Dom / Tamne mrlje/ Najjednostavnije eksponencijalne jednadžbe, primjeri rješenja. Rješavanje eksponencijalnih jednačina. Primjeri

Najjednostavnije eksponencijalne jednadžbe, primjeri rješenja. Rješavanje eksponencijalnih jednačina. Primjeri

primjeri:

$4^x=32$
$5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8$
$(\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0$

Kako riješiti eksponencijalne jednadžbe

Prilikom rješavanja bilo koje eksponencijalne jednadžbe nastojimo da je dovedemo u oblik $a^(f(x))=a^(g(x))$, a zatim izvršimo prijelaz na jednakost eksponenata, odnosno:

$a^(f(x))=a^(g(x))$ $⇔$ $f(x)=g(x)$

Na primjer:$2^(x+1)=2^2$ $⇔$ $x+1=2$

Bitan! Iz iste logike, slijede dva zahtjeva za takvu tranziciju:
- broj u lijevo i desno trebaju biti iste;
- stepeni sa leve i desne strane moraju biti "čisti", odnosno ne bi trebalo biti množenja, dijeljenja itd.

Na primjer:

Da bi se jednačina svela na oblik $a^(f(x))=a^(g(x))$ koriste se i.

Primjer . Riješite eksponencijalnu jednačinu $\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)$
Rješenje:

$\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)$

Znamo da je $27 = 3^3$. Uzimajući to u obzir, transformiramo jednačinu.

$\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)$

Svojstvom korijena $\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))$ dobijamo da je $\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))$. Zatim, koristeći svojstvo stepena $(a^b)^c=a^(bc)$, dobijamo $((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))$.

$3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)$

Također znamo da je $a^b·a^c=a^(b+c)$. Primjenjujući ovo na lijevu stranu, dobijamo: $3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)$.

$3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)$

Sada zapamtite to: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$. Ova formula se takođe može koristiti u poleđina: $\frac(1)(a^n) =a^(-n)$. Tada je $\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)$.

$3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)$

Primjenjujući svojstvo $(a^b)^c=a^(bc)$ na desnu stranu, dobijamo: $(3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)$.

$3^(x+0,5)=3^(-2x)$

A sada su nam baze jednake i nema interferentnih koeficijenata itd. Tako da možemo napraviti tranziciju.

Primjer . Riješite eksponencijalnu jednačinu $4^(x+0,5)-5 2^x+2=0$
Rješenje:

$4^(x+0,5)-5 2^x+2=0$		Ponovo koristimo svojstvo snage $a^b \cdot a^c=a^(b+c)$ u suprotnom smjeru.
$4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0$		Sada zapamtite da je $4=2^2$.
$(2^2)^x·(2^2)^(0.5)-5·2^x+2=0$		Koristeći svojstva stupnjeva, transformiramo: $(2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2$ $(2^2)^(0.5)=2^(2 0.5)=2^1=2.$
$2·(2^x)^2-5·2^x+2=0$		Pažljivo gledamo jednačinu i vidimo da se zamjena $t=2^x$ nameće sama od sebe.

$t_1=2$ $t_2=\frac(1)(2)$		Međutim, pronašli smo vrijednosti $t$, i treba nam $x$. Vraćamo se na X, praveći obrnutu zamjenu.
$2^x=2$ $2^x=\frac(1)(2)$		Transformirajmo drugu jednačinu koristeći svojstvo negativne snage...
$2^x=2^1$ $2^x=2^(-1)$		...i odlučujemo do odgovora.
$x_1=1$ $x_2=-1$

Odgovori : $-1; 1$.

Ostaje pitanje - kako razumjeti kada koristiti koju metodu? Ovo dolazi sa iskustvom. Dok ga ne dobijete, koristite ga opšta preporuka za rješavanje složenih problema - "ako ne znaš šta da radiš, uradi ono što možeš." Odnosno, potražite kako možete transformisati jednačinu u principu i pokušajte to učiniti - šta ako se dogodi? Glavna stvar je napraviti samo matematički zasnovane transformacije.

Eksponencijalne jednadžbe bez rješenja

Pogledajmo još dvije situacije koje često zbunjuju učenike:
- pozitivan broj na stepen je jednak nuli, na primjer, $2^x=0$;
- pozitivan broj je jednak stepenu negativnog broja, na primjer, $2^x=-4$.

Pokušajmo riješiti grubom silom. Ako je x pozitivan broj, onda kako x raste, cjelokupna snaga $2^x$ samo će se povećavati:

$x=1$; $2^1=2$
$x=2$; $2^2=4$
$x=3$; $2^3=8$.

$x=0$; $2^0=1$

Takođe od strane. Negativni X-ovi ostaju. Sjećajući se svojstva $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$, provjeravamo:

$x=-1$; $2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)$
$x=-2$; $2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)$
$x=-3$; $2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)$

Uprkos činjenici da se broj svakim korakom smanjuje, nikada neće dostići nulu. Dakle, negativan stepen nas nije spasio. Dolazimo do logičnog zaključka:

Pozitivan broj u bilo kom stepenu će ostati pozitivan broj.

Dakle, obje gornje jednačine nemaju rješenja.

Eksponencijalne jednadžbe s različitim bazama

U praksi se ponekad susrećemo s eksponencijalnim jednadžbama s različitim bazama koje nisu svodive jedna na drugu, a istovremeno sa istim eksponentima. Oni izgledaju ovako: $a^(f(x))=b^(f(x))$, gdje su $a$ i $b$ pozitivni brojevi.

Na primjer:

$7^(x)=11^(x)$
$5^(x+2)=3^(x+2)$
$15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)$

Takve jednadžbe se lako mogu riješiti dijeljenjem s bilo kojom stranom jednačine (obično podijeljenom desnom stranom, odnosno sa $b^(f(x))$. Možete podijeliti na ovaj način jer je pozitivan broj je pozitivan na bilo koji stepen (tj. ne dijelimo sa nulom) Dobijamo:

$\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))$ $=1$

Primjer . Riješite eksponencijalnu jednačinu $5^(x+7)=3^(x+7)$
Rješenje:

$5^(x+7)=3^(x+7)$		Ovdje nećemo moći pretvoriti peticu u trojku, ili obrnuto (barem bez korištenja ). To znači da ne možemo doći do oblika $a^(f(x))=a^(g(x))$. Međutim, pokazatelji su isti. Podijelimo jednačinu desnom stranom, odnosno sa $3^(x+7)$ (to možemo učiniti jer znamo da tri neće biti nula ni u kom stepenu).
$\frac(5^(x+7))(3^(x+7))$ $=$$\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )$		Sada zapamtite svojstvo $(\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)$ i koristite ga s lijeve strane u suprotnom smjeru. S desne strane jednostavno smanjujemo razlomak.
$(\frac(5)(3))^(x+7)$ $=1$		Činilo se da stvari nisu krenule na bolje. Ali zapamtite još jedno svojstvo snage: $a^0=1$, drugim riječima: "bilo koji broj na nultom stepenu jednak je $1$." Obratno je također istinito: "jedan se može predstaviti kao bilo koji broj na nultu potenciju." Iskoristimo ovo tako što ćemo napraviti bazu na desnoj strani kao i na lijevoj.
$(\frac(5)(3))^(x+7)$ $=$ $(\frac(5)(3))^0$		Voila! Otarasimo se baza.
		Pišemo odgovor.

Odgovori : $-7$.

Ponekad “istost” eksponenata nije očigledna, ali vješto korištenje svojstava eksponenata rješava ovaj problem.

Primjer . Riješite eksponencijalnu jednačinu $7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)$
Rješenje:

$7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)$		Jednačina izgleda veoma tužno... Ne samo da se baze ne mogu svesti na isti broj (sedam ni na koji način neće biti jednako $\frac(1)(3)$), već su i eksponenti različiti. .. Međutim, upotrijebimo lijevu eksponentnu dvojku.
$7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)$		Sjećajući se svojstva $(a^b)^c=a^(b·c)$ , transformiramo s lijeve strane: $7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)$.
$49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)$		Sada, prisjećajući se svojstva negativnog stepena $a^(-n)=\frac(1)(a)^n$, transformiramo s desna: $(\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)$
$49^(x-2)=3^(x-2)$		Aleluja! Indikatori su isti! Djelujući prema shemi koja nam je već poznata, rješavamo prije odgovora.

Odgovori : $2$.

Šta je eksponencijalna jednačina? Primjeri.

Dakle, eksponencijalna jednačina... Novi jedinstveni eksponat na našoj općoj izložbi širokog spektra jednačina!) Kao što je gotovo uvijek slučaj, ključna riječ svakog novog matematičkog pojma je odgovarajući pridjev koji ga karakterizira. Tako je ovdje. Ključna riječ u terminu “eksponencijalna jednačina” je riječ "indikativno". Šta to znači? Ova riječ znači da se nalazi nepoznata (x). u smislu bilo kog stepena. I samo tamo! Ovo je izuzetno važno.

Na primjer, ove jednostavne jednadžbe:

3 x +1 = 81

5 x + 5 x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

Ili čak ova čudovišta:

2 sin x = 0,5

Odmah obratite pažnju na jednu važnu stvar: razlozi stepeni (dole) – samo brojevi. Ali unutra indikatori stepeni (iznad) - širok izbor izraza sa X. Apsolutno bilo koji.) Sve zavisi od specifične jednačine. Ako se odjednom pojavi x negdje drugdje u jednadžbi, pored indikatora (recimo, 3 x = 18 + x 2), onda će takva jednadžba već biti jednačina mješoviti tip . Takve jednačine nemaju jasna pravila za njihovo rješavanje. Stoga ih nećemo razmatrati u ovoj lekciji. Na radost učenika.) Ovdje ćemo razmatrati samo eksponencijalne jednačine u njihovom „čistom“ obliku.

Uopšteno govoreći, ne mogu se jasno riješiti sve, pa čak ni čiste eksponencijalne jednačine. Ali među svom bogatom raznolikošću eksponencijalnih jednačina, postoje određene vrste koje se mogu i trebaju riješiti. Upravo ove vrste jednačina ćemo razmotriti. I sigurno ćemo riješiti primjere.) Pa da se smjestimo i idemo! Kao iu kompjuterskim pucačinama, naše putovanje će se odvijati kroz nivoe.) Od osnovnog do jednostavnog, od jednostavnog do srednjeg i od srednjeg do složenog. Na putu će vas čekati i tajni nivo - tehnike i metode rješavanja nestandardnih primjera. One o kojima nećete čitati u većini školskih udžbenika... Pa, i na kraju, naravno, čeka vas konačni šef u vidu domaće zadaće.)

Nivo 0. Koja je najjednostavnija eksponencijalna jednačina? Rješavanje jednostavnih eksponencijalnih jednadžbi.

Prvo, pogledajmo neke iskrene elementarne stvari. Negdje morate početi, zar ne? Na primjer, ova jednadžba:

2 x = 2 2

Čak i bez ikakvih teorija, po jednostavnoj logici i zdrav razum Jasno je da je x = 2. Ne postoji drugi način, zar ne? Nijedno drugo značenje X nije prikladno... A sada da skrenemo pažnju na zapisnik odluke ova cool eksponencijalna jednadžba:

2 x = 2 2

X = 2

Šta nam se desilo? I dogodilo se sljedeće. Mi smo ga zapravo uzeli i... jednostavno izbacili iste baze (dvojke)! Potpuno izbačen. I, dobra vijest je da smo pogodili!

Da, zaista, ako u eksponencijalnoj jednačini postoje lijevo i desno isto brojeva u bilo kojem stepenu, onda se ti brojevi mogu odbaciti i jednostavno izjednačiti eksponente. Matematika dozvoljava.) I onda možete odvojeno raditi s indikatorima i riješiti mnogo jednostavniju jednačinu. Odlično, zar ne?

Evo ključne ideje za rješavanje bilo koje (da, baš bilo koje!) eksponencijalne jednačine: koristeći identične transformacije, potrebno je osigurati da lijeva i desna strana jednačine budu isto bazni brojevi u raznim stepenima. I tada možete sigurno ukloniti iste baze i izjednačiti eksponente. I radite s jednostavnijom jednadžbom.

Sada se prisjetimo željeznog pravila: moguće je ukloniti identične baze ako i samo ako brojevi s lijeve i desne strane jednačine imaju osnovne brojeve u ponosnoj samoći.

Šta to znači, u sjajnoj izolaciji? To znači bez ikakvih susjeda i koeficijenata. Dopusti mi da objasnim.

Na primjer, u jednadžbi

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Trojke se ne mogu ukloniti! Zašto? Jer na lijevoj strani imamo ne samo usamljenu trojku do stepena, već rad 3·3 x-5 . Dodatna tri ometaju: koeficijent, razumiješ.)

Isto se može reći i za jednačinu

5 3 x = 5 2 x +5 x

I ovdje su sve baze iste - pet. Ali na desnoj strani nemamo ni jedan stepen petice: postoji zbir moći!

Ukratko, imamo pravo ukloniti identične baze samo kada naša eksponencijalna jednačina izgleda ovako i samo ovako:

af (x) = a g (x)

Ova vrsta eksponencijalne jednadžbe se naziva najjednostavniji. Ili, naučno, kanonski . I bez obzira kakvu zamršenu jednačinu imamo pred sobom, mi ćemo je, na ovaj ili onaj način, svesti upravo na ovaj najjednostavniji (kanonski) oblik. Ili, u nekim slučajevima, da totalitet jednačine ovog tipa. Tada se naša najjednostavnija jednačina može zapisati kao opšti pogled prepiši to ovako:

F(x) = g(x)

To je sve. Ovo bi bila ekvivalentna konverzija. U ovom slučaju, f(x) i g(x) mogu biti apsolutno bilo koji izrazi sa x. Kako god.

Možda će se posebno radoznali učenik zapitati: zašto, pobogu, tako lako i jednostavno odbacujemo iste osnove s lijeve i desne strane i izjednačavamo eksponente? Intuicija je intuicija, ali šta ako se u nekoj jednadžbi i iz nekog razloga ovaj pristup pokaže netačnim? Da li je uvijek legalno izbaciti iste osnove? Nažalost, zbog rigoroznog matematičkog odgovora na ovo interes Pitajte morate zaroniti prilično duboko i ozbiljno opšta teorija ponašanje uređaja i funkcije. I malo konkretnije - u fenomenu stroga monotonija. Konkretno, stroga monotonija eksponencijalna funkcijay= sjekira. Budući da je eksponencijalna funkcija i njena svojstva koja su u osnovi rješenja eksponencijalnih jednačina, da.) Detaljan odgovor na ovo pitanje bit će dat u posebnoj posebnoj lekciji posvećenoj rješavanju složenih nestandardnih jednačina korištenjem monotonosti različitih funkcija.)

Objašnjavanje ove tačke u detalje sada bi samo oduvalo umove prosječnog učenika i preplašilo ga prije vremena suhoparnom i teškom teorijom. Neću to učiniti.) Jer naš glavni ovog trenutka zadatak - naučite rješavati eksponencijalne jednačine! Najjednostavniji! Stoga, nemojmo još brinuti i hrabro izbacimo iste razloge. Ovo Može, vjerujte mi na riječ!) I tada rješavamo ekvivalentnu jednačinu f(x) = g(x). U pravilu, jednostavniji od originalnog eksponencijala.

Pretpostavlja se, naravno, da u ovom trenutku ljudi već znaju riješiti barem , i jednadžbe, bez x u eksponentima.) Za one koji još ne znaju kako, slobodno zatvorite ovu stranicu, pratite relevantne linkove i popuniti stare praznine. U suprotnom, biće vam teško, da...

Ne govorim o iracionalnim, trigonometrijskim i drugim brutalnim jednačinama koje također mogu nastati u procesu eliminacije temelja. Ali nemojte biti uznemireni, za sada nećemo razmatrati potpunu okrutnost u smislu stepeni: prerano je. Treniraćemo samo na najviše jednostavne jednačine.)

Pogledajmo sada jednadžbe koje zahtijevaju dodatni napor da ih svedemo na najjednostavnije. Radi razlikovanja, nazovimo ih jednostavne eksponencijalne jednadžbe. Dakle, idemo na sljedeći nivo!

Nivo 1. Jednostavne eksponencijalne jednadžbe. Prepoznajmo diplome! Prirodni pokazatelji.

Ključna pravila u rješavanju eksponencijalnih jednačina su pravila za postupanje sa diplomama. Bez ovog znanja i vještina ništa neće raditi. Avaj. Dakle, ako ima problema sa diplomama, onda ste prvo dobrodošli. Osim toga, trebat će nam i . Ove transformacije (njih dvije!) su osnova za rješavanje svih matematičkih jednačina općenito. I ne samo demonstrativne. Dakle, ko je zaboravio, pogledajte i link: ne stavljam ih samo tamo.

Ali same operacije s moćima i transformacije identiteta nisu dovoljne. Lična opservacija i domišljatost su takođe potrebni. Trebaju nam isti razlozi, zar ne? Stoga ispitujemo primjer i tražimo ih u eksplicitnom ili prikrivenom obliku!

Na primjer, ova jednadžba:

3 2 x – 27 x +2 = 0

Prvi pogled na osnove. Oni su drugačiji! Tri i dvadeset sedam. Ali prerano je za paniku i očaj. Vreme je da se toga setimo

27 = 3 3

Brojevi 3 i 27 su rođaci po stepenu! I bliski.) Stoga, imamo pravo da napišemo:

27 x +2 = (3 3) x+2

Sada povežimo naše znanje o akcije sa stepenom(i upozorio sam te!). Postoji vrlo korisna formula:

(a m) n = a mn

Ako ga sada sprovedete u djelo, funkcionira odlično:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

Originalni primjer sada izgleda ovako:

3 2 x – 3 3 (x +2) = 0

Odlično, osnove stepeni su se izravnale. To smo hteli. Pola bitke je gotovo.) Sada pokrećemo osnovnu transformaciju identiteta - pomaknite 3 3(x +2) udesno. Niko nije otkazao elementarne operacije matematike, da.) Dobijamo:

3 2 x = 3 3 (x +2)

Šta nam ova vrsta jednačine daje? I činjenica da je sada naša jednadžba redukovana kanonskom obliku: lijevo i desno se nalaze isti brojevi (trojke) u stepenu. Štaviše, oba tri su u sjajnoj izolaciji. Slobodno uklonite trojke i dobijete:

2x = 3(x+2)

Rešavamo ovo i dobijamo:

X = -6

To je to. Ovo je tačan odgovor.)

Sada razmislimo o rješenju. Šta nas je spasilo u ovom primjeru? Spasilo nas je znanje o moćima troje. Kako tačno? Mi identifikovan broj 27 sadrži šifrovanu trojku! Ovaj trik (šifriranje iste baze pod različiti brojevi) je jedan od najpopularnijih u eksponencijalnim jednačinama! Osim ako nije najpopularniji. Da, i na isti način, usput. Zbog toga su promatranje i sposobnost prepoznavanja potencija drugih brojeva u brojevima toliko važni u eksponencijalnim jednačinama!

Praktični savjeti:

Morate znati moći popularnih brojeva. U lice!

Naravno, svako može podići dva na sedmi stepen ili tri na peti stepen. Ne u mislima, ali barem u nacrtu. Ali u eksponencijalnim jednačinama mnogo češće nije potrebno dizati na stepen, već, naprotiv, saznati koji se broj i na koji stepen krije iza broja, recimo, 128 ili 243. A ovo je još složenije nego jednostavno podizanje, složićete se. Osjetite razliku, kako kažu!

Budući da će sposobnost lično priznavanja diploma biti korisna ne samo na ovom nivou, već i na sljedećim, evo malog zadatka za vas:

Odredi koje su snage i koji su brojevi brojevi:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Odgovori (nasumično, naravno):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Da da! Nemojte se iznenaditi da ima više odgovora nego zadataka. Na primjer, 2 8, 4 4 i 16 2 su sve 256.

Nivo 2. Jednostavne eksponencijalne jednadžbe. Prepoznajmo diplome! Negativni i frakcioni indikatori.

Na ovom nivou već u potpunosti koristimo naše znanje o stepenu. Naime, u ovaj fascinantan proces uključujemo negativne i frakcijske indikatore! Da da! Moramo povećati svoju moć, zar ne?

Na primjer, ova strašna jednadžba:

Opet, prvi pogled je na temelje. Razlozi su različiti! I ovoga puta nisu ni približno slični jedno drugom! 5 i 0,04... A za eliminaciju baza su potrebne iste... Šta da se radi?

Uredu je! Zapravo, sve je isto, samo je veza između petice i 0,04 vizuelno slabo vidljiva. Kako možemo izaći? Pređimo na broj 0,04 kao običan razlomak! A onda će, vidite, sve ispasti.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Vau! Ispostavilo se da je 0,04 1/25! Pa ko bi pomislio!)

Pa kako? Da li je sada lakše vidjeti vezu između brojeva 5 i 1/25? To je to...

A sada prema pravilima radnji sa diplomama sa negativan indikator Možete pisati mirnom rukom:

To je sjajno. Tako smo stigli do iste baze - pet. Sada zamjenjujemo nezgodan broj 0.04 u jednadžbi sa 5 -2 i dobijamo:

Opet, prema pravilima operacija sa stepenima, sada možemo napisati:

(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)

Za svaki slučaj, podsjećam (ako neko ne zna) da osnovna pravila za postupanje sa diplomama vrijede za bilo koji indikatori! Uključujući i negativne.) Dakle, slobodno uzmite i pomnožite indikatore (-2) i (x-1) prema odgovarajućem pravilu. Naša jednačina postaje sve bolja i bolja:

Sve! Osim usamljenih petica, nema ničeg drugog u moćima s lijeve i desne strane. Jednačina je svedena na kanonski oblik. A onda - uz nazubljenu stazu. Uklanjamo petice i izjednačavamo indikatore:

x 2 –6 x+5=-2(x-1)

Primjer je skoro riješen. Ostala je samo matematika osnovne škole - otvorite (ispravno!) zagrade i sakupite sve što je lijevo:

x 2 –6 x+5 = -2 x+2

x 2 –4 x+3 = 0

Riješimo ovo i dobijemo dva korijena:

x 1 = 1; x 2 = 3

To je sve.)

Hajde da razmislimo ponovo. U ovom primjeru, opet smo morali prepoznati isti broj u različitim stepenima! Naime, vidjeti šifriranu peticu u broju 0,04. I ovaj put - u negativan stepen! Kako smo to uradili? Odmah - nema šanse. Ali nakon prelaska sa decimalnog razlomka 0,04 na obični razlomak 1/25, sve je postalo jasno! A onda je cijela odluka prošla kao po satu.)

Stoga, još jedan zeleni praktični savjet.

Ako eksponencijalna jednadžba sadrži decimalne razlomke, krećemo od decimale na obične. IN obične frakcije Mnogo je lakše prepoznati moći mnogih popularnih brojeva! Nakon prepoznavanja prelazimo sa razlomaka na stepene s negativnim eksponentima.

Imajte na umu da se ovaj trik javlja vrlo, vrlo često u eksponencijalnim jednačinama! Ali osoba nije u temi. Gleda, na primjer, brojeve 32 i 0,125 i uznemiri se. Ne znajući, ovo je jedno te isto dvoje, samo u različitim stepenima... Ali ti već znaš!)

Riješite jednačinu:

In! Izgleda kao tihi horor... Međutim, izgled vara. Ovo je najjednostavnija eksponencijalna jednačina, uprkos zastrašujućoj izgled. A sada ću vam to pokazati.)

Prvo, pogledajmo sve brojeve u bazama i koeficijentima. Oni su, naravno, različiti, da. Ali ipak ćemo riskirati i pokušati ih ostvariti identičan! Hajde da pokušamo da dođemo do toga isti broj u različitim stepenima. Štaviše, poželjno je da brojevi budu što manji. Dakle, počnimo s dekodiranjem!

Pa, sa četvorkom sve je odmah jasno - to je 2 2. Dobro, to je već nešto.)

Sa frakcijom od 0,25 - još uvijek je nejasno. Treba provjeriti. Koristimo se praktičnim savjetima - prijeđite s decimalnog razlomka na obični razlomak:

0,25 = 25/100 = 1/4

Već mnogo bolje. Jer sada je jasno vidljivo da je 1/4 2 -2. Odlično, a broj 0,25 je također sličan dva.)

Zasada je dobro. Ali najgori broj od svih ostaje - kvadratni korijen od dva!Šta raditi sa ovom paprikom? Može li se i ona predstaviti kao stepen dvojke? I ko zna...

Pa, zaronimo ponovo u našu riznicu znanja o diplomama! Ovog puta dodatno povezujemo svoja znanja o korenima. Od kursa 9. razreda, ti i ja smo trebali naučiti da se svaki korijen, ako se želi, uvijek može pretvoriti u diplomu sa frakcionim indikatorom.

Volim ovo:

u našem slučaju:

Vau! Ispada da je kvadratni korijen od dva 2 1/2. To je to!

To je u redu! Svi naši nezgodni brojevi su se zapravo ispostavili kao šifrovana dva.) Ne raspravljam, negdje vrlo sofisticirano šifrirano. Ali mi također poboljšavamo našu profesionalnost u rješavanju takvih šifri! I tada je sve već očigledno. U našoj jednadžbi zamjenjujemo brojeve 4, 0,25 i korijen dva stepenom dvojke:

Sve! Osnove svih stupnjeva u primjeru su postale iste - dva. A sada se koriste standardne akcije sa stupnjevima:

a ma n = a m + n

a m:a n = a m-n

(a m) n = a mn

Za lijevu stranu dobijate:

2 -2 ·(2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

Za desnu stranu to će biti:

A sada naša zla jednačina izgleda ovako:

Za one koji nisu shvatili kako je tačno nastala ova jednadžba, onda ovdje nije pitanje o eksponencijalnim jednačinama. Pitanje je o akcijama sa stepenom. Zamolio sam vas da to hitno ponovite onima koji imaju problema!

Evo cilja! Dobijen je kanonski oblik eksponencijalne jednadžbe! Pa kako? Jesam li te uvjerio da nije sve tako strašno? ;) Uklanjamo dvojke i izjednačavamo indikatore:

Ostaje samo riješiti ovu linearnu jednačinu. Kako? Uz pomoć identičnih transformacija, naravno.) Odlučite što se događa! Pomnožite obe strane sa dva (da biste uklonili razlomak 3/2), pomerite članove sa X ulevo, bez X udesno, donesite slične, brojite - i bićete srećni!

Sve bi trebalo da ispadne prelepo:

X=4

Sada ponovo razmislimo o rješenju. U ovom primjeru pomogao nam je prijelaz iz kvadratni korijen To stepen sa eksponentom 1/2. Štaviše, samo takva lukava transformacija nam je pomogla da stignemo do iste baze (dvije) svuda, što je spasilo situaciju! I, da nije tako, onda bismo imali sve šanse da se zauvek smrznemo i da se nikada ne nosimo sa ovim primerom, da...

Stoga ne zanemarujemo sljedeće praktične savjete:

Ako eksponencijalna jednadžba sadrži korijene, prelazimo s korijena na stepene s razlomačnim eksponentima. Vrlo često samo takva transformacija pojašnjava dalju situaciju.

Naravno, negativne i razlomke su mnogo složenije prirodni stepeni. Barem sa stanovišta vizualne percepcije i, posebno, prepoznavanja s desna na lijevo!

Jasno je da direktno povećanje, na primjer, dva na stepen -3 ili četiri na stepen -3/2 nije tako veliki problem. Za one koji znaju.)

Ali idi, na primjer, odmah to shvati

0,125 = 2 -3

Ovdje vlada samo praksa i bogato iskustvo, da. I, naravno, jasna ideja, Šta je negativan i razlomak stepen? i - praktični saveti! Da, da, te iste zeleno.) Nadam se da će vam ipak pomoći da se bolje snalazite u čitavom raznolikom nizu diploma i značajno povećati vaše šanse za uspjeh! Zato ih nemojmo zanemariti. Nisam uzalud zeleno Ponekad pišem.)

Ali ako se upoznate čak i sa takvim egzotičnim moćima kao što su negativne i razlomke, tada će se vaše sposobnosti u rješavanju eksponencijalnih jednadžbi enormno proširiti i moći ćete rukovati gotovo svim vrstama eksponencijalnih jednadžbi. Pa, ako ne bilo koja, onda 80 posto svih eksponencijalnih jednačina - sigurno! Da, da, ne šalim se!

Dakle, naš prvi dio našeg uvoda u eksponencijalne jednadžbe došao je do svog logičnog zaključka. I, kao srednju vježbu, tradicionalno predlažem malo samorefleksije.)

Vježba 1.

Tako da moje riječi o dešifriranju negativnih i razlomke nije uzalud, predlažem da igrate mala igra!

Izrazite brojeve kao stepen dvojke:

Odgovori (u neredu):

Desilo se? Odlično! Zatim radimo borbenu misiju - rješavamo najjednostavnije i najjednostavnije eksponencijalne jednadžbe!

Zadatak 2.

Riješite jednačine (svi odgovori su nered!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16 x+3 = 0

odgovori:

x = 16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

Desilo se? Zaista, mnogo je jednostavnije!

Zatim rješavamo sljedeću igru:

(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4

35 1-x = 0,2 - x ·7 x

odgovori:

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

I ovi primjeri su ostali? Odlično! Vi rastete! Zatim evo još nekoliko primjera za grickanje:

odgovori:

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x 1 = 1; x 2 = 8/3

I da li je ovo odlučeno? Pa, postovanje! Skidam kapu.) Dakle, lekcija nije bila uzaludna, i Prvi nivo rješavanje eksponencijalnih jednačina može se smatrati uspješno savladanim. Sledeći nivoi i složenije jednadžbe su pred nama! I nove tehnike i pristupi. I nestandardni primjeri. I nova iznenađenja.) Sve ovo u sledećoj lekciji!

Je li nešto pošlo po zlu? To znači da su najvjerovatnije problemi u . Ili u . Ili oboje odjednom. Ovde sam nemoćan. mogu unutra Ponovo Mogu predložiti samo jedno - ne budite lijeni i pratite linkove.)

Nastavlja se.)

Ova lekcija je namenjena onima koji tek počinju da uče eksponencijalne jednačine. Kao i uvijek, počnimo s definicijom i jednostavnim primjerima.

Ako čitate ovu lekciju, onda pretpostavljam da već imate barem minimalno razumijevanje najjednostavnijih jednačina - linearnih i kvadratnih: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$, itd. Sposobnost rješavanja ovakvih konstrukcija je apsolutno neophodna kako se ne bi „zaglavili“ u temi o kojoj će se sada raspravljati.

Dakle, eksponencijalne jednadžbe. Dozvolite mi da vam dam par primjera:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Neki od njih vam mogu izgledati složeniji, dok su drugi, naprotiv, previše jednostavni. Ali svi imaju jednu zajedničku stvar važan znak: njihova notacija sadrži eksponencijalnu funkciju $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Dakle, hajde da uvedemo definiciju:

Eksponencijalna jednačina je svaka jednačina koja sadrži eksponencijalnu funkciju, tj. izraz oblika $((a)^(x))$. Osim naznačene funkcije, takve jednadžbe mogu sadržavati bilo koje druge algebarske konstrukcije - polinome, korijene, trigonometriju, logaritme itd.

Uredu onda. Sredili smo definiciju. Sada se postavlja pitanje: kako riješiti svo ovo sranje? Odgovor je i jednostavan i složen.

Počnimo s dobrim vijestima: iz mog iskustva podučavanja mnogih učenika, mogu reći da većina njih mnogo lakše pronalazi eksponencijalne jednačine nego iste logaritme, a još više trigonometriju.

Ali ima loših vijesti: ponekad pisce zadataka za sve vrste udžbenika i ispita pogodi "inspiracija", a njihov mozak napaljen drogom počinje proizvoditi tako brutalne jednačine da njihovo rješavanje postaje problematično ne samo za studente - čak i za mnoge nastavnike zaglavite na takvim problemima.

Međutim, da ne pričamo o tužnim stvarima. I vratimo se na one tri jednačine koje su date na samom početku priče. Pokušajmo riješiti svaki od njih.

Prva jednadžba: $((2)^(x))=4$. Pa, na koji stepen morate podići broj 2 da biste dobili broj 4? Verovatno drugi? Uostalom, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - i dobili smo tačnu numeričku jednakost, tj. zaista $x=2$. Pa, hvala, Cap, ali ova jednačina je bila toliko jednostavna da je čak i moja mačka mogla da je riješi. :)

Pogledajmo sljedeću jednačinu:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Ali ovdje je sve malo komplikovanije. Mnogi učenici znaju da je $((5)^(2))=25$ tablica množenja. Neki također sumnjaju da je $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ u suštini definicija negativnih snaga (slično formuli $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Konačno, samo nekolicina odabranih shvata da se ove činjenice mogu kombinovati i daju sledeći rezultat:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Dakle, naša originalna jednačina će biti prepisana na sljedeći način:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Strelica desno ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Ali ovo je već potpuno rješivo! S lijeve strane u jednadžbi je eksponencijalna funkcija, s desne strane u jednadžbi je eksponencijalna funkcija, nigdje osim njih nema ničega drugog. Stoga možemo "odbaciti" baze i glupo izjednačiti indikatore:

Dobili smo najjednostavniju linearnu jednačinu koju svaki učenik može riješiti u samo nekoliko redova. U redu, u četiri reda:

\[\početak(poravnati)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(poravnati)\]

Ako ne razumijete šta se dešavalo u zadnja četiri reda, svakako se vratite na temu “ linearne jednačine“i ponovi. Jer bez jasnog razumijevanja ove teme, prerano je da se bavite eksponencijalnim jednadžbama.

\[((9)^(x))=-3\]

Pa kako to možemo riješiti? Prva pomisao: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, tako da se originalna jednačina može prepisati na sljedeći način:

\[((\levo(((3)^(2)) \desno))^(x))=-3\]

Zatim se prisjetimo da se pri podizanju stepena na stepen eksponenti množe:

\[((\left((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Strelica desno ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\početak(poravnati)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(poravnati)\]

A za takvu odluku dobićemo pošteno zasluženu dvojku. Jer, sa smirenošću Pokemona, poslali smo znak minus ispred trojke na snagu ove trojice. Ali to ne možete učiniti. I zato. Pogledajte različite moći troje:

\[\begin(matrica) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrica)\]

Kada sam sastavljao ovu tabletu, nisam ništa izopačio: gledao sam pozitivne snage, i negativne, pa čak i razlomke... pa, gdje je ovdje barem jedan negativan broj? Otišao je! A ne može biti, jer eksponencijalna funkcija $y=((a)^(x))$, prvo, uvijek uzima samo pozitivne vrijednosti(bez obzira koliko pomnožite jedan ili podijelite sa dva, to će i dalje biti pozitivan broj), a drugo, baza takve funkcije - broj $a$ - je po definiciji pozitivan broj!

Pa, kako onda riješiti jednačinu $((9)^(x))=-3$? Ali nema šanse: nema korijena. I u tom smislu, eksponencijalne jednadžbe su vrlo slične kvadratnim jednadžbama - možda i nema korijena. Ali ako je u kvadratnim jednadžbama broj korijena određen diskriminantom (pozitivan diskriminant - 2 korijena, negativan - bez korijena), onda u eksponencijalnim jednačinama sve ovisi o tome što je desno od znaka jednakosti.

Dakle, hajde da formulišemo ključni zaključak: najjednostavnija eksponencijalna jednačina oblika $((a)^(x))=b$ ima koren ako i samo ako je $b>0$. Znajući ovu jednostavnu činjenicu, lako možete odrediti da li jednadžba koja vam je predložena ima korijen ili ne. One. Vrijedi li to uopće rješavati ili odmah zapisati da nema korijena.

Ovo znanje će nam mnogo puta pomoći kada budemo morali rješavati složenije probleme. Za sada dosta tekstova - vrijeme je da proučimo osnovni algoritam za rješavanje eksponencijalnih jednačina.

Kako riješiti eksponencijalne jednadžbe

Dakle, hajde da formulišemo problem. Potrebno je riješiti eksponencijalnu jednačinu:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Prema „naivnom“ algoritmu koji smo ranije koristili, potrebno je broj $b$ predstaviti kao potenciju broja $a$:

Osim toga, ako umjesto varijable $x$ postoji bilo koji izraz, dobićemo novu jednačinu koja se već može riješiti. Na primjer:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Strelica desno ((2)^(x))=((2)^(3))\Strelica desno x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Strelica desno ((3)^(-x))=((3)^(4))\Strelica desno -x=4\Strelica desno x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Strelica desno ((5)^(2x))=((5)^(3))\Strelica desno 2x=3\Strelica desno x=\frac(3)( 2). \\\end(poravnati)\]

I što je čudno, ova shema funkcionira u oko 90% slučajeva. Šta je onda sa preostalih 10%? Preostalih 10% su blago "šizofrene" eksponencijalne jednadžbe oblika:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Pa, na koji stepen trebate podići 2 da biste dobili 3? Prvi? Ali ne: $((2)^(1))=2$ nije dovoljno. Sekunda? Nijedno: $((2)^(2))=4$ je previše. Koji onda?

Upućeni učenici su vjerovatno već pogodili: u takvim slučajevima, kada nije moguće riješiti “lijepo”, u igru se ubacuje “teška artiljerija” – logaritmi. Dozvolite mi da vas podsjetim da se korištenjem logaritma svaki pozitivan broj može predstaviti kao stepen bilo kojeg drugog pozitivan broj(osim jednog):

Sjećate se ove formule? Kada svojim studentima govorim o logaritmima, uvijek upozoravam: ova formula (koja je ujedno i osnovni logaritamski identitet ili, ako želite, definicija logaritma) će vas dugo proganjati i „iskakati“ u većini slučajeva. neočekivana mjesta. Pa, isplivala je. Pogledajmo našu jednačinu i ovu formulu:

\[\begin(poravnaj)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(poravnaj) \]

Ako pretpostavimo da je $a=3$ naš originalni broj na desnoj strani, a $b=2$ sama baza eksponencijalne funkcije na koju želimo svesti desnu stranu, dobićemo sljedeće:

\[\begin(align)& a=((b)^((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Strelica desno ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Strelica desno x=( (\log )_(2))3. \\\end(poravnati)\]

Dobili smo pomalo čudan odgovor: $x=((\log )_(2))3$. U nekom drugom zadatku mnogi bi imali nedoumice s takvim odgovorom i počeli bi još jednom provjeravati svoje rješenje: šta ako se negdje uvukla greška? Požurim da vas zadovoljim: tu nema greške, a logaritmi u korijenima eksponencijalnih jednačina su sasvim tipična situacija. Pa navikni se. :)

Sada analogno riješimo preostale dvije jednadžbe:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Strelica desno ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Strelica desno ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Strelica desno 2x=( (\log )_(4))11\Strelica desno x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(poravnati)\]

To je sve! Inače, zadnji odgovor se može napisati drugačije:

Uveli smo množitelj u argument logaritma. Ali niko nas ne brani da dodamo ovaj faktor bazi:

Štaviše, sve tri opcije su tačne - jednostavno je različitih oblika evidencije istog broja. Koje ćete odabrati i zapisati u ovo rješenje, na vama je da odlučite.

Dakle, naučili smo rješavati sve eksponencijalne jednadžbe oblika $((a)^(x))=b$, gdje su brojevi $a$ i $b$ striktno pozitivni. kako god surova realnost naš svijet je toliko sličan jednostavni zadaci sretaćete se veoma, veoma retko. Češće nego ne naići ćete na nešto poput ovoga:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\end(poravnati)\]

Pa kako to možemo riješiti? Može li se ovo uopće riješiti? I ako da, kako?

Ne paničite. Sve ove jednadžbe se brzo i lako svode na jednostavne formule koje smo već razmatrali. Samo treba da zapamtite nekoliko trikova iz kursa algebre. I naravno, ne postoje pravila za rad sa diplomama. Sad ću ti ispričati sve ovo. :)

Pretvaranje eksponencijalnih jednadžbi

Prva stvar koju treba zapamtiti: svaka eksponencijalna jednadžba, ma koliko složena bila, na ovaj ili onaj način mora se svesti na najjednostavnije jednadžbe - one koje smo već razmatrali i koje znamo riješiti. Drugim riječima, shema za rješavanje bilo koje eksponencijalne jednadžbe izgleda ovako:

Zapišite originalnu jednačinu. Na primjer: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
Uradi neka čudna sranja. Ili čak neko sranje zvano "pretvori jednačinu";
Na izlazu dobijete najjednostavnije izraze oblika $((4)^(x))=4$ ili nešto slično. Štaviše, jedna početna jednačina može dati nekoliko takvih izraza odjednom.

Sve je jasno sa prvom tačkom - čak i moja mačka može da napiše jednačinu na komadu papira. Čini se da je i treća tačka manje-više jasna - već smo riješili čitavu gomilu takvih jednačina iznad.

Ali šta je sa drugom tačkom? Kakve transformacije? Pretvoriti šta u šta? I kako?

Pa, hajde da saznamo. Prije svega, želio bih napomenuti sljedeće. Sve eksponencijalne jednadžbe su podijeljene u dvije vrste:

Jednačina je sastavljena od eksponencijalnih funkcija sa istom bazom. Primjer: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
Formula sadrži eksponencijalne funkcije sa različitim razlozima. Primjeri: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ i $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09$.

Počnimo s jednadžbama prvog tipa - njih je najlakše riješiti. A u njihovom rješavanju pomoći će nam takva tehnika kao što je isticanje stabilnih izraza.

Izolacija stabilnog izraza

Pogledajmo ponovo ovu jednačinu:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

šta vidimo? Četiri su podignuta na različite stepene. Ali sve ove potencije su jednostavne sume varijable $x$ sa drugim brojevima. Stoga je potrebno zapamtiti pravila za rad sa diplomama:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\end(poravnati)\]

Jednostavno rečeno, sabiranje se može pretvoriti u proizvod stepena, a oduzimanje se može lako pretvoriti u dijeljenje. Pokušajmo primijeniti ove formule na stupnjeve iz naše jednadžbe:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(poravnati)\]

Prepišimo originalnu jednačinu uzimajući u obzir ovu činjenicu, a zatim sakupimo sve članove s lijeve strane:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -jedanaest; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(poravnati)\]

Prva četiri pojma sadrže element $((4)^(x))$ - izvadimo ga iz zagrade:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(poravnati)\]

Ostaje podijeliti obje strane jednadžbe razlomkom $-\frac(11)(4)$, tj. u suštini pomnoži sa obrnutim razlomkom - $-\frac(4)(11)$. Dobijamo:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \lijevo(-\frac(4)(11) \desno); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\end(poravnati)\]

To je sve! Originalnu jednačinu smo sveli na njen najjednostavniji oblik i dobili konačni odgovor.

Istovremeno, u procesu rješavanja otkrili smo (pa čak i izvadili iz zagrade) zajednički faktor $((4)^(x))$ - to je stabilan izraz. Može se označiti kao nova varijabla ili je jednostavno možete pažljivo izraziti i dobiti odgovor. U svakom slučaju, ključni princip rješenja je sljedeći:

Pronađite u originalnoj jednadžbi stabilan izraz koji sadrži varijablu koja se lako razlikuje od svih eksponencijalnih funkcija.

Dobra vest je da vam skoro svaka eksponencijalna jednačina omogućava da izolujete tako stabilan izraz.

Ali loša vijest je da ovi izrazi mogu biti prilično zeznuti i da ih je prilično teško identificirati. Pa pogledajmo još jedan problem:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Možda će neko sada imati pitanje: „Paša, jesi li kamenovan? Ovdje postoje različite baze – 5 i 0,2.” Ali hajde da pokušamo pretvoriti snagu u bazu 0,2. Na primjer, riješimo se decimalnog razlomka tako što ćemo ga svesti na običan:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

Kao što vidite, broj 5 se ipak pojavio, iako u nazivniku. Istovremeno, indikator je prepisan kao negativan. A sada da se prisjetimo jednog od njih najvažnija pravila rad sa diplomama:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Strelica desno ((\left(\frac(1)(5) \desno))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Ovdje sam, naravno, malo lagao. Jer za potpuno razumijevanje, formula za otklanjanje negativnih pokazatelja morala je biti napisana ovako:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \desno))^(n ))\Strelica desno ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ desno))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

S druge strane, ništa nas nije spriječilo da radimo samo sa razlomcima:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left((5)^(-1)) \ desno))^(-\left(x+1 \desno)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \desno) \desno) ))=((5)^(x+1))\]

Ali u ovom slučaju, morate biti u mogućnosti da povećate snagu na drugu snagu (da vas podsjetim: u ovom slučaju, indikatori se zbrajaju). Ali nisam morao da "preokrećem" razlomke - možda će nekome ovo biti lakše. :)

U svakom slučaju, originalna eksponencijalna jednačina će biti prepisana kao:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(poravnati)\]

Tako se ispostavilo da se originalna jednadžba može riješiti još jednostavnije od one koja je prethodno razmatrana: ovdje čak ni ne morate odabrati stabilan izraz - sve je smanjeno samo od sebe. Ostaje samo zapamtiti da je $1=((5)^(0))$, od čega dobijamo:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\end(poravnati)\]

To je rešenje! Dobili smo konačni odgovor: $x=-2$. U isto vrijeme, želio bih napomenuti jednu tehniku koja nam je uvelike pojednostavila sve proračune:

U eksponencijalnim jednadžbama, obavezno se riješite decimalnih razlomaka i pretvorite ih u obične. To će vam omogućiti da vidite iste baze stupnjeva i uvelike pojednostavite rješenje.

Idemo sada na više složene jednačine, u kojem postoje različite baze koje uopće nisu svodive jedna na drugu korištenjem stupnjeva.

Korištenje svojstva stupnjeva

Da vas podsjetim da imamo dvije posebno oštre jednadžbe:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\end(poravnati)\]

Glavna poteškoća je u tome što nije jasno šta dati i na osnovu čega. Gdje su stabilni izrazi? Gdje su iste osnove? Nema ništa od ovoga.

Ali hajde da pokušamo da idemo drugim putem. Ako nema gotovih identičnih baza, možete ih pokušati pronaći faktoringom postojećih baza.

Počnimo s prvom jednačinom:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Strelica desno ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \desno))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\end(poravnati)\]

Ali možete učiniti suprotno - napravite broj 21 od brojeva 7 i 3. Ovo je posebno lako učiniti s lijeve strane, jer su indikatori oba stepena isti:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end(poravnati)\]

To je sve! Uzeli ste eksponent izvan proizvoda i odmah dobili prekrasnu jednadžbu koja se može riješiti u nekoliko redaka.

Pogledajmo sada drugu jednačinu. Ovde je sve mnogo komplikovanije:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

U ovom slučaju, razlomci su se pokazali nesvodljivim, ali ako se nešto može smanjiti, svakako to smanjite. Često će se pojaviti zanimljivi razlozi s kojima već možete raditi.

Nažalost, za nas se ništa posebno nije pojavilo. Ali vidimo da su eksponenti na lijevoj strani u proizvodu suprotni:

Da vas podsjetim: da biste se riješili znaka minus u indikatoru, samo trebate "okrenuti" razlomak. Pa, hajde da prepišemo originalnu jednačinu:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\lijevo(\frac(1000)(27) \desno))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(poravnati)\]

U drugom redu smo jednostavno izveli opšti indikator iz proizvoda van zagrada prema pravilu $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right))^(x)) $, a u potonjem je jednostavno pomnožio broj 100 s razlomkom.

Sada imajte na umu da su brojevi na lijevoj strani (u osnovi) i na desnoj strani donekle slični. Kako? Da, očigledno je: to su moći istog broja! Imamo:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \desno))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \desno))^(2)). \\\end(poravnati)\]

Dakle, naša jednačina će biti prepisana na sljedeći način:

\[((\left((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10)\desno))^(2))\]

\[((\left((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \desno))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

U ovom slučaju, na desnoj strani također možete dobiti diplomu s istom bazom, za koju je dovoljno jednostavno "preokrenuti" razlomak:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Naša jednačina će konačno poprimiti oblik:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(poravnati)\]

To je rešenje. Njegova glavna ideja se svodi na to da čak i sa različitim osnovama pokušavamo, na udicu ili na iviku, te osnove svesti na istu stvar. U tome nam pomažu elementarne transformacije jednadžbi i pravila za rad sa potencijama.

Ali koja pravila i kada koristiti? Kako shvatiti da u jednoj jednadžbi trebate obje strane podijeliti s nečim, a u drugoj morate rastaviti bazu eksponencijalne funkcije?

Odgovor na ovo pitanje doći će s iskustvom. Prvo se okušajte u jednostavnim jednadžbama, a zatim postepeno komplikujte probleme - i vrlo brzo će vaše vještine biti dovoljne da riješite bilo koju eksponencijalnu jednadžbu sa istog Jedinstvenog državnog ispita ili bilo koji samostalni/testni rad.

I da vam pomognem u ovoj teškoj stvari, predlažem da preuzmete skup jednadžbi za nezavisna odluka. Sve jednačine imaju odgovore, tako da se uvijek možete testirati.

U ovoj lekciji ćemo se osvrnuti na rješavanje složenijih eksponencijalnih jednadžbi i podsjetiti se osnovnih teorijskih principa u vezi s eksponencijalnom funkcijom.

1. Definicija i svojstva eksponencijalne funkcije, metode rješavanja najjednostavnijih eksponencijalnih jednačina

Prisjetimo se definicije i osnovnih svojstava eksponencijalne funkcije. Rješenje svih eksponencijalnih jednačina i nejednačina zasniva se na ovim svojstvima.

Eksponencijalna funkcija je funkcija oblika , gdje je baza stepen, a ovdje je x nezavisna varijabla, argument; y je zavisna varijabla, funkcija.

Rice. 1. Grafikon eksponencijalne funkcije

Grafikon prikazuje rastuće i opadajuće eksponente, ilustrujući eksponencijalnu funkciju s bazom većom od jedan i manjom od jedan, ali većom od nule.

Obje krive prolaze kroz tačku (0;1)

Svojstva eksponencijalne funkcije:

Domen: ;

Raspon vrijednosti: ;

Funkcija je monotona, raste sa, opada sa.

Monotona funkcija uzima svaku od svojih vrijednosti zadanu vrijednost jednog argumenta.

Kada se argument poveća od minus do plus beskonačno, funkcija se povećava sa nule uključujući na plus beskonačno. Naprotiv, kada se argument povećava od minus do plus beskonačno, funkcija se smanjuje od beskonačnosti do nule, ne uključujući.

2. Rješavanje standardnih eksponencijalnih jednačina

Podsjetimo vas kako riješiti najjednostavnije eksponencijalne jednadžbe. Njihovo rješenje je bazirano na monotonosti eksponencijalne funkcije. Gotovo sve složene eksponencijalne jednadžbe mogu se svesti na takve jednačine.

Jednakost eksponenata pri na ravnopravnoj osnovi zbog svojstva eksponencijalne funkcije, odnosno njene monotonosti.

Metoda rješenja:

Izjednačiti osnove stepeni;

Izjednačite eksponente.

Idemo dalje na razmatranje složenijih eksponencijalnih jednadžbi; naš cilj je svaku od njih svesti na najjednostavniju.

Riješimo se korijena s lijeve strane i dovedemo stupnjeve na istu bazu:

Da bi se složena eksponencijalna jednačina svela na najjednostavniju, često se koristi zamjena varijabli.

Koristimo svojstvo snage:

Predstavljamo zamjenu. Neka bude onda

Pomnožimo rezultirajuću jednačinu sa dva i pomjerimo sve članove na lijevu stranu:

Prvi korijen ne zadovoljava raspon vrijednosti y, pa ga odbacujemo. Dobijamo:

Smanjimo stepene na isti indikator:

Hajde da predstavimo zamenu:

Neka bude onda . Sa takvom zamjenom, očito je da y poprima striktno pozitivne vrijednosti. Dobijamo:

Znamo kako riješiti takve kvadratne jednadžbe, možemo zapisati odgovor:

Da biste bili sigurni da su korijeni ispravno pronađeni, možete provjeriti pomoću Vietine teoreme, tj. pronaći zbroj korijena i njihovog proizvoda i usporediti ih s odgovarajućim koeficijentima jednadžbe.

Dobijamo:

3. Metodologija rješavanja homogenih eksponencijalnih jednačina drugog stepena

Proučimo sljedeće važne vrste eksponencijalnih jednačina:

Jednačine ovog tipa nazivaju se homogenima drugog stepena u odnosu na funkcije f i g. Na lijevoj strani se nalazi kvadratni trinom u odnosu na f sa parametrom g ili kvadratni trinom u odnosu na g sa parametrom f.

Metoda rješenja:

Ova jednačina se može riješiti kao kvadratna jednačina, ali je lakše to učiniti drugačije. Postoje dva slučaja za razmatranje:

U prvom slučaju dobijamo

U drugom slučaju, imamo pravo podijeliti najvećim stepenom i dobiti:

Trebalo bi da uvedemo promenu varijabli, dobijamo kvadratna jednačina u odnosu na y:

Napomenimo da funkcije f i g mogu biti bilo koje, ali nas zanima slučaj kada su to eksponencijalne funkcije.

4. Primjeri rješavanja homogenih jednačina

Premjestimo sve članove na lijevu stranu jednačine:

Budući da eksponencijalne funkcije dobivaju striktno pozitivne vrijednosti, imamo pravo da odmah podijelimo jednačinu sa , bez razmatranja slučaja kada:

Dobijamo:

Hajde da predstavimo zamenu: (prema svojstvima eksponencijalne funkcije)

Dobili smo kvadratnu jednačinu:

Određujemo korijene pomoću Vietine teoreme:

Prvi korijen ne zadovoljava raspon vrijednosti y, odbacujemo ga, dobijamo:

Koristimo svojstva stupnjeva i sve stepene svesti na jednostavne baze:

Lako je uočiti funkcije f i g:

Budući da eksponencijalne funkcije dobivaju striktno pozitivne vrijednosti, imamo pravo da odmah podijelimo jednadžbu sa , bez razmatranja slučaja kada .

Oprema:

kompjuter,
multimedijalni projektor,
ekran,
Aneks 1(PowerPoint slajd prezentacija) “Metode rješavanja eksponencijalnih jednačina”
Dodatak 2(Rješavanje jednadžbe poput "Tri različite baze potencija" u Wordu)
Dodatak 3(dodaci u Wordu za praktičan rad).
Dodatak 4(dodaci u Wordu za domaći zadatak).

Tokom nastave

1. Organizaciona faza

poruka o temi lekcije (napisana na tabli),
potreba za opštom lekcijom u 10-11 razredu:

Faza pripreme učenika za aktivno učenje

Ponavljanje

Definicija.

Eksponencijalna jednačina je jednačina koja sadrži varijablu s eksponentom (odgovori učenika).

Napomena nastavnika. Eksponencijalne jednadžbe pripadaju klasi transcendentalnih jednačina. Ovo neizgovorivo ime sugerira da se takve jednadžbe, općenito govoreći, ne mogu riješiti u obliku formula.

One se mogu riješiti samo približno numeričkim metodama na računarima. Ali šta je sa ispitnim zadacima? Trik je u tome što ispitivač postavlja problem na takav način da omogućava analitičko rješenje. Drugim riječima, možete (i trebali biste!) učiniti sljedeće transformacije identiteta, koji ovu eksponencijalnu jednačinu svode na najjednostavniju eksponencijalnu jednačinu. Ova najjednostavnija jednačina se zove: najjednostavnija eksponencijalna jednadžba. To se rješava logaritmom.

Situacija s rješavanjem eksponencijalne jednadžbe podsjeća na putovanje kroz labirint, koji je posebno izmislio autor zadatka. Iz ovih vrlo općih argumenata slijede vrlo konkretne preporuke.

Za uspješno rješavanje eksponencijalnih jednačina morate:

1. Ne samo da aktivno poznajete sve eksponencijalne identitete, već i pronađite skupove varijabilnih vrijednosti na kojima su ti identiteti definirani, tako da korištenjem ovih identiteta ne dobijete nepotrebne korijene, a još više, ne izgubite rješenja na jednačinu.

2. Aktivno poznavati sve eksponencijalne identitete.

3. Jasno, detaljno i bez grešaka, izvršiti matematičke transformacije jednačina (prenositi članove iz jednog dijela jednačine u drugi, ne zaboravljajući promijeniti predznak, dovesti razlomke u zajednički imenilac, itd.). To se zove matematička kultura. Istovremeno, sami proračuni treba da se rade automatski ručno, a glava treba razmišljati o općoj niti vodilja rješenja. Transformacije se moraju izvršiti što je moguće pažljivije i detaljnije. Samo to garantuje ispravnu odluku bez greške. I zapamtite: mala aritmetička greška može jednostavno stvoriti transcendentnu jednačinu koja se, u principu, ne može riješiti analitički. Ispostavilo se da ste zalutali i udarili u zid lavirinta.

4. Poznavati metode za rješavanje problema (odnosno znati sve puteve kroz labirint rješenja). Da biste se pravilno kretali u svakoj fazi, morat ćete (svjesno ili intuitivno!):

definisati tip jednadžbe;
zapamtite odgovarajući tip metoda rješenja zadataka.

Faza generalizacije i sistematizacije proučenog materijala.

Nastavnik zajedno sa učenicima na računaru vrši pregled svih vrsta eksponencijalnih jednačina i metoda za njihovo rješavanje, sastavlja opšta šema. (Korišćena obuka kompjuterski program L.Ya. Borevskog "Matematički kurs - 2000", autor PowerPoint prezentacije je T.N. Kupcova.)

Rice. 1. Na slici je prikazan opšti dijagram svih vrsta eksponencijalnih jednačina.

Kao što se može vidjeti iz ovog dijagrama, strategija za rješavanje eksponencijalnih jednačina je da se data eksponencijalna jednačina svede na jednačinu, prije svega, sa istim osnovama stepeni , a zatim – i sa istim pokazateljima stepena.

Nakon što ste dobili jednačinu sa istim bazama i eksponentima, ovaj eksponent zamjenjujete novom promjenljivom i dobivate jednostavnu algebarsku jednačinu (obično razlomko-racionalnu ili kvadratnu) u odnosu na ovu novu varijablu.

Nakon što riješite ovu jednačinu i izvršite obrnutu zamjenu, na kraju ćete dobiti skup jednostavnih eksponencijalnih jednadžbi koje se mogu riješiti u općem obliku pomoću logaritama.

Ističu se jednadžbe u kojima se nalaze samo proizvodi (parcijalnih) potencija. Koristeći eksponencijalne identitete, moguće je ove jednačine odmah svesti na jednu osnovu, posebno na najjednostavniju eksponencijalnu jednačinu.

Pogledajmo kako riješiti eksponencijalnu jednačinu s tri različite baze.

(Ako nastavnik ima obrazovni kompjuterski program L.Ya. Borevskog "Kurs matematike - 2000", onda naravno radimo sa diskom, ako ne, možete napraviti ispis ove vrste jednadžbe iz njega za svaki stol, predstavljen u nastavku.)