Na slici je prikazan graf funkcije jednog od antiderivata određene funkcije definirane na intervalu. Pomoću slike odredite broj rješenja jednadžbe na intervalu

\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)

Elementi sadržaja

Derivat, tangenta, antiderivat, grafovi funkcija i derivacije.

Derivat Neka je funkcija \(f(x)\) definirana u nekom susjedstvu tačke \(x_0\).

Derivat funkcije \(f\) u tački \(x_0\) zove limit

\(f"(x_0)=\lim_(x\strelica desno x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0),\)

ako ova granica postoji.

Derivat funkcije u tački karakterizira brzinu promjene ove funkcije u datoj tački.

Tabela derivata

Pravila diferencijacije\(f\) i \(g\) su funkcije koje zavise od varijable \(x\); \(c\) je broj.

2) \((c\cdot f)"=c\cdot f"\)

3) \((f+g)"= f"+g"\)

4) \((f\cdot g)"=f"g+g"f\)

5) \(\levo(\dfrac(f)(g)\desno)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)\)

6) \(\left(f\left(g(x)\right)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)\) - izvod kompleksne funkcije

Geometrijsko značenje derivacije Jednačina prave- nije paralelno sa osom \(Oy\) može se napisati u obliku \(y=kx+b\). Koeficijent \(k\) u ovoj jednačini se zove nagib prave linije. Jednaka je tangenti ugao nagiba ovu pravu liniju.

Pravi ugao- ugao između pozitivnog smjera ose \(Ox\) i ove prave linije, mjereno u smjeru pozitivnih uglova (tj. u smjeru najmanje rotacije od ose \(Ox\) prema \ (Oy\) osa).

Derivat funkcije \(f(x)\) u tački \(x_0\) jednak je nagibu tangente na graf funkcije u ovoj tački: \(f"(x_0)=\tg\ alfa.\)

Ako je \(f"(x_0)=0\), tada je tangenta na graf funkcije \(f(x)\) u tački \(x_0\) paralelna sa osom \(Ox\).

Tangentna jednadžba

Jednadžba tangente na graf funkcije \(f(x)\) u tački \(x_0\):

\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)

Monotonost funkcije Ako je derivacija funkcije pozitivna u svim točkama intervala, tada funkcija raste na ovom intervalu.

Ako je derivacija funkcije negativna u svim točkama intervala, tada funkcija opada na ovom intervalu.

Minimum, maksimum i tačke pregiba pozitivno on negativan u ovoj tački, tada je \(x_0\) maksimalna tačka funkcije \(f\).

Ako je funkcija \(f\) kontinuirana u tački \(x_0\), a vrijednost derivacije ove funkcije \(f"\) se mijenja sa negativan on pozitivno u ovoj tački, tada je \(x_0\) minimalna tačka funkcije \(f\).

Pozivaju se tačke u kojima je izvod \(f"\) jednak nuli ili ne postoji kritične tačke funkcije \(f\).

Unutrašnje tačke domene definicije funkcije \(f(x)\), u kojima \(f"(x)=0\) mogu biti minimalne, maksimalne ili prevojne tačke.

Fizičko značenje izvedenice Ako se materijalna tačka kreće pravolinijski i njena koordinata se mijenja ovisno o vremenu prema zakonu \(x=x(t)\), tada je brzina ove tačke jednaka derivaciji koordinate u odnosu na vrijeme:

Ubrzanje materijalne tačke jednako je izvodu brzine ove tačke u odnosu na vrijeme:

\(a(t)=v"(t).\)

51. Slika prikazuje grafikon y=f "(x)- derivat funkcije f(x), definisano na intervalu (− 4; 6). Pronađite apscisu tačke u kojoj je tangenta na graf funkcije y=f(x) paralelno sa pravom y=3x ili se poklapa sa njim.

Odgovor: 5

52. Slika prikazuje grafikon y=F(x) f(x) f(x) pozitivno?

Odgovor: 7

53. Slika prikazuje grafikon y=F(x) jedan od antiderivata neke funkcije f(x) i osam tačaka je označeno na x-osi: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. Na koliko od ovih tačaka je funkcija f(x) negativan?

Odgovor: 3

54. Slika prikazuje grafikon y=F(x) jedan od antiderivata neke funkcije f(x) i deset tačaka je označeno na x-osi: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10. Na koliko od ovih tačaka je funkcija f(x) pozitivno?

Odgovor: 6

55. Slika prikazuje grafikon y=F(x f(x), definisano na intervalu (− 7; 5). Koristeći sliku, odredite broj rješenja jednadžbe f(x)=0 na segmentu [− 5; 2].

Odgovor: 3

56. Slika prikazuje grafikon y=F(x) jedan od antiderivata neke funkcije f (x), definisano na intervalu (− 8; 7). Koristeći sliku, odredite broj rješenja jednadžbe f(x)= 0 na intervalu [− 5; 5].

Odgovor: 4

57. Slika prikazuje grafikon y=F(x) jedan od antiderivata neke funkcije f(x), definisan na intervalu (1;13). Koristeći sliku, odredite broj rješenja jednadžbe f (x)=0 na segmentu .

Odgovor: 4

58. Slika prikazuje grafik određene funkcije y=f(x)(dva zraka sa zajedničkom početnom tačkom). Koristeći sliku, izračunajte F(−1)−F(−8), Gdje F(x) f(x).

Odgovor: 20

59. Slika prikazuje grafik određene funkcije y=f(x) (dva zraka sa zajedničkom početnom tačkom). Koristeći sliku, izračunajte F(−1)−F(−9), Gdje F(x)- jedna od primitivnih funkcija f(x).

Odgovor: 24

60. Slika prikazuje grafik određene funkcije y=f(x). Funkcija

-jedna od primitivnih funkcija f(x). Pronađite površinu zasjenjene figure.

Odgovor: 6

61. Slika prikazuje grafik određene funkcije y=f(x). Funkcija

Jedna od primitivnih funkcija f(x). Pronađite površinu zasjenjene figure.

Odgovor: 14.5

paralelno sa tangentom na graf funkcije

Odgovor:0.5

Pronađite apscisu tangentne tačke.

Odgovor: -1

je tangenta na graf funkcije

Nađi c.

Odgovor: 20

je tangenta na graf funkcije

Nađi a.

Odgovor:0.125

je tangenta na graf funkcije

Nađi b, uzimajući u obzir da je apscisa tačke tangente veća od 0.

Odgovor: -33

67. Materijalna tačka kreće se pravolinijski u skladu sa zakonom

Gdje x t- vrijeme u sekundama, mjereno od trenutka početka pokreta. U kom trenutku (u sekundama) je njegova brzina bila jednaka 96 m/s?

Odgovor: 18

68. Materijalna tačka se kreće pravolinijski po zakonu

Gdje x- udaljenost od referentne tačke u metrima, t- vrijeme u sekundama, mjereno od trenutka početka pokreta. U kom trenutku (u sekundama) je njegova brzina bila jednaka 48 m/s?

Odgovor: 9

69. Materijalna tačka se kreće pravolinijski po zakonu

Gdje x t t=6 With.

Odgovor: 20

70. Materijalna tačka se kreće pravolinijski u skladu sa zakonom

Gdje x- udaljenost od referentne tačke u metrima, t- vrijeme u sekundama mjereno od početka pokreta. Pronađite njegovu brzinu (u m/s) u trenutku t=3 With.

Odgovor: 59

Prava linija y=3x+2 tangenta je na grafik funkcije y=-12x^2+bx-10. Naći b, s obzirom da je apscisa tačke tangente manja od nule.

Rješenje

Neka je x_0 apscisa tačke na grafu funkcije y=-12x^2+bx-10 kroz koju prolazi tangenta na ovaj graf.

Vrijednost derivacije u tački x_0 jednaka je nagibu tangente, odnosno y"(x_0)=-24x_0+b=3. S druge strane, tačka tangente pripada istovremeno oba grafika funkcija i tangenta, odnosno -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Dobijamo sistem jednadžbi \begin(slučajevi) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end (slučajevi)

Rješavajući ovaj sistem, dobijamo x_0^2=1, što znači ili x_0=-1 ili x_0=1. Prema uslovu apscise, tangente su manje od nule, pa je x_0=-1, zatim b=3+24x_0=-21.

Odgovori

Stanje

Na slici je prikazan grafik funkcije y=f(x) (koji je izlomljena linija sastavljena od tri ravna segmenta). Koristeći sliku, izračunajte F(9)-F(5), gdje je F(x) jedan od antiderivata funkcije f(x).

Rješenje

Prema Newton-Leibnizovoj formuli, razlika F(9)-F(5), gdje je F(x) jedan od antiderivata funkcije f(x), jednaka je površini ograničenog krivolinijskog trapeza grafikom funkcije y=f(x), prave linije y=0, x=9 i x=5. Iz grafikona utvrđujemo da je navedeni zakrivljeni trapez trapez sa osnovama jednakim 4 i 3 i visinom 3.

Njegova površina je jednaka \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Odgovori

Izvor: „Matematika. Priprema za Jedinstveni državni ispit 2017. Nivo profila" Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Stanje

Na slici je prikazan graf y=f"(x) - derivacije funkcije f(x), definisane na intervalu (-4; 10). Pronađite intervale opadajuće funkcije f(x). U svom odgovoru, naznačiti dužinu najvećeg od njih.

Rješenje

Kao što je poznato, funkcija f(x) opada na onim intervalima u čijoj je tački derivacija f"(x) manja od nule. S obzirom da je potrebno pronaći dužinu najvećeg od njih, tri takva intervala su prirodno razlikuje od figure: (-4; -2) ; (0; 3); (5; 9).

Dužina najvećeg od njih - (5; 9) je 4.

Odgovori

Izvor: „Matematika. Priprema za Jedinstveni državni ispit 2017. Nivo profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Stanje

Na slici je prikazan graf y=f"(x) - derivacije funkcije f(x), definisane na intervalu (-8; 7). Pronađite broj maksimalnih tačaka funkcije f(x) koja pripada interval [-6; -2].

Rješenje

Grafikon pokazuje da derivacija f"(x) funkcije f(x) mijenja predznak sa plusa na minus (u takvim tačkama će biti maksimum) u tačno jednoj tački (između -5 i -4) iz intervala [ -6; -2 ] Dakle, na intervalu [-6; -2] postoji tačno jedna maksimalna tačka.

Odgovori

Izvor: „Matematika. Priprema za Jedinstveni državni ispit 2017. Nivo profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Stanje

Na slici je prikazan grafik funkcije y=f(x), definirane na intervalu (-2; 8). Odrediti broj tačaka u kojima je derivacija funkcije f(x) jednaka 0.

Rješenje

Jednakost derivacije u tački nuli znači da je tangenta na graf funkcije nacrtane u ovoj tački paralelna s osom Ox. Dakle, nalazimo tačke u kojima je tangenta na graf funkcije paralelna sa Ox osom. Na ovom grafikonu takve tačke su tačke ekstrema (maksimalne ili minimalne tačke). Kao što vidite, postoji 5 ekstremnih tačaka.

Odgovori

Izvor: „Matematika. Priprema za Jedinstveni državni ispit 2017. Nivo profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Stanje

Prava linija y=-3x+4 je paralelna sa tangentom na graf funkcije y=-x^2+5x-7. Pronađite apscisu tangentne tačke.

Rješenje

Ugaoni koeficijent prave linije na grafiku funkcije y=-x^2+5x-7 u proizvoljnoj tački x_0 jednak je y"(x_0). Ali y"=-2x+5, što znači y" (x_0)=-2x_0+5 Ugaoni koeficijent prave y=-3x+4 specificiran u uslovu je jednak -3. Paralelne prave imaju isti padinama. Stoga, nalazimo vrijednost x_0 takvu da je =-2x_0 +5=-3.

Dobijamo: x_0 = 4.

Odgovori

Izvor: „Matematika. Priprema za Jedinstveni državni ispit 2017. Nivo profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Stanje

Na slici je prikazan grafik funkcije y=f(x), a na apscisi su označene tačke -6, -1, 1, 4. U kojoj je od ovih tačaka derivacija najmanja? Molimo navedite ovu tačku u svom odgovoru.

Zdravo, prijatelji! U ovom članku ćemo pogledati zadatke za antiderivate. Ovi zadaci su uključeni u Jedinstveni državni ispit iz matematike. Unatoč činjenici da su sami dijelovi - diferencijacija i integracija - prilično prostrani u kursu algebre i zahtijevaju odgovoran pristup razumijevanju, sami zadaci koji su uključeni u otvorenu banku zadataka iz matematike i bit će izuzetno jednostavni na Unified Državni ispit i može se riješiti u jednom ili dva koraka.

Važno je tačno razumjeti suštinu antiderivata i, posebno, geometrijsko značenje integrala. Razmotrimo ukratko teorijske osnove.

Geometrijsko značenje integrala

Ukratko o integralu možemo reći ovo: integral je površina.

Definicija: Neka je na koordinatnoj ravni dat graf pozitivne funkcije f definirane na segmentu. Podgraf (ili krivolinijski trapez) je figura ograničena grafikom funkcije f, linijama x = a i x = b i x-osom.

Definicija: Neka je data pozitivna funkcija f, definirana na konačnom segmentu. Integral funkcije f na segmentu je površina njegovog podgrafa.

Kao što je već rečeno F′(x) = f (x).Šta možemo zaključiti?

To je jednostavno. Moramo odrediti koliko tačaka ima na ovom grafu u kojima je F′(x) = 0. Znamo da je u onim tačkama gdje je tangenta na graf funkcije paralelna s osom x. Pokažimo ove tačke na intervalu [–2;4]:

Ovo su tačke ekstrema date funkcije F (x). Ima ih deset.

Odgovor: 10

323078. Slika prikazuje grafik određene funkcije y = f (x) (dvije zrake sa zajedničkom početnom tačkom). Koristeći sliku, izračunajte F (8) – F (2), gdje je F (x) jedan od antiderivata funkcije f (x).

Zapišimo ponovo Newton–Leibnizovu teoremu:Neka f ovu funkciju, F je njegov proizvoljni antiderivat. Onda

A ovo je, kao što je već rečeno, površina podgrafa funkcije.

Dakle, problem se svodi na pronalaženje površine trapeza (interval od 2 do 8):

Nije ga teško izračunati po ćelijama. Dobijamo 7. Predznak je pozitivan, jer se figura nalazi iznad x-ose (ili u pozitivnoj poluravnini y-ose).

Čak i u ovom slučaju, moglo bi se reći ovo: razlika u vrijednostima antiderivata u tačkama je površina figure.

Odgovor: 7

323079. Slika prikazuje grafik određene funkcije y = f (x). Funkcija F (x) = x 3 +30x 2 +302x–1,875 je jedan od antiderivata funkcije y = f (x). Pronađite površinu zasjenjene figure.

Kao što je već rečeno o geometrijskog smisla Integral je površina figure ograničena grafikom funkcije f (x), pravim linijama x = a i x = b i osom vola.

Teorema (Newton–Leibniz):

Dakle, zadatak se svodi na izračunavanje definitivnog integrala date funkcije na intervalu od –11 do –9, ili drugim riječima, potrebno je pronaći razliku u vrijednostima antiderivata izračunatih u naznačenim tačkama:

Odgovor: 6

323080. Slika prikazuje grafik neke funkcije y = f (x).

Funkcija F (x) = –x 3 –27x 2 –240x– 8 je jedan od antiderivata funkcije f (x). Pronađite površinu zasjenjene figure.

Teorema (Newton–Leibniz):

Problem se svodi na izračunavanje definitivnog integrala date funkcije u intervalu od –10 do –8:

Odgovor: 4 Možete pogledati .

Derivati ​​i pravila diferencijacije su također u . Potrebno ih je poznavati, a ne samo za rješavanje takvih zadataka.

Možete i pogledati pozadinske informacije na web stranici i .

Pogledajte kratak video, ovo je odlomak iz filma “The Blind Side”. Možemo reći da je ovo film o obrazovanju, o milosrđu, o važnosti navodno “slučajnih” susreta u našim životima... Ali ove riječi neće biti dovoljne, preporučujem da pogledate sam film, toplo ga preporučujem.

Želim ti uspjeh!

S poštovanjem, Alexander Krutitskikh

P.S: Bio bih vam zahvalan ako mi kažete nešto o stranici na društvenim mrežama.