + 6 x - 1) x 2 3 · x - 1 3 postaje 0, a imenilac je 0 na x, jednak nuli ili jedinica.

Nacrtajmo rezultujuće tačke na graf i odredimo predznak izraza na svim intervalima koji će biti uključeni u domenu definicije originalne funkcije. Ovo područje je označeno senčenjem na grafikonu. Ako je vrijednost pozitivna, interval označavamo plusom, ako je negativan, onda minusom.

dakle,

f "" (x) ≥ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ 0 ; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) , i f "" (x) ≤ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1)

Uključujemo prethodno označenu tačku x = 0 i dobijamo željeni odgovor. Grafikon originalne funkcije će biti konveksan prema dolje na 0; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) , i naviše – za x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1) .

Nacrtajmo grafik, označavajući konveksni dio plavom bojom, a konkavni dio crvenom. Vertikalna asimptota je označena crnom isprekidanom linijom.

odgovor: Grafikon originalne funkcije će biti konveksan prema dolje na 0; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) , i naviše – za x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1) .

Uvjeti za infleksiju grafa funkcije

Počnimo sa formulisanjem neophodnog uslova za infleksiju grafa određene funkcije.

Definicija 5

Recimo da imamo funkciju y = f (x), čiji graf ima prevojnu tačku. Kod x = x 0 ima kontinuirani drugi izvod, stoga će vrijediti jednakost f "" (x 0) = 0.

S obzirom na ovaj uvjet, trebali bismo tražiti točke pregiba među onima u kojima će se drugi izvod pretvoriti u 0. Ovaj uslov neće biti dovoljan: nisu sve takve tačke prikladne za nas.

Također imajte na umu da će nam, prema općoj definiciji, trebati tangentna linija, vertikalna ili ne-vertikalna. U praksi, to znači da za pronalaženje tačaka pregiba treba uzeti one u kojima se drugi izvod date funkcije pretvara u 0. Stoga, da bismo pronašli apscisu prevojnih tačaka, moramo uzeti sve x 0 iz domene definicije funkcije, gdje je lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ i lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞. Najčešće su to tačke u kojima imenilac prvog izvoda postaje 0.

Prvi dovoljan uslov za postojanje prevojne tačke u grafu funkcije

Pronašli smo sve vrijednosti x 0 koje se mogu uzeti kao apscise prevojnih tačaka. Nakon toga, trebamo primijeniti prvi dovoljan uvjet fleksije.

Definicija 6

Recimo da imamo funkciju y = f (x) koja je kontinuirana u tački M (x 0 ; f (x 0)). Štaviše, ona ima tangentu u ovoj tački, a sama funkcija ima drugi izvod u blizini ove tačke x 0. U ovom slučaju, ako na lijevoj i desnoj strani drugi izvod dobije suprotne predznake, tada se ova točka može smatrati točkom pregiba.

Vidimo da ovaj uslov ne zahtijeva nužno postojanje drugog izvoda u ovoj tački; ​​dovoljno je njegovo prisustvo u blizini tačke x 0.

Zgodno je sve gore rečeno predstaviti u obliku niza radnji.

1. Prvo morate pronaći sve apscise x 0 mogućih prevojnih tačaka, gdje je f "" (x 0) = 0, lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞, lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ .
2. Hajde da saznamo u kojim tačkama će derivacija promeniti predznak. Ove vrijednosti su apscise prevojnih tačaka, a tačke M (x 0 ; f (x 0)) koje im odgovaraju su same tačke pregiba.

Radi jasnoće, analiziraćemo dva problema.

Primjer 3

Stanje: data funkcija y = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x. Odredite gdje će graf ove funkcije imati točke pregiba i točke konveksnosti.

Rješenje

Navedena funkcija je definirana na cijelom skupu realnih brojeva. Računamo prvi izvod:

y" = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x " = 1 10 4 x 3 12 - 3 x 2 6 - 6 x + 2 = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2

Sada pronađimo domen definicije prvog izvoda. To je također skup svih realnih brojeva. To znači da se jednakosti lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ i lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ ne mogu zadovoljiti ni za jednu vrijednost x 0 .

Računamo drugi izvod:

y " " = = 1 10 · x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2 " = 1 10 · 3 x 2 3 - 2 x 2 - 6 = 1 10 · x 2 - x - 6

y "" = 0 ⇔ 1 10 · (x 2 - x - 6) = 0 ⇔ x 2 - x - 6 = 0 D = (- 1) 2 - 4 · 1 · (- 6) = 25 x 1 = 1 - 25 2 = - 2, x 2 = 1 + 25 2 = 3

Pronašli smo apscisu dvije moguće tačke savijanja - 2 i 3. Sve što nam preostaje je provjeriti u kojoj točki derivacija mijenja svoj predznak. Nacrtajmo brojevnu pravu i ucrtajmo te tačke na nju, nakon čega ćemo na rezultujuće intervale postaviti znakove drugog izvoda.

Lukovi pokazuju smjer konveksnosti grafa u svakom intervalu.

Druga derivacija mijenja predznak u suprotan (od plusa na minus) u tački sa apscisom 3, prolazeći kroz nju s lijeva na desno, a također to čini (od minus do plus) u tački sa apscisom 3. To znači da možemo zaključiti da su x = - 2 i x = 3 apscise prevojnih tačaka grafa funkcije. Oni će odgovarati tačkama na grafikonu - 2; - 4 3 i 3; - 15 8 .

Pogledajmo još jednom sliku brojevne ose i rezultirajuće znakove na intervalima kako bismo izveli zaključke o mjestima konkavnosti i konveksnosti. Ispada da će se konveksnost nalaziti na segmentu - 2; 3, i konkavnost na segmentima (- ∞; - 2 ] i [ 3; + ∞).

Rješenje problema je jasno prikazano na grafikonu: Plava boja– konveksnost, crvena – konkavnost, crna boja označava tačke pregiba.

odgovor: konveksnost će se nalaziti na segmentu - 2; 3, i konkavnost na segmentima (- ∞; - 2 ] i [ 3; + ∞).

Primjer 4

Stanje: izračunaj apscisu svih prevojnih tačaka grafika funkcije y = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 · x - 3 3 5 .

Rješenje

Područje definicije date funkcije je skup svih realnih brojeva. Izračunavamo derivaciju:

y " = 1 8 · (x 2 + 3 x + 2) · x - 3 3 5 " = = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 " · (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5 " = = 1 8 2 x + 3 (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) 3 5 x - 3 - 2 5 = 13 x 2 - 6 x - 39 40 · (x - 3) 2 5

Za razliku od funkcije, njen prvi izvod neće biti definiran na vrijednosti x jednakoj 3, već:

lim x → 3 - 0 y " (x) = 13 · (3 - 0) 2 - 6 · (3 - 0) - 39 40 · 3 - 0 - 3 2 5 = + ∞ lim x → 3 + 0 y " (x) = 13 · (3 + 0) 2 - 6 · (3 + 0) - 39 40 · 3 + 0 - 3 2 5 = + ∞

To znači da će vertikalna tangenta na graf proći kroz ovu tačku. Prema tome, 3 može biti apscisa tačke pregiba.

Računamo drugi izvod. Također pronalazimo domenu njegove definicije i tačke u kojima se okreće na 0:

y "" = 13 x 2 - 6 x - 39 40 x - 3 2 5 " = = 1 40 13 x 2 - 6 x - 39 " (x - 3) 2 5 - 13 x 2 - 6 x - 39 · x - 3 2 5 " (x - 3) 4 5 = = 1 25 · 13 x 2 - 51 x + 21 (x - 3) 7 5 , x ∈ (- ∞ ; 3) ∪ (3 ; + ∞ ) y " " (x) = 0 ⇔ 13 x 2 - 51 x + 21 = 0 D = (- 51) 2 - 4 13 21 = 1509 x 1 = 51 + 1509 26 ≈ 3, 4556, x 2 = 51 - 1509 ≈ 0,4675

Sada imamo još dvije moguće prelomne tačke. Iscrtajmo ih sve na brojevnoj pravoj i označimo rezultirajuće intervale znakovima:

Predznak će se promijeniti kada se prođe kroz svaku označenu tačku, što znači da su sve točke pregiba.

odgovor: Nacrtajmo graf funkcije, označavajući udubljenja crvenom bojom, konveksnosti plavom bojom, a tačke pregiba crnom:

Poznavajući prvi dovoljan uslov za fleksiju, možemo odrediti potrebne tačke u kojima prisustvo druge derivacije nije neophodno. Na osnovu toga, prvi uslov se može smatrati najuniverzalnijim i najprikladnijim za rješavanje različitih vrsta problema.

Imajte na umu da postoje još dva uslova fleksije, ali oni se mogu primeniti samo kada postoji konačan izvod u navedenoj tački.

Ako imamo f "" (x 0) = 0 i f """ (x 0) ≠ 0, tada će x 0 biti apscisa prevojne tačke grafika y = f (x).

Primjer 5

Stanje: data je funkcija y = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5. Odrediti da li će graf funkcije imati prevojnu tačku u tački 3; 4 5 .

Rješenje

Prva stvar koju treba učiniti je osigurati da ova tačka općenito pripada grafu ove funkcije.

y (3) = 1 60 3 3 - 3 20 3 2 - 2 5 = 27 60 - 27 20 + 21 10 - 2 5 = 9 - 27 + 42 - 8 20 = 4 5

Data funkcija je definirana za sve argumente koji su realni brojevi. Izračunajmo prvi i drugi izvod:

y" = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5 " = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 y "" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 " = 1 10 x - 3 10 = 1 10 (x - 3)

Otkrili smo da će drugi izvod ići na 0 ako je x jednako 0. To znači da će neophodan uslov pregiba za ovu tačku biti zadovoljen. Sada koristimo drugi uslov: pronađite treći izvod i saznajte da li će se pretvoriti u 0 na 3:

y " " " = 1 10 (x - 3) " = 1 10

Treći izvod neće nestati ni za jednu vrijednost x. Stoga možemo zaključiti da će ova tačka biti tačka pregiba grafa funkcije.

odgovor: Pokažimo rješenje na ilustraciji:

Pretpostavimo da je f "(x 0) = 0, f "" (x 0) = 0, ..., f (n) (x 0) = 0 i f (n + 1) (x 0) ≠ 0 U ovom slučaju, za parno n, dobijamo da je x 0 apscisa prevojne tačke grafika y = f (x).

Primjer 6

Stanje: s obzirom na funkciju y = (x - 3) 5 + 1. Izračunajte prevojne tačke njegovog grafa.

Rješenje

Ova funkcija je definirana na cijelom skupu realnih brojeva. Izračunavamo derivaciju: y " = ((x - 3) 5 + 1) " = 5 x - 3 4 . Budući da će također biti definiran za sve realne vrijednosti argumenta, ne-vertikalna tangenta će postojati u bilo kojoj tački njegovog grafa.

Sada izračunajmo pri kojim vrijednostima će se drugi izvod pretvoriti u 0:

y "" = 5 · (x - 3) 4 " = 20 · x - 3 3 y "" = 0 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3

Otkrili smo da pri x = 3 graf funkcije može imati prevojnu tačku. Koristimo treći uslov da to potvrdimo:

y " " " = 20 · (x - 3) 3 " = 60 · x - 3 2 , y " " " (3) = 60 · 3 - 3 2 = 0 y (4) = 60 · (x - 3) 2 " = 120 · (x - 3) , y (4) (3) = 120 · (3 - 3) = 0 y (5) = 120 · (x - 3) " = 120 , y (5) (3 ) = 120 ≠ 0

Imamo n = 4 po trećem dovoljnom uslovu. Ovo čak broj, što znači da će x = 3 biti apscisa prevojne tačke i tačka grafa funkcije (3; 1) joj odgovara.

odgovor: Evo grafikona ove funkcije sa označenim konveksnostima, udubljenjima i pregibnom tačkom:

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Pomoću online kalkulatora možete pronaći pregibne tačke i intervali konveksnosti grafa funkcije sa dizajnom rješenja u Wordu. Da li je funkcija dvije varijable f(x1,x2) konveksna odlučuje se pomoću Hessian matrice.

y =

Pravila za unos funkcija:

Smjer konveksnosti grafa funkcije. Pregibne tačke

Definicija: Kriva y=f(x) naziva se konveksna prema dolje u intervalu (a; b) ako leži iznad tangente u bilo kojoj tački ovog intervala.

Definicija: Kaže se da je kriva y=f(x) konveksna prema gore u intervalu (a; b) ako leži ispod tangente u bilo kojoj tački ovog intervala.

Definicija: Intervali u kojima je graf funkcije konveksan prema gore ili prema dolje nazivaju se intervali konveksnosti grafa funkcije.

Konveksnost prema dolje ili prema gore krivulje koja je graf funkcije y=f(x) karakterizira predznak njenog drugog izvoda: ako je u određenom intervalu f''(x) > 0, tada je kriva konveksna naniže na ovom intervalu; ako je f''(x)< 0, то кривая выпукла вверх на этом промежутке.

Definicija: Tačka na grafu funkcije y=f(x) koja razdvaja intervale konveksnosti suprotnih pravaca ovog grafa naziva se tačka pregiba.

Samo kritične tačke druge vrste mogu poslužiti kao prevojne tačke, tj. tačke koje pripadaju domeni definicije funkcije y = f(x) u kojoj drugi izvod f’’(x) nestaje ili ima diskontinuitet.

Pravilo za pronalaženje prevojnih tačaka u grafu funkcije y = f(x)

1. Pronađite drugi izvod f’’(x) .
2. Naći kritične tačke druge vrste funkcije y=f(x), tj. tačka u kojoj f''(x) nestaje ili doživljava diskontinuitet.
3. Istražiti predznak drugog izvoda f’’(x) u intervalu na koji pronađene kritične tačke dijele područje definicije funkcije f(x). Ako kritična tačka x 0 odvaja intervale konveksnosti suprotnih pravaca, tada je x 0 apscisa tačke pregiba grafa funkcije.
4. Izračunajte vrijednosti funkcije na tačkama pregiba.

Primjer 1. Nađite intervale konveksnosti i prevojne tačke sledeće krive: f(x) = 6x 2 –x 3.
Rješenje: Naći f ‘(x) = 12x – 3x 2 , f ‘’(x) = 12 – 6x.
Nađimo kritične tačke drugog izvoda rješavanjem jednačine 12-6x=0. x=2 .


f(2) = 6*2 2 – 2 3 = 16
Odgovor: Funkcija je konveksna prema gore za x∈(2; +∞) ; funkcija je konveksna prema dolje na x∈(-∞; 2) ; tačka pregiba (2;16) .

Primjer 2. Ima li funkcija točke pregiba: f(x)=x 3 -6x 2 +2x-1

Primjer 3. Pronađite intervale u kojima je graf funkcije konveksan i zakrivljen: f(x)=x 3 -6x 2 +12x+4