Metode rješavanja sistema jednačina. Matrica i njene varijante. Opcije za pronalaženje inverzne matrice

U članku se uvodi pojam definiranja sistema jednačina i njegovo rješavanje. Razmotrit će se česti slučajevi sistemskih rješenja. Navedeni primjeri će pomoći da se detaljno objasni rješenje.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Definicija sistema jednačina

Da biste prešli na definisanje sistema jednačina, morate obratiti pažnju na dve tačke: tip zapisa i njegovo značenje. Da bismo ovo razumjeli, moramo se detaljno zadržati na svakom od tipova, a zatim možemo doći do definicije sistema jednačina.

Na primjer, uzmimo dvije jednadžbe 2 x + y = − 3 i x = 5, a zatim ih kombiniramo s vitičastom zagradom ovako:

2 x + y = - 3, x = 5.

Jednačine spojene vitičastim zagradama smatraju se zapisima sistema jednačina. Oni definišu skupove rješenja jednačina datog sistema. Svaka odluka mora biti svačija odluka date jednačine.

Drugim riječima, to znači da će bilo koja rješenja prve jednačine biti rješenja svih jednačina kombinovanih u sistemu.

Definicija 1

Sistemi jednačina- ovo je određeni broj jednačina, ujedinjenih vitičastim zagradama, koje imaju mnogo rješenja jednadžbi, koja su istovremeno rješenja za cijeli sistem.

Glavne vrste sistema jednačina

Postoji dosta vrsta jednačina, kao i sistema jednačina. Radi lakšeg rješavanja i proučavanja, podijeljeni su u grupe prema određenim karakteristikama. Ovo će pomoći u razmatranju sistema jednačina pojedinačnih tipova.

Za početak, jednadžbe se klasificiraju prema broju jednačina. Ako postoji samo jedna jednačina, onda jeste obična jednačina, ako ih ima više, onda imamo posla sa sistemom koji se sastoji od dvije ili više jednačina.

Druga klasifikacija se odnosi na broj varijabli. Kada je broj varijabli 1, kažemo da imamo posla sa sistemom jednačina sa jednom nepoznatom, kada je 2 – sa dvije varijable. Pogledajmo primjer

x + y = 5, 2 x - 3 y = 1

Očigledno, sistem jednačina uključuje dvije varijable x i y.

Prilikom pisanja ovakvih jednačina računa se broj svih varijabli prisutnih u zapisu. Njihovo prisustvo u svakoj jednačini nije neophodno. Najmanje jedna jednačina mora imati jednu varijablu. Razmotrimo primjer sistema jednačina

2 x = 11, x - 3 z 2 = 0, 2 7 x + y - z = - 3

Ovaj sistem ima 3 varijable x, y, z. Prva jednadžba ima eksplicitno x i implicitno y i z. Implicitne varijable su one koje imaju koeficijent 0. Druga jednačina ima x i z, a y je implicitna varijabla. Inače se može ovako napisati

2 x + 0 y + 0 z = 11

A druga jednadžba je x + 0 · y − 3 · z = 0.

Treća klasifikacija jednačina je tip. Održavaju se u školi jednostavne jednačine i sisteme jednačina, počevši od sistema dva linearne jednačine sa dvije varijable . To znači da sistem uključuje 2 linearne jednačine. Na primjer, razmotrite

2 x - y = 1, x + 2 y = - 1 i - 3 x + y = 0. 5 , x + 2 2 3 y = 0

Ovo su osnovne najjednostavnije linearne jednadžbe. Zatim možete naići na sisteme koji sadrže 3 ili više nepoznatih.

U 9. razredu rješavaju jednačine sa dvije varijable i one nelinearne. U cijelim jednačinama, stepen se povećava radi povećanja složenosti. Takvi sistemi se nazivaju sistemi nelinearnih jednačina sa određenim brojem jednačina i nepoznanica. Pogledajmo primjere takvih sistema

x 2 - 4 x y = 1, x - y = 2 i x = y 3 x y = - 5

Oba su sistemi sa dve varijable i obe su nelinearne.

Prilikom rješavanja može se naići frakcione racionalne jednadžbe. Na primjer

x + y = 3, 1 x + 1 y = 2 5

Oni to jednostavno mogu nazvati sistemom jednačina bez navođenja kojih. Sam tip sistema rijetko se specificira.

Viši razredi prelaze na proučavanje iracionalnih, trigonometrijskih i eksponencijalnih jednačina. Na primjer,

x + y - x · y = 5 , 2 · x · y = 3 , x + y = 5 · π 2 , sin x + cos 2 y = - 1 , y - log 3 x = 1 , x y = 3 12 .

Visokoškolske ustanove proučavaju i istražuju rješenja sistema linearnih algebarskih jednačina (SLAE). Lijeva strana takve jednadžbe sadrži polinome prvog stupnja, a desna neke brojeve. Razlika od školskih je u tome što broj varijabli i broj jednačina mogu biti proizvoljni, najčešće nepodudarni.

Rješavanje sistema jednačina

Definicija 2

Rješavanje sistema jednačina sa dvije varijable je par varijabli koji, kada se zamijene, pretvara svaku jednačinu u ispravnu numeričku nejednačinu, odnosno predstavlja rješenje za svaku jednačinu datog sistema.

Na primjer, par vrijednosti x = 5 i y = 2 su rješenje sistema jednadžbi x + y = 7, x - y = 3. Jer pri zamjeni jednadžbi one postaju istinite numeričke nejednakosti 5 + 2 = 7 i 5 − 2 = 3. Ako zamijenimo par x = 3 i y = 0, tada sistem neće biti riješen, jer zamjena neće dati tačnu jednačinu, naime, dobijamo 3 + 0 = 7.

Hajde da formulišemo definiciju za sisteme koji sadrže jednu ili više varijabli.

Definicija 3

Rješavanje sistema jednačina sa jednom promjenljivom– ovo je vrijednost varijable, koja je korijen jednadžbi sistema, što znači da će sve jednačine biti pretvorene u ispravne numeričke jednakosti.

Razmotrimo primjer sistema jednačina sa jednom varijablom t

t 2 = 4, 5 (t + 2) = 0

Broj - 2 je rješenje jednačine, jer su (− 2) · 2 = 4 i 5 · (− 2 + 2) = 0 prave numeričke jednakosti. Kod t = 1 sistem nije riješen, jer zamjenom dobijamo dvije netačne jednakosti 12 = 4 i 5 · (1 + 2) = 0.

Definicija 4

Rješavanje sistema sa tri ili više varijabli nazivaju tri, četiri i dalje vrijednosti, respektivno, koje pretvaraju sve jednačine sistema u tačne jednakosti.

Ako imamo vrijednosti varijabli x = 1, y = 2, z = 0, onda ih zamijenimo u sistem jednačina 2 · x = 2, 5 · y = 10, x + y + z = 3, dobijamo 2 · 1 = 2, 5 · 2 = 10 i 1 + 2 + 0 = 3. To znači da su ove numeričke nejednakosti tačne. I vrijednosti (1, 0, 5) neće biti rješenje, jer će, nakon zamjene vrijednosti, druga od njih biti netačna, kao i treća: 5 0 = 10, 1 + 0 + 5 = 3.

Sistemi jednačina možda nemaju rješenja uopće ili imaju beskonačan broj rješenja. To se može potvrditi dubinskim proučavanjem ove teme. Možemo doći do zaključka da je sistem jednačina presjek skupova rješenja svih njegovih jednačina. Proširimo nekoliko definicija:

Definicija 5

Nekompatibilno sistem jednačina se zove kada nema rješenja, inače se zove joint.

Definicija 6

Nesiguran sistem se naziva kada ima beskonačan broj rješenja, i siguran sa konačnim brojem rješenja ili u njihovom odsustvu.

Ovakvi termini se rijetko koriste u školi, jer su namijenjeni za programe visokog obrazovanja. obrazovne institucije. Poznavanje ekvivalentnih sistema će produbiti vaše postojeće znanje o rješavanju sistema jednačina.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Riješite sistem sa dvije nepoznanice - to znači pronalaženje svih parova varijabilnih vrijednosti koji zadovoljavaju svaku od datih jednačina. Svaki takav par se zove sistemsko rešenje.

primjer:
Par vrijednosti \(x=3\);\(y=-1\) je rješenje za prvi sistem, jer prilikom zamjene ovih trojki i minus jedinica u sistem umjesto \(x\) i \ (y\), obje jednačine će postati tačne jednakosti \(\begin(slučajevi)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end( slučajevi)\)

Ali \(x=1\); \(y=-2\) - nije rješenje za prvi sistem, jer nakon zamjene druga jednadžba "ne konvergira" \(\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(slučajevi)\)

Imajte na umu da se takvi parovi često pišu kraće: umjesto "\(x=3\); \(y=-1\)" pišu ovako: \((3;-1)\).

Kako riješiti sistem linearnih jednačina?

Postoje tri glavna načina za rješavanje sistema linearnih jednačina:

1. Metoda zamjene.

\(\begin(cases)x-2y=5\\3x+2y=7 \end(cases)\)\(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3x+2y= 7\kraj (slučajevi)\)\(\Strjelica lijevo desno\)

Zamijenite rezultirajući izraz umjesto ove varijable u drugu jednačinu sistema.

\(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)

1. \(\početak(slučajevi)13x+9y=17\\12x-2y=26\kraj(slučajevi)\)

   U drugoj jednačini, svaki član je paran, tako da pojednostavljujemo jednačinu dijeljenjem sa \(2\).
   

   \(\početak(slučajevi)13x+9y=17\\6x-y=13\kraj(slučajevi)\)

   Ovaj sistem se može riješiti na bilo koji od sljedećih načina, ali mi se čini da je metoda zamjene ovdje najpogodnija. Izrazimo y iz druge jednačine.
   

   \(\početak(slučajevi)13x+9y=17\\y=6x-13\kraj(slučajevi)\)

   Zamijenimo \(6x-13\) umjesto \(y\) u prvu jednačinu.
   

   \(\početak(slučajevi)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(slučajevi)\)

   Prva jednačina se pretvorila u običnu. Hajde da to rešimo.

   Prvo, otvorimo zagrade.
   

   \(\početak(slučajevi)13x+54x-117=17\\y=6x-13\kraj(slučajevi)\)

   Pomaknimo \(117\) udesno i predstavimo slične pojmove.

   \(\početak(slučajevi)67x=134\\y=6x-13\end(slučajevi)\)

   Podijelimo obje strane prve jednadžbe sa \(67\).

   \(\početak(slučajevi)x=2\\y=6x-13\end(slučajevi)\)

   Ura, pronašli smo \(x\)! Zamijenimo njegovu vrijednost u drugu jednačinu i pronađemo \(y\).

   \(\begin(slučajevi)x=2\\y=12-13\end(slučajevi)\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin(slučajevi)x=2\\y=-1\end(slučajevi )\)

   Hajde da zapišemo odgovor.

Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina (SLAE) je nesumnjivo najvažnija tema u kursu linearne algebre. Ogroman broj problema iz svih grana matematike svodi se na rješavanje sistema linearnih jednačina. Ovi faktori objašnjavaju razlog za ovaj članak. Materijal članka je odabran i strukturiran tako da uz njegovu pomoć možete

• odabrati optimalnu metodu za rješavanje vašeg sistema linearnih algebarskih jednadžbi,
• proučavati teoriju odabrane metode,
• riješite svoj sistem linearnih jednačina razmatrajući detaljna rješenja tipičnih primjera i problema.

Kratak opis materijala članka.

Prvo dajemo sve potrebne definicije, koncepte i uvodimo oznake.

Zatim ćemo razmotriti metode rješavanja sistema linearnih algebarskih jednadžbi u kojima je broj jednačina jednak broju nepoznatih varijabli i koje imaju jedinstveno rješenje. Prvo ćemo se fokusirati na Cramerovu metodu, drugo, pokazat ćemo matričnu metodu za rješavanje ovakvih sistema jednadžbi, i treće, analizirat ćemo Gaussovu metodu (metoda sekvencijalne eliminacije nepoznatih varijabli). Da bismo konsolidirali teoriju, svakako ćemo riješiti nekoliko SLAE na različite načine.

Nakon toga prelazimo na rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi opšti pogled, u kojem se broj jednačina ne poklapa sa brojem nepoznatih varijabli ili je glavna matrica sistema singularna. Formulirajmo Kronecker-Capelli teorem, koji nam omogućava da uspostavimo kompatibilnost SLAE. Analizirajmo rješenja sistema (ako su kompatibilni) koristeći koncept baznog minora matrice. Također ćemo razmotriti Gaussovu metodu i detaljno opisati rješenja primjera.

Svakako ćemo se zadržati na strukturi opšteg rješenja homogenih i nehomogenih sistema linearnih algebarskih jednačina. Hajde da damo koncept fundamentalnog sistema rešenja i pokažimo kako se opšte rešenje SLAE piše korišćenjem vektora fundamentalnog sistema rešenja. Za bolje razumijevanje, pogledajmo nekoliko primjera.

U zaključku ćemo razmotriti sisteme jednačina koji se mogu svesti na linearne, kao i različite probleme pri čijem rješavanju nastaju SLAE.

Navigacija po stranici.

Definicije, koncepti, oznake.

Razmotrićemo sisteme p linearnih algebarskih jednadžbi sa n nepoznatih varijabli (p može biti jednako n) oblika

Nepoznate varijable, - koeficijenti (neki realni ili kompleksni brojevi), - slobodni termini (takođe realni ili kompleksni brojevi).

Ovaj oblik snimanja SLAE se zove koordinata.

IN matrični oblik pisanje ovog sistema jednačina ima oblik,
Gdje - glavna matrica sistema, - matrica kolona nepoznatih varijabli, - matrica kolona slobodnih termina.

Ako matrici A dodamo matricu-stupac slobodnih pojmova kao (n+1)-ti stupac, dobijamo tzv. proširena matrica sistemi linearnih jednačina. Obično se proširena matrica označava slovom T, a stupac slobodnih pojmova odvojen je okomitom linijom od preostalih stupaca, tj.

Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina naziva skup vrijednosti nepoznatih varijabli koji pretvara sve jednadžbe sistema u identitete. Matrična jednadžba za date vrijednosti nepoznatih varijabli također postaje identitet.

Ako sistem jednačina ima barem jedno rješenje, onda se zove joint.

Ako sistem jednačina nema rješenja, onda se zove non-joint.

Ako SLAE ima jedinstveno rješenje, onda se ono zove siguran; ako postoji više od jednog rješenja, tada – neizvjesno.

Ako su slobodni članovi svih jednačina sistema jednaki nuli , tada se sistem poziva homogena, inače - heterogena.

Rješavanje elementarnih sistema linearnih algebarskih jednačina.

Ako je broj jednačina sistema jednak broju nepoznatih varijabli, a determinanta njegove glavne matrice nije jednak nuli, onda ćemo takve SLAE zvati osnovno. Takvi sistemi jednačina imaju jedinstveno rješenje, au slučaju homogenog sistema sve nepoznate varijable su jednake nuli.

Počeli smo da proučavamo takve SLAE u srednjoj školi. Prilikom njihovog rješavanja, uzeli smo jednu jednačinu, izrazili jednu nepoznatu varijablu u terminima drugih i zamijenili je u preostale jednačine, zatim uzeli sljedeću jednačinu, izrazili sljedeću nepoznatu varijablu i zamijenili je u druge jednačine i tako dalje. Ili su koristili metodu sabiranja, odnosno dodali su dvije ili više jednadžbi kako bi eliminirali neke nepoznate varijable. Nećemo se detaljnije zadržavati na ovim metodama, jer su one u suštini modifikacije Gaussove metode.

Glavne metode za rješavanje elementarnih sistema linearnih jednačina su Cramerova metoda, matrična metoda i Gaussova metoda. Hajde da ih sredimo.

Rješavanje sistema linearnih jednadžbi Cramerovom metodom.

Pretpostavimo da treba da rešimo sistem linearnih algebarskih jednačina

u kojoj je broj jednačina jednak broju nepoznatih varijabli, a determinanta glavne matrice sistema je različita od nule, tj.

Neka je determinanta glavne matrice sistema, i - determinante matrica koje se dobijaju iz A zamenom 1., 2., …, n-ti kolonu odnosno kolonu slobodnih članova:

Uz ovu notaciju, nepoznate varijable se izračunavaju korištenjem formula Cramerove metode kao . Ovako se pronalazi rješenje sistema linearnih algebarskih jednačina korištenjem Cramerove metode.

Primjer.

Cramerova metoda .

Rješenje.

Glavna matrica sistema ima oblik . Izračunajmo njegovu determinantu (ako je potrebno, pogledajte članak):

Pošto je determinanta glavne matrice sistema različita od nule, sistem ima jedinstveno rešenje koje se može naći Cramerovom metodom.

Sastavimo i izračunajmo potrebne determinante (determinantu dobijamo tako što prvi stupac u matrici A zamijenimo stupcem slobodnih pojmova, determinantu zamjenom drugog stupca stupcem slobodnih pojmova i zamjenom treće kolone matrice A stupcem slobodnih pojmova) :

Pronalaženje nepoznatih varijabli pomoću formula :

odgovor:

Glavni nedostatak Cramerove metode (ako se to može nazvati nedostatkom) je složenost izračunavanja determinanti kada je broj jednačina u sistemu veći od tri.

Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi matričnom metodom (pomoću inverzne matrice).

Neka je sistem linearnih algebarskih jednadžbi zadan u matričnom obliku, pri čemu matrica A ima dimenziju n sa n i njena determinanta je različita od nule.

Pošto je matrica A invertibilna, odnosno postoji inverzna matrica. Ako obje strane jednakosti pomnožimo lijevom, dobićemo formulu za pronalaženje matrice-stupca nepoznatih varijabli. Ovako smo matričnom metodom dobili rješenje za sistem linearnih algebarskih jednadžbi.

Primjer.

Riješiti sistem linearnih jednačina matrična metoda.

Rješenje.

Prepišimo sistem jednačina u matričnom obliku:

Jer

tada se SLAE može riješiti korištenjem matrične metode. Koristeći inverznu matricu, rješenje ovog sistema se može naći kao .

Konstruirajmo inverznu matricu koristeći matricu od algebarskih sabiranja elemenata matrice A (ako je potrebno, pogledajte članak):

Ostaje izračunati matricu nepoznatih varijabli množenjem inverzne matrice na matricu-kolona slobodnih članova (ako je potrebno, pogledajte članak):

odgovor:

ili u drugoj notaciji x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Glavni problem pri pronalaženju rješenja sistema linearnih algebarskih jednadžbi metodom matrice je složenost pronalaženja inverzne matrice, posebno za kvadratne matrice reda većeg od trećeg.

Rješavanje sistema linearnih jednadžbi Gaussovom metodom.

Pretpostavimo da treba da nađemo rešenje za sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih varijabli
determinanta glavne matrice koja je različita od nule.

Suština Gaussove metode sastoji se od sekvencijalnog eliminisanja nepoznatih varijabli: prvo, x 1 se isključuje iz svih jednačina sistema, počevši od druge, zatim se x 2 isključuje iz svih jednačina, počevši od treće, i tako dalje, sve dok ne ostane samo nepoznata varijabla x n u poslednjoj jednačini. Ovaj proces transformacije sistemskih jednačina da bi se sekvencijalno eliminisale nepoznate varijable naziva se direktna Gausova metoda. Nakon završetka naprednog poteza Gaussove metode, x n se nalazi iz posljednje jednačine, koristeći ovu vrijednost iz pretposljednje jednačine, izračunava se x n-1, i tako dalje, x 1 se nalazi iz prve jednačine. Proces izračunavanja nepoznatih varijabli pri prelasku sa zadnje jednadžbe sistema na prvu naziva se inverzno od Gausove metode.

Hajde da ukratko opišemo algoritam za eliminaciju nepoznatih varijabli.

Pretpostavit ćemo da , budući da to uvijek možemo postići preuređivanjem jednačina sistema. Hajde da eliminišemo nepoznatu promenljivu x 1 iz svih jednačina sistema, počevši od druge. Da bismo to učinili, drugoj jednačini sistema dodajemo prvu, pomnoženu sa , trećoj jednačini dodajemo prvu, pomnoženu sa , i tako dalje, na n-tu jednačinu dodajemo prvu, pomnoženu sa . Sistem jednačina nakon takvih transformacija će poprimiti oblik

gdje i .

Do istog rezultata bismo došli da smo izrazili x 1 u terminima drugih nepoznatih varijabli u prvoj jednačini sistema i zamenili rezultujući izraz u sve ostale jednačine. Dakle, varijabla x 1 je isključena iz svih jednačina, počevši od druge.

Zatim nastavljamo na sličan način, ali samo s dijelom rezultirajućeg sistema koji je označen na slici

Da bismo to učinili, trećoj jednačini sistema dodajemo drugu, pomnoženu sa , do četvrta jednačina dodajmo drugu pomnoženu sa , i tako dalje, na n-tu jednačinu dodamo drugu pomnoženu sa . Sistem jednačina nakon takvih transformacija će poprimiti oblik

gdje i . Dakle, varijabla x 2 je isključena iz svih jednačina, počevši od treće.

Zatim prelazimo na eliminaciju nepoznatog x 3, dok slično postupamo sa dijelom sistema označenim na slici

Tako nastavljamo direktnu progresiju Gausove metode sve dok sistem ne poprimi oblik

Od ovog trenutka počinjemo obrnuto od Gaussove metode: izračunavamo x n iz posljednje jednačine kao , koristeći dobivenu vrijednost x n nalazimo x n-1 iz pretposljednje jednačine, i tako dalje, nalazimo x 1 iz prve jednačine .

Primjer.

Riješiti sistem linearnih jednačina Gaussova metoda.

Rješenje.

Isključimo nepoznatu varijablu x 1 iz druge i treće jednačine sistema. Da bismo to učinili, na obje strane druge i treće jednačine dodajemo odgovarajuće dijelove prve jednačine, pomnožene sa i sa:

Sada eliminiramo x 2 iz treće jednadžbe dodavanjem lijevoj i desnoj strani druge jednadžbe lijevu i desnu stranu druge jednačine, pomnožene sa:

Ovim se završava potez naprijed Gaussove metode; počinjemo obrnuti potez.

Iz posljednje jednačine rezultirajućeg sistema jednačina nalazimo x 3:

Iz druge jednačine dobijamo .

Iz prve jednadžbe nalazimo preostalu nepoznatu varijablu i time dovršavamo obrnuto Gaussovom metodom.

odgovor:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina opšteg oblika.

Općenito, broj jednačina sistema p ne poklapa se sa brojem nepoznatih varijabli n:

Takvi SLAE možda nemaju rješenja, imaju jedno rješenje ili imaju beskonačno mnogo rješenja. Ova izjava se takođe odnosi na sisteme jednačina čija je glavna matrica kvadratna i singularna.

Kronecker–Capelli teorem.

Prije pronalaženja rješenja za sistem linearnih jednačina, potrebno je utvrditi njegovu kompatibilnost. Odgovor na pitanje kada je SLAE kompatibilan, a kada nekonzistentan daje Kronecker–Capelli teorem:
Da bi sistem p jednačina sa n nepoznatih (p može biti jednako n) bio konzistentan, potrebno je i dovoljno da rang glavne matrice sistema bude jednak rangu proširene matrice, tj. , Rang(A)=Rank(T).

Razmotrimo, kao primjer, primjenu Kronecker–Capellijeve teoreme za određivanje kompatibilnosti sistema linearnih jednačina.

Primjer.

Saznajte da li sistem linearnih jednačina ima rješenja.

Rješenje.

. Koristimo se metodom graničenja maloljetnika. Minor drugog reda različito od nule. Pogledajmo maloljetnike trećeg reda koji ga graniče:

Pošto su svi granični minori trećeg reda jednaki nuli, rang glavne matrice je jednak dva.

Zauzvrat, rang proširene matrice je jednako tri, pošto je umanjilac trećeg reda

različito od nule.

dakle, Rang(A), dakle, koristeći Kronecker–Capelli teorem, možemo zaključiti da je originalni sistem linearnih jednačina nekonzistentan.

odgovor:

Sistem nema rješenja.

Dakle, naučili smo utvrditi nekonzistentnost sistema koristeći Kronecker-Capelli teorem.

Ali kako pronaći rješenje za SLAE ako je uspostavljena njegova kompatibilnost?

Da bismo to učinili, potreban nam je koncept baznog mola matrice i teorema o rangu matrice.

Zove se minor najvišeg reda matrice A, različit od nule osnovni.

Iz definicije baznog minora slijedi da je njegov red jednak rangu matrice. Za nenultu matricu A može postojati nekoliko baznih minora; uvijek postoji jedan bazni minor.

Na primjer, razmotrite matricu .

Svi minori trećeg reda ove matrice jednaki su nuli, jer su elementi trećeg reda ove matrice zbir odgovarajućih elemenata prvog i drugog reda.

Sljedeći minori drugog reda su osnovni, jer su različiti od nule

Maloljetnici nisu osnovne, jer su jednake nuli.

Teorema o rangu matrice.

Ako je rang matrice reda p po n jednak r, tada se svi elementi reda (i stupca) matrice koji ne čine odabrani bazni minor linearno izražavaju u terminima odgovarajućih elemenata reda (i stupca) koji formiraju osnovni minor.

Šta nam govori teorema o rangu matrice?

Ako smo, prema Kronecker–Capellijevoj teoremi, uspostavili kompatibilnost sistema, tada biramo bilo koji bazni minor glavne matrice sistema (njen red je jednak r) i isključujemo iz sistema sve jednačine koje čine ne čine odabrani bazni mol. Ovako dobijena SLAE bit će ekvivalentna originalnoj, budući da su odbačene jednadžbe i dalje suvišne (prema teoremi o rangu matrice, one su linearna kombinacija preostalih jednačina).

Kao rezultat, nakon odbacivanja nepotrebnih jednačina sistema moguća su dva slučaja.

Ako je broj jednačina r u rezultirajućem sistemu jednak broju nepoznatih varijabli, onda će ona biti definitivna i jedino rješenje se može naći Cramerovom metodom, matričnom metodom ili Gaussovom metodom.

Primjer.

.

Rješenje.

Rang glavne matrice sistema je jednako dva, pošto je minor drugog reda različito od nule. Prošireni matrični rang je takođe jednako dva, pošto je jedini minor trećeg reda nula

a gore razmatrani minor drugog reda je različit od nule. Na osnovu Kronecker–Capelli teoreme, možemo tvrditi kompatibilnost originalnog sistema linearnih jednačina, budući da je Rank(A)=Rank(T)=2.

Kao base minor uzimamo . Formira se koeficijentima prve i druge jednačine:


Treća jednačina sistema ne učestvuje u formiranju baznog minora, pa je isključujemo iz sistema na osnovu teoreme o rangu matrice:


Dakle, dobili smo elementarni sistem linearne algebarske jednadžbe. Rešimo ga Cramerovom metodom:


odgovor:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Ako je broj jednačina r u rezultirajućem SLAE manji broj nepoznate varijable n, onda na lijevoj strani jednadžbi ostavljamo članove koji čine bazni minor, a preostale članove prenosimo na desnu stranu jednačina sistema sa suprotnim predznakom.

Nepoznate varijable (od njih r) koje ostaju na lijevoj strani jednadžbe se pozivaju main.

Nepoznate varijable (ima n - r komada) koje se nalaze na desnoj strani se pozivaju besplatno.

Sada vjerujemo da slobodne nepoznate varijable mogu imati proizvoljne vrijednosti, dok će r glavnih nepoznatih varijabli biti izražene kroz slobodne nepoznate varijable na jedinstven način. Njihov izraz se može naći rješavanjem rezultirajuće SLAE korištenjem Cramerove metode, matrične metode ili Gaussove metode.

Pogledajmo to na primjeru.

Primjer.

Riješiti sistem linearnih algebarskih jednačina .

Rješenje.

Nađimo rang glavne matrice sistema metodom graničenja maloletnika. Uzmimo 1 1 = 1 kao nenulti minor prvog reda. Počnimo tražiti minor koji nije nula drugog reda koji graniči s ovim minorom:


Ovako smo pronašli nenulti minor drugog reda. Počnimo tražiti granični minor koji nije nula trećeg reda:


Dakle, rang glavne matrice je tri. Rang proširene matrice je takođe jednak tri, odnosno sistem je konzistentan.

Za osnovni jedan uzimamo pronađeni minor trećeg reda različit od nule.

Radi jasnoće, prikazujemo elemente koji čine osnovni minor:


Ostavljamo članove uključene u bazni minor na lijevoj strani sistemskih jednačina, a ostatak prenosimo sa suprotnim predznacima na desnu stranu:


Dajmo slobodnim nepoznatim varijablama x 2 i x 5 proizvoljne vrijednosti, odnosno prihvatamo , gdje su proizvoljni brojevi. U ovom slučaju, SLAE će poprimiti oblik


Rešimo rezultirajući elementarni sistem linearnih algebarskih jednadžbi koristeći Cramerovu metodu:


Dakle, .

U svom odgovoru ne zaboravite navesti slobodne nepoznate varijable.

odgovor:

Gdje su proizvoljni brojevi.

Sažmite.

Da bismo riješili sistem općih linearnih algebarskih jednadžbi, prvo utvrđujemo njegovu kompatibilnost koristeći Kronecker–Capelli teorem. Ako rang glavne matrice nije jednak rangu proširene matrice, onda zaključujemo da je sistem nekompatibilan.

Ako je rang glavne matrice jednak rangu proširene matrice, tada biramo bazni minor i odbacujemo jednadžbe sistema koje ne učestvuju u formiranju odabranog baznog minora.

Ako je red baznog minora jednak broju nepoznatih varijabli, tada SLAE ima jedinstveno rješenje, koje se može naći bilo kojom metodom koja nam je poznata.

Ako je red baznog minora manji od broja nepoznatih varijabli, tada na lijevoj strani sistemskih jednačina ostavljamo članove s glavnim nepoznatim varijablama, preostale članove prenosimo na desne strane i dajemo proizvoljne vrijednosti slobodne nepoznate varijable. Iz rezultirajućeg sistema linearnih jednačina nalazimo glavne nepoznanice varijable po metodi Cramer, matrična metoda ili Gaussova metoda.

Gaussova metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina opšteg oblika.

Gaussova metoda se može koristiti za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina bilo koje vrste bez prethodnog testiranja njihove konzistentnosti. Proces sekvencijalne eliminacije nepoznatih varijabli omogućava da se izvede zaključak i o kompatibilnosti i o nekompatibilnosti SLAE, a ako rješenje postoji, omogućava ga pronalaženje.

Sa računske tačke gledišta, Gausova metoda je poželjnija.

Pazi Detaljan opis i analizirao primjere u članku Gaussova metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina opšteg oblika.

Pisanje opšteg rešenja za homogene i nehomogene linearne algebarske sisteme korišćenjem vektora osnovnog sistema rešenja.

U ovom dijelu ćemo govoriti o istovremenim homogenim i nehomogenim sistemima linearnih algebarskih jednačina koje imaju beskonačan broj rješenja.

Hajde da se prvo pozabavimo homogenim sistemima.

Osnovni sistem rješenja homogeni sistem p linearnih algebarskih jednačina sa n nepoznatih varijabli je skup (n – r) linearno nezavisnih rješenja ovog sistema, gdje je r red baznog minora glavne matrice sistema.

Ako linearno nezavisna rješenja homogene SLAE označimo kao X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) su stupaste matrice dimenzije n sa 1) , onda je opšte rešenje ovog homogenog sistema predstavljeno kao linearna kombinacija vektora osnovnog sistema rešenja sa proizvoljnim konstantnim koeficijentima C 1, C 2, ..., C (n-r), odnosno .

Šta znači pojam opšte rješenje homogenog sistema linearnih algebarskih jednačina (oroslau)?

Značenje je jednostavno: formula postavlja sve moguća rješenja originalni SLAE, drugim riječima, uzimajući bilo koji skup vrijednosti proizvoljnih konstanti C 1, C 2, ..., C (n-r), prema formuli ćemo dobiti jedno od rješenja za originalni homogeni SLAE.

Dakle, ako pronađemo fundamentalni sistem rješenja, onda možemo definirati sva rješenja ove homogene SLAE kao .

Pokažimo proces konstruisanja fundamentalnog sistema rješenja za homogenu SLAE.

Odabiremo bazni minor originalnog sistema linearnih jednadžbi, isključujemo sve ostale jednačine iz sistema i sve članove koji sadrže slobodne nepoznate varijable prenosimo na desnu stranu jednadžbi sistema suprotnih predznaka. Damo slobodnim nepoznatim varijablama vrijednosti 1,0,0,...,0 i izračunajmo glavne nepoznanice rješavanjem rezultirajućeg elementarnog sistema linearnih jednadžbi na bilo koji način, na primjer, korištenjem Cramerove metode. Ovo će rezultirati X (1) - prvim rješenjem fundamentalnog sistema. Ako slobodnim nepoznanicama damo vrijednosti 0,1,0,0,…,0 i izračunamo glavne nepoznanice, dobićemo X (2) . I tako dalje. Ako slobodnim nepoznatim varijablama dodijelimo vrijednosti 0,0,…,0,1 i izračunamo glavne nepoznate, dobićemo X (n-r) . Na taj način će se konstruisati fundamentalni sistem rješenja homogene SLAE i njegovo opšte rješenje može se zapisati u obliku .

Za nehomogene sisteme linearnih algebarskih jednadžbi, opšte rešenje je predstavljeno u obliku , gde je opšte rešenje odgovarajućeg homogenog sistema, a partikularno rešenje originalnog nehomogenog SLAE, koje dobijamo davanjem slobodnim nepoznanicama vrednosti ​​0,0,...,0 i izračunavanje vrijednosti glavnih nepoznanica.

Pogledajmo primjere.

Primjer.

Pronađite osnovni sistem rješenja i opšte rješenje homogenog sistema linearnih algebarskih jednadžbi .

Rješenje.

Rang glavne matrice homogenih sistema linearnih jednačina je uvek jednak rangu proširene matrice. Pronađimo rang glavne matrice metodom graničnih minora. Kao nenulti minor prvog reda, uzimamo element a 1 1 = 9 glavne matrice sistema. Nađimo granični minor koji nije nula drugog reda:

Pronađen je minor drugog reda, različit od nule. Prođimo kroz minore trećeg reda koji se graniče s njim u potrazi za nenultom jedinicom:

Svi granični minori trećeg reda jednaki su nuli, stoga je rang glavne i proširene matrice jednak dva. Hajde da uzmemo. Radi jasnoće, zabilježimo elemente sistema koji ga čine:

Treća jednačina originalne SLAE ne sudjeluje u formiranju baznog minora, stoga se može isključiti:

Ostavljamo članove koji sadrže glavne nepoznanice na desnim stranama jednadžbe, a članove sa slobodnim nepoznanicama prenosimo na desne strane:

Konstruirajmo fundamentalni sistem rješenja originalnog homogenog sistema linearnih jednačina. Osnovni sistem rješenja ove SLAE sastoji se od dva rješenja, pošto originalna SLAE sadrži četiri nepoznate varijable, a red njenog baznog minora je jednak dva. Da bismo pronašli X (1), dajemo slobodnim nepoznatim varijablama vrijednosti x 2 = 1, x 4 = 0, zatim pronađemo glavne nepoznate iz sistema jednačina
.

Materijal u ovom članku je namijenjen za prvo upoznavanje sa sistemima jednačina. Ovdje ćemo uvesti definiciju sistema jednačina i njegovih rješenja, a također ćemo razmotriti najčešće tipove sistema jednačina. Kao i obično, dat ćemo primjere s objašnjenjima.

Navigacija po stranici.

Šta je sistem jednačina?

Definiciji sistema jednačina pristupaćemo postepeno. Prvo, recimo da je to zgodno dati, ukazujući na dvije točke: prvo, vrstu snimke i, drugo, značenje ugrađeno u ovaj snimak. Pogledajmo ih redom, a zatim generalizujemo rezonovanje u definiciju sistema jednačina.

Neka ih bude nekoliko ispred nas. Na primjer, uzmimo dvije jednačine 2 x+y=−3 i x=5. Napišimo ih jednu ispod druge i kombinujmo ih na lijevoj strani vitičastom zagradom:

Zapisi ovog tipa, koji su nekoliko jednačina poredanih u kolonu i ujedinjenih sa leve strane vitičastom zagradom, su zapisi sistema jednačina.

Šta znače takvi unosi? Oni definiraju skup svih takvih rješenja jednadžbi sistema koja su rješenje svake jednačine.

Ne bi škodilo da to opišem drugim riječima. Recimo da su neka rješenja prve jednačine rješenja svih ostalih jednačina sistema. Dakle, sistemski zapis samo znači njih.

Sada smo spremni da adekvatno prihvatimo definiciju sistema jednačina.

Definicija.

Sistemi jednačina zapisi poziva koji su jednadžbe smještene jedna ispod druge, objedinjene s lijeve strane vitičastim zagradama, koje označavaju skup svih rješenja jednačina koje su također rješenja svake jednačine sistema.

Slična definicija je data u udžbeniku, međutim, ona nije data za opšti slučaj, već za dva racionalne jednačine sa dvije varijable.

Glavni tipovi

Jasno je da postoji beskonačan broj različitih jednačina. Naravno, postoji i beskonačan broj sistema jednačina koji se kompajliraju pomoću njih. Stoga, radi lakšeg proučavanja i rada sa sistemima jednačina, ima smisla podijeliti ih u grupe prema sličnim karakteristikama, a zatim prijeći na razmatranje sistema jednadžbi pojedinačnih tipova.

Prva podjela se ukazuje na broj jednačina uključenih u sistem. Ako postoje dvije jednačine, onda možemo reći da imamo sistem od dvije jednačine, ako postoje tri, onda sistem od tri jednačine, itd. Jasno je da nema smisla govoriti o sistemu jedne jednačine, jer se u ovom slučaju, u suštini, radi o samoj jednačini, a ne o sistemu.

Sljedeća podjela je zasnovana na broju varijabli uključenih u pisanje jednačina sistema. Ako postoji jedna varijabla, onda imamo posla sa sistemom jednačina sa jednom promenljivom (kažu i sa jednom nepoznatom), ako postoje dve, onda sa sistemom jednačina sa dve varijable (sa dve nepoznate) itd. Na primjer, je sistem jednačina sa dvije varijable x i y.

Ovo se odnosi na broj svih različitih varijabli uključenih u snimanje. Ne moraju svi biti uključeni u zapis svake jednačine odjednom; dovoljno je njihovo prisustvo u barem jednoj jednačini. npr. je sistem jednačina sa tri varijable x, y i z. U prvoj jednačini varijabla x je prisutna eksplicitno, a y i z su implicitni (možemo pretpostaviti da ove varijable imaju nulu), au drugoj jednačini postoje x i z, ali varijabla y nije eksplicitno prikazana. Drugim riječima, prva jednačina se može posmatrati kao , a drugi – kao x+0·y−3·z=0.

Treća tačka u kojoj se sistemi jednačina razlikuju je vrsta samih jednačina.

U školi počinje učenje sistema jednačina sisteme dve linearne jednačine u dve varijable. To jest, takvi sistemi čine dvije linearne jednačine. Evo nekoliko primjera: I . Oni uče osnove rada sa sistemima jednačina.

Prilikom rješavanja složenijih problema možete naići i na sisteme od tri linearne jednačine sa tri nepoznate.

Dalje u 9. razredu nelinearne jednačine se dodaju sistemima od dve jednačine sa dve varijable, uglavnom cele jednačine drugog stepena, ređe - više visoki stepeni. Ovi sistemi se nazivaju sistemi nelinearnih jednačina; ako je potrebno, precizira se broj jednačina i nepoznatih. Pokažimo primjere takvih sistema nelinearnih jednačina: i .

A onda u sistemima postoje i, na primjer, . Obično se nazivaju jednostavno sistemima jednačina, bez specificiranja koje jednačine. Ovdje je vrijedno napomenuti da se najčešće sistem jednačina jednostavno naziva „sistemom jednačina“, a pojašnjenja se dodaju samo ako je potrebno.

U srednjoj školi, kako se gradivo uči, iracionalno, trigonometrijsko, logaritamsko i eksponencijalne jednačine : , , .

Ako pogledamo još dalje u nastavni plan i program prve godine univerziteta, glavni naglasak je na proučavanju i rješavanju sistema linearnih algebarskih jednačina (SLAE), odnosno jednačina u kojima se na lijevoj strani nalaze polinomi prvog stepena, a desne strane sadrže određene brojeve. Ali tamo, za razliku od škole, više ne uzimaju dvije linearne jednačine sa dvije varijable, već proizvoljan broj jednačina sa proizvoljnim brojem varijabli, što se često ne poklapa sa brojem jednačina.

Koje je rješenje sistema jednačina?

Termin “rješenje sistema jednačina” direktno se odnosi na sisteme jednačina. U školi se daje definicija rješavanja sistema jednačina sa dvije varijable :

Definicija.

Rješavanje sistema jednačina sa dvije varijable naziva se par vrijednosti ovih varijabli koji svaku jednačinu sistema pretvara u ispravnu, drugim riječima, predstavlja rješenje svake jednačine sistema.

Na primjer, par varijabilnih vrijednosti x=5, y=2 (može se napisati kao (5, 2)) je rješenje za sistem jednačina po definiciji, budući da jednačine sistema, kada je x= 5, y=2 se zamjenjuju u njih, pretvaraju u tačne numeričke jednakosti 5+2=7 i 5−2=3 respektivno. Ali par vrijednosti x=3, y=0 nije rješenje za ovaj sistem, jer će se prilikom zamjene ovih vrijednosti u jednačine prva od njih pretvoriti u netačnu jednakost 3+0=7.

Slične definicije mogu se formulisati za sisteme sa jednom promenljivom, kao i za sisteme sa tri, četiri itd. varijable.

Definicija.

Rješavanje sistema jednačina sa jednom promjenljivom postojaće vrednost varijable koja je koren svih jednačina sistema, odnosno pretvaranje svih jednačina u ispravne numeričke jednakosti.

Dajemo primjer. Razmotrimo sistem jednačina sa jednom varijablom t oblika . Broj −2 je njegovo rješenje, jer su oba (−2) 2 =4 i 5·(−2+2)=0 prave numeričke jednakosti. I t=1 nije rješenje za sistem, jer će zamjena ove vrijednosti dati dvije netačne jednakosti 1 2 =4 i 5·(1+2)=0.

Definicija.

Rješavanje sistema sa tri, četiri itd. varijable zove se tri, četiri, itd. vrijednosti varijabli, odnosno pretvarajući sve jednačine sistema u prave jednakosti.

Dakle, po definiciji, trostruka vrijednosti varijabli x=1, y=2, z=0 je rješenje sistema , pošto su 2·1=2, 5·2=10 i 1+2+0=3 prave numeričke jednakosti. A (1, 0, 5) nije rješenje za ovaj sistem, jer pri zamjeni ovih vrijednosti varijabli u jednačine sistema, druga od njih prelazi u netačnu jednakost 5·0=10, a treća takođe 1+0+5=3.

Imajte na umu da sistemi jednačina možda nemaju rješenja, mogu imati konačan broj rješenja, na primjer, jedno, dva, ..., ili mogu imati beskonačno mnogo rješenja. To ćete vidjeti dok dublje uđete u temu.

Uzimajući u obzir definicije sistema jednačina i njihova rješenja, možemo zaključiti da je rješenje sistema jednačina presjek skupova rješenja svih njegovih jednačina.

Da zaključimo, evo nekoliko povezanih definicija:

Definicija.

non-joint, ako nema rješenja, u suprotnom se sistem poziva joint.

Definicija.

Sistem jednačina se zove neizvjesno, ako ima beskonačno mnogo rješenja, i siguran, ako ima konačan broj rješenja ili ih uopće nema.

Ovi termini su uvedeni, na primjer, u udžbenik, ali se u školi koriste prilično rijetko, češće se čuju u visokoškolskim ustanovama.

Bibliografija.

1. algebra: udžbenik za 7. razred opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uređeno od S. A. Telyakovsky. - 17. izd. - M.: Obrazovanje, 2008. - 240 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019315-3.
2. algebra: 9. razred: obrazovni. za opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uređeno od S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M.: Obrazovanje, 2009. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkovich A. G. Algebra. 7. razred. U 14 sati Prvi dio. Udžbenik za studente obrazovne institucije/ A. G. Mordkovich. - 17. izd., dop. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-02432-3.
4. Mordkovich A. G. Algebra. 9. razred. U 2 sata Dio 1. Udžbenik za učenike opšteobrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01752-3.
5. Mordkovich A. G. Algebra i počeci matematička analiza. 11. razred. U 14 sati Prvi dio. Udžbenik za učenike opšteobrazovnih ustanova ( nivo profila) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01027-2.
6. Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 razred. opšte obrazovanje institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i drugi; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. izd. - M.: Obrazovanje, 2004. - 384 str.: ilustr. - ISBN 5-09-013651-3.
7. A. G. Kuroš. Viši kurs algebre.
8. Ilyin V. A., Poznyak E. G. Analitička geometrija: Udžbenik: Za univerzitete. – 5. izd. – M.: Nauka. Fizmatlit, 1999. – 224 str. – (Kurs više matematike i matematičke fizike). – ISBN 5-02-015234 – X (br. 3)

Sistemi jednačina se široko koriste u ekonomskom sektoru za matematičko modeliranje različitih procesa. Na primjer, kod rješavanja problema upravljanja i planiranja proizvodnje, logističkih ruta (problem transporta) ili smještaja opreme.

Sistemi jednačina se koriste ne samo u matematici, već iu fizici, hemiji i biologiji, kada se rješavaju problemi određivanja veličine populacije.

Sistem linearnih jednačina su dvije ili više jednačina sa više varijabli za koje je potrebno pronaći zajedničko rješenje. Takav niz brojeva za koji sve jednačine postaju istinite jednakosti ili dokazuju da niz ne postoji.

Linearna jednadžba

Jednačine oblika ax+by=c nazivaju se linearne. Oznake x, y su nepoznanice čija se vrijednost mora pronaći, b, a su koeficijenti varijabli, c je slobodni član jednačine.
Rješavanje jednadžbe iscrtavanjem izgledat će kao prava linija, čije su sve točke rješenja polinoma.

Vrste sistema linearnih jednačina

Najjednostavnijim primjerima smatraju se sistemi linearnih jednadžbi s dvije varijable X i Y.

F1(x, y) = 0 i F2(x, y) = 0, gdje su F1,2 funkcije, a (x, y) funkcionalne varijable.

Riješiti sistem jednačina - to znači pronalaženje vrijednosti (x, y) pri kojima se sistem pretvara u pravu jednakost ili utvrđivanje da odgovarajuće vrijednosti x i y ne postoje.

Par vrijednosti (x, y), zapisan kao koordinate tačke, naziva se rješenjem sistema linearnih jednadžbi.

Ako sistemi imaju jedno zajedničko rješenje ili ne postoji rješenje, nazivaju se ekvivalentnim.

Homogeni sistemi linearnih jednačina su sistemi čija je desna strana jednaka nuli. Ako desni dio iza znaka jednakosti ima vrijednost ili je izražen funkcijom, takav sistem je heterogen.

Broj varijabli može biti mnogo veći od dvije, tada treba govoriti o primjeru sistema linearnih jednačina sa tri ili više varijabli.

Kada se suoče sa sistemima, školarci pretpostavljaju da se broj jednačina nužno mora podudarati s brojem nepoznanica, ali to nije slučaj. Broj jednačina u sistemu ne zavisi od varijabli, može ih biti koliko god želite.

Jednostavne i složene metode za rješavanje sistema jednačina

Ne postoji opšta analitička metoda za rešavanje ovakvih sistema, sve metode su zasnovane na numeričkim rešenjima. Školski predmet matematike detaljno opisuje metode kao što su permutacija, algebarsko sabiranje, supstitucija, kao i grafičke i matrične metode, rješenja Gaussovom metodom.

Glavni zadatak pri podučavanju metoda rješenja je naučiti kako pravilno analizirati sistem i pronaći optimalni algoritam rješenja za svaki primjer. Glavna stvar nije zapamtiti sistem pravila i radnji za svaku metodu, već razumjeti principe korištenja određene metode

Rješavanje primjera sistema linearnih jednačina programa 7. razreda srednja škola prilično jednostavno i detaljno objašnjeno. U svakom udžbeniku matematike ovom dijelu se posvećuje dovoljno pažnje. Rješavanje primjera sistema linearnih jednadžbi Gauss-ovom i Cramerovom metodom detaljnije se proučava u prvim godinama visokog obrazovanja.

Rješavanje sistema metodom zamjene

Radnje metode zamjene imaju za cilj izražavanje vrijednosti jedne varijable u terminima druge. Izraz se zamjenjuje u preostalu jednačinu, a zatim se svodi na oblik s jednom promjenljivom. Akcija se ponavlja u zavisnosti od broja nepoznatih u sistemu

Dajemo rješenje za primjer sistema linearnih jednadžbi klase 7 koristeći metodu supstitucije:

Kao što se može vidjeti iz primjera, varijabla x je izražena kroz F(X) = 7 + Y. Dobijeni izraz, zamijenjen u 2. jednačinu sistema umjesto X, pomogao je da se dobije jedna varijabla Y u 2. jednačini . Rješavanje ovog primjera je jednostavno i omogućava vam da dobijete vrijednost Y. Zadnji korak je provjera dobivenih vrijednosti.

Nije uvijek moguće riješiti primjer sistema linearnih jednačina zamjenom. Jednačine mogu biti složene i izražavanje varijable u terminima druge nepoznate biće previše glomazno za dalje proračune. Kada u sistemu ima više od 3 nepoznate, rješavanje zamjenom također nije prikladno.

Rješenje primjera sistema linearnih nehomogenih jednadžbi:

Rješenje korištenjem algebarskog sabiranja

Prilikom traženja rješenja sistema korištenjem metode sabiranja, jednačine se sabiraju pojam po član i množe različitim brojevima. Krajnji cilj matematičkih operacija je jednačina u jednoj varijabli.

Primena ove metode zahteva praksu i posmatranje. Rješavanje sistema linearnih jednadžbi metodom sabiranja kada postoje 3 ili više varijabli nije lako. Algebarsko sabiranje je pogodno za korištenje kada jednadžbe sadrže razlomke i decimale.

Algoritam rješenja:

1. Pomnožite obje strane jednačine određenim brojem. Kao rezultat aritmetička radnja jedan od koeficijenata varijable mora postati jednak 1.
2. Dodajte rezultirajući izraz pojam po član i pronađite jednu od nepoznatih.
3. Zamijenite rezultirajuću vrijednost u 2. jednačinu sistema da biste pronašli preostalu varijablu.

Metoda rješenja uvođenjem nove varijable

Nova varijabla se može uvesti ako sistem zahtijeva pronalaženje rješenja za ne više od dvije jednačine; broj nepoznatih također ne smije biti veći od dvije.

Metoda se koristi za pojednostavljenje jedne od jednadžbi uvođenjem nove varijable. Nova jednačina se rješava za uvedenu nepoznatu, a rezultirajuća vrijednost se koristi za određivanje originalne varijable.

Primjer pokazuje da je uvođenjem nove varijable t bilo moguće svesti 1. jednadžbu sistema na standardnu kvadratni trinom. Polinom možete riješiti pronalaženjem diskriminanta.

Potrebno je pronaći vrijednost diskriminanta koristeći dobro poznatu formulu: D = b2 - 4*a*c, gdje je D željeni diskriminant, b, a, c su faktori polinoma. U datom primjeru, a=1, b=16, c=39, dakle D=100. Ako je diskriminanta veća od nule, tada postoje dva rješenja: t = -b±√D / 2*a, ako je diskriminanta manja od nule, postoji jedno rješenje: x = -b / 2*a.

Rješenje za rezultirajuće sisteme nalazi se metodom sabiranja.

Vizuelna metoda za rješavanje sistema

Pogodno za 3 sistema jednačina. Metoda se sastoji u konstruisanju grafova svake jednačine uključene u sistem na koordinatnoj osi. Koordinate tačaka preseka krivih i biće opšta odluka sistemima.

Grafička metoda ima niz nijansi. Pogledajmo nekoliko primjera rješavanja sistema linearnih jednačina na vizuelni način.

Kao što se može vidjeti iz primjera, za svaku liniju su konstruirane dvije tačke, a proizvoljno su odabrane vrijednosti varijable x: 0 i 3. Na osnovu vrijednosti x pronađene su vrijednosti za y: 3 i 0. Tačke sa koordinatama (0, 3) i (3, 0) označene su na grafikonu i povezane linijom.

Koraci se moraju ponoviti za drugu jednačinu. Tačka preseka pravih je rešenje sistema.

Sljedeći primjer zahtijeva pronalaženje grafičko rješenje sistemi linearnih jednačina: 0,5x-y+2=0 i 0,5x-y-1=0.

Kao što se vidi iz primjera, sistem nema rješenja, jer su grafovi paralelni i ne seku se cijelom dužinom.

Sistemi iz primjera 2 i 3 su slični, ali kada se konstruišu postaje očigledno da su njihova rješenja različita. Treba imati na umu da nije uvijek moguće reći da li sistem ima rješenje ili ne; uvijek je potrebno konstruirati graf.

Matrica i njene varijante

Matrice se koriste za koncizno pisanje sistema linearnih jednačina. Matrica je posebna vrsta tabele ispunjene brojevima. n*m ima n - redova i m - kolona.

Matrica je kvadratna kada je broj kolona i redova jednak. Matrica-vektor je matrica od jednog stupca sa beskonačno mogućim brojem redova. Matrica s jedinicama duž jedne od dijagonala i drugim nultim elementima naziva se identitet.

Inverzna matrica je matrica kada se pomnoži s kojom se originalna matrica pretvara u jediničnu matricu; takva matrica postoji samo za originalnu kvadratnu matricu.

Pravila za pretvaranje sistema jednačina u matricu

U odnosu na sisteme jednačina, koeficijenti i slobodni članovi jednačina zapisuju se kao brojevi matrice, jedna jednačina je jedan red matrice.

Za red matrice se kaže da nije nula ako barem jedan element reda nije nula. Stoga, ako se u bilo kojoj od jednadžbi razlikuje broj varijabli, tada je potrebno unijeti nulu umjesto nepoznate koja nedostaje.

Kolone matrice moraju striktno odgovarati varijablama. To znači da se koeficijenti varijable x mogu upisati samo u jedan stupac, na primjer prvi, koeficijent nepoznate y - samo u drugi.

Prilikom množenja matrice, svi elementi matrice se sekvencijalno množe brojem.

Opcije za pronalaženje inverzne matrice

Formula za pronalaženje inverzne matrice je prilično jednostavna: K -1 = 1 / |K|, gdje je K -1 inverzna matrica, a |K| je determinanta matrice. |K| ne smije biti jednak nuli, tada sistem ima rješenje.

Determinanta se lako izračunava za matricu dva po dva; potrebno je samo pomnožiti dijagonalne elemente jedan s drugim. Za opciju “tri po tri” postoji formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Možete koristiti formulu, ili se možete sjetiti da morate uzeti po jedan element iz svakog reda i svake kolone kako se brojevi stupaca i redova elemenata ne bi ponavljali u radu.

Rješavanje primjera sistema linearnih jednadžbi matričnom metodom

Matrična metoda pronalaženja rješenja omogućava vam da smanjite glomazne unose pri rješavanju sistema s velikim brojem varijabli i jednačina.

U primjeru, a nm su koeficijenti jednadžbi, matrica je vektor x n su varijable, a b n su slobodni termini.

Rješavanje sistema Gausovom metodom

IN višu matematiku Gaussova metoda se proučava zajedno sa Cramer metodom, a proces pronalaženja rješenja sistema naziva se Gauss-Cramerovom metodom rješenja. Ove metode se koriste za pronalaženje varijabli sistema sa velikim brojem linearnih jednačina.

Gaussova metoda je vrlo slična rješenjima zamjenom i algebarskim sabiranjem, ali je sistematičnija. U školskom predmetu se koristi rješenje Gaussove metode za sisteme od 3 i 4 jednačine. Svrha metode je da se sistem svede na oblik obrnutog trapeza. Pomoću algebarskih transformacija i supstitucija, vrijednost jedne varijable se nalazi u jednoj od jednačina sistema. Druga jednačina je izraz sa 2 nepoznate, dok su 3 i 4, respektivno, sa 3 i 4 varijable.

Nakon dovođenja sistema u opisani oblik, dalje rješenje se svodi na sekvencijalnu zamjenu poznatih varijabli u jednačine sistema.

U školskim udžbenicima za 7. razred primjer rješenja Gaussovom metodom opisan je na sljedeći način:

Kao što se može vidjeti iz primjera, u koraku (3) su dobijene dvije jednačine: 3x 3 -2x 4 =11 i 3x 3 +2x 4 =7. Rješavanje bilo koje od jednadžbi će vam omogućiti da saznate jednu od varijabli x n.

Teorema 5, koja se spominje u tekstu, kaže da ako se jedna od jednačina sistema zamijeni ekvivalentnom, onda će i rezultirajući sistem biti ekvivalentan izvornom.

Gaussovu metodu učenicima je teško razumjeti srednja škola, ali je jedan od najjačih zanimljive načine razvijati domišljatost djece upisanih na napredne studijske programe na časovima matematike i fizike.

Radi lakšeg snimanja, proračuni se obično rade na sljedeći način:

Koeficijenti jednačina i slobodnih termina zapisani su u obliku matrice, pri čemu svaki red matrice odgovara jednoj od jednačina sistema. odvaja lijevu stranu jednačine od desne. Rimski brojevi označavaju brojeve jednačina u sistemu.

Prvo, zapišite matricu s kojom ćete raditi, a zatim sve radnje izvedene s jednim od redova. Rezultirajuća matrica se upisuje nakon znaka "strelica" i potrebne algebarske operacije se nastavljaju dok se ne postigne rezultat.

Rezultat bi trebao biti matrica u kojoj je jedna od dijagonala jednaka 1, a svi ostali koeficijenti jednaki nuli, odnosno matrica se svodi na jedinični oblik. Ne smijemo zaboraviti izvršiti proračune sa brojevima na obje strane jednačine.

Ova metoda snimanja je manje glomazna i omogućava vam da vas ne ometaju nabrajanje brojnih nepoznanica.

Besplatna upotreba bilo koje metode rješenja zahtijevat će brigu i određeno iskustvo. Nisu sve metode primijenjene prirode. Neke metode pronalaženja rješenja su poželjnije u određenom području ljudske djelatnosti, dok druge postoje u obrazovne svrhe.