Što je sinus kosinus tangenta kotangens definicije. Grafikon tangentne funkcije, y = tan x. Izračunavanje sinusa korištenjem drugih trigonometrijskih funkcija

Trigonometrija je grana matematičke nauke koja proučava trigonometrijske funkcije i njihovu upotrebu u geometriji. Razvoj trigonometrije započeo je još u danima antičke Grčke. Tokom srednjeg vijeka, naučnici sa Bliskog istoka i Indije dali su značajan doprinos razvoju ove nauke.

Ovaj članak je posvećen osnovni koncepti i definicije trigonometrije. Raspravlja o definicijama osnovnih trigonometrijskih funkcija: sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. Njihovo značenje je objašnjeno i ilustrovano u kontekstu geometrije.

Yandex.RTB R-A-339285-1

U početku su definicije trigonometrijskih funkcija čiji je argument ugao izražene u smislu omjera strana pravokutnog trougla.

Definicije trigonometrijskih funkcija

Sinus ugla (sin α) je omjer kraka nasuprot ovom kutu i hipotenuze.

Kosinus ugla (cos α) - omjer susjednog kraka i hipotenuze.

Tangent ugla (t g α) - omjer suprotne strane prema susjednoj strani.

Kotangens ugla (c t g α) - omjer susjedne i suprotne strane.

Ove definicije su date za oštar ugao pravougli trougao!

Hajde da damo ilustraciju.

U trouglu ABC sa pravim uglom C, sinus ugla A jednak je odnosu kraka BC i hipotenuze AB.

Definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa omogućavaju vam da izračunate vrijednosti ovih funkcija pomoću poznate dužine strane trougla.

Važno je zapamtiti!

Raspon vrijednosti sinusa i kosinusa je od -1 do 1. Drugim riječima, sinus i kosinus uzimaju vrijednosti od -1 do 1. Raspon vrijednosti tangenta i kotangensa je cijela brojevna prava, odnosno, ove funkcije mogu poprimiti bilo koju vrijednost.

Gore date definicije se odnose na oštre uglove. U trigonometriji se uvodi koncept ugla rotacije čija vrijednost, za razliku od oštrog ugla, nije ograničena na 0 do 90 stepeni. Ugao rotacije u stepenima ili radijanima izražava se bilo kojim realnim brojem od - ∞ do + ∞ .

U tom kontekstu možemo definirati sinus, kosinus, tangent i kotangens ugla proizvoljne veličine. Zamislimo jediničnu kružnicu sa centrom u početku kartezijanskog koordinatnog sistema.

Početna tačka A sa koordinatama (1, 0) rotira se oko centra jedinični krug na neki ugao α i ide u tačku A 1 . Definicija je data u smislu koordinata tačke A 1 (x, y).

Sinus (sin) ugla rotacije

Sinus ugla rotacije α je ordinata tačke A 1 (x, y). sin α = y

Kosinus (cos) ugla rotacije

Kosinus ugla rotacije α je apscisa tačke A 1 (x, y). cos α = x

Tangenta (tg) ugla rotacije

Tangens ugla rotacije α je odnos ordinate tačke A 1 (x, y) i njene apscise. t g α = y x

Kotangens (ctg) ugla rotacije

Kotangens ugla rotacije α je odnos apscise tačke A 1 (x, y) i njene ordinate. c t g α = x y

Sinus i kosinus su definirani za bilo koji kut rotacije. To je logično, jer se apscisa i ordinata točke nakon rotacije mogu odrediti pod bilo kojim kutom. Situacija je drugačija sa tangentom i kotangensom. Tangenta je nedefinisana kada tačka nakon rotacije ide u tačku sa nultom apscisom (0, 1) i (0, - 1). U takvim slučajevima izraz za tangentu t g α = y x jednostavno nema smisla, jer sadrži podjelu nulom. Slična je situacija i sa kotangensom. Razlika je u tome što kotangens nije definisan u slučajevima kada ordinata tačke ide na nulu.

Važno je zapamtiti!

Sinus i kosinus su definirani za sve uglove α.

Tangenta je definirana za sve uglove osim α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

Kotangens je definiran za sve uglove osim α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Prilikom odlučivanja praktični primjeri nemojte reći "sinus ugla rotacije α". Riječi “ugao rotacije” jednostavno su izostavljene, što implicira da je već iz konteksta jasno o čemu se govori.

Brojevi

Šta je sa definicijom sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa broja, a ne ugla rotacije?

Sinus, kosinus, tangent, kotangens broja

Sinus, kosinus, tangent i kotangens broja t je broj koji je, respektivno, jednak sinusu, kosinusu, tangentu i kotangensu u t radian.

Na primjer, sinus broja 10 π jednak je sinusu ugla rotacije od 10 π rad.

Postoji još jedan pristup za određivanje sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa broja. Pogledajmo to izbliza.

Bilo koji pravi broj t tačka na jediničnom krugu je povezana sa centrom u početku pravougaonog kartezijanskog koordinatnog sistema. Sinus, kosinus, tangent i kotangens se određuju preko koordinata ove tačke.

Početna tačka na kružnici je tačka A sa koordinatama (1, 0).

Pozitivan broj t

Negativan broj t odgovara tački do koje će početna tačka ići ako se kreće po kružnici u smjeru suprotnom od kazaljke na satu i prođe putanju t.

Sada kada je uspostavljena veza između broja i tačke na kružnici, prelazimo na definiciju sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa.

Sinus (grijeh) od t

Sinus broja t- ordinata tačke na jediničnom krugu koja odgovara broju t. sin t = y

Kosinus (cos) od t

Kosinus broja t- apscisa tačke jedinične kružnice koja odgovara broju t. cos t = x

Tangenta (tg) od t

Tangent broja t- odnos ordinate i apscise tačke na jediničnom krugu koja odgovara broju t. t g t = y x = sin t cos t

Najnovije definicije su u skladu i nisu u suprotnosti sa definicijom datom na početku ovog stava. Tačka na krugu koji odgovara broju t, poklapa se sa tačkom do koje ide početna tačka nakon skretanja za ugao t radian.

Trigonometrijske funkcije ugaonog i numeričkog argumenta

Svaka vrijednost ugla α odgovara određenoj vrijednosti sinusa i kosinusa ovog ugla. Kao i svi uglovi α osim α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) odgovaraju određenoj vrijednosti tangente. Kotangens, kao što je gore navedeno, je definisan za sve α osim α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Možemo reći da su sin α, cos α, t g α, c t g α funkcije ugla alfa, ili funkcije kutnog argumenta.

Slično, možemo govoriti o sinusima, kosinusima, tangentima i kotangensima kao funkcijama numeričkog argumenta. Svaki pravi broj t odgovara određenoj vrijednosti sinusa ili kosinusa broja t. Svi brojevi osim π 2 + π · k, k ∈ Z, odgovaraju tangentnoj vrijednosti. Kotangens je, slično, definiran za sve brojeve osim π · k, k ∈ Z.

Osnovne funkcije trigonometrije

Sinus, kosinus, tangent i kotangens su osnovne trigonometrijske funkcije.

Obično je iz konteksta jasno s kojim argumentom trigonometrijske funkcije (ugaoni argument ili numerički argument) imamo posla.

Vratimo se definicijama datim na samom početku i alfa kutu, koji se nalazi u rasponu od 0 do 90 stepeni. Trigonometrijske definicije sinus, kosinus, tangenta i kotangens u potpunosti su u skladu s geometrijskim definicijama datim korištenjem omjera strana pravokutnog trokuta. Hajde da to pokažemo.

Uzmimo jediničnu kružnicu sa centrom u pravougaonom Dekartovom koordinatnom sistemu. Rotiramo početnu tačku A (1, 0) za ugao do 90 stepeni i povučemo okomitu na osu apscise iz rezultirajuće tačke A 1 (x, y). U primljenom pravougaonog trougla ugao A 1 O H jednaka uglu zaokret α, dužina kraka O H jednaka je apscisi tačke A 1 (x, y). Dužina kraka nasuprot ugla jednaka je ordinati tačke A 1 (x, y), a dužina hipotenuze jednaka je jedan, jer je to poluprečnik jedinične kružnice.

U skladu sa definicijom iz geometrije, sinus ugla α jednak je omjeru suprotne strane prema hipotenuzi.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

To znači da je određivanje sinusa oštrog ugla u pravokutnom trokutu kroz omjer stranica ekvivalentno određivanju sinusa ugla rotacije α, pri čemu alfa leži u rasponu od 0 do 90 stepeni.

Slično, korespondencija definicija se može prikazati za kosinus, tangent i kotangens.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Predavanje: Sinus, kosinus, tangent, kotangens proizvoljnog ugla

Sinus, kosinus proizvoljnog ugla

Da bismo razumjeli šta su trigonometrijske funkcije, pogledajmo krug s jediničnim polumjerom. Ova kružnica ima centar u početku koordinatne ravni. Za utvrđivanje specificirane funkcije koristićemo radijus vektor ILI, koji počinje u centru kruga, i tačku R je tačka na kružnici. Ovaj radijus vektor formira ugao alfa sa osom OH. Pošto krug ima poluprečnik, jednako jedan, To ILI = R = 1.

Ako iz tačke R spustite okomicu na osu OH, tada dobijamo pravougaoni trokut sa hipotenuzom jednakom jedan.

Ako se radijus vektor kreće u smjeru kazaljke na satu, onda se ovaj smjer naziva negativan, ako se kreće suprotno od kazaljke na satu - pozitivno.

Sinus ugla ILI, je ordinata tačke R vektor na kružnici.

Odnosno, da bi se dobila vrijednost sinusa datog ugla alfa, potrebno je odrediti koordinatu U na površini.

Kako je dobijena ova vrijednost? Pošto znamo da je sinus proizvoljnog ugla u pravokutnom trokutu omjer suprotne katete i hipotenuze, dobijamo da je

I od tada R=1, To sin(α) = y 0 .

U jediničnom krugu vrijednost ordinate ne može biti manja od -1 i veća od 1, što znači

Sinus prihvata pozitivna vrijednost u prvoj i drugoj četvrtini jediničnog kruga, au trećoj i četvrtoj - negativno.

Kosinus ugla dati krug formiran radijus vektorom ILI, je apscisa tačke R vektor na kružnici.

To jest, da bi se dobila kosinusna vrijednost zadanog ugla alfa, potrebno je odrediti koordinate X na površini.

Kosinus proizvoljnog ugla u pravokutnom trokutu je omjer susjednog kraka i hipotenuze, dobivamo da

I od tada R=1, To cos(α) = x 0 .

U jediničnom krugu vrijednost apscise ne može biti manja od -1 i veća od 1, što znači

Kosinus ima pozitivnu vrijednost u prvoj i četvrtoj četvrtini jediničnog kruga, a negativnu u drugoj i trećoj.

Tangentaproizvoljan ugao Izračunava se omjer sinusa i kosinusa.

Ako uzmemo u obzir pravokutni trokut, onda je to omjer suprotne strane prema susjednoj strani. Ako mi pričamo o tome o jediničnom krugu, onda je ovo omjer ordinate prema apscisi.

Sudeći po ovim odnosima, može se shvatiti da tangenta ne može postojati ako je vrijednost apscise nula, odnosno pod uglom od 90 stepeni. Tangenta može poprimiti sve druge vrijednosti.

Tangenta je pozitivna u prvoj i trećoj četvrtini jedinične kružnice, a negativna u drugoj i četvrtoj.

Referentni podaci za tangentu (tg x) i kotangens (ctg x). Geometrijska definicija, svojstva, grafikoni, formule. Tablica tangenta i kotangensa, izvoda, integrala, proširenja nizova. Izrazi kroz kompleksne varijable. Veza sa hiperboličkim funkcijama.

Geometrijska definicija

|BD| - dužina luka kružnice sa centrom u tački A.
α je ugao izražen u radijanima.

tangenta ( tan α) je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru dužine suprotne krake |BC| na dužinu susedne noge |AB| .

kotangens ( ctg α) je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru dužine susjednog kraka |AB| na dužinu suprotne noge |BC| .

Tangenta

Gdje n- cela.

U zapadnoj literaturi tangenta se označava na sljedeći način:
.
;
;
.

Grafikon tangentne funkcije, y = tan x

Kotangens

Gdje n- cela.

U zapadnoj literaturi kotangens se označava na sljedeći način:
.
Sljedeće oznake su također prihvaćene:
;
;
.

Grafikon kotangens funkcije, y = ctg x

Svojstva tangente i kotangensa

Periodičnost

Funkcije y = tg x i y = ctg x su periodične sa periodom π.

Paritet

Tangentne i kotangensne funkcije su neparne.

Područja definicije i vrijednosti, povećanje, smanjenje

Tangentne i kotangensne funkcije su kontinuirane u svojoj domeni definicije (vidi dokaz kontinuiteta). Glavna svojstva tangente i kotangensa prikazana su u tabeli ( n- cijeli).

Formule

Izrazi koji koriste sinus i kosinus

; ;
; ;
;

Formule za tangentu i kotangens iz zbira i razlike

Preostale formule je lako dobiti, na primjer

Proizvod tangenti

Formula za zbir i razliku tangenta

Ova tabela prikazuje vrijednosti tangenta i kotangensa za određene vrijednosti argumenta.

Izrazi koji koriste kompleksne brojeve

Izrazi kroz hiperboličke funkcije

;
;

Derivati

; .

.
Derivat n-tog reda u odnosu na varijablu x funkcije:
.
Izvođenje formula za tangentu > > > ; za kotangens > > >

Integrali

Proširenja serije

Da biste dobili proširenje tangente po stepenu x, morate uzeti nekoliko članova proširenja u power series za funkcije sin x I cos x i podijeliti ove polinome jedni s drugima, . Ovo proizvodi sljedeće formule.

U .

u .
Gdje Bn- Bernulijevi brojevi. One se određuju ili iz relacije recidiva:
;
;
Gdje .
Ili prema Laplaceovoj formuli:

Inverzne funkcije

Inverzne funkcije na tangentu i kotangens su arktangens i arkkotangens, respektivno.

Arktangent, arctg

, Gdje n- cela.

Arkotangenta, arcctg

, Gdje n- cela.

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente, „Lan“, 2009.
G. Korn, Priručnik iz matematike za naučnike i inženjere, 2012.

Lekcija na temu "Sinus, kosinus i tangens oštrog ugla pravokutnog trokuta"

Ciljevi lekcije:

edukativni - uvesti pojam sinusa, kosinusa, tangenta oštrog ugla u pravokutnom trokutu, istražiti zavisnosti i odnose između ovih veličina;

razvoj - formiranje pojma sinusa, kosinusa, tangente kao funkcije ugla, domen definicije trigonometrijskih funkcija, razvoj logičko razmišljanje, razvoj pravilnog matematičkog govora;

vaspitni – razvijanje vještina samostalnog rada, kulture ponašanja, tačnosti u vođenju evidencije.

Napredak lekcije:

1. Organiziranje vremena

„Obrazovanje nije broj oduzetih lekcija, već broj shvaćenih. Dakle, ako želite ići naprijed, požurite polako i budite oprezni."

2. Motivacija časa.

Jedan mudrac je rekao: „Najviša manifestacija duha je um. Najviša manifestacija razuma je geometrija. Geometrijska ćelija je trokut. Neiscrpan je kao Univerzum. Krug je duša geometrije. Upoznajte krug i ne samo da ćete upoznati dušu geometrije, već ćete uzdići svoju dušu.”

Pokušat ćemo zajedno s vama malo istražiti. Hajde da podijelimo vaše ideje koje vam padaju na pamet i ne bojte se pogriješiti, svaka misao može nam dati novi smjer traženja. Možda se nekome naša postignuća neće činiti sjajna, ali to će biti naša vlastita postignuća!

3. Ažuriranje osnovnih znanja.

Koji uglovi mogu postojati?

Šta su trouglovi?

Koji su glavni elementi koji definiraju trokut?

Koje vrste trouglova postoje u zavisnosti od stranica?

Koje vrste trouglova postoje u zavisnosti od uglova?

Šta je noga?

Šta je hipotenuza?

Kako se zovu stranice pravouglog trougla?

Koje odnose između stranica i uglova ovog trougla znate?

Zašto trebate znati odnose između stranica i uglova?

Koji problemi u životu mogu dovesti do potrebe za izračunavanjem nepoznatih strana u trouglu?

Izraz “hipotenuza” dolazi od grčke riječi “hyponeinouse”, što znači “natezanje preko nečega”, “skupljanje”. Riječ potiče od slike starogrčkih harfi, na kojima su žice nategnute na krajevima dva međusobno okomita stalka. Izraz "cathetus" dolazi od grčke riječi "kathetos", što znači početak "visice", "okomice".

Euklid je rekao: "Noge su stranice koje zatvaraju pravi ugao."

IN Ancient Greece već je bio poznat metod za konstruisanje pravouglog trougla na tlu. Da bi to učinili, koristili su uže na kojem je bilo vezano 13 čvorova, na istoj udaljenosti jedan od drugog. Tokom izgradnje piramida u Egiptu, na ovaj način su napravljeni pravougli trouglovi. To je vjerovatno razlog zašto je pravougli trokut sa stranicama 3,4,5 nazvan egipatskim trouglom.

4. Proučavanje novog gradiva.

U davna vremena ljudi su posmatrali zvezde i na osnovu ovih zapažanja vodili kalendar, računali datume setve i vreme rečnih poplava; brodovi na moru i karavani na kopnu kretali su se na svom putu po zvijezdama. Sve je to dovelo do potrebe da naučimo kako izračunati stranice u trouglu, čija su dva vrha na tlu, a treći je predstavljen tačkom na zvjezdanom nebu. Na osnovu te potrebe nastala je nauka trigonometrija - nauka koja proučava veze između stranica trougla.

Mislite li da su odnosi koje već poznajemo dovoljni za rješavanje takvih problema?

Svrha današnje lekcije je da se istraže nove veze i zavisnosti, da se izvedu odnosi, pomoću kojih ćete u narednim časovima geometrije moći da rešavate ovakve probleme.

Osjetimo se u ulozi naučnika i, slijedeći antičke genije Talesa, Euklida, Pitagoru, koračamo putem traganja za istinom.

Za to nam je potrebna teorijska osnova.

Označite ugao A i krak BC crvenom bojom.

Istaknite zeleno leg AC.

Izračunajmo koji je dio suprotne strane za oštar ugao A u odnosu na njegovu hipotenuzu; da bismo to učinili, sastavimo omjer suprotne strane prema hipotenuzi:

Ovaj omjer ima posebno ime - tako da svaka osoba u svakoj tački planete razumije da je riječ o broju koji predstavlja omjer suprotne strane oštrog ugla prema hipotenuzi. Ova riječ je sinusna. Zapisati. Pošto riječ sinus bez naziva ugla gubi svako značenje, matematička notacija je sljedeća:

Sada sastavite omjer susjednog kraka i hipotenuze za oštar ugao A:

Ovaj omjer se naziva kosinus. Njegova matematička notacija:

Razmotrimo drugi omjer za oštar ugao A: omjer suprotne strane prema susjednoj strani:

Ovaj omjer se naziva tangenta. Njegova matematička notacija:

5. Konsolidacija novog materijala.

Objedinimo naša posredna otkrića.

Sinus je...

kosinus je...

Tangenta je...

Usmeno riješiti br. 88, 889, 892 (rad u parovima).

Koristeći stečeno znanje za rješavanje praktičnog problema:

“Sa tornja svjetionika, visine 70 m, vidljiv je brod pod uglom od 3° prema horizontu. Kako to izgleda

udaljenost od svjetionika do broda?

Problem se rješava frontalno. U toku diskusije pravimo crtež i potrebne beleške na tabli i u sveskama.

Prilikom rješavanja problema koriste se Bradisove tabele.

Razmotrite rješenje problema na stranici 175.

Riješi br. 902(1).

6. Vježba za oči.

Ne okrećući glavu, pogledajte oko zida učionice oko perimetra u smjeru kazaljke na satu, tablu oko perimetra u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, trougao prikazan na postolju u smjeru kazaljke na satu i jednak trokut u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Okrenite glavu ulijevo i pogledajte liniju horizonta, a sada i vrh nosa. Zatvorite oči, izbrojite do 5, otvorite oči i...

Stavićemo dlanove na oči,
Raširimo naše jake noge.
Okretanje udesno
Pogledajmo okolo veličanstveno.
I ti trebaš ići lijevo
Pogledaj ispod dlanova.
I - desno! I dalje
Preko levog ramena!
Sada nastavimo sa radom.

7. Samostalan rad studenti.

Reši br.

8. Sažetak lekcije. Refleksija. D/z.

Koje ste nove stvari naučili? na lekciji:

da li si razmatrao...

analizirao si...

Dobili ste…

zaključili ste...

proširili ste svoj vokabular sljedećim terminima...

Svjetska nauka je započela geometrijom. Osoba se ne može istinski kulturno i duhovno razvijati ako nije učila geometriju u školi. Geometrija je nastala ne samo iz praktičnih, već i iz duhovnih potreba čovjeka.

Ovako je poetski objasnila svoju ljubav prema geometriji

Volim geometriju...

Predajem geometriju jer je volim

Potrebna nam je geometrija, bez nje ne možemo nikuda.

Sinus, kosinus, obim - ovdje je sve važno,

Ovdje je sve potrebno

Samo treba da naučite i razumete sve veoma jasno,

Rešite zadatke i testove na vreme.

Sinus oštar ugao α pravouglog trougla je omjer suprotno krak u hipotenuzu.
Označava se na sljedeći način: sin α.

Kosinus Oštar ugao α pravokutnog trougla je omjer susjednog kraka i hipotenuze.
Označava se kako slijedi: cos α.

Tangenta oštar ugao α je omjer suprotne i susjedne strane.
Označava se kako slijedi: tg α.

Kotangens oštar ugao α je omjer susjedne i suprotne strane.
Označava se kako slijedi: ctg α.

Sinus, kosinus, tangent i kotangens ugla zavise samo od veličine ugla.

pravila:

Basic trigonometrijski identiteti u pravokutnom trouglu:

(α – oštar ugao nasuprot nozi b i uz nogu a . Side With – hipotenuza. β – drugi oštri ugao).

Kako se akutni ugao povećavasin α itan α povećanje, icos α se smanjuje.

Za bilo koji oštar ugao α:

sin (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = sin α

Primjer-objašnjenje:

Neka je pravougli trokut ABC
AB = 6,
BC = 3,
ugao A = 30º.

Hajde da saznamo sinus ugla A i kosinus ugla B.

Rješenje .

1) Prvo, nalazimo vrijednost ugla B. Ovdje je sve jednostavno: pošto je u pravokutnom trokutu zbir oštrih uglova 90º, onda je ugao B = 60º:

B = 90º – 30º = 60º.

2) Izračunajmo sin A. Znamo da je sinus jednak omjeru suprotne strane prema hipotenuzi. Za ugao A suprotnoj nozi je strana sunca. dakle:

BC 3 1
sin A = -- = - = -
AB 6 2

3) Sada izračunajmo cos B. Znamo da je kosinus jednak omjeru susjednog kraka i hipotenuze. Za ugao B susjedna noga je i dalje ista strana sunca. To znači da opet trebamo podijeliti BC sa AB - odnosno izvršiti iste radnje kao pri izračunavanju sinusa kuta A:

BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Rezultat je:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

Iz ovoga slijedi da je u pravokutnom trokutu sinus jednog oštrog ugla jednak kosinsu drugog oštrog ugla - i obrnuto. Upravo to znače naše dvije formule:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α

Uvjerimo se još jednom u ovo:

1) Neka je α = 60º. Zamjenom vrijednosti α u sinusnu formulu, dobijamo:
sin (90º – 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) Neka je α = 30º. Zamjenom vrijednosti α u kosinus formulu, dobijamo:
cos (90° – 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30º.

(Za više informacija o trigonometriji pogledajte odjeljak Algebra)