Kako pronaći y nula u kvadratnoj funkciji. Grafikon kvadratne funkcije

Prezentacija i lekcija na temu:
"Grafikon funkcije $y=ax^2+bx+c$. Svojstva"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, recenzije, želje! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Obrazovna pomagala i simulatori u Internet prodavnici Integral za 8. razred
Priručnik za udžbenik autora Dorofejeva G.V. Priručnik za udžbenik Nikolskog S.M.

Momci, na poslednje lekcije izgradili smo veliki broj grafove, uključujući mnoge parabole. Danas ćemo sumirati znanje koje smo stekli i naučiti kako nacrtati ovu funkciju u njenom najopštijem obliku.
Pogledajmo kvadratni trinom $a*x^2+b*x+c$. $a, b, c$ se nazivaju koeficijenti. Mogu biti bilo koji brojevi, ali $a≠0$. $a*x^2$ se naziva vodeći pojam, $a$ je vodeći koeficijent. Vrijedi napomenuti da koeficijenti $b$ i $c$ mogu biti jednak nuli, to jest, trinom će se sastojati od dva člana, a treći je jednak nuli.

Pogledajmo funkciju $y=a*x^2+b*x+c$. Ova funkcija se naziva "kvadratna" jer je najveća snaga sekunda, odnosno kvadrat. Koeficijenti su isti kao što je gore definisano.

U prošloj lekciji, u posljednjem primjeru, pogledali smo crtanje grafa slične funkcije.
Dokažimo da se svaka takva kvadratna funkcija može svesti na oblik: $y=a(x+l)^2+m$.

Graf takve funkcije se konstruira pomoću dodatni sistem koordinate U velikoj matematici brojevi su prilično rijetki. Gotovo svaki problem treba dokazati u najopštijem slučaju. Danas ćemo pogledati jedan takav dokaz. Ljudi, vidite punu snagu matematičkog aparata, ali i njegovu složenost.

Hajde da istaknemo savršen kvadrat iz kvadratnog trinoma:
$a*x^2+b*x+c=(a*x^2+b*x)+c=a(x^2+\frac(b)(a)*x)+c=$ $= a(x^2+2\frac(b)(2a)*x+\frac(b^2)(4a))-\frac(b^2)(4a)+c=a(x+\frac(b) (2a))^2+\frac(4ac-b^2)(4a)$.
Dobili smo šta smo želeli.
Bilo koja kvadratna funkcija se može predstaviti kao:
$y=a(x+l)^2+m$, gdje je $l=\frac(b)(2a)$, $m=\frac(4ac-b^2)(4a)$.

Da biste nacrtali graf $y=a(x+l)^2+m$, trebate nacrtati funkciju $y=ax^2$. Štaviše, vrh parabole će se nalaziti u tački sa koordinatama $(-l;m)$.
Dakle, naša funkcija $y=a*x^2+b*x+c$ je parabola.
Osa parabole će biti prava linija $x=-\frac(b)(2a)$, a koordinate vrha parabole duž ose apscise, kao što vidimo, izračunavaju se po formuli: $ x_(c)=-\frac(b)(2a) $.
Da biste izračunali koordinatu y-ose vrha parabole, možete:

• koristite formulu: $y_(v)=\frac(4ac-b^2)(4a)$,
• direktno zamijenite koordinate vrha duž $x$ u originalnu funkciju: $y_(v)=ax_(v)^2+b*x_(v)+c$.

Kako izračunati ordinatu vrha? Opet, izbor je na vama, ali obično će drugi metod biti lakši za izračunavanje.
Ako trebate opisati neka svojstva ili odgovoriti na neka specifična pitanja, ne morate uvijek graditi graf funkcije. Razmotrit ćemo glavna pitanja na koja se može odgovoriti bez konstrukcije u sljedećem primjeru.

Primjer 1.
Odgovorite bez grafičkog prikaza funkcije $y=4x^2-6x-3$ sledeća pitanja:

Rješenje.
a) Osa parabole je prava linija $x=-\frac(b)(2a)=-\frac(-6)(2*4)=\frac(6)(8)=\frac(3 )(4)$ .
b) Našli smo apscisu vrha iznad $x_(c)=\frac(3)(4)$.
Nalazimo ordinatu vrha direktnom zamjenom u originalnu funkciju:
$y_(v)=4*(\frac(3)(4))^2-6*\frac(3)(4)-3=\frac(9)(4)-\frac(18)(4 )-\frac(12)(4)=-\frac(21)(4)$.
c) Graf tražene funkcije će se dobiti paralelnim prijenosom grafa $y=4x^2$. Njegove grane gledaju prema gore, što znači da će grane parabole originalne funkcije također gledati prema gore.
Općenito, ako je koeficijent $a>0$, onda grane gledaju prema gore, ako je koeficijent $a
Primjer 2.
Grafikujte funkciju: $y=2x^2+4x-6$.

Rješenje.
Nađimo koordinate vrha parabole:
$x_(c)=-\frac(b)(2a)=-\frac(4)(4)=-1$.
$y_(v)=2*(-1)^2+4(-1)-6=2-4-6=-8$.
Označimo koordinate vrha na koordinatnoj osi. U ovom trenutku, kao da je u novi sistem koordinatama ćemo konstruisati parabolu $y=2x^2$.

Postoji mnogo načina da se pojednostavi konstrukcija parabola grafova.

• Možemo pronaći dvije simetrične točke, izračunati vrijednost funkcije u tim tačkama, označiti ih na koordinatnoj ravni i povezati ih sa vrhom krive koja opisuje parabolu.
• Možemo konstruirati granu parabole desno ili lijevo od vrha, a zatim je reflektirati.
• Možemo graditi tačku po tačku.

Primjer 3.
Pronađite najveće i najmanju vrijednost funkcije: $y=-x^2+6x+4$ na intervalu $[-1;6]$.

Rješenje.
Napravimo graf ove funkcije, izaberemo traženi interval i pronađemo najnižu i najvišu tačku našeg grafa.
Nađimo koordinate vrha parabole:
$x_(c)=-\frac(b)(2a)=-\frac(6)(-2)=3$.
$y_(v)=-1*(3)^2+6*3+4=-9+18+4=13$.
U tački sa koordinatama $(3;13)$ konstruišemo parabolu $y=-x^2$. Odaberimo željeni interval. Najniža tačka ima koordinate -3, najviše high point- koordinata 13.
$y_(name)=-3$; $y_(maksimum)=13$.

Problemi koje treba riješiti samostalno

1. Bez grafičkog prikaza funkcije $y=-3x^2+12x-4$, odgovorite na sljedeća pitanja:
a) Odredi pravu liniju koja služi kao osa parabole.
b) Pronađite koordinate vrha.
c) U kom pravcu je parabola (gore ili dole)?
2. Konstruirajte graf funkcije: $y=2x^2-6x+2$.
3. Grafikujte funkciju: $y=-x^2+8x-4$.
4. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije: $y=x^2+4x-3$ na segmentu $[-5;2]$.

Kvadratna funkcija je funkcija oblika:
y=a*(x^2)+b*x+c,
gdje je a koeficijent za najveći stepen nepoznatog x,
b - koeficijent za nepoznato x,
i c je slobodan član.
Graf kvadratne funkcije je kriva koja se zove parabola. Opšti izgled parabole prikazan je na donjoj slici.

Sl.1 Opšti pogled na parabolu.

Ima ih nekoliko na razne načine crtanje kvadratne funkcije. Pogledat ćemo glavne i najopćenitije od njih.

Algoritam za crtanje kvadratne funkcije y=a*(x^2)+b*x+c

1. Konstruirajte koordinatni sistem, označite segment jedinice i označite koordinatne ose.

2. Odredite smjer grana parabole (gore ili dolje).
Da biste to učinili, morate pogledati predznak koeficijenta a. Ako postoji plus, onda su grane usmjerene prema gore, ako postoji minus, onda su grane usmjerene prema dolje.

3. Odrediti x koordinatu vrha parabole.
Da biste to učinili, trebate koristiti formulu Xvertex = -b/2*a.

4. Odredite koordinate na vrhu parabole.
Da biste to učinili, zamijenite u jednadžbu Uvershiny = a*(x^2)+b*x+c umjesto x, vrijednost Xverhiny pronađene u prethodnom koraku.

5. Nacrtajte rezultujuću tačku na graf i nacrtajte os simetrije kroz nju, paralelnu sa Oy koordinatnom osom.

6. Naći tačke preseka grafika sa Ox osom.
Da biste to učinili, trebate riješiti kvadratnu jednačinu a*(x^2)+b*x+c = 0 koristeći jednu od poznatih metoda. Ako jednadžba nema realne korijene, onda graf funkcije ne siječe os Ox.

7. Pronađite koordinate tačke preseka grafika sa Oy osom.
Da bismo to učinili, zamjenjujemo vrijednost x=0 u jednačinu i izračunavamo vrijednost y. Označavamo ovo i tačku simetričnu na graf.

8. Pronađite koordinate proizvoljne tačke A(x,y)
Da biste to učinili, odaberite proizvoljnu vrijednost za x koordinatu i zamijenite je u našu jednadžbu. Dobijamo vrijednost y u ovom trenutku. Iscrtajte tačku na grafikonu. Takođe označite tačku na grafu koja je simetrična tački A(x,y).

9. Povežite dobijene tačke na grafikonu glatkom linijom i nastavite graf dalje ekstremne tačke, do kraja koordinatne ose. Označite graf ili na lideru ili, ako prostor dozvoljava, duž samog grafa.

Primjer crtanja

Kao primjer, nacrtajmo kvadratnu funkciju dato jednačinom y=x^2+4*x-1
1. Nacrtajte koordinatne ose, označite ih i označite segment jedinice.
2. Vrijednosti koeficijenta a=1, b=4, c= -1. Pošto je a=1, što je veće od nule, grane parabole su usmjerene prema gore.
3. Odredite X koordinatu vrha parabole X vrhova = -b/2*a = -4/2*1 = -2.
4. Odredite koordinate Y vrha parabole
Vrhovi = a*(x^2)+b*x+c = 1*((-2)^2) + 4*(-2) - 1 = -5.
5. Označite vrh i nacrtajte os simetrije.
6. Naći presječne točke grafika kvadratne funkcije sa Ox osom. Rješavamo kvadratnu jednačinu x^2+4*x-1=0.
x1=-2-√3 x2 = -2+√3. Dobijene vrijednosti označavamo na grafikonu.
7. Pronađite tačke preseka grafika sa Oy osom.
x=0; y=-1
8. Odaberite proizvoljnu tačku B. Neka ima koordinatu x=1.
Tada je y=(1)^2 + 4*(1)-1= 4.
9. Povežite dobijene tačke i potpišite grafik.

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, pravnim postupkom, odnosno na osnovu javnog zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Kao što praksa pokazuje, zadaci na svojstvima i grafovima kvadratne funkcije uzrokuju ozbiljne poteškoće. Ovo je prilično čudno, jer kvadratnu funkciju proučavaju u 8. razredu, a zatim kroz prvo tromjesečje 9. razreda “muče” svojstva parabole i grade njene grafikone za različite parametre.

To je zbog činjenice da, prisiljavajući učenike da konstruiraju parabole, oni praktički ne posvećuju vrijeme „čitanju“ grafikona, odnosno ne vježbaju razumijevanje informacija dobivenih sa slike. Očigledno, pretpostavlja se da će, nakon konstruiranja desetak ili dva grafikona, sam pametan student otkriti i formulirati odnos između koeficijenata u formuli i izgled grafike. U praksi to ne funkcionira. Za takvu generalizaciju potrebno je ozbiljno iskustvo u matematičkim mini istraživanjima, koje većina učenika devetog razreda, naravno, nema. U međuvremenu, Državni inspektorat predlaže utvrđivanje predznaka koeficijenata pomoću rasporeda.

Nećemo zahtijevati nemoguće od školaraca i jednostavno ćemo ponuditi jedan od algoritama za rješavanje takvih problema.

Dakle, funkcija forme y = ax 2 + bx + c naziva se kvadratnim, njegov graf je parabola. Kao što ime govori, glavni pojam je sjekira 2. To je A ne bi trebali biti jednaki nuli, preostali koeficijenti ( b I With) može biti jednaka nuli.

Pogledajmo kako znaci njegovih koeficijenata utiču na izgled parabole.

Najjednostavnija zavisnost za koeficijent A. Većina školaraca samouvjereno odgovara: „ako A> 0, tada su grane parabole usmjerene prema gore, i ako A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.

y = 0,5x 2 - 3x + 1

U ovom slučaju A = 0,5

A sada za A < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

U ovom slučaju A = - 0,5

Uticaj koeficijenta With Takođe je prilično lako pratiti. Zamislimo da želimo pronaći vrijednost funkcije u nekoj tački X= 0. Zamijenite nulu u formulu:

y = a 0 2 + b 0 + c = c. Ispostavilo se da y = c. To je With je ordinata tačke preseka parabole sa y-osom. Obično je ovu tačku lako pronaći na grafikonu. I odredite da li leži iznad nule ili ispod. To je With> 0 ili With < 0.

With > 0:

y = x 2 + 4x + 3

With < 0

y = x 2 + 4x - 3

Shodno tome, ako With= 0, tada će parabola nužno proći kroz ishodište:

y = x 2 + 4x

Teže s parametrom b. Tačka u kojoj ćemo je pronaći ne zavisi samo od toga b ali i iz A. Ovo je vrh parabole. Njegova apscisa (koordinata ose X) se nalazi po formuli x in = - b/(2a). dakle, b = - 2ax in. Odnosno, postupimo na sljedeći način: pronađemo vrh parabole na grafu, odredimo predznak njegove apscise, odnosno gledamo desno od nule ( x in> 0) ili lijevo ( x in < 0) она лежит.

Međutim, to nije sve. Takođe moramo obratiti pažnju na predznak koeficijenta A. Odnosno, pogledajte gdje su usmjerene grane parabole. I tek nakon toga, po formuli b = - 2ax in odredi znak b.

Pogledajmo primjer:

Grane su usmjerene prema gore, što znači A> 0, parabola seče osu at ispod nule, tj With < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x in> 0. Dakle b = - 2ax in = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: A > 0, b < 0, With < 0.