Jednačine snage i izrazi. Rješavanje eksponencijalnih jednačina. Osnove

Predavanje: „Metode rješenja eksponencijalne jednačine».

1 . Eksponencijalne jednadžbe.

Jednačine koje sadrže nepoznanice u eksponentima nazivaju se eksponencijalne jednadžbe. Najjednostavnija od njih je jednačina ax = b, gdje je a > 0, a ≠ 1.

1) Na b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) Za b > 0, koristeći monotonost funkcije i teoremu o korijenu, jednačina ima jedinstveni korijen. Da bismo ga pronašli, b mora biti predstavljeno u obliku b = as, ax = bs ó x = c ili x = logab.

Eksponencijalne jednadžbe algebarskim transformacijama dovode do standardnih jednadžbi, koje se rješavaju sljedećim metodama:

1) način svođenja na jednu osnovu;

2) način ocjenjivanja;

3) grafički metod;

4) način uvođenja novih varijabli;

5) metod faktorizacije;

6) eksponencijalne – jednačine stepena;

7) demonstrativna sa parametrom.

2 . Metoda redukcije na jednu bazu.

Metoda se zasniva na sljedećem svojstvu stupnjeva: ako su dva stepena jednaka i njihove baze su jednake, onda su im eksponenti jednaki, tj. treba pokušati svesti jednačinu na oblik

Primjeri. Riješite jednačinu:

1 . 3x = 81;

Predstavimo desnu stranu jednačine u obliku 81 = 34 i napišimo jednačinu koja je ekvivalentna originalnom 3 x = 34; x = 4. Odgovor: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">i prijeđimo na jednadžbu za eksponente 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4, x = 0,5 Odgovor: 0,5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Imajte na umu da brojevi 0,2, 0,04, √5 i 25 predstavljaju potencije od 5. Iskoristimo ovo i transformiramo originalnu jednačinu na sljedeći način:

, odakle je 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, iz čega nalazimo rješenje x = -1. Odgovor: -1.

5. 3x = 5. Po definiciji logaritma, x = log35. Odgovor: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Prepišimo jednačinu u obliku 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, tj.png" width="181" height="49 src="> Dakle x – 4 =0, x = 4. Odgovor: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Koristeći svojstva stepena, zapisujemo jednačinu u obliku 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9, zatim 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, tj. x+1 = 2, x =1. Odgovor: 1.

Problemska banka br. 1.

Riješite jednačinu:

Test br. 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) bez korijena
	1) 7;1 2) bez korijena 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Test br. 2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) nema korijena 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Metoda evaluacije.

Teorema o korijenu: ako se funkcija f(x) povećava (smanjuje) na intervalu I, broj a je bilo koja vrijednost koju uzima f na ovom intervalu, tada jednačina f(x) = a ima jedan korijen na intervalu I.

Prilikom rješavanja jednadžbi metodom procjene koristi se ova teorema i svojstva monotonosti funkcije.

Primjeri. Riješite jednačine: 1. 4x = 5 – x.

Rješenje. Prepišimo jednačinu kao 4x +x = 5.

1. ako je x = 1, tada je 41+1 = 5, 5 = 5 tačno, što znači da je 1 korijen jednačine.

Funkcija f(x) = 4x – raste na R, a g(x) = x – raste na R => h(x)= f(x)+g(x) raste na R, kao zbir rastućih funkcija, tada je x = 1 jedini korijen jednačine 4x = 5 – x. Odgovor: 1.

2.

Rješenje. Prepišimo jednačinu u formu .

1. ako je x = -1, onda , 3 = 3 je tačno, što znači da je x = -1 korijen jednačine.

2. dokazati da je on jedini.

3. Funkcija f(x) = - opada na R, a g(x) = - x – opada na R=> h(x) = f(x)+g(x) – opada na R, kao zbir opadajuće funkcije. To znači, prema teoremi o korijenu, x = -1 je jedini korijen jednačine. Odgovor: -1.

Problemska banka br. 2. Riješite jednačinu

a) 4x + 1 =6 – x;

b)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Način uvođenja novih varijabli.

Metoda je opisana u paragrafu 2.1. Uvođenje nove varijable (supstitucija) obično se vrši nakon transformacije (pojednostavljenja) članova jednačine. Pogledajmo primjere.

Primjeri. R Riješite jednačinu: 1. .

Hajde da prepišemo jednačinu drugačije: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> tj.png" width="210" height = "45">

Rješenje. Zapišimo jednačinu drugačije:

Označimo https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - nije prikladno.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - iracionalna jednačina. Primećujemo to

Rješenje jednadžbe je x = 2,5 ≤ 4, što znači da je 2,5 korijen jednačine. Odgovor: 2.5.

Rješenje. Prepišimo jednačinu u obliku i obje strane podijelimo sa 56x+6 ≠ 0. Dobijamo jednačinu

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">

Korijeni kvadratne jednadžbe su t1 = 1 i t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Rješenje . Prepišimo jednačinu u formu

i primijetiti da je to homogena jednačina drugog stepena.

Podijelimo jednačinu sa 42x, dobijamo

Zamijenimo https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Odgovor: 0; 0.5.

Problemska banka br. 3. Riješite jednačinu

b)

G)

Test br. 3 sa izborom odgovora. Minimalni nivo.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) nema korijena 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) nema korijena 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Test br. 4 sa izborom odgovora. Opšti nivo.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
A2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) nema korijena

5. Metoda faktorizacije.

1. Riješite jednačinu: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Rješenje..png" width="169" height="69"> , odakle

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Rješenje. Stavimo 6x iz zagrada na lijevu stranu jednačine, a 2x na desnu. Dobijamo jednačinu 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Pošto je 2x >0 za sve x, možemo podijeliti obje strane ove jednadžbe sa 2x bez straha od gubitka rješenja. Dobijamo 3x = 1— x = 0.

3.

Rješenje. Rešimo jednačinu metodom faktorizacije.

Odaberimo kvadrat binoma

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 je korijen jednadžbe.

Jednadžba x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15. x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Test br. 6 Opšti nivo.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0.2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Eksponencijalno – jednadžbe snage.

Uz eksponencijalne jednačine su takozvane jednadžbe eksponencijalne snage, odnosno jednačine oblika (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Ako je poznato da je f(x)>0 i f(x) ≠ 1, onda se jednačina, kao i eksponencijalna, rješava izjednačavanjem eksponenata g(x) = f(x).

Ako uvjet ne isključuje mogućnost f(x)=0 i f(x)=1, tada moramo uzeti u obzir ove slučajeve prilikom rješavanja eksponencijalne jednadžbe.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

Rješenje. x2 +2x-8 – ima smisla za bilo koji x, jer je polinom, što znači da je jednačina ekvivalentna ukupnosti

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

b)

7. Eksponencijalne jednadžbe s parametrima.

1. Za koje vrijednosti parametra p jednačina 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) ima jedinstveno rješenje?

Rješenje. Uvedemo zamjenu 2x = t, t > 0, tada će jednačina (1) poprimiti oblik t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Diskriminanta jednačine (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Jednačina (1) ima jedinstveno rješenje ako jednačina (2) ima jedan pozitivan korijen. To je moguće u sljedećim slučajevima.

1. Ako je D = 0, odnosno p = 1, tada će jednačina (2) dobiti oblik t2 – 2t + 1 = 0, dakle t = 1, dakle, jednačina (1) ima jedinstveno rješenje x = 0.

2. Ako je p1, onda je 9(p – 1)2 > 0, tada jednačina (2) ima dva različita korijena t1 = p, t2 = 4p – 3. Uslove problema zadovoljava skup sistema

Zamjenom t1 i t2 u sisteme imamo

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Rješenje. Neka tada će jednačina (3) dobiti oblik t2 – 6t – a = 0. (4)

Nađimo vrijednosti parametra a za koje barem jedan korijen jednadžbe (4) zadovoljava uvjet t > 0.

Uvedimo funkciju f(t) = t2 – 6t – a. Mogući su sljedeći slučajevi.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} kvadratni trinom f(t);

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Slučaj 2. Jednačina (4) ima jedinstveno pozitivno rješenje ako

D = 0, ako je a = – 9, tada će jednačina (4) dobiti oblik (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Slučaj 3. Jednačina (4) ima dva korijena, ali jedan od njih ne zadovoljava nejednakost t > 0. To je moguće ako

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

Dakle, za a 0, jednadžba (4) ima jedan pozitivan korijen . Tada jednačina (3) ima jedinstveno rješenje

Kada a< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

ako a< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
ako je a = – 9, onda je x = – 1;

ako je a  0, onda

Uporedimo metode za rješavanje jednačina (1) i (3). Imajte na umu da je pri rješavanju jednadžbe (1) svedeno na kvadratnu jednačinu, čiji je diskriminanta savršen kvadrat; Dakle, korijeni jednadžbe (2) su odmah izračunati koristeći formulu za korijene kvadratne jednadžbe, a zatim su izvedeni zaključci o tim korijenima. Jednadžba (3) je svedena na kvadratnu jednačinu (4), čiji diskriminanta nije savršen kvadrat, stoga je pri rješavanju jednadžbe (3) preporučljivo koristiti teoreme o lokaciji korijena kvadratnog trinoma i grafički model. Imajte na umu da se jednadžba (4) može riješiti korištenjem Vietine teoreme.

Hajde da rešimo više složene jednačine.

Problem 3: Riješite jednačinu

Rješenje. ODZ: x1, x2.

Hajde da predstavimo zamenu. Neka je 2x = t, t > 0, tada će kao rezultat transformacija jednadžba dobiti oblik t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Nađimo vrijednosti a za koje je barem jedan korijen od jednačina (*) zadovoljava uslov t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Odgovor: ako je a > – 13, a  11, a  5, onda ako je a – 13,

a = 11, a = 5, tada nema korijena.

Bibliografija.

1. Guzejev temelji obrazovne tehnologije.

2. Guzejevska tehnologija: od recepcije do filozofije.

M. “Direktor škole” br. 4, 1996

3. Guzejev i organizacioni oblici obuke.

4. Guzejev i praksa integralne obrazovne tehnologije.

M." Javno obrazovanje“, 2001

5. Guzeev iz oblika lekcije - seminar.

Matematika u školi br. 2, 1987. str. 9 – 11.

6. Seleuko obrazovne tehnologije.

M. “Narodno obrazovanje”, 1998

7. Episheva školarci da studiraju matematiku.

M. "Prosvjeta", 1990

8. Ivanova priprema nastavu - radionice.

Matematika u školi br. 6, 1990. str. 37 – 40.

9. Smirnovov model nastave matematike.

Matematika u školi br. 1, 1997. str. 32 – 36.

10. Tarasenko načini organizovanja praktičnog rada.

Matematika u školi br. 1, 1993. str. 27 – 28.

11. O jednoj od vrsta individualnog rada.

Matematika u školi br. 2, 1994, str. 63 – 64.

12. Khazankin Kreativne vještineškolska djeca.

Matematika u školi br. 2, 1989. str. 10.

13. Scanavi. Izdavač, 1997

14. i dr. Algebra i počeci analize. Didaktički materijali za

15. Krivonogov zadaci iz matematike.

M. “Prvi septembar”, 2002

16. Čerkasov. Priručnik za srednjoškolce i

upis na univerzitete. “A S T - press škola”, 2002

17. Zhevnyak za one koji ulaze na univerzitete.

Minsk i Ruska Federacija “Pregled”, 1996

18. Napisano D. Pripremamo se za ispit iz matematike. M. Rolf, 1999

19. itd. Učenje rješavanja jednačina i nejednačina.

M. "Intelekt - Centar", 2003

20. itd. Obrazovni materijali i materijali za obuku za pripremu za EGE.

M. "Inteligencija - Centar", 2003. i 2004.

21 i dr. CMM opcije. Centar za testiranje Ministarstva odbrane Ruske Federacije, 2002, 2003.

22. Goldbergove jednadžbe. "Kvant" br. 3, 1971

23. Volovich M. Kako uspješno predavati matematiku.

Matematika, 1997 br. 3.

24 Okunev za lekciju, djeco! M. Obrazovanje, 1988

25. Yakimanskaya - orijentirano učenje u školi.

26. Liimets rad u nastavi. M. Znanje, 1975

Rješavanje eksponencijalnih jednačina. Primjeri.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijala u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Šta se desilo eksponencijalna jednačina? Ovo je jednadžba u kojoj su nepoznanice (x) i izrazi s njima indikatori nekoliko stepeni. I samo tamo! Važno je.

Tu ste primjeri eksponencijalnih jednadžbi:

3 x 2 x = 8 x+3

Bilješka! U osnovama stepeni (ispod) - samo brojevi. IN indikatori stepeni (iznad) - širok izbor izraza sa X. Ako se odjednom X pojavi u jednadžbi negdje drugdje osim indikatora, na primjer:

ovo će biti jednačina mješoviti tip. Takve jednačine nemaju jasna pravila za njihovo rješavanje. Za sada ih nećemo razmatrati. Ovdje ćemo se pozabaviti rješavanje eksponencijalnih jednačina u svom najčistijem obliku.

U stvari, čak i čiste eksponencijalne jednačine nisu uvijek jasno riješene. Ali postoje određene vrste eksponencijalnih jednačina koje se mogu i trebaju riješiti. Ovo su vrste koje ćemo razmotriti.

Rješavanje jednostavnih eksponencijalnih jednadžbi.

Prvo, riješimo nešto vrlo osnovno. Na primjer:

Čak i bez ikakvih teorija, jednostavnom selekcijom je jasno da je x = 2. Ništa više, zar ne!? Nijedna druga vrijednost X ne radi. Pogledajmo sada rješenje ove lukave eksponencijalne jednadžbe:

Šta smo uradili? Mi smo, zapravo, jednostavno izbacili iste baze (trojke). Potpuno izbačen. I, dobra vijest je da smo pogodili nokat na glavi!

Zaista, ako u eksponencijalnoj jednačini postoje lijevo i desno isto brojeva u bilo kojem stepenu, ovi brojevi se mogu ukloniti i eksponenti se mogu izjednačiti. Matematika dozvoljava. Ostaje riješiti mnogo jednostavniju jednačinu. Odlično, zar ne?)

Međutim, zapamtimo čvrsto: Možete ukloniti baze samo kada su brojevi baze s lijeve i desne strane u sjajnoj izolaciji! Bez ikakvih komšija i koeficijenata. Recimo u jednačinama:

2 x +2 x+1 = 2 3, ili

dvojke se ne mogu ukloniti!

Pa, savladali smo ono najvažnije. Kako preći od zla demonstrativni izrazi na jednostavnije jednačine.

"Takva su vremena!" - ti kažeš. “Ko bi održao tako primitivnu lekciju o testovima i ispitima!?”

Moram se složiti. Niko neće. Ali sada znate kamo ciljati kada rješavate škakljive primjere. Mora se dovesti u formu gdje je isti osnovni broj lijevo i desno. Tada će sve biti lakše. Zapravo, ovo je klasik matematike. Uzimamo originalni primjer i pretvaramo ga u željeni nas um. Po pravilima matematike, naravno.

Pogledajmo primjere koji zahtijevaju dodatni napor da ih svedemo na najjednostavnije. Pozovimo ih jednostavne eksponencijalne jednadžbe.

Rješavanje jednostavnih eksponencijalnih jednadžbi. Primjeri.

Prilikom rješavanja eksponencijalnih jednačina, glavna pravila su akcije sa stepenom. Bez znanja o ovim radnjama ništa neće raditi.

Radnjama sa stepenom mora se dodati lično zapažanje i domišljatost. Da li su nam potrebni isti osnovni brojevi? Stoga ih tražimo u primjeru u eksplicitnom ili šifriranom obliku.

Da vidimo kako se to radi u praksi?

Neka nam se da primjer:

2 2x - 8 x+1 = 0

Prvi oštri pogled je na osnove. Oni... Oni su drugačiji! Dva i osam. Ali prerano je za obeshrabrenje. Vreme je da se toga setimo

Dva i osam su rođaci po stepenu.) Sasvim je moguće napisati:

8 x+1 = (2 3) x+1

Ako se prisjetimo formule iz operacija sa stupnjevima:

(a n) m = a nm ,

ovo odlično funkcionira:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Originalni primjer je počeo izgledati ovako:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Mi prenosimo 2 3 (x+1) desno (niko nije otkazao elementarne operacije matematike!), dobijamo:

2 2x = 2 3(x+1)

To je praktično sve. Uklanjanje baza:

Riješimo ovo čudovište i dobijemo

Ovo je tačan odgovor.

U ovom primjeru, poznavanje moći dvojke nam je pomoglo. Mi identifikovan u osam je šifrovana dva. Ova tehnika (šifriranje zajedničkih osnova pod različiti brojevi) je vrlo popularna tehnika u eksponencijalnim jednačinama! Da, i u logaritmima. Morate znati prepoznati potencije drugih brojeva u brojevima. Ovo je izuzetno važno za rješavanje eksponencijalnih jednačina.

Činjenica je da podizanje bilo kog broja na bilo koji stepen nije problem. Umnožite, čak i na papiru, i to je to. Na primjer, svako može podići 3 na peti stepen. 243 će ispasti ako znate tablicu množenja.) Ali u eksponencijalnim jednačinama mnogo češće nije potrebno podići na stepen, već obrnuto... Saznajte koji broj do kog stepena se krije iza broja 243, ili recimo 343... Tu vam nijedan kalkulator neće pomoći.

Morate znati moći nekih brojeva iz vida, zar ne... Hajde da vježbamo?

Odredi koje su snage i koji su brojevi brojevi:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Odgovori (naravno u neredu!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Ako dobro pogledate, možete vidjeti čudna činjenica. Odgovora je znatno više nego zadataka! Pa, dešava se... Na primjer, 2 6, 4 3, 8 2 - to je sve 64.

Pretpostavimo da ste primili k znanju informacije o poznavanju brojeva.) Dozvolite mi da vas podsjetim i da za rješavanje eksponencijalnih jednačina koristimo sve zaliha matematičkog znanja. Uključujući i one iz mlađih i srednjih razreda. Nisi išao pravo u srednju školu, zar ne?)

Na primjer, kod rješavanja eksponencijalnih jednačina, stavljanje zajedničkog faktora iz zagrada često pomaže (pozdrav 7. razredu!). Pogledajmo primjer:

3 2x+4 -11 9 x = 210

I opet, prvi pogled je na temelje! Osnove stepeni su različite... Tri i devet. Ali želimo da budu isti. Pa, u ovom slučaju želja je u potpunosti ispunjena!) Jer:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Koristeći ista pravila za postupanje sa diplomama:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

Odlično, možete to zapisati:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Naveli smo primjer iz istih razloga. Dakle, šta je sljedeće!? Ne možete izbaciti trojke... Slepa ulica?

Ne sve. Zapamtite najuniverzalnije i najmoćnije pravilo odlučivanja svima matematički zadaci:

Ako ne znate šta vam treba, uradite šta možete!

Gledaj, sve će uspjeti).

Šta je u ovoj eksponencijalnoj jednačini Može učiniti? Da, na lijevoj strani samo moli da se izvuče iz zagrada! Ukupni množitelj od 3 2x to jasno nagoveštava. Hajde da probamo, pa cemo videti:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Primjer postaje sve bolji i bolji!

Sjećamo se da nam je za eliminaciju osnova potreban čisti stepen, bez ikakvih koeficijenata. Broj 70 nam smeta. Dakle, podijelimo obje strane jednačine sa 70, dobićemo:

Ups! Sve je postalo bolje!

Ovo je konačan odgovor.

Dešava se, međutim, da se postigne taksiranje po istom osnovu, ali njihovo otklanjanje nije moguće. Ovo se dešava u drugim vrstama eksponencijalnih jednačina. Savladajmo ovu vrstu.

Zamjena varijable u rješavanju eksponencijalnih jednačina. Primjeri.

Rešimo jednačinu:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Prvo - kao i obično. Pređimo na jednu bazu. Za dvojku.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Dobijamo jednačinu:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

I ovdje se družimo. Prethodne tehnike neće raditi, bez obzira kako na to gledate. Morat ćemo izvući još jednu moćnu i univerzalnu metodu iz našeg arsenala. To se zove varijabilna zamjena.

Suština metode je iznenađujuće jednostavna. Umjesto jedne složene ikone (u našem slučaju - 2 x) pišemo drugu, jednostavniju (na primjer - t). Takva naizgled besmislena zamjena dovodi do nevjerojatnih rezultata!) Sve postaje jasno i razumljivo!

Pa neka

Tada je 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

U našoj jednadžbi zamjenjujemo sve potencije sa x sa t:

Pa, da li ti je sinulo?) Jeste li već zaboravili kvadratne jednačine? Rješavajući preko diskriminanta, dobijamo:

Ovdje je najvažnije ne stati, kao što se dešava... Ovo još nije odgovor, treba nam x, a ne t. Vratimo se na X, tj. vršimo obrnutu zamjenu. Prvo za t 1:

To je,

Pronađen je jedan korijen. Tražimo drugog od t 2:

Hm... 2 x lijevo, 1 desno... Problem? Ne sve! Dovoljno je zapamtiti (iz operacija sa moćima, da...) da je jedinica bilo koji broj na nultu potenciju. Bilo koji. Šta god je potrebno, mi ćemo to instalirati. Treba nam dvojka. znači:

To je to sada. Imamo 2 korijena:

Ovo je odgovor.

At rješavanje eksponencijalnih jednačina na kraju ponekad završiš sa nekom vrstom neugodnog izraza. Vrsta:

Sedam se ne može pretvoriti u dva jednostavnom potencijom. Nisu rođaci... Kako da budemo? Neko će se možda zbuniti... Ali osoba koja je na ovom sajtu pročitala temu “Šta je logaritam?” , samo se štedljivo nasmiješi i čvrstom rukom zapiše apsolutno tačan odgovor:

Takav odgovor ne može biti u zadacima „B“ na Jedinstvenom državnom ispitu. Tamo je potreban određeni broj. Ali u zadacima "C" je lako.

Ova lekcija daje primjere rješavanja najčešćih eksponencijalnih jednačina. Istaknimo glavne tačke.

Praktični savjeti:

1. Prije svega, pogledamo osnove stepeni. Pitamo se da li je moguće da ih napravimo identičan. Pokušajmo to učiniti aktivnim korištenjem akcije sa stepenom. Ne zaboravite da se brojevi bez x-a također mogu pretvoriti u stepene!

2. Pokušavamo da eksponencijalnu jednačinu dovedemo u oblik kada se s lijeve i desne strane nalaze isto brojevi u bilo kojem stepenu. Koristimo akcije sa stepenom I faktorizacija. Ono što se može izbrojati u brojevima, mi brojimo.

3. Ako drugi savjet ne uspije, pokušajte koristiti promjenjivu zamjenu. Rezultat može biti jednačina koja se može lako riješiti. Najčešće - kvadrat. Ili frakcijski, koji se također svodi na kvadrat.

4. Da biste uspješno riješili eksponencijalne jednačine, morate znati stepene nekih brojeva iz vida.

Kao i obično, na kraju lekcije pozvani ste da malo odlučite.) Sami. Od jednostavnog do složenog.

Riješite eksponencijalne jednadžbe:

Teže:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Pronađite proizvod korijena:

2 3 + 2 x = 9

Desilo se?

Dobro onda najkomplikovaniji primjer(odlučeno, međutim, u mislima...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Šta je zanimljivije? Onda za tebe zao primjer. Prilično primamljivo za povećanu težinu. Dozvolite mi da nagovijestim da vas u ovom primjeru spašava domišljatost i najuniverzalnije pravilo za rješavanje svih matematičkih problema.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Jednostavniji primjer, za opuštanje):

9 2 x - 4 3 x = 0

I za desert. Pronađite zbir korijena jednačine:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Da da! Ovo je jednačina mješovitog tipa! Što nismo razmatrali u ovoj lekciji. Zašto ih razmatrati, treba ih riješiti!) Ova lekcija je sasvim dovoljna za rješavanje jednačine. Pa treba ti domišljatost... I neka ti pomogne sedmi razred (ovo je nagoveštaj!).

Odgovori (u neredu, odvojeni tačkom i zarezom):

1; 2; 3; 4; nema rješenja; 2; -2; -5; 4; 0.

Je li sve uspješno? Odlično.

Postoji problem? Nema problema! U Posebnom odjeljku 555, sve ove eksponencijalne jednadžbe su riješene sa detaljna objašnjenja. Šta, zašto i zašto. I, naravno, postoje dodatne vrijedne informacije o radu sa svim vrstama eksponencijalnih jednačina. Ne samo ove.)

Još jedno zabavno pitanje za razmatranje. U ovoj lekciji smo radili sa eksponencijalnim jednadžbama. Zašto ovdje nisam rekao ni riječi o ODZ-u? U jednačinama je ovo, inače, veoma važna stvar...

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)

Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Oprema:

• kompjuter,
• multimedijalni projektor,
• ekran,
• Aneks 1(PowerPoint slajd prezentacija) “Metode rješavanja eksponencijalnih jednačina”
• Dodatak 2(Rješavanje jednačine poput „Tri različite baze stepeni” u Wordu)
• Dodatak 3(dodaci u Wordu za praktičan rad).
• Dodatak 4(dodaci u Wordu za domaći zadatak).

Tokom nastave

1. Organizaciona faza

• poruka o temi lekcije (napisana na tabli),
• potreba za opštom lekcijom u 10-11 razredu:

Faza pripreme učenika za aktivno učenje

Ponavljanje

Definicija.

Eksponencijalna jednačina je jednačina koja sadrži varijablu s eksponentom (odgovori učenika).

Napomena nastavnika. Eksponencijalne jednadžbe pripadaju klasi transcendentalnih jednačina. Ovo neizgovorivo ime sugerira da se takve jednadžbe, općenito govoreći, ne mogu riješiti u obliku formula.

One se mogu riješiti samo približno numeričkim metodama na računarima. Ali šta je sa ispitnim zadacima? Trik je u tome što ispitivač postavlja problem na takav način da omogućava analitičko rješenje. Drugim riječima, možete (i trebali biste!) izvršiti identične transformacije koje ovu eksponencijalnu jednačinu svode na najjednostavniju eksponencijalnu jednačinu. Ova najjednostavnija jednačina se zove: najjednostavnija eksponencijalna jednadžba. To se rješava logaritmom.

Situacija s rješavanjem eksponencijalne jednadžbe podsjeća na putovanje kroz labirint, koji je posebno izmislio autor zadatka. Iz ovih vrlo općih argumenata slijede vrlo konkretne preporuke.

Za uspješno rješavanje eksponencijalnih jednačina morate:

1. Ne samo da aktivno poznajete sve eksponencijalne identitete, već i pronađite skupove varijabilnih vrijednosti na kojima su ti identiteti definirani, tako da korištenjem ovih identiteta ne dobijete nepotrebne korijene, a još više, ne izgubite rješenja na jednačinu.

2. Aktivno poznavati sve eksponencijalne identitete.

3. Jasno, detaljno i bez grešaka, izvršiti matematičke transformacije jednačina (prenositi članove iz jednog dijela jednačine u drugi, ne zaboravljajući promijeniti predznak, dovesti razlomke u zajednički imenilac, itd.). To se zove matematička kultura. Istovremeno, sami proračuni treba da se rade automatski ručno, a glava treba razmišljati o općoj niti vodilja rješenja. Transformacije se moraju izvršiti što je moguće pažljivije i detaljnije. Samo to garantuje ispravnu odluku bez greške. I zapamtite: mala aritmetička greška može jednostavno stvoriti transcendentnu jednačinu koja se, u principu, ne može riješiti analitički. Ispostavilo se da ste zalutali i udarili u zid lavirinta.

4. Poznavati metode za rješavanje problema (odnosno znati sve puteve kroz labirint rješenja). Da biste se pravilno kretali u svakoj fazi, morat ćete (svjesno ili intuitivno!):

• definisati tip jednadžbe;
• zapamtite odgovarajući tip metoda rješenja zadataka.

Faza generalizacije i sistematizacije proučenog materijala.

Nastavnik zajedno sa učenicima na računaru vrši pregled svih vrsta eksponencijalnih jednačina i metoda za njihovo rješavanje, sastavlja opšta šema. (Korišćena obuka kompjuterski program L.Ya. Borevskog "Matematički kurs - 2000", autor PowerPoint prezentacije je T.N. Kupcova.)

Rice. 1. Na slici je prikazan opšti dijagram svih vrsta eksponencijalnih jednačina.

Kao što se može vidjeti iz ovog dijagrama, strategija za rješavanje eksponencijalnih jednačina je da se data eksponencijalna jednačina svede na jednačinu, prije svega, sa istim osnovama stepeni , a zatim – i sa istim pokazateljima stepena.

Nakon što ste dobili jednačinu sa istim bazama i eksponentima, ovaj eksponent zamjenjujete novom promjenljivom i dobivate jednostavnu algebarsku jednačinu (obično razlomko-racionalnu ili kvadratnu) u odnosu na ovu novu varijablu.

Nakon što riješite ovu jednačinu i izvršite obrnutu zamjenu, na kraju ćete dobiti skup jednostavnih eksponencijalnih jednadžbi koje se mogu riješiti u opšti pogled koristeći logaritam.

Ističu se jednadžbe u kojima se nalaze samo proizvodi (parcijalnih) potencija. Koristeći eksponencijalne identitete, moguće je ove jednačine odmah svesti na jednu osnovu, posebno na najjednostavniju eksponencijalnu jednačinu.

Pogledajmo kako riješiti eksponencijalnu jednačinu s tri različite baze.

(Ako nastavnik ima obrazovni kompjuterski program L.Ya. Borevskog "Kurs matematike - 2000", onda naravno radimo sa diskom, ako ne, možete napraviti ispis ove vrste jednadžbe iz njega za svaki stol, predstavljen u nastavku.)

Rice. 2. Plan za rješavanje jednačine.

Rice. 3. Počni rješavati jednačinu

Rice. 4. Završite rješavanje jednačine.

Raditi praktičan rad

Odredite vrstu jednačine i riješite je.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

Sumiranje lekcije

Ocjenjivanje za lekciju.

Kraj lekcije

Za nastavnika

Vježbajte šemu odgovora.

vježba: sa liste jednadžbi izaberite jednačine navedenog tipa (unesite broj odgovora u tabelu):

1. Tri različite osnove stepena
2. Dvije različite baze - različiti eksponenti
3. Osnove potencija - potencije jednog broja
4. Iste baze – različiti eksponenti
5. Iste osnove stepeni - isti indikatori stepeni
6. Proizvod moći
7. Dvije različite osnove stepena - isti pokazatelji
8. Najjednostavnije eksponencijalne jednadžbe

1. (proizvod moći)

2. (iste baze - različiti eksponenti)

Šta je eksponencijalna jednačina? Primjeri.

Dakle, eksponencijalna jednačina... Novi jedinstveni eksponat na našoj općoj izložbi širokog spektra jednačina!) Kao što je gotovo uvijek slučaj, ključna riječ svakog novog matematičkog pojma je odgovarajući pridjev koji ga karakterizira. Tako je ovdje. Ključna riječ u terminu “eksponencijalna jednačina” je riječ "indikativno". Šta to znači? Ova riječ znači da se nalazi nepoznata (x). u smislu bilo kog stepena. I samo tamo! Ovo je izuzetno važno.

Na primjer, ove jednostavne jednadžbe:

3 x +1 = 81

5 x + 5 x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

Ili čak ova čudovišta:

2 sin x = 0,5

Odmah obratite pažnju na jednu važnu stvar: razlozi stepeni (dole) – samo brojevi. Ali unutra indikatori stepeni (iznad) - širok izbor izraza sa X. Apsolutno bilo koji.) Sve zavisi od specifične jednačine. Ako se odjednom pojavi x negdje drugdje u jednadžbi, pored indikatora (recimo, 3 x = 18 + x 2), onda će takva jednadžba već biti jednačina mješoviti tip. Takve jednačine nemaju jasna pravila za njihovo rješavanje. Stoga ih nećemo razmatrati u ovoj lekciji. Na radost učenika.) Ovdje ćemo razmatrati samo eksponencijalne jednačine u njihovom „čistom“ obliku.

Uopšteno govoreći, ne mogu se jasno riješiti sve, pa čak ni čiste eksponencijalne jednačine. Ali među svom bogatom raznolikošću eksponencijalnih jednačina, postoje određene vrste koje se mogu i trebaju riješiti. Upravo ove vrste jednačina ćemo razmotriti. I sigurno ćemo riješiti primjere.) Pa da se smjestimo i idemo! Kao iu kompjuterskim pucačinama, naše putovanje će se odvijati kroz nivoe.) Od osnovnog do jednostavnog, od jednostavnog do srednjeg i od srednjeg do složenog. Na putu će vas čekati i tajni nivo - tehnike i metode rješavanja nestandardnih primjera. One o kojima nećete čitati u većini školskih udžbenika... Pa, i na kraju, naravno, čeka vas konačni šef u vidu domaće zadaće.)

Nivo 0. Koja je najjednostavnija eksponencijalna jednačina? Rješavanje jednostavnih eksponencijalnih jednadžbi.

Prvo, pogledajmo neke iskrene elementarne stvari. Negdje morate početi, zar ne? Na primjer, ova jednadžba:

2 x = 2 2

Čak i bez ikakvih teorija, po jednostavnoj logici i zdrav razum Jasno je da je x = 2. Ne postoji drugi način, zar ne? Nijedno drugo značenje X nije prikladno... A sada da skrenemo pažnju na zapisnik odluke ova cool eksponencijalna jednadžba:

2 x = 2 2

X = 2

Šta nam se desilo? I dogodilo se sljedeće. Mi smo ga zapravo uzeli i... jednostavno izbacili iste baze (dvojke)! Potpuno izbačen. I, dobra vijest je da smo pogodili!

Da, zaista, ako u eksponencijalnoj jednačini postoje lijevo i desno isto brojeva u bilo kojem stepenu, onda se ti brojevi mogu odbaciti i jednostavno izjednačiti eksponente. Matematika dozvoljava.) I onda možete odvojeno raditi s indikatorima i riješiti mnogo jednostavniju jednačinu. Odlično, zar ne?

Evo ključne ideje za rješavanje bilo koje (da, baš bilo koje!) eksponencijalne jednačine: korišćenjem transformacije identiteta potrebno je osigurati da su lijevo i desno u jednačini isto bazni brojevi u raznim stepenima. I tada možete sigurno ukloniti iste baze i izjednačiti eksponente. I radite s jednostavnijom jednadžbom.

Sada se prisjetimo željeznog pravila: moguće je ukloniti identične baze ako i samo ako brojevi s lijeve i desne strane jednačine imaju osnovne brojeve u ponosnoj samoći.

Šta to znači, u sjajnoj izolaciji? To znači bez ikakvih susjeda i koeficijenata. Dopusti mi da objasnim.

Na primjer, u jednadžbi

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Trojke se ne mogu ukloniti! Zašto? Jer na lijevoj strani imamo ne samo usamljenu trojku do stepena, već rad 3·3 x-5 . Dodatna tri ometaju: koeficijent, razumiješ.)

Isto se može reći i za jednačinu

5 3 x = 5 2 x +5 x

I ovdje su sve baze iste - pet. Ali na desnoj strani nemamo ni jedan stepen petice: postoji zbir moći!

Ukratko, imamo pravo ukloniti identične baze samo kada naša eksponencijalna jednačina izgleda ovako i samo ovako:

af (x) = a g (x)

Ova vrsta eksponencijalne jednadžbe se naziva najjednostavniji. Ili, naučno, kanonski . I bez obzira kakvu zamršenu jednačinu imamo pred sobom, mi ćemo je, na ovaj ili onaj način, svesti upravo na ovaj najjednostavniji (kanonski) oblik. Ili, u nekim slučajevima, da totalitet jednačine ovog tipa. Tada se naša najjednostavnija jednačina može prepisati u opštem obliku ovako:

F(x) = g(x)

To je sve. Ovo bi bila ekvivalentna konverzija. U ovom slučaju, f(x) i g(x) mogu biti apsolutno bilo koji izrazi sa x. Kako god.

Možda će se posebno radoznali učenik zapitati: zašto, pobogu, tako lako i jednostavno odbacujemo iste osnove s lijeve i desne strane i izjednačavamo eksponente? Intuicija je intuicija, ali šta ako se u nekoj jednadžbi i iz nekog razloga ovaj pristup pokaže netačnim? Da li je uvijek legalno izbaciti iste osnove? Nažalost, zbog rigoroznog matematičkog odgovora na ovo interes Pitajte morate zaroniti prilično duboko i ozbiljno opšta teorija ponašanje uređaja i funkcije. I malo konkretnije - u fenomenu stroga monotonija. Konkretno, stroga monotonija eksponencijalna funkcijay= sjekira. Budući da je eksponencijalna funkcija i njena svojstva koja su u osnovi rješenja eksponencijalnih jednačina, da.) Detaljan odgovor na ovo pitanje bit će dat u posebnoj posebnoj lekciji posvećenoj rješavanju složenih nestandardnih jednačina korištenjem monotonosti različitih funkcija.)

Objašnjavanje ove tačke u detalje sada bi samo oduvalo umove prosječnog učenika i preplašilo ga prije vremena suhoparnom i teškom teorijom. Neću to učiniti.) Jer naš glavni ovog trenutka zadatak - naučite rješavati eksponencijalne jednačine! Najjednostavniji! Stoga, nemojmo još brinuti i hrabro izbacimo iste razloge. Ovo Može, vjerujte mi na riječ!) I tada rješavamo ekvivalentnu jednačinu f(x) = g(x). U pravilu, jednostavniji od originalnog eksponencijala.

Pretpostavlja se, naravno, da u ovom trenutku ljudi već znaju riješiti barem , i jednadžbe, bez x u eksponentima.) Za one koji još ne znaju kako, slobodno zatvorite ovu stranicu, pratite relevantne linkove i popuniti stare praznine. U suprotnom, biće vam teško, da...

Ne govorim o iracionalnim, trigonometrijskim i drugim brutalnim jednačinama koje također mogu nastati u procesu eliminacije temelja. Ali nemojte biti uznemireni, za sada nećemo razmatrati potpunu okrutnost u smislu stepeni: prerano je. Treniraćemo samo na najjednostavnijim jednačinama.)

Pogledajmo sada jednadžbe koje zahtijevaju dodatni napor da ih svedemo na najjednostavnije. Radi razlikovanja, nazovimo ih jednostavne eksponencijalne jednadžbe. Dakle, idemo na sljedeći nivo!

Nivo 1. Jednostavne eksponencijalne jednadžbe. Prepoznajmo diplome! Prirodni pokazatelji.

Ključna pravila u rješavanju eksponencijalnih jednačina su pravila za postupanje sa diplomama. Bez ovog znanja i vještina ništa neće raditi. Avaj. Dakle, ako ima problema sa diplomama, onda ste prvo dobrodošli. Osim toga, trebat će nam i . Ove transformacije (njih dvije!) su osnova za rješavanje svih matematičkih jednačina općenito. I ne samo demonstrativne. Dakle, ko je zaboravio, pogledajte i link: ne stavljam ih samo tamo.

Ali same operacije s moćima i transformacije identiteta nisu dovoljne. Lična opservacija i domišljatost su takođe potrebni. Trebaju nam isti razlozi, zar ne? Stoga ispitujemo primjer i tražimo ih u eksplicitnom ili prikrivenom obliku!

Na primjer, ova jednadžba:

3 2 x – 27 x +2 = 0

Prvi pogled na osnove. Oni su drugačiji! Tri i dvadeset sedam. Ali prerano je za paniku i očaj. Vreme je da se toga setimo

27 = 3 3

Brojevi 3 i 27 su rođaci po stepenu! I bliski.) Stoga, imamo pravo da napišemo:

27 x +2 = (3 3) x+2

Sada povežimo naše znanje o akcije sa stepenom(i upozorio sam te!). Postoji vrlo korisna formula:

(a m) n = a mn

Ako ga sada sprovedete u djelo, funkcionira odlično:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

Originalni primjer sada izgleda ovako:

3 2 x – 3 3 (x +2) = 0

Odlično, osnove stepeni su se izravnale. To smo hteli. Pola bitke je gotovo.) Sada pokrećemo osnovnu transformaciju identiteta - pomaknite 3 3(x +2) udesno. Niko nije otkazao elementarne operacije matematike, da.) Dobijamo:

3 2 x = 3 3 (x +2)

Šta nam ova vrsta jednačine daje? I činjenica da je sada naša jednadžba redukovana kanonskom obliku: lijevo i desno se nalaze isti brojevi (trojke) u stepenu. Štaviše, oba tri su u sjajnoj izolaciji. Slobodno uklonite trojke i dobijete:

2x = 3(x+2)

Rešavamo ovo i dobijamo:

X = -6

To je to. Ovo je tačan odgovor.)

Sada razmislimo o rješenju. Šta nas je spasilo u ovom primjeru? Spasilo nas je znanje o moćima troje. Kako tačno? Mi identifikovan broj 27 sadrži šifrovanu trojku! Ovaj trik (kodiranje iste baze pod različitim brojevima) jedan je od najpopularnijih u eksponencijalnim jednačinama! Osim ako nije najpopularniji. Da, i na isti način, usput. Zbog toga su promatranje i sposobnost prepoznavanja potencija drugih brojeva u brojevima toliko važni u eksponencijalnim jednačinama!

Praktični savjeti:

Morate znati moći popularnih brojeva. U lice!

Naravno, svako može podići dva na sedmi stepen ili tri na peti stepen. Ne u mislima, ali barem u nacrtu. Ali u eksponencijalnim jednačinama mnogo češće nije potrebno dizati na stepen, već, naprotiv, saznati koji se broj i na koji stepen krije iza broja, recimo, 128 ili 243. A ovo je još složenije nego jednostavno podizanje, složićete se. Osjetite razliku, kako kažu!

Budući da će sposobnost lično priznavanja diploma biti korisna ne samo na ovom nivou, već i na sljedećim, evo malog zadatka za vas:

Odredi koje su snage i koji su brojevi brojevi:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Odgovori (nasumično, naravno):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Da da! Nemojte se iznenaditi da ima više odgovora nego zadataka. Na primjer, 2 8, 4 4 i 16 2 su sve 256.

Nivo 2. Jednostavne eksponencijalne jednadžbe. Prepoznajmo diplome! Negativni i frakcioni indikatori.

Na ovom nivou već u potpunosti koristimo naše znanje o stepenu. Naime, u ovaj fascinantan proces uključujemo negativne i frakcijske indikatore! Da da! Moramo povećati svoju moć, zar ne?

Na primjer, ova strašna jednadžba:

Opet, prvi pogled je na temelje. Razlozi su različiti! I ovoga puta nisu ni približno slični jedno drugom! 5 i 0,04... A za eliminaciju baza su potrebne iste... Šta da se radi?

Uredu je! Zapravo, sve je isto, samo je veza između petice i 0,04 vizuelno slabo vidljiva. Kako možemo izaći? Pređimo na broj 0,04 kao običan razlomak! A onda će, vidite, sve ispasti.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Vau! Ispostavilo se da je 0,04 1/25! Pa ko bi pomislio!)

Pa kako? Da li je sada lakše vidjeti vezu između brojeva 5 i 1/25? To je to...

A sada prema pravilima radnji sa diplomama sa negativan indikator Možete pisati mirnom rukom:

To je sjajno. Tako smo stigli do iste baze - pet. Sada zamjenjujemo nezgodan broj 0.04 u jednadžbi sa 5 -2 i dobijamo:

Opet, prema pravilima operacija sa stepenima, sada možemo napisati:

(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)

Za svaki slučaj, podsjećam (ako neko ne zna) da osnovna pravila za postupanje sa diplomama vrijede za bilo koji indikatori! Uključujući i negativne.) Dakle, slobodno uzmite i pomnožite indikatore (-2) i (x-1) prema odgovarajućem pravilu. Naša jednačina postaje sve bolja i bolja:

Sve! Osim usamljenih petica, nema ničeg drugog u moćima s lijeve i desne strane. Jednačina je svedena na kanonski oblik. A onda - uz nazubljenu stazu. Uklanjamo petice i izjednačavamo indikatore:

x 2 –6 x+5=-2(x-1)

Primjer je skoro riješen. Ostala je samo matematika osnovne škole - otvorite (ispravno!) zagrade i sakupite sve što je lijevo:

x 2 –6 x+5 = -2 x+2

x 2 –4 x+3 = 0

Riješimo ovo i dobijemo dva korijena:

x 1 = 1; x 2 = 3

To je sve.)

Hajde da razmislimo ponovo. U ovom primjeru, opet smo morali prepoznati isti broj u različitim stepenima! Naime, vidjeti šifriranu peticu u broju 0,04. I ovaj put - u negativan stepen! Kako smo to uradili? Odmah - nema šanse. Ali nakon prelaska iz decimalni 0,04 običnom razlomku 1/25 i to je to! A onda je cijela odluka prošla kao po satu.)

Stoga, još jedan zeleni praktični savjet.

Ako eksponencijalna jednadžba sadrži decimalne razlomke, onda prelazimo s decimalnih razlomaka na obične razlomke. IN obične frakcije Mnogo je lakše prepoznati moći mnogih popularnih brojeva! Nakon prepoznavanja prelazimo sa razlomaka na stepene s negativnim eksponentima.

Imajte na umu da se ovaj trik javlja vrlo, vrlo često u eksponencijalnim jednačinama! Ali osoba nije u temi. Gleda, na primjer, brojeve 32 i 0,125 i uznemiri se. Ne znajući, ovo je jedno te isto dvoje, samo u različitim stepenima... Ali ti već znaš!)

Riješite jednačinu:

In! Izgleda kao tihi horor... Međutim, izgled vara. Ovo je najjednostavnija eksponencijalna jednačina, uprkos zastrašujućoj izgled. A sada ću vam to pokazati.)

Prvo, pogledajmo sve brojeve u bazama i koeficijentima. Oni su, naravno, različiti, da. Ali ipak ćemo riskirati i pokušati ih ostvariti identičan! Hajde da pokušamo da dođemo do toga isti broj u različitim stepenima. Štaviše, poželjno je da brojevi budu što manji. Dakle, počnimo s dekodiranjem!

Pa, sa četvorkom sve je odmah jasno - to je 2 2. Dobro, to je već nešto.)

Sa frakcijom od 0,25 - još uvijek je nejasno. Treba provjeriti. Koristimo se praktičnim savjetima - prijeđite s decimalnog razlomka na obični razlomak:

0,25 = 25/100 = 1/4

Već mnogo bolje. Jer sada je jasno vidljivo da je 1/4 2 -2. Odlično, a broj 0,25 je također sličan dva.)

Zasada je dobro. Ali najgori broj od svih ostaje - kvadratni korijen od dva!Šta raditi sa ovom paprikom? Može li se i ona predstaviti kao stepen dvojke? I ko zna...

Pa, zaronimo ponovo u našu riznicu znanja o diplomama! Ovog puta dodatno povezujemo svoja znanja o korenima. Od kursa 9. razreda, ti i ja smo trebali naučiti da se svaki korijen, ako se želi, uvijek može pretvoriti u diplomu sa frakcionim indikatorom.

Volim ovo:

u našem slučaju:

Vau! Ispada da je kvadratni korijen od dva 2 1/2. To je to!

To je u redu! Svi naši nezgodni brojevi su se zapravo ispostavili kao šifrovana dva.) Ne raspravljam, negdje vrlo sofisticirano šifrirano. Ali mi također poboljšavamo našu profesionalnost u rješavanju takvih šifri! I tada je sve već očigledno. U našoj jednadžbi zamjenjujemo brojeve 4, 0,25 i korijen dva stepenom dvojke:

Sve! Osnove svih stupnjeva u primjeru su postale iste - dva. A sada se koriste standardne akcije sa stupnjevima:

a ma n = a m + n

a m:a n = a m-n

(a m) n = a mn

Za lijevu stranu dobijate:

2 -2 ·(2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

Za desnu stranu to će biti:

A sada naša zla jednačina izgleda ovako:

Za one koji nisu shvatili kako je tačno nastala ova jednadžba, onda ovdje nije pitanje o eksponencijalnim jednačinama. Pitanje je o akcijama sa stepenom. Zamolio sam vas da to hitno ponovite onima koji imaju problema!

Evo cilja! Dobijen je kanonski oblik eksponencijalne jednadžbe! Pa kako? Jesam li te uvjerio da nije sve tako strašno? ;) Uklanjamo dvojke i izjednačavamo indikatore:

Sve što je preostalo je to riješiti linearna jednačina. Kako? Uz pomoć identičnih transformacija, naravno.) Odlučite što se događa! Pomnožite obe strane sa dva (da biste uklonili razlomak 3/2), pomerite članove sa X ulevo, bez X udesno, donesite slične, brojite - i bićete srećni!

Sve bi trebalo da ispadne prelepo:

X=4

Sada ponovo razmislimo o rješenju. U ovom primjeru pomogao nam je prijelaz iz kvadratni korijen To stepen sa eksponentom 1/2. Štaviše, samo takva lukava transformacija nam je pomogla da stignemo do iste baze (dvije) svuda, što je spasilo situaciju! I, da nije tako, onda bismo imali sve šanse da se zauvek smrznemo i da se nikada ne nosimo sa ovim primerom, da...

Stoga ne zanemarujemo sljedeće praktične savjete:

Ako eksponencijalna jednadžba sadrži korijene, prelazimo s korijena na stepene s razlomačnim eksponentima. Vrlo često samo takva transformacija pojašnjava dalju situaciju.

Naravno, negativne i razlomke su mnogo složenije prirodni stepeni. Barem sa stanovišta vizualne percepcije i, posebno, prepoznavanja s desna na lijevo!

Jasno je da direktno povećanje, na primjer, dva na stepen -3 ili četiri na stepen -3/2 nije tako veliki problem. Za one koji znaju.)

Ali idi, na primjer, odmah to shvati

0,125 = 2 -3

Or

Ovdje vlada samo praksa i bogato iskustvo, da. I, naravno, jasna ideja, Šta je negativan i razlomak stepen? i - praktični saveti! Da, da, te iste zeleno.) Nadam se da će vam ipak pomoći da se bolje snalazite u čitavom raznolikom nizu diploma i značajno povećati vaše šanse za uspjeh! Zato ih nemojmo zanemariti. Nisam uzalud zeleno Ponekad pišem.)

Ali ako se upoznate čak i sa takvim egzotičnim moćima kao što su negativne i razlomke, tada će se vaše sposobnosti u rješavanju eksponencijalnih jednadžbi enormno proširiti i moći ćete rukovati gotovo svim vrstama eksponencijalnih jednadžbi. Pa, ako ne bilo koja, onda 80 posto svih eksponencijalnih jednačina - sigurno! Da, da, ne šalim se!

Dakle, naš prvi dio našeg uvoda u eksponencijalne jednadžbe došao je do svog logičnog zaključka. I, kao srednju vježbu, tradicionalno predlažem malo samorefleksije.)

Vježba 1.

Tako da moje riječi o dešifriranju negativnih i razlomke nije uzalud, predlažem da igrate mala igra!

Izrazite brojeve kao stepen dvojke:

Odgovori (u neredu):

Desilo se? Odlično! Zatim radimo borbenu misiju - rješavamo najjednostavnije i najjednostavnije eksponencijalne jednadžbe!

Zadatak 2.

Riješite jednačine (svi odgovori su nered!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16 x+3 = 0

odgovori:

x = 16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

Desilo se? Zaista, mnogo je jednostavnije!

Zatim rješavamo sljedeću igru:

(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4

35 1-x = 0,2 - x ·7 x

odgovori:

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

I ovi primjeri su ostali? Odlično! Vi rastete! Zatim evo još nekoliko primjera za grickanje:

odgovori:

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x 1 = 1; x 2 = 8/3

I da li je ovo odlučeno? Pa, postovanje! Skidam kapu.) Dakle, lekcija nije bila uzaludna, i Prvi nivo rješavanje eksponencijalnih jednačina može se smatrati uspješno savladanim. Sledeći nivoi i složenije jednadžbe su pred nama! I nove tehnike i pristupi. I nestandardni primjeri. I nova iznenađenja.) Sve ovo u sledećoj lekciji!

Je li nešto pošlo po zlu? To znači da su najvjerovatnije problemi u . Ili u . Ili oboje odjednom. Ovde sam nemoćan. mogu unutra Ponovo Mogu predložiti samo jedno - ne budite lijeni i pratite linkove.)

Nastavlja se.)

Idite na youtube kanal naše web stranice da budete u toku sa svim novim video lekcijama.

Prvo, prisjetimo se osnovnih formula snaga i njihovih svojstava.

Proizvod broja a javlja se na sebi n puta, ovaj izraz možemo zapisati kao a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Potencijske ili eksponencijalne jednadžbe– ovo su jednadžbe u kojima su varijable u stepenu (ili eksponentima), a baza je broj.

Primjeri eksponencijalnih jednadžbi:

U ovom primjeru, broj 6 je baza; uvijek je na dnu i varijabla x stepen ili indikator.

Navedimo više primjera eksponencijalnih jednačina.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

Pogledajmo sada kako se rješavaju eksponencijalne jednadžbe?

Uzmimo jednostavnu jednačinu:

2 x = 2 3

Ovaj primjer se može riješiti čak i u vašoj glavi. Može se vidjeti da je x=3. Uostalom, da bi lijeva i desna strana bile jednake, trebate staviti broj 3 umjesto x.
Sada da vidimo kako formalizirati ovu odluku:

2 x = 2 3
x = 3

Da bismo riješili takvu jednačinu, uklonili smo se identične osnove(odnosno dvojke) i zapisao šta je ostalo, to su stepeni. Dobili smo odgovor koji smo tražili.

Sada da rezimiramo našu odluku.

Algoritam za rješavanje eksponencijalne jednadžbe:
1. Treba provjeriti isto da li jednadžba ima baze na desnoj i lijevoj strani. Ako razlozi nisu isti, tražimo opcije za rješavanje ovog primjera.
2. Nakon što baze postanu iste, izjednačiti stepena i riješi rezultirajuću novu jednačinu.

Pogledajmo sada nekoliko primjera:

Počnimo s nečim jednostavnim.

Osnove na lijevoj i desnoj strani jednake su broju 2, što znači da bazu možemo odbaciti i izjednačiti njihove potencije.

x+2=4 Dobije se najjednostavnija jednačina.
x=4 – 2
x=2
Odgovor: x=2

U sljedećem primjeru možete vidjeti da su baze različite: 3 i 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Prvo, pomerimo devetku na desnu stranu, dobićemo:

Sada morate napraviti iste baze. Znamo da je 9=3 2. Koristimo formulu snage (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Dobijamo 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Sada je jasno da su na lijevoj i desnoj strani baze iste i jednake tri, što znači da ih možemo odbaciti i izjednačiti stepene.

3x=2x+16 dobijamo najjednostavniju jednačinu
3x - 2x=16
x=16
Odgovor: x=16.

Pogledajmo sljedeći primjer:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Prije svega, gledamo baze, baze dva i četiri. I trebamo da budu isti. Transformišemo četiri koristeći formulu (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

A koristimo i jednu formulu a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Dodajte u jednačinu:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Naveli smo primjer iz istih razloga. Ali smetaju nam drugi brojevi 10 i 24. Šta da radimo s njima? Ako bolje pogledate možete vidjeti da na lijevoj strani imamo 2 2x ponovljeno, evo odgovora - možemo staviti 2 2x izvan zagrada:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Izračunajmo izraz u zagradama:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Cijelu jednačinu podijelimo sa 6:

Zamislimo 4=2 2:

2 2x = 2 2 baze su iste, odbacujemo ih i izjednačavamo stepene.
2x = 2 je najjednostavnija jednadžba. Podijelimo sa 2 i dobijemo
x = 1
Odgovor: x = 1.

Rešimo jednačinu:

9 x – 12*3 x +27= 0

transformirajmo:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Dobijamo jednačinu:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Naše baze su iste, jednake su 3. U ovom primjeru možete vidjeti da prva tri ima stepen dva puta (2x) od druge (samo x). U ovom slučaju, možete riješiti metoda zamjene. Broj zamjenjujemo najmanjim stepenom:

Tada je 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Sve x potencije u jednadžbi zamjenjujemo sa t:

t 2 - 12t+27 = 0
Dobijamo kvadratna jednačina. Rješavajući preko diskriminanta, dobijamo:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Vraćanje na varijablu x.

Uzmi t 1:
t 1 = 9 = 3 x

To je,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Pronađen je jedan korijen. Tražimo drugog od t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Odgovor: x 1 = 2; x 2 = 1.

Na web stranici možete postaviti sva pitanja koja imate u odjeljku POMOĆ ODLUČITI, mi ćemo vam svakako odgovoriti.

Pridružite se grupi