Primjeri kako pretvoriti razlomak u izraz. Apstrakt: Identične transformacije izraza i metode podučavanja učenika kako da ih izvode

Prvi nivo

Pretvaranje izraza. Detaljna teorija (2019)

Pretvaranje izraza

Često čujemo ovu neugodnu frazu: "pojednostavite izraz". Obično vidimo neku vrstu čudovišta poput ovog:

„Mnogo je jednostavnije“, kažemo, ali takav odgovor obično ne funkcioniše.

Sada ću vas naučiti da se ne plašite takvih zadataka. Štaviše, na kraju lekcije, sami ćete pojednostaviti ovaj primjer na (samo!) običan broj (da, dovraga s ovim slovima).

Ali prije nego što započnete ovu lekciju, morate znati rukovati razlomcima i faktorskim polinomima. Stoga, prvo, ako to ranije niste radili, svakako savladajte teme “” i “”.

Jeste li ga pročitali? Ako jeste, onda ste sada spremni.

Osnovne operacije pojednostavljivanja

Pogledajmo sada osnovne tehnike koje se koriste za pojednostavljenje izraza.

Najjednostavniji je

1. Donošenje sličnog

Šta su slični? Uzeli ste ovo u 7. razredu, kada su se u matematici prvi put pojavila slova umjesto brojeva. Slični su pojmovi (monomi) sa istim slovnim dijelom. Na primjer, u zbroju, slični pojmovi su i.

Sjećaš li se?

Donijeti slično znači dodati nekoliko sličnih pojmova jedan drugom i dobiti jedan pojam.

Kako možemo spojiti slova? - pitate.

Ovo je vrlo lako razumjeti ako zamislite da su slova neka vrsta objekata. Na primjer, pismo je stolica. Čemu je onda izraz jednak? Dvije stolice plus tri stolice, koliko će to biti? Tako je, stolice: .

Sada pokušajte s ovim izrazom: .

Da ne bude zabune, neka različita slova predstavljaju različite objekte. Na primjer, - je (kao i obično) stolica, a - je stol. onda:

stolice stolovi stolovi stolovi stolice stolice stolovi

Zovu se brojevi kojima se množe slova u takvim terminima koeficijenti. Na primjer, u monomu koeficijent je jednak. I u njemu je jednako.

Dakle, pravilo za donošenje sličnih je:

primjeri:

Dajte slične:

odgovori:

2. (i slično, jer, dakle, ovi pojmovi imaju isti slovni dio).

2. Faktorizacija

Ovo je obično najvažniji dio u pojednostavljivanju izraza. Nakon što ste dali slične, najčešće je rezultirajući izraz potrebno faktorizirati, odnosno predstaviti kao proizvod. Ovo je posebno važno kod razlomaka: da bismo mogli smanjiti razlomak, brojnik i imenilac moraju biti predstavljeni kao proizvod.

Detaljno ste prošli kroz metode faktoringa izraza u temi “”, tako da ovdje samo trebate zapamtiti šta ste naučili. Da biste to učinili, odlučite nekoliko primjeri(potrebno je faktorizirati):

rješenja:

3. Smanjenje razlomka.

Pa, što bi moglo biti ugodnije nego precrtati dio brojnika i nazivnika i izbaciti ih iz svog života?

To je ljepota smanjenja broja zaposlenih.

jednostavno je:

Ako brojnik i nazivnik sadrže iste faktore, oni se mogu smanjiti, odnosno ukloniti iz razlomka.

Ovo pravilo proizlazi iz osnovne osobine razlomka:

Odnosno, suština operacije redukcije je to Brojilac i imenilac razlomka dijelimo istim brojem (ili istim izrazom).

Da biste smanjili razlomak potrebno vam je:

1) brojilac i imenilac faktorisati

2) ako brojilac i imenilac sadrže zajednički faktori, mogu se precrtati.

Mislim da je princip jasan?

Želeo bih da vam skrenem pažnju na jednu stvar tipična greška prilikom ugovaranja. Iako je ova tema jednostavna, mnogi ljudi sve rade pogrešno, a da to ne razumiju smanjiti- ovo znači podijeliti brojilac i imenilac su isti broj.

Nema skraćenica ako je brojilac ili nazivnik zbir.

Na primjer: trebamo pojednostaviti.

Neki ljudi rade ovo: što je apsolutno pogrešno.

Drugi primjer: smanjiti.

“Najpametniji” će uraditi ovo: .

Reci mi šta nije u redu? Čini se: - ovo je množitelj, što znači da se može smanjiti.

Ali ne: - ovo je faktor samo jednog člana u brojiocu, ali sam brojilac u cjelini nije faktoriziran.

Evo još jednog primjera: .

Ovaj izraz je faktorizovan, što znači da ga možete smanjiti, odnosno podijeliti brojilac i imenilac sa, a zatim sa:

Možete ga odmah podijeliti na:

Da biste izbjegli takve greške, zapamtite jednostavan način da odredite je li izraz faktoriziran:

Aritmetička operacija koja se izvodi posljednja prilikom izračunavanja vrijednosti izraza je “master” operacija. Odnosno, ako zamijenite neke (bilo koje) brojeve umjesto slova i pokušate izračunati vrijednost izraza, onda ako je posljednja radnja množenje, onda imamo proizvod (izraz je faktoriziran). Ako je posljednja radnja zbrajanje ili oduzimanje, to znači da izraz nije faktoriziran (i stoga se ne može smanjiti).

Za konsolidaciju, riješite nekoliko sami primjeri:

odgovori:

1. Nadam se da niste odmah požurili da sečete i? Još uvijek nije bilo dovoljno "smanjiti" jedinice ovako:

Prvi korak bi trebao biti faktorizacija:

4. Sabiranje i oduzimanje razlomaka. Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik.

Sabiranje i oduzimanje običnih razlomaka je poznata operacija: tražimo zajednički nazivnik, množimo svaki razlomak faktorom koji nedostaje i dodajemo/oduzimamo brojioce. prisjetimo se:

odgovori:

1. Imenioci i su relativno prosti, odnosno nemaju zajedničke faktore. Stoga je LCM ovih brojeva jednak njihovom proizvodu. Ovo će biti zajednički imenilac:

2. Ovdje je zajednički imenilac:

3. Prva stvar ovdje miješane frakcije pretvaramo ih u pogrešne, a zatim slijedimo uobičajeni obrazac:

Potpuno je druga stvar ako razlomci sadrže slova, na primjer:

Počnimo s nečim jednostavnim:

a) Imenioci ne sadrže slova

Ovdje je sve isto kao i sa običnim brojčanim razlomcima: nađemo zajednički nazivnik, pomnožimo svaki razlomak faktorom koji nedostaje i zbrojimo/oduzmemo brojioce:

Sada u brojiocu možete dati slične, ako ih ima, i razložiti ih:

Probajte sami:

b) Imenioci sadrže slova

Prisjetimo se principa pronalaženja zajedničkog nazivnika bez slova:

· prije svega utvrđujemo zajedničke faktore;

· zatim ispisujemo sve zajedničke faktore jedan po jedan;

· i pomnožite ih sa svim drugim neuobičajenim faktorima.

Da bismo odredili zajedničke činioce nazivnika, prvo ih činimo u proste faktore:

Istaknimo uobičajene faktore:

Sada napišimo uobičajene faktore jedan po jedan i dodajmo im sve neuobičajene (nepodvučene) faktore:

Ovo je zajednički imenitelj.

Vratimo se pismima. Imenioci su dati na potpuno isti način:

· faktor imenilaca;

· odrediti zajedničke (identične) faktore;

· jednom ispisati sve zajedničke faktore;

· pomnožite ih sa svim drugim neuobičajenim faktorima.

Dakle, redom:

1) razdijelite imenitelje na faktore:

2) odrediti zajedničke (identične) faktore:

3) napišite sve zajedničke faktore jednom i pomnožite ih sa svim ostalim (nepodvučenim) faktorima:

Dakle, ovde postoji zajednički imenitelj. Prvi razlomak se mora pomnožiti sa, drugi - sa:

Usput, postoji jedan trik:

Na primjer: .

Vidimo iste faktore u nazivnicima, samo svi sa različiti indikatori. Zajednički imenilac će biti:

do stepena

do stepena

do stepena

do stepena.

Zakomplikujmo zadatak:

Kako napraviti da razlomci imaju isti imenilac?

Prisjetimo se osnovnog svojstva razlomka:

Nigdje se ne kaže da se isti broj može oduzeti (ili dodati) od brojnika i nazivnika razlomka. Jer to nije istina!

Uvjerite se sami: uzmite bilo koji razlomak, na primjer, i dodajte neki broj brojniku i nazivniku, na primjer, . šta si naučio?

Dakle, još jedno nepokolebljivo pravilo:

Kada razlomke svodite na zajednički nazivnik, koristite samo operaciju množenja!

Ali sa čim trebate pomnožiti da biste dobili?

Dakle, pomnožite sa. I pomnoži sa:

Izraze koji se ne mogu rastaviti na faktore ćemo nazvati "elementarnim faktorima". Na primjer, - ovo je elementarni faktor. - Isto. Ali ne: može se faktorizirati.

Šta je sa izrazom? Da li je osnovno?

Ne, jer se može faktorizirati:

(o faktorizaciji ste već čitali u temi “”).

Dakle, elementarni faktori na koje rastavljate izraz sa slovima su analogni jednostavnim faktorima na koje rastavljate brojeve. I sa njima ćemo se nositi na isti način.

Vidimo da oba imenioca imaju množitelj. Ići će na zajednički imenilac do stepena (sjećate li se zašto?).

Faktor je elementaran i nemaju zajednički faktor, što znači da će se prvi razlomak jednostavno morati pomnožiti s njim:

Drugi primjer:

Rješenje:

Prije nego što panično pomnožite ove imenitelje, morate razmisliti o tome kako ih rastaviti na faktore? Obojica predstavljaju:

Odlično! onda:

Drugi primjer:

Rješenje:

Kao i obično, hajde da faktorizujemo nazivnike. U prvom nazivniku jednostavno ga stavljamo iz zagrada; u drugom - razlika kvadrata:

Čini se da nema zajedničkih faktora. Ali ako bolje pogledate, oni su slični... I istina je:

Pa da napišemo:

Odnosno, ispalo je ovako: unutar zagrade smo zamijenili pojmove, a istovremeno se znak ispred razlomka promijenio u suprotno. Imajte na umu, ovo ćete morati često raditi.

Sada da to dovedemo do zajedničkog imenioca:

Jasno? Hajde da to sada proverimo.

Zadaci za samostalno rješavanje:

odgovori:

Ovdje moramo zapamtiti još jednu stvar - razliku kocki:

Imajte na umu da nazivnik drugog razlomka ne sadrži formulu „kvadrat zbira“! Kvadrat sume bi izgledao ovako: .

A je takozvani nepotpuni kvadrat zbira: drugi član u njemu je proizvod prvog i posljednjeg, a ne njihov dvostruki proizvod. Parcijalni kvadrat zbira je jedan od faktora u proširenju razlike kocki:

Šta učiniti ako već postoje tri razlomka?

Da, ista stvar! Prije svega, uvjerimo se u to maksimalni iznos faktori u nazivnicima su bili isti:

Imajte na umu: ako promijenite znakove unutar jedne zagrade, znak ispred razlomka mijenja se u suprotan. Kada promijenimo predznake u drugoj zagradi, znak ispred razlomka se ponovo mijenja u suprotan. Kao rezultat toga, on (znak ispred razlomka) se nije promijenio.

Čitav prvi imenilac ispisujemo u zajednički imenilac, a zatim mu dodajemo sve faktore koji još nisu upisani, iz drugog, pa iz trećeg (i tako dalje, ako ima više razlomaka). Odnosno, ispada ovako:

Hm... Jasno je šta raditi sa razlomcima. Ali šta je sa to dvoje?

Jednostavno je: znate kako sabirati razlomke, zar ne? Dakle, potrebno je da dva postane razlomak! Podsjetimo: razlomak je operacija dijeljenja (brojilac je podijeljen imeniocem, ako ste zaboravili). I nema ništa lakše nego podijeliti broj sa. U ovom slučaju, sam broj se neće promijeniti, već će se pretvoriti u razlomak:

Upravo ono što je potrebno!

5. Množenje i dijeljenje razlomaka.

Pa, najteži dio je sada gotov. A pred nama je ono najjednostavnije, ali ujedno i najvažnije:

Procedura

Koja je procedura za izračunavanje numeričkog izraza? Zapamtite tako što ćete izračunati značenje ovog izraza:

Jeste li brojali?

Trebalo bi da radi.

Dakle, da vas podsjetim.

Prvi korak je izračunavanje stepena.

Drugi je množenje i dijeljenje. Ako postoji više množenja i dijeljenja u isto vrijeme, mogu se izvršiti bilo kojim redoslijedom.

I na kraju, vršimo sabiranje i oduzimanje. Opet, bilo kojim redoslijedom.

Ali: izraz u zagradama se vrednuje van redova!

Ako se nekoliko zagrada međusobno pomnoži ili podijeli, prvo izračunamo izraz u svakoj od zagrada, a zatim ih množimo ili podijelimo.

Šta ako ima više zagrada unutar zagrada? Pa, razmislimo: neki izraz je napisan unutar zagrada. Prilikom izračunavanja izraza, šta prvo treba da uradite? Tako je, izračunajte zagrade. Pa, shvatili smo: prvo izračunamo unutrašnje zagrade, pa sve ostalo.

Dakle, procedura za gornji izraz je sljedeća (trenutna radnja je označena crvenom bojom, odnosno radnja koju trenutno izvodim):

Ok, sve je jednostavno.

Ali ovo nije isto što i izraz sa slovima?

Ne, to je isto! Samo umjesto aritmetičke operacije morate da uradite algebarski, odnosno radnje opisane u prethodnom odeljku: donoseći slično, zbrajanje razlomaka, smanjenje razlomaka i tako dalje. Jedina razlika će biti djelovanje faktoringa polinoma (ovo često koristimo kada radimo sa razlomcima). Najčešće, da biste rastavili na faktore, trebate koristiti I ili jednostavno staviti zajednički faktor iz zagrada.

Obično je naš cilj da izraz predstavimo kao proizvod ili količnik.

Na primjer:

Hajde da pojednostavimo izraz.

1) Prvo, pojednostavljujemo izraz u zagradama. Tu imamo razliku razlomaka, a cilj nam je da je predstavimo kao proizvod ili količnik. Dakle, dovodimo razlomke na zajednički nazivnik i dodajemo:

Nemoguće je dalje pojednostavljivati ​​ovaj izraz, svi faktori su ovde elementarni (sećate li se još šta to znači?).

2) Dobijamo:

Množenje razlomaka: šta može biti jednostavnije.

3) Sada možete skratiti:

OK, sve je gotovo. Ništa komplikovano, zar ne?

Drugi primjer:

Pojednostavite izraz.

Prvo pokušajte sami to riješiti, pa tek onda pogledajte rješenje.

Prije svega, odredimo redoslijed radnji. Prvo, dodajmo razlomke u zagradama, tako da umjesto dva razlomka dobijemo jedan. Zatim ćemo uraditi dijeljenje razlomaka. Pa, dodajmo rezultat sa zadnjim razlomkom. Šematski ću numerisati korake:

Sada ću vam pokazati proces, tonirajući trenutnu akciju u crveno:

Na kraju ću vam dati dva korisna savjeta:

1. Ako ima sličnih, moraju se odmah doneti. Kad god se kod nas pojave slični, preporučljivo je odmah ih pokrenuti.

2. Isto važi i za smanjenje razlomaka: čim se pojavi prilika za smanjenje, treba je iskoristiti. Izuzetak su razlomci koje dodajete ili oduzimate: ako sada imaju iste nazivnike, smanjenje treba ostaviti za kasnije.

Evo nekoliko zadataka koje možete sami riješiti:

I ono što je obećano na samom početku:

Rješenja (ukratko):

Ako ste se snašli s barem prva tri primjera, onda ste savladali temu.

Sada na učenje!

PRETVARANJE IZRAZA. SAŽETAK I OSNOVNE FORMULE

Osnovne operacije pojednostavljivanja:

• Dovođenje sličnih: da biste dodali (smanjili) slične pojmove, potrebno je dodati njihove koeficijente i dodijeliti dio slova.
• Faktorizacija: stavljanje zajedničkog faktora iz zagrada, njegova primjena, itd.
• Smanjenje razlomka: Brojilac i imenilac razlomka mogu se pomnožiti ili podijeliti istim brojem koji nije nula, što ne mijenja vrijednost razlomka.
  1) brojnik i imenilac faktorisati
  2) ako brojilac i imenilac imaju zajedničke činioce, mogu se precrtati.

  VAŽNO: samo se množitelji mogu smanjiti!

• Sabiranje i oduzimanje razlomaka:
  ;
• Množenje i dijeljenje razlomaka:
  ;

Tip časa: čas generalizacije i sistematizacije znanja.

Ciljevi lekcije:

• Unaprijediti sposobnost primjene prethodno stečenog znanja za pripremu za Državni ispit u 9. razredu.
• Naučite sposobnost analize i kreativnog pristupa zadatku.
• Negovati kulturu i efikasnost razmišljanja, kognitivni interes na matematiku.
• Pomozite studentima da se pripreme za državni ispit.

• Sistematizovati teorijska znanja učenika.
• Ojačati praktičnu orijentaciju ove teme u pripremi za državni ispit.
• Izgradite vještine mentalni rad– traženje racionalnih rješenja.

Oprema: multimedijalni projektor, radni list, sat.

Plan časa: 1. Organizacioni momenat.

1. Ažuriranje znanja.
2. Izrada teorijskog materijala.
3. Sažetak lekcije.
4. Zadaća.

TOKOM NASTAVE

I. Organizacioni momenat.

1) Pozdrav od nastavnika.

Kriptografija je nauka o načinima transformacije (šifriranja) informacija kako bi se zaštitile od ilegalnih korisnika. Jedna od ovih metoda se zove “mreža”. Jedan je od relativno jednostavnih i usko je povezan sa aritmetikom, ali se ne izučava u školi. Uzorak rešetke je ispred vas. Neko će smisliti kako se to koristi.

- rješenje poruke.

“Sve što prestane da radi, prestaje da privlači.”

Francois Larachefoucauld.

2) Poruke o temi časa, ciljevima časa, planu časa.

– slajdovi u prezentaciji.

II. Ažuriranje znanja.

1) Usmeni rad.

1. Brojevi. Koje brojeve znaš?

– prirodni brojevi su brojevi 1,2,3,4... koji se koriste prilikom brojanja

– cijeli brojevi su brojevi…-4,-3,-2,-1,0,1, 2… prirodni brojevi, njihove suprotnosti i broj 0.

– racionalni brojevi su celi i razlomci

– iracionalni – to su beskonačni decimalni neperiodični razlomci

– realni – to su racionalni i iracionalni.

2. Izrazi. Koje izraze znate?

– numerički su izrazi koji se sastoje od brojeva povezanih aritmetičkim simbolima.

– abecedni – ovo je izraz koji sadrži neke varijable, brojeve i znakove radnje.

– Cijeli brojevi su izrazi koji se sastoje od brojeva i varijabli koristeći operacije sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja brojem.

– razlomci su cijeli izrazi koji koriste podjelu izrazom s promjenljivom.

3. Transformacije. Koja su glavna svojstva koja se koriste prilikom izvođenja transformacija?

– komutativno – za sve brojeve a i b vrijedi: a+b=b+a, ab=va

– asocijativno – za sve brojeve a, b, c vrijedi sljedeće: (a+b)+c=a+(b+c), (ab)c=a(c)

– distributivna – za bilo koje brojeve a, b, c vrijedi: a(b+c)=av+ac

4. Uradite:

– poredaj brojeve u rastućem redosledu: 0,0157; 0,105; 0.07

– poredaj brojeve u opadajućem redosledu: 0,0216; 0,12; 0,016

– jedna od tačaka označenih na koordinatnoj liniji odgovara broju v68. Koja je ovo tačka?

– kojoj tački odgovaraju brojevi?

– brojevi a i b su označeni na koordinatnoj liniji. Koja je od sljedećih izjava tačna?

III. Izrada teorijskog materijala.

1. Rad u sveskama, za tablom.

Svaki nastavnik ima radni list na kojem se zapisuju zadaci za rad u sveskama tokom časa. U desnoj koloni ovog lista nalaze se zadaci za rad na času, au lijevoj koloni domaći.

Učenici izlaze da rade za tablom.

Zadatak br. 1. U tom slučaju se izraz pretvara u identično jednak.

Zadatak br. 2. Pojednostavite izraz:

Zadatak br. 3. Uzmite u obzir:

a 3 – av – a 2 c + a 2; x 2 y – x 2 -y + x 3.

2x+ y + y 2 – 4x 2; a – 3c +9c 2 -a 2 .

2. Samostalan rad.

Na radnim listovima imate samostalan rad, ispod teksta se nalazi tabela u koju upisujete broj ispod tačnog odgovora. Za završetak posla potrebno je 7 minuta.

Testirajte “Brojevi i konverzije”

1. Napišite 0,00019 u standardnom obliku.

1)0,019*10 -2 ; 2)0,19*10 -3 ; 3)1,9*10 -4 ; 4)19*10 -5

2. Jedna od tačaka označenih na koordinatnoj liniji odgovara broju

3. O brojevima a i b poznato je da je a>0, b>0, a>4b. Koja od sljedećih nejednakosti je netačna?

1) a-2a>-3b; 2) 2a>8b; 3) a/4>b-2; 4) a+3>b+1.

4. Naći vrijednost izraza: (6x – 5y): (3x+y), ako je x=1,5 i y=0,5.

1) 1,5; 2) 1,3; 3) 1,33; 4) 2,5.

5.Koji od sljedećih izraza se može pretvoriti u (7 – x)(x – 4)?

1)– (7 – x)(4 – x); 2) (7 – x)(4 – x);

3) – (x – 7)(4 – x); 4) (x – 7)(x-4).

Nakon završenog rada, provjera se vrši korištenjem ASUOK programa (automatizirani sistem upravljanja obukom i kontrolom). Momci razmjenjuju sveske sa svojim kolegom i zajedno sa učiteljicom provjeravaju test.

vježbe
odgovor:	3	1	1	2	1

6. Sažetak lekcije.

Danas ste na času rješavali zadatke odabrane iz zbirki za pripremu za Državni ispit. Ovo je mali dio onoga što trebate ponoviti da biste savršeno položili ispit.

- Lekcija je gotova. Šta ste smatrali korisnim iz lekcije?

“Stručnjak je osoba koja više ne razmišlja, već zna.” Frank Hubbard.

7. Domaći

Na listovima papira su zadaci koje treba obaviti kod kuće.

Među različitim izrazima koji se razmatraju u algebri, zbroji monoma zauzimaju važno mjesto. Evo primjera takvih izraza:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Zbir monoma naziva se polinom. Članovi polinoma nazivaju se pojmovi polinoma. Monomi se takođe klasifikuju kao polinomi, smatrajući da je monom polinom koji se sastoji od jednog člana.

Na primjer, polinom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
može se pojednostaviti.

Predstavimo sve pojmove u obliku monoma standardni pogled:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Predstavimo slične pojmove u rezultirajućem polinomu:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Rezultat je polinom čiji su svi članovi monomi standardnog oblika, a među njima nema sličnih. Takvi polinomi se nazivaju polinomi standardnog oblika.

Iza stepen polinoma standardnog oblika preuzimaju najviša ovlašćenja svojih članova. Dakle, binom \(12a^2b - 7b\) ima treći stepen, a trinom \(2b^2 -7b + 6\) drugi.

Tipično, termini polinoma standardnog oblika koji sadrže jednu varijablu su raspoređeni u opadajućem redoslijedu eksponenata. Na primjer:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Zbir nekoliko polinoma može se transformirati (pojednostaviti) u polinom standardnog oblika.

Ponekad se termini polinoma moraju podijeliti u grupe, stavljajući svaku grupu u zagrade. Budući da je zatvorene zagrade inverzna transformacija otvarajućih zagrada, lako je formulirati pravila za otvaranje zagrada:

Ako se ispred zagrada stavi znak „+“, tada se termini u zagradama pišu istim znakovima.

Ako se ispred zagrada stavi znak „-“, tada se termini u zagradama pišu sa suprotnim znacima.

Transformacija (pojednostavljenje) proizvoda monoma i polinoma

Koristeći distributivno svojstvo množenja, možete transformirati (pojednostaviti) proizvod monoma i polinoma u polinom. Na primjer:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Proizvod monoma i polinoma identično je jednak zbiru proizvoda ovog monoma i svakog od članova polinoma.

Ovaj rezultat se obično formuliše kao pravilo.

Da biste pomnožili monom polinomom, morate taj monom pomnožiti sa svakim od članova polinoma.

Ovo pravilo smo već koristili nekoliko puta za množenje sa sumom.

Proizvod polinoma. Transformacija (pojednostavljenje) proizvoda dva polinoma

Općenito, proizvod dva polinoma je identično jednak zbiru proizvoda svakog člana jednog polinoma i svakog člana drugog polinoma.

Obično se koristi sljedeće pravilo.

Da pomnožite polinom polinomom, trebate pomnožiti svaki član jednog polinoma sa svakim članom drugog i dodati rezultirajuće proizvode.

Skraćene formule za množenje. Zbroj kvadrata, razlika i razlika kvadrata

Morate se baviti nekim izrazima u algebarskim transformacijama češće od drugih. Možda su najčešći izrazi \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) i \(a^2 - b^2 \), tj. kvadrat zbira, kvadrat razlika i razlika kvadrata. Primijetili ste da nazivi ovih izraza izgledaju nepotpuni, na primjer, \((a + b)^2 \) nije, naravno, samo kvadrat zbira, već kvadrat zbira a i b . Međutim, kvadrat zbira a i b se ne pojavljuje često, u pravilu umjesto slova a i b sadrži različite, ponekad prilično složene izraze.

Izrazi \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) mogu se lako pretvoriti (pojednostaviti) u polinome standardnog oblika; u stvari, već ste naišli na ovaj zadatak prilikom množenja polinoma:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Korisno je zapamtiti rezultirajuće identitete i primijeniti ih bez srednjih proračuna. U tome pomažu kratke verbalne formulacije.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kvadrat zbira jednak zbiru kvadrata i udvostručiti proizvod.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kvadrat razlike je jednak zbiru kvadrata bez udvostručenog proizvoda.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - razlika kvadrata jednaka je proizvodu razlike i zbroja.

Ova tri identiteta omogućavaju da se njegovi levi delovi u transformacijama zamene desnim i obrnuto - desni delovi levim. Najteže je vidjeti odgovarajuće izraze i razumjeti kako se u njima zamjenjuju varijable a i b. Pogledajmo nekoliko primjera korištenja skraćenih formula za množenje.

Moto lekcije: m

Vrsta lekcije:

Ciljevi:

Zadaci:

Tokom nastave

1. Organiziranje vremena.

Ko ništa ne primećuje

On ništa ne uči

Ko ništa ne uči

Uvek kuka i dosadno mu je.

2.

(numerički i abecedni)

3. .Ažuriranje znanja.

1)Pravila za otvaranje zagrada.

2)1. Pravilo za množenje monoma polinomom.

Pronađite i popravite grešku:

( )

Pronađite i popravite grešku:

( )

3)

Zadaci Odgovori

4) Faktorizacija.

B) način grupisanja;

FIZIČKA MINUTA!!!

a) Smanjenje razlomka

b) Zbir i razlika razlomaka.

	Da biste pomnožili razlomak razlomkom, trebate pomnožiti njihove brojnike i pomnožiti njihove nazivnike i prvi proizvod napisati kao brojilac, a drugi kao nazivnik razlomka.
	Da biste razlomak podigli na stepen, potrebno je podići brojilac i nazivnik na ovaj stepen i prvi rezultat upisati u brojilac, a drugi u nazivnik razlomka.

4. Učvršćivanje materijala.

Vježbajte.

5. Rezultati Refleksija.

6. Zadaća.

Pogledajte sadržaj dokumenta
"Ponavljanje: izrazi i njihove transformacije"

Tema: “Ponavljanje: izrazi i njihove transformacije”

Moto lekcije: m Ne možete naučiti matematiku gledajući kako to radi vaš komšija.

Vrsta lekcije: konsolidacija i generalizacija proučenog materijala.

Ciljevi: a) sistematizirati znanja učenika za predmet algebra 7-9 razreda, uopštiti njihova znanja i vještine o ovoj temi, podsjetiti i konsolidirati metode rada sa algebarskim izrazima: pravila za otvaranje zagrada, pravila za množenje monoma polinomom i polinom polinomom, skraćene formule za množenje, dekompozicija polinoma na faktore, operacije nad racionalnim razlomcima;

b) njegovanje motiva za učenje, pozitivan odnos prema znanju, disciplina;

c) razvoj analitičkog i sintetizirajućeg mišljenja, vještine primjene znanja u praksi, tačnost, preciznost u izvođenju radnji i samostalnost.

Zadaci: zapamtiti i primijeniti gore navedena pravila za rad s algebarskim izrazima prilikom rješavanja vježbi.

Tokom nastave

Organiziranje vremena.

Pjesnik Roman Sef je u šali napisao:

Ko ništa ne primećuje

On ništa ne uči

Ko ništa ne uči

Uvek kuka i dosadno mu je.

Danas nam neće biti dosadno. Slažeš li se? Zapišite datum, rad na času i temu lekcije „Izrazi i njihove transformacije“ u svoje bilježnice.

Postavljanje ciljeva i zadataka za lekciju.

Pažljivo pogledajte temu lekcije.

Koje vrste izraza poznajete? (numerički i abecedni)

Koje su vam transformacije poznate? (pravila za otvaranje zagrada, pravila za množenje monoma polinomom i polinoma polinomom, skraćene formule za množenje, faktoring polinoma, operacije nad racionalnim razlomcima)

Dakle, koja je svrha našeg današnjeg rada? ( zapamtiti i konsolidirati metode rada s algebarskim izrazima)

Tako ćemo sistematizovati i generalizovati znanja i veštine o ovoj temi za 7-9 razred algebre u celini.

Ponavljanje edukativni materijal .Ažuriranje znanja.

1) Pravila za otvaranje zagrada.

Jedna vrsta transformacije izraza je proširenje zagrada. Može biti zgodno preći sa izraza sa zagradama na identično jednak izrazu, koji više ne sadrži ove zagrade.

Formulirajte pravilo za otvaranje zagrada kojem prethodi znak “+”: Ako se ispred zagrada nalazi znak „+“, onda možete izostaviti zagrade i ovaj znak „+“, čuvajući znakove pojmova u zagradama.

Sada formulirajte pravilo za otvaranje zagrada kojima prethodi znak “−”: ako zagradama prethodi znak “−”, tada se zagrade izostavljaju, a izrazi u zagradama mijenjaju svoj predznak u suprotan.

2) 1. Pravilo za množenje monoma polinomom.

Prisjetimo se pravila za množenje monoma polinomom: Da biste pomnožili monom polinomom, morate ovaj monom pomnožiti sa svakim članom polinoma i dodati rezultirajuće proizvode.

Pronađite i popravite grešku:

()

2. Pravilo za množenje polinoma polinomom.

Podsjetite nas na pravilo za množenje polinoma polinomom: Da pomnožite polinom polinomom, trebate pomnožiti svaki član jednog polinoma sa svakim članom drugog polinoma i dodati rezultirajuće proizvode.

Pronađite i popravite grešku:

()

3) Skraćene formule za množenje.

Vrijeme je da se prisjetimo skraćenih formula za množenje. Popunite prazna polja u formulama.

Sada završimo sljedeći zadatak. Povežite zadatke i odgovore linijama.

Zadaci Odgovori

4) 4)

6) 6)

7) 7)

Ključ: 1-2; 2-4; 3-3; 4-6; 5-7; 6-5; 7-1.

Ako ste to uradili ispravno, onda stavite “+”; ako ste napravili grešku, onda stavite “-” i ispravite grešku.

Podignite ruku ako ste sve uradili kako treba. Gdje su napravljene greške?

4) Faktorizacija.

Pažljivo pogledajte primjere napisane na tabli. Odgovorite na pitanje: šta je zajedničko sljedećim primjerima?

Odgovor: odgovori proizvode radove.

Dakle, šta je faktorizacija?

Odgovor: Predstavljanje polinoma kao proizvoda dva ili više polinoma naziva se faktorizacija.

Na osnovu ovih primjera, ime metode faktoringa polinoma:

A) stavljanje zajedničkog faktora izvan zagrada;

B) način grupisanja;

C) korištenjem skraćenih formula za množenje;

D) formula faktorizacije kvadratni trinom.

FIZIČKA MINUTA!!!

5) Radnje na racionalne razlomke.

A sada predlažem da igramo matematički loto. Radimo u parovima. Morate odabrati i kombinirati pravilo i primjer koji mu odgovara.

a) Smanjenje razlomka

b) Zbir i razlika razlomaka.

	Za dodavanje razlomaka sa isti imenioci potrebno je sabrati njihove brojnike, a imenilac ostaviti isti.
	Da biste oduzeli razlomke sa sličnim nazivnicima, potrebno je da oduzmete brojilac drugog od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostane isti.

c) Proizvod i količnik razlomaka.

	Da biste pomnožili razlomak razlomkom, trebate pomnožiti njihove brojnike i pomnožiti njihove nazivnike i prvi proizvod napisati kao brojilac, a drugi kao nazivnik razlomka.
	Da biste podijelili jedan razlomak s drugim, trebate prvi razlomak pomnožiti s recipročnim razlomak drugog.
	Da biste razlomak podigli na stepen, potrebno je podići brojilac i nazivnik na ovaj stepen i prvi rezultat upisati u brojilac, a drugi u nazivnik razlomka.

Provjerimo to na sljedeći način. Ja pokazujem primjer, a vi izgovorite odgovarajuće pravilo.

Dakle, ponovili smo teorijski materijal i prelazimo na praktični dio.

Učvršćivanje materijala.

Vježbajte. Umetnite sljedeće monome ili znakove na mjesto praznina tako da rezultirajuća jednakost bude identičnost:

Rezultati Refleksija.

Kako kaže Evgenij Domanski: „Oni koji su uspeli da razmišljaju o stvarnosti dobijaju prednosti u kretanju napred.” Stoga ćemo i mi provesti refleksiju.

Vratimo se na početak naše lekcije. Pogledajte svrhu lekcije. Jesmo li to postigli? To smo postigli jer...

Zadaća.

Molimo otvorite svoje dnevnike i zapišite zadaća:

B 69, 70 (9) (zbirka ispitnih zadataka)

Vježbajte. Razmotrite rješenje primjera i pronađite greške:

Ispravno rješenje napišite na tabli:

Numerički i algebarski izrazi. Pretvaranje izraza.

Šta je izraz u matematici? Zašto su nam potrebne konverzije izraza?

Pitanje je, kako kažu, zanimljivo... Činjenica je da su ovi pojmovi osnova svake matematike. Sva matematika se sastoji od izraza i njihovih transformacija. Nije jasno? Dopusti mi da objasnim.

Recimo ispred vas zao primjer. Veoma velika i veoma složena. Recimo da ste dobri u matematici i da se ničega ne bojite! Možete li odmah dati odgovor?

Moraćeš odlučiti ovaj primjer. Dosljedno, korak po korak, ovaj primjer pojednostaviti. Po određenim pravilima, naravno. One. uradi konverzija izraza. Što uspješnije provodite ove transformacije, to ste jači u matematici. Ako ne znate kako napraviti prave transformacije, nećete ih moći izvesti u matematici. Ništa...

Da biste izbjegli tako neugodnu budućnost (ili sadašnjost...), ne škodi razumjeti ovu temu.)

Prvo, hajde da saznamo šta je izraz u matematici. Šta se desilo numerički izraz i šta je algebarski izraz.

Šta je izraz u matematici?

Izraz u matematici- ovo je veoma širok koncept. Gotovo sve čime se bavimo u matematici je skup matematičkih izraza. Bilo koji primjeri, formule, razlomci, jednadžbe i tako dalje - sve se sastoji od matematički izrazi.

3+2 je matematički izraz. s 2 - d 2- ovo je takođe matematički izraz. I zdrav razlomak i čak jedan broj su matematički izrazi. Na primjer, jednadžba je:

5x + 2 = 12

sastoji se od dva matematička izraza povezana znakom jednakosti. Jedan izraz je lijevo, drugi desno.

IN opšti pogled izraz " matematički izraz"koristi se, najčešće, da se izbjegne pjevušenje. Pitat će te šta je na primjer običan razlomak? A kako odgovoriti?!

Prvi odgovor: "Ovo je... mmmmmm... takva stvar... u kojoj... Mogu li napisati razlomak bolje? Koji želiš?"

Drugi odgovor: " Obična frakcija- ovo je (veselo i radosno!) matematički izraz , koji se sastoji od brojnika i nazivnika!"

Druga opcija će biti nekako impresivnija, zar ne?)

Ovo je svrha fraze " matematički izraz „Vrlo dobro. I korektno i čvrsto. Ali za praktična primjena treba biti dobro upućen specifične vrste izraza u matematici .

Konkretna vrsta je druga stvar. Ovo To je sasvim druga stvar! Svaka vrsta matematičkog izraza ima moj skup pravila i tehnika koje se moraju koristiti prilikom donošenja odluke. Za rad sa razlomcima - jedan set. Za rad sa trigonometrijskim izrazima - drugi. Za rad sa logaritmima - treći. I tako dalje. Negdje se ta pravila poklapaju, negdje se oštro razlikuju. Ali nemojte se plašiti ovih strašnih reči. Savladavaćemo logaritme, trigonometriju i druge misteriozne stvari u odgovarajućim rubrikama.

Ovdje ćemo savladati (ili - ponoviti, ovisno o tome ko...) dvije glavne vrste matematičkih izraza. Numerički izrazi i algebarski izrazi.

Numerički izrazi.

Šta se desilo numerički izraz? Ovo je vrlo jednostavan koncept. Sam naziv nagoveštava da se radi o izrazu sa brojevima. To je tako. Matematički izraz sastavljen od brojeva, zagrada i aritmetičkih simbola naziva se numerički izraz.

7-3 je numerički izraz.

(8+3,2) 5,4 je takođe numerički izraz.

I ovo čudovište:

takođe numerički izraz, da...

Običan broj, razlomak, bilo koji primjer računanja bez X i drugih slova - sve su to numerički izrazi.

Glavni znak numerički izrazi - u njemu nema slova. Nema. Samo brojevi i matematički simboli (ako je potrebno). Jednostavno je, zar ne?

A šta možete učiniti s numeričkim izrazima? Numerički izrazi se obično mogu prebrojati. Da biste to učinili, dešava se da morate otvoriti zagrade, promijeniti znakove, skratiti, zamijeniti pojmove - tj. uradi konverzije izraza. Ali više o tome u nastavku.

Ovdje ćemo se pozabaviti tako smiješnim slučajem kada s numeričkim izrazom ne morate ništa da radite. Pa, baš ništa! Ova prijatna operacija - da ne radim ništa)- se izvršava kada je izraz nema smisla.

Kada numerički izraz nema smisla?

Jasno je da ako vidimo nekakvu abrakadabru ispred sebe, npr

onda nećemo ništa uraditi. Jer nije jasno šta da se radi o tome. Neka vrsta gluposti. Možda prebrojite pluseve...

Ali ima spolja sasvim pristojnih izraza. Na primjer ovo:

(2+3) : (16 - 2 8)

Međutim, i ovaj izraz nema smisla! Iz jednostavnog razloga što u drugim zagradama - ako računate - dobijate nulu. Ali ne možete podijeliti sa nulom! Ovo je zabranjena operacija u matematici. Dakle, ni sa ovim izrazom nema potrebe ništa raditi. Za svaki zadatak s takvim izrazom, odgovor će uvijek biti isti: "Izraz nema značenje!"

Da bih dao takav odgovor, naravno, morao sam izračunati šta bi bilo u zagradama. A ponekad ima puno stvari u zagradama... Pa, tu ništa ne možete učiniti.

U matematici nema toliko zabranjenih operacija. U ovoj temi postoji samo jedan. Deljenje sa nulom. Dodatna ograničenja koja se javljaju u korijenima i logaritmima razmatraju se u odgovarajućim temama.

Dakle, ideja šta je to numerički izraz- dobio. Koncept numerički izraz nema smisla- shvatio. Idemo dalje.

Algebarski izrazi.

Ako se slova pojavljuju u numeričkom izrazu, ovaj izraz postaje... Izraz postaje... Da! Postaje algebarski izraz. Na primjer:

5a 2; 3x-2y; 3(z-2); 3,4m/n; x 2 +4x-4; (a+b) 2; ...

Takvi izrazi se takođe nazivaju doslovni izrazi. Or izrazi sa varijablama. To je praktično ista stvar. Izraz 5a +c, na primjer, i literalni i algebarski, i izraz s varijablama.

Koncept algebarski izraz -širi od numeričkih. To uključuje i sve numeričke izraze. One. numerički izraz je takođe algebarski izraz, samo bez slova. Svaka haringa je riba, ali nije svaka riba haringa...)

Zašto abecedno- To je jasno. Pa, pošto postoje slova... Fraza izraz sa varijablama Takođe nije mnogo zbunjujuće. Ako shvatite da su brojevi skriveni ispod slova. Ispod slova se mogu sakriti svakakvi brojevi... I 5, i -18, i bilo šta drugo. To jest, pismo može biti zamijeniti on različiti brojevi. Zato se slova zovu varijable.

U izrazu y+5, Na primjer, at- varijabilna vrijednost. Ili samo kažu " varijabla", bez riječi "veličina". Za razliku od pet, što je konstantna vrijednost. Ili jednostavno - konstantan.

Termin algebarski izraz znači da za rad s ovim izrazom morate koristiti zakone i pravila algebra. Ako aritmetika onda radi sa određenim brojevima algebra- sa svim brojevima odjednom. Jednostavan primjer za pojašnjenje.

U aritmetici to možemo napisati

Ali ako takvu jednakost zapišemo kroz algebarske izraze:

a + b = b + a

odmah ćemo odlučiti Sve pitanja. Za svi brojevi moždani udar. Za sve beskonačno. Jer ispod slova A I b implicirano Sve brojevi. I ne samo brojevi, već i drugi matematički izrazi. Ovako funkcioniše algebra.

Kada algebarski izraz nema smisla?

Sve u vezi sa numeričkim izrazom je jasno. Tamo ne možete podijeliti sa nulom. A da li se slovima može saznati po čemu se dijelimo?!

Uzmimo za primjer ovaj izraz sa varijablama:

2: (A - 5)

Ima li smisla? Ko zna? A- bilo koji broj...

Bilo koji, bilo koji... Ali postoji jedno značenje A, za koji je ovaj izraz upravo nema smisla! A koji je ovo broj? Da! Ovo je 5! Ako je varijabla A zamijenite (kažu “zamjena”) brojem 5, u zagradama dobijate nulu. Koje se ne mogu podijeliti. Tako ispada da je naš izraz nema smisla, Ako a = 5. Ali za druge vrijednosti A ima li smisla? Možete li zamijeniti druge brojeve?

Svakako. U takvim slučajevima jednostavno kažu da je izraz

2: (A - 5)

ima smisla za sve vrijednosti A, osim a = 5 .

Cijeli skup brojeva koji Može zamjena u dati izraz se zove region prihvatljive vrijednosti ovaj izraz.

Kao što vidite, nema ničeg škakljivog. Pogledajmo izraz sa varijablama i shvatimo: pri kojoj vrijednosti varijable se dobija zabranjena operacija (podjela na nulu)?

A onda svakako pogledajte pitanje zadatka. Šta pitaju?

nema smisla, naše zabranjeno značenje će biti odgovor.

Ako pitate na kojoj vrijednosti varijable izraz ima značenje(osjetite razliku!), odgovor će biti svi ostali brojevi osim zabranjenih.

Zašto nam je potrebno značenje izraza? On je tu, nije... Koja je razlika?! Poenta je da ovaj koncept postaje veoma važan u srednjoj školi. Izuzetno važno! Ovo je osnova za takve čvrste koncepte kao što je domena prihvatljivih vrijednosti ili domena funkcije. Bez toga nećete moći uopće riješiti ozbiljne jednačine ili nejednakosti. Volim ovo.

Pretvaranje izraza. Transformacije identiteta.

Upoznali smo se sa numeričkim i algebarskim izrazima. Shvatili smo šta znači izraz „izraz nema značenje“. Sada treba da shvatimo šta je to konverzija izraza. Odgovor je jednostavan, do sramote.) Ovo je svaka radnja sa izrazom. To je sve. Ove transformacije radite od prvog razreda.

Uzmimo cool numerički izraz 3+5. Kako se može pretvoriti? Da, vrlo jednostavno! Izračunati:

Ovaj proračun će biti transformacija izraza. Isti izraz možete napisati drugačije:

Ovdje nismo ništa računali. Samo zapisao izraz u drugačijoj formi. Ovo će takođe biti transformacija izraza. Možete to napisati ovako:

I ovo je također transformacija izraza. Takvih transformacija možete napraviti koliko god želite.

Bilo koji akcija na izražavanje bilo koji zapisivanje u drugom obliku naziva se transformacija izraza. I to je sve. Sve je vrlo jednostavno. Ali postoji jedna stvar veoma važno pravilo. Toliko važno da se može bezbedno nazvati glavno pravilo sva matematika. Kršenje ovog pravila neizbežno dovodi do grešaka. Da li ulazimo u to?)

Recimo da smo svoj izraz nasumično transformirali, ovako:

Konverzija? Svakako. Izraz smo napisali u drugom obliku, šta tu nije u redu?

Nije tako.) Poenta je da su transformacije "nasumce" uopšte ih ne zanima matematika.) Sva matematika je izgrađena na transformacijama u kojima izgled, ali se suština izraza ne menja. Tri plus pet se može napisati u bilo kom obliku, ali mora biti osam.

transformacije, izrazi koji ne mijenjaju suštinu su pozvani identičan.

Upravo transformacije identiteta i dozvoli nam da se, korak po korak, transformiramo složen primjer u jednostavan izraz, čuvanje suštinu primjera. Ako pogriješimo u lancu transformacija, napravimo NE identičnu transformaciju, onda ćemo odlučiti drugi primjer. Uz druge odgovore koji nisu u vezi s tačnim.)

Ovo je glavno pravilo za rješavanje svih zadataka: održavanje identiteta transformacija.

Primjer sa numerički izraz Donio sam 3+5 radi jasnoće. U algebarskim izrazima transformacije identiteta su date formulama i pravilima. Recimo da u algebri postoji formula:

a(b+c) = ab + ac

To znači da u bilo kojem primjeru možemo umjesto izraza a(b+c) slobodno napišite izraz ab + ac. I obrnuto. Ovo identična transformacija. Matematika nam daje izbor između ova dva izraza. I od koje da pišem - od konkretan primjer zavisi.

Još jedan primjer. Jedna od najvažnijih i najvažnijih transformacija je osnovno svojstvo razlomka. Više detalja možete pogledati na linku, ali ovdje ću vas samo podsjetiti na pravilo: Ako se brojnik i imenilac razlomka pomnože (podijele) istim brojem, ili izrazom koji nije jednak nuli, razlomak se neće promijeniti. Evo primjera transformacije identiteta pomoću ovog svojstva:

Kao što ste verovatno pretpostavili, ovaj lanac se može nastaviti u nedogled...) Vrlo važna imovina. To je ono što vam omogućava da sve vrste primjera čudovišta pretvorite u bijela i pahuljasta.)

Postoje mnoge formule koje definiraju identične transformacije. Ali najvažnijih je sasvim razuman broj. Jedna od osnovnih transformacija je faktorizacija. Koristi se u čitavoj matematici - od osnovne do napredne. Počnimo s njim. U sledećoj lekciji.)

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)

Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.