Između prvih n prirodnih brojeva i regularnih brojeva. Zapis prirodnih brojeva

Integers

Prirodni brojevi su oni brojevi koji se koriste za brojanje različitih objekata ili za označavanje serijskog broja objekta među sličnim ili homogenim.

Možete napisati prirodne brojeve koristeći prvih deset cifara:

Za pisanje jednostavno prirodni brojevi Uobičajeno je da se koristi pozicioni decimalni brojevni sistem, gde je vrednost bilo koje cifre određena njenim mestom u zapisu.

Prirodni brojevi su najjednostavniji brojevi koje često koristimo Svakodnevni život. Uz pomoć ovih brojeva vršimo proračune, brojimo predmete, određujemo njihovu količinu, red i broj.

S prirodnim brojevima počinjemo se upoznavati od samog početka. rano djetinjstvo, stoga su svima poznati i prirodni.

Opće razumijevanje prirodnih brojeva

Prirodni brojevi su namijenjeni da nose informacije o broju objekata, njihovim serijski broj i mnoge stavke.

Osoba koristi prirodne brojeve, jer su mu dostupni i na nivou percepcije i na nivou reprodukcije. Kada izgovorimo bilo koji prirodan broj, lako ga uhvatimo sluhom, a kada prikažemo prirodni broj, vidimo ga.

Svi prirodni brojevi su raspoređeni u rastućem redoslijedu i formiraju niz brojeva počevši od najmanjeg prirodnog broja, a to je jedan.

Ako smo se odlučili za najmanji prirodan broj, onda će najveći biti teži, jer takav broj ne postoji jer je niz prirodnih brojeva beskonačan.

Kada prirodnom broju dodamo jedan, na kraju dobijemo broj koji dolazi iza datog broja.

Broj kao što je 0 nije prirodan broj, već služi samo za označavanje broja "nula" i znači "ni jedan". 0 znači da nema jedinica ovog niza u decimalnom zapisu.

Svi prirodni brojevi pišu se velikim slovom latinično pismo N.

Istorijska pozadina notacije prirodnih brojeva

U drevnim vremenima ljudi još nisu znali šta je broj ili kako izbrojati broj objekata. Ali već tada se javila potreba za brojanjem i čovjek je smislio način da broji ulovljene ribe, ubrane bobice itd.

malo kasnije, drevni čovek Došao je do zaključka da je lakše zapisati potrebnu količinu. Za ove svrhe primitivni ljudi Počeli su koristiti kamenčiće, a potom i štapove, koji su sačuvani rimskim brojevima.

Sljedeći trenutak u razvoju brojevnog sistema bila je upotreba slova abecede u označavanju određenih brojeva.

Prvi brojevni sistemi uključuju indijski decimalni sistem i babilonski seksagezimalni sistem.

Moderni brojevni sistem, iako se zove arapski, zapravo je jedna od indijskih varijanti. Istina, u njegovom brojevnom sistemu nema broja nula, ali su ga Arapi dodali i sistem je dobio svoj sadašnji oblik.

Decimalni brojni sistem

Već smo se upoznali sa prirodnim brojevima i naučili da ih pišemo pomoću deset cifara. Takođe već znate da se pisanje brojeva pomoću znakova naziva sistem brojeva.

Značenje cifre u broju zavisi od njenog položaja i naziva se poziciono. Odnosno, kada pišemo prirodne brojeve, koristimo pozicijski brojevni sistem.

Ovaj sistem se zasniva na ciframa i decimalama. U decimalnom brojevnom sistemu osnova za njegovu konstrukciju biće brojevi od 0 do 9.

Posebno mjesto u takvom sistemu ima broj 10, jer se u osnovi računanje vrši u deseticama.

Tabela klasa i rangova:

Tako se, na primjer, 10 jedinica kombinuje u desetice, zatim u stotine, hiljade i slično. Dakle, broj 10 je osnova brojevnog sistema i naziva se decimalni brojevni sistem.

Prirodni brojevi su jedan od najstarijih matematičkih pojmova.

U davnoj prošlosti ljudi nisu znali brojeve i kada su trebali prebrojati predmete (životinje, ribe itd.), činili su to drugačije nego mi sada.

Broj predmeta je upoređivan sa delovima tela, na primer, sa prstima na ruci, i rekli su: „Imam orašastih plodova koliko ima prstiju na ruci“.

Vremenom su ljudi shvatili da imaju pet oraha, pet koza i pet zečeva zajedničko vlasništvo- njihov broj je pet.

Zapamtite!

Integers- to su brojevi, počevši od 1, dobijeni prebrojavanjem objekata.

1, 2, 3, 4, 5…

Najmanji prirodni broj — 1 .

Najveći prirodni broj ne postoji.

Prilikom brojanja, broj nula se ne koristi. Stoga se nula ne smatra prirodnim brojem.

Ljudi su mnogo kasnije naučili pisati brojeve nego brojati. Prije svega, počeli su prikazivati ​​jednog sa jednim štapom, zatim sa dva štapa - broj 2, sa tri - broj 3.

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Tada su se pojavili posebni znakovi za označavanje brojeva - prethodnika modernih brojeva. Brojevi koje koristimo za pisanje brojeva nastali su u Indiji prije otprilike 1500 godina. Arapi su ih donijeli u Evropu, po čemu se i zovu arapski brojevi.

Ukupno ima deset brojeva: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Koristeći ove brojeve možete napisati bilo koji prirodan broj.

Zapamtite!

Prirodne serije je niz svih prirodnih brojeva:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

U prirodnom nizu svaki broj je veći od prethodnog za 1.

Prirodni niz je beskonačan; u njemu nema najvećeg prirodnog broja.

Sistem brojanja koji koristimo se zove decimalni položaj.

Decimalno jer 10 jedinica svake cifre formira 1 jedinicu najznačajnije cifre. Poziciona jer značenje cifre zavisi od njenog mesta u zapisu brojeva, odnosno od cifre u kojoj je napisana.

Bitan!

Klase koje slijede nakon milijarde su imenovane prema latinskim nazivima brojeva. Svaka naredna jedinica sadrži hiljadu prethodnih.

• 1.000 milijardi = 1.000.000.000.000 = 1 trilion („tri“ je latinski za „tri“)
• 1.000 triliona = 1.000.000.000.000.000 = 1 kvadrilion ("quadra" je latinski za "četiri")
• 1.000 kvadriliona = 1.000.000.000.000.000.000 = 1 kvintilion („quinta“ je latinski za „pet“)

Međutim, fizičari su pronašli broj koji premašuje broj svih atoma (najmanjih čestica materije) u cijelom Univerzumu.

Ovaj broj je dobio posebno ime - googol. Googol je broj sa 100 nula.

Integers

Definicija prirodnih brojeva su cijeli brojevi pozitivni brojevi. Prirodni brojevi se koriste za brojanje objekata i za mnoge druge svrhe. Ovo su brojevi:

Ovo je prirodan niz brojeva.
Da li je nula prirodan broj? Ne, nula nije prirodan broj.
Koliko prirodnih brojeva ima? Postoji beskonačan broj prirodnih brojeva.
Koji je najmanji prirodan broj? Jedan je najmanji prirodan broj.
Koji je najveći prirodni broj? Nemoguće ga je odrediti, jer postoji beskonačan broj prirodnih brojeva.

Zbir prirodnih brojeva je prirodan broj. Dakle, sabiranje prirodnih brojeva a i b:

Proizvod prirodnih brojeva je prirodan broj. Dakle, proizvod prirodnih brojeva a i b:

c je uvijek prirodan broj.

Razlika prirodnih brojeva Ne postoji uvijek prirodan broj. Ako je minus veći od oduzetog, onda je razlika prirodnih brojeva prirodan broj, inače nije.

Količnik prirodnih brojeva nije uvijek prirodan broj. Ako za prirodne brojeve a i b

gdje je c prirodan broj, to znači da je a djeljiv sa b. U ovom primjeru, a je dividenda, b je djelitelj, c je količnik.

Delitelj prirodnog broja je prirodan broj kojim je prvi broj djeljiv s cjelinom.

Svaki prirodan broj je djeljiv sa jednim i samim sobom.

Prosti prirodni brojevi su djeljivi samo sa jedan i sami sa sobom. Ovdje mislimo na potpuno podijeljeno. Primjer, brojevi 2; 3; 5; 7 je samo djeljivo sa jednim i samim sobom. Ovo su jednostavni prirodni brojevi.

Jedan se ne smatra prostim brojem.

Brojevi koji su veći od jedan i koji nisu prosti nazivaju se složeni brojevi. Primjeri složenih brojeva:

Jedan se ne smatra složenim brojem.

Skup prirodnih brojeva sastoji se od jedan, prostih i složenih brojeva.

Skup prirodnih brojeva označava se latiničnim slovom N.

Svojstva sabiranja i množenja prirodnih brojeva:

komutativno svojstvo sabiranja

asocijativno svojstvo sabiranja

(a + b) + c = a + (b + c);

komutativno svojstvo množenja

asocijativno svojstvo množenja

(ab) c = a (bc);

distributivno svojstvo množenja

A (b + c) = ab + ac;

Cijeli brojevi

Cijeli brojevi su prirodni brojevi, nula i suprotnosti prirodnim brojevima.

Suprotnost prirodnim brojevima su negativni cijeli brojevi, na primjer:

1; -2; -3; -4;...

Skup cijelih brojeva je označen latiničnim slovom Z.

Racionalni brojevi

Racionalni brojevi su cijeli brojevi i razlomci.

Bilo koji racionalni broj može se predstaviti kao periodični razlomak. primjeri:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Iz primjera je jasno da je svaki cijeli broj periodični razlomak s periodom nula.

Bilo koji racionalni broj se može predstaviti kao razlomak m/n, gdje je m cijeli broj broj,n prirodan broj. Zamislimo broj 3,(6) iz prethodnog primjera kao takav razlomak.

1.1.Definicija

Zovu se brojevi koje ljudi koriste prilikom brojanja prirodno(na primjer, jedan, dva, tri,..., sto, sto jedan,..., tri hiljade dvije stotine dvadeset jedan,...) Za pisanje prirodnih brojeva koriste se posebni znakovi (simboli), pozvao u brojevima.

Danas je to prihvaćeno decimalni brojevni sistem. Decimalni sistem (ili metoda) pisanja brojeva koristi arapske brojeve. Ovo je deset različitih numeričkih znakova: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 .

Najmanje prirodni broj je broj jedan, to napisano pomoću decimalnog broja - 1. Sljedeći prirodni broj dobija se od prethodnog (osim jednog) dodavanjem 1 (jedan). Ovo dodavanje se može uraditi mnogo puta (beskonačan broj puta). To znači da br najveći prirodni broj. Stoga kažu da je niz prirodnih brojeva neograničen ili beskonačan, jer nema kraja. Prirodni brojevi se pišu pomoću decimalnih cifara.

1.2. broj "nula"

Da biste označili odsustvo nečega, koristite broj " nula" ili " nula". Piše se brojevima 0 (nula). Na primjer, u kutiji su sve kuglice crvene. Koliko ih je zelenih? - Odgovor: nula . To znači da u kutiji nema zelenih kuglica! Broj 0 može značiti da se nešto završilo. Na primjer, Maša je imala 3 jabuke. Dvije je podijelila sa prijateljima, a jednu je sama pojela. Znači otišla je 0 (nula) jabuka, tj. nije ostao ni jedan. Broj 0 može značiti da se nešto nije dogodilo. Na primjer, hokejaška utakmica Tim Rusija - Tim Kanade završena je rezultatom 3:0 (čitamo “tri - nula”) u korist ruskog tima. To znači da je ruski tim postigao 3 gola, a kanadski 0 golova i nije mogao postići nijedan gol. Moramo zapamtiti da broj nula nije prirodan broj.

1.3. Pisanje prirodnih brojeva

Na decimalni način pisanja prirodnog broja, svaka cifra može predstavljati drugačiji broj. Zavisi od mjesta ove cifre u zapisu brojeva. Određeno mjesto u zapisu prirodnog broja naziva se pozicija. Stoga se zove decimalni brojevni sistem pozicioni. Razmotrimo decimalni zapis broja 7777 sedam hiljada sedam stotina sedamdeset sedam. Ovaj unos sadrži sedam hiljada, sedam stotina, sedam desetica i sedam jedinica.

Poziva se svako od mjesta (pozicija) u decimalnom zapisu broja pražnjenje. Svake tri cifre se kombinuju u Klasa. Ovo spajanje se vrši s desna na lijevo (od kraja broja). Razne kategorije i klase imaju svoja imena. Raspon prirodnih brojeva je neograničen. Dakle, broj činova i klasa također nije ograničen ( beskonačno). Pogledajmo nazive cifara i klasa na primjeru broja s decimalnim zapisom

38 001 102 987 000 128 425:

Klase i činovi
kvintiliona		stotine kvintiliona
		desetine kvintiliona
		kvintiliona
kvadrilioni		stotine kvadriliona
		desetine kvadriliona
		kvadrilioni
triliona		stotine triliona
		desetine triliona
		triliona
milijarde		stotine milijardi
		desetine milijardi
		milijarde
miliona		stotine miliona
		desetine miliona
		miliona
		stotine hiljada
		desetine hiljada

Dakle, klase, počevši od najmlađih, imaju imena: jedinice, hiljade, milioni, milijarde, trilioni, kvadrilioni, kvintilioni.

1.4. Bit jedinice

Svaka od klasa u notaciji prirodnih brojeva sastoji se od tri cifre. Svaki rang ima cifrene jedinice. Sljedeći brojevi se nazivaju cifrene jedinice:

1 - cifra jedinica cifra jedinica,

10-cifrena jedinica za desetice,

100 - stotinska jedinica,

1 000 - hiljada cifara,

10 000 je jedinica od desetina hiljada,

100.000 je jedinica mesta za stotine hiljada,

1.000.000 je jedinica za milion cifara, itd.

Broj u bilo kojoj od cifara pokazuje broj jedinica ove cifre. Dakle, broj 9, na mjestu stotina milijardi, znači da broj 38,001,102,987,000 128,425 uključuje devet milijardi (tj. 9 puta 1,000,000,000 ili 9-cifrene jedinice mjesta za milijarde). Prazno mjesto od stotine kvintiliona znači da u datom broju nema stotina kvintiliona ili je njihov broj nula. U ovom slučaju, broj 38 001 102 987 000 128 425 može se napisati na sljedeći način: 038 001 102 987 000 128 425.

Možete napisati drugačije: 000 038 001 102 987 000 128 425. Nule na početku broja označavaju prazne cifre visokog reda. Obično se ne pišu, za razliku od nula unutar decimalnog zapisa, koje nužno označavaju prazne cifre. Dakle, tri nule u klasi miliona znači da su stotine miliona, desetine miliona i jedinice miliona prazne.

1.5. Skraćenice za pisanje brojeva

Prilikom pisanja prirodnih brojeva koriste se skraćenice. Evo nekoliko primjera:

1.000 = 1 hiljada (hiljada)

23.000.000 = 23 miliona (dvadeset tri miliona)

5.000.000.000 = 5 milijardi (pet milijardi)

203.000.000.000.000 = 203 triliona. (dvesta tri triliona)

107.000.000.000.000.000 = 107 kvadratnih metara. (sto sedam kvadriliona)

1.000.000.000.000.000.000 = 1 kwt. (jedan kvintilion)

Blok 1.1. Rječnik

Sastavite rečnik novih termina i definicija iz §1. Da biste to učinili, u prazne ćelije upišite riječi sa liste pojmova ispod. U tabeli (na kraju bloka) navedite za svaku definiciju broj pojma sa liste.

Blok 1.2. Samopriprema

U svijetu veliki brojevi

Ekonomija .

1. Budžet Rusije za sledeću godinu iznosiće: 6328251684128 rubalja.
2. Planirani troškovi za ovu godinu su: 5124983252134 rubalja.
3. Prihodi zemlje premašili su rashode za 1203268431094 rubalja.

Pitanja i zadaci

1. Pročitaj sva tri navedena broja
2. Napišite cifre u klasi miliona za svaki od tri broja.

1. Kojem dijelu svakog od brojeva pripada cifra koja se nalazi na sedmoj poziciji od kraja broja?
2. Koliki je broj cifarskih jedinica označen brojem 2 u unosu prvog broja?... u unosu drugog i trećeg broja?
3. Imenujte brojčanu jedinicu za osmu poziciju s kraja u zapisu tri broja.

Geografija (dužina)

1. Ekvatorijalni poluprečnik Zemlje: 6378245 m
2. Obim ekvatora: 40075696 m
3. Najveća dubina svjetskih okeana ( Marijanski rov V pacifik) 11500 m

Pitanja i zadaci

1. Pretvorite sve tri vrijednosti u centimetre i pročitajte rezultirajuće brojeve.
2. Za prvi broj (u cm) zapišite brojeve u odjeljcima:

stotine hiljada _______

desetine miliona _______

hiljade _______

milijarde _______

stotine miliona _______

1. Za drugi broj (u cm) zapišite jedinice znamenki koje odgovaraju brojevima 4, 7, 5, 9 u zapisu brojeva

1. Pretvorite treću vrijednost u milimetre i pročitajte rezultirajući broj.
2. Za sve pozicije u unosu trećeg broja (u mm) navedite cifre i jedinice cifara u tabeli:

Geografija (kvadrat)

1. Površina cijele površine Zemlje je 510.083 hiljade kvadratnih kilometara.
2. Površina suma na Zemlji je 148.628 hiljada kvadratnih kilometara.
3. Površina Zemljine vodene površine je 361.455 hiljada kvadratnih kilometara.

Pitanja i zadaci

1. Pretvorite sve tri količine u kvadratnih metara i pročitajte rezultirajuće brojeve.
2. Imenujte klase i kategorije koje odgovaraju brojkama koje nisu nula u zapisu ovih brojeva (u kvadratnim m).
3. Pišući treći broj (u kvadratnim m), navedite cifrene jedinice koje odgovaraju brojevima 1, 3, 4, 6.
4. U dva unosa druge vrijednosti (u kvadratnim km i kvadratnim m) označite kojim ciframa pripada broj 2.
5. Upišite jedinice vrijednosti mjesta za cifru 2 u drugim oznakama količine.

Blok 1.3. Dijalog sa kompjuterom.

Poznato je da se veliki brojevi često koriste u astronomiji. Navedimo primjere. Prosječna udaljenost Mjeseca od Zemlje je 384 hiljade km. Udaljenost Zemlje od Sunca (prosjek) je 149,504 hiljade km, Zemlje od Marsa je 55 miliona km. Na računaru, koristeći Word uređivač teksta, kreirajte tabele tako da svaka cifra u unosu naznačenih brojeva bude u posebnoj ćeliji (ćeliji). Da biste to uradili, izvršite komande na traci sa alatkama: tabela → dodajte tabelu → broj redova (koristite kursor da postavite „1”) → broj kolona (izračunajte sami). Kreirajte tabele za druge brojeve (u bloku “Samopriprema”).

Blok 1.4. Štafeta velikih brojeva

Prvi red tabele sadrži veliki broj. Čitati. Zatim dovršite zadatke: pomicanjem brojeva u zapisu brojeva udesno ili ulijevo, dobijete sljedeće brojeve i pročitajte ih. (Ne pomerajte nule na kraju broja!). U učionici, štafeta se može izvesti tako što ćete je prenositi jedni drugima.

Linija 2 . Pomerite sve cifre broja u prvom redu ulevo kroz dve ćelije. Zamijenite brojeve 5 sljedećim brojem. Popunite prazne ćelije nulama. Pročitaj broj.

Linija 3 . Pomerite sve cifre broja u drugom redu udesno kroz tri ćelije. Zamijenite brojeve 3 i 4 u broju sljedećim brojevima. Popunite prazne ćelije nulama. Pročitaj broj.

Linija 4. Pomerite sve cifre broja u redu 3 za jednu ćeliju ulevo. Broj 6 u klasi triliona zamijenite prethodnim, a u klasi milijardi sljedećim brojem. Popunite prazne ćelije nulama. Pročitajte dobijeni broj.

Linija 5 . Pomerite sve cifre broja u redu 4 jednu ćeliju udesno. Broj 7 u kategoriji "desetine hiljada" zamijenite prethodnim, au kategoriji "desetine miliona" sljedećim. Pročitajte dobijeni broj.

Linija 6 . Pomjerite sve cifre broja u redu 5 ulijevo kroz 3 ćelije. Zamenite broj 8 na mestu stotina milijardi prethodnim, a broj 6 na mestu stotina miliona sledećim brojem. Popunite prazne ćelije nulama. Izračunajte rezultirajući broj.

Linija 7 . Pomerite sve cifre broja u redu 6 u jednu ćeliju udesno. Zamijenite brojeve na desetine kvadriliona i desetine milijardi mjesta. Pročitajte dobijeni broj.

Linija 8 . Pomerite sve cifre broja u redu 7 ulevo kroz jednu ćeliju. Zamijenite brojeve na kvintilion i kvadrilion mjesta. Popunite prazne ćelije nulama. Pročitajte dobijeni broj.

Linija 9 . Pomerite sve cifre broja u redu 8 udesno kroz tri ćelije. Zamenite dva susedna numeričke serije brojke iz miliona i triliona klasa. Pročitajte dobijeni broj.

Linija 10 . Pomerite sve cifre broja u redu 9 jednu ćeliju udesno. Pročitajte dobijeni broj. Odaberite brojeve koji označavaju godinu moskovske olimpijade.

Blok 1.5. zaigrajmo

Zapalite plamen

Igralište je crtež božićno drvce. Ima 24 sijalice. Ali samo 12 njih je priključeno na električnu mrežu. Da biste odabrali povezane lampe, morate tačno odgovoriti na pitanja sa „Da“ ili „Ne“. Ista igra se može igrati i na kompjuteru, tačan odgovor „pali“ sijalicu.

1. Da li je tačno da su brojevi posebni znakovi za pisanje prirodnih brojeva? (1 - da, 2 - ne)
2. Da li je tačno da je 0 najmanji prirodan broj? (3 - da, 4 - ne)
3. Da li je tačno da u pozicijskom brojevnom sistemu ista cifra može predstavljati različite brojeve? (5 - da, 6 - ne)
4. Da li je tačno da se određeno mjesto u decimalnom zapisu brojeva naziva mjestom? (7 - da, 8 - ne)
5. Dat je broj 543 384. Da li je tačno da je broj najviših cifarskih jedinica u njemu 543, a najnižih 384? (9 - da, 10 - ne)
6. Da li je tačno da je u klasi milijardi najviša cifrena jedinica sto milijardi, a najniža milijarda? (11 - da, 12 - ne)
7. Dat je broj 458 121. Da li je tačno da je zbir broja najviših cifarskih jedinica i broja najmanjih 5? (13 - da, 14 - ne)
8. Da li je tačno da je jedinica najviše cifre u klasi biliona milion puta veća od jedinice najviše cifre u klasi miliona? (15 - da, 16 - ne)
9. Data su dva broja 637, 508 i 831. Da li je tačno da je najviša cifrena jedinica prvog broja 1000 puta veća od jedinice najviše cifre drugog broja? (17 - da, 18 - ne)
10. Dat je broj 432. Da li je tačno da je najviša cifrena jedinica ovog broja 2 puta veća od najmanje? (19 - da, 20 - ne)
11. Dat je broj 100 000 000. Da li je tačno da je broj cifarskih jedinica u njemu koje čine 10 000 jednak 1000? (21 - da, 22 - ne)
12. Da li je tačno da ispred klase triliona postoji klasa kvadriliona, a ispred ove klase postoji klasa kvintiliona? (23 - da, 24 - ne)

1.6. Iz istorije brojeva

Ljudi su od davnina bili suočeni sa potrebom da broje stvari, upoređuju količine predmeta (npr. pet jabuka, sedam strelica...; u plemenu je 20 muškaraca i trideset žena,... ). Postojala je i potreba za uspostavljanjem reda unutar određenog broja objekata. Na primjer, prilikom lova, vođa plemena ide prvi, najjači ratnik plemena dolazi drugi itd. U te svrhe korišteni su brojevi. Za njih su izmišljena posebna imena. U govoru se nazivaju brojevima: jedan, dva, tri itd. su kardinalni brojevi, a prvi, drugi, treći su redni brojevi. Brojevi su pisani pomoću posebnih znakova - brojeva.

Vremenom se pojavio sisteme brojeva. To su sistemi koji uključuju načine za pisanje brojeva i izvođenje različitih operacija na njima. Najstariji poznati brojevni sistemi su egipatski, vavilonski i rimski sistem brojeva. U drevnim vremenima, u Rusiji, slova abecede sa posebnim znakom ~ (naslov) koristila su se za pisanje brojeva. Trenutno najveća distribucija dobio decimalni brojevni sistem. Binarni, oktalni i heksadecimalni sistemi brojeva se široko koriste, posebno u kompjuterskom svijetu.

Dakle, za pisanje istog broja možete koristiti razni znakovi- brojevi. Dakle, broj četiri stotine dvadeset i pet može se napisati egipatskim brojevima - hijeroglifima:

Ovo je egipatski način pisanja brojeva. Ovo je isti broj rimskim brojevima: CDXXV(rimski način pisanja brojeva) ili decimalne cifre 425 (dekadski brojni sistem). U binarnoj notaciji to izgleda ovako: 110101001 (binarni ili binarni sistem zapis brojeva), au oktalnom - 651 (oktalni brojevni sistem). U heksadecimalnom brojevnom sistemu biće zapisano: 1A9(heksadecimalni sistem brojeva). Možete to učiniti vrlo jednostavno: napravite, kao Robinson Crusoe, četiri stotine dvadeset i pet zareza (ili poteza) na drveni stub - IIIIIIIII…... III. Ovo su prve slike prirodnih brojeva.

Dakle, u decimalnom sistemu pisanja brojeva (na decimalni način pisanja brojeva) koriste se arapski brojevi. Ovo je deset različitih simbola - brojeva: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . U binarnom - dvije binarne cifre: 0, 1; u oktalnom - osam oktalnih cifara: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; heksadecimalno - šesnaest različitih heksadecimalnih cifara: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F; u seksagezimskom (babilonskom) - šezdeset različitih znakova - brojevi, itd.)

Decimalne cifre su u evropske zemlje stigle iz zemalja Bliskog istoka, arapske zemlje. Otuda i naziv - arapski brojevi. Ali Arapima su došli iz Indije, gdje su izmišljeni sredinom prvog milenijuma.

1.7. Rimski sistem brojeva

Jedan od drevnih brojevnih sistema koji se danas koristi je rimski sistem. U tabeli predstavljamo glavne brojeve rimskog brojevnog sistema i odgovarajuće brojeve decimalnog sistema.

Rimski broj					C
				50 pedeset		500 petsto	1000 hiljada

Rimski sistem brojeva je sistem sabiranja. U njemu, za razliku od pozicijskih sistema (na primjer, decimalnog), svaka znamenka predstavlja isti broj. Da, snimaj II- označava broj dva (1 + 1 = 2), zapis III- broj tri (1 + 1 + 1 = 3), zapis XXX- broj trideset (10 + 10 + 10 = 30) itd. Sljedeća pravila vrijede za pisanje brojeva.

1. Ako je manji broj poslije veći, onda se dodaje većem: VII- broj sedam (5 + 2 = 5 + 1 + 1 = 7), XVII- broj sedamnaest (10 + 7 = 10 + 5 + 1 + 1 = 17), MCL- broj hiljadu sto pedeset (1000 + 100 + 50 = 1150).
2. Ako je manji broj prije veće, onda se oduzima od većeg: IX- broj devet (9 = 10 - 1), L.M.- broj devetsto pedeset (1000 - 50 = 950).

Da biste pisali velike brojeve, morate koristiti (izmisliti) nove simbole - brojeve. Istovremeno, snimanje brojeva je glomazno i ​​vrlo je teško izvršiti proračune rimskim brojevima. Dakle, godina lansiranja prvog vještačkog satelita Zemlje (1957.) u rimskim zapisima ima oblik MCMLVII .

Blok 1. 8. Bušena kartica

Čitanje prirodnih brojeva

Ovi zadaci se provjeravaju pomoću mape s kružićima. Objasnimo njegovu primjenu. Nakon što ste završili sve zadatke i pronašli tačne odgovore (označeni su slovima A, B, C itd.), stavite list prozirnog papira na kartu. Koristite znakove "X" da označite tačne odgovore na njemu, kao i odgovarajući znak "+". Zatim položite prozirni list preko stranice tako da se registracione oznake poravnaju. Ako su sve oznake "X" u sivim krugovima na ovoj stranici, onda su zadaci ispravno obavljeni.

1.9. Redoslijed čitanja prirodnih brojeva

Prilikom čitanja prirodnog broja postupite na sljedeći način.

1. Mentalno podijelite broj na trojke (razrede) s desna na lijevo, s kraja broja.

1. Počevši od mlađeg razreda, s desna na lijevo (od kraja broja) zapišite nazive klasa: jedinice, hiljade, milioni, milijarde, trilioni, kvadrilioni, kvintilioni.
2. Čitaju broj počevši od srednje škole. U ovom slučaju se pozivaju broj bitnih jedinica i naziv klase.
3. Ako bit sadrži nulu (bit je prazan), onda se ne poziva. Ako su sve tri cifre imenovane klase nule (cifre su prazne), onda se ova klasa ne poziva.

Pročitajmo (imenuj) broj upisan u tabeli (vidi §1), prema koracima 1 - 4. Mentalno podijelimo broj 38001102987000128425 na klase s desna na lijevo: 038 001 102 987 000 128 425. Naznačavamo imena od klase u ovom broju, počevši od kraja njegovih zapisa: jedinice, hiljade, milioni, milijarde, trilioni, kvadrilioni, kvintilioni. Sada možete pročitati broj, počevši od starijeg razreda. Zovemo trocifreni, dvocifreni i jednocifrenim brojevima, dodajući ime odgovarajuće klase. Ne imenujemo prazne klase. Dobijamo sljedeći broj:

• 038 - trideset osam kvintiliona
• 001 - jedan kvadrilion
• 102 - sto dva triliona
• 987 - devetsto osamdeset sedam milijardi
• 000 - ne imenujemo (ne čitaj)
• 128 - sto dvadeset osam hiljada
• 425 - četiri stotine dvadeset pet

Kao rezultat, čitamo prirodni broj 38 001 102 987 000 128 425 na sljedeći način: "trideset osam kvintiliona jedan kvadrilion sto dva triliona devet stotina osamdeset sedam milijardi sto dvadeset osam hiljada četiri stotine dvadeset i pet."

1.9. Redoslijed pisanja prirodnih brojeva

Prirodni brojevi se pišu sljedećim redoslijedom.

1. Zapišite tri cifre svake klase, počevši od najviše klase do mjesta jedinica. U ovom slučaju, za viši razred mogu biti dvije ili jedna cifra.
2. Ako klasa ili kategorija nije imenovana, tada se nule upisuju u odgovarajuće kategorije.

Na primjer, broj dvadeset pet miliona trista dva napisano u obliku: 25 000 302 (klasa hiljada nije imenovana, pa su sve cifre klase hiljada napisane sa nulama).

1.10. Predstavljanje prirodnih brojeva kao zbir cifara

Dajemo primjer: 7,563,429 je decimalni zapis broja sedam miliona petsto šezdeset tri hiljade četiri stotine dvadeset devet. Ovaj broj sadrži sedam miliona, petsto hiljada, šest deset hiljada, tri hiljade, četiri stotine, dve desetice i devet jedinica. Može se predstaviti kao zbir: 7.563.429 = 7.000.000 + 500.000 + 60.000 + + 3.000 + 400 + 20 + 9. Ova notacija se naziva predstavljanjem prirodnog broja kao zbirom cifara.

Blok 1.11. zaigrajmo

Dungeon Treasures

Na igralištu je crtež iz Kiplingove bajke "Movgli". Pet sanduka ima katance. Da biste ih otvorili, morate riješiti probleme. Istovremeno, otvaranjem drvenog sanduka dobijate jedan bod. Otvaranje limenog sanduka daje vam dva boda, bakarni sanduk dobijate tri boda, srebrni kovčeg četiri boda, a zlatni kovčeg pet bodova. Pobjeđuje onaj ko najbrže otvori sve škrinje. Ista igra se može igrati na računaru.

1. Drveni sanduk

Pronađite koliko novca (u hiljadama rubalja) ima u ovoj škrinji. Da biste to učinili, morate pronaći ukupan broj najnižih cifarskih jedinica klase miliona za broj: 125308453231.

1. Limeni sanduk

Pronađite koliko novca (u hiljadama rubalja) ima u ovoj škrinji. Da biste to učinili, u broju 12530845323 pronađite broj jedinica najniže cifre u klasi jedinica i broj jedinica najniže cifre u klasi miliona. Zatim pronađite zbir ovih brojeva i dodajte broj na mjestu desetina miliona s desne strane.

1. Bakarni sanduk

Da biste pronašli novac u ovoj škrinji (u hiljadama rubalja), potrebno je u broju 751305432198203 pronaći broj najnižih cifarskih jedinica u klasi triliona i broj najnižih jedinica u klasi milijardi. Zatim pronađite zbir ovih brojeva i na desnoj strani upišite prirodne brojeve klase jedinica ovog broja po redoslijedu njihovog položaja.

1. Srebrni kovčeg

Novac u ovom sanduku (u milionima rubalja) će biti prikazan zbirom dva broja: brojem najnižih cifarskih jedinica klase hiljadu i jedinica srednje cifre klase milijarde za broj 481534185491502.

1. Zlatni kovčeg

Dat je broj 800123456789123456789. Ako pomnožimo brojeve u najvišim ciframa svih klasa ovog broja, dobićemo novac ovog sanduka u milion rubalja.

Blok 1.12. Match

Pisanje prirodnih brojeva. Predstavljanje prirodnih brojeva kao zbir cifara

Za svaki zadatak u lijevoj koloni odaberite rješenje iz desne kolone. Odgovor napišite u obliku: 1a; 2g; 3b…

	Napišite broj u brojevima: pet miliona dvadeset pet hiljada
	Napišite broj u brojevima: pet milijardi dvadeset pet miliona
	Napišite broj u brojevima: pet triliona dvadeset pet
	Napišite broj u brojevima: sedamdeset sedam miliona sedamdeset sedam hiljada sedam stotina sedamdeset sedam
	Napišite broj u brojevima: sedamdeset sedam triliona sedam stotina sedamdeset sedam hiljada sedam
	Napišite broj u brojevima: sedamdeset sedam miliona sedam stotina sedamdeset sedam hiljada sedam
	Napišite broj u brojevima: sto dvadeset tri milijarde četiri stotine pedeset šest miliona sedam stotina osamdeset devet hiljada
	Napišite broj u brojevima: sto dvadeset tri miliona četiri stotine pedeset šest hiljada sedam stotina osamdeset devet
	Napišite broj u brojevima: tri milijarde jedanaest
	Napišite broj u brojevima: tri milijarde jedanaest miliona

Opcija 2

	trideset dve milijarde sto sedamdeset pet miliona dvesta devedeset osam hiljada trista četrdeset jedan		100000000 + 1000000 + 10000 + 100 + 1
	Predstavite broj kao zbir cifara: trista dvadeset jedan milion četrdeset jedan		30000000000 + 2000000000 + 100000000 + 70000000 + 5000000 + 200000 + 90000 + 8000 + 300 + 40 + 1
	Predstavite broj kao zbir cifara: 321000175298341
	Predstavite broj kao zbir cifara: 101010101
	Predstavite broj kao zbir cifara: 11111		300000000 + 20000000 + 1000000 +
	5000000 + 300000 + 20000 + 1000
	Zapišite decimalnim zapisom broj predstavljen kao zbir cifara: 5000000 + 300 + 20 + 1		30000000000000 + 2000000000000 + 1000000000000 + 100000000 + 70000000 + 5000000 + 200000 + 90000 + 8000 + 300 + 40 + 1
	Zapišite decimalnim zapisom broj predstavljen kao zbir cifara: 10000000000 + 2000000000 + 100000 + 10 + 9
	Zapišite decimalnim zapisom broj predstavljen kao zbir cifara: 10000000000 + 2000000000 + 100000000 + 10000000 + 9000000
	Zapišite decimalnim zapisom broj predstavljen kao zbir cifara: 9000000000000 + 9000000000 + 9000000 + 9000 + 9		10000 + 1000 + 100 + 10 + 1

Blok 1.13. Fasetni test

Naziv testa dolazi od riječi "oko spojenih insekata". Ovo je složeno oko koje se sastoji od pojedinačnih „očela“. Fasetni test zadaci se formiraju od pojedinačnih elemenata označenih brojevima. Tipično, fasetni testovi sadrže veliki broj zadataka. Ali postoje samo četiri problema u ovom testu, ali oni su sastavljeni od veliki broj elementi. Ovo je dizajnirano da vas nauči kako da "sastavite" probleme testa. Ako ih možete kreirati, lako ćete se nositi s drugim testovima.

Objasnimo kako se sastavljaju zadaci na primjeru trećeg zadatka. Sastoji se od testnih elemenata označenih brojevima: 1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 9, 10, 16, 17, 22, 21, 25

« Ako» 1) uzeti brojeve (cifre) iz tabele; 4) 7; 7) stavite ga u kategoriju; 11) milijarde; 1) uzmite broj iz tabele; 5) 8; 7) stavite ga u kategorije; 9) desetine miliona; 10) stotine miliona; 16) stotine hiljada; 17) desetine hiljada; 22) Postavite brojeve 9 i 6 na hiljade i stotine mjesta. 21) ispunite preostale bitove nulama; " TO» 26) dobijamo broj jednak vremenu (periodu) okretanja planete Pluton oko Sunca u sekundama (s); " Ovaj broj je jednak": 7880889600 str. U odgovorima je označeno slovom "V".

Prilikom rješavanja zadataka olovkom upišite brojeve u ćelije tabele.

Fasetni test. Izmisli broj

Tabela sadrži brojeve:

Ako

1) uzmite brojeve iz tabele:

2) 4; 3) 5; 4) 7; 5) 8; 6) 9;

7) staviti ovu(e) cifru(e) u cifru(e);

8) stotine kvadriliona i desetine kvadriliona;

9) desetine miliona;

10) stotine miliona;

11) milijarde;

12) kvintiliona;

13) desetine kvintiliona;

14) stotine kvintiliona;

15) trilion;

16) stotine hiljada;

17) desetine hiljada;

18) popuni razred(e) njime (njih);

19) kvintiliona;

20) milijardi;

21) popuniti preostale bitove nulama;

22) stavite brojeve 9 i 6 na mesta hiljada i stotina;

23) dobijamo broj jednak masi Zemlje u desetinama tona;

24) dobijamo broj približno jednak zapremini Zemlje u kubnim metrima;

25) dobijamo broj jednak udaljenosti (u metrima) od Sunca do najudaljenije planete Solarni sistem Pluton;

26) dobijamo broj jednak vremenu (periodu) okretanja planete Pluton oko Sunca u sekundama (s);

Ovaj broj je jednak:

a) 5929000000000

b) 9999900000000000000000

d) 5980000000000000000000

Riješiti probleme:

1, 3, 6, 5, 18, 19, 21, 23

1, 6, 7, 14, 13, 12, 8, 21, 24

1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 10, 9, 16, 17, 22, 21, 26

1, 3, 7, 15, 1, 6, 2, 6, 18, 20, 21, 25

Odgovori

1, 3, 6, 5, 18, 19, 21, 23 - g

1, 6, 7, 14, 13, 12, 8, 21, 24 - b

1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 10, 9, 16, 17, 22, 21, 26 - in

1, 3, 7, 15, 1, 6, 2, 6, 18, 20, 21, 25 - a

Prirodni brojevi i njihova svojstva

Prirodni brojevi se koriste za brojanje objekata u životu. Prilikom pisanja bilo kojeg prirodnog broja koriste se brojevi $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$.

Niz prirodnih brojeva, u kojem je svaki sljedeći broj za 1$ veći od prethodnog, formira prirodni niz koji počinje s jedan (pošto je jedan najmanji prirodan broj) i nema najveća vrijednost, tj. beskonačno.

Nula se ne smatra prirodnim brojem.

Svojstva odnosa sukcesije

Sva svojstva prirodnih brojeva i operacije nad njima proizlaze iz četiri svojstva sukcesijskih odnosa, koje je 1891. godine formulirao D. Peano:

Jedan je prirodan broj koji ne slijedi nijedan prirodni broj.

Svaki prirodni broj prati jedan i samo jedan broj

Svaki prirodni broj osim $1$ slijedi jedan i samo jedan prirodni broj

Podskup prirodnih brojeva koji sadrži broj $1$, i zajedno sa svakim brojem koji slijedi iza njega, sadrži sve prirodne brojeve.

Ako se unos prirodnog broja sastoji od jedne cifre, naziva se jednocifrenim (na primjer, $2,6,9$, itd.), ako se unos sastoji od dvije znamenke, naziva se dvocifrenim (na primjer, $12 ,18,45$) itd. Slično. Dvocifrene, trocifrene, četvorocifrene itd. U matematici se brojevi nazivaju višeznačnim.

Svojstvo sabiranja prirodnih brojeva

Komutativno svojstvo: $a+b=b+a$

Zbir se ne mijenja kada se termini preurede

Kombinativno svojstvo: $a+ (b+c) =(a+b) +c$

Da biste broju dodali zbir dva broja, prvo možete dodati prvi član, a zatim, rezultirajućem zbiru, dodati drugi član

Dodavanjem nule ne mijenja se broj, a ako dodate bilo koji broj nuli, dobićete dodani broj.

Svojstva oduzimanja

Svojstvo oduzimanja sume od broja $a-(b+c) =a-b-c$ ako je $b+c ≤ a$

Da biste od broja oduzeli zbroj, možete prvo oduzeti prvi član od ovog broja, a zatim drugi član od nastale razlike.

Svojstvo oduzimanja broja od zbira $(a+b) -c=a+(b-c)$ ako je $c ≤ b$

Da biste oduzeli broj od zbroja, možete ga oduzeti od jednog člana i dodati drugi član rezultujućoj razlici.

Ako od broja oduzmete nulu, broj se neće promijeniti

Ako ga oduzmete od samog broja, dobićete nulu

Svojstva množenja

Komunikativni $a\cdot b=b\cdot a$

Proizvod dva broja se ne mijenja kada se faktori preurede

Konjunktiv $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$

Da biste broj pomnožili umnoškom dva broja, prvo ga možete pomnožiti s prvim faktorom, a zatim pomnožiti dobiveni proizvod s drugim faktorom

Kada se pomnoži sa jedan, proizvod se ne mijenja $m\cdot 1=m$

Kada se pomnoži sa nulom, proizvod je nula

Kada u zapisu proizvoda nema zagrada, množenje se vrši redom s lijeva na desno

Svojstva množenja u odnosu na sabiranje i oduzimanje

Distributivno svojstvo množenja u odnosu na sabiranje

$(a+b)\cdot c=ac+bc$

Da biste zbroj pomnožili brojem, možete svaki pojam pomnožiti s ovim brojem i dodati dobijene proizvode

Na primjer, $5(x+y)=5x+5y$

Distributivno svojstvo množenja u odnosu na oduzimanje

$(a-b)\cdot c=ac-bc$

Da biste razliku pomnožili brojem, pomnožite minus i oduzeti ovim brojem i oduzmite drugi od prvog proizvoda

Na primjer, $5(x-y)=5x-5y$

Poređenje prirodnih brojeva

Za bilo koje prirodne brojeve $a$ i $b$ može biti zadovoljena samo jedna od tri relacije: $a=b$, $a

Broj koji se pojavi ranije u prirodnom nizu smatra se manjim, a broj koji se pojavi kasnije smatra se većim. Nula je manja od bilo kojeg prirodnog broja.

Primjer 1

Uporedite brojeve $a$ i $555$, ako je poznato da postoji određeni broj $b$, i vrijede sljedeće relacije: $a

Rješenje: Na osnovu navedenog svojstva, jer po uslovu $a

u svakom podskupu prirodnih brojeva koji sadrži barem jedan broj postoji najmanji broj

U matematici, podskup je dio skupa. Za skup se kaže da je podskup drugog ako je svaki element podskupa ujedno i element većeg skupa

Često, da bi uporedili brojeve, pronađu njihovu razliku i uporede je sa nulom. Ako je razlika veća od $0$, ali prvi broj više od drugog, ako je razlika manja od $0$, tada je prvi broj manji od drugog.

Zaokruživanje prirodnih brojeva

Kada puna preciznost nije potrebna ili nije moguća, brojevi se zaokružuju, odnosno zamjenjuju se bliskim brojevima sa nulama na kraju.

Prirodni brojevi se zaokružuju na desetice, stotine, hiljade itd.

Kada se broj zaokružuje na desetice, zamjenjuje se najbližim brojem koji se sastoji od cijelih desetica; takav broj ima cifru $0$ na mjestu jedinica

Kada se broj zaokružuje na najbližu stotinu, zamjenjuje se najbližim brojem koji se sastoji od cijelih stotina; takav broj mora imati cifru $0$ na mjestu desetica i jedinica. itd

Brojevi na koje se to zaokružuje nazivaju se približna vrijednost broja sa tačnošću naznačenih cifara. Na primjer, ako zaokružite broj $564$ na desetice, nalazimo da ga možete zaokružiti naniže i dobiti $560$, ili sa viškom i dobijete 570$.

Pravilo za zaokruživanje prirodnih brojeva

Ako se desno od cifre na koju je broj zaokružen nalazi cifra $5$ ili cifra veća od $5$, tada se cifri ove cifre dodaje $1$; inače ova brojka ostaje nepromijenjena

Sve cifre koje se nalaze desno od cifre na koju je broj zaokružen zamjenjuju se nulama