Ulaz1 direktna i inverzna proporcionalnost. Direktni i obrnuto proporcionalni odnosi
Završio: Čepkasov Rodion
Učenik 6. razreda
MBOU "Srednja škola br. 53"
Barnaul
Rukovodilac: Bulykina O.G.
nastavnik matematike
MBOU "Srednja škola br. 53"
Barnaul
Uvod. 1
Odnosi i proporcije. 3
Direktni i obrnuto proporcionalni odnosi. 4
Primjena direktnog i inverzno proporcionalnog 6
ovisnosti pri rješavanju raznih problema.
Zaključak. jedanaest
Književnost. 12
Uvod.
Riječ proporcija dolazi od latinske riječi proporcija, što općenito znači proporcionalnost, poravnanje dijelova (određeni omjer dijelova jedan prema drugom). U antičko doba pitagorejci su visoko cijenili doktrinu o proporcijama. S proporcijama su povezivali misli o redu i ljepoti u prirodi, o konsonantnim akordima u muzici i harmoniji u svemiru. Neke vrste proporcija nazivali su muzičkim ili harmoničnim.
Čovjek je još u davna vremena otkrio da su sve pojave u prirodi međusobno povezane, da je sve u neprekidnom kretanju, mijenjanju i, kada se izrazi u brojevima, otkriva zadivljujuće obrasce.
Pitagorejci i njihovi sljedbenici tražili su sve na svijetu numerički izraz. Otkrili su; da su matematičke proporcije u osnovi muzike (odnos dužine žice i visine, odnos između intervala, odnos zvukova u akordima koji daju harmoničan zvuk). Pitagorejci su pokušali matematički potkrijepiti ideju o jedinstvu svijeta i tvrdili da su osnova svemira simetrični geometrijski oblici. Pitagorejci su tražili matematičku osnovu za lepotu.
Slijedeći pitagorejce, srednjovjekovni naučnik Augustin nazvao je ljepotu „numeričkom jednakošću“. Šolastički filozof Bonaventura je napisao: "Nema ljepote i zadovoljstva bez proporcionalnosti, a proporcionalnost postoji prvenstveno u brojevima. Neophodno je da sve bude izbrojivo." Leonardo da Vinci je u svojoj raspravi o slikarstvu pisao o upotrebi proporcije u umetnosti: „Slikar u obliku proporcija utjelovljuje iste obrasce skrivene u prirodi koje naučnik poznaje u obliku numeričkog zakona.
Za rješavanje su korištene proporcije različite zadatke kako u antici tako i u srednjem vijeku. Određene vrste problema sada se lako i brzo rješavaju korištenjem proporcija. Proporcije i proporcionalnost koristili su se i koriste se ne samo u matematici, već iu arhitekturi i umjetnosti. Proporcija u arhitekturi i umjetnosti znači održavanje određenih odnosa između veličina različitim dijelovima zgrada, figura, skulptura ili drugo umjetničko djelo. Proporcionalnost je u takvim slučajevima uslov za ispravnu i lepu konstrukciju i prikaz
U svom radu pokušao sam da razmotrim upotrebu direktnih i inverzno proporcionalnih odnosa u različitim oblastima život u okruženju, trag kontakta sa akademski predmeti kroz zadatke.
Odnosi i proporcije.
Zove se količnik dva broja stav ove brojevi.
Stav pokazuje, koliko puta prvi broj više od drugog ili koji dio je prvi broj od drugog.
Zadatak.
U prodavnicu je dovezeno 2,4 tone krušaka i 3,6 tona jabuka. Koliki je udeo donetih plodova kruške?
Rješenje . Hajde da nađemo koliko su voća doneli: 2,4+3,6=6(t). Da bismo saznali koji dio donesenih plodova su kruške, pravimo omjer 2,4:6=. Odgovor se može napisati iu formularu decimalni ili kao procenat: = 0,4 = 40%.
Uzajamno inverzno pozvao brojevi, čiji su proizvodi jednaki 1. Dakle odnos se naziva inverznim od odnosa.
Razmotrite dva jednaka omjera: 4,5:3 i 6:4. Stavimo znak jednakosti između njih i dobijemo proporciju: 4,5:3=6:4.
Proporcija je jednakost dviju relacija: a : b =c :d ili = 
, gdje su a i d ekstremne proporcije, c i b – prosječni članovi(svi članovi proporcije su različiti od nule).
Osnovno svojstvo proporcije:
u ispravnoj proporciji, proizvod ekstremnih članova jednak je proizvodu srednjih članova.
Primjenjujući komutativno svojstvo množenja, nalazimo da se u ispravnoj proporciji ekstremni ili srednji članovi mogu zamijeniti. Rezultirajuće proporcije će također biti ispravne.
Koristeći osnovno svojstvo proporcije, možete pronaći njegov nepoznati pojam ako su poznati svi ostali pojmovi.
Da biste pronašli nepoznati ekstremni član proporcije, trebate pomnožiti prosječne članove i podijeliti sa poznatim ekstremnim članom. x : b = c : d , x = 
Da biste pronašli nepoznati srednji član proporcije, trebate pomnožiti ekstremne članove i podijeliti sa poznatim srednjim članom. a : b =x : d , x = 
.
Direktni i obrnuto proporcionalni odnosi.
Vrijednosti dvije različite veličine mogu biti međusobno zavisne jedna o drugoj. Dakle, površina kvadrata zavisi od dužine njegove stranice, i obrnuto - dužina stranice kvadrata zavisi od njegove površine.
Za dvije veličine se kaže da su proporcionalne ako se povećavaju
(smanji) jedan od njih nekoliko puta, drugi se poveća (smanji) isti broj puta.
Ako su dvije veličine direktno proporcionalne, tada su omjeri odgovarajućih vrijednosti ovih veličina jednaki.
Primjer direktno proporcionalna zavisnost .
Na benzinskoj pumpi 2 litre benzina teže 1,6 kg. Koliko će biti teški 5 litara benzina?
Rješenje:
Težina kerozina je proporcionalna njegovoj zapremini.
2l - 1,6 kg
5l - x kg
2:5=1,6:x,
x=5*1,6 x=4
Odgovor: 4 kg.
Ovdje odnos težine i zapremine ostaje nepromijenjen.
Dvije veličine se nazivaju obrnuto proporcionalne ako se jedna od njih poveća (smanji) nekoliko puta, druga smanji (pove) za isti iznos.
Ako su količine obrnuto proporcionalne, tada je omjer vrijednosti jedne veličine jednak inverznom omjeru odgovarajućih vrijednosti druge veličine.
P primjerobrnuto proporcionalni odnos.
Dva pravougaonika imaju istu površinu. Dužina prvog pravougaonika je 3,6 m, a širina 2,4 m. Dužina drugog pravougaonika je 4,8 m. Nađite širinu drugog pravougaonika.
Rješenje:
1 pravougaonik 3,6 m 2,4 m
2 pravougaonika 4,8 m x m
3,6 m x m
4,8 m 2,4 m
x = 3,6*2,4 = 1,8 m
Odgovor: 1,8 m.
Kao što vidite, problemi koji uključuju proporcionalne veličine mogu se riješiti korištenjem proporcija.
Nisu svake dvije veličine direktno proporcionalne ili obrnuto proporcionalne. Na primjer, visina djeteta raste kako se njegova dob povećava, ali ove vrijednosti nisu proporcionalne, jer kada se starost udvostruči, visina djeteta se ne udvostručuje.
Praktična upotreba direktna i inverzno proporcionalna zavisnost.
Zadatak br. 1
Školska biblioteka raspolaže sa 210 udžbenika matematike, što čini 15% ukupnog fonda biblioteke. Koliko knjiga ima u bibliotečkom fondu?
Rješenje:
Ukupno udžbenika - ? - 100%
Matematičari - 210 -15%
15% 210 akademski.
X = 100* 210 = 1400 udžbenika
100% x račun. 15
Odgovor: 1400 udžbenika.
Problem br. 2
Biciklista prijeđe 75 km za 3 sata. Koliko će biciklistu trebati da pređe 125 km istom brzinom?
Rješenje:
3 h – 75 km
H – 125 km
Stoga su vrijeme i udaljenost direktno proporcionalne veličine
3: x = 75: 125,
x= 
,
x=5.
Odgovor: za 5 sati.
Problem br. 3
8 identičnih cijevi napuni bazen za 25 minuta. Koliko će minuta biti potrebno da se bazen napuni sa 10 takvih cijevi?
Rješenje:
8 cijevi – 25 minuta
10 cijevi - ? minuta
Broj cijevi je obrnuto proporcionalan vremenu, dakle
8:10 = x:25,
x = 
x = 20
Odgovor: za 20 minuta.
Problem br. 4
Tim od 8 radnika obavi zadatak za 15 dana. Koliko radnika može završiti zadatak za 10 dana radeći s istom produktivnošću?
Rješenje:
8 radnih dana – 15 dana
Radnici - 10 dana
Broj radnika je obrnuto proporcionalan broju dana, dakle
x: 8 = 15: 10,
x= 
,
x=12.
Odgovor: 12 radnika.
Problem br. 5
Od 5,6 kg paradajza dobije se 2 litre sosa. Koliko litara sosa se može dobiti od 54 kg paradajza?
Rješenje:
5,6 kg – 2 l
54 kg - ? l
Dakle, broj kilograma paradajza je direktno proporcionalan količini dobijenog sosa
5,6:54 = 2:x,
x = 
,
x = 19.
Odgovor: 19 l.
Problem br. 6
Za grijanje školske zgrade ugalj je skladišten 180 dana po stopi potrošnje
0,6 tona uglja dnevno. Koliko će dana trajati ova zaliha ako se dnevno troši 0,5 tona?
Rješenje:
Broj dana
Stopa potrošnje
Dakle, broj dana je obrnuto proporcionalan stopi potrošnje uglja
180: x = 0,5: 0,6,
x = 180*0,6:0,5,
x = 216.
Odgovor: 216 dana.
Problem br. 7
IN željezna ruda Za 7 delova gvožđa postoje 3 dela nečistoća. Koliko tona nečistoća ima u rudi koja sadrži 73,5 tona gvožđa?
Rješenje:
Broj delova
Težina
Iron
73,5
Nečistoće
Dakle, broj dijelova je direktno proporcionalan masi
7: 73,5 = 3: x.
x = 73,5 * 3:7,
x = 31,5.
Odgovor: 31,5 t
Problem br. 8
Automobil je prešao 500 km, koristeći 35 litara benzina. Koliko će litara benzina biti potrebno da se pređe 420 km?
Rješenje:
Udaljenost, km
Benzin, l
Udaljenost je direktno proporcionalna potrošnji benzina, dakle
500:35 = 420:x,
x = 35*420:500,
x = 29,4.
Odgovor: 29,4 l
Problem br. 9
U 2 sata ulovili smo 12 karasa. Koliko će karaša biti ulovljeno za 3 sata?
Rješenje:
Broj karasa ne zavisi od vremena. Ove količine nisu ni direktno proporcionalne ni obrnuto proporcionalne.
Odgovor: Nema odgovora.
Problem br. 10
Rudarsko preduzeće treba da kupi 5 novih mašina za određeni iznos novca po ceni od 12 hiljada rubalja po jednoj. Koliko ovih mašina može da kupi preduzeće ako cena za jednu mašinu postane 15 hiljada rubalja?
Rješenje:
Broj automobila, kom.
Cijena, hiljada rubalja
Broj automobila je obrnuto proporcionalan cijeni, dakle
5: x = 15: 12,
x=5*12:15,
x=4.
Odgovor: 4 automobila.
Problem br. 11
U gradu N na trgu P nalazi se radnja čiji je vlasnik toliko strog da za kašnjenje odbija plate 70 rubalja za 1 kašnjenje dnevno. Dve devojke, Julija i Nataša, rade u jednom odeljenju. Njihova nadnica zavisi od broja radnih dana. Julija je za 20 dana dobila 4.100 rubalja, a Nataša je za 21 dan trebala dobiti više, ali je kasnila 3 dana zaredom. Koliko će rubalja dobiti Nataša?
Rješenje:
Radni dani
Plata, rub.
Julia
4100
Natasha
Dakle, plata je direktno proporcionalna broju radnih dana
20:21 = 4100:x,
x=4305.
4305 rub. Nataša ga je trebala primiti.
4305 – 3 * 70 = 4095 (rub.)
Odgovor: Nataša će dobiti 4095 rubalja.
Problem br. 12
Udaljenost između dva grada na karti je 6 cm. Pronađite udaljenost između ovih gradova na tlu ako je razmjer karte 1:250000.
Rješenje:
Označimo udaljenost između gradova na terenu sa x (u centimetrima) i pronađemo omjer dužine segmenta na karti i udaljenosti na tlu, koja će biti jednaka mjerilu karte: 6: x = 1 : 250000,
x = 6*250000,
x = 1500000.
1500000 cm = 15 km
Odgovor: 15 km.
Problem br. 13
4000 g rastvora sadrži 80 g soli. Kolika je koncentracija soli u ovoj otopini?
Rješenje:
Težina, g
Koncentracija, %
Rješenje
4000
Sol
4000: 80 = 100: x,
x = 
,
x = 2.
Odgovor: Koncentracija soli je 2%.
Problem br. 14
Banka daje kredit od 10% godišnje. Dobili ste zajam od 50.000 rubalja. Koliko biste trebali vratiti banci za godinu dana?
Rješenje:
50.000 rub.
100%
x rub.
50000: x = 100: 10,
x= 50000*10:100,
x=5000.
5000 rub. iznosi 10%.
50.000 + 5000=55.000 (rub.)
Odgovor: za godinu dana banka će dobiti 55.000 rubalja nazad.
Zaključak.
Kao što možemo vidjeti iz navedenih primjera, direktni i inverzno proporcionalni odnosi su primjenjivi u različitim područjima života:
ekonomija,
Trgovina,
U proizvodnji i industriji,
kuhanje,
Građevinarstvo i arhitektura.
Sport,
Stočarstvo,
topografije,
fizičari,
hemija itd.
U ruskom jeziku postoje i poslovice i izreke koje uspostavljaju direktne i inverzne odnose:
Kako se vrati, tako će i odgovoriti.
Što je panj viši, to je viša senka.
Što više ljudi, to je manje kiseonika.
I spreman je, ali glup.
Matematika je jedna od najstarijih nauka, nastala je na osnovu potreba i želja čovečanstva. Prošavši kroz istoriju formiranja od Ancient Greece, i dalje ostaje relevantan i neophodan u Svakodnevni život bilo koju osobu. Koncept direktne i inverzne proporcionalnosti poznat je od davnina, jer su zakoni proporcije motivisali arhitekte prilikom bilo koje konstrukcije ili stvaranja bilo koje skulpture.
Znanje o proporcijama naširoko se koristi u svim sferama ljudskog života i aktivnosti - bez njega se ne može pri slikanju (pejzaži, mrtve prirode, portreti itd.), Rasprostranjeno je i među arhitektima i inženjerima - općenito, teško je zamislite da nešto stvarate bez korištenja znanja o proporcijama i njihovim odnosima.
Književnost.
Matematika-6, N.Ya. Vilenkin et al.
Algebra -7, G.V. Dorofejev i drugi.
Matematika-9, GIA-9, urednik F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhova
Matematika-6, didaktički materijali, P.V. Chulkov, A.B. Uedinov
Zadaci iz matematike za 4-5 razred, I.V. Baranova et al., M. "Prosveshchenie" 1988.
Zbirka zadataka i primjera iz matematike 5-6 razreda, N.A. Tereshin,
T.N. Terešina, M. “Akvarijum” 1997
Danas ćemo pogledati koje se količine nazivaju obrnuto proporcionalnim, kako izgleda graf inverzne proporcionalnosti i kako vam sve to može biti korisno ne samo na časovima matematike, već i van škole.
Tako različite proporcije
Proporcionalnost navedite dvije veličine koje su međusobno zavisne jedna od druge.
Zavisnost može biti direktna i inverzna. Prema tome, odnosi između veličina su opisani pravolinijom i inverzna proporcionalnost.
Direktna proporcionalnost– to je takav odnos između dvije veličine u kojem povećanje ili smanjenje jedne od njih dovodi do povećanja ili smanjenja druge. One. njihov stav se ne menja.
Na primjer, što više truda uložite u učenje za ispite, to su više ocjene. Ili što više stvari ponesete sa sobom na planinarenje, to će vaš ranac biti teži za nošenje. One. Količina truda uloženog u pripremu ispita direktno je proporcionalna dobijenim ocjenama. A broj stvari spakovanih u ranac je direktno proporcionalan njegovoj težini.
Inverzna proporcionalnost– ovo je funkcionalna ovisnost u kojoj smanjenje ili povećanje zavisne vrijednosti za nekoliko puta (naziva se argument) uzrokuje proporcionalno (tj. isti broj puta) povećanje ili smanjenje zavisne vrijednosti (naziva se funkcija).
Ilustrirajmo jednostavnim primjerom. Želite kupiti jabuke na pijaci. Jabuke na tezgi i količina novca u vašem novčaniku su u obrnutoj proporciji. One. Što više jabuka kupite, to će vam ostati manje novca.
Funkcija i njen graf
Funkcija inverzne proporcionalnosti može se opisati kao y = k/x. U kojem x≠ 0 i k≠ 0.
Ova funkcija ima sljedeća svojstva:
- Njegov domen definicije je skup svih realnih brojeva osim x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
- Opseg su svi realni brojevi osim y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
- Nema maksimalne ili minimalne vrijednosti.
- Neparan je i njegov graf je simetričan u odnosu na ishodište.
- Neperiodično.
- Njegov graf ne siječe koordinatne ose.
- Nema nule.
- Ako k> 0 (tj. argument raste), funkcija se proporcionalno smanjuje na svakom od svojih intervala. Ako k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
- Kako se argument povećava ( k> 0) negativne vrijednosti funkcije su u intervalu (-∞; 0), a pozitivne su (0; +∞). Kada se argument smanji ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).
Graf funkcije inverzne proporcionalnosti naziva se hiperbola. Prikazano kako slijedi:
Problemi inverzne proporcionalnosti
Da bi bilo jasnije, pogledajmo nekoliko zadataka. Oni nisu previše komplikovani, a njihovo rješavanje pomoći će vam da vizualizirate što je inverzna proporcionalnost i kako to znanje može biti korisno u vašem svakodnevnom životu.
Zadatak br. 1. Automobil se kreće brzinom od 60 km/h. Trebalo mu je 6 sati da stigne do odredišta. Koliko će mu trebati da pređe istu udaljenost ako se kreće dvostruko većom brzinom?
Možemo početi tako što ćemo zapisati formulu koja opisuje odnos između vremena, udaljenosti i brzine: t = S/V. Slažem se, to nas uvelike podsjeća na funkciju inverzne proporcionalnosti. I ukazuje da su vrijeme koje automobil provede na putu i brzina kojom se kreće u obrnutoj proporciji.
Da bismo to potvrdili, pronađimo V 2, koji je, prema uslovu, 2 puta veći: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Zatim izračunavamo udaljenost koristeći formulu S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Sada nije teško saznati vrijeme t 2 koje je potrebno od nas prema uslovima problema: t 2 = 360/120 = 3 sata.
Kao što vidite, vrijeme putovanja i brzina su zaista obrnuto proporcionalni: pri brzini 2 puta većoj od prvobitne, automobil će provesti 2 puta manje vremena na putu.
Rješenje ovog problema se također može napisati kao proporcija. Dakle, prvo napravimo ovaj dijagram:
↓ 60 km/h – 6 h
↓120 km/h – x h
Strelice pokazuju obrnuto proporcionalni odnos. Također predlažu da se pri sastavljanju proporcije desna strana zapisa mora okrenuti: 60/120 = x/6. Gdje dobijamo x = 60 * 6/120 = 3 sata.
Zadatak br. 2. Radionica zapošljava 6 radnika koji zadatu količinu posla mogu obaviti za 4 sata. Ako se broj radnika prepolovi, koliko će vremena trebati preostalim radnicima da završe istu količinu posla?
Zapišimo uslove problema u obliku vizuelnog dijagrama:
↓ 6 radnika – 4 sata
↓ 3 radnika – x h
Zapišimo ovo kao proporciju: 6/3 = x/4. I dobijemo x = 6 * 4/3 = 8 sati.Ako ima 2 puta manje radnika, preostali će potrošiti 2 puta više vremena na sav posao.
Zadatak br. 3. U bazen vode dvije cijevi. Kroz jednu cijev voda teče brzinom od 2 l/s i napuni bazen za 45 minuta. Kroz drugu cijev, bazen će se napuniti za 75 minuta. Kojom brzinom voda ulazi u bazen kroz ovu cijev?
Za početak, smanjimo sve količine koje su nam date prema uslovima problema na iste mjerne jedinice. Da bismo to učinili, izražavamo brzinu punjenja bazena u litrama u minuti: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.
Budući da uvjet podrazumijeva da se bazen puni sporije kroz drugu cijev, to znači da je brzina protoka vode manja. Proporcionalnost je inverzna. Izrazimo nepoznatu brzinu kroz x i nacrtajmo sljedeći dijagram:
↓ 120 l/min – 45 min
↓ x l/min – 75 min
A onda pravimo proporciju: 120/x = 75/45, odakle je x = 120 * 45/75 = 72 l/min.
U zadatku je brzina punjenja bazena izražena u litrima u sekundi, a odgovor koji smo dobili svedemo na isti oblik: 72/60 = 1,2 l/s.
Zadatak br. 4. Mala privatna štamparija štampa vizit karte. Zaposleni u štampariji radi brzinom od 42 vizit karte na sat i radi ceo dan - 8 sati. Ako je radio brže i odštampao 48 vizitkarti za sat vremena, koliko bi ranije mogao otići kući?
Pratimo dokazani put i pravimo dijagram prema uslovima problema, označavajući željenu vrijednost kao x:
↓ 42 vizit karte/sat – 8 sati
↓ 48 vizitkarti/h – x h
Nazad ispred nas proporcionalna zavisnost: koliko puta više vizitkarti odštampa zaposleni u štampariji po satu, isto toliko puta manje vremena će mu trebati da završi isti posao. Znajući ovo, napravimo proporciju:
42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 sati.
Dakle, pošto je posao završio za 7 sati, radnik štamparije je mogao da ide kući sat ranije.
Zaključak
Čini nam se da su ovi problemi inverzne proporcionalnosti zaista jednostavni. Nadamo se da sada i vi o njima razmišljate na taj način. A najvažnije je da vam znanje o obrnuto proporcionalnoj zavisnosti količina zaista može biti korisno više puta.
Ne samo na časovima matematike i ispitima. Ali čak i tada, kada se spremite za put, u kupovinu, odlučite da zaradite malo više novca tokom praznika itd.
Recite nam u komentarima koje primjere inverznih i direktno proporcionalnih odnosa primjećujete oko sebe. Neka bude takva igra. Vidjet ćete kako je uzbudljivo. Ne zaboravite podijeliti ovaj članak na na društvenim mrežama tako da i vaši prijatelji i drugovi iz razreda mogu da se igraju.
blog.site, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelimično, potrebna je veza do originalnog izvora.
Primjer
1,6 / 2 = 0,8; 4 / 5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8, itd.Faktor proporcionalnosti
Konstantni odnos proporcionalnih veličina se naziva faktor proporcionalnosti. Koeficijent proporcionalnosti pokazuje koliko je jedinica jedne veličine po jedinici druge.
Direktna proporcionalnost
Direktna proporcionalnost- funkcionalna zavisnost, u kojoj određena veličina zavisi od druge veličine na način da njihov odnos ostaje konstantan. Drugim riječima, ove varijable se mijenjaju proporcionalno, u jednakim udjelima, to jest, ako se argument dvaput promijeni u bilo kojem smjeru, tada se i funkcija mijenja dvaput u istom smjeru.
Matematički, direktna proporcionalnost se piše kao formula:
f(x) = ax,a = const
Inverzna proporcionalnost
Inverzna proporcionalnost- ovo je funkcionalna ovisnost, u kojoj povećanje nezavisne vrijednosti (argumenta) uzrokuje proporcionalno smanjenje zavisne vrijednosti (funkcije).
Matematički, inverzna proporcionalnost se piše kao formula:
Svojstva funkcije:
Izvori
Wikimedia fondacija. 2010.
Primjer
1,6 / 2 = 0,8; 4 / 5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8, itd.Faktor proporcionalnosti
Konstantni odnos proporcionalnih veličina se naziva faktor proporcionalnosti. Koeficijent proporcionalnosti pokazuje koliko je jedinica jedne veličine po jedinici druge.
Direktna proporcionalnost
Direktna proporcionalnost- funkcionalna zavisnost, u kojoj određena veličina zavisi od druge veličine na način da njihov odnos ostaje konstantan. Drugim riječima, ove varijable se mijenjaju proporcionalno, u jednakim udjelima, to jest, ako se argument dvaput promijeni u bilo kojem smjeru, tada se i funkcija mijenja dvaput u istom smjeru.
Matematički, direktna proporcionalnost se piše kao formula:
f(x) = ax,a = const
Inverzna proporcionalnost
Inverzna proporcionalnost- ovo je funkcionalna ovisnost, u kojoj povećanje nezavisne vrijednosti (argumenta) uzrokuje proporcionalno smanjenje zavisne vrijednosti (funkcije).
Matematički, inverzna proporcionalnost se piše kao formula:
Svojstva funkcije:
Izvori
Wikimedia fondacija. 2010.
§ 129. Preliminarna pojašnjenja.
Čovjek se stalno bavi raznim količinama. Zaposlenik i radnik pokušavaju doći na posao do određenog vremena, pješak žuri da stigne do poznato mjesto Ukratko, ložač parnog grijanja zabrinut je da temperatura u kotlu polako raste, poslovni rukovodilac kuje planove za smanjenje troškova proizvodnje itd.
Takvih primjera može se navesti bilo koji broj. Vrijeme, udaljenost, temperatura, cijena - sve su to razne količine. U prvom i drugom dijelu ove knjige upoznali smo se sa nekim posebno uobičajenim veličinama: površina, zapremina, težina. Sa mnogim se količinama susrećemo kada proučavamo fiziku i druge nauke.
Zamislite da putujete vozom. S vremena na vrijeme pogledate na sat i primijetite koliko ste dugo na putu. Kažete, na primjer, da je prošlo 2, 3, 5, 10, 15 sati otkako je vaš voz krenuo, itd. Ovi brojevi predstavljaju različite vremenske periode; nazivaju se vrijednostima ove količine (vrijeme). Ili gledate kroz prozor i pratite stupove da vidite udaljenost koju vaš voz putuje. Pred vama trepere brojevi 110, 111, 112, 113, 114 km. Ovi brojevi predstavljaju različite udaljenosti kojom je voz prošao od polazišta. Nazivaju se i vrijednostima, ovog puta različite veličine (put ili udaljenost između dvije tačke). Dakle, jedna veličina, na primjer vrijeme, udaljenost, temperatura, može preuzeti isto toliko različita značenja.
Imajte na umu da osoba gotovo nikada ne razmatra samo jednu veličinu, već je uvijek povezuje sa nekim drugim veličinama. Mora da se nosi sa dva, tri i veliki broj količine Zamislite da u školu treba da stignete do 9 sati. Pogledate na sat i vidite da imate 20 minuta. Onda brzo shvatiš da li treba da ideš tramvajem ili možeš pješke do škole. Nakon razmišljanja, odlučujete da prošetate. Primijetite da ste, dok ste razmišljali, rješavali neki problem. Ovaj zadatak je postao jednostavan i poznat, jer takve probleme rješavate svaki dan. U njemu ste brzo uporedili nekoliko količina. Gledali ste na sat, što znači da ste vodili računa o vremenu, zatim ste mentalno zamišljali udaljenost od kuće do škole; na kraju ste uporedili dvije veličine: brzinu vašeg koraka i brzinu tramvaja i zaključili da dato vrijeme(20 min.) Imat ćete vremena za šetnju. Od ovoga jednostavan primjer vidite da su u našoj praksi neke veličine međusobno povezane, odnosno zavise jedna od druge
Dvanaesto poglavlje govorilo je o odnosu homogenih veličina. Na primjer, ako je jedan segment 12 m, a drugi 4 m, tada će omjer ovih segmenata biti 12: 4.
Rekli smo da je to omjer dvije homogene veličine. Drugi način da se to kaže je da je to omjer dva broja jedno ime.
Sada kada smo bolje upoznati s količinama i uveli koncept vrijednosti količine, možemo izraziti definiciju omjera na nov način. Zapravo, kada smo razmatrali dva segmenta 12 m i 4 m, govorili smo o jednoj vrijednosti - dužini, a 12 m i 4 m su samo dva različita značenja ovu vrijednost.
Stoga ćemo u budućnosti, kada počnemo govoriti o omjerima, razmatrati dvije vrijednosti jedne veličine, a omjer jedne vrijednosti veličine prema drugoj vrijednosti iste količine nazivat ćemo količnik dijeljenja prve vrijednosti do drugog.
§ 130. Vrijednosti su direktno proporcionalne.
Razmotrimo problem čiji uvjet uključuje dvije veličine: udaljenost i vrijeme.
Zadatak 1. Tijelo koje se kreće pravolinijski i ravnomjerno svake sekunde pređe 12 cm Odredi put koji tijelo pređe za 2, 3, 4, ..., 10 sekundi.
Kreirajmo tabelu koja se može koristiti za praćenje promjena u vremenu i udaljenosti.
Tabela nam daje priliku da uporedimo ove dvije serije vrijednosti. Iz toga vidimo da kada se vrijednosti prve veličine (vrijeme) postepeno povećavaju za 2, 3,..., 10 puta, onda se vrijednosti druge veličine (udaljenosti) također povećavaju za 2, 3, ..., 10 puta. Dakle, kada se vrijednosti jedne veličine povećaju nekoliko puta, vrijednosti druge veličine rastu za isti iznos, a kada se vrijednosti jedne veličine smanje nekoliko puta, vrijednosti druge veličine se smanjuju za isti broj.
Razmotrimo sada problem koji uključuje dvije takve veličine: količinu materije i njenu cijenu.
Zadatak 2. 15 m tkanine košta 120 rubalja. Izračunajte cijenu ove tkanine za nekoliko drugih količina metara navedenih u tabeli.
Pomoću ove tablice možemo pratiti kako se cijena proizvoda postepeno povećava ovisno o povećanju njegove količine. Uprkos činjenici da ovaj problem uključuje potpuno različite količine (u prvom problemu - vrijeme i udaljenost, a ovdje - količina robe i njena vrijednost), ipak se mogu pronaći velike sličnosti u ponašanju ovih količina.
Zapravo, u gornjem redu tabele nalaze se brojevi koji označavaju broj metara tkanine; ispod svakog od njih nalazi se broj koji izražava cenu odgovarajuće količine robe. Čak i brzi pogled na ovu tabelu pokazuje da se brojevi u gornjim i donjim redovima povećavaju; pažljivijim pregledom tabele i poređenjem pojedinih kolona, otkriva se da se u svim slučajevima vrednosti druge veličine povećavaju za isti broj puta kao i vrednosti prve, tj. prva količina se poveća, recimo, 10 puta, zatim se vrijednost druge količine također poveća 10 puta.
Ako pogledamo tabelu s desna na lijevo, vidjet ćemo da će se naznačene vrijednosti količina smanjiti za isti broj puta. U tom smislu postoji bezuslovna sličnost između prvog i drugog zadatka.
Parovi veličina koje smo naišli u prvom i drugom zadatku nazivaju se direktno proporcionalno.
Dakle, ako su dvije veličine povezane jedna s drugom na način da kako se vrijednost jedne od njih povećava (smanjuje) nekoliko puta, vrijednost druge raste (smanjuje) za isti iznos, tada se takve veličine nazivaju direktno proporcionalne .
Za takve količine se takođe kaže da su međusobno povezane direktno proporcionalnim odnosom.
Mnogo je sličnih količina koje se nalaze u prirodi i životu oko nas. Evo nekoliko primjera:
1. Vrijeme rad (dan, dva dana, tri dana, itd.) i zarade, primljeno tokom ovog perioda sa dnevnim nadnicama.
2. Volume bilo koji predmet napravljen od homogenog materijala, i težina ovu stavku.
§ 131. Svojstvo direktno proporcionalnih veličina.
Uzmimo problem koji uključuje sljedeće dvije veličine: radno vrijeme i zarade. Ako je dnevna zarada 20 rubalja, tada će zarada za 2 dana biti 40 rubalja, itd. Najpogodnije je napraviti tabelu u kojoj će određeni broj dana odgovarati određenoj zaradi.
Gledajući ovu tabelu, vidimo da su obje veličine imale 10 različitih vrijednosti. Svaka vrijednost prve vrijednosti odgovara određenoj vrijednosti druge vrijednosti, na primjer, 2 dana odgovaraju 40 rubalja; 5 dana odgovara 100 rubalja. U tabeli su ovi brojevi upisani jedan ispod drugog.
Već znamo da ako su dvije veličine direktno proporcionalne, onda se svaka od njih, u procesu svoje promjene, povećava onoliko puta koliko se povećava druga. Iz ovoga odmah slijedi: ako uzmemo omjer bilo koje dvije vrijednosti prve veličine, onda će on biti jednak omjeru dvije odgovarajuće vrijednosti druge veličine. Zaista:
Zašto se ovo dešava? Ali pošto su ove vrijednosti direktno proporcionalne, odnosno kada se jedna od njih (vrijeme) poveća za 3 puta, onda se druga (zarada) poveća za 3 puta.
Stoga smo došli do sljedećeg zaključka: ako uzmemo dvije vrijednosti prve veličine i podijelimo ih jednu s drugom, a zatim podijelimo s jednom odgovarajuće vrijednosti druge veličine, tada ćemo u oba slučaja dobiti isti broj, odnosno isti odnos. To znači da se dva odnosa koja smo gore napisali mogu povezati znakom jednakosti, tj.
Nema sumnje da ako uzmemo ne ove odnose, već druge, i to ne tim redoslijedom, već obrnutim redoslijedom, dobili bismo i jednakost odnosa. U stvari, razmotrit ćemo vrijednosti naših količina s lijeva na desno i uzeti treću i devetu vrijednost:
60:180 = 1 / 3 .
Tako da možemo napisati:
Ovo dovodi do sljedećeg zaključka: ako su dvije veličine direktno proporcionalne, tada je omjer dvije proizvoljno uzete vrijednosti prve veličine jednak omjeru dvije odgovarajuće vrijednosti druge veličine.
§ 132. Formula direktne proporcionalnosti.
Napravimo tabelu troškova raznih količina slatkiša, ako 1 kg njih košta 10,4 rubalja.
Uradimo to na ovaj način. Uzmite bilo koji broj u drugom redu i podijelite ga odgovarajućim brojem u prvom redu. Na primjer:
Vidite da se u količniku stalno dobija isti broj. Prema tome, za dati par direktno proporcionalnih veličina, količnik dijeljenja bilo koje vrijednosti jedne veličine sa odgovarajućom vrijednošću druge količine je konstantan broj (tj., ne mijenja se). U našem primjeru, ovaj količnik je 10,4. Ovaj konstantni broj naziva se faktor proporcionalnosti. U ovom slučaju izražava cijenu mjerne jedinice, odnosno jednog kilograma robe.
Kako pronaći ili izračunati koeficijent proporcionalnosti? Da biste to učinili, morate uzeti bilo koju vrijednost jedne količine i podijeliti je s odgovarajućom vrijednošću druge.
Označimo ovu proizvoljnu vrijednost jedne veličine slovom at , i odgovarajuću vrijednost druge količine - slovo X , zatim koeficijent proporcionalnosti (označavamo ga TO) nalazimo po dijeljenju:
U ovoj jednakosti at - djeljiv, X - djelitelj i TO- količnik, a pošto je po svojstvu dijeljenja dividenda jednaka djelitelju pomnoženom s količnikom, možemo napisati:
y = K x
Rezultirajuća jednakost se zove formula direktne proporcionalnosti. Koristeći ovu formulu, možemo izračunati bilo koji broj vrijednosti jedne od direktno proporcionalnih veličina ako znamo odgovarajuće vrijednosti druge veličine i koeficijent proporcionalnosti.
Primjer. Iz fizike znamo tu težinu R bilo kojeg tijela jednaka je njegovoj specifičnoj težini d , pomnoženo sa zapreminom ovog tijela V, tj. R = d V.
Uzmimo pet željeznih šipki različite zapremine; Poznavajući specifičnu težinu željeza (7.8), možemo izračunati težinu ovih ingota koristeći formulu:
R = 7,8 V.
Poređenje ove formule sa formulom at = TO X , vidimo to y = R, x = V, i koeficijent proporcionalnosti TO= 7.8. Formula je ista, samo se slova razlikuju.
Koristeći ovu formulu, napravimo tabelu: neka volumen 1. praznine bude jednak 8 kubnih metara. cm, tada je njegova težina 7,8 8 = 62,4 (g). Zapremina 2. blanka je 27 kubnih metara. cm Njegova težina je 7,8 27 = 210,6 (g). Tabela će izgledati ovako:
Izračunajte brojeve koji nedostaju u ovoj tabeli koristeći formulu R= d V.
§ 133. Druge metode rešavanja zadataka sa direktno proporcionalnim veličinama.
U prethodnom pasusu smo riješili zadatak čiji je uvjet uključivao direktno proporcionalne veličine. U tu svrhu prvo smo izveli formulu direktne proporcionalnosti, a zatim primijenili ovu formulu. Sada ćemo pokazati još dva načina rješavanja sličnih problema.
Hajde da napravimo problem koristeći numeričke podatke date u tabeli u prethodnom paragrafu.
Zadatak. Prazan sa zapreminom od 8 kubnih metara. cm teži 62,4 g. Koliko će težiti prazan prostor zapremine 64 kubna metra? cm?
Rješenje. Težina gvožđa, kao što je poznato, proporcionalna je njegovoj zapremini. Ako 8 cu. cm težine 62,4 g, zatim 1 cu. cm će težiti 8 puta manje, tj.
62,4:8 = 7,8 (g).
Prazan sa zapreminom od 64 kubna metra. cm će težiti 64 puta više od prazne površine od 1 kubnog metra. cm, tj.
7,8 64 = 499,2 (g).
Naš problem smo riješili svođenjem na jedinstvo. Značenje ovog naziva opravdano je činjenicom da smo da bismo ga riješili morali pronaći težinu jedinice volumena u prvom pitanju.
2. Metoda proporcije. Rešimo isti problem metodom proporcija.
Pošto su težina gvožđa i njegova zapremina direktno proporcionalne veličine, odnos dve vrednosti jedne količine (volumena) jednak je odnosu dve odgovarajuće vrednosti druge količine (težine), tj.
(pismo R odredili smo nepoznatu težinu blanko). Odavde:
(G).
Problem je riješen metodom proporcija. To znači da je za njegovo rješavanje sastavljena proporcija od brojeva uključenih u uvjet.
§ 134. Vrijednosti su obrnuto proporcionalne.
Razmislite o sljedećem problemu: „Pet zidara može postaviti zidove kuće od cigle za 168 dana. Odredite za koliko dana bi 10, 8, 6 itd. zidari mogli završiti isti posao.”
Ako bi 5 zidara postavilo zidove kuće za 168 dana, onda bi (uz istu produktivnost rada) 10 zidara to moglo učiniti za upola kraće vrijeme, jer u prosjeku 10 ljudi radi duplo više posla od 5 ljudi.
Napravimo tabelu po kojoj bismo mogli pratiti promjene broja radnika i radnih sati.
Na primjer, da biste saznali koliko je dana potrebno 6 radnika, prvo morate izračunati koliko je dana potrebno jednom radniku (168 5 = 840), a zatim koliko je dana potrebno šest radnika (840: 6 = 140). Gledajući ovu tabelu, vidimo da su obje veličine poprimile šest različitih vrijednosti. Svaka vrijednost prve veličine odgovara određenoj; vrijednost druge vrijednosti, na primjer, 10 odgovara 84, broj 8 odgovara broju 105, itd.
Ako razmotrimo vrijednosti obje veličine s lijeva na desno, vidjet ćemo da se vrijednosti gornje veličine povećavaju, a vrijednosti donje smanjuju. Povećanje i smanjenje podliježu sljedećem zakonu: vrijednosti broja radnika se povećavaju za isto vrijeme koliko se smanjuju vrijednosti utrošenog radnog vremena. Ova ideja se može još jednostavnije izraziti na sljedeći način: što je više radnika angažirano na bilo kojem zadatku, manje im je vremena potrebno da završe određeni posao. Dvije veličine na koje smo naišli u ovom problemu nazivaju se obrnuto proporcionalno.
Dakle, ako su dvije veličine povezane jedna s drugom na način da kako se vrijednost jedne od njih povećava (smanjuje) nekoliko puta, vrijednost druge opada (povećava) za isti iznos, tada se takve veličine nazivaju obrnuto proporcionalne .
Postoji mnogo sličnih količina u životu. Navedimo primjere.
1. Ako za 150 rubalja. Ako trebate kupiti nekoliko kilograma slatkiša, broj slatkiša ovisit će o cijeni jednog kilograma. Što je cijena viša, manje robe možete kupiti za ovaj novac; ovo se vidi iz tabele:
Kako cijena slatkiša raste nekoliko puta, broj kilograma slatkiša koji se mogu kupiti za 150 rubalja smanjuje se za isti iznos. U ovom slučaju, dvije količine (težina proizvoda i njegova cijena) su obrnuto proporcionalne.
2. Ako je razdaljina između dva grada 1.200 km, onda se može preći u različitim vremenima u zavisnosti od brzine kretanja. Postoji Različiti putevi prevoz: pješice, na konju, biciklom, čamcem, automobilom, vozom, avionom. Što je brzina manja, to je više vremena potrebno za kretanje. Ovo se može videti iz tabele:
Sa povećanjem brzine nekoliko puta, vrijeme putovanja se smanjuje za isti iznos. To znači da su u ovim uslovima brzina i vreme obrnuto proporcionalne veličine.
§ 135. Svojstvo obrnuto proporcionalnih veličina.
Uzmimo drugi primjer, koji smo pogledali u prethodnom pasusu. Tu smo se bavili dvije veličine – brzinom i vremenom. Ako pogledamo tablicu vrijednosti ovih veličina s lijeva na desno, vidjet ćemo da se vrijednosti prve veličine (brzine) povećavaju, a vrijednosti druge (vrijeme) smanjuju, a brzina se povećava za isti iznos kako se vrijeme smanjuje. Nije teško razumjeti da ako napišete omjer nekih vrijednosti jedne veličine, onda on neće biti jednak omjeru odgovarajućih vrijednosti druge veličine. Zapravo, ako uzmemo omjer četvrte vrijednosti gornje i sedme vrijednosti (40:80), onda neće biti jednak omjeru četvrte i sedme vrijednosti donje vrijednosti (30: 15). Može se napisati ovako:
40:80 nije jednako 30:15, ili 40:80 =/=30:15.
Ali ako umjesto jedne od ovih relacija uzmemo suprotnu, onda ćemo dobiti jednakost, tj. iz ovih relacija će biti moguće stvoriti proporciju. Na primjer:
80: 40 = 30: 15,
40: 80 = 15: 30."
Na osnovu prethodno navedenog, možemo izvući sljedeći zaključak: ako su dvije veličine obrnuto proporcionalne, tada je omjer dvije proizvoljno uzete vrijednosti jedne veličine jednak inverznom omjeru odgovarajućih vrijednosti druge veličine.
§ 136. Formula obrnute proporcionalnosti.
Razmotrite problem: „Postoji 6 komada svilene tkanine različitih veličina i različitih kvaliteta. Svi komadi koštaju isto. Jedan komad sadrži 100 m tkanine po cijeni od 20 rubalja. po metru Koliko metara ima svaki od ostalih pet komada, ako metar tkanine u ovim komadima košta 25, 40, 50, 80, 100 rubalja? Da riješimo ovaj problem, napravimo tabelu:
Moramo popuniti prazne ćelije u gornjem redu ove tabele. Pokušajmo prvo da odredimo koliko metara ima u drugom komadu. To se može uraditi na sljedeći način. Iz uslova zadatka je poznato da je cijena svih komada ista. Trošak prvog komada je lako odrediti: sadrži 100 metara i svaki metar košta 20 rubalja, što znači da prvi komad svile vrijedi 2.000 rubalja. Budući da drugi komad svile sadrži istu količinu rubalja, onda, podijelivši 2.000 rubalja. za cijenu jednog metra, odnosno 25, nalazimo veličinu drugog komada: 2.000 : 25 = 80 (m). Na isti način ćemo pronaći veličinu svih ostalih komada. Tabela će izgledati ovako:
Lako je uočiti da postoji obrnuto proporcionalna veza između broja metara i cijene.
Ako sami izvršite potrebne proračune, primijetit ćete da svaki put morate podijeliti broj 2.000 sa cijenom od 1 m. Naprotiv, ako sada počnete množiti veličinu komada u metrima s cijenom od 1 m , uvek ćete dobiti broj 2000. Ovo i trebalo je sačekati, pošto svaki komad košta 2000 rubalja.
Odavde možemo izvući sljedeći zaključak: za dati par obrnuto proporcionalnih veličina, proizvod bilo koje vrijednosti jedne veličine na odgovarajuću vrijednost druge veličine je konstantan broj (tj. ne mijenja se).
U našem zadatku ovaj proizvod je jednak 2000. Provjerite da je u prethodnom zadatku, koji je govorio o brzini kretanja i vremenu potrebnom za prelazak iz jednog grada u drugi, postojao konstantan broj za taj zadatak (1200).
Uzimajući sve u obzir, lako je izvesti formulu obrnute proporcionalnosti. Označimo slovom određenu vrijednost jedne veličine X , a odgovarajuća vrijednost druge veličine je predstavljena slovom at . Zatim, na osnovu navedenog, rad X on at mora biti jednaka nekoj konstantnoj vrijednosti, koju označavamo slovom TO, tj.
x y = TO.
U ovoj jednakosti X - množenik at - množitelj i K- posao. Prema svojstvu množenja, množitelj je jednak umnošku podijeljenom sa množenjem. znači,
Ovo je formula obrnute proporcionalnosti. Koristeći ga, možemo izračunati bilo koji broj vrijednosti jedne od obrnuto proporcionalnih veličina, znajući vrijednosti druge i konstantan broj TO.
Razmotrimo još jedan problem: „Autor jednog eseja izračunao je da ako je njegova knjiga u redovnom formatu, onda će imati 96 stranica, ali ako je džepni format, onda će imati 300 stranica. Pokušao je različite varijante, počeo je sa 96 stranica, a onda je imao 2.500 slova po stranici. Zatim je uzeo brojeve stranica prikazane u tabeli ispod i ponovo izračunao koliko bi slova bilo na stranici.”
Pokušajmo izračunati koliko će slova biti na stranici ako knjiga ima 100 stranica.
U cijeloj knjizi ima 240.000 slova, pošto je 2.500 96 = 240.000.
Uzimajući ovo u obzir, koristimo formulu obrnute proporcionalnosti ( at - broj slova na stranici, X - broj stranica):
U našem primjeru TO= 240.000 dakle
Dakle, na stranici ima 2.400 slova.
Slično tome, saznajemo da ako knjiga ima 120 stranica, tada će broj slova na stranici biti:
Naša tabela će izgledati ovako:
Preostale ćelije popunite sami.
§ 137. Druge metode rješavanja zadataka sa obrnuto proporcionalnim veličinama.
U prethodnom pasusu smo rješavali zadatke čiji su uvjeti uključivali obrnuto proporcionalne veličine. Prvo smo izveli formulu obrnute proporcionalnosti, a zatim primijenili ovu formulu. Sada ćemo pokazati još dva rješenja za takve probleme.
1. Metoda svođenja na jedinstvo.
Zadatak. 5 strugara može obaviti neke poslove za 16 dana. Za koliko dana 8 strugara može završiti ovaj posao?
Rješenje. Postoji inverzna veza između broja obrtnika i radnih sati. Ako 5 strugara obavi posao za 16 dana, onda će jednoj osobi za to trebati 5 puta više vremena, tj.
5 strugara završi posao za 16 dana,
1 strugar će ga završiti za 16 5 = 80 dana.
Problem postavlja pitanje koliko će dana trebati 8 strugara da završe posao. Očigledno, oni će se nositi s poslom 8 puta brže od 1 okretača, tj
80: 8 = 10 (dana).
Ovo je rješenje problema svođenjem na jedinstvo. Ovdje je bilo potrebno prije svega odrediti vrijeme potrebno da jedan radnik završi posao.
2. Metoda proporcije. Rešimo isti problem na drugi način.
Pošto postoji obrnuto proporcionalna veza između broja radnika i radnog vremena, možemo napisati: trajanje rada 5 strugara novi broj strugara (8) trajanje rada 8 strugara prethodni broj strugara (5) Označimo potrebno trajanje rada po dopisu X i zamijeni potrebne brojeve u proporciju izraženu riječima:
Isti problem rješava se metodom proporcija. Da bismo ga riješili, morali smo kreirati proporciju od brojeva uključenih u iskaz problema.
Bilješka. U prethodnim paragrafima smo ispitali pitanje direktne i inverzne proporcionalnosti. Priroda i život nam daju mnogo primjera direktne i obrnuto proporcionalne zavisnosti veličina. Međutim, treba napomenuti da su ove dvije vrste ovisnosti samo najjednostavnije. Uz njih, postoje i druge, složenije zavisnosti između veličina. Osim toga, ne treba misliti da ako se bilo koje dvije veličine istovremeno povećavaju, onda između njih nužno postoji direktna proporcionalnost. Ovo je daleko od istine. Na primjer, putarine za željeznica povećava se ovisno o udaljenosti: što dalje putujemo, više plaćamo, ali to ne znači da je plaćanje proporcionalno udaljenosti.