Logaritam kvadratne jednadžbe. Rješavanje logaritamskih jednadžbi. Potpuni vodič (2019.)

Algebra 11. razred

Tema: “Metode rješavanja logaritamskih jednačina”

Ciljevi lekcije:

edukativni: izgrađivanje znanja o na različite načine rješavanje logaritamskih jednadžbi, sposobnost njihove primjene u svakoj konkretnoj situaciji i odabira bilo koje metode za rješavanje;

razvijanje: razvoj vještina za posmatranje, upoređivanje, primjenu znanja u novoj situaciji, utvrđivanje obrazaca, generalizacija; razvijanje vještina međusobne kontrole i samokontrole;

edukativni: negovanje odgovornog odnosa prema vaspitno-obrazovnom radu, pažljivog sagledavanja gradiva na času i pažljivog vođenja bilješki.

Vrsta lekcije : lekcija o uvođenju novog gradiva.

“Izum logaritama, dok je smanjio rad astronoma, produžio mu je život.”
Francuski matematičar i astronom P.S. Laplace

Tokom nastave

I. Postavljanje cilja časa

Proučena definicija logaritma, svojstva logaritama i logaritamske funkcije omogućit će nam rješavanje logaritamskih jednadžbi. Sve logaritamske jednadžbe, bez obzira koliko su složene, rješavaju se pomoću uniformnih algoritama. Ove algoritme ćemo pogledati u današnjoj lekciji. Nema ih mnogo. Ako ih savladate, tada će svaka jednačina sa logaritmima biti izvodljiva za svakog od vas.

Zapišite temu lekcije u svoju bilježnicu: "Metode rješavanja logaritamskih jednačina." Pozivam sve na saradnju.

II. Ažuriranje referentnog znanja

Pripremimo se za proučavanje teme lekcije. Svaki zadatak rješavate i zapisujete odgovor, ne morate pisati uvjet. Raditi u parovima.

1) Za koje vrijednosti x funkcija ima smisla:

A)

b)

V)

d)

(Odgovori se provjeravaju za svaki slajd i greške se slažu)

2) Da li se grafovi funkcija poklapaju?

a) y = x i

b)I

3) Prepiši jednakosti kao logaritamske jednakosti:

4) Zapišite brojeve kao logaritme sa bazom 2:

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) Izračunajte :

6) Pokušajte vratiti ili dopuniti elemente koji nedostaju u ovim jednakostima.

III. Uvod u novi materijal

Na ekranu se prikazuje sljedeća izjava:

“Jednačina je zlatni ključ koji otvara sve matematičke sezame.”
Moderni poljski matematičar S. Kowal

Pokušajte formulirati definiciju logaritamske jednadžbe. (Jednačina koja sadrži nepoznatu pod znakom logaritma ).

Hajde da razmotrimonajjednostavnija logaritamska jednadžba: log A x = b (gdje je a>0, a ≠ 1). Jer logaritamska funkcija povećava (ili smanjuje) na setu pozitivni brojevi i uzima sve realne vrijednosti, onda prema teoremi korijena slijedi da za bilo koje b ova jednadžba ima, i to samo jedno, rješenje, i to pozitivno.

Zapamtite definiciju logaritma. (Logaritam broja x prema osnovici a je pokazatelj stepena na koji se baza a mora podići da bi se dobio broj x ). Iz definicije logaritma to odmah slijediA V je takvo rješenje.

Zapišite naslov:Metode rješavanja logaritamskih jednačina

1. Po definiciji logaritma .

Tako se rješavaju najjednostavnije jednačine oblika.

Hajde da razmotrimobr. 514(a) ): Riješite jednačinu

Kako predlažete da se to riješi? (Po definiciji logaritma )

Rješenje . , Dakle 2x – 4 = 4; x = 4.

Odgovor: 4.

U ovom zadatku 2x – 4 > 0, pošto> 0, tako da se ne mogu pojaviti vanjski korijeni, inema potrebe za provjerom . U ovom zadatku nema potrebe pisati uslov 2x – 4 > 0.

2. Potenciranje (prelaz sa logaritma datog izraza na sam ovaj izraz).

Hajde da razmotrimobr. 519(g): log 5 ( x 2 +8)- log 5 ( x+1)=3 log 5 2

Koju ste osobinu primijetili?(Baze su iste, a logaritmi dva izraza jednaki) . Šta se može učiniti?(Potencirati).

Treba uzeti u obzir da se svako rješenje nalazi među svim x za koje su logaritamski izrazi pozitivni.

Rješenje: ODZ:

X 2 +8>0 nepotrebna nejednakost

log 5 ( x 2 +8) = log 5 2 3 + log 5 ( x+1)

log 5 ( x 2 +8)= log 5 (8 x+8)

Potencirajmo originalnu jednačinu

x 2 +8= 8 x+8

dobijamo jednačinux 2 +8= 8 x+8

Hajde da to riješimo:x 2 -8 x=0

x=0, x=8

Odgovor: 0; 8

Uglavnomprelazak na ekvivalentni sistem :

Jednačina

(Sistem sadrži redundantni uslov - jednu od nejednakosti ne treba uzeti u obzir).

Pitanje za razred : Koje vam se od ova tri rješenja najviše svidjelo? (Rasprava o metodama).

Imate pravo da odlučite na bilo koji način.

3. Uvođenje nove varijable .

Hajde da razmotrimobr. 520(g) . .

Šta ste primetili? (Ovo je kvadratna jednadžba u odnosu na log3x) Vaši prijedlozi? (Uvedite novu varijablu)

Rješenje . ODZ: x > 0.

Neka, tada će jednačina poprimiti oblik:. Diskriminant D > 0. Korijeni prema Vietinoj teoremi:.

Da se vratimo na zamjenu:ili.

Nakon što smo riješili najjednostavnije logaritamske jednadžbe, dobili smo:

; .

Odgovori : 27;

4. Logaritam obje strane jednačine.

Riješite jednačinu:.

Rješenje : ODZ: x>0, uzmimo logaritam obje strane jednačine u bazi 10:

. Primijenimo svojstvo logaritma stepena:

(lgx + 3) lgx =

(logx + 3) logx = 4

Neka je logx = y, tada je (y + 3)y = 4

, (D > 0) korijeni prema Vietinoj teoremi: y1 = -4 i y2 = 1.

Vratimo se na zamjenu, dobijamo: lgx = -4,; logx = 1,. . To je kako slijedi: ako je jedna od funkcija y = f(x) povećava, a drugo y = g(x) opada na intervalu X, onda jednačina f(x)= g(x) ima najviše jedan korijen na intervalu X .

Ako postoji korijen, onda se može pogoditi. .

Odgovori : 2

« Ispravna upotreba metode se mogu naučiti
samo primjenjujući ih na razne primjere.”
Danski istoričar matematike G. G. Zeiten

I V. Zadaća

P. 39 razmotriti primjer 3, riješiti br. 514(b), br. 529(b), br. 520(b), br. 523(b)

V. Sumiranje lekcije

Koje metode rješavanja logaritamskih jednačina smo gledali na času?

U narednim lekcijama ćemo pogledati više složene jednačine. Za njihovo rješavanje bit će korisne proučavane metode.

Prikazan posljednji slajd:

“Šta je više od svega na svijetu?
Prostor.
Šta je najmudrije?
Vrijeme.
koji je najbolji dio?
Postignite ono što želite."
Tales

Želim svima da postignu ono što žele. Hvala vam na saradnji i razumevanju.

Završni video zapisi u dugoj seriji lekcija o rješavanju logaritamskih jednadžbi. Ovaj put ćemo prvenstveno raditi sa ODZ logaritma – upravo zbog pogrešnog razmatranja (ili čak zanemarivanja) domena definicije najviše grešaka nastaje prilikom rješavanja ovakvih problema.

U ovoj kratkoj video lekciji ćemo se osvrnuti na upotrebu formula za sabiranje i oduzimanje logaritama, a takođe ćemo se pozabaviti i razlomcima racionalnih jednačina, sa kojima mnogi učenici takođe imaju problema.

O čemu ćemo razgovarati? Glavna formula koju bih želio razumjeti izgleda ovako:

log a (f g ) = log a f + log a g

Ovo je standardni prijelaz sa proizvoda na zbir logaritama i nazad. Vjerovatno znate ovu formulu od samog početka proučavanja logaritama. Međutim, postoji jedan problem.

Sve dok su varijable a, f i g obični brojevi, nema problema. Ova formula radi odlično.

Međutim, čim se umjesto f i g pojave funkcije, javlja se problem proširenja ili sužavanja domene definicije ovisno o tome u kojem smjeru transformirati. Procijenite sami: u logaritmu napisanom lijevo, domen definicije je sljedeći:

fg > 0

Ali u količini napisanoj desno, domen definicije je već nešto drugačiji:

f > 0

g > 0

Ovaj skup zahtjeva je stroži od prvobitnog. U prvom slučaju ćemo se zadovoljiti opcijom f< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 se izvršava).

Dakle, pri prelasku sa lijeve konstrukcije na desnu dolazi do sužavanja domena definicije. Ako smo u početku imali zbroj, pa ga prepišemo u obliku proizvoda, onda se domen definicije širi.

Drugim riječima, u prvom slučaju mogli bismo izgubiti korijenje, au drugom bismo mogli dobiti dodatne. Ovo se mora uzeti u obzir prilikom rješavanja realnih logaritamskih jednačina.

Dakle, prvi zadatak:

[Natpis za sliku]

Na lijevoj strani vidimo zbir logaritama koji koriste istu bazu. Stoga se ovi logaritmi mogu dodati:

[Natpis za sliku]

Kao što vidite, na desnoj strani zamijenili smo nulu koristeći formulu:

a = log b b a

Hajdemo još malo da preuredimo našu jednačinu:

log 4 (x − 5) 2 = log 4 1

Pred nama je kanonski oblik logaritamske jednadžbe; možemo precrtati log znak i izjednačiti argumente:

(x − 5) 2 = 1

|x − 5| = 1

Napomena: odakle je došao modul? Da vas podsjetim da je korijen tačnog kvadrata jednak modulu:

[Natpis za sliku]

Zatim rješavamo klasičnu jednačinu sa modulom:

|f | = g (g > 0) ⇒f = ±g

x − 5 = ±1 ⇒x 1 = 5 − 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6

Evo dva odgovora kandidata. Jesu li oni rješenje originalne logaritamske jednadžbe? Nema šanse!

Nemamo pravo sve ostaviti samo tako i zapisati odgovor. Pogledajte korak u kojem zamjenjujemo zbir logaritama jednim logaritmom proizvoda argumenata. Problem je što u originalnim izrazima imamo funkcije. Stoga bi vam trebalo:

x(x − 5) > 0; (x − 5)/x > 0.

Kada smo transformisali proizvod, dobijajući tačan kvadrat, promenili su se zahtevi:

(x − 5) 2 > 0

Kada je ovaj uslov ispunjen? Da, skoro uvek! Osim u slučaju kada je x − 5 = 0. To jest nejednakost će se svesti na jednu probušenu tačku:

x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5

Kao što vidite, proširio se obim definicije, o čemu smo govorili na samom početku lekcije. Posljedično, mogu se pojaviti dodatni korijeni.

Kako možete spriječiti pojavu ovih dodatnih korijena? Vrlo je jednostavno: gledamo naše dobivene korijene i upoređujemo ih s domenom definicije izvorne jednadžbe. izbrojimo:

x (x − 5) > 0

Riješit ćemo metodom intervala:

x (x − 5) = 0 ⇒ x = 0; x = 5

Rezultirajuće brojeve označavamo na liniji. Nedostaju sve tačke jer je nejednakost stroga. Uzmi bilo koji broj veći od 5 i zamijeni:

[Natpis za sliku]

Zanimaju nas intervali (−∞; 0) ∪ (5; ∞). Ako na segmentu označimo naše korijene, vidjet ćemo da nam x = 4 ne odgovara, jer se taj korijen nalazi izvan domene definicije originalne logaritamske jednadžbe.

Vraćamo se na ukupnost, precrtavamo korijen x = 4 i zapisujemo odgovor: x = 6. Ovo je konačni odgovor na originalnu logaritamsku jednačinu. To je to, problem rešen.

Pređimo na drugu logaritamsku jednačinu:

[Natpis za sliku]

Hajde da to rešimo. Imajte na umu da je prvi član razlomak, a drugi isti razlomak, ali obrnut. Nemojte se plašiti izraza lgx - to je samo decimalni logaritam, možemo ga napisati:

lgx = log 10 x

Pošto imamo dva obrnuta razlomka, predlažem uvođenje nove varijable:

[Natpis za sliku]

Stoga se naša jednačina može prepisati na sljedeći način:

t + 1/t = 2;

t + 1/t − 2 = 0;

(t 2 − 2t + 1)/t = 0;

(t − 1) 2 /t = 0.

Kao što vidite, brojilac razlomka je tačan kvadrat. Razlomak je jednak nuli kada mu je brojilac jednak nuli, a imenilac je različit od nule:

(t − 1) 2 = 0; t ≠ 0

Rešimo prvu jednačinu:

t − 1 = 0;

t = 1.

Ova vrijednost zadovoljava drugi zahtjev. Stoga možemo reći da smo u potpunosti riješili našu jednačinu, ali samo u odnosu na varijablu t. Sada se prisjetimo šta je t:

[Natpis za sliku]

Dobili smo proporciju:

logx = 2 logx + 1

2 logx − logx = −1

logx = −1

Ovu jednačinu dovodimo do njenog kanonskog oblika:

logx = log 10 −1

x = 10 −1 = 0,1

Kao rezultat, dobili smo jedan korijen, koji je, u teoriji, rješenje originalne jednadžbe. Ipak, igrajmo na sigurno i napišimo domenu definicije originalne jednadžbe:

[Natpis za sliku]

Dakle, naš root zadovoljava sve zahtjeve. Pronašli smo rješenje originalne logaritamske jednadžbe. Odgovor: x = 0,1. Problem je riješen.

Postoji samo jedna ključna točka u današnjoj lekciji: kada koristite formulu za pomicanje od proizvoda do zbroja i nazad, vodite računa da se opseg definicije može suziti ili proširiti ovisno o tome u kojem smjeru se prijelaz vrši.

Kako razumjeti šta se dešava: kontrakcija ili ekspanzija? Veoma jednostavno. Ako su ranije funkcije bile zajedno, a sada su odvojene, onda se opseg definicije suzio (jer ima više zahtjeva). Ako su u početku funkcije stajale odvojeno, a sada su zajedno, onda je domen definicije proširen (manje zahtjeva se nameće proizvodu nego pojedinačnim faktorima).

Uzimajući u obzir ovu napomenu, želio bih napomenuti da druga logaritamska jednadžba uopće ne zahtijeva ove transformacije, odnosno nigdje ne sabiramo niti množimo argumente. Međutim, ovdje bih vam skrenuo pažnju na još jednu divnu tehniku ​​koja može značajno pojednostaviti rješenje. Radi se o zamjeni varijable.

Međutim, zapamtite da nas nikakve zamjene ne oslobađaju opsega definicije. Zato nakon što su svi korijeni pronađeni, nismo lijeni i vratili smo se na prvobitnu jednačinu da pronađemo njen ODZ.

Često, prilikom zamjene varijable, dolazi do dosadne greške kada učenici pronađu vrijednost t i misle da je rješenje potpuno. Nema šanse!

Nakon što ste pronašli vrijednost t, morate se vratiti na prvobitnu jednačinu i vidjeti šta smo tačno mislili sa ovim slovom. Kao rezultat, moramo riješiti još jednu jednadžbu, koja će, međutim, biti mnogo jednostavnija od originalne.

To je upravo poenta uvođenja nove varijable. Prvobitnu jednačinu podijelimo na dvije međusobne, od kojih svaka ima mnogo jednostavnije rješenje.

Kako riješiti "ugniježđene" logaritamske jednadžbe

Danas nastavljamo sa proučavanjem logaritamskih jednadžbi i analiziraćemo konstrukcije kada je jedan logaritam pod znakom drugog logaritma. Obje jednačine ćemo riješiti koristeći kanonski oblik.

Danas nastavljamo da proučavamo logaritamske jednačine i analiziraćemo konstrukcije kada je jedan logaritam pod znakom drugog. Obje jednačine ćemo riješiti koristeći kanonski oblik. Da vas podsjetim da ako imamo najjednostavniju logaritamsku jednačinu oblika log a f (x) = b, tada za rješavanje takve jednačine izvodimo sljedeće korake. Prije svega, trebamo zamijeniti broj b:

b = log a a b

Napomena: a b je argument. Slično, u originalnoj jednačini, argument je funkcija f(x). Zatim prepisujemo jednačinu i dobijamo ovu konstrukciju:

log a f (x) = log a a b

Tada možemo izvesti treći korak - osloboditi se znaka logaritma i jednostavno napisati:

f (x) = a b

Kao rezultat, dobijamo novu jednačinu. U ovom slučaju nema ograničenja na funkciju f (x). Na primjer, logaritamska funkcija također može zauzeti njeno mjesto. I tada ćemo opet dobiti logaritamsku jednačinu, koju ćemo opet svesti na njen najjednostavniji oblik i riješiti kroz kanonski oblik.

Međutim, dosta tekstova. Hajde da rešimo pravi problem. Dakle, zadatak broj 1:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = 2

Kao što vidite, imamo jednostavnu logaritamsku jednačinu. Uloga f (x) je konstrukcija 1 + 3 log 2 x, a uloga broja b je broj 2 (ulogu a imaju i dvojica). Prepišimo ovo dvoje na sljedeći način:

Važno je shvatiti da su nam prve dvije dvije došle iz baze logaritma, tj. da je u originalnoj jednačini bilo 5, onda bismo dobili da je 2 = log 5 5 2. Općenito, baza ovisi isključivo o logaritmu koji je izvorno dat u zadatku. A u našem slučaju ovo je broj 2.

Dakle, prepisujemo našu logaritamsku jednačinu uzimajući u obzir činjenicu da je dva desno zapravo također logaritam. Dobijamo:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = log 2 4

Prijeđimo na posljednji korak naše sheme - oslobađanje od kanonskog oblika. Moglo bi se reći, jednostavno precrtavamo znakove balvana. Međutim, s matematičke točke gledišta, nemoguće je "precrtati dnevnik" - ispravnije bi bilo reći da jednostavno izjednačavamo argumente:

1 + 3 log 2 x = 4

Odavde možemo lako pronaći 3 log 2 x:

3 log 2 x = 3

log 2 x = 1

Ponovo smo dobili najjednostavniju logaritamsku jednačinu, vratimo je u kanonski oblik. Da bismo to uradili potrebno je da izvršimo sledeće promene:

1 = log 2 2 1 = log 2 2

Zašto je dvojka u bazi? Jer u našoj kanonskoj jednadžbi na lijevoj strani postoji logaritam tačno na osnovu 2. Prepisujemo problem uzimajući u obzir ovu činjenicu:

log 2 x = log 2 2

Ponovo se oslobađamo znaka logaritma, tj. jednostavno izjednačavamo argumente. Na to imamo pravo jer su baze iste, a nikakve dodatne radnje nisu vršene ni s desne ni s lijeve strane:

To je sve! Problem je riješen. Pronašli smo rješenje logaritamske jednačine.

Bilješka! Iako se varijabla x pojavljuje u argumentu (tj. postoje zahtjevi za domenu definicije), nećemo postavljati nikakve dodatne zahtjeve.

Kao što sam rekao gore, ova provjera je suvišna ako se varijabla pojavljuje u samo jednom argumentu samo jednog logaritma. U našem slučaju, x se zaista pojavljuje samo u argumentu i samo pod jednim log znakom. Stoga nisu potrebne dodatne provjere.

Međutim, ako nemate povjerenja u ovu metodu, lako možete provjeriti da je x = 2 zaista korijen. Dovoljno je zamijeniti ovaj broj u originalnu jednačinu.

Pređimo na drugu jednačinu, malo je zanimljivija:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = 1

Ako izraz unutar velikog logaritma označimo funkcijom f (x), dobićemo najjednostavniju logaritamsku jednačinu s kojom smo započeli današnju video lekciju. Stoga možemo primijeniti kanonski oblik, za koji ćemo jedinicu morati predstaviti u obliku log 2 2 1 = log 2 2.

Prepišimo našu veliku jednačinu:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = log 2 2

Odmaknimo se od znaka logaritma, izjednačavajući argumente. Na to imamo pravo, jer su i na lijevoj i na desnoj osnovi iste. Dodatno, imajte na umu da log 2 4 = 2:

log 1/2 (2x − 1) + 2 = 2

log 1/2 (2x − 1) = 0

Pred nama je opet najjednostavnija logaritamska jednadžba oblika log a f (x) = b. Pređimo na kanonski oblik, odnosno predstavljamo nulu u obliku log 1/2 (1/2)0 = log 1/2 1.

Prepisujemo našu jednačinu i oslobađamo se log znaka, izjednačavajući argumente:

log 1/2 (2x − 1) = log 1/2 1

2x − 1 = 1

Opet, odmah smo dobili odgovor. Nisu potrebne dodatne provjere jer u originalnoj jednadžbi samo jedan logaritam sadrži funkciju kao argument.

Stoga nisu potrebne dodatne provjere. Možemo sa sigurnošću reći da je x = 1 jedini korijen ove jednačine.

Ali ako bi u drugom logaritmu bila neka funkcija od x umjesto četiri (ili 2x nije bilo u argumentu, već u bazi) - tada bi bilo potrebno provjeriti domenu definicije. U suprotnom, postoji velika šansa da naletite na dodatne korijene.

Odakle dolaze ovi dodatni korijeni? Ova tačka mora biti shvaćena vrlo jasno. Pogledajte originalne jednadžbe: svugdje je funkcija x pod znakom logaritma. Shodno tome, pošto smo zapisali log 2 x, automatski postavljamo zahtjev x > 0. Inače, ovaj unos jednostavno nema smisla.

Međutim, kako rješavamo logaritamsku jednadžbu, oslobađamo se svih log znakova i dobivamo jednostavne konstrukcije. Ovdje više nisu postavljena ograničenja, jer linearna funkcija definirano za bilo koju vrijednost x.

Upravo je taj problem, kada je konačna funkcija svugdje i uvijek definirana, ali originalna nije svugdje i ne uvijek, razlog zašto se u rješavanju logaritamskih jednačina vrlo često pojavljuju dodatni korijeni.

Ali ponavljam još jednom: to se događa samo u situaciji kada je funkcija ili u nekoliko logaritama ili u osnovi jednog od njih. U problemima koje danas razmatramo, u principu, nema problema sa proširenjem domena definicije.

Slučajevi različitih osnova

Ova lekcija je posvećena složenijim strukturama. Logaritmi u današnjim jednačinama više se neće rješavati odmah, već će se prvo morati izvršiti neke transformacije.

Počinjemo rješavati logaritamske jednadžbe s potpuno različitim bazama, koje nisu tačne potencije jedna drugoj. Nemojte dopustiti da vas takvi problemi uplaše - nije ih teže riješiti od najjednostavnijih dizajna o kojima smo gore govorili.

Ali prije nego što pređemo direktno na probleme, dopustite mi da vas podsjetim na formulu za rješavanje najjednostavnijih logaritamskih jednadžbi pomoću kanonskog oblika. Razmotrite ovakav problem:

log a f (x) = b

Važno je da je funkcija f (x) samo funkcija, a uloga brojeva a i b treba da budu brojevi (bez ikakvih varijabli x). Naravno, doslovce za minut ćemo pogledati takve slučajeve kada umjesto varijabli a i b postoje funkcije, ali to sada nije o tome.

Kao što se sjećamo, broj b mora biti zamijenjen logaritmom na istu bazu a, koja je na lijevoj strani. Ovo se radi vrlo jednostavno:

b = log a a b

Naravno, riječi "bilo koji broj b" i "bilo koji broj a" znače vrijednosti koje zadovoljavaju opseg definicije. Konkretno, u ovoj jednačini mi pričamo o tome samo baza a > 0 i a ≠ 1.

Međutim, ovaj zahtjev je automatski zadovoljen, jer izvorni problem već sadrži logaritam za bazu a – sigurno će biti veći od 0, a ne jednak 1. Stoga nastavljamo sa rješavanjem logaritamske jednadžbe:

log a f (x) = log a a b

Takva notacija se zove kanonska forma. Njegova pogodnost leži u činjenici da se možemo odmah riješiti znaka dnevnika izjednačavanjem argumenata:

f (x) = a b

Upravo tu tehniku ​​ćemo sada koristiti za rješavanje logaritamskih jednadžbi varijabilna baza. Dakle, idemo!

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 0,5 0,125

Šta je sledeće? Neko će sada reći da treba izračunati pravi logaritam, ili ih svesti na istu bazu, ili nešto drugo. I zaista, sada moramo obje baze dovesti u isti oblik - ili 2 ili 0,5. Ali naučimo jednom za svagda sljedeće pravilo:

Ako logaritamska jednadžba sadrži decimale, obavezno pretvorite ove razlomke iz decimalnog zapisa u obične. Ova transformacija može uvelike pojednostaviti rješenje.

Takav prijelaz mora se izvršiti odmah, čak i prije izvođenja bilo kakvih radnji ili transformacija. Hajde da pogledamo:

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 1 /2 1/8

Šta nam takav zapis daje? Možemo predstaviti 1/2 i 1/8 kao stepene sa negativnim eksponentom:

[Natpis za sliku]

Pred nama je kanonski oblik. Izjednačavamo argumente i dobijamo klasičnu kvadratnu jednačinu:

x 2 + 4x + 11 = 8

x 2 + 4x + 3 = 0

Pred nama je sljedeća kvadratna jednadžba, koja se lako može riješiti korištenjem Vietinih formula. U srednjoj školi trebalo bi da vidite slične prikaze doslovno usmeno:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

To je sve! Originalna logaritamska jednadžba je riješena. Imamo dva korena.

Da vas podsjetim da u ovom slučaju nije potrebno određivati ​​domen definicije, jer je funkcija sa varijablom x prisutna samo u jednom argumentu. Stoga se opseg definicije izvodi automatski.

Dakle, prva jednačina je riješena. Pređimo na drugo:

log 0,5 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 1/9

log 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 9 −1

Sada imajte na umu da se argument prvog logaritma može zapisati i kao stepen sa negativnim eksponentom: 1/2 = 2 −1. Tada možete izvaditi potencije na obje strane jednačine i podijeliti sve sa −1:

[Natpis za sliku]

I sada smo postigli veoma važan korak u rješavanju logaritamske jednadžbe. Možda neko nešto nije primetio, pa da objasnim.

Pogledajte našu jednačinu: i na lijevoj i na desnoj strani nalazi se log znak, ali na lijevoj je logaritam na bazu 2, a na desnoj je logaritam na bazu 3. Tri nije cijeli broj od dva i, obrnuto, ne možete napisati da je 2 3 u cijelom broju stupnjeva.

Posljedično, radi se o logaritmima s različitim bazama koji se ne mogu svesti jedan na drugi jednostavnim zbrajanjem potencija. Jedini način za rješavanje takvih problema je da se riješimo jednog od ovih logaritama. U ovom slučaju, pošto još uvijek razmatramo prilično jednostavni zadaci, logaritam desno je jednostavno izračunat i dobili smo najjednostavniju jednačinu – upravo onu o kojoj smo govorili na samom početku današnje lekcije.

Predstavimo broj 2, koji je desno, kao log 2 2 2 = log 2 4. I onda se riješimo znaka logaritma, nakon čega nam jednostavno ostaje kvadratna jednadžba:

log 2 (5x 2 + 9x + 2) = log 2 4

5x 2 + 9x + 2 = 4

5x 2 + 9x − 2 = 0

Pred nama je obična kvadratna jednačina, ali ona nije redukovana jer je koeficijent od x 2 različit od jedinice. Stoga ćemo to riješiti pomoću diskriminanta:

D = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121

x 1 = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x 2 = (−9 − 11)/10 = −2

To je sve! Pronašli smo oba korijena, što znači da smo dobili rješenje originalne logaritamske jednadžbe. Zaista, u originalnom problemu, funkcija s promjenljivom x je prisutna u samo jednom argumentu. Shodno tome, nisu potrebne nikakve dodatne provjere u domeni definicije - oba korijena za koja smo otkrili sigurno ispunjavaju sva moguća ograničenja.

Ovo bi mogao biti kraj današnje video lekcije, ali u zaključku želim još jednom reći: budite sigurni da ste pretvorili sve decimalne razlomke u obične razlomke kada rješavate logaritamske jednadžbe. U većini slučajeva to uvelike pojednostavljuje njihovo rješenje.

Rijetko, vrlo rijetko, naiđete na probleme u kojima uklanjanje decimalnih razlomaka samo komplikuje proračune. Međutim, u takvim jednadžbama, u pravilu, u početku je jasno da nema potrebe da se riješite decimalnih razlomaka.

U većini drugih slučajeva (naročito ako tek počinjete vježbati rješavanje logaritamskih jednadžbi), slobodno se riješite decimala i pretvorite ih u obične. Jer praksa pokazuje da ćete na taj način značajno pojednostaviti naknadno rješenje i proračune.

Suptilnosti i trikovi rješenja

Danas prelazimo na složenije probleme i rješavamo logaritamsku jednadžbu, koja se ne zasniva na broju, već na funkciji.

Čak i ako je ova funkcija linearna, morat će se napraviti male promjene u shemi rješenja, čije se značenje svodi na dodatne zahtjeve nametnute domeni definicije logaritma.

Složeni zadaci

Ovaj vodič će biti prilično dug. U njemu ćemo analizirati dvije prilično ozbiljne logaritamske jednačine, pri rješavanju kojih mnogi učenici griješe. Tokom prakse kao nastavnik matematike, stalno sam nailazio na dvije vrste grešaka:

1. Pojava dodatnih korijena zbog proširenja domena definicije logaritama. Da biste izbjegli takve uvredljive greške, samo pažljivo pratite svaku transformaciju;
2. Gubitak korijena zbog činjenice da je student zaboravio razmotriti neke „suptilne“ slučajeve - to su situacije na koje ćemo se danas fokusirati.

Ovo zadnja lekcija, posvećen logaritamskim jednačinama. Biće dugo, analiziraćemo složene logaritamske jednačine. Raskomotite se, skuvajte sebi čaj i krenimo.

Prva jednadžba izgleda sasvim standardno:

log x + 1 (x − 0,5) = log x − 0,5 (x + 1)

Odmah primijetimo da su oba logaritma obrnute kopije jedan drugog. Prisjetimo se divne formule:

log a b = 1/log b a

Međutim, ova formula ima niz ograničenja koja nastaju ako umjesto brojeva a i b postoje funkcije varijable x:

b > 0

1 ≠ a > 0

Ovi zahtjevi se odnose na bazu logaritma. S druge strane, u razlomku je potrebno da imamo 1 ≠ a > 0, jer ne samo da je varijabla a u argumentu logaritma (dakle a > 0), već je i sam logaritam u nazivniku razlomka . Ali log b 1 = 0, a imenilac mora biti različit od nule, tako da je a ≠ 1.

Dakle, ograničenja za varijablu a ostaju. Ali šta se dešava sa promenljivom b? S jedne strane, baza implicira b > 0, s druge strane varijabla b ≠ 1, jer baza logaritma mora biti različita od 1. Ukupno, iz desne strane formule slijedi da je 1 ≠ b > 0.

Ali evo problema: drugi zahtjev (b ≠ 1) nedostaje u prvoj nejednakosti, koja se bavi lijevim logaritmom. Drugim riječima, kada vršimo ovu transformaciju moramo provjerite posebno, da je argument b različit od jedan!

Pa hajde da to proverimo. Primijenimo našu formulu:

[Natpis za sliku]

1 ≠ x − 0,5 > 0; 1 ≠ x + 1 > 0

Dakle, dobili smo da već iz originalne logaritamske jednadžbe slijedi da i a i b moraju biti veći od 0, a ne jednaki 1. To znači da možemo lako invertirati logaritamsku jednačinu:

Predlažem uvođenje nove varijable:

log x + 1 (x − 0,5) = t

U ovom slučaju, naša konstrukcija će biti prepisana na sljedeći način:

(t 2 − 1)/t = 0

Imajte na umu da u brojniku imamo razliku kvadrata. Otkrivamo razliku kvadrata koristeći skraćenu formulu množenja:

(t − 1)(t + 1)/t = 0

Razlomak je jednak nuli kada mu je brojilac nula, a imenilac različit od nule. Ali brojilac sadrži proizvod, pa svaki faktor izjednačavamo sa nulom:

t 1 = 1;

t 2 = −1;

t ≠ 0.

Kao što vidimo, odgovaraju nam obje vrijednosti varijable t. Međutim, rješenje se tu ne završava, jer moramo pronaći ne t, već vrijednost x. Vraćamo se na logaritam i dobijamo:

log x + 1 (x − 0,5) = 1;

log x + 1 (x − 0,5) = −1.

Stavimo svaku od ovih jednačina u kanonski oblik:

log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) 1

log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) −1

Riješimo se znaka logaritma u prvom slučaju i izjednačavamo argumente:

x − 0,5 = x + 1;

x − x = 1 + 0,5;

Takva jednadžba nema korijena, stoga prva logaritamska jednadžba također nema korijen. Ali s drugom jednačinom sve je mnogo zanimljivije:

(x − 0,5)/1 = 1/(x + 1)

Rješavajući proporciju, dobijamo:

(x − 0,5)(x + 1) = 1

Da vas podsjetim da je pri rješavanju logaritamskih jednadžbi mnogo zgodnije koristiti sve decimalne razlomke kao obične, pa prepišimo našu jednadžbu na sljedeći način:

(x − 1/2)(x + 1) = 1;

x 2 + x − 1/2x − 1/2 − 1 = 0;

x 2 + 1/2x − 3/2 = 0.

Pred nama je kvadratna jednadžba u nastavku, koja se lako može riješiti korištenjem Vietinih formula:

(x + 3/2) (x − 1) = 0;

x 1 = −1,5;

x 2 = 1.

Dobili smo dva korijena - oni su kandidati za rješavanje originalne logaritamske jednadžbe. Da bismo razumjeli koji će korijeni zapravo ući u odgovor, vratimo se izvornom problemu. Sada ćemo provjeriti svaki od naših korijena da vidimo da li se uklapaju u domenu definicije:

1,5 ≠ x > 0,5; 0 ≠ x > −1.

Ovi zahtjevi su jednaki dvostrukoj nejednakosti:

1 ≠ x > 0,5

Odavde odmah vidimo da nam korijen x = −1,5 ne odgovara, ali nam sasvim dobro odgovara x = 1. Stoga je x = 1 konačno rješenje logaritamske jednačine.

Pređimo na drugi zadatak:

log x 25 + log 125 x 5 = log 25 x 625

Na prvi pogled može izgledati da svi logaritmi imaju različite baze i različite argumente. Šta učiniti s takvim strukturama? Prije svega, imajte na umu da su brojevi 25, 5 i 625 potenci od 5:

25 = 5 2 ; 625 = 5 4

Sada iskoristimo divno svojstvo logaritma. Poenta je da možete izvući moći iz argumenta u obliku faktora:

log a b n = n ∙ log a b

Ova transformacija je također podložna ograničenjima u slučaju kada je b zamijenjen funkcijom. Ali za nas je b samo broj i nema dodatnih ograničenja. Prepišimo našu jednačinu:

2 ∙ log x 5 + log 125 x 5 = 4 ∙ log 25 x 5

Dobili smo jednačinu sa tri člana koji sadrže log znak. Štaviše, argumenti sva tri logaritma su jednaki.

Vrijeme je da obrnemo logaritme kako bismo ih doveli na istu bazu - 5. Pošto je varijabla b konstanta, ne dolazi do promjena u domenu definicije. Samo prepisujemo:

[Natpis za sliku]

Očekivano, isti logaritmi su se pojavili u nazivniku. Predlažem zamjenu varijable:

log 5 x = t

U ovom slučaju, naša jednačina će biti prepisana na sljedeći način:

Napišimo brojilac i otvorimo zagrade:

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) − 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = 2t 2 + 10t + 12 + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = −t 2 + 12

Vratimo se našem razlomku. Brojilac mora biti nula:

[Natpis za sliku]

I imenilac je drugačiji od nule:

t ≠ 0; t ≠ −3; t ≠ −2

Posljednji zahtjevi se ispunjavaju automatski, jer su svi „vezani“ za cijele brojeve, a svi odgovori su iracionalni.

dakle, frakciona racionalna jednačina riješeno, pronalaze se vrijednosti varijable t. Vratimo se rješavanju logaritamske jednadžbe i prisjetimo se šta je t:

[Natpis za sliku]

Svodimo ovu jednačinu na kanonski oblik i dobijamo broj sa iracionalnim stepenom. Ne dozvolite da vas ovo zbuni - čak se i takvi argumenti mogu izjednačiti:

[Natpis za sliku]

Imamo dva korena. Preciznije, dva kandidata odgovora - hajde da ih proverimo da li su u skladu sa domenom definicije. Budući da je osnova logaritma varijabla x, potrebno je sljedeće:

1 ≠ x > 0;

Sa istim uspjehom tvrdimo da je x ≠ 1/125, inače će se osnova drugog logaritma pretvoriti u jedinicu. Konačno, x ≠ 1/25 za treći logaritam.

Ukupno smo dobili četiri ograničenja:

1 ≠ x > 0; x ≠ 1/125; x ≠ 1/25

Sada se postavlja pitanje: da li naši korijeni zadovoljavaju ove zahtjeve? Naravno da zadovoljavaju! Zato što će 5 na bilo koji stepen biti veće od nule, a zahtjev x > 0 je automatski zadovoljen.

S druge strane, 1 = 5 0, 1/25 = 5 −2, 1/125 = 5 −3, što znači da ova ograničenja za naše korijene (koji, da vas podsjetim, imaju iracionalan broj u eksponentu) su također zadovoljni, a oba odgovora su rješenja problema.

Dakle, imamo konačan odgovor. Ključne točke U ovom problemu postoje dva:

1. Budite oprezni kada okrećete logaritam kada se argument i baza zamjenjuju. Takve transformacije nameću nepotrebna ograničenja na opseg definicije.
2. Nemojte se bojati transformirati logaritme: ne samo da ih možete preokrenuti, već ih i otvoriti pomoću formule zbroja i općenito ih promijeniti pomoću bilo koje formule koju ste proučavali prilikom rješavanja logaritamski izrazi. Međutim, uvijek zapamtite: neke transformacije proširuju opseg definicije, a neke ih sužavaju.

Svi smo upoznati sa jednačinama osnovne razrede. Tamo smo naučili rješavati i najjednostavnije primjere, a moramo priznati da i u njima nalaze svoju primjenu višu matematiku. Sve je jednostavno sa jednadžbama, uključujući i kvadratne jednadžbe. Ako imate problema s ovom temom, toplo preporučujemo da je pregledate.

Verovatno ste i vi već prošli kroz logaritme. Međutim, smatramo važnim reći šta je to za one koji još ne znaju. Logaritam je izjednačen sa stepenom na koji se baza mora podići da bi se dobio broj desno od znaka logaritma. Dajemo primjer na osnovu kojeg će vam sve postati jasno.

Ako povisite 3 na četvrti stepen, dobićete 81. Sada zamijenite brojeve po analogiji i konačno ćete shvatiti kako se logaritmi rješavaju. Sada ostaje samo da se kombinuju dva koncepta o kojima se raspravlja. U početku se situacija čini izuzetno komplikovanom, ali nakon detaljnijeg razmatranja težina dolazi na svoje mjesto. Sigurni smo da nakon ovog kratkog članka nećete imati problema u ovom dijelu Jedinstvenog državnog ispita.

Danas postoji mnogo načina za rješavanje takvih struktura. Reći ćemo vam o najjednostavnijim, najefikasnijim i najprimjenjivijim u slučaju zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Rješavanje logaritamskih jednadžbi mora početi od samog početka. jednostavan primjer. Najjednostavnije logaritamske jednadžbe se sastoje od funkcije i jedne varijable u njoj.

Važno je napomenuti da je x unutar argumenta. A i b moraju biti brojevi. U ovom slučaju, možete jednostavno izraziti funkciju u smislu broja na stepen. To izgleda ovako.

Naravno, rješavanje logaritamske jednadžbe ovom metodom će vas dovesti do tačnog odgovora. Problem za ogromnu većinu učenika u ovom slučaju je što ne razumiju šta odakle dolazi. Kao rezultat toga, morate podnijeti greške i ne dobiti željene bodove. Najuvredljivija greška bit će ako pomiješate slova. Da biste na ovaj način riješili jednačinu, morate zapamtiti ovu standardnu ​​školsku formulu jer ju je teško razumjeti.

Da biste to olakšali, možete pribjeći drugoj metodi - kanonskom obliku. Ideja je krajnje jednostavna. Vratite pažnju na problem. Zapamtite da je slovo a broj, a ne funkcija ili varijabla. A nije jednako jedan i veće od nule. Nema ograničenja za b. Sada, od svih formula, sjetimo se jedne. B se može izraziti na sljedeći način.

Iz ovoga slijedi da se sve originalne jednadžbe sa logaritmima mogu predstaviti u obliku:

Sada možemo izbaciti logaritme. To će uspjeti jednostavan dizajn, što smo već ranije vidjeli.

Pogodnost ove formule leži u činjenici da se može koristiti u raznim slučajevima, a ne samo za najjednostavnije dizajne.

Ne brinite za OOF!

Mnogi iskusni matematičari će primijetiti da nismo obratili pažnju na domen definicije. Pravilo se svodi na činjenicu da je F(x) nužno veći od 0. Ne, nismo propustili ovu tačku. Sada govorimo o još jednoj ozbiljnoj prednosti kanonskog oblika.

Ovdje neće biti dodatnih korijena. Ako će se varijabla pojaviti samo na jednom mjestu, tada opseg nije potreban. Radi se automatski. Da biste potvrdili ovu prosudbu, pokušajte riješiti nekoliko jednostavnih primjera.

Kako riješiti logaritamske jednadžbe sa različitim bazama

To su već složene logaritamske jednadžbe i pristup njihovom rješavanju mora biti poseban. Ovdje je rijetko moguće ograničiti se na ozloglašeni kanonski oblik. Počnimo sa našim detaljna priča. Imamo sledeću konstrukciju.

Obratite pažnju na razlomak. Sadrži logaritam. Ako to vidite u zadatku, vrijedi zapamtiti jedan zanimljiv trik.

Šta to znači? Svaki logaritam se može predstaviti kao količnik dva logaritma sa pogodnom bazom. I ova formula ima poseban slučaj koji je primjenjiv u ovom primjeru (mislimo ako je c=b).

To je upravo onaj razlomak koji vidimo u našem primjeru. Dakle.

U suštini, okrenuli smo razlomak i dobili zgodniji izraz. Zapamtite ovaj algoritam!

Sada nam je potrebno da logaritamska jednadžba ne sadrži različitih razloga. Predstavimo bazu kao razlomak.

U matematici postoji pravilo na osnovu kojeg možete izvući diplomu iz baze. Sljedeći rezultati izgradnje.

Čini se, šta nas sprečava da sada svoj izraz pretvorimo u kanonski oblik i jednostavno ga riješimo? Nije tako jednostavno. Prije logaritma ne bi trebalo biti razlomaka. Popravimo ovu situaciju! Razlomci se mogu koristiti kao stepeni.

Odnosno.

Ako su baze iste, možemo ukloniti logaritme i izjednačiti same izraze. Tako će situacija postati mnogo jednostavnija nego što je bila. Ostaće elementarna jednačina, koje je svako od nas znao riješiti još u 8. ili čak 7. razredu. Možete sami da izvršite proračune.

Dobili smo jedini ispravan korijen ove logaritamske jednadžbe. Primjeri rješavanja logaritamske jednadžbe su prilično jednostavni, zar ne? Sada ćete moći samostalno rješavati čak i najsloženije zadatke za pripremu i polaganje Jedinstvenog državnog ispita.

šta je rezultat?

U slučaju bilo koje logaritamske jednadžbe, polazimo od jedne vrlo važno pravilo. Potrebno je djelovati tako da se ekspresija dovede do maksimuma jednostavan pogled. U tom slučaju ćete imati veće šanse da zadatak ne samo ispravno riješite, već i da ga uradite na najjednostavniji i najlogičniji mogući način. Upravo tako matematičari uvijek rade.

Izričito ne preporučujemo da tražite teške puteve, posebno u ovom slučaju. Zapamtite nekoliko jednostavna pravila, što će vam omogućiti da transformišete bilo koji izraz. Na primjer, smanjite dva ili tri logaritma na istu bazu ili izvedite stepen iz baze i pobijedite na tome.

Također je vrijedno zapamtiti da rješavanje logaritamskih jednadžbi zahtijeva stalnu praksu. Postupno ćete prelaziti na sve složenije strukture, a to će vas dovesti do samopouzdanog rješavanja svih varijanti zadataka na Jedinstvenom državnom ispitu. Pripremite se unaprijed za ispite i sretno!

Logaritamske jednadžbe. Od jednostavnog do složenog.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijala u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Šta je logaritamska jednačina?

Ovo je jednadžba sa logaritmima. Iznenađen sam, zar ne?) Onda ću pojasniti. Ovo je jednadžba u kojoj se nalaze nepoznanice (x) i izrazi s njima unutar logaritma. I samo tamo! Važno je.

Evo nekoliko primjera logaritamske jednačine:

log 3 x = log 3 9

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log x+1 (x 2 +3x-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)

Pa razumes... )

Bilješka! Locirani su najraznovrsniji izrazi sa X-ovima isključivo unutar logaritma. Ako se iznenada pojavi X negdje u jednadžbi vani, Na primjer:

log 2 x = 3+x,

ovo će biti jednačina mješoviti tip. Takve jednačine nemaju jasna pravila za njihovo rješavanje. Za sada ih nećemo razmatrati. Usput, postoje jednadžbe gdje su unutar logaritma samo brojevi. Na primjer:

Šta da kažem? Imaš sreće ako naiđeš na ovo! Logaritam sa brojevima je neki broj. To je sve. Za rješavanje takve jednačine dovoljno je poznavati svojstva logaritma. Poznavanje posebnih pravila, tehnika prilagođenih posebno za rješavanje logaritamske jednadžbe, ovdje nije potrebno.

dakle, šta je logaritamska jednačina- Shvatili smo.

Kako riješiti logaritamske jednadžbe?

Rješenje logaritamske jednačine- stvar zapravo nije baš jednostavna. Dakle, naša sekcija je četiri... Potrebna je pristojna količina znanja o svim vrstama srodnih tema. Osim toga, u ovim jednačinama postoji posebna karakteristika. A ova karakteristika je toliko važna da se može sa sigurnošću nazvati glavnim problemom u rješavanju logaritamskih jednadžbi. Ovaj problem ćemo se detaljno pozabaviti u sljedećoj lekciji.

Za sada, ne brini. Ići ćemo pravim putem od jednostavnog do složenog. On konkretni primjeri. Glavna stvar je da se udubite u jednostavne stvari i ne budite lijeni pratiti linkove, stavio sam ih tamo s razlogom... I sve će vam uspjeti. Neophodno.

Počnimo s najelementarnijim, najjednostavnijim jednadžbama. Da biste ih riješili, preporučljivo je imati ideju o logaritmu, ali ništa više. Samo nemam pojma logaritam, doneti odluku logaritamski jednadžbe - nekako čak i nespretne... Vrlo hrabro, rekao bih).

Najjednostavnije logaritamske jednadžbe.

Ovo su jednadžbe oblika:

1. log 3 x = log 3 9

2. log 7 (2x-3) = log 7 x

3. log 7 (50x-1) = 2

Proces rješenja bilo koja logaritamska jednadžba sastoji se u prijelazu iz jednadžbe sa logaritmima u jednačinu bez njih. U najjednostavnijim jednačinama ovaj prijelaz se izvodi u jednom koraku. Zato su i najjednostavniji.)

A takve logaritamske jednačine je iznenađujuće lako riješiti. Uvjerite se sami.

Da riješimo prvi primjer:

log 3 x = log 3 9

Da biste riješili ovaj primjer, ne morate znati gotovo ništa, da... Čisto intuicija!) Šta nam treba posebno ne sviđa vam se ovaj primjer? Šta-šta... Ne volim logaritme! U redu. Pa hajde da ih se riješimo. Pažljivo pogledamo primjer i u nama se javlja prirodna želja... Baš neodoljiva! Uzmite i izbacite logaritme u potpunosti. A ono što je dobro je to Može uradi! Matematika dozvoljava. Logaritmi nestaju odgovor je:

Odlično, zar ne? To se uvijek može (i treba) učiniti. Eliminacija logaritama na ovaj način jedan je od glavnih načina rješavanja logaritamskih jednačina i nejednačina. U matematici se ova operacija naziva potenciranje. Naravno, postoje pravila za takvu likvidaciju, ali ih je malo. Zapamtite:

Možete bez straha eliminisati logaritme ako imaju:

a) iste numeričke baze

c) logaritmi s lijeva na desno su čisti (bez koeficijenata) i u sjajnoj su izolaciji.

Dozvolite mi da pojasnim poslednju tačku. U jednačini, recimo

log 3 x = 2log 3 (3x-1)

Logaritmi se ne mogu ukloniti. Dvojica sa desne strane to ne dozvoljavaju. Koeficijent, znate... U primjeru

log 3 x+log 3 (x+1) = log 3 (3+x)

Također je nemoguće potencirati jednačinu. Na lijevoj strani nema usamljenog logaritma. Ima ih dvoje.

Ukratko, možete ukloniti logaritme ako jednadžba izgleda ovako i samo ovako:

log a (.....) = log a (.....)

U zagradama, tamo gdje je elipsa, može biti bilo kakvih izraza. Jednostavno, super složeno, sve vrste. Kako god. Bitno je da nam nakon eliminisanja logaritama ostaje jednostavnija jednačina. Pretpostavlja se, naravno, da već znate rješavati linearne, kvadratne, razlomke, eksponencijalne i druge jednadžbe bez logaritama.)

Sada možete lako riješiti drugi primjer:

log 7 (2x-3) = log 7 x

Zapravo, to se odlučuje u umu. Potenciramo, dobijamo:

Pa, je li jako teško?) Kao što vidite, logaritamski dio rješenja jednačine je samo u eliminisanju logaritama... A onda dolazi rješenje preostale jednačine bez njih. Trivijalna stvar.

Riješimo treći primjer:

log 7 (50x-1) = 2

Vidimo da je na lijevoj strani logaritam:

Podsjetimo da je ovaj logaritam broj na koji se baza mora podići (tj. sedam) da bi se dobio sublogaritamski izraz, tj. (50x-1).

Ali ovaj broj je dva! Prema jednadžbi To je:

To je u osnovi sve. Logaritam nestao, Ono što ostaje je bezopasna jednačina:

Ovu logaritamsku jednačinu riješili smo samo na osnovu značenja logaritma. Da li je još lakše eliminisati logaritme?) Slažem se. Usput, ako napravite logaritam od dva, ovaj primjer možete riješiti eliminacijom. Bilo koji broj se može pretvoriti u logaritam. Štaviše, onako kako nam je potrebno. Vrlo korisna tehnika u rješavanju logaritamskih jednačina i (posebno!) nejednačina.

Ne znate kako napraviti logaritam od broja!? Uredu je. Odjeljak 555 detaljno opisuje ovu tehniku. Možete ga savladati i iskoristiti u potpunosti! To uvelike smanjuje broj grešaka.

Četvrta jednačina se rješava na potpuno sličan način (po definiciji):

To je to.

Hajde da rezimiramo ovu lekciju. Na primjerima smo pogledali rješenje najjednostavnijih logaritamskih jednadžbi. To je veoma važno. I ne samo zato što se takve jednadžbe pojavljuju u testovima i ispitima. Činjenica je da se čak i najzlobnije i najkomplikovanije jednadžbe nužno svode na najjednostavnije!

Zapravo, najjednostavnije jednačine su završni dio rješenja bilo koji jednačine. I ovaj završni dio mora se striktno razumjeti! I dalje. Obavezno pročitajte ovu stranicu do kraja. Tu je iznenađenje...)

Sada odlučujemo sami. Hajde da se popravimo, da tako kažem...)

Pronađite korijen (ili zbir korijena, ako ih ima nekoliko) jednadžbi:

ln(7x+2) = ln(5x+20)

log 2 (x 2 +32) = log 2 (12x)

log 16 (0,5x-1,5) = 0,25

log 0,2 (3x-1) = -3

ln(e 2 +2x-3) = 2

log 2 (14x) = log 2 7 + 2

Odgovori (naravno u neredu): 42; 12; 9; 25; 7; 1.5; 2; 16.

Šta, ne ide sve? Dešava se. Ne brini! Odjeljak 555 objašnjava rješenje za sve ove primjere na jasan i detaljan način. Tamo ćete sigurno shvatiti. Također ćete naučiti korisne praktične tehnike.

Sve je ispalo!? Svi primjeri "jedan lijevo"?) Čestitamo!

Vrijeme je da vam otkrijem gorku istinu. Uspješno rješavanje ovih primjera ne garantuje uspjeh u rješavanju svih ostalih logaritamskih jednačina. Čak i najjednostavniji poput ovih. Avaj.

Činjenica je da se rješenje bilo koje logaritamske jednadžbe (čak i najelementarnije!) sastoji od dva jednaka dela. Rješavanje jednadžbe i rad sa ODZ-om. Savladali smo jedan dio - rješavanje same jednačine. Nije tako teško zar ne?

Za ovu lekciju posebno sam odabrao primjere u kojima DL ni na koji način ne utiče na odgovor. Ali nisu svi ljubazni kao ja, zar ne?...)

Stoga je imperativ ovladati drugim dijelom. ODZ. Ovo je glavni problem u rješavanju logaritamskih jednačina. I ne zato što je težak - ovaj dio je čak lakši od prvog. Ali zato što ljudi jednostavno zaborave na ODZ. Ili ne znaju. Ili oboje). I padaju iz vedra neba...

U sledećoj lekciji bavićemo se ovim problemom. Tada možete sa sigurnošću odlučiti bilo koji jednostavne logaritamske jednadžbe i pristupaju sasvim solidnim zadacima.

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)

Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Logaritamski izrazi, primjeri rješavanja. U ovom članku ćemo se osvrnuti na probleme vezane za rješavanje logaritama. U zadacima se postavlja pitanje pronalaženja značenja izraza. Treba napomenuti da se koncept logaritma koristi u mnogim zadacima i razumijevanje njegovog značenja je izuzetno važno. Što se tiče Jedinstvenog državnog ispita, logaritam se koristi pri rješavanju jednačina, u primijenjenim problemima, kao i u zadacima vezanim za proučavanje funkcija.

Navedimo primjere kako bismo razumjeli samo značenje logaritma:

Osnovni logaritamski identitet:

Svojstva logaritama koje se uvijek moraju zapamtiti:

*Logaritam proizvoda jednak zbiru logaritmi faktora.

* * *

*Logaritam količnika (razlomka) jednak je razlici između logaritama faktora.

* * *

*Logaritam eksponenta jednak je umnošku eksponenta i logaritma njegove baze.

* * *

*Prelazak na novu osnovu

* * *

Više nekretnina:

* * *

Izračunavanje logaritama je usko povezano sa upotrebom svojstava eksponenata.

Navedimo neke od njih:

Suština ovog svojstva je da kada se brojnik prenese na nazivnik i obrnuto, predznak eksponenta se mijenja u suprotan. Na primjer:

Zaključak iz ove nekretnine:

* * *

Kada se stepen diže na stepen, baza ostaje ista, ali se eksponenti množe.

* * *

Kao što ste vidjeli, sam koncept logaritma je jednostavan. Glavna stvar je ono što je potrebno dobra praksa, što daje određenu vještinu. Naravno, potrebno je poznavanje formula. Ako vještina pretvaranja elementarnih logaritama nije razvijena, tada prilikom rješavanja jednostavnih zadataka možete lako pogriješiti.

Vježbajte, prvo riješite najjednostavnije primjere iz matematike, pa pređite na složenije. U budućnosti ću svakako pokazati kako se rješavaju "ružni" logaritmi, njih neće biti na Jedinstvenom državnom ispitu, ali su zanimljivi, ne propustite!

To je sve! Sretno ti!

S poštovanjem, Alexander Krutitskikh

P.S: Bio bih vam zahvalan ako mi kažete nešto o stranici na društvenim mrežama.