Rješavanje homogenih trigonometrijskih jednačina. Homogene trigonometrijske jednadžbe: opća shema rješenja

Tema lekcije: „Homogeno trigonometrijske jednačine"

(10. razred)

Cilj: uvesti pojam homogenih trigonometrijskih jednačina I i II stepena; formulisati i izraditi algoritam za rešavanje homogenih trigonometrijskih jednačina I i II stepena; naučiti učenike da rješavaju homogene trigonometrijske jednačine I i II stepena; razviti sposobnost prepoznavanja obrazaca i generalizacije; stimulisati interesovanje za predmet, razvijati osećaj solidarnosti i zdrave konkurencije.

Vrsta lekcije: lekcija u formiranju novih znanja.

Forma: rad u grupama.

Oprema: kompjuter, multimedijalna instalacija

Tokom nastave

Organiziranje vremena

Pozdravljanje učenika, mobiliziranje pažnje.

Na času je sistem ocenjivanja znanja (nastavnik objašnjava sistem ocenjivanja znanja, popunjavajući ocenjivački list od strane nezavisnog stručnjaka koji nastavnik bira iz redova učenika). Lekciju prati prezentacija. .

Ažuriranje osnovnih znanja.

Zadaća provjerava se i ocjenjuje od strane nezavisnog stručnjaka i konsultanata prije lekcije i popunjava se evaluacijski list.

Nastavnik sumira domaći zadatak.

Učitelj: Nastavljamo s proučavanjem teme "Trigonometrijske jednadžbe". Danas ćemo vas u lekciji upoznati s još jednom vrstom trigonometrijskih jednadžbi i metodama za njihovo rješavanje, te ćemo stoga ponoviti ono što smo naučili. Kod rješavanja svih vrsta trigonometrijskih jednadžbi one se svode na rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi.

Provjerava se individualna domaća zadaća urađena u grupama. Odbrana prezentacije “Rješenja najjednostavnijih trigonometrijskih jednačina”

(Rad grupe ocjenjuje nezavisni stručnjak)

Motivacija za učenje.

Učitelj: Imamo posla da riješimo ukrštenicu. Nakon što ga riješimo, saznat ćemo naziv nove vrste jednadžbi koje ćemo naučiti rješavati danas na času.

Pitanja se projektuju na tablu. Učenici pogađaju, a nezavisni stručnjak upisuje bodove učenika koji su odgovorili u zapisnik.

Nakon što riješe ukrštenicu, djeca će pročitati riječ „homogena“.

Usvajanje novih znanja.

Učitelj: Tema lekcije je "Homogene trigonometrijske jednadžbe."

Zapišimo temu lekcije u svesku. Homogene trigonometrijske jednačine su prvog i drugog stepena.

Zapišimo definiciju homogene jednačine prvog stepena. Prikazujem primjer rješavanja ove vrste jednadžbe, kreirate algoritam za rješavanje homogene trigonometrijske jednačine prvog stepena.

Jednačina oblika A sinx + b cosx = 0 naziva se homogena trigonometrijska jednačina prvog stepena.

Razmotrimo rješenje jednačine kada su koeficijenti A I V razlikuju se od 0.

primjer: sinx + cosx = 0

R dijeleći obje strane člana jednadžbe sa cosx, dobijamo

Pažnja! Možete podijeliti sa 0 samo ako se ovaj izraz nigdje ne pretvori u 0. Hajde da analiziramo. Ako je kosinus jednak 0, tada će i sinus biti jednak 0, s obzirom da su koeficijenti različiti od 0, ali znamo da sinus i kosinus idu na nulu u razne tačke. Stoga se ova operacija može izvesti prilikom rješavanja ove vrste jednadžbe.

Algoritam za rješavanje homogene trigonometrijske jednadžbe prvog stepena: dijeljenje obje strane jednačine sa cosx, cosx 0

Jednačina oblika A sin mx +b cos mx = 0 naziva se i homogena trigonometrijska jednačina prvog stepena i također rješava podjelu obje strane jednačine kosinusom mx.

Jednačina oblika a grijeh 2 x+b sinx cosx +c cos2x = 0 naziva se homogena trigonometrijska jednačina drugog stepena.

Primjer : grijeh 2 x + 2sinx cosx – 3cos 2 x = 0

Koeficijent a se razlikuje od 0 i stoga, kao i prethodna jednadžba, cosx nije jednak 0, te stoga možete koristiti metodu dijeljenja obje strane jednadžbe sa cos 2 x.

Dobijamo tg 2 x + 2tgx – 3 = 0

Rješavamo uvođenjem nove varijable neka je tgx = a, tada dobijamo jednačinu

a 2 + 2a – 3 = 0

D = 4 – 4 (–3) = 16

a 1 = 1 a 2 = –3

Nazad na zamjenu

odgovor:

Ako je koeficijent a = 0, onda jednačina ima oblik 2sinx cosx – 3cos2x = 0, rješavamo je tako što ćemo zajednički faktor cosx izvaditi iz zagrada. Ako je koeficijent c = 0, onda jednačina ima oblik sin2x +2sinx cosx = 0, rješavamo je tako što ćemo zajednički faktor sinx izvaditi iz zagrada. Algoritam za rješavanje homogene trigonometrijske jednadžbe prvog stepena:

Pogledajte da li jednačina sadrži asin2 x član.

Ako je izraz asin2 x sadržan u jednadžbi (tj. a 0), tada se jednačina rješava dijeljenjem obje strane jednadžbe sa cos2x, a zatim uvođenjem nove varijable.

Ako pojam asin2 x nije sadržan u jednačini (tj. a = 0), tada se jednačina rješava faktorizacijom: cosx se vadi iz zagrada. Homogene jednadžbe oblika a sin2m x + b sin mx cos mx + c cos2mx = 0 rješavaju se na isti način

Algoritam za rješavanje homogenih trigonometrijskih jednačina napisan je u udžbeniku na strani 102.

Minut fizičkog vaspitanja

Formiranje vještina rješavanja homogenih trigonometrijskih jednačina

Otvaranje knjiga zadataka stranica 53

1. i 2. grupa odlučuju br. 361-v

3. i 4. grupa odlučuju br. 363-v

Pokažite rješenje na ploči, objasnite, dopunite. Nezavisni stručnjak ocjenjuje.

Primjeri rješavanja iz zadataka br. 361-v
sinx – 3cosx = 0
podijelimo obje strane jednačine sa cosx 0, dobijamo

br. 363-v
sin2x + sinxcosx – 2cos2x = 0
podijelimo obje strane jednačine sa cos2x, dobićemo tg2x + tanx – 2 = 0

riješiti uvođenjem nove varijable
neka je tgx = a, onda dobijamo jednačinu
a2 + a – 2 = 0
D = 9
a1 = 1 a2 = –2
nazad na zamenu

Samostalan rad.

Riješite jednačine.

2 cosx – 2 = 0

2cos2x – 3cosx +1 = 0

3 sin2x + sinx cosx – 2 cos2x = 0

Po završetku samostalnog rada mijenjaju posao i međusobno se provjeravaju. Tačni odgovori se projektuju na tabli.

Zatim ga predaju nezavisnom stručnjaku.

Uradi sam rešenje

Sumiranje lekcije.

O kojoj vrsti trigonometrijskih jednačina smo učili na času?

Algoritam za rješavanje trigonometrijskih jednačina prvog i drugog stepena.

Zadaća: § 20.3 pročitano. br. 361(d), 363(b), dodatna poteškoća br. 380(a).

Ukrštenica.

Ako unesete ispravne riječi, dobit ćete naziv jedne od vrsta trigonometrijskih jednačina.

Vrijednost varijable koja čini jednadžbu istinitom? (korijen)

Mjerna jedinica za uglove? (radijan)

Numerički faktor u proizvodu? (koeficijent)

Grana matematike koja proučava trigonometrijske funkcije? (trigonometrija)

Koji je matematički model potreban za uvod trigonometrijske funkcije? (Krug)

Koja je trigonometrijska funkcija parna? (kosinus)

Kako se zove istinska jednakost? (Identitet)

Jednakost sa varijablom? (jednačina)

Jednačine koje imaju iste korijene? (ekvivalentno)

Skup korijena jednadžbe ? (rješenje)

Evaluacijski papir

№
n\n

Prezime, ime nastavnika

Zadaća

Prezentacija

Kognitivna aktivnost
studiranje

Rješavanje jednačina

Nezavisna
Posao

Domaća zadaća – 12 bodova (za domaći zadatak su zadate 3 jednačine 4 x 3 = 12)

Prezentacija – 1 bod

Aktivnost učenika – 1 odgovor – 1 bod (maksimalno 4 boda)

Rješavanje jednadžbi 1 bod

Samostalan rad – 4 boda

Grupna ocjena:

“5” – 22 boda ili više
“4” – 18 – 21 poen
“3” – 12 – 17 bodova

Stani! Pokušajmo razumjeti ovu glomaznu formulu.

Prva varijabla u snazi ​​s nekim koeficijentom bi trebala biti prva. U našem slučaju jeste

U našem slučaju jeste. Kako smo saznali, to znači da stepen kod prve varijable konvergira. I druga varijabla do prvog stepena je na mjestu. Koeficijent.

Imamo ga.

Prva varijabla je snaga, a druga varijabla je na kvadrat, sa koeficijentom. Ovo je posljednji član u jednačini.

Kao što vidite, naša jednadžba odgovara definiciji u obliku formule.

Pogledajmo drugi (verbalni) dio definicije.

Imamo dvije nepoznate i. Ovdje se spaja.

Hajde da razmotrimo sve uslove. U njima bi zbir stepeni nepoznanica trebao biti isti.

Zbir stepeni je jednak.

Zbir potencija je jednak (at i at).

Zbir stepeni je jednak.

Kao što vidite, sve odgovara!!!

Sada vježbajmo definiranje homogenih jednačina.

Odredite koja od jednačina je homogena:

Homogene jednadžbe - jednadžbe sa brojevima:

Razmotrimo jednačinu odvojeno.

Ako svaki pojam podijelimo rastavljanjem na faktore, dobićemo

I ova jednadžba u potpunosti potpada pod definiciju homogenih jednačina.

Kako riješiti homogene jednačine?

Primjer 2.

Podijelimo jednačinu sa.

Prema našem uslovu, y ne može biti jednako. Stoga možemo bezbedno podeliti po

Izradom zamjene dobijamo jednostavnu kvadratna jednačina:

Pošto je ovo redukovana kvadratna jednadžba, koristimo Vietin teorem:

Nakon što izvršimo obrnutu zamjenu, dobijamo odgovor

odgovor:

Primjer 3.

Podijelimo jednačinu sa (po uslovu).

odgovor:

Primjer 4.

Pronađite ako.

Ovdje ne trebate dijeliti, već množiti. Pomnožimo cijelu jednačinu sa:

Napravimo zamjenu i riješimo kvadratnu jednačinu:

Nakon što smo izvršili obrnutu zamjenu, dobili smo odgovor:

odgovor:

Rješavanje homogenih trigonometrijskih jednačina.

Rješavanje homogenih trigonometrijskih jednadžbi ne razlikuje se od gore opisanih metoda rješenja. Samo ovdje, između ostalog, trebate znati malo trigonometrije. I biti u stanju riješiti trigonometrijske jednadžbe (za ovo možete pročitati odjeljak).

Pogledajmo takve jednadžbe na primjerima.

Primjer 5.

Riješite jednačinu.

Vidimo tipično homogena jednačina: i su nepoznanice, a zbir njihovih snaga u svakom članu je jednak.

Takve homogene jednadžbe nije teško riješiti, ali prije podjele jednadžbi na, razmotrite slučaj kada

U ovom slučaju, jednačina će imati oblik: , dakle. Ali sinus i kosinus ne mogu biti jednaki u isto vrijeme, jer u osnovi trigonometrijski identitet. Stoga ga sa sigurnošću možemo podijeliti na:

Pošto je jednadžba data, onda prema Vietinoj teoremi:

odgovor:

Primjer 6.

Riješite jednačinu.

Kao u primjeru, trebate podijeliti jednačinu sa. Razmotrimo slučaj kada:

Ali sinus i kosinus ne mogu biti jednaki u isto vrijeme, jer prema osnovnom trigonometrijskom identitetu. Zbog toga.

Napravimo zamjenu i riješimo kvadratnu jednačinu:

Uradimo obrnutu zamjenu i pronađemo i:

odgovor:

Rješavanje homogenih eksponencijalnih jednadžbi.

Homogene jednadžbe se rješavaju na isti način kao one o kojima se govorilo gore. Ako ste zaboravili kako se odlučiti eksponencijalne jednačine- pogledajte odgovarajući odjeljak ()!

Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer 7.

Riješite jednačinu

Zamislimo to ovako:

Vidimo tipičnu homogenu jednačinu, sa dvije varijable i zbirom potencija. Podijelimo jednačinu na:

Kao što vidite, zamjenom dobijamo kvadratnu jednačinu ispod (nema potrebe da se plašite dijeljenja sa nulom - ona je uvijek striktno veća od nule):

Prema Vietovoj teoremi:

odgovor: .

Primjer 8.

Riješite jednačinu

Zamislimo to ovako:

Podijelimo jednačinu na:

Napravimo zamjenu i riješimo kvadratnu jednačinu:

Koren ne zadovoljava uslov. Uradimo obrnutu zamjenu i nađemo:

odgovor:

HOMOGENE JEDNAČINE. PROSJEČAN NIVO

Prvo, na primjeru jednog problema, da vas podsjetim šta su homogene jednačine, a šta je rešenje homogenih jednačina.

Riješite problem:

Pronađite ako.

Ovdje možete primijetiti zanimljivu stvar: ako svaki pojam podijelimo sa, dobićemo:

To jest, sada nema odvojenih i, - sada je varijabla u jednadžbi željena vrijednost. A ovo je obična kvadratna jednadžba koja se lako može riješiti korištenjem Vietinog teorema: proizvod korijena je jednak, a zbroj je brojeva i.

odgovor:

Jednačine oblika

naziva se homogenim. To jest, ovo je jednačina sa dvije nepoznanice, od kojih svaki član ima isti zbir potencija ovih nepoznanica. Na primjer, u gornjem primjeru ovaj iznos je jednak. Homogene jednadžbe se rješavaju dijeljenjem sa jednom od nepoznanica do ovog stepena:

I naknadna zamjena varijabli: . Tako dobijamo jednačinu snage sa jednom nepoznatom:

Najčešće ćemo naići na jednačine drugog stepena (odnosno kvadratne), a znamo ih riješiti:

Imajte na umu da cijelu jednačinu možemo podijeliti (i pomnožiti) promjenljivom samo ako smo uvjereni da ta varijabla ne može biti jednaka nuli! Na primjer, ako se od nas traži da pronađemo, odmah razumijemo da je nemoguće podijeliti. U slučajevima kada to nije tako očigledno, potrebno je posebno provjeriti slučaj kada je ova varijabla jednaka nuli. Na primjer:

Riješite jednačinu.

Rješenje:

Ovdje vidimo tipičnu homogenu jednačinu: i su nepoznanice, a zbir njihovih snaga u svakom članu je jednak.

Ali, prije nego što podijelimo i dobijemo relativnu kvadratnu jednačinu, moramo razmotriti slučaj kada. U ovom slučaju, jednačina će imati oblik: , što znači . Ali sinus i kosinus ne mogu biti jednaki nuli u isto vrijeme, jer prema osnovnom trigonometrijskom identitetu: . Stoga ga sa sigurnošću možemo podijeliti na:

Nadam se da je ovo rješenje potpuno jasno? Ako ne, pročitajte odjeljak. Ako nije jasno odakle dolazi, morate se vratiti još ranije - u odjeljak.

Odlučite sami:

1. Pronađite ako.
2. Pronađite ako.
3. Riješite jednačinu.

Ovdje ću ukratko direktno napisati rješenje homogenih jednačina:

rješenja:

Odgovor: .

Ali ovdje trebamo množiti, a ne dijeliti:

odgovor:

Ako još niste uzeli trigonometrijske jednadžbe, možete preskočiti ovaj primjer.

Pošto ovde treba da podelimo sa, prvo se uverimo da nije sto jednaka nuli:

A ovo je nemoguće.

Odgovor: .

HOMOGENE JEDNAČINE. UKRATKO O GLAVNIM STVARIMA

Rješenje svih homogenih jednačina svodi se na podjelu jednom od nepoznanica na stepen i daljnju promjenu varijabli.

algoritam:

Možete naručiti detaljno rješenje tvoj zadatak!!!

Jednakost koja sadrži nepoznatu pod znakom trigonometrijske funkcije (`sin x, cos x, tan x` ili `ctg x`) naziva se trigonometrijska jednačina, a njihove formule ćemo dalje razmatrati.

Najjednostavnije jednačine su `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, gdje je `x` ugao koji treba pronaći, `a` je bilo koji broj. Zapišimo korijenske formule za svaku od njih.

1. Jednačina `sin x=a`.

Za `|a|>1` nema rješenja.

Kada `|a| \leq 1` ima beskonačan broj rješenja.

Korijenska formula: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Jednačina `cos x=a`

Za `|a|>1` - kao iu slučaju sinusa, nema rješenja među realnim brojevima.

Kada `|a| \leq 1` ima beskonačan broj rješenja.

Korijenska formula: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Posebni slučajevi za sinus i kosinus u grafovima.

3. Jednačina `tg x=a`

Ima beskonačan broj rješenja za bilo koju vrijednost `a`.

Formula korijena: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Jednačina `ctg x=a`

Također ima beskonačan broj rješenja za bilo koje vrijednosti `a`.

Formula korijena: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formule za korijene trigonometrijskih jednadžbi u tabeli

za sinus:
za kosinus:
Za tangentu i kotangens:
Formule za rješavanje jednadžbi koje sadrže inverzne trigonometrijske funkcije:

Metode rješavanja trigonometrijskih jednačina

Rješavanje bilo koje trigonometrijske jednadžbe sastoji se od dvije faze:

• uz pomoć transformacije u najjednostavnije;
• riješiti najjednostavniju jednačinu dobivenu korištenjem korijenskih formula i tablica koje su gore napisane.

Pogledajmo glavne metode rješenja koristeći primjere.

Algebarska metoda.

Ova metoda uključuje zamjenu varijable i zamjenu u jednakost.

Primjer. Riješite jednačinu: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

napravite zamjenu: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, zatim `2y^2-3y+1=0`,

nalazimo korijene: `y_1=1, y_2=1/2`, iz čega slijede dva slučaja:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Odgovor: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizacija.

Primjer. Riješite jednačinu: `sin x+cos x=1`.

Rješenje. Pomjerimo sve članove jednakosti ulijevo: `sin x+cos x-1=0`. Koristeći , transformiramo i faktoriziramo lijevu stranu:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Odgovor: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Redukcija na homogenu jednačinu

Prvo, trebate svesti ovu trigonometrijsku jednačinu na jedan od dva oblika:

`a sin x+b cos x=0` (homogena jednačina prvog stepena) ili `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogena jednačina drugog stepena).

Zatim podijelite oba dijela sa `cos x \ne 0` - za prvi slučaj, i sa `cos^2 x \ne 0` - za drugi. Dobijamo jednadžbe za `tg x`: `a tg x+b=0` i `a tg^2 x + b tg x +c =0`, koje treba riješiti poznatim metodama.

Primjer. Riješite jednačinu: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Rješenje. Zapišimo desnu stranu kao `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Ovo je homogena trigonometrijska jednadžba drugog stepena, njezinu lijevu i desnu stranu podijelimo sa `cos^2 x \ne 0`, dobijamo:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Hajde da uvedemo zamjenu `tg x=t`, što rezultira `t^2 + t - 2=0`. Korijeni ove jednadžbe su `t_1=-2` i `t_2=1`. onda:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Odgovori. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Prelazak na pola ugla

Primjer. Riješite jednačinu: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Rješenje. Primijenimo formule dvostrukog ugla, što rezultira: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Primjenom algebarske metode koja je gore opisana dobijamo:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \u Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \u Z`.

Odgovori. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \u Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \u Z`.

Uvođenje pomoćnog ugla

U trigonometrijskoj jednadžbi `a sin x + b cos x =c`, gdje su a,b,c koeficijenti, a x je varijabla, podijelite obje strane sa `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Koeficijenti na lijevoj strani imaju svojstva sinusa i kosinusa, naime zbir njihovih kvadrata je jednak 1 i njihovi moduli nisu veći od 1. Označimo ih na sljedeći način: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, onda:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Pogledajmo pobliže sljedeći primjer:

Primjer. Riješite jednačinu: `3 sin x+4 cos x=2`.

Rješenje. Podijelimo obje strane jednakosti sa `sqrt (3^2+4^2)`, dobićemo:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Označimo `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Pošto `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, onda uzimamo `\varphi=arcsin 4/5` kao pomoćni ugao. Zatim zapisujemo našu jednakost u obliku:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Primjenjujući formulu za zbir uglova za sinus, zapisujemo našu jednakost u sljedećem obliku:

`grijeh (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Odgovori. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Frakcionalne racionalne trigonometrijske jednadžbe

To su jednakosti sa razlomcima čiji brojnici i nazivnici sadrže trigonometrijske funkcije.

Primjer. Riješite jednačinu. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Rješenje. Pomnožite i podijelite desnu stranu jednakosti sa `(1+cos x)`. Kao rezultat dobijamo:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

S obzirom da imenilac ne može biti jednak nuli, dobijamo `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Izjednačimo brojilac razlomka sa nulom: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Tada je `sin x=0` ili `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

S obzirom da je ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, rješenja su `x=2\pi n, n \in Z` i `x=\pi /2+2\pi n` , `n \u Z`.

Odgovori. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometrija, a posebno trigonometrijske jednadžbe, koriste se u gotovo svim područjima geometrije, fizike i inženjerstva. Učenje počinje u 10. razredu, uvijek postoje zadaci za Jedinstveni državni ispit, pa pokušajte zapamtiti sve formule trigonometrijskih jednadžbi - one će vam sigurno biti korisne!

Međutim, ne morate ih čak ni zapamtiti, najvažnije je razumjeti suštinu i moći je izvući. Nije tako teško kao što se čini. Uvjerite se sami gledajući video.

Vrsta lekcije: objašnjenje novog materijala. Rad se odvija u grupama. Svaka grupa ima stručnjaka koji prati i usmjerava rad učenika. Pomaže slabim učenicima da vjeruju u sebe kada rješavaju ove jednačine.

Skinuti:

Pregled:

Lekcija na temu

" Homogene trigonometrijske jednadžbe"

(10. razred)

Cilj:

1. uvesti pojam homogenih trigonometrijskih jednačina I i II stepena;
2. formulisati i izraditi algoritam za rešavanje homogenih trigonometrijskih jednačina I i II stepena;
3. naučiti učenike da rješavaju homogene trigonometrijske jednačine I i II stepena;
4. razviti sposobnost prepoznavanja obrazaca i generalizacije;
5. stimulisati interesovanje za predmet, razvijati osećaj solidarnosti i zdrave konkurencije.

Vrsta lekcije : lekcija formiranja novih znanja.

Oblik ponašanja: rad u grupama.

Oprema: kompjuter, multimedijalna instalacija

Tokom nastave

I. Organizacioni momenat

Na času je sistem ocenjivanja znanja (nastavnik objašnjava sistem ocenjivanja znanja, popunjavajući ocenjivački list od strane nezavisnog stručnjaka koji nastavnik bira iz redova učenika). Lekciju prati prezentacija. Aneks 1.

Rezultatski list br.

n\n	Prezime Ime	Zadaća	Kognitivna aktivnost	Rješavanje jednačina	Nezavisna Posao	Ocjena

II. Ažuriranje osnovnih znanja..

Nastavljamo s proučavanjem teme "Trigonometrijske jednadžbe". Danas ćemo vas u lekciji upoznati sa još jednom vrstom trigonometrijskih jednadžbi i metodama za njihovo rješavanje, te ćemo stoga ponoviti ono što smo naučili. Kod rješavanja svih vrsta trigonometrijskih jednadžbi one se svode na rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi. Prisjetimo se glavnih tipova najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi. Koristite strelice da uskladite izraze.

III. Motivacija za učenje.

Imamo posla da riješimo ukrštenicu. Nakon što ga riješimo, saznat ćemo naziv nove vrste jednadžbi koje ćemo naučiti rješavati danas na času.

Pitanja se projektuju na tablu. Učenici pogađaju, a nezavisni stručnjak upisuje bodove učenika koji su odgovorili u zapisnik.

Nakon što riješe ukrštenicu, djeca će pročitati riječ „homogena“.

Ukrštenica.

Ako unesete ispravne riječi, dobit ćete naziv jedne od vrsta trigonometrijskih jednačina.

1. Vrijednost varijable koja čini jednačinu istinitom? (korijen)

2.Jedinica uglova? (radijan)

3.Numerički faktor u proizvodu? (koeficijent)

4. Grana matematike koja proučava trigonometrijske funkcije? (trigonometrija)

5. Koji matematički model je potreban za uvođenje trigonometrijskih funkcija? (Krug)

6.Koja je trigonometrijska funkcija parna? (kosinus)

7. Kako se zove istinska jednakost? (Identitet)

8. Jednakost sa varijablom? (jednačina)

9. Jednačine koje imaju iste korijene? (ekvivalentno)

10. Koliko korijena ima jednačina? (rješenje)

IV. Objašnjenje novog materijala.

Tema lekcije je "Homogene trigonometrijske jednadžbe." (Prezentacija)

primjeri:

1. sin x + cos x = 0
2. √3cos x + sin x = 0
3. sin 4x = cos 4x
4. 2sin 2 x + 3 sin x cos x + cos 2 x = 0
5. 4 greh 2 x – 5 sin x cos x – 6 cos 2 x = 0
6. sin 2 x + 2 sin x cos x – 3cos 2 x + 2 = 0
7. 4sin 2 x – 8 sin x cos x + 10 cos 2 x = 3
8. 1 + 7cos 2 x = 3 sin 2x
9. sin 2x + 2cos 2x = 1

V. Samostalni rad

Ciljevi: sveobuhvatno provjeriti znanje učenika pri rješavanju svih vrsta trigonometrijskih jednačina, potaknuti učenike na samoanalizu i samokontrolu.
Od učenika se traži da urade pismeni rad u trajanju od 10 minuta.
Učenici rade na praznim komadićima papira za kopiranje. Nakon vremena sakupljaju se vrhovi samostalnog rada, a rješenja ostaju učenicima za kopiranje.
Provjera samostalnog rada (3 min) vrši se međusobnom provjerom.
. Učenici koriste olovku u boji da provjere pismeni rad svog komšije i zapišu ime osobe koja provjerava. Zatim predaju papire.

Zatim ga predaju nezavisnom stručnjaku.

Opcija 1: 1) sin x = √3cos x

2) 3sin 2 x – 7sin x cos x + 2 cos 2 x = 0

3) 3sin x – 2sin x cos x = 1

4) sin 2x⁄sin x =0

Opcija 2: 1) cosx + √3sin x = 0

2)2sin 2 x + 3sin x cos x – 2 cos 2 x = 0

3)1 + sin 2 x = 2 sin x cos x

4) cos 2x ⁄ cos x = 0

VI. Sumiranje lekcije

VII. Zadaća:

Domaća zadaća – 12 bodova (za domaći zadatak su zadate 3 jednačine 4 x 3 = 12)

Aktivnost učenika – 1 odgovor – 1 bod (maksimalno 4 boda)

Rješavanje jednadžbi 1 bod

Samostalan rad – 4 boda

Nastavnik: Sinitsina S.I.

MBOU Srednja škola br. 20 nazvana po N.I. Milevskom

Tema: Homogene trigonometrijske jednadžbe (10. razred)

Ciljevi: Upoznati pojam homogenih trigonometrijskih jednačina I i II stepena;

Formulirati i izraditi algoritam za rješavanje homogenih trigonometrijskih problema

jednačine stepena I i II;

Ojačati vještine rješavanja svih vrsta trigonometrijskih jednačina kroz

razvoj i unapređenje vještina primjene postojećih znanja u modificiranom

situacije, kroz sposobnost izvođenja zaključaka i generalizacije

Usađivanje urednosti i kulture ponašanja kod učenika.

Tip lekcije: lekcija formiranja novih znanja.

Oprema: kompjuter, multimedijalni projektor, platno, tabla, prezentacija

Tokom nastave

I. Organizacioni momenat

Pozdravljanje učenika, mobiliziranje pažnje.

II. Ažuriranje referentnog znanja ( Domaće zadaće provjeravaju konsultanti prije nastave. Nastavnik sumira domaći zadatak.)

Učitelj: Nastavljamo s proučavanjem teme „Trigonometrijske jednačine“. Danas ćemo vas u lekciji upoznati sa još jednom vrstom trigonometrijskih jednadžbi i metodama za njihovo rješavanje, te ćemo stoga ponoviti ono što smo naučili. Kod rješavanja svih vrsta trigonometrijskih jednadžbi one se svode na rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi.

Usmeni rad

1. Koju jednačinu nazivamo trigonometrijskom?
2. Imenujte algoritam za rješavanje jednadžbe cos t = a
3. Imenujte algoritam za rješavanje jednačine sin t = a

III. Motivacija za učenje.

Učitelj: Moramo raditi na rješavanju ukrštenice. Nakon što ga riješimo, saznat ćemo naziv nove vrste jednadžbi koje ćemo naučiti rješavati danas na času.

Pitanja se projektuju na tablu. Nakon što riješe ukrštenicu, djeca će pročitati riječ „homogena“.

1.Vrijednost varijable koja čini jednačinu istinitom? (korijen)

2.Jedinica uglova? (radijan)

3.Numerički faktor u proizvodu? (Koeficijent)

4. Grana matematike koja proučava trigonometrijske funkcije? (trigonometrija)

5.Koji je matematički model potreban za uvođenje trigonometrijskih funkcija? (Zaokruži)

6. Koja je trigonometrijska funkcija parna? (Kosinus)

7. Kako se zove istinska jednakost? (Identitet)

8. Jednakost sa varijablom? (jednadžbe)

9. Jednačine koje imaju iste korijene? (ekvivalentno)

10. Koliko korijena ima jednačina? (rješenje)

IV. Objašnjenje nove teme

Učitelj: Tema lekcije je „Homogene trigonometrijske jednačine“.

Zapišimo temu lekcije u svesku. Homogene trigonometrijske jednačine su prvog i drugog stepena.

Zapišimo definiciju homogene jednačine prvog stepena. Prikazujem primjer rješavanja ove vrste jednadžbe, kreirate algoritam za rješavanje homogene trigonometrijske jednačine prvog stepena.

Jednačina oblika a sinx + b cosx = 0 naziva se homogena trigonometrijska jednačina prvog stepena.

Razmotrimo rješavanje jednadžbe kada su koeficijenti a i b različiti od 0.

Primjer 1: 2sinx - 3cosx = 0

Podijelimo obje strane člana po članu sa cosx, dobivamo

2sinx/ cosx - 3cosx/ cosx = 0

2 tg x-3 =0, tg x =3/2, x= arctan3/2 + πn, nê Z,

Pažnja! Možete dijeliti istim izrazom samo ako se ovaj izraz nigdje ne pretvara u 0. Hajde da analiziramo. Ako je kosinus jednak 0, onda da bi se cijeli izraz pretvorio u 0, sinus također mora biti jednak 0 (uzimamo u obzir da su koeficijenti različiti od 0). Ali znamo da sinus i kosinus nestaju u različitim tačkama. Stoga se takva operacija može izvesti prilikom rješavanja ove vrste jednadžbi.

Jednačina oblika a sin mx + b cos mx = 0 naziva se i homogena trigonometrijska jednačina prvog stepena i također se rješava dijeljenjem obje strane jednačine sa cos mh.

Jednačina oblika a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0 naziva se homogena trigonometrijska jednačina drugog stepena.

Primjer2: sin 2 x – 3 sinx cosx +2 cos 2 x = 0

Koeficijent a se razlikuje od 0 i stoga, kao iu prethodnoj jednadžbi, cosx 0 i stoga možete koristiti metodu dijeljenja obje strane jednadžbe sa cos 2 x.

Dobijamo tg 2 x – 3 tgx +2 = 0

Rješavamo uvođenjem nove varijable neka je tgx = a, tada dobijamo jednačinu

a 2 -3 a +2 = 0 a 1 = 1 a 2 = 2

Nazad na zamjenu

tgx =1, x = ¼π+ πn, nê Z tgx = 2, x = arktan 2 + πn, nê Z

Odgovor: x = ¼π + πn, nê Z, x = arktan 2 + πn, nê Z

Ako je koeficijent a = 0, onda jednačina ima oblik –3sinx cosx + 2cos 2 x = 0, rješavamo je tako što ćemo zajednički faktor – cosx izvaditi iz zagrada: – cosx (3 sinx – 2cosx) = 0,

cosx = 0 ili 3sinx – 2cosx = 0. Druga jednačina je homogena jednačina prvog stepena.

Ako je koeficijent c = 0, onda će jednačina dobiti oblik sin 2 x -3sinx cosx = 0, rješavamo je tako što ćemo zajednički faktor sinx izvaditi iz zagrada: sinx (sinx -3 cosx) = 0,

sinx = 0 ili sinx -3 cosx = 0. Druga jednačina je homogena jednačina prvog stepena.

Algoritam za rješavanje homogene trigonometrijske jednadžbe drugog stepena:

1. Pogledajte da li jednačina sadrži pojam a sin 2 x.

2. Ako je pojam asin 2 x sadržan u jednačini (tj. a 0), tada se jednačina rješava dijeljenjem

obje strane jednadžbe na cos 2 x i naknadno uvođenje nove varijable a = tgx

3. Ako izraz asin 2 x nije sadržan u jednačini (tj. a = 0), tada se jednačina rješava faktorizacijom: cosx se vadi iz zagrada.

Homogene jednačine oblika a sin 2 mx + b sin mx cos mx + c cos 2 mx = 0 reseno na isti nacin

V. Usvajanje novih znanja

Da li su ove jednačine homogene?

1. sin x = 2 cos x
2. sin 5x + cos 5x = 0
3. sin 3x - cos 3x = 2
4. sin 2 8x – 5 sin8x cos8x +2 cos 2 8x =0

VI. Minut fizičkog vaspitanja

VII. Formiranje vještina rješavanja homogenih trigonometrijskih jednačina

Otvorite knjige zadataka str 47 br. 18.10 (a), br. 18.11 (a, b), 18.12 (d)

VIII. samostalan rad ( učenici biraju diferencirane zadatke prema dvije opcije)

Opcija 1 Opcija 2

1) sinx + 2cosx = 0. 1) sinx - 4cosx = 0.

2) sin 2 x + 2sinx cosx -3 cos 2 x = 0 2) sin 2 x – 4 sinx cosx +3 cos 2 x = 0

3) 2sin 2 2x – 5 sin2x cos2x +2 cos 2 2x = 0 3) 3sin 2 3x +10 sin3x cos3x +3 cos 2 3x = 0

Tačni odgovori se projektuju na tabli.

IX. Sumiranje lekcije, ocjenjivanje

O kojoj vrsti trigonometrijskih jednačina smo učili na času?

Koje jednačine nazivamo homogenim?

Formulisati algoritme za rešavanje homogenih trigonometrijskih jednačina prvog i drugog stepena.

X. Domaći zadatak: Sastaviti i rešiti 2 homogene jednačine prvog stepena i 1 homogenu jednačinu drugog stepena