Rješavanje sistema nejednačina na brojevnoj pravoj. Rješavanje nejednačina. Dostupan o tome kako riješiti nejednakosti

Program za rješavanje linearnih, kvadratnih i razlomke nejednakosti ne samo da daje odgovor na problem, već i vodi detaljno rješenje sa objašnjenjima, tj. prikazuje proces rješenja za testiranje znanja iz matematike i/ili algebre.

Štoviše, ako je u procesu rješavanja jedne od nejednačina potrebno riješiti, na primjer, kvadratnu jednadžbu, tada se prikazuje i njeno detaljno rješenje (sadržano je u spojleru).

Ovaj program može biti koristan srednjoškolcima u pripremi za testovi, roditeljima da prate kako njihova djeca rješavaju nejednakosti.

Ovaj program može biti koristan za srednjoškolce srednje škole u pripremi za testove i ispite, prilikom provjere znanja prije Jedinstvenog državnog ispita, da roditelji kontrolišu rješavanje mnogih zadataka iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti nastavnika ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite da to završite što je brže moguće? domaći zadatak

iz matematike ili algebre? U tom slučaju možete koristiti i naše programe sa detaljnim rješenjima. Na ovaj način možete sami voditi svoju obuku i/ili obuku. mlađa braća

ili sestre, dok se nivo obrazovanja iz oblasti problema koji se rješavaju povećava.

Pravila za unos nejednakosti
Bilo koje latinično slovo može djelovati kao varijabla.

Na primjer: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), itd.
Brojevi se mogu unositi kao cijeli ili razlomak. Štaviše, razlomci brojeva

može se uneti ne samo kao decimalni, već i kao običan razlomak.
Pravila za unos decimalnih razlomaka.
U decimalnim razlomcima, razlomak se može odvojiti od cijelog dijela tačkom ili zarezom. Na primjer, možete unijeti decimale

ovako: 2,5x - 3,5x^2
Pravila za unos običnih razlomaka.

Samo cijeli broj može biti brojnik, nazivnik i cijeli broj razlomka.

Imenilac ne može biti negativan. /
Prilikom unosa brojčanog razlomka, brojilac je odvojen od nazivnika znakom dijeljenja: &
Cijeli dio je odvojen od razlomka znakom ampersanda:
Rezultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)

Možete koristiti zagrade kada unosite izraze. U ovom slučaju, kada se rješavaju nejednačine, izrazi se prvo pojednostavljuju.
na primjer: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)

Odaberite željeni znak nejednakosti i unesite polinome u polja ispod.

Otkriveno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog problema nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.

Jer Ima puno ljudi koji su voljni da riješe problem, vaš zahtjev je stavljen u red čekanja.
Za nekoliko sekundi rješenje će se pojaviti ispod.
Pričekajte sec...

Ako ti uočio grešku u rješenju, onda o tome možete pisati u Obrascu za povratne informacije.
Ne zaboravi naznačiti koji zadatak ti odluči šta unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Sistemi nejednakosti sa jednom nepoznatom. Numerički intervali

Sa pojmom sistema ste se upoznali u 7. razredu i naučili da rješavate sisteme linearnih jednačina sa dvije nepoznate. Zatim ćemo razmotriti sisteme linearne nejednakosti sa jednom nepoznatom. Skupovi rješenja sistema nejednačina mogu se pisati pomoću intervala (intervali, poluintervali, segmenti, zraci). Također ćete se upoznati sa zapisom brojčanih intervala.

Ako je u nejednačinama \(4x > 2000\) i \(5x \leq 4000\) nepoznati broj x isti, tada se ove nejednakosti razmatraju zajedno i kaže se da čine sistem nejednačina: $$ \left\ (\begin( array)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(array)\right $$.

Vitičasta zagrada pokazuje da trebate pronaći vrijednosti x za koje se obje nejednakosti sistema pretvaraju u ispravne numeričke nejednakosti. Ovaj sistem je primjer sistema linearnih nejednačina sa jednom nepoznatom.

Rješenje sistema nejednačina sa jednom nepoznatom je vrijednost nepoznate pri kojoj se sve nejednakosti sistema pretvaraju u prave numeričke nejednakosti. Rješavanje sistema nejednakosti znači pronalaženje svih rješenja za ovaj sistem ili utvrđivanje da ih nema.

Nejednačine \(x \geq -2 \) i \(x \leq 3 \) mogu se zapisati kao dvostruka nejednakost: \(-2 \leq x \leq 3 \).

Rješenja sistema nejednačina sa jednom nepoznatom su različiti numerički skupovi. Ovi setovi imaju imena. Dakle, na brojevnoj osi, skup brojeva x takvih da je \(-2 \leq x \leq 3 \) predstavljen segmentom sa krajevima u tačkama -2 i 3.

Ako je \(a segment i označen je sa [a; b]

Ako je \(a interval i označen je sa (a; b)

Skupovi brojeva \(x\) koji zadovoljavaju nejednakosti \(a \leq x su poluintervali i označeni su respektivno [a; b) i (a; b]

Zovu se segmenti, intervali, poluintervali i zraci numeričke intervale.

Dakle, numerički intervali se mogu specificirati u obliku nejednačina.

Rješenje nejednakosti u dvije nepoznanice je par brojeva (x; y) koji datu nejednakost pretvara u pravu numeričku nejednakost. Rješavanje nejednačine znači pronalaženje skupa svih njenih rješenja. Dakle, rješenja nejednakosti x > y će biti, na primjer, parovi brojeva (5; 3), (-1; -1), budući da \(5 \geq 3 \) i \(-1 \geq - 1\)

Rješavanje sistema nejednačina

Već ste naučili kako riješiti linearne nejednačine s jednom nepoznatom. Znate li šta su sistem nejednakosti i rješenje sistema? Stoga vam proces rješavanja sistema nejednakosti sa jednom nepoznatom neće stvarati poteškoće.

Pa ipak, da vas podsjetimo: da biste riješili sistem nejednačina, potrebno je riješiti svaku nejednakost posebno, a zatim pronaći sjecište ovih rješenja.

Na primjer, prvobitni sistem nejednakosti je sveden na oblik:
$$ \left\(\begin(array)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(array)\right. $$

Da biste riješili ovaj sistem nejednačina, označite rješenje svake nejednačine na brojevnoj pravoj i pronađite njihov presjek:

Raskrsnica je segment [-2; 3] - ovo je rješenje originalnog sistema nejednakosti.

Ovaj članak pruža početne informacije o sistemima nejednakosti. Ovdje je definicija sistema nejednakosti i definicija rješenja za sistem nejednakosti. Navedene su i glavne vrste sistema sa kojima se najčešće mora raditi na časovima algebre u školi i dati primjeri.

Navigacija po stranici.

Šta je sistem nejednakosti?

Pogodno je definisati sisteme nejednačina na isti način kao što smo uveli definiciju sistema jednačina, odnosno po tipu zapisa i značenju koje je u njega ugrađeno.

Definicija.

Sistem nejednakosti je zapis koji predstavlja određeni broj nejednačina ispisanih jedna ispod druge, objedinjene s lijeve strane vitičastom zagradom, i označava skup svih rješenja koja su istovremeno rješenja svake nejednakosti sistema.

Navedimo primjer sistema nejednakosti. Uzmimo dva proizvoljna, na primjer, 2 x−3>0 i 5−x≥4 x−11, napiši ih jedno ispod drugog
2 x−3>0 ,
5−x≥4 x−11
i kombinirati sa sistemskim znakom - vitičastom zagradom, kao rezultat dobijamo sistem nejednakosti sljedećeg oblika:

Slična ideja je data o sistemima nejednakosti u školskim udžbenicima. Vrijedi napomenuti da su njihove definicije date uže: za nejednakosti s jednom varijablom ili sa dvije varijable.

Glavne vrste sistema nejednakosti

Jasno je da se može sastaviti beskonačan broj razni sistemi nejednakosti Kako se ne biste izgubili u ovoj raznolikosti, preporučljivo je razmotriti ih u grupama koje imaju svoje karakteristične karakteristike. Svi sistemi nejednakosti mogu se podijeliti u grupe prema sljedećim kriterijima:

• po broju nejednakosti u sistemu;
• prema broju varijabli uključenih u snimanje;
• prema vrsti samih nejednakosti.

Na osnovu broja nejednakosti uključenih u evidenciju razlikuju se sistemi dva, tri, četiri, itd. nejednakosti U prethodnom pasusu dali smo primjer sistema, koji je sistem od dvije nejednakosti. Pokažimo još jedan primjer sistema od četiri nejednakosti .

Posebno ćemo reći da nema smisla govoriti o sistemu jedne nejednakosti, u ovom slučaju, suštinski mi pričamo o tome o samoj nejednakosti, a ne o sistemu.

Ako pogledate broj varijabli, onda postoje sistemi nejednakosti sa jednom, dvije, tri, itd. varijable (ili, kako još kažu, nepoznate). Pogledajte posljednji sistem nejednakosti napisan u dva pasusa iznad. To je sistem sa tri varijable x, y i z. Napominjemo da njene prve dvije nejednakosti ne sadrže sve tri varijable, već samo jednu od njih. U kontekstu ovog sistema, treba ih shvatiti kao nejednakosti sa tri varijable oblika x+0·y+0·z≥−2 i 0·x+y+0·z≤5 respektivno. Imajte na umu da se škola fokusira na nejednakosti sa jednom varijablom.

Ostaje da razgovaramo o tome koje vrste nejednakosti su uključene u sisteme snimanja. U školi uglavnom razmatraju sisteme dvije nejednakosti (rjeđe - tri, još rjeđe - četiri ili više) sa jednom ili dvije varijable, a same nejednakosti su najčešće čitave nejednakosti prvog ili drugog stepena (rjeđe - više visoki stepeni ili frakciono racionalno). Ali nemojte se iznenaditi ako u pripremnom materijalu za Jedinstveni državni ispit naiđete na sisteme nejednakosti koji sadrže iracionalne, logaritamske, eksponencijalne i druge nejednakosti. Kao primjer dajemo sistem nejednakosti , preuzeto je iz .

Koje je rješenje za sistem nejednakosti?

Hajde da uvedemo još jednu definiciju vezanu za sisteme nejednakosti - definiciju rešenja sistema nejednačina:

Definicija.

Rješavanje sistema nejednačina sa jednom promjenljivom naziva se takva vrijednost varijable koja svaku od nejednakosti sistema pretvara u istinitu, drugim riječima, ona je rješenje svake nejednakosti sistema.

Objasnimo na primjeru. Uzmimo sistem od dvije nejednakosti sa jednom promjenljivom. Uzmimo vrijednost varijable x jednaku 8, ona je rješenje našeg sistema nejednačina po definiciji, pošto njena zamjena u nejednakosti sistema daje dvije ispravne numeričke nejednačine 8>7 i 2−3·8≤0. Naprotiv, jedinica nije rješenje za sistem, jer kada se zamijeni varijabla x, prva nejednakost će se pretvoriti u netačnu numeričku nejednakost 1>7.

Slično, može se uvesti definicija rješenja u sistem nejednačina sa dva, tri i veliki broj varijable:

Definicija.

Rješavanje sistema nejednačina sa dva, tri itd. varijable zove se par, trojka itd. vrijednosti ovih varijabli, što je ujedno rješenje svake nejednakosti sistema, odnosno svaku nejednakost sistema pretvara u ispravnu numeričku nejednakost.

Na primjer, par vrijednosti x=1, y=2 ili u drugoj notaciji (1, 2) je rješenje za sistem nejednakosti sa dvije varijable, budući da je 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Sistemi nejednačina možda nemaju rješenja, mogu imati konačan broj rješenja ili mogu imati beskonačan broj rješenja. Ljudi često govore o skupu rješenja za sistem nejednakosti. Kada sistem nema rješenja, tada postoji prazan skup njegovih rješenja. Kada postoji konačan broj rješenja, tada skup rješenja sadrži konačan broj elemenata, a kada postoji beskonačno mnogo rješenja, tada se skup rješenja sastoji od beskonačnog broja elemenata.

Neki izvori uvode definicije posebnog i opšteg rešenja sistema nejednakosti, kao, na primer, u Mordkovičevim udžbenicima. Ispod privatno rješenje sistema nejednakosti razumeti njenu jedinu odluku. Zauzvrat opšte rešenje sistema nejednakosti- sve su to njene privatne odluke. Međutim, ovi pojmovi imaju smisla samo kada je potrebno posebno naglasiti o kakvom je rješenju riječ, ali to je obično već jasno iz konteksta, pa mnogo češće govore jednostavno „rješenje sistema nejednakosti“.

Iz definicija sistema nejednačina i njegovih rješenja iznesenih u ovom članku, proizlazi da je rješenje sistema nejednačina presjek skupova rješenja svih nejednačina ovog sistema.

Reference.

1. algebra: udžbenik za 8. razred. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edited by S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M.: Obrazovanje, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. algebra: 9. razred: obrazovni. za opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edited by S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M.: Obrazovanje, 2009. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkovich A. G. Algebra. 9. razred. U 14 sati 1. dio. Udžbenik za studente obrazovne institucije/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01752-3.
4. Mordkovich A. G. Algebra i počeci matematičke analize. 11. razred. U 2 dijela, dio 1. Udžbenik za učenike opšteobrazovnih ustanova (profilni nivo) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01027-2.
5. Jedinstveni državni ispit-2013. Matematika: standardne opcije ispita: 30 opcija / ur. A. L. Semenova, I. V. Yashchenko. – M.: Izdavačka kuća „Narodno obrazovanje”, 2012. – 192 str. – (USE-2013. FIPI - škola).

rješenje nejednakosti u modu online rješenje skoro svaku datu nejednakost online. Matematički nejednakosti na mreži da rešavam matematiku. Pronađite brzo rješenje nejednakosti u modu online. Web stranica www.site vam omogućava da pronađete rješenje skoro svaki dat algebarski, trigonometrijski ili transcendentalna nejednakost na mreži. Kada proučavate gotovo bilo koju granu matematike u različitim fazama, morate odlučiti nejednakosti na mreži. Da biste odmah dobili odgovor, i što je najvažnije tačan odgovor, potreban vam je resurs koji vam to omogućava. Hvala sajtu www.site rješavanje nejednakosti na mreži trajat će nekoliko minuta. Glavna prednost www.site kod rješavanja matematičkih nejednakosti na mreži- ovo je brzina i tačnost pruženog odgovora. Stranica je u stanju riješiti bilo koje algebarske nejednakosti na mreži, trigonometrijske nejednakosti na mreži, transcendentalne nejednakosti na mreži, i također nejednakosti sa nepoznatim parametrima u modu online. Nejednakosti služe kao moćan matematički aparat rješenja praktični problemi. Uz pomoć matematičke nejednakosti moguće je izraziti činjenice i odnose koji na prvi pogled mogu izgledati zbunjujuće i složene. Nepoznate količine nejednakosti može se naći formulisanjem problema u matematički jezik u formi nejednakosti I odlučiti primljen zadatak u modu online na web stranici www.site. Bilo koji algebarska nejednakost, trigonometrijske nejednakosti ili nejednakosti koji sadrži transcendentalno funkcije koje možete lako odlučiti online i dobiti tačan odgovor. Kada studirate prirodne nauke, neminovno se susrećete sa potrebom rješenja nejednakosti. U ovom slučaju, odgovor mora biti tačan i mora se dobiti odmah u režimu online. Stoga za rješavati matematičke nejednakosti na mreži preporučujemo stranicu www.site, koja će postati vaš nezamjenjiv kalkulator rješavanje algebarskih nejednakosti online, trigonometrijske nejednakosti na mreži, i također transcendentalne nejednakosti na mreži ili nejednakosti sa nepoznatim parametrima. Za praktične probleme pronalaženja online rješenja za razna matematičke nejednakosti resurs www.. Rješavanje nejednakosti na mreži sami, korisno je provjeriti primljeni odgovor koristeći online rješenje nejednakosti na web stranici www.site. Morate ispravno napisati nejednakost i odmah dobiti online rješenje, nakon čega ostaje samo da uporedite odgovor sa svojim rješenjem nejednakosti. Provjera odgovora neće trajati više od jedne minute, to je dovoljno rješavanje nejednakosti na mreži i uporedi odgovore. Ovo će vam pomoći da izbjegnete greške u odluka i na vrijeme ispraviti odgovor rješavanje nejednakosti na mreži neka bude algebarski, trigonometrijski, transcendentalno ili nejednakost sa nepoznatim parametrima.

U članku ćemo razmotriti rješavanje nejednačina. Jasno ćemo vam reći kako konstruisati rešenje za nejednakosti, sa jasnim primjerima!

Prije nego što pogledamo rješavanje nejednačina na primjerima, razumijemo osnovne koncepte.

Opće informacije o nejednakostima

Nejednakost je izraz u kojem su funkcije povezane znakovima relacija >, . Nejednakosti mogu biti i numeričke i doslovne.
Nejednakosti sa dva znaka omjera nazivaju se dvostrukim, sa tri - trostrukim, itd. na primjer:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Nejednakosti koje sadrže znak > ili ili - nisu stroge.
Rješavanje nejednakosti je bilo koja vrijednost varijable za koju će ova nejednakost biti istinita.
"Riješite nejednakost" znači da moramo pronaći skup svih njegovih rješenja. Postoje različita metode za rješavanje nejednačina. Za rješenja nejednakosti Koriste brojevnu pravu, koja je beskonačna. na primjer, rješenje nejednakosti x > 3 je interval od 3 do +, a broj 3 nije uključen u ovaj interval, stoga je tačka na pravoj označena praznim krugom, jer nejednakost je stroga.
+
Odgovor će biti: x (3; +).
Vrijednost x=3 nije uključena u skup rješenja, tako da je zagrada okrugla. Znak beskonačnosti je uvijek označen zagradom. Znak znači "pripadanje".
Pogledajmo kako riješiti nejednakosti koristeći još jedan primjer sa znakom:
x 2
-+
Vrijednost x=2 je uključena u skup rješenja, tako da je zagrada kvadratna, a tačka na pravoj je označena popunjenim krugom.
Odgovor će biti: x.

4. Riješite sistem

Odakle može doći druga nejednakost sistema? Na primjer, iz nejednakosti

Označimo grafički rješenja svake nejednakosti i pronađemo interval njihovog presjeka.

Dakle, ako imamo sistem u kojem jedna od nejednakosti zadovoljava bilo koju vrijednost x, onda se može eliminisati.

Odgovor: sistem je kontradiktoran.

Ispitivali smo tipične probleme podrške na koje se može svesti rješenje bilo kojeg linearnog sistema nejednačina.

Razmotrite sljedeći sistem.

7.

Ponekad je linearni sistem dat dvostrukom nejednakošću;

8.

Pogledali smo sisteme linearnih nejednakosti, shvatili odakle dolaze, pogledali standardne sisteme kojima su svi linearni sistemi, i riješio neke od njih.

1. Mordkovich A.G. i dr. Algebra 9. razred: Udžbenik. Za opšte obrazovanje Institucije.- 4. izd. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 str.: ilustr.

2. Mordkovich A.G. i dr. Algebra 9. razred: Zadaća za učenike opšteobrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina, itd. - 4. izd. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 str.: ilustr.

3. Makarychev Yu. 9. razred: obrazovni. za učenike opšteg obrazovanja. institucije / Yu N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. — 7. izdanje, rev. i dodatne - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Algebra. 9. razred. 16th ed. - M., 2011. - 287 str.

5. Mordkovich A. G. Algebra. 9. razred. U 2 sata Dio 1. Udžbenik za učenike opšteobrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. — 12. izdanje, izbrisano. - M.: 2010. - 224 str.: ilustr.

6. Algebra. 9. razred. U 2 dela Deo 2. Zadatak za učenike opšteobrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina i dr. Ed. A. G. Mordkovich. — 12. izdanje, rev. - M.: 2010.-223 str.: ilustr.

1. Portal prirodnih nauka ().

2. Elektronski nastavno-metodički kompleks za pripremu 10-11 razreda za prijemne ispite iz informatike, matematike, ruskog jezika ().

4. Obrazovni centar “Tehnologija nastave” ().

5. College.ru odjeljak o matematici ().

1. Mordkovich A.G. i dr. Algebra 9. razred: Zadaća za učenike opšteobrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina, itd. - 4. izd. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 str.: ilustr. br. 53; 54; 56; 57.