Korijeni jednadžbe preko diskriminanta. Rješavanje kvadratnih jednadžbi, formule korijena, primjeri. Odnos između korijena i koeficijenata

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 ili x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Nakon što ste naučili rješavati jednačine prvog stepena, naravno, želite raditi s drugima, posebno s jednačinama drugog stepena, koje se inače nazivaju kvadratnim.

Kvadratne jednadžbe su jednadžbe poput ax² + bx + c = 0, gdje je varijabla x, brojevi su a, b, c, gdje a nije jednako nuli.

Ako je u kvadratnoj jednadžbi jedan ili drugi koeficijent (c ili b) jednak nuli, onda će ova jednačina biti klasifikovana kao nepotpuna kvadratna jednačina.

Kako riješiti nepotpunu kvadratnu jednačinu ako su učenici do sada mogli riješiti samo jednačine prvog stepena? Razmotrite nepotpune kvadratne jednadžbe različite vrste i jednostavnim načinima za njihovo rješavanje.

a) Ako je koeficijent c jednak 0, a koeficijent b neće biti jednaka nuli, tada se ax ² + bx + 0 = 0 svodi na jednačinu oblika ax ² + bx = 0.

Da biste riješili takvu jednadžbu, morate znati formulu za rješavanje nepotpune kvadratne jednadžbe, koja se sastoji od faktoringa njene lijeve strane i kasnije korištenja uvjeta da je proizvod jednak nuli.

Na primjer, 5x² - 20x = 0. Lijevu stranu jednačine činimo faktorom, dok izvodimo uobičajenu matematičku operaciju: vadimo zajednički faktor iz zagrada

5x (x - 4) = 0

Koristimo uslov da su proizvodi jednaki nuli.

5 x = 0 ili x - 4 = 0

Odgovor će biti: prvi korijen je 0; drugi korijen je 4.

b) Ako je b = 0, a slobodni član nije jednak nuli, onda se jednačina ax ² + 0x + c = 0 svodi na jednačinu oblika ax ² + c = 0. Jednačine se rješavaju na dva načina : a) faktoringom polinoma jednadžbe na lijevoj strani; b) koristeći svojstva aritmetike kvadratni korijen. Takva jednačina se može riješiti pomoću jedne od metoda, na primjer:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Odgovor će biti: prvi korijen je 5/2; drugi korijen je jednak - 5/2.

c) Ako je b jednako 0, a c jednako 0, tada se ax ² + 0 + 0 = 0 svodi na jednačinu oblika ax ² = 0. U takvoj jednačini x će biti jednako 0.

Kao što vidite, nepotpune kvadratne jednadžbe ne mogu imati više od dva korijena.

Formule za korijene kvadratne jednadžbe. Razmatraju se slučajevi realnih, višestrukih i složenih korijena. Faktoriranje kvadratnog trinoma. Geometrijska interpretacija. Primjeri određivanja korijena i faktoringa.

Osnovne formule

Razmotrimo kvadratnu jednačinu:
(1) .
Korijeni kvadratne jednadžbe(1) određuju se formulama:
; .
Ove formule mogu se kombinirati na sljedeći način:
.
Kada su korijeni kvadratne jednadžbe poznati, tada se polinom drugog stepena može predstaviti kao proizvod faktora (faktoriziranih):
.

Zatim pretpostavljamo da su to realni brojevi.
Hajde da razmotrimo diskriminanta kvadratne jednačine:
.
Ako je diskriminant pozitivan, tada kvadratna jednadžba (1) ima dva različita realna korijena:
; .
Tada faktorizacija kvadratnog trinoma ima oblik:
.
Ako je diskriminant jednak nuli, tada kvadratna jednadžba (1) ima dva višestruka (jednaka) realna korijena:
.
Faktorizacija:
.
Ako je diskriminanta negativna, tada kvadratna jednadžba (1) ima dva kompleksna konjugirana korijena:
;
.
Ovdje je imaginarna jedinica, ;
i su stvarni i imaginarni dijelovi korijena:
; .
Onda

.

Grafička interpretacija

Ako gradite graf funkcije
,
što je parabola, tada će tačke presjeka grafa sa osom biti korijeni jednadžbe
.
Na , graf siječe x-osu (os) u dvije tačke.
Kada je , graf dodiruje x-osu u jednoj tački.
Kada je , graf ne prelazi x-osu.

Ispod su primjeri takvih grafikona.

Korisne formule vezane za kvadratnu jednačinu

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe

Izvodimo transformacije i primjenjujemo formule (f.1) i (f.3):




,
Gdje
; .

Dakle, dobili smo formulu za polinom drugog stepena u obliku:
.
Ovo pokazuje da je jednadžba

izvedeno u
i .
To jest, i su korijeni kvadratne jednadžbe
.

Primjeri određivanja korijena kvadratne jednadžbe

Primjer 1

(1.1) .

Rješenje

.
Upoređujući s našom jednadžbom (1.1), nalazimo vrijednosti koeficijenata:
.
Pronalazimo diskriminanta:
.
Pošto je diskriminanta pozitivan, jednačina ima dva realna korijena:
;
;
.

Odavde dobijamo faktorizaciju kvadratnog trinoma:

.

Grafikon funkcije y = 2 x 2 + 7 x + 3 siječe x-osu u dvije tačke.

Nacrtajmo funkciju
.
Graf ove funkcije je parabola. Presijeca apscisnu osu (os) u dvije tačke:
i .
Ove tačke su korijeni originalne jednačine (1.1).

Odgovori

;
;
.

Primjer 2

Pronađite korijene kvadratne jednadžbe:
(2.1) .

Rješenje

Zapišimo kvadratnu jednačinu opšti pogled:
.
Upoređujući s originalnom jednadžbom (2.1), nalazimo vrijednosti koeficijenata:
.
Pronalazimo diskriminanta:
.
Pošto je diskriminanta nula, jednačina ima dva višestruka (jednaka) korijena:
;
.

Tada faktorizacija trinoma ima oblik:
.

Grafikon funkcije y = x 2 - 4 x + 4 dodiruje x-osu u jednoj tački.

Nacrtajmo funkciju
.
Graf ove funkcije je parabola. Dodiruje x-osu (os) u jednoj tački:
.
Ova tačka je korijen originalne jednačine (2.1). Zato što se ovaj korijen rastavlja dva puta:
,
tada se takav korijen obično naziva višestrukim. To jest, oni vjeruju da postoje dva jednaka korijena:
.

Odgovori

;
.

Primjer 3

Pronađite korijene kvadratne jednadžbe:
(3.1) .

Rješenje

Napišimo kvadratnu jednačinu u opštem obliku:
(1) .
Prepišimo originalnu jednačinu (3.1):
.
Upoređujući sa (1), nalazimo vrijednosti koeficijenata:
.
Pronalazimo diskriminanta:
.
Diskriminant je negativan, . Stoga nema pravih korijena.

Možete pronaći složene korijene:
;
;
.

Onda


.

Grafikon funkcije ne prelazi x-osu. Nema pravih korena.

Nacrtajmo funkciju
.
Graf ove funkcije je parabola. Ne siječe x-osu (os). Stoga nema pravih korijena.

Odgovori

Nema pravih korena. Složeni korijeni:
;
;
.

Prvi nivo

Kvadratne jednadžbe. Sveobuhvatan vodič (2019)

U terminu "kvadratna jednačina" ključna riječ je "kvadratna". To znači da jednačina mora nužno sadržavati promjenljivu (to isto x) na kvadrat, i ne bi trebalo biti x-ova na treći (ili veći) stepen.

Rješenje mnogih jednačina svodi se na rješavanje kvadratnih jednačina.

Naučimo odrediti da je ovo kvadratna jednačina, a ne neka druga jednačina.

Primjer 1.

Oslobodimo se nazivnika i pomnožimo svaki član jednačine sa

Pomaknimo sve na lijevu stranu i rasporedimo članove u opadajućem redoslijedu po stepenu X

Sada možemo sa sigurnošću reći da je ova jednačina kvadratna!

Primjer 2.

Pomnožite lijevu i desnu stranu sa:

Ova jednadžba, iako je prvobitno bila u njoj, nije kvadratna!

Primjer 3.

Pomnožimo sve sa:

Strašno? Četvrti i drugi stepen... Međutim, ako izvršimo zamjenu, vidjet ćemo da imamo jednostavnu kvadratnu jednačinu:

Primjer 4.

Čini se da postoji, ali hajde da pogledamo izbliza. Pomerimo sve na lijevu stranu:

Vidite, smanjio se - i sada je jednostavno linearna jednačina!

Sada pokušajte sami odrediti koje su od sljedećih jednačina kvadratne, a koje nisu:

primjeri:

odgovori:

1. kvadrat;
2. kvadrat;
3. ne kvadratna;
4. ne kvadratna;
5. ne kvadratna;
6. kvadrat;
7. ne kvadratna;
8. kvadrat.

Matematičari konvencionalno dijele sve kvadratne jednadžbe na sljedeće vrste:

• Potpune kvadratne jednadžbe- jednadžbe u kojima koeficijenti i, kao i slobodni član c, nisu jednaki nuli (kao u primjeru). Osim toga, među potpunim kvadratnim jednadžbama postoje dato- to su jednadžbe u kojima je koeficijent (jednačina iz primjera jedan ne samo potpuna, već i smanjena!)

• Nepotpune kvadratne jednadžbe- jednadžbe u kojima su koeficijent i/ili slobodni član c jednaki nuli:

  Nepotpune su jer im nedostaje neki element. Ali jednačina uvijek mora sadržavati x na kvadrat!!! U suprotnom, to više neće biti kvadratna jednačina, već neka druga jednačina.

Zašto su smislili takvu podjelu? Čini se da postoji X na kvadrat, i u redu. Ova podjela je određena metodama rješenja. Pogledajmo svaki od njih detaljnije.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Prvo, fokusirajmo se na rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi - one su mnogo jednostavnije!

Postoje vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

1. , u ovoj jednačini koeficijent je jednak.
2. , u ovoj jednačini slobodni član je jednak.
3. , u ovoj jednačini koeficijent i slobodni član su jednaki.

1. i. Pošto znamo kako uzeti kvadratni korijen, izrazimo iz ove jednačine

Izraz može biti negativan ili pozitivan. Broj na kvadrat ne može biti negativan, jer kada se množe dva negativna ili dva pozitivna broja, rezultat će uvijek biti pozitivan broj, dakle: ako, onda jednačina nema rješenja.

A ako, onda dobijamo dva korijena. Nema potrebe da se ove formule pamte. Glavna stvar je da morate znati i uvijek zapamtiti da ne može biti manje.

Pokušajmo riješiti neke primjere.

Primjer 5:

Riješite jednačinu

Sada ostaje samo da izvadite korijen s lijeve i desne strane. Uostalom, sjećate li se kako izvaditi korijenje?

odgovor:

Nikada ne zaboravite na korijene sa negativnim predznakom!!!

Primjer 6:

Riješite jednačinu

odgovor:

Primjer 7:

Riješite jednačinu

Oh! Kvadrat broja ne može biti negativan, što znači da je jednačina

bez korijena!

Za takve jednadžbe koje nemaju korijen, matematičari su smislili posebnu ikonu - (prazan skup). A odgovor se može napisati ovako:

odgovor:

Dakle, ova kvadratna jednadžba ima dva korijena. Ovdje nema ograničenja, jer nismo izvukli root.
Primjer 8:

Riješite jednačinu

Izvadimo zajednički faktor iz zagrada:

dakle,

Ova jednadžba ima dva korijena.

odgovor:

Najjednostavniji tip nepotpunih kvadratnih jednadžbi (iako su sve jednostavne, zar ne?). Očigledno, ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen:

Ovdje ćemo izostati s primjerima.

Rješavanje potpunih kvadratnih jednadžbi

Podsjećamo vas da je potpuna kvadratna jednadžba jednačina oblika jednadžbe gdje je

Rješavanje kompletnih kvadratnih jednadžbi je malo teže (samo malo) od ovih.

zapamti, Bilo koja kvadratna jednadžba se može riješiti korištenjem diskriminanta! Čak i nepotpuna.

Druge metode će vam pomoći da to učinite brže, ali ako imate problema s kvadratnim jednadžbama, prvo savladajte rješenje pomoću diskriminanta.

1. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću diskriminanta.

Rješavanje kvadratnih jednadžbi ovom metodom je vrlo jednostavno; glavna stvar je zapamtiti slijed radnji i nekoliko formula.

Ako, onda jednačina ima korijen. Posebna pažnja napravi korak. Diskriminant () nam govori o broju korijena jednadžbe.

• Ako, onda će se formula u koraku svesti na. Dakle, jednačina će imati samo korijen.
• Ako, onda nećemo moći izvući korijen diskriminanta u koraku. Ovo ukazuje da jednačina nema korijena.

Vratimo se na naše jednadžbe i pogledajmo neke primjere.

Primjer 9:

Riješite jednačinu

Korak 1 preskačemo.

Korak 2.

Pronalazimo diskriminanta:

To znači da jednačina ima dva korijena.

Korak 3.

odgovor:

Primjer 10:

Riješite jednačinu

Jednačina je predstavljena u standardnom obliku, dakle Korak 1 preskačemo.

Korak 2.

Pronalazimo diskriminanta:

To znači da jednačina ima jedan korijen.

odgovor:

Primjer 11:

Riješite jednačinu

Jednačina je predstavljena u standardnom obliku, dakle Korak 1 preskačemo.

Korak 2.

Pronalazimo diskriminanta:

To znači da nećemo moći izvući korijen diskriminanta. Ne postoje korijeni jednadžbe.

Sada znamo kako ispravno zapisati takve odgovore.

odgovor: nema korijena

2. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću Vietine teoreme.

Ako se sjećate, postoji vrsta jednadžbe koja se zove redukovana (kada je koeficijent a jednak):

Takve je jednadžbe vrlo lako riješiti korištenjem Vietine teoreme:

Zbir korijena dato kvadratna jednadžba je jednaka, a proizvod korijena jednak.

Primjer 12:

Riješite jednačinu

Ova jednačina se može riješiti korištenjem Vietine teoreme jer .

Zbir korijena jednačine je jednak, tj. dobijamo prvu jednačinu:

A proizvod je jednak:

Sastavimo i riješimo sistem:

• I. Iznos je jednak;
• I. Iznos je jednak;
• I. Iznos je jednak.

i su rješenje za sistem:

odgovor: ; .

Primjer 13:

Riješite jednačinu

odgovor:

Primjer 14:

Riješite jednačinu

Jednačina je data, što znači:

odgovor:

KVADRATNE JEDNAČINE. PROSJEČAN NIVO

Šta je kvadratna jednačina?

Drugim riječima, kvadratna jednačina je jednačina oblika, gdje je - nepoznato, - neki brojevi i.

Broj se naziva najvišim ili prvi koeficijent kvadratna jednadžba, - drugi koeficijent, A - besplatni član.

Zašto? Jer ako jednačina odmah postane linearna, jer će nestati.

U ovom slučaju, i može biti jednako nuli. U ovoj stolici jednačina se naziva nepotpuna. Ako su svi pojmovi na mjestu, to jest, jednačina je potpuna.

Rješenja različitih tipova kvadratnih jednadžbi

Metode za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

Prvo, pogledajmo metode za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi - one su jednostavnije.

Možemo razlikovati sljedeće vrste jednačina:

I., u ovoj jednačini koeficijent i slobodni član su jednaki.

II. , u ovoj jednačini koeficijent je jednak.

III. , u ovoj jednačini slobodni član je jednak.

Pogledajmo sada rješenje za svaki od ovih podtipova.

Očigledno, ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen:

Broj na kvadrat ne može biti negativan, jer kada pomnožite dva negativna ili dva pozitivna broja, rezultat će uvijek biti pozitivan broj. Zbog toga:

ako, onda jednačina nema rješenja;

ako imamo dva korena

Nema potrebe da se ove formule pamte. Glavna stvar koju treba zapamtiti je da ne može biti manje.

primjeri:

rješenja:

odgovor:

Nikada ne zaboravite na korijene sa negativnim predznakom!

Kvadrat broja ne može biti negativan, što znači da je jednačina

nema korijena.

Da bismo ukratko zapisali da problem nema rješenja, koristimo ikonu praznog skupa.

odgovor:

Dakle, ova jednadžba ima dva korijena: i.

odgovor:

Izvadimo zajednički faktor iz zagrada:

Proizvod je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli. To znači da jednačina ima rješenje kada:

Dakle, ova kvadratna jednadžba ima dva korijena: i.

primjer:

Riješite jednačinu.

Rješenje:

Faktorimo lijevu stranu jednačine i pronađemo korijene:

odgovor:

Metode za rješavanje kompletnih kvadratnih jednadžbi:

1. Diskriminant

Rješavanje kvadratnih jednadžbi na ovaj način je jednostavno, glavna stvar je zapamtiti slijed radnji i nekoliko formula. Zapamtite, svaka kvadratna jednadžba se može riješiti korištenjem diskriminanta! Čak i nepotpuna.

Jeste li primijetili korijen od diskriminanta u formuli za korijene? Ali diskriminant može biti negativan. sta da radim? Moramo obratiti posebnu pažnju na korak 2. Diskriminant nam govori o broju korijena jednačine.

• Ako, onda jednačina ima korijen:
• Ako, onda jednadžba ima iste korijene, a zapravo, jedan korijen:

  Takvi korijeni se nazivaju dvostrukim korijenima.

• Ako, tada se korijen diskriminanta ne izdvaja. Ovo ukazuje da jednačina nema korijena.

Zašto je to moguće različite količine roots? Hajde da se okrenemo geometrijskog smisla kvadratna jednačina. Grafikon funkcije je parabola:

U posebnom slučaju, koji je kvadratna jednadžba, . To znači da su korijeni kvadratne jednadžbe točke presjeka sa osom apscise (osom). Parabola možda uopće ne siječe osu, ili je može sjeći u jednoj (kada vrh parabole leži na osi) ili dvije tačke.

Osim toga, koeficijent je odgovoran za smjer grana parabole. Ako, onda su grane parabole usmjerene prema gore, a ako, onda prema dolje.

primjeri:

rješenja:

odgovor:

Odgovor: .

odgovor:

To znači da nema rješenja.

Odgovor: .

2. Vietin teorem

Vrlo je lako koristiti Vietin teorem: samo trebate odabrati par brojeva čiji je proizvod jednak slobodnom članu jednačine, a zbir je jednak drugom koeficijentu uzetom sa suprotnim predznakom.

Važno je zapamtiti da se Vietina teorema može primijeniti samo u redukovane kvadratne jednadžbe ().

Pogledajmo nekoliko primjera:

Primjer #1:

Riješite jednačinu.

Rješenje:

Ova jednačina se može riješiti korištenjem Vietine teoreme jer . Ostali koeficijenti: ; .

Zbir korijena jednadžbe je:

A proizvod je jednak:

Odaberimo parove brojeva čiji je proizvod jednak i provjerimo da li je njihov zbir jednak:

• I. Iznos je jednak;
• I. Iznos je jednak;
• I. Iznos je jednak.

i su rješenje za sistem:

Dakle, i su korijeni naše jednadžbe.

Odgovor: ; .

Primjer #2:

Rješenje:

Odaberimo parove brojeva koji daju u proizvodu, a zatim provjerimo da li je njihov zbir jednak:

i: daju ukupno.

i: daju ukupno. Da biste dobili, dovoljno je jednostavno promijeniti znakove navodnih korijena: i, na kraju krajeva, proizvoda.

odgovor:

Primjer #3:

Rješenje:

Slobodni član jednadžbe je negativan, pa je stoga proizvod korijena negativan broj. Ovo je moguće samo ako je jedan od korijena negativan, a drugi pozitivan. Stoga je zbir korijena jednak razlike njihovih modula.

Odaberimo parove brojeva koji daju u proizvodu, a čija je razlika jednaka:

i: njihova razlika je jednaka - ne uklapa se;

i: - nije prikladno;

i: - nije prikladno;

i: - pogodan. Ostaje samo zapamtiti da je jedan od korijena negativan. Pošto njihov zbir mora biti jednak, korijen sa manjim modulom mora biti negativan: . Provjeravamo:

odgovor:

Primjer #4:

Riješite jednačinu.

Rješenje:

Jednačina je data, što znači:

Slobodni član je negativan, pa je stoga proizvod korijena negativan. A to je moguće samo kada je jedan korijen jednadžbe negativan, a drugi pozitivan.

Odaberimo parove brojeva čiji je proizvod jednak, a zatim odredimo koji korijeni trebaju imati negativan predznak:

Očigledno, samo su korijeni i pogodni za prvi uvjet:

odgovor:

Primjer #5:

Riješite jednačinu.

Rješenje:

Jednačina je data, što znači:

Zbir korijena je negativan, što znači da je barem jedan od korijena negativan. Ali budući da je njihov proizvod pozitivan, to znači da oba korijena imaju predznak minus.

Odaberimo parove brojeva čiji je proizvod jednak:

Očigledno, korijeni su brojevi i.

odgovor:

Slažete se, vrlo je zgodno doći do korijena usmeno, umjesto da brojite ovaj gadni diskriminator. Pokušajte koristiti Vietinu teoremu što je češće moguće.

Ali Vietin teorem je potreban kako bi se olakšalo i ubrzalo pronalaženje korijena. Da biste imali koristi od njegove upotrebe, radnje morate dovesti do automatizma. A za ovo riješite još pet primjera. Ali nemojte varati: ne možete koristiti diskriminator! Samo Vietina teorema:

Rješenja zadataka za samostalan rad:

Zadatak 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Prema Vietovoj teoremi:

Kao i obično, odabir počinjemo s komadom:

Nije prikladno zbog količine;

: iznos je upravo ono što vam treba.

Odgovor: ; .

Zadatak 2.

I opet naša omiljena Vietina teorema: zbir mora biti jednak, a proizvod mora biti jednak.

Ali pošto mora biti ne, ali, mijenjamo znakove korijena: i (ukupno).

Odgovor: ; .

Zadatak 3.

Hmm... Gdje je to?

Morate premjestiti sve pojmove u jedan dio:

Zbir korijena jednak je proizvodu.

Ok, stani! Jednačina nije data. Ali Vietin teorem je primjenjiv samo u datim jednačinama. Dakle, prvo morate dati jednačinu. Ako ne možete voditi, odustanite od ove ideje i riješite je na drugi način (na primjer, kroz diskriminator). Dozvolite mi da vas podsjetim da dati kvadratnu jednačinu znači učiniti vodeći koeficijent jednakim:

Odlično. Tada je zbir korijena jednak proizvodu.

Ovdje je lako izabrati kruške: na kraju krajeva, to je prost broj (izvinite na tautologiji).

Odgovor: ; .

Zadatak 4.

Slobodni član je negativan. Šta je u ovome posebno? A činjenica je da će korijeni imati različite znakove. I sada, tokom odabira, ne provjeravamo zbir korijena, već razliku u njihovim modulima: ova razlika je jednaka, ali proizvod.

Dakle, korijeni su jednaki i, ali jedan od njih je minus. Vietina teorema nam govori da je zbir korijena jednak drugom koeficijentu suprotnog predznaka, tj. To znači da će manji korijen imati minus: i, pošto.

Odgovor: ; .

Zadatak 5.

Šta prvo treba da uradite? Tako je, dajte jednačinu:

Opet: biramo faktore broja, a njihova razlika bi trebala biti jednaka:

Korijeni su jednaki i, ali jedan od njih je minus. Koji? Njihov zbir bi trebao biti jednak, što znači da će minus imati veći korijen.

Odgovor: ; .

Dozvolite mi da rezimiram:

1. Vietin teorem se koristi samo u datim kvadratnim jednačinama.
2. Koristeći Vietin teorem, možete pronaći korijene odabirom, usmeno.
3. Ako jednačina nije data ili nije pronađen odgovarajući par faktora slobodnog člana, onda nema cijelih korijena i morate je riješiti na drugi način (na primjer, preko diskriminanta).

3. Metoda za odabir cijelog kvadrata

Ako su svi članovi koji sadrže nepoznato predstavljeni u obliku pojmova iz skraćenih formula za množenje - kvadrata zbira ili razlike - tada se nakon zamjene varijabli jednačina može predstaviti u obliku nepotpune kvadratne jednadžbe tipa.

Na primjer:

Primjer 1:

Riješite jednačinu: .

Rješenje:

odgovor:

Primjer 2:

Riješite jednačinu: .

Rješenje:

odgovor:

Generalno, transformacija će izgledati ovako:

Ovo implicira: .

Ne podsjeća te ni na šta? Ovo je diskriminatorna stvar! Upravo tako smo dobili diskriminantnu formulu.

KVADRATNE JEDNAČINE. UKRATKO O GLAVNIM STVARIMA

Kvadratna jednadžba - ovo je jednačina oblika, gdje je - nepoznato, - koeficijenti kvadratne jednačine, - slobodni član.

Potpuna kvadratna jednadžba- jednačina u kojoj koeficijenti nisu jednaki nuli.

Redukovana kvadratna jednačina- jednačina u kojoj je koeficijent, odnosno: .

Nepotpuna kvadratna jednadžba- jednadžba u kojoj su koeficijent i/ili slobodni član c jednaki nuli:

• ako je koeficijent, jednačina izgleda ovako: ,
• ako postoji slobodni član, jednačina ima oblik: ,
• ako i, jednačina izgleda ovako: .

1. Algoritam za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednačina

1.1. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je, :

1) Izrazimo nepoznato: ,

2) Provjerite predznak izraza:

• ako, onda jednačina nema rješenja,
• ako, onda jednačina ima dva korijena.

1.2. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je, :

1) Uzmimo zajednički faktor iz zagrada: ,

2) Proizvod je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli. Dakle, jednadžba ima dva korijena:

1.3. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je:

Ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen: .

2. Algoritam za rješavanje potpunih kvadratnih jednačina oblika gdje

2.1. Rješenje korištenjem diskriminanta

1) Smanjimo jednačinu na standardni pogled: ,

2) Izračunajmo diskriminant koristeći formulu: , koja označava broj korijena jednačine:

3) Pronađite korijene jednačine:

• ako, onda jednadžba ima korijene, koji se nalaze po formuli:
• ako, onda jednadžba ima korijen, koji se nalazi po formuli:
• ako, onda jednačina nema korijena.

2.2. Rješenje korištenjem Vietine teoreme

Zbir korijena redukovane kvadratne jednadžbe (jednačina oblika gdje) je jednak, a proizvod korijena jednak, tj. , A.

2.3. Rješenje metodom odabira cijelog kvadrata

Kopyevskaya ruralna srednja škola

10 načina za rješavanje kvadratnih jednačina

Rukovodilac: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

nastavnik matematike

selo Kopevo, 2007

1. Istorija razvoja kvadratnih jednačina

1.1 Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu

1.2 Kako je Diofant sastavio i riješio kvadratne jednačine

1.3 Kvadratne jednadžbe u Indiji

1.4 Kvadratne jednadžbe od al-Khorezmija

1.5 Kvadratne jednačine u Evropi XIII - XVII vijeka

1.6 O Vietinoj teoremi

2. Metode rješavanja kvadratnih jednačina

Zaključak

Književnost

1. Istorija razvoja kvadratnih jednačina

1.1 Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu

Potreba za rješavanjem jednačina ne samo prvog, već i drugog stepena, još u antičko doba bila je uzrokovana potrebom rješavanja problema vezanih za pronalaženje površina zemljišnih parcela i iskopnih radova vojnog karaktera, kao i kao i sa razvojem same astronomije i matematike. Kvadratne jednačine su se mogle riješiti oko 2000. godine prije Krista. e. Babilonci.

Koristeći modernu algebarsku notaciju, možemo reći da u njihovim klinastim tekstovima, osim nepotpunih, postoje i, na primjer, potpune kvadratne jednadžbe:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Pravilo za rješavanje ovih jednačina, postavljeno u babilonskim tekstovima, u suštini se poklapa sa savremenim, ali nije poznato kako su Babilonci došli do ovog pravila. Gotovo svi do sada pronađeni klinopisni tekstovi daju samo probleme s rješenjima izloženim u obliku recepata, bez naznaka kako su pronađeni.

Uprkos visoki nivo razvoj algebre u Babilonu, klinastim tekstovima nedostaje koncept negativan broj I opšte metode rješavanje kvadratnih jednačina.

1.2 Kako je Diofant sastavio i riješio kvadratne jednačine.

Diofantova aritmetika ne sadrži sistematski prikaz algebre, ali sadrži sistematski niz problema, praćenih objašnjenjima i rešavanih konstruisanjem jednačina različitih stepena.

Prilikom sastavljanja jednačina, Diofant vješto bira nepoznanice kako bi pojednostavio rješenje.

Evo, na primjer, jednog od njegovih zadataka.

Problem 11.“Pronađi dva broja, znajući da je njihov zbir 20, a proizvod 96”

Diofant obrazlaže ovako: iz uslova zadatka proizilazi da traženi brojevi nisu jednaki, jer da su jednaki, onda njihov proizvod ne bi bio jednak 96, već 100. Dakle, jedan od njih će biti veći od pola njihove sume, tj. 10 + x, drugi je manji, tj. 10's. Razlika između njih 2x .

Otuda jednačina:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Odavde x = 2. Jedan od traženih brojeva je jednak 12 , ostalo 8 . Rješenje x = -2 jer Diofant ne postoji, pošto je grčka matematika poznavala samo pozitivne brojeve.

Ako ovaj problem riješimo odabirom jednog od traženih brojeva kao nepoznatog, doći ćemo do rješenja jednačine

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Jasno je da biranjem polurazlike traženih brojeva kao nepoznate, Diofant pojednostavljuje rješenje; on uspijeva svesti problem na rješavanje nepotpune kvadratne jednadžbe (1).

1.3 Kvadratne jednadžbe u Indiji

Problemi o kvadratnim jednačinama nalaze se već u astronomskoj raspravi „Arijabhattiam“, koju je 499. godine sastavio indijski matematičar i astronom Aryabhatta. Još jedan indijski naučnik, Brahmagupta (7. vek), je izložio opšte pravilo rješenja kvadratnih jednadžbi svedena na jedan kanonski oblik:

ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

U jednačini (1), koeficijenti, osim A, također može biti negativan. Brahmaguptino pravilo je u suštini isto kao i naše.

IN Ancient India Javni konkursi u rješavanju teških problema bili su uobičajeni. U jednoj od starih indijskih knjiga o takvim takmičenjima stoji sljedeće: „Kao što sunce obasjava zvijezde svojim sjajem, tako će učen čovjek nadmašiti slavu drugoga na javnim skupovima, predlažući i rješavajući algebarske probleme. Problemi su često predstavljani u poetskom obliku.

Ovo je jedan od problema poznatog indijskog matematičara iz 12. veka. Bhaskars.

Problem 13.

„Jato žustrih majmuna, i dvanaest duž vinove loze...

Vlasti su se, pojevši, zabavile. Počeli su skakati, vješati se...

Ima ih na trgu, dio 8. Koliko je majmuna bilo?

Zabavljao sam se na čistini. Reci mi, u ovom paketu?

Bhaskarino rješenje pokazuje da je znao da su korijeni kvadratnih jednadžbi dvovrijedni (slika 3).

Jednačina koja odgovara problemu 13 je:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara piše pod maskom:

x 2 - 64x = -768

i, da bi se lijeva strana ove jednadžbe dovršila na kvadrat, dodaje obje strane 32 2 , a zatim dobijate:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Kvadratne jednadžbe u al - Khorezmi

U algebarskoj raspravi al-Khorezmija data je klasifikacija linearnih i kvadratnih jednadžbi. Autor broji 6 vrsta jednačina, izražavajući ih na sljedeći način:

1) „Kvadrati su jednaki korijenima“, tj. ax 2 + c = b X.

2) „Kvadrati su jednaki brojevima“, tj. sjekira 2 = c.

3) “Korijeni su jednaki broju”, tj. ah = s.

4) „Kvadrati i brojevi su jednaki korijenima“, tj. ax 2 + c = b X.

5) „Kvadrati i korijeni su jednaki brojevima“, tj. ah 2+ bx = s.

6) „Korijeni i brojevi su jednaki kvadratima“, tj. bx + c = ax 2 .

Za al-Khorezmija, koji je izbjegao upotrebu negativnih brojeva, članovi svake od ovih jednačina su sabirci, a ne oduzimajući. U ovom slučaju se očito ne uzimaju u obzir jednačine koje nemaju pozitivna rješenja. Autor postavlja metode za rješavanje ovih jednačina koristeći tehnike al-jabr i al-muqabala. Njegove odluke se, naravno, ne poklapaju u potpunosti s našim. Da ne spominjemo da je to čisto retoričko, treba napomenuti, na primjer, da pri rješavanju nepotpune kvadratne jednadžbe prvog tipa

al-Horezmi, kao i svi matematičari prije 17. stoljeća, ne uzima u obzir nulto rješenje, vjerovatno zato što u konkretnim praktičnim problemima ono nije bitno. Kada rješava potpune kvadratne jednadžbe, al-Khorezmi postavlja pravila za njihovo rješavanje koristeći određene numeričke primjere, a zatim i geometrijske dokaze.

Problem 14.“Kvadrat i broj 21 jednaki su 10 korijena. Pronađite korijen" (što podrazumijeva korijen jednačine x 2 + 21 = 10x).

Autorovo rješenje glasi otprilike ovako: podijelite broj korijena na pola, dobijete 5, pomnožite 5 sa sobom, oduzmete 21 od proizvoda, ostaje 4. Uzmite korijen iz 4, dobijete 2. Oduzmite 2 od 5 , dobijete 3, ovo će biti željeni korijen. Ili dodajte 2 do 5, što daje 7, ovo je također korijen.

Traktat Al-Khorezmi je prva knjiga koja je došla do nas, a koja sistematski postavlja klasifikaciju kvadratnih jednačina i daje formule za njihovo rješavanje.

1.5 Kvadratne jednadžbe u Evropi XIII - XVII bb

Formule za rješavanje kvadratnih jednačina duž linija al-Khwarizmija u Evropi su prvi put izložene u Knjizi Abacus, koju je 1202. napisao italijanski matematičar Leonardo Fibonacci. Ovo obimno djelo, koje odražava utjecaj matematike, kako islamskih zemalja tako i Ancient Greece, odlikuje se potpunošću i jasnoćom prezentacije. Autor je samostalno razvio neke nove algebarske primjere rješavanja problema i prvi u Europi pristupio uvođenju negativnih brojeva. Njegova knjiga je doprinijela širenju algebarskog znanja ne samo u Italiji, već iu Njemačkoj, Francuskoj i drugim evropskim zemljama. Mnogi problemi iz knjige Abacus korišćeni su u gotovo svim evropskim udžbenicima 16. - 17. veka. i dijelom XVIII.

Opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednadžbi svedeno na jedan kanonski oblik:

x 2 + bx = c,

za sve moguće kombinacije predznaka koeficijenta b , With je u Evropi formulisao M. Stiefel tek 1544. godine.

Izvođenje formule za rješavanje kvadratne jednadžbe u općem obliku dostupno je od Viètea, ali Viète je prepoznao samo pozitivne korijene. Italijanski matematičari Tartaglia, Cardano, Bombelli bili su među prvima u 16. veku. Osim pozitivnih, u obzir se uzimaju i negativni korijeni. Tek u 17. veku. Zahvaljujući radovima Girarda, Descartesa, Newtona i drugih naučnika, metoda rješavanja kvadratnih jednačina poprima moderan oblik.

1.6 O Vietinoj teoremi

Teoremu koja izražava odnos između koeficijenata kvadratne jednadžbe i njenih korijena, nazvanu po Vieti, on je prvi put formulirao 1591. na sljedeći način: „Ako B + D, pomnoženo sa A - A 2 , jednako BD, To A jednaki IN i jednaki D ».

Da bismo razumjeli Vietu, trebamo to zapamtiti A, kao i svako samoglasničko slovo, značilo je nepoznato (naše X), samoglasnici IN, D- koeficijenti za nepoznato. U jeziku moderne algebre, gornja Vieta formulacija znači: ako postoji

(a + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Izražavanje odnosa između korijena i koeficijenata jednadžbi opšte formule pisan simbolima, Viet je uspostavio uniformnost u metodama rješavanja jednačina. Međutim, simbolika Vieta još je daleko od toga moderan izgled. Nije prepoznao negativne brojeve i stoga je prilikom rješavanja jednačina razmatrao samo slučajeve u kojima su svi korijeni bili pozitivni.

2. Metode rješavanja kvadratnih jednačina

Kvadratne jednadžbe su temelj na kojem počiva veličanstveno zdanje algebre. Kvadratne jednadžbe se široko koriste u rješavanju trigonometrijskih, eksponencijalnih, logaritamskih, iracionalnih i transcendentalnih jednadžbi i nejednačina. Svi znamo rješavati kvadratne jednačine od škole (8. razred) do mature.

Nastavljamo da proučavamo temu “ rješavanje jednačina" Već smo se upoznali sa linearnim jednačinama i prelazimo na upoznavanje sa kvadratne jednačine.

Prvo ćemo pogledati šta je kvadratna jednadžba, kako je napisana u opštem obliku i dati srodne definicije. Nakon toga ćemo na primjerima detaljno ispitati kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe. Pređimo na rješenje potpune jednačine, dobićemo formulu korijena, upoznati se s diskriminantom kvadratne jednadžbe i razmotriti rješenja tipičnih primjera. Na kraju, pratimo veze između korijena i koeficijenata.

Navigacija po stranici.

Šta je kvadratna jednačina? Njihove vrste

Prvo morate jasno razumjeti šta je kvadratna jednačina. Stoga je logično započeti razgovor o kvadratnim jednačinama definicijom kvadratne jednačine, kao i srodnim definicijama. Nakon toga, možete razmotriti glavne vrste kvadratnih jednadžbi: redukovane i nereducirane, kao i potpune i nepotpune jednadžbe.

Definicija i primjeri kvadratnih jednadžbi

Definicija.

Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika a x 2 +b x+c=0, gdje je x varijabla, a, b i c su neki brojevi, a a nije nula.

Recimo odmah da se kvadratne jednačine često nazivaju jednačinama drugog stepena. To je zbog činjenice da je kvadratna jednačina algebarska jednačina drugi stepen.

Navedena definicija nam omogućava da damo primjere kvadratnih jednadžbi. Dakle 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, itd. Ovo su kvadratne jednadžbe.

Definicija.

Brojevi a, b i c se nazivaju koeficijenti kvadratne jednačine a·x 2 +b·x+c=0, a koeficijent a se naziva prvi, ili najveći, ili koeficijent od x 2, b je drugi koeficijent, ili koeficijent od x, a c je slobodni član .

Na primjer, uzmimo kvadratnu jednačinu oblika 5 x 2 −2 x −3=0, ovdje je vodeći koeficijent 5, drugi koeficijent je jednak −2, a slobodni član je jednak −3. Imajte na umu da kada su koeficijenti b i/ili c negativni, kao u upravo datom primjeru, onda kratke forme zapisivanje kvadratne jednačine oblika 5 x 2 −2 x−3=0, a ne 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0.

Vrijedi napomenuti da kada su koeficijenti a i/ili b jednaki 1 ili −1, oni obično nisu eksplicitno prisutni u kvadratnoj jednadžbi, što je posljedica posebnosti pisanja takvog . Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi y 2 −y+3=0 vodeći koeficijent je jedan, a koeficijent za y jednak je −1.

Reducirane i nereducirane kvadratne jednadžbe

U zavisnosti od vrijednosti vodećeg koeficijenta razlikuju se redukovane i nereducirane kvadratne jednadžbe. Hajde da damo odgovarajuće definicije.

Definicija.

Poziva se kvadratna jednadžba u kojoj je vodeći koeficijent 1 zadata kvadratna jednačina. Inače je kvadratna jednačina netaknut.

Prema ovu definiciju, kvadratne jednačine x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0, itd. – dat, u svakom od njih prvi koeficijent jednako jedan. A 5 x 2 −x−1=0, itd. - nereducirane kvadratne jednadžbe čiji su vodeći koeficijenti različiti od 1.

Iz bilo koje nereducirane kvadratne jednadžbe, dijeljenjem obje strane s vodećim koeficijentom, možete prijeći na redukovanu. Ova akcija je ekvivalentna transformacija, odnosno ovako dobijena redukovana kvadratna jednadžba ima iste korijene kao i originalna nereducirana kvadratna jednadžba, ili, poput nje, nema korijena.

Pogledajmo primjer kako se izvodi prijelaz iz nereducirane kvadratne jednadžbe na redukovanu.

Primjer.

Iz jednačine 3 x 2 +12 x−7=0 idite na odgovarajuću redukovanu kvadratnu jednačinu.

Rješenje.

Samo trebamo podijeliti obje strane originalne jednadžbe sa vodećim koeficijentom 3, on je različit od nule, tako da možemo izvesti ovu radnju. Imamo (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, što je isto, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, a zatim (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, odakle je . Tako smo dobili redukovanu kvadratnu jednačinu, koja je ekvivalentna originalnoj.

odgovor:

Potpune i nepotpune kvadratne jednadžbe

Definicija kvadratne jednadžbe sadrži uvjet a≠0. Ovaj uslov je neophodan da bi jednadžba a x 2 + b x + c = 0 bila kvadratna, jer kada je a = 0 zapravo postaje linearna jednačina oblika b x + c = 0.

Što se tiče koeficijenata b i c, oni mogu biti jednaki nuli, kako pojedinačno tako i zajedno. U tim slučajevima, kvadratna jednačina se naziva nepotpuna.

Definicija.

Kvadratna jednačina a x 2 +b x+c=0 se zove nepotpuno, ako je barem jedan od koeficijenata b, c jednak nuli.

Zauzvrat

Definicija.

Potpuna kvadratna jednadžba je jednadžba u kojoj su svi koeficijenti različiti od nule.

Takva imena nisu data slučajno. To će postati jasno iz narednih diskusija.

Ako je koeficijent b nula, tada kvadratna jednačina ima oblik a·x 2 +0·x+c=0, i ekvivalentna je jednačini a·x 2 +c=0. Ako je c=0, odnosno kvadratna jednadžba ima oblik a·x 2 +b·x+0=0, onda se može prepisati kao a·x 2 +b·x=0. A sa b=0 i c=0 dobijamo kvadratnu jednačinu a·x 2 =0. Rezultirajuće jednadžbe se razlikuju od potpune kvadratne jednadžbe po tome što njihove lijeve strane ne sadrže ni član s promjenljivom x, ni slobodni član, ili oboje. Otuda im i naziv - nepotpune kvadratne jednadžbe.

Dakle, jednačine x 2 +x+1=0 i −2 x 2 −5 x+0,2=0 su primjeri potpunih kvadratnih jednačina, a x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 su nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Iz podataka iz prethodnog stava proizilazi da postoji tri vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

• a·x 2 =0, njemu odgovaraju koeficijenti b=0 i c=0;
• a x 2 +c=0 kada je b=0;
• i a·x 2 +b·x=0 kada je c=0.

Ispitajmo redom kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe svakog od ovih tipova.

a x 2 =0

Počnimo sa rješavanjem nepotpunih kvadratnih jednadžbi u kojima su koeficijenti b i c jednaki nuli, odnosno sa jednadžbama oblika a x 2 =0. Jednačina a·x 2 =0 je ekvivalentna jednačini x 2 =0, koja se dobija iz originala dijeljenjem oba dijela brojem a koji nije nula. Očigledno, korijen jednačine x 2 =0 je nula, jer je 0 2 =0. Ova jednadžba nema druge korijene, što se objašnjava činjenicom da za bilo koji broj p različit od nule vrijedi nejednakost p 2 >0, što znači da se za p≠0 jednakost p 2 =0 nikada ne postiže.

Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba a·x 2 =0 ima jedan korijen x=0.

Kao primjer dajemo rješenje nepotpune kvadratne jednadžbe −4 x 2 =0. Ekvivalentna je jednadžbi x 2 =0, njen jedini korijen je x=0, stoga originalna jednačina ima jedan korijen nula.

Kratko rješenje u ovom slučaju može se napisati na sljedeći način:
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Pogledajmo sada kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe u kojima je koeficijent b nula i c≠0, odnosno jednadžbe oblika a x 2 +c=0. Znamo da premještanje člana s jedne strane jednačine na drugu sa suprotnim predznakom, kao i dijeljenje obje strane jednačine brojem koji nije nula, daje ekvivalentnu jednačinu. Stoga možemo izvršiti sljedeće ekvivalentne transformacije nepotpune kvadratne jednadžbe a x 2 +c=0:

• pomjeriti c na desnu stranu, što daje jednačinu a x 2 =−c,
• i podijelimo obje strane s a, dobivamo .

Rezultirajuća jednačina nam omogućava da izvučemo zaključke o njenim korijenima. Ovisno o vrijednostima a i c, vrijednost izraza može biti negativna (na primjer, ako je a=1 i c=2, onda ) ili pozitivna (na primjer, ako je a=−2 i c=6, onda ), nije jednako nuli , jer po uslovu c≠0. Pogledajmo slučajeve odvojeno.

Ako , tada jednadžba nema korijena. Ova izjava slijedi iz činjenice da je kvadrat bilo kojeg broja nenegativan broj. Iz ovoga slijedi da kada , Tada za bilo koji broj p jednakost ne može biti istinita.

Ako je , onda je situacija s korijenima jednadžbe drugačija. U ovom slučaju, ako se sjetimo o , tada korijen jednadžbe odmah postaje očigledan; to je broj, budući da . Lako je pretpostaviti da je broj također korijen jednadžbe, zaista, . Ova jednadžba nema druge korijene, što se može prikazati, na primjer, kontradikcijom. Hajde da to uradimo.

Označimo korijene upravo najavljene jednadžbe sa x 1 i −x 1 . Pretpostavimo da jednačina ima još jedan korijen x 2, različit od navedenih korijena x 1 i −x 1. Poznato je da zamjena njenih korijena u jednadžbu umjesto x pretvara jednačinu u ispravnu numeričku jednakost. Za x 1 i −x 1 imamo , a za x 2 imamo . Svojstva numeričkih jednakosti nam omogućavaju da izvodimo počlanu oduzimanje tačnih numeričkih jednakosti, tako da oduzimanjem odgovarajućih dijelova jednakosti dobijemo x 1 2 −x 2 2 =0. Svojstva operacija sa brojevima nam omogućavaju da prepišemo rezultujuću jednakost kao (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Znamo da je proizvod dva broja jednak nuli ako i samo ako je barem jedan od njih jednak nuli. Dakle, iz rezultirajuće jednakosti slijedi da je x 1 −x 2 =0 i/ili x 1 +x 2 =0, što je isto, x 2 =x 1 i/ili x 2 =−x 1. Tako smo došli do kontradikcije, jer smo na početku rekli da je korijen jednačine x 2 različit od x 1 i −x 1. Ovo dokazuje da jednačina nema korijene osim i .

Hajde da sumiramo informacije u ovom paragrafu. Nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 +c=0 je ekvivalentna jednadžbi koja

• nema korijena ako ,
• ima dva korijena i , ako .

Razmotrimo primjere rješavanja nepotpunih kvadratnih jednadžbi oblika a·x 2 +c=0.

Počnimo s kvadratnom jednačinom 9 x 2 +7=0. Nakon pomjeranja slobodnog člana na desnu stranu jednačine, on će poprimiti oblik 9 x 2 =−7. Dijeljenjem obje strane rezultirajuće jednačine sa 9, dolazimo do . Budući da desna strana ima negativan broj, ova jednadžba nema korijena, prema tome, originalna nepotpuna kvadratna jednadžba 9 x 2 +7 = 0 nema korijena.

Riješimo još jednu nepotpunu kvadratnu jednačinu −x 2 +9=0. Pomeramo devetku na desnu stranu: −x 2 =−9. Sada podijelimo obje strane sa −1, dobićemo x 2 =9. Na desnoj strani nalazi se pozitivan broj, iz kojeg zaključujemo da je ili . Zatim zapisujemo konačni odgovor: nepotpuna kvadratna jednačina −x 2 +9=0 ima dva korijena x=3 ili x=−3.

a x 2 +b x=0

Ostaje da se pozabavimo rješenjem posljednje vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi za c=0. Nepotpune kvadratne jednadžbe oblika a x 2 + b x = 0 omogućavaju vam da riješite metoda faktorizacije. Očigledno možemo, smješteni na lijevoj strani jednačine, za što je dovoljno uzeti zajednički faktor x iz zagrada. Ovo nam omogućava da pređemo sa originalne nepotpune kvadratne jednačine na ekvivalentnu jednačinu oblika x·(a·x+b)=0. A ova jednačina je ekvivalentna skupu dvije jednačine x=0 i a·x+b=0, od kojih je posljednja linearna i ima korijen x=−b/a.

Dakle, nepotpuna kvadratna jednačina a·x 2 +b·x=0 ima dva korijena x=0 i x=−b/a.

Kako bismo konsolidirali materijal, analizirat ćemo rješenje na konkretnom primjeru.

Primjer.

Riješite jednačinu.

Rješenje.

Uzimanje x iz zagrada daje jednačinu . To je ekvivalentno dvjema jednadžbama x=0 i . Rješavamo rezultirajuću linearnu jednačinu: , i vršimo dijeljenje mješoviti broj on običan razlomak, mi nalazimo . Stoga su korijeni originalne jednadžbe x=0 i .

Nakon stjecanja potrebne prakse, rješenja ovakvih jednačina mogu se ukratko napisati:

odgovor:

x=0 , .

Diskriminant, formula za korijene kvadratne jednadžbe

Za rješavanje kvadratnih jednadžbi postoji formula korijena. Hajde da to zapišemo formula za korijene kvadratne jednadžbe: , Gdje D=b 2 −4 a c- takozvani diskriminanta kvadratne jednačine. Unos u suštini znači da .

Korisno je znati kako je korijenska formula izvedena i kako se koristi u pronalaženju korijena kvadratnih jednadžbi. Hajde da shvatimo ovo.

Izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe

Trebamo riješiti kvadratnu jednačinu a·x 2 +b·x+c=0. Izvršimo neke ekvivalentne transformacije:

• Možemo podijeliti obje strane ove jednačine brojem različitom od nule a, što rezultira sljedećom kvadratnom jednačinom.
• Sad hajde da istaknemo savršen kvadrat na njegovoj lijevoj strani: . Nakon toga, jednačina će poprimiti oblik.
• U ovoj fazi moguće je posljednja dva člana prenijeti na desnu stranu sa suprotnim predznakom, imamo .
• I transformirajmo izraz na desnoj strani: .

Kao rezultat, dolazimo do jednačine koja je ekvivalentna originalnoj kvadratnoj jednačini a·x 2 +b·x+c=0.

Jednadžbe slične forme već smo rješavali u prethodnim paragrafima, kada smo ih ispitivali. To nam omogućava da izvučemo sljedeće zaključke u vezi s korijenima jednadžbe:

• ako je , tada jednačina nema realnih rješenja;
• ako , tada jednadžba ima oblik , dakle, , iz kojeg je vidljiv njen jedini korijen;
• ako , onda ili , što je isto kao ili , To jest, jednadžba ima dva korijena.

Dakle, prisustvo ili odsustvo korena jednadžbe, a samim tim i originalne kvadratne jednačine, zavisi od predznaka izraza na desnoj strani. Zauzvrat, predznak ovog izraza je određen predznakom brojioca, pošto je imenilac 4·a 2 uvijek pozitivan, odnosno predznakom izraza b 2 −4·a·c. Ovaj izraz b 2 −4 a c je nazvan diskriminanta kvadratne jednačine i označeno pismom D. Odavde je suština diskriminanta jasna - na osnovu njegove vrijednosti i predznaka zaključuju da li kvadratna jednačina ima realne korijene, i ako ima, koji je njihov broj - jedan ili dva.

Vratimo se na jednadžbu i prepišimo je koristeći diskriminantnu notaciju: . I donosimo zaključke:

• ako D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• ako je D=0, onda ova jednadžba ima jedan korijen;
• konačno, ako je D>0, onda jednačina ima dva korijena ili, što se može prepisati u obliku ili, a nakon proširenja i dovođenja razlomaka na zajednički nazivnik dobijamo.

Tako smo izveli formule za korijene kvadratne jednadžbe, izgledaju kao , gdje se diskriminanta D izračunava po formuli D=b 2 −4·a·c.

Uz njihovu pomoć, uz pozitivan diskriminant, možete izračunati oba realna korijena kvadratne jednadžbe. Kada je diskriminanta jednaka nuli, obje formule daju istu vrijednost korijena, što odgovara jedinstvenom rješenju kvadratne jednadžbe. A s negativnim diskriminantom, kada pokušavamo upotrijebiti formulu za korijene kvadratne jednadžbe, suočavamo se s izvlačenjem kvadratnog korijena negativnog broja, što nas vodi izvan okvira školskog programa. Sa negativnim diskriminantom, kvadratna jednadžba nema pravi korijen, ali ima par kompleksni konjugat korijene, koji se mogu pronaći korištenjem istih korijenskih formula koje smo dobili.

Algoritam za rješavanje kvadratnih jednadžbi korištenjem korijenskih formula

U praksi, kada rješavate kvadratne jednadžbe, možete odmah koristiti formulu korijena za izračunavanje njihovih vrijednosti. Ali ovo se više odnosi na pronalaženje složenih korijena.

Međutim, u školskom kursu algebre to je obično mi pričamo o tome ne o kompleksnim, već o realnim korijenima kvadratne jednačine. U ovom slučaju, preporučljivo je, prije upotrebe formula za korijene kvadratne jednadžbe, prvo pronaći diskriminanta, uvjeriti se da nije negativna (inače možemo zaključiti da jednačina nema realne korijene), i tek onda izračunati vrijednosti korijena.

Gornje rezonovanje nam omogućava da pišemo algoritam za rješavanje kvadratne jednačine. Da biste riješili kvadratnu jednačinu a x 2 +b x+c=0, trebate:

• koristeći diskriminantnu formulu D=b 2 −4·a·c, izračunaj njegovu vrijednost;
• zaključiti da kvadratna jednadžba nema pravi korijen ako je diskriminanta negativna;
• izračunati jedini korijen jednadžbe koristeći formulu ako je D=0;
• pronađite dva realna korijena kvadratne jednadžbe koristeći formulu korijena ako je diskriminanta pozitivna.

Ovdje samo napominjemo da ako je diskriminant jednak nuli, možete koristiti i formulu; ona će dati istu vrijednost kao .

Možete prijeći na primjere korištenja algoritma za rješavanje kvadratnih jednadžbi.

Primjeri rješavanja kvadratnih jednačina

Razmotrimo rješenja tri kvadratne jednadžbe sa pozitivnim, negativnim i nultim diskriminantom. Nakon što se pozabavimo njihovim rješenjem, po analogiji će biti moguće riješiti bilo koju drugu kvadratnu jednačinu. Počnimo.

Primjer.

Naći korijene jednačine x 2 +2·x−6=0.

Rješenje.

U ovom slučaju imamo sljedeće koeficijente kvadratne jednačine: a=1, b=2 i c=−6. Prema algoritmu, prvo morate izračunati diskriminantu; da biste to učinili, zamijenimo naznačene a, b i c u diskriminantnu formulu, imamo D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Pošto je 28>0, odnosno diskriminanta veća od nule, kvadratna jednadžba ima dva realna korijena. Nađimo ih koristeći korijensku formulu, dobijamo , ovdje možete pojednostaviti rezultirajuće izraze tako što ćete pomicanje množitelja izvan predznaka korijena nakon čega slijedi smanjenje razlomka:

odgovor:

Prijeđimo na sljedeći tipičan primjer.

Primjer.

Riješite kvadratnu jednačinu −4 x 2 +28 x−49=0 .

Rješenje.

Počinjemo od pronalaženja diskriminanta: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Dakle, ova kvadratna jednadžba ima jedan korijen, koji nalazimo kao , tj.

odgovor:

x=3.5.

Ostaje da razmotrimo rješavanje kvadratnih jednadžbi s negativnim diskriminantom.

Primjer.

Riješite jednačinu 5·y 2 +6·y+2=0.

Rješenje.

Evo koeficijenata kvadratne jednačine: a=5, b=6 i c=2. Zamjenjujemo ove vrijednosti u diskriminantnu formulu, koju imamo D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Diskriminant je negativan, stoga ova kvadratna jednadžba nema pravi korijen.

Ako trebate naznačiti kompleksne korijene, tada primjenjujemo dobro poznatu formulu za korijene kvadratne jednadžbe i izvodimo operacije sa kompleksnim brojevima:

odgovor:

nema pravih korena, složeni koreni su: .

Napomenimo još jednom da ako je diskriminant kvadratne jednadžbe negativan, onda u školi obično odmah zapišu odgovor u kojem ukazuju da nema pravih korijena, a kompleksni korijeni nisu pronađeni.

Formula korijena za parne druge koeficijente

Formula za korijene kvadratne jednadžbe, gdje je D=b 2 −4·a·c omogućava vam da dobijete formulu kompaktnijeg oblika, što vam omogućava da rješavate kvadratne jednadžbe s parnim koeficijentom za x (ili jednostavno sa koeficijent koji ima oblik 2·n, na primjer, ili 14· ln5=2·7·ln5). Izvucimo je.

Recimo da trebamo riješiti kvadratnu jednačinu oblika a x 2 +2 n x+c=0. Pronađimo njegove korijene koristeći formulu koju poznajemo. Da bismo to učinili, izračunavamo diskriminant D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), a zatim koristimo formulu korijena:

Označimo izraz n 2 −a c kao D 1 (ponekad se označava D"). Tada će formula za korijene kvadratne jednadžbe koja se razmatra sa drugim koeficijentom 2 n poprimiti oblik , gdje je D 1 =n 2 −a·c.

Lako je vidjeti da je D=4·D 1, ili D 1 =D/4. Drugim riječima, D 1 je četvrti dio diskriminanta. Jasno je da je predznak D 1 isti kao i znak D . Odnosno, znak D 1 je takođe pokazatelj prisustva ili odsustva korena kvadratne jednačine.

Dakle, da biste riješili kvadratnu jednačinu sa drugim koeficijentom 2·n, trebate

• Izračunajte D 1 =n 2 −a·c ;
• Ako je D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Ako je D 1 =0, onda izračunajte jedini korijen jednadžbe koristeći formulu;
• Ako je D 1 >0, pronađite dva realna korijena koristeći formulu.

Razmotrimo rješavanje primjera pomoću formule korijena dobivene u ovom pasusu.

Primjer.

Riješite kvadratnu jednačinu 5 x 2 −6 x −32=0 .

Rješenje.

Drugi koeficijent ove jednačine može se predstaviti kao 2·(−3) . To jest, možete prepisati originalnu kvadratnu jednačinu u obliku 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, ovdje a=5, n=−3 i c=−32, i izračunati četvrti dio diskriminatorno: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Pošto je njena vrijednost pozitivna, jednačina ima dva realna korijena. Pronađimo ih koristeći odgovarajuću formulu korijena:

Imajte na umu da je bilo moguće koristiti uobičajenu formulu za korijene kvadratne jednadžbe, ali bi u ovom slučaju trebalo obaviti više računskog rada.

odgovor:

Pojednostavljivanje oblika kvadratnih jednadžbi

Ponekad, prije nego što počnete izračunavati korijene kvadratne jednadžbe pomoću formula, ne škodi da postavite pitanje: "Da li je moguće pojednostaviti oblik ove jednadžbe?" Slažemo se da će u smislu proračuna biti lakše riješiti kvadratnu jednačinu 11 x 2 −4 x−6=0 nego 1100 x 2 −400 x−600=0.

Obično se pojednostavljivanje oblika kvadratne jednadžbe postiže množenjem ili dijeljenjem obje strane određenim brojem. Na primjer, u prethodnom pasusu bilo je moguće pojednostaviti jednačinu 1100 x 2 −400 x −600=0 dijeljenjem obje strane sa 100.

Slična transformacija se provodi s kvadratnim jednadžbama čiji koeficijenti nisu . U ovom slučaju, obje strane jednadžbe se obično dijele apsolutnim vrijednostima njenih koeficijenata. Na primjer, uzmimo kvadratnu jednačinu 12 x 2 −42 x+48=0. apsolutne vrijednosti njegovih koeficijenata: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Dijeljenjem obje strane originalne kvadratne jednadžbe sa 6, dolazimo do ekvivalentne kvadratne jednačine 2 x 2 −7 x+8=0.

A množenje obje strane kvadratne jednadžbe obično se radi kako bi se riješili razlomaka koeficijenata. U ovom slučaju, množenje se vrši nazivnicima njegovih koeficijenata. Na primjer, ako se obje strane kvadratne jednadžbe pomnože sa LCM(6, 3, 1)=6, tada će ona poprimiti jednostavniji oblik x 2 +4·x−18=0.

U zaključku ove tačke, napominjemo da se oni gotovo uvijek oslobađaju minusa na najvećem koeficijentu kvadratne jednačine promjenom predznaka svih članova, što odgovara množenju (ili dijeljenju) obje strane sa −1. Na primjer, obično se prelazi sa kvadratne jednadžbe −2 x 2 −3 x+7=0 na rješenje 2 x 2 +3 x−7=0 .

Odnos između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe

Formula za korijene kvadratne jednadžbe izražava korijene jednadžbe kroz njene koeficijente. Na osnovu formule korijena, možete dobiti druge odnose između korijena i koeficijenata.

Najpoznatije i najprimenljivije formule iz Vietine teoreme su oblika i . Konkretno, za datu kvadratnu jednačinu, zbir korijena jednak je drugom koeficijentu suprotnog predznaka, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu. Na primjer, gledajući oblik kvadratne jednadžbe 3 x 2 −7 x + 22 = 0, možemo odmah reći da je zbir njenih korijena jednak 7/3, a proizvod korijena jednak 22 /3.

Koristeći već napisane formule, možete dobiti niz drugih veza između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe. Na primjer, možete izraziti zbir kvadrata korijena kvadratne jednadžbe kroz njene koeficijente: .

Bibliografija.

• algebra: udžbenik za 8. razred. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uređeno od S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M.: Obrazovanje, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 8. razred. U 14 sati Prvi dio. Udžbenik za studente obrazovne institucije/ A. G. Mordkovich. - 11. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.