Rješavanje jednostavnih logaritamskih jednadžbi. Logaritamski izrazi. primjeri

Logaritamska jednadžba je jednadžba u kojoj su nepoznata (x) i izrazi sa njom pod znakom logaritamske funkcije. Rješavanje logaritamskih jednadžbi pretpostavlja da ste već upoznati sa i .
Kako riješiti logaritamske jednadžbe?

Najjednostavnija jednačina je log a x = b, gdje su a i b neki brojevi, x je nepoznanica.
Rješavanje logaritamske jednadžbe je x = a b pod uslovom: a > 0, a 1.

Treba napomenuti da ako je x negdje izvan logaritma, na primjer log 2 x = x-2, onda se takva jednadžba već zove mješovita i potreban je poseban pristup za njeno rješavanje.

Idealan slučaj je kada naiđete na jednačinu u kojoj su samo brojevi pod znakom logaritma, na primjer x+2 = log 2 2. Ovdje je dovoljno poznavati svojstva logaritma da biste je riješili. Ali takva sreća se ne dešava često, pa se pripremite za teže stvari.

Ali prvo, počnimo sa jednostavne jednačine. Za njihovo rješavanje poželjno je imati najviše opšta ideja o logaritmu.

Rješavanje jednostavnih logaritamskih jednadžbi

One uključuju jednačine tipa log 2 x = log 2 16. Golim okom se može vidjeti da izostavljanjem znaka logaritma dobijamo x = 16.

Za rješavanje složenije logaritamske jednadžbe obično se svodi na rješavanje uobičajene algebarska jednačina ili na rješenje najjednostavnije logaritamske jednadžbe log a x = b. U najjednostavnijim jednačinama to se događa u jednom kretanju, zbog čega se nazivaju najjednostavnijim.

Navedena metoda ispuštanja logaritama jedan je od glavnih načina rješavanja logaritamskih jednačina i nejednačina. U matematici se ova operacija naziva potenciranje. Postoje određena pravila ili ograničenja za ovu vrstu operacije:

• logaritmi imaju iste numeričke baze
• Logaritmi na obje strane jednačine su slobodni, tj. bez ikakvih koeficijenata ili drugih raznih vrsta izraza.

Recimo u jednačini log 2 x = 2log 2 (1 - x) potenciranje nije primjenjivo - koeficijent 2 na desnoj strani to ne dozvoljava. U sljedećem primjeru, log 2 x+log 2 (1 - x) = log 2 (1+x) također ne zadovoljava jedno od ograničenja - postoje dva logaritma na lijevoj strani. Da postoji samo jedan, bila bi sasvim druga stvar!

Općenito, logaritme možete ukloniti samo ako jednadžba ima oblik:

log a (...) = log a (...)

Apsolutno bilo koji izrazi se mogu staviti u zagrade; to nema apsolutno nikakvog utjecaja na operaciju potenciranja. A nakon eliminacije logaritma, ostat će jednostavnija jednačina - linearna, kvadratna, eksponencijalna itd., koju, nadam se, već znate riješiti.

Uzmimo još jedan primjer:

log 3 (2x-5) = log 3 x

Primjenjujemo potenciranje, dobijamo:

log 3 (2x-1) = 2

Na osnovu definicije logaritma, naime, da je logaritam broj na koji se baza mora podići da bi se dobio izraz koji je pod predznakom logaritma, tj. (4x-1), dobijamo:

Opet smo dobili prekrasan odgovor. Ovdje nismo eliminirali logaritme, ali je i ovdje primjenjivo potenciranje, jer se logaritam može napraviti od bilo kojeg broja, i to upravo onog koji nam je potreban. Ova metoda je od velike pomoći u rješavanju logaritamskih jednadžbi, a posebno nejednačina.

Rešimo našu logaritamsku jednačinu log 3 (2x-1) = 2 koristeći potenciranje:

Zamislimo broj 2 kao logaritam, na primjer, ovaj log 3 9, jer je 3 2 =9.

Zatim log 3 (2x-1) = log 3 9 i opet dobijamo istu jednačinu 2x-1 = 9. Nadam se da je sve jasno.

Pa smo pogledali kako riješiti najjednostavnije logaritamske jednadžbe, koje su zapravo vrlo važne, jer rješavanje logaritamskih jednadžbi, čak i oni najstrašniji i najizvrnutiji, na kraju se uvijek svode na rješavanje najjednostavnijih jednačina.

U svemu što smo gore radili, jedan nam je jako nedostajao važna tačka, koji će igrati odlučujuću ulogu u budućnosti. Činjenica je da se rješenje bilo koje logaritamske jednadžbe, čak i one najelementarnije, sastoji od dva jednaka dijela. Prvo je rješenje same jednadžbe, drugo je rad s rasponom dozvoljenih vrijednosti (APV). Ovo je upravo prvi dio koji smo savladali. U gore navedenom primjeri DL ne utiče na odgovor ni na koji način, tako da ga nismo razmatrali.

Uzmimo još jedan primjer:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Spolja, ova jednačina se ne razlikuje od elementarne, koja se može vrlo uspješno riješiti. Ali nije tako. Ne, naravno da ćemo to riješiti, ali najvjerovatnije pogrešno, jer sadrži malu zasjedu u koju odmah upadaju i učenici C razreda i odlični učenici. Pogledajmo izbliza.

Recimo da trebate pronaći korijen jednadžbe ili zbroj korijena, ako ih ima nekoliko:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Koristimo potenciranje, ovdje je prihvatljivo. Kao rezultat, dobijamo uobičajeno kvadratna jednačina.

Pronalaženje korijena jednadžbe:

Ispostavilo se dva korijena.

Odgovor: 3 i -1

Na prvi pogled sve je tačno. Ali hajde da proverimo rezultat i zamenimo ga u originalnu jednačinu.

Počnimo sa x 1 = 3:

log 3 6 = log 3 6

Provjera je bila uspješna, sada je red x 2 = -1:

log 3 (-2) = log 3 (-2)

Ok, stani! Spolja je sve savršeno. Jedna stvar - ne postoje logaritmi od negativnih brojeva! To znači da korijen x = -1 nije pogodan za rješavanje naše jednadžbe. I stoga će tačan odgovor biti 3, a ne 2, kako smo napisali.

Tu je ODZ odigrao svoju fatalnu ulogu, na koju smo zaboravili.

Da vas podsjetim da raspon prihvatljivih vrijednosti uključuje one vrijednosti x koje su dozvoljene ili imaju smisla za originalni primjer.

Bez ODZ-a, svako rješenje, čak i apsolutno ispravno, bilo koje jednadžbe pretvara se u lutriju - 50/50.

Kako bismo mogli biti uhvaćeni u rješavanju naizgled elementarnog primjera? Ali upravo u trenutku potenciranja. Nestali su logaritmi, a sa njima i sva ograničenja.

Šta učiniti u ovom slučaju? Odbiti eliminirati logaritme? I potpuno odbiti riješiti ovu jednačinu?

Ne, samo ćemo, kao pravi junaci iz jedne poznate pesme, zaobići!

Prije nego počnemo rješavati bilo koju logaritamsku jednadžbu, zapisat ćemo ODZ. Ali nakon toga, možete raditi šta god vam srce poželi sa našom jednačinom. Dobivši odgovor, jednostavno izbacimo one korijene koji nisu uključeni u naš ODZ i zapišemo konačnu verziju.

Sada odlučimo kako snimiti ODZ. Da bismo to učinili, pažljivo ispitujemo originalnu jednadžbu i tražimo sumnjiva mjesta u njoj, kao što je podjela sa x, paran korijen itd. Dok ne riješimo jednačinu, ne znamo čemu je x jednako, ali sigurno znamo da postoji x koji će, kada se zameni, dati deljenje sa 0 ili ekstrakciju kvadratni korijen od negativan broj, očigledno nisu prikladni kao odgovor. Stoga su takvi x neprihvatljivi, dok će ostatak činiti ODZ.

Koristimo ponovo istu jednačinu:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Kao što vidite, nema dijeljenja sa 0, kvadratni korijeni također ne, ali postoje izrazi sa x u tijelu logaritma. Podsjetimo odmah da izraz unutar logaritma uvijek mora biti >0. Ovaj uslov zapisujemo u obliku ODZ:

One. Nismo još ništa riješili, ali smo već zapisali obavezni uvjet za cijeli podlogaritamski izraz. Vitičasta zagrada znači da ovi uslovi moraju biti istiniti istovremeno.

ODZ je zapisan, ali je potrebno i riješiti nastali sistem nejednakosti, što ćemo i uraditi. Dobijamo odgovor x > v3. Sada sigurno znamo koji nam x neće odgovarati. I tada počinjemo rješavati samu logaritamsku jednačinu, što smo i uradili gore.

Dobivši odgovore x 1 = 3 i x 2 = -1, lako je vidjeti da nam odgovara samo x1 = 3 i to zapisujemo kao konačan odgovor.

Za budućnost je vrlo važno zapamtiti sljedeće: bilo koju logaritamsku jednačinu rješavamo u 2 faze. Prvi je rješavanje same jednačine, drugi je rješavanje ODZ uvjeta. Obe etape se izvode nezavisno jedna od druge i upoređuju se samo prilikom pisanja odgovora, tj. odbacite sve nepotrebno i zapišite tačan odgovor.

Da biste ojačali materijal, toplo preporučujemo gledanje videa:

Video prikazuje druge primjere rješavanja log. jednadžbe i razrada intervalne metode u praksi.

na ovo pitanje, kako riješiti logaritamske jednadžbe To je sve za sada. Ako nešto odluči dnevnik. jednadžbe ostaju nejasne ili nerazumljive, napišite svoja pitanja u komentarima.

Napomena: Akademija socijalnog obrazovanja (ASE) je spremna da primi nove studente.

U ovoj lekciji ćemo razmotriti osnovne teorijske činjenice o logaritmima i razmotriti rješavanje najjednostavnijih logaritamskih jednadžbi.

Prisjetimo se središnje definicije - definicije logaritma. To je povezano sa odlukom eksponencijalna jednačina. Ova jednadžba ima jedan korijen, naziva se logaritam od b prema bazi a:

definicija:

Logaritam od b prema bazi a je eksponent na koji se baza a mora podići da bi se dobilo b.

Dozvolite da vas podsjetimo osnovni logaritamski identitet.

Izraz (izraz 1) je korijen jednadžbe (izraz 2). Zamijenite vrijednost x iz izraza 1 umjesto x u izraz 2 i dobijete glavni logaritamski identitet:

Dakle, vidimo da je svaka vrijednost povezana s vrijednošću. Označavamo b sa x(), c sa y i tako dobijamo logaritamsku funkciju:

Na primjer:

Prisjetimo se osnovnih svojstava logaritamske funkcije.

Obratimo pažnju još jednom, jer pod logaritmom može postojati striktno pozitivan izraz, kao osnova logaritma.

Rice. 1. Grafikon logaritamske funkcije s različitim bazama

Grafikon funkcije at je prikazan crnom bojom. Rice. 1. Ako se argument povećava od nule do beskonačnosti, funkcija raste od minus do plus beskonačno.

Grafikon funkcije at je prikazan crvenom bojom. Rice. 1.

Svojstva ove funkcije:

Domena: ;

Raspon vrijednosti: ;

Funkcija je monotona u cijelom svom domenu definicije. Kada se monotono (strogo) povećava, veća vrijednost argument odgovara većoj vrijednosti funkcije. Kada se monotono (strogo) smanjuje, veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije.

Svojstva logaritamske funkcije su ključ za rješavanje raznih logaritamskih jednadžbi.

Razmotrimo najjednostavniju logaritamsku jednadžbinu; sve ostale logaritamske jednadžbe se po pravilu svode na ovaj oblik.

Kako su osnove logaritma i sami logaritmi jednaki, jednake su i funkcije pod logaritmom, ali ne smijemo propustiti domen definicije. Pod logaritmom se može pojaviti samo pozitivan broj, imamo:

Otkrili smo da su funkcije f i g jednake, pa je dovoljno odabrati bilo koju nejednakost da bi se uskladila s ODZ.

Dakle, imamo mješoviti sistem u kojem postoji jednačina i nejednakost:

U pravilu nije potrebno rješavati nejednačinu, dovoljno je riješiti jednadžbu i u nejednačinu zamijeniti pronađene korijene, čime se vrši provjera.

Formulirajmo metodu za rješavanje najjednostavnijih logaritamskih jednadžbi:

Izjednačiti osnove logaritama;

Izjednačiti sublogaritamske funkcije;

Izvršite provjeru.

Pogledajmo konkretne primjere.

Primjer 1 - riješiti jednačinu:

Osnove logaritama su u početku jednake, imamo pravo izjednačiti podlogaritamske izraze, ne zaboravite na ODZ, biramo prvi logaritam da sastavimo nejednakost:

Primjer 2 - riješiti jednačinu:

Ova jednačina se razlikuje od prethodne po tome što su baze logaritama manje od jedan, ali to ni na koji način ne utiče na rješenje:

Nađimo korijen i zamijenimo ga u nejednakosti:

Dobili smo netačnu nejednakost, što znači da pronađeni korijen ne zadovoljava ODZ.

Primjer 3 - riješiti jednačinu:

Osnove logaritama su u početku jednake, imamo pravo izjednačiti podlogaritamske izraze, ne zaboravite na ODZ, biramo drugi logaritam da sastavimo nejednakost:

Nađimo korijen i zamijenimo ga u nejednakosti:

Očigledno, samo prvi korijen zadovoljava ODZ.

Danas ćemo naučiti kako riješiti najjednostavnije logaritamske jednadžbe, gdje nisu potrebne preliminarne transformacije ili odabir korijena. Ali ako naučite rješavati takve jednadžbe, onda će to biti mnogo lakše.

Najjednostavnija logaritamska jednadžba je jednadžba oblika log a f (x) = b, gdje su a, b brojevi (a > 0, a ≠ 1), f (x) je određena funkcija.

Karakteristična karakteristika svih logaritamskih jednačina je prisustvo varijable x pod znakom logaritma. Ako je ovo jednačina koja je prvobitno data u zadatku, naziva se najjednostavnija. Sve druge logaritamske jednadžbe se svode na najjednostavnije posebnim transformacijama (pogledajte “Osnovne osobine logaritama”). Međutim, brojne suptilnosti moraju se uzeti u obzir: mogu se pojaviti dodatni korijeni, pa će se složene logaritamske jednadžbe razmatrati zasebno.

Kako riješiti takve jednačine? Dovoljno je zamijeniti broj desno od znaka jednakosti logaritmom u istoj osnovi kao lijevo. Tada se možete riješiti predznaka logaritma. Dobijamo:

log a f (x) = b ⇒ log a f (x) = log a a b ⇒ f (x) = a b

Imam obična jednačina. Njegovi korijeni su korijeni originalne jednadžbe.

Vađenje diploma

Često se logaritamske jednadžbe, koje spolja izgledaju složeno i prijeteće, rješavaju doslovno u nekoliko redaka bez uključivanja složene formule. Danas ćemo se osvrnuti na upravo takve probleme, gdje se od vas traži samo da pažljivo svedete formulu na kanonski oblik i da se ne zbunite u potrazi za domenom definicije logaritama.

Danas ćemo, kao što ste vjerojatno pogodili iz naslova, rješavati logaritamske jednadžbe koristeći formule za prijelaz u kanonski oblik. Glavni “trik” ove video lekcije bit će rad sa diplomama, odnosno deduciranje stepena iz osnove i argumenta. Pogledajmo pravilo:

Slično, možete izvesti stepen iz baze:

Kao što vidimo, ako kada uklonimo stepen iz argumenta logaritma jednostavno imamo dodatni faktor ispred, onda kada uklonimo stepen iz baze ne dobijamo samo faktor, već obrnuti faktor. Ovo treba zapamtiti.

Konačno, ono najzanimljivije. Ove formule se mogu kombinovati i onda dobijamo:

Naravno, prilikom ovih prijelaza postoje određene zamke povezane s mogućim proširenjem obima definicije ili, obrnuto, sužavanjem obima definicije. Procijenite sami:

log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 x

Ako bi u prvom slučaju x mogao biti bilo koji broj osim 0, tj. zahtjev x ≠ 0, onda se u drugom slučaju zadovoljavamo samo sa x, koji ne samo da nije jednak, već je striktno veći od 0, jer je domen definicija logaritma je da argument bude striktno veći od 0. Stoga ću vas podsjetiti na jednu divnu formulu iz kursa algebre od 8. do 9. razreda:

Odnosno, našu formulu moramo napisati na sljedeći način:

log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 |x |

Tada neće doći do sužavanja opsega definicije.

Međutim, u današnjem video tutorijalu neće biti kvadrata. Ako pogledate naše zadatke, vidjet ćete samo korijene. Stoga ovo pravilo nećemo primjenjivati, ali ga ipak morate imati na umu kako biste u pravom trenutku, kada vidite kvadratna funkcija u argumentu ili bazi logaritma, zapamtit ćete ovo pravilo i pravilno izvesti sve transformacije.

Dakle, prva jednačina je:

Da bih riješio ovaj problem, predlažem da pažljivo pogledamo svaki od pojmova prisutnih u formuli.

Zapišimo prvi član kao stepen s racionalnim eksponentom:

Gledamo drugi član: log 3 (1 − x). Ovdje ne treba ništa raditi, ovdje je sve već transformirano.

Konačno, 0, 5. Kao što sam rekao u prethodnim lekcijama, prilikom rješavanja logaritamskih jednadžbi i formula, toplo preporučujem prelazak sa decimalnih razlomaka na uobičajene. Uradimo ovo:

0,5 = 5/10 = 1/2

Prepišimo našu originalnu formulu uzimajući u obzir rezultirajuće pojmove:

log 3 (1 − x ) = 1

Sada pređimo na kanonski oblik:

log 3 (1 − x ) = log 3 3

Riješimo se znaka logaritma izjednačavanjem argumenata:

1 − x = 3

−x = 2

x = −2

To je to, riješili smo jednačinu. Međutim, hajde da ipak igramo na sigurno i pronađemo domen definicije. Da bismo to učinili, vratimo se na originalnu formulu i vidimo:

1 − x > 0

−x > −1

x< 1

Naš korijen x = −2 zadovoljava ovaj zahtjev, stoga je x = −2 rješenje originalne jednačine. Sada smo dobili strogo, jasno opravdanje. To je to, problem rešen.

Pređimo na drugi zadatak:

Pogledajmo svaki pojam posebno.

Napišimo prvu:

Transformisali smo prvi mandat. Radimo sa drugim terminom:

Konačno, posljednji član, koji je desno od znaka jednakosti:

Zamjenjujemo rezultirajuće izraze umjesto pojmova u rezultirajućoj formuli:

log 3 x = 1

Pređimo na kanonski oblik:

log 3 x = log 3 3

Riješimo se znaka logaritma, izjednačavajući argumente, i dobijamo:

x = 3

Opet, samo da budemo sigurni, vratimo se originalnoj jednadžbi i pogledajmo. U originalnoj formuli, varijabla x je prisutna samo u argumentu, dakle,

x > 0

U drugom logaritmu, x je ispod korijena, ali opet u argumentu, dakle, korijen mora biti veći od 0, tj. radikalni izraz mora biti veći od 0. Gledamo naš korijen x = 3. Očigledno, to zadovoljava ovaj zahtjev. Dakle, x = 3 je rješenje originalne logaritamske jednadžbe. To je to, problem rešen.

Postoje dvije ključne tačke u današnjem video tutorijalu:

1) ne plašite se transformacije logaritma i, posebno, ne plašite se izuzimanja stepena iz predznaka logaritma, pritom zapamtite našu osnovnu formulu: kada se odstranjuje stepen iz argumenta, on se jednostavno vadi bez promena kao množitelj, a kada se snaga skida sa baze, ova snaga se invertuje.

2) druga tačka se odnosi na sam kanonski oblik. Prijelaz na kanonski oblik izvršili smo na samom kraju transformacije formule logaritamske jednačine. Dozvolite mi da vas podsjetim na sljedeću formulu:

a = log b b a

Naravno, pod izrazom „bilo koji broj b“ mislim na one brojeve koji zadovoljavaju zahtjeve postavljene na osnovu logaritma, tj.

1 ≠ b > 0

Za takav b, a pošto već znamo osnovu, ovaj zahtjev će biti automatski ispunjen. Ali za takve b - bilo koje koje zadovoljavaju ovaj zahtjev - ovaj prijelaz se može izvršiti, i dobićemo kanonski oblik u kojem se možemo riješiti predznaka logaritma.

Proširivanje domena definicije i dodatnih korijena

U procesu transformacije logaritamskih jednadžbi može doći do implicitnog proširenja domena definicije. Učenici to često i ne primjećuju, što dovodi do grešaka i netačnih odgovora.

Počnimo s najjednostavnijim dizajnom. Najjednostavnija logaritamska jednadžba je sljedeća:

log a f (x) = b

Imajte na umu da je x prisutan samo u jednom argumentu jednog logaritma. Kako rješavamo takve jednačine? Koristimo kanonski oblik. Da biste to učinili, zamislite broj b = log a a b, a naša jednačina će biti prepisana na sljedeći način:

log a f (x) = log a a b

Ovaj unos se zove kanonski oblik. Na to trebate svesti svaku logaritamsku jednadžbu s kojom ćete se susresti ne samo u današnjoj lekciji, već iu svakom samostalnom i probnom radu.

Kako doći do kanonske forme i koje tehnike koristiti je stvar prakse. Glavna stvar koju treba shvatiti je da čim dobijete takav zapis, problem možete smatrati riješenim. Jer sljedeći korak je da napišete:

f (x) = a b

Drugim riječima, riješimo se znaka logaritma i jednostavno izjednačimo argumente.

Čemu sva ova priča? Činjenica je da je kanonski oblik primjenjiv ne samo na najjednostavnije probleme, već i na sve druge. Posebno one o kojima ćemo danas odlučiti. Hajde da pogledamo.

Prvi zadatak:

Šta je problem sa ovom jednačinom? Činjenica je da je funkcija u dva logaritma odjednom. Problem se može svesti na najjednostavniji način jednostavnim oduzimanjem jednog logaritma od drugog. Ali problemi se javljaju s područjem definicije: mogu se pojaviti dodatni korijeni. Dakle, samo pomjerimo jedan od logaritama udesno:

Ovaj unos je mnogo sličniji kanonskom obliku. Ali postoji još jedna nijansa: u kanonskom obliku, argumenti moraju biti isti. I na lijevoj strani imamo logaritam u bazi 3, a na desnoj u bazi 1/3. On zna da ove baze treba dovesti u isti broj. Na primjer, prisjetimo se koje su negativne moći:

A onda ćemo koristiti eksponent "−1" izvan log kao množitelj:

Imajte na umu: stepen koji je bio u bazi se okreće i pretvara se u razlomak. Dobili smo skoro kanonsku notaciju tako što smo se riješili različitih baza, ali smo zauzvrat dobili faktor “−1” na desnoj strani. Uračunajmo ovaj faktor u argument pretvarajući ga u moć:

Naravno, primivši kanonski oblik, hrabro precrtavamo znak logaritma i izjednačavamo argumente. Ujedno, da vas podsjetim da kada se podigne na stepen "−1", razlomak se jednostavno preokrene - dobije se proporcija.

Iskoristimo osnovno svojstvo proporcije i pomnožimo ga unakrsno:

(x − 4) (2x − 1) = (x − 5) (3x − 4)

2x 2 − x − 8x + 4 = 3x 2 − 4x − 15x + 20

2x 2 − 9x + 4 = 3x 2 − 19x + 20

x 2 − 10x + 16 = 0

Pred nama je gornja kvadratna jednadžba, pa je rješavamo pomoću Vietinih formula:

(x − 8)(x − 2) = 0

x 1 = 8; x 2 = 2

To je sve. Mislite li da je jednačina riješena? Ne! Za takvo rješenje dobit ćemo 0 bodova, jer originalna jednadžba sadrži dva logaritma s promjenljivom x. Stoga je potrebno voditi računa o domenu definicije.

I tu počinje zabava. Većina učenika je zbunjena: koji je domen definicije logaritma? Naravno, svi argumenti (imamo dva) moraju biti veći od nule:

(x − 4)/(3x − 4) > 0

(x − 5)/(2x − 1) > 0

Svaka od ovih nejednakosti se mora riješiti, označiti na pravoj liniji, presjeći i tek onda vidjeti koji korijeni leže na raskrsnici.

Bit ću iskren: ova tehnika ima pravo na postojanje, pouzdana je i dobit ćete tačan odgovor, ali u njoj ima previše nepotrebnih koraka. Pa hajde da ponovo prođemo kroz naše rešenje i vidimo: gde tačno treba da primenimo opseg? Drugim riječima, morate jasno razumjeti kada se točno pojavljuju dodatni korijeni.

1. U početku smo imali dva logaritma. Zatim smo jedan od njih pomjerili udesno, ali to nije utjecalo na područje definicije.
2. Zatim uklanjamo potenciju iz baze, ali još uvijek postoje dva logaritma, a u svakom od njih postoji varijabla x.
3. Konačno, precrtavamo znakove dnevnika i dobivamo klasiku razlomak racionalna jednačina.

U posljednjem koraku širi se opseg definicije! Čim smo prešli na frakciono-racionalnu jednačinu, oslobodivši se log znakova, zahtjevi za varijablu x su se dramatično promijenili!

Shodno tome, domen definicije se može razmatrati ne na samom početku rješenja, već samo na pomenutom koraku – prije direktnog izjednačavanja argumenata.

Tu se krije prilika za optimizaciju. S jedne strane, od nas se traži da oba argumenta budu veća od nule. S druge strane, mi dalje izjednačavamo ove argumente. Dakle, ako je barem jedan od njih pozitivan, onda će i drugi biti pozitivan!

Dakle, ispada da je zahtjev da se dvije nejednakosti ispune odjednom previše. Dovoljno je uzeti u obzir samo jedan od ovih razlomaka. Koji? Onaj koji je jednostavniji. Na primjer, pogledajmo desni razlomak:

(x − 5)/(2x − 1) > 0

Ovo je tipična frakciona racionalna nejednakost; rješavamo je metodom intervala:

Kako postaviti znakove? Uzmimo broj koji je očito veći od svih naših korijena. Na primjer, 1 milijarda. I zamjenjujemo njegov dio. Dobijamo pozitivan broj, tj. desno od korijena x = 5 bit će znak plus.

Tada se znakovi izmjenjuju, jer nigdje nema korijena ravnomjernog mnoštva. Zanimaju nas intervali u kojima je funkcija pozitivna. Dakle, x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞).

Sada se prisjetimo odgovora: x = 8 i x = 2. Strogo govoreći, ovo još nisu odgovori, već samo kandidati za odgovor. Koji pripada navedenom skupu? Naravno, x = 8. Ali x = 2 nam ne odgovara u smislu svog domena definicije.

Ukupno, odgovor na prvu logaritamsku jednačinu će biti x = 8. Sada imamo kompetentno, dobro utemeljeno rješenje, uzimajući u obzir domen definicije.

Pređimo na drugu jednačinu:

log 5 (x − 9) = log 0,5 4 − log 5 (x − 5) + 3

Dozvolite mi da vas podsjetim da ako u jednadžbi postoji decimalni razlomak, onda biste ga se trebali riješiti. Drugim riječima, prepišimo 0,5 kao običan razlomak. Odmah primjećujemo da se logaritam koji sadrži ovu bazu lako izračunava:

Ovo je veoma važan trenutak! Kada imamo stepene iu bazi iu argumentu, možemo izvesti indikatore ovih stepeni koristeći formulu:

Vratimo se našoj originalnoj logaritamskoj jednadžbi i prepišimo je:

log 5 (x − 9) = 1 − log 5 (x − 5)

Dobili smo dizajn prilično blizak kanonskom obliku. Međutim, zbunjeni smo terminima i znakom minus desno od znaka jednakosti. Hajde da predstavimo jedan kao logaritam bazi 5:

log 5 (x − 9) = log 5 5 1 − log 5 (x − 5)

Oduzmite logaritme na desnoj strani (u ovom slučaju njihovi argumenti su podijeljeni):

log 5 (x − 9) = log 5 5/(x − 5)

Divno. Tako smo dobili kanonski oblik! Precrtavamo znakove dnevnika i izjednačavamo argumente:

(x − 9)/1 = 5/(x − 5)

Ovo je proporcija koja se lako može riješiti množenjem unakrsno:

(x − 9)(x − 5) = 5 1

x 2 − 9x − 5x + 45 = 5

x 2 − 14x + 40 = 0

Očigledno, imamo redukovanu kvadratnu jednačinu. Može se lako riješiti korištenjem Vietinih formula:

(x − 10)(x − 4) = 0

x 1 = 10

x 2 = 4

Imamo dva korena. Ali to nisu konačni odgovori, već samo kandidati, jer logaritamska jednačina zahtijeva i provjeru domena definicije.

Podsjećam vas: nema potrebe tražiti kada svaki argumenata će biti veći od nule. Dovoljno je zahtijevati da jedan argument — bilo x − 9 ili 5/(x − 5) — bude veći od nule. Razmotrite prvi argument:

x − 9 > 0

x > 9

Očigledno, samo x = 10 zadovoljava ovaj zahtjev.Ovo je konačni odgovor. Cijeli problem je riješen.

Još jednom, ključne misli današnje lekcije:

1. Čim se varijabla x pojavi u nekoliko logaritama, jednačina prestaje biti elementarna i za nju će se morati izračunati domen definicije. Inače, lako možete napisati dodatne korijene u odgovoru.
2. Rad sa samom domenom može se značajno pojednostaviti ako nejednakost ispišemo ne odmah, već tačno u trenutku kada se riješimo log znakova. Na kraju krajeva, kada su argumenti međusobno izjednačeni, dovoljno je zahtijevati da samo jedan od njih bude veći od nule.

Naravno, mi sami biramo koji ćemo argument koristiti za formiranje nejednakosti, pa je logično odabrati najjednostavniji. Na primjer, u drugoj jednačini odabrali smo argument (x − 9) - linearna funkcija, za razliku od razlomka racionalnog drugog argumenta. Slažem se, rješavanje nejednakosti x − 9 > 0 je mnogo lakše od 5/(x − 5) > 0. Iako je rezultat isti.

Ova napomena uvelike pojednostavljuje pretragu za ODZ, ali budite oprezni: možete koristiti jednu nejednakost umjesto dvije samo ako su argumenti tačni su jednake jedna drugoj!

Naravno, neko će se sada zapitati: šta se dešava drugačije? Da, ponekad. Na primjer, u samom koraku, kada pomnožimo dva argumenta koji sadrže varijablu, postoji opasnost od pojave nepotrebnih korijena.

Procijenite sami: prvo je potrebno da svaki od argumenata bude veći od nule, ali nakon množenja dovoljno je da njihov proizvod bude veći od nule. Kao rezultat, slučaj u kojem je svaki od ovih razlomaka negativan je propušten.

Stoga, ako tek počinjete da razumijevate složene logaritamske jednadžbe, ni u kojem slučaju ne množite logaritme koji sadrže varijablu x - to će prečesto dovesti do pojave nepotrebnih korijena. Bolje je napraviti još jedan korak, pomaknuti jedan pojam na drugu stranu i stvoriti kanonski oblik.

Pa, šta učiniti ako ne možete bez množenja takvih logaritama, razgovarat ćemo u sljedećoj video lekciji. :)

Još jednom o snagama u jednadžbi

Danas ćemo ispitati prilično klizavu temu koja se tiče logaritamskih jednačina, tačnije, uklanjanja potencija iz argumenata i baza logaritama.

Čak bih rekao da ćemo govoriti o uklanjanju parnih potencija, jer se kod rješavanja realnih logaritamskih jednačina javlja većina poteškoća.

Počnimo od kanonskog oblika. Recimo da imamo jednačinu oblika log a f (x) = b. U ovom slučaju prepisujemo broj b koristeći formulu b = log a a b . Ispada sledeće:

log a f (x) = log a a b

Zatim izjednačavamo argumente:

f (x) = a b

Pretposljednja formula se zove kanonski oblik. Na to pokušavaju svesti svaku logaritamsku jednadžbu, ma koliko ona na prvi pogled izgledala složena i zastrašujuća.

Pa hajde da probamo. Počnimo s prvim zadatkom:

Preliminarna napomena: kao što sam rekao, sve decimale u logaritamskoj jednadžbi bolje je pretvoriti u obične:

0,5 = 5/10 = 1/2

Prepišimo našu jednačinu uzimajući u obzir ovu činjenicu. Imajte na umu da su i 1/1000 i 100 potencije desetice, a onda hajde da izvadimo potencije gdje god da su: iz argumenata, pa čak i iz baze logaritama:

I ovdje mnogi studenti imaju pitanje: "Odakle je došao modul sa desne strane?" Zaista, zašto jednostavno ne napisati (x − 1)? Naravno, sada ćemo pisati (x − 1), ali uzimanje u obzir domena definicije daje nam pravo na takvu notaciju. Uostalom, drugi logaritam već sadrži (x − 1), a ovaj izraz mora biti veći od nule.

Ali kada uklonimo kvadrat iz baze logaritma, moramo ostaviti tačno modul u bazi. Dozvolite mi da objasnim zašto.

Činjenica je da je, sa matematičke tačke gledišta, sticanje diplome jednako uzimanju korijena. Konkretno, kada kvadriramo izraz (x − 1) 2, u suštini uzimamo drugi korijen. Ali kvadratni korijen nije ništa više od modula. Upravo modul, jer čak i ako je izraz x − 1 negativan, kada je na kvadrat, “minus” će i dalje izgorjeti. Daljnje vađenje korijena će nam dati pozitivan broj - bez ikakvih minusa.

Općenito, da biste izbjegli uvredljive greške, zapamtite jednom za svagda:

Korijen parnog stepena bilo koje funkcije koja je podignuta na isti stepen jednak je ne samoj funkciji, već njenom modulu:

Vratimo se našoj logaritamskoj jednadžbi. Govoreći o modulu, tvrdio sam da ga možemo ukloniti bezbolno. Istina je. Sada ću objasniti zašto. Strogo govoreći, morali smo razmotriti dvije opcije:

1. x − 1 > 0 ⇒ |x − 1| = x − 1
2. x − 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1

Svaka od ovih opcija bi trebala biti riješena. Ali postoji jedna kvaka: originalna formula već sadrži funkciju (x − 1) bez ikakvog modula. A slijedeći domenu definicije logaritama, imamo pravo odmah napisati da je x − 1 > 0.

Ovaj zahtjev mora biti zadovoljen bez obzira na sve module i druge transformacije koje izvodimo u procesu rješenja. Stoga, nema smisla razmatrati drugu opciju - ona se nikada neće pojaviti. Čak i ako dobijemo neke brojeve prilikom rješavanja ove grane nejednakosti, oni ipak neće biti uključeni u konačni odgovor.

Sada smo doslovno na korak od kanonskog oblika logaritamske jednadžbe. Predstavimo jedinicu na sljedeći način:

1 = log x − 1 (x − 1) 1

Osim toga, u argument uvodimo faktor −4, koji je desno:

log x − 1 10 −4 = log x − 1 (x − 1)

Pred nama je kanonski oblik logaritamske jednadžbe. Riješimo se znaka logaritma:

10 −4 = x − 1

Ali pošto je baza bila funkcija (a ne prost broj), dodatno zahtijevamo da ova funkcija bude veća od nule, a ne jednaka jedinici. Rezultirajući sistem će biti:

Pošto je uslov x − 1 > 0 zadovoljen automatski (na kraju krajeva, x − 1 = 10 −4), jedna od nejednakosti se može izbrisati iz našeg sistema. Drugi uslov se takođe može precrtati, jer je x − 1 = 0,0001< 1. Итого получаем:

x = 1 + 0,0001 = 1,0001

Ovo je jedini korijen koji automatski zadovoljava sve zahtjeve domena definicije logaritma (međutim, svi zahtjevi su eliminisani kao očigledno ispunjeni u uslovima našeg problema).

Dakle, druga jednačina:

3 log 3 x x = 2 log 9 x x 2

Po čemu se ova jednačina suštinski razlikuje od prethodne? Ako samo zbog činjenice da baze logaritama - 3x i 9x - nisu prirodni stepeni jedan drugog. Stoga prijelaz koji smo koristili u prethodnom rješenju nije moguć.

Oslobodimo se bar diploma. U našem slučaju, jedini stepen je u drugom argumentu:

3 log 3 x x = 2 ∙ 2 log 9 x |x |

Međutim, predznak modula se može ukloniti, jer je i varijabla x u osnovi, tj. x > 0 ⇒ |x| = x. Prepišimo našu logaritamsku jednačinu:

3 log 3 x x = 4 log 9 x x

Dobili smo logaritme u kojima su argumenti isti, ali su baze različite. Šta dalje? Ovdje postoji mnogo opcija, ali ćemo razmotriti samo dvije od njih, koje su najlogičnije, i što je najvažnije, to su brze i razumljive tehnike za većinu učenika.

Već smo razmotrili prvu opciju: u bilo kojoj nejasnoj situaciji, pretvoriti logaritme iz varijabilna baza na neku trajnu osnovu. Na primjer, na dvojku. Formula tranzicije je jednostavna:

Naravno, uloga varijable c treba da bude normalan broj: 1 ≠ c > 0. Neka je u našem slučaju c = 2. Sada imamo pred sobom običnu frakcionu racionalnu jednačinu. Sakupljamo sve elemente na lijevoj strani:

Očigledno, bolje je ukloniti log 2 x faktor, jer je prisutan i u prvoj i u drugoj frakciji.

log 2 x = 0;

3 log 2 9x = 4 log 2 3x

Svaki dnevnik razbijamo u dva pojma:

log 2 9x = log 2 9 + log 2 x = 2 log 2 3 + log 2 x;

log 2 3x = log 2 3 + log 2 x

Prepišimo obje strane jednakosti uzimajući u obzir ove činjenice:

3 (2 log 2 3 + log 2 x ) = 4 (log 2 3 + log 2 x )

6 log 2 3 + 3 log 2 x = 4 log 2 3 + 4 log 2 x

2 log 2 3 = log 2 x

Sada ostaje samo da unesete dvojku pod znakom logaritma (pretvoriće se u stepen: 3 2 = 9):

log 2 9 = log 2 x

Pred nama je klasični kanonski oblik, riješimo se znaka logaritma i dobijemo:

Kao što se i očekivalo, pokazalo se da je ovaj korijen veći od nule. Ostaje provjeriti domen definicije. Pogledajmo razloge:

Ali korijen x = 9 zadovoljava ove zahtjeve. Dakle, to je konačna odluka.

Zaključak iz ovu odluku jednostavno: nemojte se plašiti dugih rasporeda! Samo što smo na samom početku nasumično odabrali novu bazu - i to je značajno zakomplikovalo proces.

Ali onda se postavlja pitanje: šta je osnova optimalno? O tome ću govoriti u drugoj metodi.

Vratimo se našoj prvobitnoj jednadžbi:

3 log 3x x = 2 log 9x x 2

3 log 3x x = 2 ∙ 2 log 9x |x |

x > 0 ⇒ |x| = x

3 log 3 x x = 4 log 9 x x

Sada razmislimo malo: koji bi broj ili funkcija bila optimalna osnova? Očigledno je da najbolja opcija postojaće c = x - ono što je već u argumentima. U ovom slučaju, formula log a b = log c b /log c a će poprimiti oblik:

Drugim riječima, izraz je jednostavno obrnut. U ovom slučaju, argument i osnova mijenjaju mjesta.

Ova formula je vrlo korisna i vrlo se često koristi u rješavanju složenih logaritamskih jednadžbi. Međutim, postoji jedna vrlo ozbiljna zamka kada koristite ovu formulu. Ako zamijenimo varijablu x umjesto baze, tada se na nju nameću ograničenja koja prethodno nisu poštovana:

U originalnoj jednačini nije bilo takvog ograničenja. Stoga bismo trebali posebno provjeriti slučaj kada je x = 1. Zamijenite ovu vrijednost u našu jednačinu:

3 log 3 1 = 4 log 9 1

Dobijamo tačnu brojčanu jednakost. Stoga je x = 1 korijen. Pronašli smo potpuno isti korijen u prethodnoj metodi na samom početku rješenja.

Ali sada kada smo posebno razmotrili ovaj konkretni slučaj, sa sigurnošću pretpostavljamo da je x ≠ 1. Tada će naša logaritamska jednadžba biti prepisana u sljedećem obliku:

3 log x 9x = 4 log x 3x

Proširujemo oba logaritma koristeći istu formulu kao i prije. Imajte na umu da je log x x = 1:

3 (log x 9 + log x x ) = 4 (log x 3 + log x x)

3 log x 9 + 3 = 4 log x 3 + 4

3 log x 3 2 − 4 log x 3 = 4 − 3

2 log x 3 = 1

Tako smo došli do kanonskog oblika:

log x 9 = log x x 1

x=9

Dobili smo drugi korijen. Zadovoljava zahtjev x ≠ 1. Dakle, x = 9 zajedno sa x = 1 je konačni odgovor.

Kao što vidite, obim proračuna se neznatno smanjio. Ali kada se rješava realna logaritamska jednadžba, broj koraka će biti mnogo manji i zato što ne morate svaki korak opisati tako detaljno.

Ključno pravilo današnje lekcije je sljedeće: ako problem sadrži paran stepen, iz kojeg se izdvaja korijen istog stepena, onda će izlaz biti modul. Međutim, ovaj modul se može ukloniti ako obratite pažnju na domenu definicije logaritama.

Ali budite oprezni: nakon ove lekcije većina učenika misli da sve razumije. Ali kada se rješavaju stvarni problemi, oni ne mogu reproducirati cijeli logički lanac. Kao rezultat toga, jednadžba dobiva nepotrebne korijene, a odgovor se ispostavlja netačnim.

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, pravnim postupkom, odnosno na osnovu javnog zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Instrukcije

Napišite dati logaritamski izraz. Ako izraz koristi logaritam od 10, tada se njegova notacija skraćuje i izgleda ovako: lg b je decimalni logaritam. Ako logaritam ima broj e kao osnovu, onda napišite izraz: ln b – prirodni logaritam. Podrazumijeva se da je rezultat bilo kojeg stepena na koji se osnovni broj mora podići da bi se dobio broj b.

Kada pronađete zbir dvije funkcije, jednostavno ih trebate razlikovati jednu po jednu i dodati rezultate: (u+v)" = u"+v";

Prilikom pronalaženja izvoda umnožaka dviju funkcija potrebno je pomnožiti izvod prve funkcije s drugom i dodati izvod druge funkcije pomnožen s prvom funkcijom: (u*v)" = u"*v +v"*u;

Da bi se pronašao izvod količnika dvije funkcije, potrebno je od umnoška derivacije dividende pomnoženog sa funkcijom djelitelja oduzeti proizvod izvoda djelitelja pomnoženog s funkcijom dividende, i podijeliti sve to pomoću funkcije djelitelja na kvadrat. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Ako se da složena funkcija, tada je potrebno pomnožiti izvod od unutrašnja funkcija i derivat eksternog. Neka je y=u(v(x)), zatim y"(x)=y"(u)*v"(x).

Koristeći rezultate dobivene iznad, možete razlikovati gotovo svaku funkciju. Pa pogledajmo nekoliko primjera:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2) *x));
Postoje i problemi koji uključuju izračunavanje derivata u tački. Neka je data funkcija y=e^(x^2+6x+5), potrebno je pronaći vrijednost funkcije u tački x=1.
1) Pronađite izvod funkcije: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Izračunajte vrijednost funkcije u dati poen y"(1)=8*e^0=8

Video na temu

Koristan savjet

Naučite tablicu elementarnih derivata. Ovo će značajno uštedjeti vrijeme.

Izvori:

• derivat konstante

Dakle, koja je razlika? iracionalna jednačina od racionalnog? Ako je nepoznata varijabla ispod predznaka kvadratnog korijena, onda se jednačina smatra iracionalnom.

Instrukcije

Glavna metoda za rješavanje ovakvih jednačina je metoda konstruiranja obje strane jednačine u kvadrat. Kako god. ovo je prirodno, prvo što treba da uradite je da se rešite znaka. Ova metoda nije tehnički teška, ali ponekad može dovesti do problema. Na primjer, jednadžba je v(2x-5)=v(4x-7). Kvadriranjem obe strane dobijate 2x-5=4x-7. Rješavanje takve jednačine nije teško; x=1. Ali broj 1 neće biti dat jednačine. Zašto? Zamijenite jedan u jednačinu umjesto vrijednosti x. A desna i lijeva strana će sadržavati izraze koji nemaju smisla, tj. Ova vrijednost nije važeća za kvadratni korijen. Prema tome, 1 je strani korijen, i stoga ova jednadžba nema korijena.

Dakle, iracionalna jednačina se rješava metodom kvadriranja obje njene strane. I nakon rješavanja jednadžbe, potrebno je odrezati strane korijene. Da biste to učinili, zamijenite pronađene korijene u originalnu jednadžbu.

Razmotrite još jednu.
2h+vh-3=0
Naravno, ova jednačina se može riješiti korištenjem iste jednadžbe kao i prethodna. Move Compounds jednačine, koji nemaju kvadratni korijen, na desnu stranu i zatim koristite metodu kvadrature. riješiti rezultirajuću racionalnu jednadžbu i korijene. Ali i još jedan, elegantniji. Unesite novu varijablu; vh=y. Shodno tome, dobićete jednačinu oblika 2y2+y-3=0. To jest, obična kvadratna jednačina. Pronađite njegove korijene; y1=1 i y2=-3/2. Zatim riješite dva jednačine vh=1; vh=-3/2. Druga jednadžba nema korijena; iz prve nalazimo da je x=1. Ne zaboravite provjeriti korijenje.

Rješavanje identiteta je prilično jednostavno. Da biste to uradili morate da uradite transformacije identiteta dok se cilj ne postigne. Dakle, uz pomoć najjednostavnijih aritmetičke operacije predmetni zadatak će biti riješen.

Trebaće ti

• - papir;
• - olovka.

Instrukcije

Najjednostavnije od takvih transformacija su algebarska skraćena množenja (kao što je kvadrat zbira (razlika), razlika kvadrata, zbir (razlika), kocka zbira (razlika)). Osim toga, postoji mnogo i trigonometrijske formule, koji su u suštini isti identiteti.

Zaista, kvadrat zbira dva člana jednak je kvadratu prvog plus dvostruki proizvod prvog sa drugim i plus kvadrat drugog, to jest, (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Pojednostavite oboje

Opšti principi rješenja

Ponovite prema udžbeniku matematička analiza ili višu matematiku, što je definitivni integral. Kao što je poznato, rješenje određenog integrala je funkcija čiji će izvod dati integrand. Ova funkcija naziva se antiderivatom. Na osnovu ovog principa konstruišu se glavni integrali.
Odredite prema tipu integrala koji je od tabličnih integrala prikladan u ovom slučaju. Nije uvijek moguće to odmah utvrditi. Često, tabelarni oblik postaje uočljiv tek nakon nekoliko transformacija kako bi se integrand pojednostavio.

Varijabilna metoda zamjene

Ako je funkcija integranda trigonometrijska funkcija, čiji argument sadrži neki polinom, a zatim pokušajte koristiti metodu zamjene varijable. Da biste to učinili, zamijenite polinom u argumentu integranda nekom novom varijablom. Na osnovu odnosa između novih i starih varijabli odredite nove granice integracije. Razlikovanjem ovog izraza pronađite novi diferencijal u . Tako ćeš dobiti nova vrsta prethodnog integrala, blizu ili čak odgovara bilo kojem tabelarnom.

Rješavanje integrala druge vrste

Ako je integral integral druge vrste, vektorski oblik integranda, tada ćete morati koristiti pravila za prijelaz sa ovih integrala na skalarne. Jedno od takvih pravila je relacija Ostrogradsky-Gauss. Ovaj zakon nam omogućava da pređemo sa fluksa rotora određene vektorske funkcije na trostruki integral preko divergencije datog vektorskog polja.

Zamjena granica integracije

Nakon pronalaženja antiderivata, potrebno je zamijeniti granice integracije. Prvo, zamijenite vrijednost gornje granice u izraz za antiderivativ. Dobićete neki broj. Zatim od rezultujućeg broja oduzmite drugi broj dobijen od donje granice u antiderivat. Ako je jedna od granica integracije beskonačnost, onda kada se zameni u antiderivativna funkcija potrebno je ići do granice i pronaći ono čemu izraz teži.
Ako je integral dvodimenzionalan ili trodimenzionalan, tada ćete morati geometrijski predstaviti granice integracije da biste razumjeli kako procijeniti integral. Zaista, u slučaju, recimo, trodimenzionalnog integrala, granice integracije mogu biti cijele ravni koje ograničavaju volumen koji se integrira.