Derivat eksternih i unutrašnjih funkcija. Pravilo za razlikovanje složene funkcije

Ako slijedite definiciju, onda je derivacija funkcije u tački granica omjera prirasta funkcije Δ y na prirast argumenta Δ x:

Čini se da je sve jasno. Ali pokušajte koristiti ovu formulu da izračunate, recimo, derivaciju funkcije f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x grijeh x. Ako sve radite po definiciji, onda ćete nakon nekoliko stranica proračuna jednostavno zaspati. Stoga postoje jednostavniji i efikasniji načini.

Za početak, napominjemo da iz čitavog niza funkcija možemo razlikovati takozvane elementarne funkcije. To je relativno jednostavni izrazi, čiji su derivati ​​odavno izračunati i navedeni u tabeli. Takve funkcije je prilično lako zapamtiti - zajedno sa njihovim derivatima.

Derivati ​​elementarnih funkcija

Osnovne funkcije su sve one navedene u nastavku. Izvodi ovih funkcija moraju se znati napamet. Štaviše, nije ih uopće teško zapamtiti - zato su elementarni.

Dakle, derivati ​​elementarnih funkcija:

Ime	Funkcija	Derivat
Konstantno	f(x) = C, C ∈ R	0 (da, nula!)
Potencija s racionalnim eksponentom	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = grijeh x	cos x
Kosinus	f(x) = cos x	−sin x(minus sinus)
Tangenta	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangens	f(x) = ctg x	− 1/grijeh 2 x
Prirodni logaritam	f(x) = log x	1/x
Proizvoljni logaritam	f(x) = log a x	1/(x ln a)
Eksponencijalna funkcija	f(x) = e x	e x(ništa se nije promijenilo)

Ako se elementarna funkcija pomnoži sa proizvoljnom konstantom, onda se derivacija nove funkcije također lako izračunava:

(C · f)’ = C · f ’.

Generalno, konstante se mogu izvući iz predznaka izvoda. Na primjer:

(2x 3)’ = 2 · ( x 3)’ = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Očigledno, elementarne funkcije se mogu dodavati jedna drugoj, množiti, dijeliti - i još mnogo toga. Tako će se pojaviti nove funkcije, više ne posebno elementarne, ali i diferencirane po određenim pravilima. Ova pravila su razmotrena u nastavku.

Derivat zbira i razlike

Neka su funkcije zadane f(x) I g(x), čiji su nam derivati ​​poznati. Na primjer, možete uzeti elementarne funkcije o kojima smo gore govorili. Tada možete pronaći derivaciju zbira i razlike ovih funkcija:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Dakle, derivacija zbira (razlike) dvije funkcije jednaka je zbiru (razlici) izvoda. Možda ima više termina. Na primjer, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strogo govoreći, u algebri ne postoji koncept „oduzimanja“. Postoji koncept „negativnog elementa“. Stoga razlika f − g može se prepisati kao zbir f+ (−1) g, a onda ostaje samo jedna formula - derivacija sume.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funkcija f(x) je zbir dvije elementarne funkcije, dakle:

f ’(x) = (x 2 + sin x)’ = (x 2)’ + (grijeh x)’ = 2x+ cos x;

Slično razmišljamo o funkciji g(x). Samo što već postoje tri pojma (sa stanovišta algebre):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

odgovor:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivat proizvoda

Matematika je logička nauka, tako da mnogi ljudi vjeruju da ako je derivacija sume jednaka zbroju izvoda, onda derivacija proizvoda štrajk">jednak umnošku derivata. Ali jebi se! Derivat proizvoda se računa po potpuno drugoj formuli. Naime:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula je jednostavna, ali se često zaboravlja. I ne samo školarci, već i studenti. Rezultat su pogrešno riješeni problemi.

Zadatak. Pronađite derivate funkcija: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funkcija f(x) je proizvod dvije elementarne funkcije, tako da je sve jednostavno:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)’ cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (− sin x) = x 2 (3cos x − x grijeh x)

Funkcija g(x) prvi faktor je malo komplikovaniji, ali opšta šema ovo se ne menja. Očigledno, prvi faktor funkcije g(x) je polinom i njegov izvod je izvod zbira. Imamo:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

odgovor:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x grijeh x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Imajte na umu da je u posljednjem koraku izvod faktoriziran. Formalno, to ne treba da se radi, ali većina derivata se ne izračunavaju sami, već da se ispita funkcija. To znači da će se dalje derivacija izjednačiti sa nulom, odrediti njeni predznaci i tako dalje. Za takav slučaj, bolje je imati izraz faktoriziran.

Ako postoje dvije funkcije f(x) I g(x), i g(x) ≠ 0 na skupu koji nas zanima, možemo definirati novu funkciju h(x) = f(x)/g(x). Za takvu funkciju možete pronaći i izvod:

Nije slabo, ha? Odakle minus? Zašto g 2? I ovako! Ovo je jedan od najvecih složene formule- Ne možete to shvatiti bez flaše. Stoga je bolje da se na tome prouči konkretni primjeri.

Zadatak. Pronađite derivate funkcija:

Brojnik i nazivnik svakog razlomka sadrže elementarne funkcije, tako da sve što nam treba je formula za izvod količnika:

Prema tradiciji, hajde da faktoriziramo brojilac - ovo će uvelike pojednostaviti odgovor:

Složena funkcija nije nužno formula duga pola kilometra. Na primjer, dovoljno je uzeti funkciju f(x) = grijeh x i zamijenite varijablu x, recimo, na x 2 + ln x. To će uspjeti f(x) = grijeh ( x 2 + ln x) - ovo je složena funkcija. Takođe ima derivat, ali ga neće biti moguće pronaći koristeći pravila o kojima smo gore govorili.

Sta da radim? U takvim slučajevima pomaže zamjena varijable i formule derivata složena funkcija:

f ’(x) = f ’(t) · t', Ako x je zamijenjen sa t(x).

U pravilu je situacija s razumijevanjem ove formule još tužnija nego s izvodom količnika. Stoga je i to bolje objasniti konkretnim primjerima, s Detaljan opis svaki korak.

Zadatak. Pronađite derivate funkcija: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = grijeh ( x 2 + ln x)

Imajte na umu da ako je u funkciji f(x) umjesto izraza 2 x+ 3 će biti lako x, tada dobijamo elementarnu funkciju f(x) = e x. Stoga pravimo zamjenu: neka 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Tražimo derivat kompleksne funkcije koristeći formulu:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

A sada - pažnja! Vršimo obrnutu zamjenu: t = 2x+ 3. Dobijamo:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Pogledajmo sada funkciju g(x). Očigledno ga treba zamijeniti x 2 + ln x = t. Imamo:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (grijeh t)’ · t’ = cos t · t ’

Obrnuta zamjena: t = x 2 + ln x. onda:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)’ = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

To je sve! Kao što se može vidjeti iz posljednjeg izraza, cijeli problem je sveden na izračunavanje sume derivata.

odgovor:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2 + ln x).

Vrlo često u svojim lekcijama umjesto izraza „derivat“ koristim riječ „prime“. Na primjer, premium od iznosa jednak zbiru moždani udari. Je li to jasnije? Pa, to je dobro.

Dakle, izračunavanje derivata se svodi na oslobađanje od tih istih poteza prema gore navedenim pravilima. Kao konačni primjer, vratimo se na derivirani stepen s racionalnim eksponentom:

(x n)’ = n · x n − 1

Malo ljudi to zna u ulozi n može dobro izvesti razlomak broj. Na primjer, korijen je x 0.5. Šta ako postoji nešto fensi ispod korijena? Opet, rezultat će biti složena funkcija - oni vole davati takve konstrukcije testovi i ispite.

Zadatak. Pronađite derivaciju funkcije:

Prvo, prepišimo korijen kao stepen s racionalnim eksponentom:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Sada pravimo zamjenu: neka x 2 + 8x − 7 = t. Izvod pronalazimo pomoću formule:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)’ · t’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Uradimo obrnutu zamjenu: t = x 2 + 8x− 7. Imamo:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Konačno, povratak korijenima:

Prvi nivo

Derivat funkcije. Sveobuhvatni vodič (2019)

Zamislimo ravan put koji prolazi kroz brdsko područje. Odnosno, ide gore-dolje, ali ne skreće desno ili lijevo. Ako je os usmjerena vodoravno duž ceste i okomito, tada će linija ceste biti vrlo slična grafu neke kontinuirane funkcije:

Osa je određeni nivo nulte nadmorske visine; u životu kao nju koristimo nivo mora.

Kako se krećemo naprijed takvim putem, tako se krećemo gore ili dolje. Možemo reći i: kada se promijeni argument (kretanje duž apscisne ose), mijenja se vrijednost funkcije (kretanje duž ose ordinate). Sada razmislimo o tome kako odrediti "strminu" našeg puta? Kakva bi ovo mogla biti vrijednost? Vrlo je jednostavno: koliko će se visina promijeniti pri kretanju naprijed na određenu udaljenost. Zaista, na različitim dionicama puta, krećući se naprijed (duž x-ose) za jedan kilometar, mi ćemo se podizati ili spuštati za različite količine metara u odnosu na nivo mora (duž ordinatne ose).

Označimo napredak (čitaj "delta x").

Grčko slovo (delta) se obično koristi u matematici kao prefiks koji znači "promjena". To jest - ovo je promjena količine, - promjena; šta je onda? Tako je, promjena veličine.

Važno: izraz je jedna cjelina, jedna varijabla. Nikada ne odvajajte “delta” od “x” ili bilo koje drugo slovo! To je, na primjer, .

Dakle, krenuli smo naprijed, horizontalno, mimo. Ako uporedimo liniju puta sa grafom funkcije, kako onda označavamo uspon? Svakako, . Odnosno, kako idemo naprijed, dižemo se više.

Vrijednost je lako izračunati: ako smo na početku bili na visini, a nakon kretanja našli smo se na visini, onda. Ako je krajnja tačka niža od početne, bit će negativna - to znači da se ne penjemo, već se spuštamo.

Vratimo se na "strminu": ovo je vrijednost koja pokazuje koliko (strmo) raste visina kada se kreće naprijed za jednu jedinicu udaljenosti:

Pretpostavimo da se na nekom dijelu puta, pri kretanju naprijed za kilometar, put uzdiže za kilometar. Tada je nagib na ovom mjestu jednak. A ako se put, dok se kreće naprijed za m, spusti za km? Tada je nagib jednak.

Pogledajmo sada vrh brda. Ako uzmete početak dionice pola kilometra prije vrha, a kraj pola kilometra nakon njega, možete vidjeti da je visina gotovo ista.

Odnosno, prema našoj logici, ispada da je nagib ovdje gotovo jednak nuli, što očito nije tačno. Na udaljenosti od nekoliko kilometara mnogo toga se može promijeniti. Potrebno je razmotriti manje površine radi adekvatnije i preciznije procjene strmine. Na primjer, ako izmjerite promjenu visine dok se krećete jedan metar, rezultat će biti mnogo precizniji. Ali ni ta preciznost nam možda neće biti dovoljna – uostalom, ako postoji stub na sredini puta, možemo ga jednostavno proći. Koju udaljenost onda da izaberemo? Centimetar? Milimetar? Manje je bolje!

IN pravi zivot Mjerenje udaljenosti do najbližeg milimetra je više nego dovoljno. Ali matematičari uvijek teže savršenstvu. Stoga je koncept izmišljen infinitezimal, to jest, apsolutna vrijednost je manja od bilo kojeg broja koji možemo imenovati. Na primjer, kažete: trilionti dio! Koliko manje? I podijelite ovaj broj sa - i bit će još manje. I tako dalje. Ako želimo da zapišemo da je veličina beskonačno mala, pišemo ovako: (čitamo „x teži nuli“). Veoma je važno razumjeti da ovaj broj nije nula! Ali vrlo blizu tome. To znači da možete podijeliti s tim.

Koncept suprotan infinitezimalnom je beskonačno velik (). Vjerovatno ste već naišli na to kada ste radili na nejednačinama: ovaj broj je modulo veći od bilo kojeg broja kojeg možete zamisliti. Ako dođete do najvećeg mogućeg broja, samo ga pomnožite sa dva i dobit ćete još veći broj. I dalje beskonačnost Nadalješta će se desiti. U stvari, beskonačno veliki i beskonačno mali su inverzni jedno drugom, to jest at, i obrnuto: at.

Sada se vratimo na naš put. Idealno izračunati nagib je nagib izračunat za beskonačno mali segment puta, odnosno:

Napominjem da će s beskonačno malim pomakom promjena visine također biti beskonačno mala. Ali da vas podsjetim da beskonačno malo ne znači jednak nuli. Ako podijelite beskonačno male brojeve jedni s drugima, možete dobiti potpuno običan broj, na primjer, . To jest, jedna mala vrijednost može biti tačno puta veća od druge.

čemu sve ovo? Put, strmina... Ne idemo na auto rally, ali predajemo matematiku. A u matematici je sve potpuno isto, samo se drugačije zove.

Koncept derivata

Derivat funkcije je omjer prirasta funkcije i inkrementa argumenta za beskonačno mali prirast argumenta.

Postepeno u matematici nazivaju promjenom. Poziva se stepen do kojeg se argument () mijenja dok se kreće duž ose povećanje argumenta i označen je. Koliko se funkcija (visina) promijenila pri pomicanju naprijed duž ose za rastojanje naziva se povećanje funkcije i određen je.

Dakle, derivacija funkcije je omjer kada. Izvod označavamo istim slovom kao i funkcija, samo sa prostim brojem u gornjem desnom uglu: ili jednostavno. Dakle, napišimo formulu derivacije koristeći ove oznake:

Kao iu analogiji sa cestom, i ovdje kada se funkcija povećava, derivacija je pozitivna, a kada se smanjuje negativna.

Može li izvod biti jednak nuli? Svakako. Na primjer, ako vozimo po ravnom horizontalnom putu, strmina je nula. I istina je, visina se uopšte ne menja. Tako je i sa izvodom: izvod konstantne funkcije (konstante) jednak je nuli:

budući da je prirast takve funkcije jednak nuli za bilo koju.

Sjetimo se primjera na vrhu brda. Pokazalo se da je moguće rasporediti krajeve segmenta na suprotnim stranama vrha na takav način da visina na krajevima bude ista, odnosno da je segment paralelan s osi:

Ali veliki segmenti su znak netačnog mjerenja. Naš segment ćemo podići paralelno sa sobom, a zatim će se njegova dužina smanjiti.

Na kraju, kada smo beskonačno blizu vrha, dužina segmenta će postati beskonačno mala. Ali u isto vrijeme, ostao je paralelan s osom, odnosno razlika u visinama na njegovim krajevima jednaka je nuli (ne teži, već je jednaka). Dakle, derivat

Ovo se može shvatiti ovako: kada stojimo na samom vrhu, mali pomak ulijevo ili udesno neznatno mijenja našu visinu.

Postoji i čisto algebarsko objašnjenje: lijevo od vrha funkcija raste, a desno opada. Kao što smo ranije saznali, kada se funkcija povećava, izvod je pozitivan, a kada se smanjuje negativan. Ali mijenja se glatko, bez skokova (pošto put nigdje naglo ne mijenja nagib). Dakle, između negativnih i pozitivne vrijednosti sigurno mora postojati. To će biti tamo gdje se funkcija niti povećava niti smanjuje - u točki vrha.

Isto vrijedi i za korito (područje gdje se funkcija s lijeve strane smanjuje, a na desnoj povećava):

Još malo o inkrementima.

Dakle, mijenjamo argument u veličinu. Mi mijenjamo od koje vrijednosti? Šta je to (argument) sada postalo? Možemo izabrati bilo koju tačku, a sada ćemo plesati iz nje.

Zamislite tačku sa koordinatama. Vrijednost funkcije u njemu je jednaka. Zatim radimo isti inkrement: povećavamo koordinatu za. Šta je sada argument? Vrlo jednostavno: . Koja je sada vrijednost funkcije? Gdje ide argument, ide i funkcija: . Šta je sa povećanjem funkcije? Ništa novo: ovo je još uvijek iznos za koji se funkcija promijenila:

Vježbajte pronalaženje inkremenata:

1. Pronađite prirast funkcije u tački kada je prirast argumenta jednak.
2. Isto vrijedi i za funkciju u jednoj tački.

rješenja:

U različitim točkama s istim prirastom argumenta, inkrement funkcije će biti različit. To znači da je derivacija u svakoj tački drugačija (o tome smo razgovarali na samom početku - strmina puta je različita u različitim tačkama). Stoga, kada pišemo derivat, moramo naznačiti u kojoj točki:

Funkcija napajanja.

Funkcija snage je funkcija u kojoj je argument u određenoj mjeri (logičan, zar ne?).

Štaviše - u bilo kojoj mjeri: .

Najjednostavniji slučaj je kada je eksponent:

Nađimo njen derivat u jednoj tački. Prisjetimo se definicije derivata:

Dakle, argument se mijenja od do. Koliki je prirast funkcije?

Prirast je ovo. Ali funkcija u bilo kojoj tački jednaka je svom argumentu. Zbog toga:

Izvod je jednak:

Derivat od je jednak:

b) Sada razmotrite kvadratna funkcija (): .

A sada da se prisjetimo toga. To znači da se vrijednost prirasta može zanemariti, jer je beskonačno mala, a samim tim i beznačajna na pozadini drugog pojma:

Dakle, došli smo do još jednog pravila:

c) Nastavljamo logički niz: .

Ovaj izraz se može pojednostaviti na različite načine: otvoriti prvu zagradu koristeći formulu za skraćeno množenje kocke zbira, ili faktorizirati cijeli izraz koristeći formulu razlike kocki. Pokušajte to učiniti sami koristeći bilo koju od predloženih metoda.

Dakle, dobio sam sledeće:

I opet da se prisjetimo toga. To znači da možemo zanemariti sve pojmove koji sadrže:

Dobijamo: .

d) Slična pravila se mogu dobiti za velike snage:

e) Ispada da se ovo pravilo može generalizirati za funkciju stepena s proizvoljnim eksponentom, čak ni cijelim brojem:

(2)

Pravilo se može formulirati riječima: "stepen se iznosi naprijed kao koeficijent, a zatim se smanjuje za ."

Ovo pravilo ćemo dokazati kasnije (skoro na samom kraju). Pogledajmo sada nekoliko primjera. Pronađite izvod funkcija:

1. (na dva načina: formulom i korištenjem definicije derivacije - izračunavanjem prirasta funkcije);

1. . Vjerovali ili ne, ovo je funkcija snage. Ako imate pitanja poput „Kako je ovo? Gdje je diploma?”, zapamtite temu “”!
   Da, da, korijen je također stepen, samo razlomak: .
   To znači da je naš kvadratni korijen samo potencija s eksponentom:
   .
   Izvod tražimo koristeći nedavno naučenu formulu:

   Ako u ovom trenutku ponovo postane nejasno, ponovite temu “”!!! (otprilike stepen sa negativnim eksponentom)

2. . Sada eksponent:

   A sada kroz definiciju (jeste li već zaboravili?):
   ;
   .
   Sada, kao i obično, zanemarujemo pojam koji sadrži:
   .

3. . Kombinacija prethodnih slučajeva: .

Trigonometrijske funkcije.

Ovdje ćemo koristiti jednu činjenicu iz više matematike:

Sa izrazom.

Dokaz ćete naučiti na prvoj godini instituta (a da biste tamo stigli, potrebno je dobro položiti Jedinstveni državni ispit). Sada ću to samo grafički prikazati:

Vidimo da kada funkcija ne postoji - tačka na grafu je izrezana. Ali što je bliže vrijednosti, to je funkcija bliža. To je ono što „cilj“.

Osim toga, ovo pravilo možete provjeriti pomoću kalkulatora. Da, da, ne stidite se, uzmite kalkulator, nismo još na Jedinstvenom državnom ispitu.

Dakle, pokušajmo: ;

Ne zaboravite da prebacite svoj kalkulator u način rada radijana!

itd. Vidimo da što je manji, to je bliža vrijednost omjera.

a) Razmotrite funkciju. Kao i obično, pronađimo njegov prirast:

Pretvorimo razliku sinusa u proizvod. Da bismo to učinili, koristimo formulu (zapamtite temu “”): .

Sada derivat:

Napravimo zamjenu: . Tada je za infinitezimalno također infinitezimalno: . Izraz za ima oblik:

I sada se toga sećamo sa izrazom. I takođe, šta ako se beskonačno mala količina može zanemariti u zbiru (to jest, at).

Dakle, dobijamo sledeće pravilo: derivacija sinusa je jednaka kosinsu:

Ovo su osnovne (“tabelarne”) izvedenice. Evo ih na jednoj listi:

Kasnije ćemo im dodati još nekoliko, ali ovo su najvažnije, jer se najčešće koriste.

vježbajte:

1. Pronađite derivaciju funkcije u tački;
2. Pronađite izvod funkcije.

rješenja:

1. Prvo, pronađimo derivat u opšti pogled, a zatim zamijenite njegovu vrijednost:
   ;
   .
2. Ovdje imamo nešto slično funkcija snage. Pokušajmo je dovesti do toga
   normalan pogled:
   .
   Odlično, sada možete koristiti formulu:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. Šta je ovo????

Dobro, u pravu ste, još ne znamo kako pronaći takve derivate. Ovdje imamo kombinaciju nekoliko vrsta funkcija. Da biste radili s njima, morate naučiti još nekoliko pravila:

Eksponent i prirodni logaritam.

U matematici postoji funkcija čiji je izvod za bilo koju vrijednost u isto vrijeme jednak vrijednosti same funkcije. Zove se “eksponent” i eksponencijalna je funkcija

Osnova ove funkcije je konstanta - ona je beskonačna decimalni, odnosno iracionalan broj (kao što je). Zove se "Eulerov broj", zbog čega je označen slovom.

Dakle, pravilo:

Vrlo lako za pamćenje.

Pa, da ne idemo daleko, pogledajmo to odmah inverzna funkcija. Koja je funkcija inverzna eksponencijalnoj funkciji? logaritam:

U našem slučaju, osnova je broj:

Takav logaritam (tj. logaritam s bazom) naziva se „prirodnim“, a za njega koristimo posebnu notaciju: umjesto toga pišemo.

Čemu je to jednako? Naravno, .

Derivat od prirodni logaritam takođe vrlo jednostavno:

primjeri:

1. Pronađite izvod funkcije.
2. Što je derivacija funkcije?

odgovori: Eksponencijalni i prirodni logaritam su jedinstveno jednostavne funkcije iz perspektive derivata. Eksponencijalne i logaritamske funkcije s bilo kojom drugom bazom imat će drugačiji izvod, koji ćemo analizirati kasnije, nakon što prođemo kroz pravila diferencijacije.

Pravila diferencijacije

Pravila čega? Opet novi mandat, opet?!...

Diferencijacija je proces pronalaženja derivacije.

To je sve. Kako još jednom riječju možete nazvati ovaj proces? Nije derivacija... Matematičari diferencijal nazivaju istim prirastom funkcije u. Ovaj izraz dolazi od latinskog differentia - razlika. Evo.

Prilikom izvođenja svih ovih pravila, koristit ćemo dvije funkcije, na primjer, i. Također će nam trebati formule za njihove priraštaje:

Postoji ukupno 5 pravila.

Konstanta se izvlači iz predznaka derivacije.

Ako - neki konstantni broj (konstanta), onda.

Očigledno, ovo pravilo radi i za razliku: .

Dokažimo to. Neka bude, ili jednostavnije.

Primjeri.

Pronađite izvode funkcija:

1. u jednom trenutku;
2. u jednom trenutku;
3. u jednom trenutku;
4. u tački.

rješenja:

1. (izvod je isti u svim tačkama, budući da je ovo linearna funkcija, sjećaš se?);

Derivat proizvoda

Ovdje je sve slično: uvedemo novu funkciju i pronađemo njen prirast:

Derivat:

primjeri:

1. Naći izvode funkcija i;
2. Pronađite izvod funkcije u tački.

rješenja:

Derivat eksponencijalne funkcije

Sada je vaše znanje dovoljno da naučite kako pronaći derivaciju bilo koje eksponencijalne funkcije, a ne samo eksponenata (jeste li već zaboravili šta je to?).

Dakle, gdje je neki broj.

Već znamo derivaciju funkcije, pa pokušajmo svesti našu funkciju na novu bazu:

Za ovo ćemo koristiti jednostavno pravilo: . onda:

Pa, upalilo je. Sada pokušajte pronaći izvod i ne zaboravite da je ova funkcija složena.

Desilo se?

Evo, uvjerite se sami:

Ispostavilo se da je formula vrlo slična izvedenici eksponenta: onakva kakva je bila, ostala je ista, pojavio se samo faktor, koji je samo broj, ali ne i varijabla.

primjeri:
Pronađite izvode funkcija:

odgovori:

Ovo je samo broj koji se ne može izračunati bez kalkulatora, odnosno ne može se više zapisati u jednostavnom obliku. Stoga ga ostavljamo u ovom obliku u odgovoru.

Derivat logaritamske funkcije

Ovdje je slično: već znate derivaciju prirodnog logaritma:

Stoga, da biste pronašli proizvoljan logaritam s različitom bazom, na primjer:

Ovaj logaritam moramo svesti na bazu. Kako se mijenja baza logaritma? Nadam se da se sjećate ove formule:

Tek sada ćemo umjesto toga napisati:

Imenilac je jednostavno konstanta (konstantan broj, bez varijable). Izvod se dobija vrlo jednostavno:

Derivati ​​eksponencijalnog i logaritamske funkcije gotovo se nikada ne pojavljuju na Jedinstvenom državnom ispitu, ali ne bi škodilo da ih poznajete.

Derivat kompleksne funkcije.

Šta je "složena funkcija"? Ne, ovo nije logaritam, niti arktangens. Ove funkcije mogu biti teško razumljive (mada ako vam je logaritam težak, pročitajte temu “Logaritmi” i biće vam dobro), ali sa matematičke tačke gledišta, riječ “složeno” ne znači “teško”.

Zamislite malu pokretnu traku: dvoje ljudi sjede i rade neke radnje s nekim predmetima. Na primjer, prvi umota čokoladicu u omot, a drugi je veže trakom. Rezultat je kompozitni predmet: čokoladica umotana i vezana vrpcom. Da biste pojeli čokoladicu, morate napraviti obrnuti korak obrnutim redosledom.

Napravimo sličan matematički cevovod: prvo ćemo pronaći kosinus broja, a zatim kvadrirati rezultirajući broj. Dakle, dat nam je broj (čokolada), ja pronađem njegov kosinus (omotač), a onda kvadriraš ono što sam dobio (zaveži ga vrpcom). Šta se desilo? Funkcija. Ovo je primjer složene funkcije: kada, da bismo pronašli njenu vrijednost, izvršimo prvu akciju direktno s promjenljivom, a zatim drugu akciju s onim što je rezultat prve.

Lako možemo napraviti iste korake obrnutim redoslijedom: prvo ga kvadriraš, a ja onda tražim kosinus rezultirajućeg broja: . Lako je pretpostaviti da će rezultat gotovo uvijek biti drugačiji. Važna karakteristika složenih funkcija: kada se redoslijed radnji promijeni, funkcija se mijenja.

Drugim riječima, složena funkcija je funkcija čiji je argument druga funkcija: .

Za prvi primjer, .

Drugi primjer: (ista stvar). .

Akcija koju radimo posljednja će biti pozvana "vanjsku" funkciju, a radnja izvedena prva - prema tome "interne" funkcije(ovo su neformalni nazivi, koristim ih samo da objasnim gradivo jednostavnim jezikom).

Pokušajte sami odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutrašnja:

odgovori: Razdvajanje unutrašnjih i vanjskih funkcija vrlo je slično mijenjanju varijabli: na primjer, u funkciji

1. Koju akciju ćemo prvo izvesti? Prvo izračunajmo sinus, pa ga tek onda kockiraj. To znači da je to interna funkcija, ali vanjska.
   A originalna funkcija je njihov sastav: .
2. Interni: ; eksterno: .
   Ispitivanje: .
3. Interni: ; eksterno: .
   Ispitivanje: .
4. Interni: ; eksterno: .
   Ispitivanje: .
5. Interni: ; eksterno: .
   Ispitivanje: .

Mijenjamo varijable i dobijamo funkciju.

Pa, sada ćemo izvaditi našu čokoladicu i potražiti derivat. Procedura je uvijek obrnuta: prvo tražimo izvod vanjske funkcije, a zatim rezultat množimo s izvodom unutrašnje funkcije. U odnosu na originalni primjer, to izgleda ovako:

Drugi primjer:

Dakle, hajde da konačno formulišemo zvanično pravilo:

Algoritam za pronalaženje derivacije kompleksne funkcije:

Čini se jednostavno, zar ne?

Provjerimo na primjerima:

rješenja:

1) Interni: ;

Vanjski: ;

2) Interni: ;

(Samo nemojte pokušavati da ga isečete do sada! Ništa ne izlazi ispod kosinusa, sjećate se?)

3) Interni: ;

Vanjski: ;

Odmah je jasno da se radi o kompleksnoj funkciji na tri nivoa: na kraju krajeva, ovo je već složena funkcija sama po sebi, a iz nje izvlačimo i korijen, odnosno izvodimo treću radnju (čokoladu stavljamo u omot i sa trakom u aktovci). Ali nema razloga za strah: i dalje ćemo „raspakovati“ ovu funkciju istim redoslijedom kao i obično: od kraja.

Odnosno, prvo razlikujemo korijen, zatim kosinus, pa tek onda izraz u zagradama. A onda sve to pomnožimo.

U takvim slučajevima, zgodno je numerisati radnje. Odnosno, zamislimo šta znamo. Kojim redoslijedom ćemo izvršiti radnje za izračunavanje vrijednosti ovog izraza? Pogledajmo primjer:

Što se radnja izvrši kasnije, to će odgovarajuća funkcija biti „spoljašnja“. Redoslijed radnji je isti kao i prije:

Ovdje je gniježđenje općenito na 4 nivoa. Hajde da odredimo pravac akcije.

1. Radikalni izraz. .

2. Root. .

3. Sinus. .

4. Kvadrat. .

5. Stavljajući sve zajedno:

DERIVAT. UKRATKO O GLAVNIM STVARIMA

Derivat funkcije- omjer povećanja funkcije i inkrementa argumenta za beskonačno mali prirast argumenta:

Osnovni derivati:

Pravila diferencijacije:

Konstanta je uzeta iz predznaka derivacije:

Derivat sume:

Derivat proizvoda:

Derivat količnika:

Derivat kompleksne funkcije:

Algoritam za pronalaženje derivacije kompleksne funkcije:

1. Definiramo “internu” funkciju i nalazimo njen izvod.
2. Definiramo “vanjsku” funkciju i nalazimo njen izvod.
3. Množimo rezultate prve i druge tačke.

Otkad ste došli ovdje, vjerovatno ste već vidjeli ovu formulu u udžbeniku

i napravi facu ovako:

Prijatelju, ne brini! U stvari, sve je jednostavno nečuveno. Sigurno ćete sve razumjeti. Samo jedan zahtjev - pročitajte članak polako, pokušajte razumjeti svaki korak. Napisao sam najjednostavnije i jasnije moguće, ali ipak morate razumjeti ideju. I svakako riješite zadatke iz članka.

Šta je složena funkcija?

Zamislite da se selite u drugi stan i da pakujete stvari u velike kutije. Pretpostavimo da trebate prikupiti neke male predmete, na primjer, školski materijal za pisanje. Ako ih samo bacite u ogromnu kutiju, između ostalog će se izgubiti. Da biste to izbjegli, prvo ih stavite, na primjer, u vrećicu, koju zatim stavite u veliku kutiju, nakon čega je zatvorite. Ovaj „složeni“ proces predstavljen je na dijagramu ispod:

Čini se, kakve veze ima matematika s tim? Da, uprkos činjenici da je složena funkcija formirana na POTPUNO ISTI način! Samo mi ne “pakujemo” sveske i olovke, već \(x\), dok su “paketi” i “kutije” različiti.

Na primjer, uzmimo x i "upakujemo" ga u funkciju:

Kao rezultat, dobijamo, naravno, \(\cos⁡x\). Ovo je naša "vreća stvari". Sada ga stavimo u "kutiju" - upakirajte ga, na primjer, u kubičnu funkciju.

Šta će se na kraju dogoditi? Da, tako je, postojaće "vreća stvari u kutiji", odnosno "kosinus od X u kocki".

Rezultirajući dizajn je složena funkcija. Po tome se razlikuje od jednostavnog NEKOLIKO “utjecaja” (paketa) se primjenjuje na jedan X u nizu i ispada kao da je “funkcija od funkcije” - “pakovanje unutar pakovanja”.

U školskom kursu postoji vrlo malo vrsta ovih „paketa“, samo četiri:

Hajdemo sada da "upakujemo" X prvo u eksponencijalnu funkciju sa bazom 7, a zatim u trigonometrijsku funkciju. Dobijamo:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Sada hajde da "upakujemo" X dvaput trigonometrijske funkcije, prvo u , a zatim u:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Jednostavno, zar ne?

Sada sami napišite funkcije, gdje je x:
- prvo se „pakuje“ u kosinus, a zatim u eksponencijalnu funkciju sa bazom \(3\);
- prvo na peti stepen, a zatim na tangentu;
- prvo na logaritam na osnovu \(4\) , zatim na stepen \(-2\).

Odgovore na ovaj zadatak potražite na kraju članka.

Možemo li "spakovati" X ne dva, već tri puta? Nema problema! I četiri, i pet, i dvadeset i pet puta. Evo, na primjer, funkcije u kojoj je x "upakovano" \(4\) puta:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Ali takve formule se neće naći u školskoj praksi (učenici imaju više sreće - njihova može biti komplikovanija☺).

"Raspakivanje" složene funkcije

Pogledajte ponovo prethodnu funkciju. Možete li shvatiti redoslijed "pakiranja"? U šta je X ubačen prvo, u šta onda i tako do samog kraja. To jest, koja funkcija je ugniježđena unutar koje? Uzmite komad papira i zapišite šta mislite. To možete učiniti lancem sa strelicama kako smo gore napisali ili na bilo koji drugi način.

Sada je tačan odgovor: prvo, x je "upakovano" u \(4\)-tu potenciju, zatim je rezultat upakovan u sinus, on je zauzvrat stavljen u logaritam na osnovu \(2\) , i na kraju je cijela ova konstrukcija nabijena u petice.

Odnosno, potrebno je da odmotate sekvencu OBRATNIM REDOM. A evo i nagoveštaja kako da to učinite lakše: odmah pogledajte X – trebalo bi da plešete od njega. Pogledajmo nekoliko primjera.

Na primjer, evo sljedeće funkcije: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Gledamo X - šta se prvo događa s njim? Oduzeto od njega. I onda? Uzima se tangenta rezultata. Redosled će biti isti:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Drugi primjer: \(y=\cos⁡((x^3))\). Hajde da analiziramo - prvo smo kockali X, a zatim uzeli kosinus rezultata. To znači da će niz biti: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Obratite pažnju, funkcija je slična onoj prvoj (gdje ima slike). Ali ovo je potpuno drugačija funkcija: ovdje u kocki je x (to jest, \(\cos⁡((x·x·x)))\), a tamo u kocki je kosinus \(x\) ( odnosno \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Ova razlika proizlazi iz različitih sekvenci "pakiranja".

Posljednji primjer (sa važna informacija u njemu): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Jasno je šta su prvo uradili ovde aritmetičke operacije sa x, zatim uzeo sinus rezultata: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). I to važna tačka: unatoč činjenici da aritmetičke operacije nisu funkcije same po sebi, ovdje djeluju i kao način „pakiranja“. Udubimo se malo dublje u ovu suptilnost.

Kao što sam rekao gore, u jednostavnim funkcijama x se „pakuje“ jednom, a u složenim funkcijama - dva ili više. Štaviše, bilo koja kombinacija jednostavnih funkcija (tj. njihov zbroj, razlika, množenje ili dijeljenje) je također jednostavna funkcija. Na primjer, \(x^7\) je jednostavna funkcija, kao i \(ctg x\). To znači da su sve njihove kombinacije jednostavne funkcije:

\(x^7+ ctg x\) - jednostavno,
\(x^7· krevetac x\) – jednostavno,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – jednostavno, itd.

Međutim, ako se na takvu kombinaciju primijeni još jedna funkcija, ona će postati složena funkcija, jer će postojati dva “paketa”. Pogledajte dijagram:

Ok, samo naprijed. Napišite redoslijed funkcija "omotavanja":
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Odgovori su opet na kraju članka.

Unutrašnje i eksterne funkcije

Zašto trebamo razumjeti ugniježđenje funkcija? Šta nam ovo daje? Činjenica je da bez takve analize nećemo moći pouzdano pronaći derivate funkcija o kojima je bilo riječi.

A da bismo nastavili dalje, trebat će nam još dva koncepta: unutrašnje i vanjske funkcije. Ovo je vrlo jednostavna stvar, štoviše, u stvari, već smo ih analizirali iznad: ako se sjetimo naše analogije na samom početku, onda je unutrašnja funkcija „paket“, a vanjska funkcija je „kutija“. One. ono u šta je X prvo "umotano" je interna funkcija, a ono u šta je unutrašnja funkcija "umotana" je već eksterna. Pa, jasno je zašto - ona je napolju, znači eksterna.

U ovom primjeru: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), funkcija \(\log_2⁡x\) je interna, i
- eksterni.

A u ovome: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) je interno, i
- eksterni.

Završite posljednju praksu analize složenih funkcija i konačno prijeđimo na ono zbog čega smo svi započeli - naći ćemo derivate složenih funkcija:

Popunite prazna polja u tabeli:

Derivat kompleksne funkcije

Bravo za nas, konačno smo došli do "šefa" ove teme - zapravo derivata složene funkcije, a konkretno do one jako strašne formule s početka članka.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Ova formula glasi ovako:

Izvod kompleksne funkcije jednak je umnošku izvoda eksterne funkcije u odnosu na konstantnu unutrašnju funkciju i izvod unutrašnje funkcije.

I odmah pogledajte dijagram raščlanjivanja, prema riječima, tako da shvatite šta da radite s čime:

Nadam se da termini „derivacija“ i „proizvod“ ne izazivaju nikakve poteškoće. "Složena funkcija" - već smo to riješili. Kvaka je u „derivatu eksterne funkcije u odnosu na konstantnu unutrašnju funkciju“. Šta je to?

Odgovor: Ovo je uobičajena derivacija eksterne funkcije, u kojoj se mijenja samo vanjska funkcija, a unutrašnja ostaje ista. Još uvijek nije jasno? U redu, upotrijebimo primjer.

Neka nam je funkcija \(y=\sin⁡(x^3)\). Jasno je da je unutrašnja funkcija ovdje \(x^3\), a eksterna
. Nađimo sada derivaciju eksterijera u odnosu na konstantnu unutrašnjost.

Odluči se fizičkih zadataka ili primjera iz matematike potpuno je nemoguće bez znanja o izvodu i metodama za njegovo izračunavanje. Derivat je jedan od najvažnijih koncepata matematička analiza. Odlučili smo današnji članak posvetiti ovoj temeljnoj temi. Šta je derivat, šta je njegov fizički i geometrijsko značenje kako izračunati derivaciju funkcije? Sva ova pitanja mogu se spojiti u jedno: kako razumjeti derivat?

Geometrijsko i fizičko značenje derivacije

Neka postoji funkcija f(x) , specificirano u određenom intervalu (a, b) . Tačke x i x0 pripadaju ovom intervalu. Kada se x promijeni, mijenja se i sama funkcija. Promjena argumenta - razlika u njegovim vrijednostima x-x0 . Ova razlika je zapisana kao delta x i naziva se povećanje argumenta. Promjena ili povećanje funkcije je razlika između vrijednosti funkcije u dvije točke. Definicija derivata:

Derivat funkcije u tački je granica omjera prirasta funkcije u datoj tački i priraštaja argumenta kada potonji teži nuli.

Inače se može napisati ovako:

Koja je svrha pronalaženja takve granice? A evo šta je to:

derivacija funkcije u tački jednaka je tangenti ugla između ose OX i tangente na graf funkcije u datoj tački.

Fizičko značenje derivat: derivacija putanje u odnosu na vrijeme jednaka je brzini pravolinijskog kretanja.

Zaista, još od školskih dana svi znaju da je brzina poseban put x=f(t) i vrijeme t . prosječna brzina za određeni vremenski period:

Da biste saznali brzinu kretanja u datom trenutku t0 morate izračunati granicu:

Prvo pravilo: postavite konstantu

Konstanta se može izvaditi iz predznaka derivacije. Štaviše, to se mora uraditi. Kada rješavate primjere iz matematike, uzmite to kao pravilo - Ako možete pojednostaviti izraz, obavezno ga pojednostavite .

Primjer. Izračunajmo derivaciju:

Drugo pravilo: derivacija zbira funkcija

Derivat zbira dviju funkcija jednak je zbroju izvoda ovih funkcija. Isto vrijedi i za derivaciju razlike funkcija.

Nećemo dati dokaz ove teoreme, već ćemo razmotriti praktični primjer.

Pronađite derivaciju funkcije:

Treće pravilo: derivacija proizvoda funkcija

Derivat proizvoda dvije diferencijabilne funkcije izračunava se po formuli:

Primjer: pronađite derivaciju funkcije:

Rješenje:

Ovdje je važno govoriti o izračunavanju izvoda složenih funkcija. Derivat kompleksne funkcije jednak je proizvodu izvoda ove funkcije u odnosu na međuargument i derivacije međuargumenata u odnosu na nezavisnu varijablu.

U gornjem primjeru nailazimo na izraz:

U ovom slučaju, srednji argument je 8x na peti stepen. Da bismo izračunali derivaciju takvog izraza, prvo izračunamo derivaciju eksterne funkcije u odnosu na međuargument, a zatim pomnožimo sa derivacijom samog međuargumena u odnosu na nezavisnu varijablu.

Četvrto pravilo: derivacija količnika dvije funkcije

Formula za određivanje derivacije kvocijenta dvije funkcije:

Pokušali smo da pričamo o derivatima za lutke od nule. Ova tema nije tako jednostavna kao što se čini, stoga budite upozoreni: u primjerima često postoje zamke, stoga budite oprezni pri izračunavanju izvedenica.

Za sva pitanja o ovoj i drugim temama možete se obratiti studentskoj službi. U kratkom vremenu pomoći ćemo vam da riješite najteži test i shvatite zadatke, čak i ako nikada prije niste radili izvedene proračune.

Funkcije složenog tipa ne odgovaraju uvijek definiciji složene funkcije. Ako postoji funkcija oblika y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, onda se ona ne može smatrati složenom, za razliku od y = sin 2 x.

Ovaj članak će pokazati koncept kompleksne funkcije i njenu identifikaciju. Poradimo s formulama za pronalaženje izvoda s primjerima rješenja u zaključku. Upotreba tablice izvoda i pravila diferencijacije značajno skraćuje vrijeme za pronalaženje izvoda.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Osnovne definicije

Definicija 1

Kompleksna funkcija je ona čiji je argument također funkcija.

Označava se ovako: f (g (x)). Imamo da se funkcija g (x) smatra argumentom f (g (x)).

Definicija 2

Ako postoji funkcija f i ona je kotangensna funkcija, onda je g(x) = ln x funkcija prirodnog logaritma. Nalazimo da će kompleksna funkcija f (g (x)) biti zapisana kao arctg(lnx). Ili funkciju f, koja je funkcija podignuta na 4. stepen, gdje se g (x) = x 2 + 2 x - 3 smatra cijelom racionalnom funkcijom, dobijamo da je f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Očigledno je da g(x) može biti kompleksan. Iz primjera y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 jasno je da je vrijednost g kockasti koren sa razlomkom. Ovaj izraz se može označiti kao y = f (f 1 (f 2 (x))). Odakle imamo da je f sinusna funkcija, a f 1 je funkcija koja se nalazi ispod kvadratnog korijena, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 je frakciona racionalna funkcija.

Definicija 3

Stepen gniježđenja određuje bilo koji prirodni broj i zapisuje se kao y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x)))))) .

Definicija 4

Koncept kompozicije funkcije odnosi se na broj ugniježđenih funkcija prema uvjetima problema. Za rješavanje koristite formulu za pronalaženje izvoda složene funkcije oblika

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

Primjeri

Primjer 1

Naći izvod kompleksne funkcije oblika y = (2 x + 1) 2.

Rješenje

Uslov pokazuje da je f funkcija kvadriranja, a g(x) = 2 x + 1 se smatra linearnom funkcijom.

Primijenimo formulu derivacije za složenu funkciju i napišimo:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Potrebno je pronaći izvod sa pojednostavljenim izvornim oblikom funkcije. Dobijamo:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Odavde imamo to

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Rezultati su bili isti.

Prilikom rješavanja problema ovog tipa važno je razumjeti gdje će se nalaziti funkcija oblika f i g (x).

Primjer 2

Trebali biste pronaći izvode kompleksnih funkcija oblika y = sin 2 x i y = sin x 2.

Rješenje

Prva notacija funkcije kaže da je f funkcija kvadriranja, a g(x) sinusna funkcija. Onda to shvatamo

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

Drugi unos pokazuje da je f sinusna funkcija, a g(x) = x 2 označava funkciju stepena. Iz toga slijedi da proizvod kompleksne funkcije pišemo kao

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

Formula za izvod y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . (f n (x))))) biće napisana kao y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . . ( f n (x))))) · f 1 " (f 2 (f 3 (. . (f n (x)))) · · f 2 " (f 3 (. . . (f n (x) )) )) · . . . fn "(x)

Primjer 3

Naći derivaciju funkcije y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

Rješenje

Ovaj primjer pokazuje poteškoću pisanja i određivanja lokacije funkcija. Tada y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) označava gdje je f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) sinusna funkcija, funkcija podizanja do 3 stepena, funkcija sa logaritmom i bazom e, arktangens i linearna funkcija.

Iz formule za definiranje kompleksne funkcije imamo to

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

Dobijamo ono što treba da nađemo

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) kao derivacija sinusa prema tabeli derivacija, onda f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) kao izvod funkcije stepena, onda f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 " (f 3 (f 4 (x))) kao logaritamski izvod, onda f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 " (f 4 (x)) kao izvod arktangensa, tada je f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Kada nađete izvod f 4 (x) = 2 x, uklonite 2 iz predznaka derivacije koristeći formulu za izvod funkcije stepena s eksponentom jednakim 1, tada je f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Kombinujemo srednje rezultate i dobijamo to

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Analiza takvih funkcija podsjeća na lutke gnjezdarice. Pravila diferencijacije se ne mogu uvijek eksplicitno primijeniti korištenjem derivacijske tablice. Često morate koristiti formulu za pronalaženje derivata složenih funkcija.

Postoje neke razlike između složenog izgleda i složenih funkcija. Uz jasnu sposobnost razlikovanja, pronalaženje derivata će biti posebno lako.

Primjer 4

Potrebno je razmotriti davanje takvog primjera. Ako postoji funkcija oblika y = t g 2 x + 3 t g x + 1, onda se može smatrati kompleksnom funkcijom oblika g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Očigledno, potrebno je koristiti formulu za složeni derivat:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Funkcija oblika y = t g x 2 + 3 t g x + 1 ne smatra se složenom, jer ima zbir t g x 2, 3 t g x i 1. Međutim, t g x 2 se smatra kompleksnom funkcijom, tada dobijamo funkciju stepena oblika g (x) = x 2 i f, koja je tangentna funkcija. Da biste to učinili, diferencirajte po količini. Shvatili smo to

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2 x

Idemo dalje na pronalaženje izvoda kompleksne funkcije (t g x 2) ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Dobijamo da je y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Funkcije složenog tipa mogu biti uključene u složene funkcije, a same složene funkcije mogu biti komponente komponenti složenog tipa.

Primjer 5

Na primjer, razmotrite kompleksnu funkciju oblika y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Ova funkcija se može predstaviti kao y = f (g (x)), gdje je vrijednost f funkcija logaritma baze 3, a g (x) se smatra zbirom dvije funkcije oblika h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 i k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Očigledno, y = f (h (x) + k (x)).

Razmotrimo funkciju h(x). Ovo je omjer l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 prema m (x) = e x 2 + 3 3

Imamo da je l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) zbir dviju funkcija n (x) = x 2 + 7 i p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , gdje je p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) je kompleksna funkcija s numeričkim koeficijentom 3, a p 1 je funkcija kocke, p 2 kosinusnom funkcijom, p 3 (x) = 2 x + 1 linearnom funkcijom.

Otkrili smo da je m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) zbir dvije funkcije q (x) = e x 2 i r (x) = 3 3, gdje je q (x) = q 1 (q 2 (x)) je kompleksna funkcija, q 1 je funkcija s eksponencijalom, q 2 (x) = x 2 je funkcija stepena.

Ovo pokazuje da je h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Kada se pređe na izraz oblika k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x), jasno je da je funkcija predstavljena u obliku kompleksa s ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) sa racionalnim cijelim brojem t (x) = x 2 + 1, gdje je s 1 funkcija kvadriranja, a s 2 (x) = ln x je logaritamska sa baza e.

Iz toga slijedi da će izraz dobiti oblik k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

Onda to shvatamo

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Na osnovu strukture funkcije postalo je jasno kako i koje formule treba koristiti za pojednostavljenje izraza prilikom njegovog razlikovanja. Da bismo se upoznali sa ovakvim problemima i za koncept njihovog rješavanja, potrebno je prijeći na točku diferenciranja funkcije, odnosno pronalaženja njene derivacije.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter