Kako riješiti jednadžbe sa racionalnim brojevima. Rješavanje razlomaka racionalnih jednačina

Cjelobrojni izraz je matematički izraz sastavljen od brojeva i literalnih varijabli koristeći operacije sabiranja, oduzimanja i množenja. Cijeli brojevi također uključuju izraze koji uključuju dijeljenje bilo kojim brojem osim nule.

Koncept frakcionog racionalnog izraza

Frakcijski izraz je matematički izraz koji pored operacija sabiranja, oduzimanja i množenja koje se izvode s brojevima i slovnim varijablama, kao i dijeljenja brojem koji nije jednak nuli, sadrži i podjelu na izraze sa slovnim varijablama.

Racionalni izrazi su svi izrazi u celini i razlomci. Racionalne jednačine su jednačine u kojima su lijeva i desna strana racionalni izrazi. Ako su u racionalnoj jednadžbi lijeva i desna strana cjelobrojni izrazi, onda se takva racionalna jednačina naziva cijeli broj.

Ako su u racionalnoj jednadžbi lijeva ili desna strana frakcijski izrazi, onda se takva racionalna jednačina naziva razlomkom.

Primjeri frakcionih racionalnih izraza

1. x-3/x = -6*x+19

2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)

3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))

Šema za rješavanje frakcijske racionalne jednadžbe

1. Naći zajednički imenilac svih razlomaka koji su uključeni u jednačinu.

2. Pomnožite obje strane jednačine zajedničkim nazivnikom.

3. Riješi rezultirajuću cijelu jednačinu.

4. Provjerite korijene i isključite one koji čine da zajednički imenilac nestane.

Pošto rješavamo razlomke racionalne jednačine, tada će nazivnici razlomaka sadržavati varijable. To znači da će oni biti zajednički imenitelj. A u drugoj tački algoritma množimo sa zajedničkim nazivnikom, tada se mogu pojaviti strani korijeni. Pri čemu će zajednički imenitelj biti jednak nuli, što znači da će množenje s njim biti besmisleno. Stoga je na kraju potrebno provjeriti dobivene korijene.

Pogledajmo primjer:

Riješite frakcionu racionalnu jednačinu: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

Držaćemo se toga opšta šema: Hajde da prvo pronađemo zajednički imenilac svih razlomaka. Dobijamo x*(x-5).

Pomnožite svaki razlomak zajedničkim nazivnikom i napišite rezultirajuću cijelu jednačinu.

(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

Pojednostavimo rezultirajuću jednačinu. Dobijamo:

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;

Dobijamo jednostavnu redukovanu kvadratnu jednačinu. Rješavamo ga bilo kojom od poznatih metoda, dobijamo korijene x=-2 i x=5.

Sada provjeravamo dobijena rješenja:

Zamijenite brojeve -2 i 5 u zajednički imenilac. Kod x=-2, zajednički imenilac x*(x-5) ne nestaje, -2*(-2-5)=14. To znači da će broj -2 biti korijen originalne frakcione racionalne jednadžbe.

Kada je x=5, zajednički imenilac x*(x-5) postaje jednaka nuli. Prema tome, ovaj broj nije korijen originalne frakcione racionalne jednadžbe, budući da će postojati podjela sa nulom.

Najmanji zajednički nazivnik se koristi za pojednostavljenje ove jednačine. Ova metoda se koristi kada ne možete napisati datu jednačinu s jednim racionalnim izrazom na svakoj strani jednačine (i koristite unakrsnu metodu množenja). Ova metoda se koristi kada vam je data racionalna jednadžba sa 3 ili više razlomaka (u slučaju dva razlomka, bolje je koristiti unakrsno množenje).

Pronađite najmanji zajednički nazivnik razlomaka (ili najmanji zajednički višekratnik). NOZ je najmanji broj, koji je jednako djeljiv sa svakim nazivnikom.

• Ponekad je NPD očigledan broj. Na primjer, ako je data jednadžba: x/3 + 1/2 = (3x +1)/6, onda je očigledno da je najmanji zajednički višekratnik brojeva 3, 2 i 6 6.
• Ako NCD nije očigledan, zapišite višekratnike najvećeg nazivnika i među njima pronađite onaj koji će biti višekratnik ostalih imenilaca. Često se NOD može naći jednostavnim množenjem dva nazivnika. Na primjer, ako je jednačina data x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, tada je NOS = 8*9 = 72.
• Ako jedan ili više nazivnika sadrže varijablu, proces postaje nešto složeniji (ali ne i nemoguć). U ovom slučaju, NOC je izraz (koji sadrži varijablu) koji je podijeljen sa svakim nazivnikom. Na primjer, u jednačini 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), jer je ovaj izraz podijeljen sa svakim nazivnikom: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

Pomnožite i brojilac i imenilac svakog razlomka brojem jednakim rezultatu dijeljenja NOC-a odgovarajućim nazivnikom svakog razlomka. Pošto množite i brojilac i imenilac istim brojem, efektivno množite razlomak sa 1 (na primjer, 2/2 = 1 ili 3/3 = 1).

• Dakle, u našem primjeru, pomnožite x/3 sa 2/2 da biste dobili 2x/6, a 1/2 pomnožite sa 3/3 da biste dobili 3/6 (razlomak 3x +1/6 ne treba množiti jer imenilac je 6).
• Postupite slično kada je varijabla u nazivniku. U našem drugom primjeru, NOZ = 3x(x-1), pa pomnožite 5/(x-1) sa (3x)/(3x) da dobijete 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x pomnožen sa 3(x-1)/3(x-1) i dobijate 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) pomnoženo sa (x-1)/(x-1) i dobijate 2(x-1)/3x(x-1).

Pronađite x. Sada kada ste sveli razlomke na zajednički nazivnik, možete se riješiti nazivnika. Da biste to učinili, pomnožite svaku stranu jednačine sa zajedničkim nazivnikom. Zatim riješite rezultirajuću jednačinu, odnosno pronađite "x". Da biste to učinili, izolirajte varijablu na jednoj strani jednačine.

• U našem primjeru: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Možete dodati 2 razlomka sa istim nazivnikom, pa napišite jednačinu kao: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Pomnožite obje strane jednačine sa 6 i riješite se nazivnika: 2x+3 = 3x +1. Riješite i dobijete x = 2.
• U našem drugom primjeru (sa varijablom u nazivniku), jednadžba izgleda ovako (nakon redukcije na zajednički nazivnik): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Množenjem obje strane jednadžbe sa N3, riješite se nazivnika i dobijete: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), ili 15x = 3x - 3 + 2x -2, ili 15x = x - 5 Riješite i dobijete: x = -5/14.

Rješavanje razlomaka racionalnih jednačina

Referentni vodič

Racionalne jednačine su jednačine u kojima su i lijeva i desna strana racionalni izrazi.

(Zapamtite: racionalni izrazi su cjelobrojni i frakcijski izrazi bez radikala, uključujući operacije sabiranja, oduzimanja, množenja ili dijeljenja - na primjer: 6x; (m – n)2; x/3y, itd.)

Frakcijske racionalne jednadžbe se obično svode na oblik:

Gdje P(x) I Q(x) su polinomi.

Da biste riješili takve jednačine, pomnožite obje strane jednadžbe sa Q(x), što može dovesti do pojave stranih korijena. Stoga je prilikom rješavanja razlomaka racionalnih jednadžbi potrebno provjeriti pronađene korijene.

Racionalna jednačina se naziva cjelina, ili algebarska, ako se ne dijeli izrazom koji sadrži varijablu.

Primjeri cijele racionalne jednadžbe:

5x – 10 = 3 (10 – x)

3x
- = 2x – 10
4

Ako u racionalnoj jednačini postoji podjela izrazom koji sadrži varijablu (x), tada se jednačina naziva razlomkom racionalnom.

Primjer razlomke racionalne jednadžbe:

15
x + - = 5x – 17
x

Frakcijske racionalne jednadžbe se obično rješavaju na sljedeći način:

1) naći zajednički imenilac razlomaka i pomnožiti obe strane jednačine sa njim;

2) riješiti rezultirajuću cijelu jednačinu;

3) isključi iz korijena one koji svode zajednički imenilac razlomaka na nulu.

Primjeri rješavanja cjelobrojnih i razlomaka racionalnih jednadžbi.

Primjer 1. Riješimo cijelu jednačinu

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Rješenje:

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog nazivnika. Ovo je 6. Podijelite 6 sa imeniocem i pomnožite rezultirajući rezultat sa brojnikom svakog razlomka. Dobijamo jednačinu koja je ekvivalentna ovoj:

3(x – 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Jer na lijevoj i desnoj strani isti imenilac, može se izostaviti. Tada dobijamo jednostavniju jednačinu:

3(x – 1) + 4x = 5x.

Rješavamo to otvaranjem zagrada i kombinovanjem sličnih pojmova:

3x – 3 + 4x = 5x

3x + 4x – 5x = 3

Primjer je riješen.

Primjer 2. Riješite razlomku racionalnu jednačinu

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x(x – 5)

Pronalaženje zajedničkog nazivnika. Ovo je x(x – 5). dakle:

x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)

Sada se ponovo oslobađamo nazivnika, pošto je isti za sve izraze. Smanjujemo slične članove, izjednačavamo jednačinu sa nulom i dobijamo kvadratnu jednačinu:

x 2 – 3x + x – 5 = x + 5

x 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0

x 2 – 3x – 10 = 0.

Nakon što smo riješili kvadratnu jednačinu, nalazimo njene korijene: –2 i 5.

Provjerimo da li su ovi brojevi korijeni izvorne jednadžbe.

Kod x = –2, zajednički imenilac x(x – 5) ne nestaje. To znači da je –2 korijen originalne jednadžbe.

Kod x = 5, zajednički nazivnik ide na nulu, a dva od tri izraza postaju besmislena. To znači da broj 5 nije korijen originalne jednadžbe.

Odgovor: x = –2

Više primjera

Primjer 1.

x 1 =6, x 2 = - 2.2.

Odgovor: -2,2;6.

Primjer 2.

Ciljevi lekcije:

edukativni:

• formiranje koncepta frakcionih racionalnih jednačina;
• razmotriti različite načine rješavanja frakcionih racionalnih jednačina;
• razmotriti algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina, uključujući uslov da je razlomak jednak nuli;
• podučavati rješavanje frakcionih racionalnih jednačina korištenjem algoritma;
• provjeravanje nivoa savladanosti teme izvođenjem testa.

razvojni:

• razvijanje sposobnosti pravilnog operisanja stečenim znanjem i logičkog mišljenja;
• razvoj intelektualnih vještina i mentalne operacije- analiza, sinteza, poređenje i sinteza;
• razvoj inicijative, sposobnost donošenja odluka, a ne zaustavljanje na tome;
• razvoj kritičkog mišljenja;
• razvoj istraživačkih vještina.

Obrazovanje:

• vaspitanje kognitivni interes subjektu;
• negovanje samostalnosti u rješavanju obrazovnih problema;
• negovanje volje i upornosti za postizanje konačnih rezultata.

Vrsta lekcije: lekcija - objašnjenje novog gradiva.

Tokom nastave

1. Organizacioni momenat.

Zdravo momci! Na tabli su napisane jednadžbe, pažljivo ih pogledajte. Možete li riješiti sve ove jednačine? Koji nisu i zašto?

Jednačine u kojima su lijeva i desna strana frakcioni racionalni izrazi nazivaju se razlomačnim racionalnim jednadžbama. Šta mislite da ćemo danas učiti na času? Formulirajte temu lekcije. Dakle, otvorite svoje bilježnice i zapišite temu lekcije “Rješavanje razlomaka racionalnih jednačina”.

2. Ažuriranje znanja. Frontalna anketa, usmeni rad sa razredom.

A sada ćemo ponoviti glavni teorijski materijal koji trebamo proučiti nova tema. Odgovorite na sljedeća pitanja:

1. Šta je jednačina? ( Jednakost sa varijablom ili varijablama.)
2. Kako se zove jednačina broj 1? ( Linearno.) Rješenje linearne jednačine. (Premjestite sve s nepoznatom na lijevu stranu jednačine, sve brojeve u desnu. Navedite slične termine. Pronađite nepoznati faktor).
3. Kako se zove jednačina broj 3? ( Square.) Rješenja kvadratne jednačine. (Odabir pun kvadrat, formulama, koristeći Vietin teorem i njegove posljedice.)
4. Šta je proporcija? ( Jednakost dva omjera.) Glavno svojstvo proporcije. ( Ako je proporcija tačna, onda je proizvod njegovih ekstremnih članova jednak proizvodu srednjih članova.)
5. Koja svojstva se koriste pri rješavanju jednačina? ( 1. Ako pomjerite član u jednačini iz jednog dijela u drugi, mijenjajući njegov predznak, dobićete jednačinu ekvivalentnu datoj. 2. Ako se obje strane jednačine pomnože ili podijele sa istim brojem koji nije nula, dobićete jednačinu koja je ekvivalentna datoj.)
6. Kada je razlomak jednak nuli? ( Razlomak je jednak nuli kada je brojnik nula, a imenilac nije nula..)

3. Objašnjenje novog materijala.

Rešite jednačinu br. 2 u svojim sveskama i na tabli.

Odgovori: 10.

Koji frakciona racionalna jednačina Možete li pokušati riješiti koristeći osnovno svojstvo proporcije? (br. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Rešite jednačinu br. 4 u svojim sveskama i na tabli.

Odgovori: 1,5.

Koju razlomačku racionalnu jednačinu možete pokušati riješiti množenjem obje strane jednačine sa nazivnikom? (br. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Odgovori: 3;4.

Sada pokušajte riješiti jednačinu broj 7 koristeći jednu od sljedećih metoda.

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 =0 x 2 =5 D=49
x 3 =5 x 4 =-2			x 3 =5 x 4 =-2
Odgovori: 0;5;-2.			Odgovori: 5;-2.

Objasnite zašto se to dogodilo? Zašto su u jednom slučaju tri korijena, a u drugom dva? Koji su brojevi korijeni ove racionalne jednadžbe?

Studenti se do sada nisu susreli s konceptom stranog korijena; zaista im je vrlo teško razumjeti zašto se to dogodilo. Ako niko u razredu ne može dati jasno objašnjenje ove situacije, onda nastavnik postavlja sugestivna pitanja.

• Po čemu se jednačine br. 2 i 4 razlikuju od jednačina br. 5,6,7? ( U jednačinama br. 2 i 4 nalaze se brojevi u nazivniku, br. 5-7 su izrazi sa promjenljivom.)
• Šta je korijen jednačine? ( Vrijednost varijable pri kojoj jednačina postaje istinita.)
• Kako saznati da li je broj korijen jednadžbe? ( Provjeri.)

Prilikom testiranja neki učenici primjećuju da moraju podijeliti sa nulom. Oni zaključuju da brojevi 0 i 5 nisu korijeni ove jednadžbe. Postavlja se pitanje: postoji li način rješavanja frakcionih racionalnih jednačina koji nam omogućava da eliminišemo ovu grešku? Da, ova metoda se temelji na uvjetu da je razlomak jednak nuli.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 =-2.

Ako je x=5, onda je x(x-5)=0, što znači da je 5 vanjski korijen.

Ako je x=-2, onda je x(x-5)≠0.

Odgovori: -2.

Pokušajmo na ovaj način formulirati algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina. Djeca sama formulišu algoritam.

Algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina:

1. Pomerite sve na lijevu stranu.
2. Smanjite razlomke na zajednički nazivnik.
3. Napravite sistem: razlomak je jednak nuli kada je brojilac jednak nuli, a imenilac nije jednak nuli.
4. Riješite jednačinu.
5. Provjerite nejednakost da isključite strane korijene.
6. Zapišite odgovor.

Diskusija: kako formalizirati rješenje ako koristite osnovno svojstvo proporcije i množite obje strane jednačine zajedničkim nazivnikom. (Dodajte rješenju: isključite iz njegovih korijena one koji čine da zajednički imenilac nestane).

4. Početno razumijevanje novog gradiva.

Raditi u parovima. Učenici biraju kako će sami riješiti jednačinu ovisno o vrsti jednačine. Zadaci iz udžbenika „Algebra 8“, Yu.N. Makarychev, 2007: br. 600(b,c,i); br. 601(a,e,g). Nastavnik prati izvršenje zadatka, odgovara na sva pitanja koja se pojave i pruža pomoć učenicima sa slabim učinkom. Samotestiranje: odgovori su zapisani na tabli.

b) 2 – strani koren. Odgovor: 3.

c) 2 – strani koren. Odgovor: 1.5.

a) Odgovor: -12.5.

g) Odgovor: 1;1.5.

5. Postavljanje domaće zadaće.

1. Pročitajte pasus 25 iz udžbenika, analizirajte primjere 1-3.
2. Naučite algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina.
3. Rešiti u sveskama br. 600 (a, d, e); br. 601(g,h).
4. Pokušajte riješiti broj 696(a) (opcionalno).

6. Izvršavanje kontrolnog zadatka na proučavanu temu.

Rad se obavlja na komadima papira.

Primjer zadatka:

A) Koje od jednačina su razlomno racionalne?

B) Razlomak je jednak nuli kada je brojilac ______________________, a imenilac _______________________.

P) Da li je broj -3 korijen jednačine broj 6?

D) Riješi jednačinu br. 7.

Kriterijumi ocjenjivanja za zadatak:

• “5” se daje ako je učenik tačno uradio više od 90% zadatka.
• "4" - 75%-89%
• "3" - 50%-74%
• “2” se daje učeniku koji je uradio manje od 50% zadatka.
• Ocjena 2 se ne daje u časopisu, 3 je opciono.

7. Refleksija.

Na samostalne radne listove napišite:

• 1 – ako vam je lekcija bila zanimljiva i razumljiva;
• 2 – zanimljivo, ali nejasno;
• 3 – nije zanimljivo, ali razumljivo;
• 4 – nije zanimljivo, nije jasno.

8. Sumiranje lekcije.

Dakle, danas smo se u lekciji upoznali sa frakcionim racionalnim jednadžbama, naučili kako riješiti ove jednadžbe Različiti putevi, testirali svoje znanje uz pomoć treninga samostalan rad. Rezultate svog samostalnog rada naučićete na sledećoj lekciji, a kod kuće ćete imati priliku da učvrstite svoje znanje.

Koja je metoda rješavanja frakcionih racionalnih jednačina, po vašem mišljenju, lakša, pristupačnija i racionalnija? Bez obzira na metodu rješavanja frakcionih racionalnih jednačina, čega treba da se setite? U čemu je "lukavost" razlomaka racionalnih jednačina?

Hvala svima, lekcija je gotova.

“Racionalne jednadžbe s polinomima” jedna je od tema koje se najčešće susreću u test zadataka Jedinstveni državni ispit iz matematike. Iz tog razloga, vrijedi ih ponoviti Posebna pažnja. Mnogi učenici se suočavaju sa problemom pronalaženja diskriminanta, prenošenja indikatora s desne strane na lijevu i dovođenja jednačine na zajednički imenilac, zbog čega rješavanje ovakvih zadataka izaziva poteškoće. Rješavanje racionalnih jednadžbi u pripremi za Jedinstveni državni ispit na našoj web stranici pomoći će vam da se brzo nosite s problemima bilo koje složenosti i prođete test sjajno.

Odaberite obrazovni portal Školkovo da se uspješno pripremite za Jedinstveni ispit iz matematike!

Da biste znali pravila za izračunavanje nepoznanica i lako dobili tačne rezultate, koristite naš online servis. Portal Školkovo je jedinstvena platforma koja sadrži sve što je potrebno za pripremu Materijali za Jedinstveni državni ispit. Naši nastavnici su sve sistematizovali i prikazali na razumljiv način. matematička pravila. Osim toga, pozivamo školarce da se okušaju u rješavanju standardnih racionalnih jednadžbi, čija se osnova stalno ažurira i proširuje.

Za efikasniju pripremu za testiranje preporučujemo da se pridržavate naše posebne metode i započnete ponavljanjem pravila i rješenja jednostavni zadaci, postepeno prelazeći na složenije. Tako će diplomac moći identificirati najteže teme za sebe i fokusirati se na njihovo proučavanje.

Počnite da se pripremate za završni test sa Školkovom već danas, a rezultati neće dugo čekati! Odaberite najlakši primjer od navedenih. Ako brzo savladate izraz, prijeđite na teži zadatak. Na taj način možete unaprijediti svoje znanje do tačke rješavanja USE zadataka iz matematike na specijaliziranom nivou.

Obuka je dostupna ne samo maturantima iz Moskve, već i školarcima iz drugih gradova. Provedite nekoliko sati dnevno učeći na našem portalu, na primjer, i vrlo brzo ćete se moći nositi sa jednadžbama bilo koje složenosti!