Kako riješiti primjere koristeći razlomke. Oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima. Operacije sa razlomcima

) i imenilac po imenilac (dobijamo imenilac proizvoda).

Formula za množenje razlomaka:

Na primjer:

Prije nego počnete množenje brojionika i nazivnika, morate provjeriti može li se razlomak smanjiti. Ako možete smanjiti razlomak, bit će vam lakše napraviti daljnje proračune.

Dijeljenje običnog razlomka razlomkom.

Dijeljenje razlomaka koji uključuju prirodne brojeve.

Nije tako strašno kao što se čini. Kao iu slučaju sabiranja, pretvaramo cijeli broj u razlomak s jedinicom u nazivniku. Na primjer:

Množenje mješovitih razlomaka.

Pravila za množenje razlomaka (mješovito):

• pretvoriti miješane razlomke u nepravilne razlomke;
• množenje brojilaca i nazivnika razlomaka;
• smanjiti frakciju;
• Ako dobijete nepravilan razlomak, onda pretvaramo nepravilan razlomak u mješoviti razlomak.

Bilješka! Da se umnoži mješovita frakcija u drugi mješoviti razlomak, prvo ih morate pretvoriti u oblik nepravilnih razlomaka, a zatim pomnožiti prema pravilu množenja obične frakcije.

Drugi način da se razlomak pomnoži prirodnim brojem.

Možda je zgodnije koristiti drugu metodu množenja običnog razlomka brojem.

Bilješka! Da pomnožite razlomak sa prirodni broj Potrebno je podijeliti imenilac razlomka ovim brojem, a brojnik ostaviti nepromijenjen.

Iz gore navedenog primjera jasno je da je ova opcija pogodnija za korištenje kada se nazivnik razlomka bez ostatka podijeli prirodnim brojem.

Višespratni razlomci.

U srednjoj školi često se susreću trospratni (ili više) razlomci. primjer:

Da biste takav razlomak doveli u uobičajeni oblik, koristite podjelu na 2 točke:

Bilješka! Prilikom dijeljenja razlomaka, redoslijed dijeljenja je vrlo važan. Budite oprezni, ovdje se lako možete zbuniti.

Bilješka, Na primjer:

Prilikom dijeljenja jedan s bilo kojim razlomkom, rezultat će biti isti razlomak, samo obrnuti:

Praktični savjeti za množenje i dijeljenje razlomaka:

1. Najvažnija stvar pri radu sa frakcijskim izrazima je tačnost i pažnja. Uradite sve proračune pažljivo i precizno, koncentrisano i jasno. Bolje je da napišete nekoliko dodatnih redova u nacrtu nego da se izgubite u mentalnim proračunima.

2. U zadacima s različitim vrstama razlomaka idite na tip običnih razlomaka.

3. Smanjujemo sve razlomke dok ih više nije moguće reducirati.

4. Razlomke na više nivoa transformiramo u obične pomoću dijeljenja na 2 tačke.

5. Podijelite jedinicu s razlomkom u svojoj glavi, jednostavno okrećući razlomak.

Brojilac, a ono što je podijeljeno je imenilac.

Da biste napisali razlomak, prvo napišite brojilac, zatim povucite vodoravnu liniju ispod broja i upišite nazivnik ispod linije. Horizontalna linija koja razdvaja brojnik i imenilac naziva se razlomka. Ponekad se prikazuje kao kosi "/" ili "∕". U ovom slučaju, brojilac se piše lijevo od reda, a nazivnik desno. Tako će, na primjer, razlomak "dvije trećine" biti napisan kao 2/3. Radi jasnoće, brojilac se obično piše na vrhu reda, a nazivnik na dnu, odnosno umjesto 2/3 možete pronaći: ⅔.

Da biste izračunali proizvod razlomaka, prvo pomnožite brojnik jedan razlomci u brojiocu je drugačija. Rezultat upišite u brojnik novog razlomci. Nakon toga pomnožite nazivnike. Unesite ukupnu vrijednost u novi razlomci. Na primjer, 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

Da biste podijelili jedan razlomak s drugim, prvo pomnožite brojnik prvog sa nazivnikom drugog. Uradite isto sa drugim razlomkom (djeliteljem). Ili, prije nego što izvršite sve radnje, prvo "okrenite" djelitelj, ako vam je zgodnije: nazivnik bi se trebao pojaviti na mjestu brojnika. Zatim pomnožite nazivnik dividende sa novim imeniocem djelitelja i pomnožite brojnike. Na primjer, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).

Izvori:

• Osnovni problemi s razlomcima

Razlomci se mogu izraziti u u različitim oblicima tačnu vrijednost količine. Možete raditi iste matematičke operacije sa razlomcima kao i sa cijelim brojevima: oduzimanje, sabiranje, množenje i dijeljenje. Da naučim odlučivati razlomci, moramo zapamtiti neke njihove karakteristike. Zavise od vrste razlomci, prisustvo cijelog broja, zajednički nazivnik. Neki aritmetičke operacije nakon izvršenja zahtijevaju smanjenje razlomka rezultata.

Trebaće ti

• - kalkulator

Instrukcije

Pažljivo pogledajte brojeve. Ako među razlomcima postoje decimale i nepravilne, ponekad je prikladnije prvo izvršiti operacije s decimalima, a zatim ih pretvoriti u nepravilan oblik. Možete li prevesti? razlomci u ovom obliku na početku, upisujući vrijednost nakon decimalne točke u brojiocu i stavljajući 10 u nazivnik. Ako je potrebno, smanjite razlomak tako što ćete brojeve iznad i ispod podijeliti jednim djeliteljem. Razlomci u kojima je izolovan cijeli dio moraju se pretvoriti u pogrešan oblik množenjem sa nazivnikom i rezultatom dodati brojilac. Ova vrijednost će postati novi brojilac razlomci. Za odabir cijelog dijela od inicijalno pogrešnog razlomci, potrebno je podijeliti brojilac sa nazivnikom. Napišite cijeli rezultat iz razlomci. A ostatak dijeljenja će postati novi brojnik, nazivnik razlomci ne menja se. Za razlomke s cijelim dijelom moguće je izvršiti radnje odvojeno, prvo za cijeli broj, a zatim za razlomke. Na primjer, zbir 1 2/3 i 2 ¾ može se izračunati:
- Pretvaranje razlomaka u pogrešan oblik:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Zbrajanje odvojeno celobrojnih i razlomaka članova:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Prepišite ih koristeći separator “:” i nastavite s normalnim dijeljenjem.

Da biste dobili konačni rezultat, smanjite rezultujući razlomak dijeljenjem brojnika i nazivnika s jednim cijelim brojem, najvećim mogućim u ovom slučaju. U ovom slučaju, moraju postojati cijeli brojevi iznad i ispod linije.

Bilješka

Ne izvodite aritmetiku sa razlomcima čiji su imenioci različiti. Odaberite broj tako da kada pomnožite brojilac i nazivnik svakog razlomka s njim, rezultat je da su nazivnici oba razlomka jednaki.

Koristan savjet

Prilikom snimanja razlomci brojeva Dividenda je ispisana iznad linije. Ova količina je označena kao brojnik razlomka. Delitelj, ili imenilac, razlomka je napisan ispod linije. Na primjer, jedan i po kilogram riže kao frakcija bit će napisan na sljedeći način: 1 ½ kg riže. Ako je nazivnik razlomka 10, razlomak se naziva decimalni. U ovom slučaju, brojilac (dividenda) se piše desno od cijelog dijela, odvojenog zarezom: 1,5 kg riže. Radi lakšeg izračuna, takav razlomak se uvijek može napisati u pogrešnom obliku: 1 2/10 kg krompira. Da biste pojednostavili, možete smanjiti vrijednosti brojnika i nazivnika tako što ćete ih podijeliti s jednim cijelim brojem. U ovom primjeru možete podijeliti sa 2. Rezultat će biti 1 1/5 kg krompira. Uvjerite se da su brojevi s kojima ćete izvoditi aritmetiku prikazani u istom obliku.

Jedna od najvažnijih nauka, čija se primjena može vidjeti u disciplinama kao što su hemija, fizika, pa čak i biologija, je matematika. Proučavanje ove nauke omogućava vam da razvijete neke mentalne kvalitete i poboljšate svoju sposobnost koncentracije. Jedna od tema koje zaslužuju posebnu pažnju u predmetu matematike je sabiranje i oduzimanje razlomaka. Mnogim studentima je teško učiti. Možda će vam naš članak pomoći da bolje razumijete ovu temu.

Kako oduzeti razlomke čiji su imenioci isti

Razlomci su isti brojevi s kojima možete izvoditi razne operacije. Njihova razlika od celih brojeva leži u prisustvu nazivnika. Zato, kada izvodite operacije s razlomcima, morate proučiti neke od njihovih karakteristika i pravila. Najjednostavniji slučaj je oduzimanje običnih razlomaka čiji su imenioci predstavljeni kao isti broj. Izvođenje ove radnje neće biti teško ako znate jednostavno pravilo:

• Da bi se od jednog razlomka oduzela sekunda, potrebno je brojnik oduzetog razlomka oduzeti od brojnika razlomka koji se smanjuje. Ovaj broj upisujemo u brojnik razlike, a imenilac ostavljamo isti: k/m - b/m = (k-b)/m.

Primjeri oduzimanja razlomaka čiji su nazivnici isti

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Od brojila razlomka “7” oduzimamo brojilac razlomka “3” koji treba oduzeti, dobijamo “4”. Ovaj broj upisujemo u brojnik odgovora, a u nazivnik stavljamo isti broj koji je bio u nazivnicima prvog i drugog razlomka - „19“.

Slika ispod prikazuje još nekoliko sličnih primjera.

Razmotrimo složeniji primjer gdje se razlomci oduzimaju isti imenioci:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Od brojnika razlomka "29" smanjuje se tako što se naizmjence oduzimaju brojnici svih narednih razlomaka - "3", "8", "2", "7". Kao rezultat, dobijamo rezultat "9", koji zapisujemo u brojnik odgovora, a u nazivnik zapisujemo broj koji je u nazivnicima svih ovih razlomaka - "47".

Sabiranje razlomaka koji imaju isti nazivnik

Sabiranje i oduzimanje običnih razlomaka slijedi isti princip.

• Da biste sabrali razlomke čiji su imenioci isti, potrebno je sabrati brojioce. Dobijeni broj je brojnik zbira, a imenilac će ostati isti: k/m + b/m = (k + b)/m.

Pogledajmo kako ovo izgleda na primjeru:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Brojiniku prvog člana razlomka - “1” - dodajte brojnik drugog člana razlomka - “2”. Rezultat - "3" - upisuje se u brojnik zbira, a imenilac ostaje isti kao onaj u razlomcima - "4".

Razlomci sa različitim nazivnicima i njihovo oduzimanje

Već smo razmatrali operaciju sa razlomcima koji imaju isti nazivnik. Kao što vidimo, znajući jednostavna pravila, rješavanje takvih primjera je prilično jednostavno. Ali što ako trebate izvršiti operaciju s razlomcima koji imaju različite nazivnike? Mnogi srednjoškolci su zbunjeni ovakvim primjerima. Ali čak i ovdje, ako znate princip rješenja, primjeri vam više neće biti teški. Ovdje postoji i pravilo bez kojeg je rješavanje takvih razlomaka jednostavno nemoguće.

Da biste oduzeli razlomke s različitim nazivnicima, oni se moraju svesti na isti najmanji nazivnik.



Razgovarat ćemo detaljnije o tome kako to učiniti.

Svojstvo razlomka

Da biste nekoliko razlomaka doveli u isti nazivnik, morate koristiti glavno svojstvo razlomka u rješenju: nakon dijeljenja ili množenja brojnika i nazivnika istim brojem, dobivate razlomak jednak zadanom.

Tako, na primjer, razlomak 2/3 može imati nazivnike kao što su "6", "9", "12" itd., To jest, može imati oblik bilo kojeg broja koji je višekratnik "3". Nakon što pomnožimo brojilac i nazivnik sa “2”, dobićemo razlomak 4/6. Nakon što pomnožimo brojilac i imenilac originalnog razlomka sa “3”, dobijamo 6/9, a ako izvršimo sličnu operaciju sa brojem “4”, dobijamo 8/12. Jedna jednakost se može napisati na sljedeći način:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Kako pretvoriti više razlomaka u isti nazivnik

Pogledajmo kako svesti više razlomaka na isti nazivnik. Na primjer, uzmimo razlomke prikazane na slici ispod. Prvo morate odrediti koji broj može postati imenilac za sve njih. Da bismo olakšali stvari, hajde da faktorizujemo postojeće nazivnike.

Imenilac razlomka 1/2 i razlomka 2/3 ne može se rastaviti na faktore. Imenilac 7/9 ima dva faktora 7/9 = 7/(3 x 3), imenilac razlomka 5/6 = 5/(2 x 3). Sada treba da odredimo koji faktori će biti najmanji za sva ova četiri razlomka. Pošto prvi razlomak u nazivniku ima broj “2”, to znači da mora biti prisutan u svim nazivnicima; u razlomku 7/9 postoje dvije trojke, što znači da oba moraju biti prisutna i u nazivniku. Uzimajući u obzir gore navedeno, utvrđujemo da se imenilac sastoji od tri faktora: 3, 2, 3 i da je jednak 3 x 2 x 3 = 18.



Razmotrimo prvi razlomak - 1/2. U nazivniku je „2“, ali nema nijedne cifre „3“, već bi trebalo da budu dve. Da bismo to učinili, pomnožimo nazivnik sa dvije trojke, ali, prema svojstvu razlomka, moramo pomnožiti brojilac sa dvije trojke:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Izvodimo iste operacije s preostalim razlomcima.

• 2/3 - jedna tri i jedna dva nedostaju u nazivniku:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 ili 7/(3 x 3) - u nazivniku nedostaje dva:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 ili 5/(2 x 3) - u nazivniku nedostaje tri:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Sve zajedno izgleda ovako:



Kako oduzimati i sabirati razlomke koji imaju različite nazivnike

Kao što je već spomenuto, da bi se sabirali ili oduzeli razlomci koji imaju različite nazivnike, moraju se svesti na isti nazivnik, a zatim koristiti pravila za oduzimanje razlomaka koji imaju isti nazivnik, o kojima je već bilo riječi.

Pogledajmo ovo kao primjer: 4/18 - 3/15.

Pronalaženje višekratnika brojeva 18 i 15:

• Broj 18 se sastoji od 3 x 2 x 3.
• Broj 15 je sastavljen od 5 x 3.
• Zajednički višekratnik će biti sljedeći faktori: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Nakon što je imenilac pronađen, potrebno je izračunati faktor koji će biti različit za svaki razlomak, odnosno broj kojim će biti potrebno pomnožiti ne samo imenilac, već i brojnik. Da bismo to učinili, podijelimo broj koji smo pronašli (zajednički višekratnik) sa nazivnikom razlomka za koji treba odrediti dodatne faktore.

• 90 podijeljeno sa 15. Rezultirajući broj “6” će biti množitelj za 3/15.
• 90 podijeljeno sa 18. Rezultirajući broj “5” će biti množitelj za 4/18.

Sljedeća faza našeg rješenja je da svaki razlomak svedemo na nazivnik “90”.

Već smo pričali o tome kako se to radi. Pogledajmo kako se ovo piše na primjeru:

(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Ako razlomci imaju male brojeve, tada možete odrediti zajednički nazivnik, kao u primjeru prikazanom na slici ispod.



Isto važi i za one sa različitim nazivnicima.

Oduzimanje i imanje cijelih dijelova

Već smo detaljno raspravljali o oduzimanju razlomaka i njihovom sabiranju. Ali kako oduzeti ako razlomak ima cijeli broj? Opet, upotrijebimo nekoliko pravila:

• Pretvorite sve razlomke koji imaju cijeli broj u nepravilne. Govoreći jednostavnim riječima, uklonite cijeli dio. Da biste to učinili, pomnožite broj cjelobrojnog dijela sa nazivnikom razlomka, a rezultirajući proizvod dodajte brojniku. Broj koji izlazi nakon ovih radnji je brojnik nepravilnog razlomka. Imenilac ostaje nepromijenjen.
• Ako razlomci imaju različite nazivnike, treba ih svesti na isti nazivnik.
• Izvršite sabiranje ili oduzimanje sa istim nazivnicima.
• Kada dobijete nepravilan razlomak, odaberite cijeli dio.



Postoji još jedan način na koji možete sabirati i oduzimati razlomke s cijelim dijelovima. Da biste to učinili, radnje se izvode odvojeno s cijelim dijelovima, a akcije s razlomcima odvojeno, a rezultati se bilježe zajedno.



Navedeni primjer sastoji se od razlomaka koji imaju isti nazivnik. U slučaju kada su nazivnici različiti, potrebno ih je dovesti na istu vrijednost, a zatim izvršiti radnje kao što je prikazano u primjeru.

Oduzimanje razlomaka od cijelih brojeva

Druga vrsta operacije sa razlomcima je slučaj kada se razlomak mora oduzeti.Na prvi pogled takav primjer izgleda teško riješiti. Međutim, ovdje je sve prilično jednostavno. Da biste ga riješili, trebate pretvoriti cijeli broj u razlomak, i to sa istim nazivnikom koji je u oduzetom razlomku. Zatim izvodimo oduzimanje slično oduzimanju sa identičnim nazivnicima. U primjeru to izgleda ovako:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Oduzimanje razlomaka (ocena 6) predstavljeno u ovom članku je osnova za rješavanje više složeni primjeri, o kojima se govori u narednim časovima. Poznavanje ove teme se kasnije koristi za rješavanje funkcija, derivacija i tako dalje. Stoga je vrlo važno razumjeti i razumjeti operacije s razlomcima o kojima smo gore govorili.

Sada kada smo naučili kako sabirati i množiti pojedinačne razlomke, možemo pogledati više složenih dizajna. Na primjer, što ako isti problem uključuje sabiranje, oduzimanje i množenje razlomaka?

Prije svega, trebate pretvoriti sve razlomke u nepravilne. Zatim izvršavamo tražene radnje uzastopno - istim redoslijedom kao i za obične brojeve. naime:

1. Prvo se vrši eksponencijacija - oslobodite se svih izraza koji sadrže eksponente;
2. Zatim - dijeljenje i množenje;
3. Poslednji korak je sabiranje i oduzimanje.

Naravno, ako u izrazu postoje zagrade, redoslijed operacija se mijenja - prvo se mora izbrojati sve što je unutar zagrada. I zapamtite o nepravilnim razlomcima: trebate istaknuti cijeli dio tek kada su sve druge radnje već završene.

Pretvorimo sve razlomke iz prvog izraza u nepravilne, a zatim izvršimo sljedeće korake:

Sada pronađimo vrijednost drugog izraza. Ne postoje razlomci s cijelim dijelom, ali postoje zagrade, pa prvo vršimo sabiranje, pa tek onda dijeljenje. Imajte na umu da je 14 = 7 · 2. onda:

Konačno, razmotrite treći primjer. Ovdje postoje zagrade i diploma - bolje ih je računati zasebno. S obzirom da je 9 = 3 3, imamo:

Obratite pažnju na posljednji primjer. Da biste podignuli razlomak na stepen, morate zasebno podići brojilac na ovaj stepen, a posebno, nazivnik.

Možete odlučiti drugačije. Ako se prisjetimo definicije stepena, problem će se svesti na uobičajeno množenje razlomaka:

Višespratni razlomci

Do sada smo razmatrali samo „čiste“ razlomke, kada su brojnik i imenilac obični brojevi. Ovo je sasvim u skladu sa definicijom brojevnog razlomka datom u prvoj lekciji.

Ali što ako stavite složeniji objekt u brojnik ili nazivnik? Na primjer, drugi brojčani razlomak? Takve konstrukcije nastaju prilično često, posebno pri radu s njima dugi izrazi. Evo nekoliko primjera:

Postoji samo jedno pravilo za rad sa razlomcima na više nivoa: morate ih se odmah riješiti. Uklanjanje "dodatnih" katova je prilično jednostavno, ako se sjetite da kosa crta označava standardnu ​​operaciju podjele. Stoga se bilo koji razlomak može prepisati na sljedeći način:

Koristeći ovu činjenicu i slijedeći proceduru, lako možemo svesti bilo koji višekatni razlomak na običan. Pogledajte primjere:

Zadatak. Pretvorite višekatne razlomke u obične:

U svakom slučaju, prepisujemo glavni razlomak, zamjenjujući liniju podjele znakom podjele. Također zapamtite da se bilo koji cijeli broj može predstaviti kao razlomak sa nazivnikom 1. To jest 12 = 12/1; 3 = 3/1. Dobijamo:

U posljednjem primjeru, razlomci su poništeni prije konačnog množenja.

Specifičnosti rada sa razlomcima na više nivoa

Postoji jedna suptilnost u razlomcima na više nivoa koja se uvijek mora zapamtiti, inače možete dobiti pogrešan odgovor, čak i ako su svi proračuni bili tačni. Pogledaj:

1. Brojilac sadrži jedan broj 7, a nazivnik sadrži razlomak 12/5;
2. Brojilac sadrži razlomak 7/12, a imenilac poseban broj 5.

Dakle, za jedan snimak dobili smo dvije potpuno različite interpretacije. Ako računate, odgovori će također biti drugačiji:

Da biste osigurali da se zapis uvijek čita nedvosmisleno, koristite jednostavno pravilo: linija razdvajanja glavnog razlomka mora biti duža od linije ugniježđenog razlomka. Po mogućnosti nekoliko puta.

Ako slijedite ovo pravilo, tada bi gornji razlomci trebali biti napisani na sljedeći način:

Da, vjerovatno je ružan i zauzima previše prostora. Ali ćete tačno računati. Konačno, nekoliko primjera gdje zapravo nastaju razlomci na više katova:

Zadatak. Pronađite značenja izraza:

Dakle, poradimo na prvom primjeru. Pretvorimo sve razlomke u nepravilne, a zatim izvršimo operacije sabiranja i dijeljenja:

Uradimo isto sa drugim primjerom. Pretvorimo sve razlomke u nepravilne i izvršimo potrebne operacije. Da ne bih dosadio čitaocu, izostaviću neke očigledne kalkulacije. Imamo:

Zbog činjenice da brojnik i nazivnik osnovnih razlomaka sadrže zbrojeve, pravilo za pisanje razlomaka sa više spratova se poštuje automatski. Također, u posljednjem primjeru, namjerno smo ostavili 46/1 u obliku razlomaka da izvršimo dijeljenje.

Također ću primijetiti da u oba primjera linija razlomka zapravo zamjenjuje zagrade: prvo smo pronašli zbir, a tek onda količnik.

Neki će reći da je prijelaz na nepravilne razlomke u drugom primjeru bio očigledno suvišan. Možda je ovo istina. Ali time se osiguravamo od grešaka, jer sljedeći put primjer može biti mnogo komplikovaniji. Odaberite za sebe što je važnije: brzina ili pouzdanost.

Sadržaj lekcije

Sabiranje razlomaka sa sličnim nazivnicima

Postoje dvije vrste sabiranja razlomaka:

1. Sabiranje razlomaka sa sličnim nazivnicima
2. Sabiranje razlomaka sa različitim nazivnicima

Prvo, naučimo sabiranje razlomaka sa sličnim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste sabrali razlomke sa istim nazivnicima, potrebno je da saberete njihove brojioce i ostavite nazivnik nepromenjen. Na primjer, dodajmo razlomke i . Dodajte brojioce i ostavite imenilac nepromijenjen:

Ovaj primjer se može lako razumjeti ako se prisjetimo pizze koja je podijeljena na četiri dijela. Ako pizzi dodate pizzu, dobijate picu:

Primjer 2. Dodajte razlomke i .

Ispostavilo se da je odgovor nepravilan razlomak. Kada dođe kraj zadatka, uobičajeno je da se riješite nepravilnih razlomaka. Da biste se riješili nepravilnog razlomka, morate odabrati cijeli njegov dio. U našem slučaju, cijeli dio se lako izoluje - dva podijeljena sa dva jednako je jedan:

Ovaj primjer se može lako razumjeti ako se sjetimo pizze koja je podijeljena na dva dijela. Ako pizzi dodate još pizze, dobijate jednu celu picu:

Primjer 3. Dodajte razlomke i .

Opet, zbrajamo brojioce i ostavljamo imenilac nepromijenjen:

Ovaj primjer se može lako razumjeti ako se prisjetimo pizze koja je podijeljena na tri dijela. Ako pizzi dodate još pizze, dobijate pizzu:

Primjer 4. Pronađite vrijednost izraza

Ovaj primjer je riješen na potpuno isti način kao i prethodni. Brojioci se moraju dodati, a nazivnik ostaviti nepromijenjen:

Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću crteža. Ako pizzi dodate pizze i dodate još pizza, dobit ćete 1 cijelu pizzu i više pizza.

Kao što vidite, nema ništa komplikovano u zbrajanju razlomaka sa istim nazivnicima. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:

1. Da biste sabrali razlomke sa istim nazivnikom, potrebno je da saberete njihove brojioce i ostavite imenilac nepromenjen;

Sabiranje razlomaka sa različitim nazivnicima

Sada ćemo naučiti kako sabirati razlomke s različitim nazivnicima. Prilikom sabiranja razlomaka, nazivnici razlomaka moraju biti isti. Ali oni nisu uvijek isti.

Na primjer, razlomci se mogu sabirati jer imaju iste nazivnike.

Ali razlomci se ne mogu odmah zbrajati, jer ovi razlomci različiti imenioci. U takvim slučajevima, razlomci se moraju svesti na isti (zajednički) nazivnik.

Postoji nekoliko načina da se razlomci svedu na isti nazivnik. Danas ćemo se osvrnuti na samo jednu od njih, budući da se ostale metode za početnika mogu činiti komplikovanim.

Suština ove metode je da se prvo traži LCM nazivnika oba razlomka. LCM se zatim dijeli sa nazivnikom prvog razlomka kako bi se dobio prvi dodatni faktor. Isto rade i sa drugim razlomkom - LCM se podijeli sa nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor.

Brojioci i imenioci razlomaka se zatim množe sa njihovim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih radnji, razlomci koji imaju različite nazivnike pretvaraju se u razlomke koji imaju iste nazivnike. I mi već znamo kako sabrati takve razlomke.

Primjer 1. Dodajmo razlomke i

Prije svega, nalazimo najmanji zajednički višekratnik nazivnika oba razlomka. Imenilac prvog razlomka je broj 3, a imenilac drugog razlomka je broj 2. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 6

LCM (2 i 3) = 6

Sada se vratimo na razlomke i . Prvo, LCM podijelite sa nazivnikom prvog razlomka i dobijete prvi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 6 sa 3, dobićemo 2.

Rezultirajući broj 2 je prvi dodatni množitelj. Zapisujemo ga do prvog razlomka. Da biste to učinili, napravite malu kosu liniju preko razlomka i zapišite dodatni faktor koji se nalazi iznad njega:

Isto radimo i sa drugim razlomkom. LCM podijelimo sa nazivnikom drugog razlomka i dobijemo drugi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik drugog razlomka je broj 2. Podijelimo 6 sa 2, dobićemo 3.

Rezultirajući broj 3 je drugi dodatni množitelj. Zapisujemo ga na drugi razlomak. Opet, napravimo malu kosu liniju preko drugog razlomka i zapišemo dodatni faktor koji se nalazi iznad njega:

Sada imamo sve spremno za dodavanje. Ostaje pomnožiti brojioce i nazivnike razlomaka njihovim dodatnim faktorima:

Pogledajte pažljivo do čega smo došli. Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste nazivnike. I mi već znamo kako sabrati takve razlomke. Uzmimo ovaj primjer do kraja:

Ovim je primjer završen. Ispada da dodam.

Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću crteža. Ako pizzi dodate pizzu, dobijate jednu celu picu i drugu šestinu pizze:

Svođenje razlomaka na isti (zajednički) nazivnik također se može prikazati pomoću slike. Smanjenje razlomaka i na zajednički nazivnik, dobili smo razlomke i . Ove dvije frakcije će biti predstavljene istim komadima pizze. Jedina razlika će biti u tome što će se ovoga puta podijeliti na jednake dijelove (svedene na isti imenilac).

Prvi crtež predstavlja razlomak (četiri od šest), a drugi crtež predstavlja razlomak (tri od šest komada). Zbrajanjem ovih komada dobijamo (sedam komada od šest). Ovaj razlomak je nepravilan, pa smo izdvojili cijeli njegov dio. Kao rezultat, dobili smo (jednu cijelu pizzu i još jednu šestu pizzu).

Imajte na umu da smo ovaj primjer opisali previše detaljno. IN obrazovne institucije Nije uobičajeno pisati tako detaljno. Morate biti u mogućnosti da brzo pronađete LCM oba imenioca i dodatne faktore uz njih, kao i brzo pomnožite pronađene dodatne faktore vašim brojiocima i nazivnicima. Da smo u školi, morali bismo ovaj primjer napisati na sljedeći način:

Ali postoji i stražnja strana medalje. Ako ne vodite detaljne bilješke u prvim fazama proučavanja matematike, tada počinju da se pojavljuju pitanja te vrste. “Odakle taj broj?”, “Zašto se razlomci odjednom pretvaraju u potpuno različite razlomke? «.

Da biste olakšali sabiranje razlomaka s različitim nazivnicima, možete koristiti sljedeće upute korak po korak:

1. Naći LCM nazivnika razlomaka;
2. Podijelite LCM sa nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni faktor za svaki razlomak;
3. Pomnožite brojioce i nazivnike razlomaka njihovim dodatnim faktorima;
4. Dodajte razlomke koji imaju iste nazivnike;
5. Ako se pokaže da je odgovor nepravilan razlomak, tada odaberite cijeli njegov dio;

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza .

Koristimo gore navedene upute.

Korak 1. Pronađite LCM nazivnika razlomaka

Naći LCM nazivnika oba razlomka. Imenioci razlomaka su brojevi 2, 3 i 4

Korak 2. Podijelite LCM sa nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni faktor za svaki razlomak

LCM podijelite sa nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 2. Podijelimo 12 sa 2, dobićemo 6. Dobili smo prvi dodatni faktor 6. Pišemo ga iznad prvog razlomka:

Sada dijelimo LCM sa nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobićemo 4. Dobijamo drugi dodatni faktor 4. Pišemo ga iznad drugog razlomka:

Sada dijelimo LCM sa nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik trećeg razlomka je broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobićemo 3. Dobijamo treći dodatni faktor 3. Pišemo ga iznad trećeg razlomka:

Korak 3. Pomnožite brojioce i nazivnike razlomaka njihovim dodatnim faktorima

Množimo brojioce i nazivnike njihovim dodatnim faktorima:

Korak 4. Dodajte razlomke sa istim nazivnicima

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste (zajedničke) nazivnike. Sve što ostaje je sabirati ove razlomke. Dodaj to:

Dodatak nije stao u jedan red, pa smo preostali izraz premjestili u sljedeći red. Ovo je dozvoljeno u matematici. Kada izraz ne stane u jedan red, pomiče se u sljedeći red, a potrebno je staviti znak jednakosti (=) na kraj prvog reda i na početak novog reda. Znak jednakosti u drugom redu označava da je ovo nastavak izraza koji je bio u prvom redu.

Korak 5. Ako se ispostavi da je odgovor nepravilan razlomak, odaberite njegov cijeli dio

Naš odgovor se pokazao kao nepravilan razlomak. Moramo istaći cijeli dio toga. Ističemo:

Dobili smo odgovor

Oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima

Postoje dvije vrste oduzimanja razlomaka:

1. Oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima
2. Oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima

Prvo, naučimo kako oduzimati razlomke sa sličnim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste oduzeli drugi od jednog razlomka, potrebno je da oduzmete brojilac drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, ali ostavite imenilac isti.

Na primjer, pronađimo vrijednost izraza . Da biste riješili ovaj primjer, potrebno je da oduzmete brojilac drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostane nepromijenjen. Uradimo ovo:

Ovaj primjer se može lako razumjeti ako se prisjetimo pizze koja je podijeljena na četiri dijela. Ako iz pizze izrežete pice, dobijate pizze:

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza.

Ponovo, od brojila prvog razlomka, oduzmite brojilac drugog razlomka i ostavite imenilac nepromijenjen:

Ovaj primjer se može lako razumjeti ako se prisjetimo pizze koja je podijeljena na tri dijela. Ako iz pizze izrežete pice, dobijate pizze:

Primjer 3. Pronađite vrijednost izraza

Ovaj primjer je riješen na potpuno isti način kao i prethodni. Od brojioca prvog razlomka morate oduzeti brojioce preostalih razlomaka:

Kao što vidite, nema ništa komplikovano u oduzimanju razlomaka sa istim nazivnicima. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:

1. Da biste oduzeli drugi od jednog razlomka, potrebno je da oduzmete brojilac drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a imenilac ostane nepromijenjen;
2. Ako se pokaže da je odgovor nepravilan razlomak, tada morate istaknuti cijeli njegov dio.

Oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima

Na primjer, možete oduzeti razlomak od razlomka jer razlomci imaju iste nazivnike. Ali ne možete oduzeti razlomak od razlomka, jer ti razlomci imaju različite nazivnike. U takvim slučajevima, razlomci se moraju svesti na isti (zajednički) nazivnik.

Zajednički nazivnik se nalazi po istom principu koji smo koristili kada smo sabirali razlomke s različitim nazivnicima. Prije svega, pronađite LCM nazivnika oba razlomka. Zatim se LCM podijeli sa nazivnikom prvog razlomka i dobije se prvi dodatni faktor koji je napisan iznad prvog razlomka. Slično, LCM se dijeli sa nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor, koji je napisan iznad drugog razlomka.

Razlomci se zatim množe sa njihovim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih operacija, razlomci koji su imali različite nazivnike pretvaraju se u razlomke koji imaju iste nazivnike. I već znamo kako da oduzmemo takve razlomke.

Primjer 1. Pronađite značenje izraza:

Ovi razlomci imaju različite nazivnike, pa ih morate svesti na isti (zajednički) imenilac.

Prvo nalazimo LCM nazivnika oba razlomka. Imenilac prvog razlomka je broj 3, a imenilac drugog razlomka je broj 4. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 12

LCM (3 i 4) = 12

Sada se vratimo na razlomke i

Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. Da biste to učinili, podijelite LCM sa nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobićemo 4. Napiši četvorku iznad prvog razlomka:

Isto radimo i sa drugim razlomkom. LCM podijelite sa nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobićemo 3. Napiši trojku preko drugog razlomka:

Sada smo spremni za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke njihovim dodatnim faktorima:

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste nazivnike. I već znamo kako da oduzmemo takve razlomke. Uzmimo ovaj primjer do kraja:

Dobili smo odgovor

Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću crteža. Ako od pizze isečete picu, dobijate picu

Ovo detaljna verzija rješenja. Da smo u školi, morali bismo kraće rješavati ovaj primjer. Takvo rješenje bi izgledalo ovako:

Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik također se može prikazati pomoću slike. Smanjenje ovih razlomaka na zajednički nazivnik, dobili smo razlomke i . Ovi razlomci će biti predstavljeni istim kriškama pice, ali ovaj put će biti podijeljeni na jednake dijelove (svedene na isti nazivnik):

Prva slika prikazuje razlomak (osam komada od dvanaest), a druga slika prikazuje razlomak (tri komada od dvanaest). Rezanjem tri komada od osam komada, dobijamo pet komada od dvanaest. Razlomak opisuje ovih pet komada.

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

Ovi razlomci imaju različite nazivnike, pa ih prvo morate svesti na isti (zajednički) imenilac.

Nađimo LCM nazivnika ovih razlomaka.

Imenioci razlomaka su brojevi 10, 3 i 5. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Sada nalazimo dodatne faktore za svaki razlomak. Da biste to učinili, podijelite LCM sa nazivnikom svakog razlomka.

Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. LCM je broj 30, a nazivnik prvog razlomka je broj 10. Podijelimo 30 sa 10, dobićemo prvi dodatni faktor 3. Pišemo ga iznad prvog razlomka:

Sada nalazimo dodatni faktor za drugi razlomak. LCM podijelite sa nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 30, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 30 sa 3, dobićemo drugi dodatni faktor 10. Pišemo ga iznad drugog razlomka:

Sada nalazimo dodatni faktor za treći razlomak. LCM podijelite sa nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 30, a imenilac trećeg razlomka je broj 5. Podijelimo 30 sa 5, dobićemo treći dodatni faktor 6. Pišemo ga iznad trećeg razlomka:

Sada je sve spremno za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke njihovim dodatnim faktorima:

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste (zajedničke) nazivnike. I već znamo kako da oduzmemo takve razlomke. Završimo ovaj primjer.

Nastavak primjera neće stati u jedan red, pa nastavak prebacujemo na sljedeći red. Ne zaboravite na znak jednakosti (=) na novom redu:

Ispostavilo se da je odgovor pravilan razlomak, i čini se da nam sve odgovara, ali je preglomazno i ​​ružno. Trebali bismo to učiniti jednostavnijim. Šta se može učiniti? Možete skratiti ovaj razlomak.

Da biste smanjili razlomak, trebate podijeliti njegov brojnik i nazivnik sa (GCD) brojeva 20 i 30.

Dakle, nalazimo gcd brojeva 20 i 30:

Sada se vraćamo na naš primjer i dijelimo brojilac i nazivnik razlomka sa pronađenim gcd, odnosno sa 10

Dobili smo odgovor

Množenje razlomka brojem

Da biste pomnožili razlomak brojem, potrebno je pomnožiti brojilac datog razlomka s tim brojem, a imenilac ostaviti isti.

Primjer 1. Pomnožite razlomak brojem 1.

Pomnožite brojilac razlomka brojem 1

Snimak se može shvatiti kao da traje pola puta. Na primjer, ako jednom uzmete pizzu, dobit ćete pizzu

Iz zakona množenja znamo da ako se množenik i faktor zamijene, proizvod se neće promijeniti. Ako je izraz napisan kao , tada će proizvod i dalje biti jednak . Opet radi pravilo za množenje cijelog broja i razlomka:

Ova notacija se može shvatiti kao uzimanje polovine jednog. Na primjer, ako postoji 1 cijela pizza i uzmemo polovinu, onda ćemo imati pizzu:

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

Pomnožite brojilac razlomka sa 4

Odgovor je bio nepravilan razlomak. Istaknimo cijeli dio:

Izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije četvrtine 4 puta. Na primjer, ako uzmete 4 pice, dobit ćete dvije cijele pizze

A ako zamijenimo množitelj i množitelj, dobićemo izraz . Također će biti jednako 2. Ovaj izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije pice od četiri cijele pice:

Množenje razlomaka

Da biste pomnožili razlomke, morate pomnožiti njihove brojioce i nazivnike. Ako se ispostavi da je odgovor nepravilan razlomak, morate istaknuti cijeli njegov dio.

Primjer 1. Pronađite vrijednost izraza.

Dobili smo odgovor. Preporučljivo je smanjiti ovu frakciju. Razlomak se može smanjiti za 2. Tada će konačno rješenje poprimiti sljedeći oblik:

Izraz se može shvatiti kao uzimanje pice od pola pice. Recimo da imamo pola pice:

Kako uzeti dvije trećine iz ove polovine? Prvo morate ovu polovinu podijeliti na tri jednaka dijela:

I uzmi dva od ova tri komada:

Napravićemo picu. Zapamtite kako pizza izgleda kada je podijeljena na tri dijela:

Jedan komad ove pizze i dva koja smo uzeli imaće iste dimenzije:

Drugim riječima, mi pričamo o tome pizza otprilike iste veličine. Stoga je vrijednost izraza

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

Pomnoži brojilac prvog razlomka brojinikom drugog razlomka, a nazivnik prvog razlomka imeniocem drugog razlomka:

Odgovor je bio nepravilan razlomak. Istaknimo cijeli dio:

Primjer 3. Pronađite vrijednost izraza

Pomnoži brojilac prvog razlomka brojinikom drugog razlomka, a nazivnik prvog razlomka imeniocem drugog razlomka:

Ispostavilo se da je odgovor pravilan razlomak, ali bi bilo dobro da se skrati. Da biste smanjili ovaj razlomak, trebate podijeliti brojilac i nazivnik ovog razlomka najvećim zajedničkim djeliteljem (GCD) brojeva 105 i 450.

Dakle, pronađimo gcd brojeva 105 i 450:

Sada dijelimo brojilac i nazivnik našeg odgovora s gcd koji smo sada pronašli, odnosno sa 15

Predstavljanje cijelog broja kao razlomak

Bilo koji cijeli broj može se predstaviti kao razlomak. Na primjer, broj 5 može biti predstavljen kao . Ovo neće promijeniti značenje petice, jer izraz znači "broj pet podijeljen s jednim", a ovo je, kao što znamo, jednako pet:

Recipročni brojevi

Sada ćemo se upoznati sa vrlo zanimljiva tema u matematici. To se zove "obrnuti brojevi".

Definicija. Obrnuto na broja je broj koji, kada se pomnoži saa daje jedan.

Zamijenimo u ovoj definiciji umjesto varijable a broj 5 i pokušajte pročitati definiciju:

Obrnuto na broj 5 je broj koji, kada se pomnoži sa 5 daje jedan.

Da li je moguće pronaći broj koji, kada se pomnoži sa 5, daje jedan? Ispostavilo se da je moguće. Zamislimo pet kao razlomak:

Zatim pomnožite ovaj razlomak sam po sebi, samo zamijenite brojilac i imenilac. Drugim riječima, pomnožimo razlomak sam po sebi, samo naopako:

Šta će se dogoditi kao rezultat ovoga? Ako nastavimo rješavati ovaj primjer, dobićemo jedan:

To znači da je inverz od broja 5 broj, jer kada pomnožite 5 sa dobijete jedan.

Recipročna vrijednost broja također se može naći za bilo koji drugi cijeli broj.

Također možete pronaći recipročnu vrijednost bilo kojeg drugog razlomka. Da biste to učinili, samo ga okrenite.

Deljenje razlomka brojem

Recimo da imamo pola pice:

Podijelimo ga podjednako na dvoje. Koliko će pizze dobiti svaka osoba?

Vidi se da su nakon podjele polovine pice dobijena dva jednaka komada od kojih svaki čini pizzu. Tako da svi dobiju pizzu.

Podjela razlomaka se vrši korištenjem recipročnih vrijednosti. Recipročni brojevi vam omogućavaju da zamijenite dijeljenje množenjem.

Da biste razlomak podijelili brojem, trebate taj razlomak pomnožiti s inverzom djelitelja.

Koristeći ovo pravilo, zapisaćemo podjelu naše polovice pizze na dva dijela.

Dakle, trebate podijeliti razlomak brojem 2. Ovdje je dividenda razlomak, a djelitelj je broj 2.

Da biste razlomak podijelili brojem 2, trebate ovaj razlomak pomnožiti recipročnom vrijednosti djelitelja 2. Recipročna vrijednost djelitelja 2 je razlomak. Dakle, morate pomnožiti sa