Nemoguće je moguće, ili kako riješiti osnovne modele Rubikove kocke. Rješavanje jednadžbi s modulom
Instrukcije
Metoda zamjene Izrazite jednu varijablu i zamijenite je drugom jednačinom. Možete izraziti bilo koju varijablu po svom nahođenju. Na primjer, izrazite y iz druge jednačine:
x-y=2 => y=x-2 Zatim sve zamijenite u prvu jednačinu:
2x+(x-2)=10 Premjestite sve bez “x” na desnu stranu i izračunajte:
2x+x=10+2
3x=12 Zatim, da dobijete x, podijelite obje strane jednadžbe sa 3:
x=4 Dakle, pronašli ste “x. Pronađite "y. Da biste to učinili, zamijenite "x" u jednačinu iz koje ste izrazili "y":
y=x-2=4-2=2
y=2.
Proveri. Da biste to učinili, zamijenite rezultirajuće vrijednosti u jednadžbe:
2*4+2=10
4-2=2
Nepoznate su tačno pronađene!
Način sabiranja ili oduzimanja jednačina Odmah se riješite bilo koje varijable. U našem slučaju, to je lakše uraditi sa „y.
Pošto se u "y" nalazi znak "+", a u drugom "-", onda možete izvršiti operaciju sabiranja, tj. preklopite lijevu stranu lijevom, a desnu desnom:
2x+y+(x-y)=10+2Pretvori:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4Zamijenite “x” u bilo koju jednačinu i pronađite “y”:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2Prvom metodom možete vidjeti da su pronađeni ispravno.
Ako nema jasno definisanih varijabli, onda je potrebno malo transformisati jednačine.
U prvoj jednačini imamo “2x”, au drugoj jednostavno “x”. Da bi se x smanjio tokom sabiranja, pomnožite drugu jednačinu sa 2:
x-y=2
2x-2y=4 Zatim oduzmite drugu od prve jednačine:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Imajte na umu da ako postoji minus ispred zagrade, onda ga nakon otvaranja promijenite u suprotno:
2x+y-2x+2y=6
3u=6
naći y=2x izražavanjem iz bilo koje jednačine, tj.
x=4
Video na temu
Savjet 2: Kako riješiti linearnu jednačinu u dvije varijable
Jednačina, napisan u opštem obliku ax+bu+c=0, naziva se linearna jednačina sa dva varijable. Takva jednačina sama po sebi sadrži beskonačan broj rješenja, pa se u zadacima uvijek dopunjava nečim - drugom jednačinom ili graničnim uvjetima. U zavisnosti od uslova koje daje zadatak, rešiti linearnu jednačinu sa dva varijable trebalo bi Različiti putevi.
Trebaće ti
- - linearna jednačina sa dvije varijable;
- - druga jednačina ili dodatni uslovi.
Instrukcije
Dat sistem od dvije linearne jednačine, riješite ga na sljedeći način. Odaberite jednu od jednačina u kojima su koeficijenti varijable manji i izraziti jednu od varijabli, na primjer, x. Zatim ovu vrijednost koja sadrži y zamijenite drugom jednačinom. U rezultirajućoj jednačini postojat će samo jedna varijabla y, pomjeriti sve dijelove sa y na lijevu stranu, a slobodne na desnu. Nađite y i zamijenite bilo koju od originalnih jednačina da biste pronašli x.
Postoji još jedan način da se reši sistem od dve jednačine. Pomnožite jednu od jednadžbi brojem tako da koeficijent jedne od varijabli, kao što je x, bude isti u obje jednačine. Zatim oduzmite jednu od jednadžbi od druge (ako desna strana nije jednaka 0, ne zaboravite da oduzmete desnu stranu na isti način). Vidjet ćete da je varijabla x nestala i da je ostala samo jedna varijabla y. Riješite rezultirajuću jednačinu i zamijenite pronađenu vrijednost y u bilo koju od originalnih jednakosti. Pronađite x.
Treći način rješavanja sistema od dvije linearne jednačine je grafički. Nacrtajte koordinatni sistem i nacrtajte dvije prave linije čije su jednačine date u vašem sistemu. Da biste to učinili, zamijenite bilo koje dvije vrijednosti x u jednadžbu i pronađite odgovarajući y - to će biti koordinate tačaka koje pripadaju pravoj. Najprikladniji način da pronađete sjecište s koordinatnim osa je jednostavno zamijeniti vrijednosti x=0 i y=0. Koordinate tačke preseka ove dve linije biće zadaci.
Ako postoji samo jedna linearna jednačina u uslovima problema, onda su vam dati dodatni uslovi kroz koje možete pronaći rješenje. Pažljivo pročitajte problem da pronađete ove uslove. Ako varijable x i y označavaju udaljenost, brzinu, težinu - slobodno postavite granicu x≥0 i y≥0. Sasvim je moguće da x ili y skrivaju broj jabuka itd. – tada vrijednosti mogu biti samo . Ako je x godina sina, jasno je da on ne može biti stariji od oca, pa to navedite u uslovima zadatka.
Izvori:
- kako riješiti jednačinu sa jednom promjenljivom
Samo po sebi jednačina sa tri nepoznato ima mnogo rješenja, pa se najčešće dopunjava sa još dvije jednadžbe ili uvjeta. Ovisno o tome koji su početni podaci, uvelike će zavisiti i tok odluke.
Trebaće ti
- - sistem od tri jednačine sa tri nepoznate.
Instrukcije
Ako dva od tri sistema imaju samo dvije od tri nepoznate, pokušajte izraziti neke varijable u terminima ostalih i zamijeniti ih u jednačina sa tri nepoznato. Vaš cilj u ovom slučaju je da ga pretvorite u normalu jednačina sa nepoznatom osobom. Ako je ovo , dalje rješenje je prilično jednostavno - zamijenite pronađenu vrijednost u druge jednadžbe i pronađite sve ostale nepoznanice.
Neki sistemi jednačina mogu se oduzeti od jedne jednačine drugom. Pogledajte da li je moguće pomnožiti jednu od ili varijablu tako da se dvije nepoznate ponište odjednom. Ako postoji takva prilika, iskoristite je; najvjerovatnije, naknadno rješenje neće biti teško. Zapamtite da kada množite brojem, morate pomnožiti i lijevu i desnu stranu. Isto tako, kada oduzimate jednačine, morate zapamtiti da se desna strana također mora oduzeti.
Ako prethodne metode nisu pomogle, koristite na opšti način rješenja bilo koje jednačine sa tri nepoznato. Da biste to učinili, prepišite jednačine u obliku a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Sada kreirajte matricu koeficijenata za x (A), matricu nepoznanica (X) i matricu slobodnih (B). Imajte na umu da množenjem matrice koeficijenata sa matricom nepoznatih, dobit ćete matricu slobodnih termina, odnosno A*X=B.
Pronađite matricu A na stepen (-1) tako što ćete prvo pronaći , imajte na umu da ne bi trebalo biti jednaka nuli. Nakon toga, pomnožite rezultirajuću matricu sa matricom B, kao rezultat ćete dobiti željenu matricu X, koja označava sve vrijednosti.
Također možete pronaći rješenje za sistem od tri jednačine koristeći Cramerovu metodu. Da biste to učinili, pronađite determinantu trećeg reda ∆ koja odgovara sistemskoj matrici. Zatim sukcesivno pronađite još tri determinante ∆1, ∆2 i ∆3, zamjenjujući vrijednosti slobodnih pojmova umjesto vrijednosti odgovarajućih stupaca. Sada pronađite x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.
Izvori:
- rješenja jednadžbi sa tri nepoznanice
Rješavanje sistema jednačina je izazovno i uzbudljivo. Što je sistem složeniji, to je zanimljivije za rješavanje. Najčešće u matematici srednja škola postoje sistemi jednačina sa dve nepoznate, ali u višu matematiku može postojati više varijabli. Sistemi se mogu riješiti korištenjem nekoliko metoda.
Instrukcije
Najčešća metoda za rješavanje sistema jednačina je supstitucija. Da biste to učinili, trebate izraziti jednu varijablu u terminima druge i zamijeniti je drugom jednačina sistema, čime se vodi jednačina na jednu varijablu. Na primjer, date su sljedeće jednačine: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.
Iz drugog izraza zgodno je izraziti jednu od varijabli, pomjerajući sve ostalo na desnu stranu izraza, ne zaboravljajući promijeniti predznak koeficijenta: x = 3-y.
Otvorite zagrade: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1 Rezultirajuću vrijednost y zamjenjujemo u izraz: x=3-y;x=3-1;x=2 .
U prvom izrazu, svi članovi su 2, možete uzeti 2 iz zagrade na distributivno svojstvo množenja: 2*(2x-y-3)=0. Sada se obje strane izraza mogu smanjiti za ovaj broj, a zatim izraziti y, budući da je koeficijent modula za njega jednako jedan:-y=3-2x ili y=2x-3.
Kao iu prvom slučaju, ovaj izraz zamjenjujemo drugim jednačina i dobijamo: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2 Rezultirajuću vrijednost zamijenimo u izraz: y=2x -3;y=4-3=1.
Vidimo da je koeficijent za y isti po vrijednosti, ali različit po predznaku, stoga, ako dodamo ove jednačine, potpuno ćemo se riješiti y: 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 7x- 14=0;x=2.Zamijenite vrijednost x u bilo koju od dvije jednačine sistema i dobijete y=1.
Video na temu
Biquadratic jednačina predstavlja jednačinačetvrti stepen, čiji je opšti oblik predstavljen izrazom ax^4 + bx^2 + c = 0. Njegovo rešenje se zasniva na upotrebi metode zamene nepoznatih. U ovom slučaju, x^2 se zamjenjuje drugom promjenljivom. Dakle, rezultat je običan kvadrat jednačina, što treba riješiti.
Instrukcije
Riješite kvadrat jednačina, koji je rezultat zamjene. Da biste to učinili, prvo izračunajte vrijednost u skladu sa formulom: D = b^2? 4ac. U ovom slučaju, varijable a, b, c su koeficijenti naše jednačine.
Pronađite korijene bikvadratne jednadžbe. Da biste to učinili, uzmite kvadratni korijen dobivenih rješenja. Ako je bilo jedno rješenje, onda će biti dva - pozitivna i negativna vrijednost kvadratnog korijena. Ako postoje dva rješenja, bikvadratna jednačina će imati četiri korijena.
Video na temu
Jedan od klasične metode rješavanje sistema linearnih jednačina je Gaussova metoda. Sastoji se u sekvencijalnom eliminisanju varijabli, kada se sistem jednačina pomoću jednostavnih transformacija transformiše u postupni sistem, iz kojeg se sekvencijalno pronalaze sve varijable, počevši od poslednjih.
Instrukcije
Prvo, dovedite sistem jednačina u oblik u kojem su sve nepoznanice u strogo definisanom redosledu. Na primjer, svi nepoznati X će se pojaviti prvi u svakoj liniji, svi Y će doći nakon X, svi Z će doći nakon Y, itd. Na desnoj strani svake jednačine ne bi trebalo biti nepoznanica. Mentalno odredite koeficijente ispred svake nepoznate, kao i koeficijente na desnoj strani svake jednačine.
Kvadratni trinom sjekira 2 +bx+c može se razložiti u linearne faktore koristeći formulu:
ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2), Gdje x 1, x 2- korijeni kvadratne jednadžbe ax 2 +bx+c=0.
Proširiti kvadratni trinom na linearne faktore:
Primjer 1). 2x 2 -7x-15.
Rješenje. 2x 2 -7x-15=0.
a=2; b=-7; c=-15. Ovo je opći slučaj za potpunu kvadratnu jednačinu. Pronalaženje diskriminanta D.
D=b 2 -4ac=(-7) 2 -4∙2∙(-15)=49+120=169=13 2 >0; 2 prava korena.
Primijenimo formulu: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).
2x 2 -7x-15=2 (x+1.5)(x-5)=(2x+3)(x-5). Uveli smo ovaj trinom 2x 2 -7x-15 2x+3 I x-5.
odgovor: 2x 2 -7x-15= (2x+3)(x-5).
Primjer 2). 3x 2 +2x-8.
Rješenje. Nađimo korijene kvadratne jednadžbe:
a=3; b=2;c=-8. Ovo je poseban slučaj za kompletnu kvadratnu jednačinu sa parnim drugim koeficijentom ( b=2). Pronalaženje diskriminanta D 1.
Primijenimo formulu: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).
Uveli smo trinom 3x 2 +2x-8 kao proizvod binoma x+2 I 3x-4.
odgovor: 3x 2 +2x-8 =(x+2)(3x-4).
Primjer 3). 5x 2 -3x-2.
Rješenje. Nađimo korijene kvadratne jednadžbe:
a=5; b=-3; c=-2. Ovo je poseban slučaj za potpunu kvadratnu jednačinu sa sljedećim uvjetom: a+b+c=0(5-3-2=0). U takvim slučajevima prvi korijen je uvijek jednako jedan, i drugi korijen jednak količniku slobodnog člana podijeljenog sa prvim koeficijentom:
Primijenimo formulu: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).
5x 2 -3x-2=5 (x-1)(x+0.4)=(x-1)(5x+2). Uveli smo trinom 5x 2 -3x-2 kao proizvod binoma x-1 I 5x+2.
odgovor: 5x 2 -3x-2= (x-1)(5x+2).
Primjer 4). 6x 2 +x-5.
Rješenje. Nađimo korijene kvadratne jednadžbe:
a=6; b=1; c=-5. Ovo je poseban slučaj za potpunu kvadratnu jednačinu sa sljedećim uvjetom: a-b+c=0(6-1-5=0). U takvim slučajevima prvi korijen je uvijek jednako minus jedan, i drugi korijen jednak je minus količniku dijeljenja slobodnog člana s prvim koeficijentom:
Primijenimo formulu: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).
Uveli smo trinom 6x 2 +x-5 kao proizvod binoma x+1 I 6x-5.
odgovor: 6x 2 +x-5= (x+1)(6x-5).
Primjer 5). x 2 -13x+12.
Rješenje. Nađimo korijene date kvadratne jednadžbe:
x 2 -13x+12=0. Hajde da proverimo da li se može primeniti. Da bismo to učinili, pronađimo diskriminanta i uvjerimo se da je to savršen kvadrat cijelog broja.
a=1; b=-13; c=12. Pronalaženje diskriminanta D.
D=b 2 -4ac=13 2 -4∙1∙12=169-48=121=11 2 .
Primijenimo Vietinu teoremu: zbir korijena mora biti jednak drugom koeficijentu uzetom sa suprotnim predznakom, a proizvod korijena mora biti jednak slobodnom članu:
x 1 + x 2 =13; x 1 ∙x 2 =12. Očigledno je da je x 1 =1; x 2 =12.
Primijenimo formulu: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).
x 2 -13x+12=(x-1)(x-12).
odgovor: x 2 -13x+12= (x-1)(x-12).
Primjer 6). x 2 -4x-6.
Rješenje. Nađimo korijene date kvadratne jednadžbe:
a=1; b=-4; c=-6. Drugi koeficijent - čak broj. Pronađite diskriminanta D 1.
Diskriminant nije savršen kvadrat cijelog broja, stoga nam Vietin teorem neće pomoći, a korijene ćemo pronaći koristeći formule za parni drugi koeficijent:
Primijenimo formulu: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2) i zapišite odgovor.
Da biste naučili rješavati jednadžbe s modulom, morate zapamtiti i naučiti definiciju modula.
Iz definicije je jasno da je modul bilo kojeg broja nenegativan. Osim toga, definicija pokazuje kako je to moguće osloboditi se znaka modula u Eq.
U praksi se to radi ovako:
1) Pronađite vrijednosti varijable pri kojima se izrazi pod predznakom modula pretvaraju u nulu.
2) Označite sve nule na brojevnoj pravoj. Oni će ovu liniju podijeliti na zrake i intervale na kojima svi submodularni izrazi imaju konstantan predznak.
3) Određujemo predznake submodularnih izraza u svakom intervalu i proširujemo sve module (zamjenjujući ih submodularnim izrazima sa znakom plus ili minus, ovisno o predznaku submodularnog izraza).
4) Rezultirajuće jednačine rješavamo na svakom intervalu (koliko intervala, toliko jednačina).Napominjemo da obavezno biramo samo ona rješenja koja su u datom intervalu (rezultirajuća rješenja možda ne pripadaju intervalu).
Dosta teorije, vrijeme je da pogledamo primjere da vidimo kako se rješavaju jednadžbe s modulom. Počnimo s nečim jednostavnijim.
Rješavanje jednadžbi s modulima
Primjer 1. Riješite jednačinu.
Rješenje. Od tada. Ako , Onda , i jednadžba poprima oblik .
Odavde dobijamo .
Primjer 2. Riješite jednačinu.
Rješenje. Iz jednačine slijedi da .
Stoga , , , i jednadžba poprima oblik ili .
Budući da , originalna jednadžba nema korijena.
Odgovor: nema korijena.
Primjer 3. Riješite jednačinu.
Rješenje. Prepišimo jednačinu u ekvivalentnom obliku.
Rezultirajuća jednačina pripada jednadžbi tipa .
Poznato je da je jednadžba ovog tipa ekvivalentna nejednakosti. Stoga, ovdje imamo ili .
odgovor: .
Mislim da ste već shvatili kako riješiti ovu vrstu jednadžbe s modulom. Hajde da pokušamo da se pozabavimo složenija jednačina.
Primjer 4. Riješite jednačinu: |x 2 + 2x| – |2 – x| = |x 2 – x|
Pronalaženje nula submodularnih izraza:
x 2 + 2x = 0, x(x + 2) = 0, x = 0 ili x = ‒ 2. U ovom slučaju, parabola y = x 2 + 2x je pozitivna na intervalima (–∞; –2) i (0; +∞), a na intervalu (–2; 0) je negativan (vidi sliku).
x 2 ‒ x = 0, x(x – 1) = 0, x = 0 ili x = 1. Ova parabola y = x 2 ‒ x je pozitivna na intervalima (–∞; 0) i (1; +∞) , a na intervalu (0; 1) je negativan (vidi sliku).
2 – x = 0, x = 2, modul je pozitivan na intervalu (–∞; 0) i uzima negativne vrijednosti na intervalu (2; +∞) (vidi sliku).
Sada rješavamo jednadžbe na intervalima:
1) x ≤ ‒2: x = 1/2
2) –2 ≤ x<0: ‒(x 2 + 2x) – (2 – x) = x 2 ‒ x, ‒x 2 ‒ 2x – 2 + x = x 2 ‒ x, ‒2 x 2 = 2, x 2 = ‒1, nema rješenja.
3) 0 ≤ x<1:
x 2 + 2x ‒ (2 – x) = ‒ (x 2 ‒ x), x 2 + 2x ‒ 2 + x = ‒x 2 + x, 2x 2 + 2x – 2 = 0, x 2 + x – 1 = 0, √D = √5,
x 1 = (‒1 ‒ √5)/2 i x 2 = (‒1 + √5)/2.
Pošto je prvi korijen negativan, ne pripada našem intervalu, a drugi korijen je veći od nule i manji od jedan; ovo je naše rješenje na ovom intervalu.
4) 1 ≤ x<2: x 2 + 2x – (2 – x) = x 2 – x, x 2 + 2x – 2 + x = x 2 – x, 4x = 2, x= 1/2(nije uključeno u period koji se razmatra)
5) x ≥ 2: x 2 + 2x –(‒(2 – x)) = x 2 – x, x 2 + 2x + 2 – x = x 2 – x, 2x = – 2, x = ‒1(nije uključeno u period koji se razmatra).
odgovor: (‒1 + √5)/2 .
Primijetili ste da se ova jednačina rješava na isti način kao i prethodne, razlika je u broju intervala. Budući da se ispod modula nalaze kvadratni izrazi, ima više korijena i, shodno tome, više praznina.
Ali kako riješiti jednačinu u kojoj je modul ispod modula? Pogledajmo primjer.
Primjer 5. Riješite jednačinu |3 – |x – 2|| = 1
Submodularni izraz može imati vrijednost ili 1 ili – 1. Dobijamo dvije jednačine:
3 ‒ |x ‒ 2|= ‒1 ili 3 ‒ |x ‒ 2|= 1
Svaku jednačinu rješavamo posebno.
1)
3 ‒ |x ‒ 2|= ‒1, ‒|x ‒ 2|= ‒1 – 3, ‒|x ‒ 2|= ‒4, |x ‒ 2|= 4,
x ‒ 2= 4 ili x ‒ 2= ‒ 4, odakle dobijamo x 1 = 6, x 2 = ‒2.
2)
3 ‒ |x ‒ 2|= 1, ‒|x ‒ 2|= 1 ‒ 3, ‒|x – 2|= ‒2, |x – 2|= 2,
x – 2 = 2 ili x – 2 = ‒2,
x 3 = 4, x 4 = 0.
Nadam se da ćete nakon proučavanja ovog članka moći uspješno riješiti modulo jednadžbe. Ako imate bilo kakvih pitanja, prijavite se za lekcije sa mnom. Tutor Valentina Galinevskaya.
web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.
Kvadratne jednadžbe.
Kvadratna jednadžba- algebarska jednačina opšti pogled
gdje je x slobodna varijabla,
a, b, c su koeficijenti i
Izraz nazvan kvadratni trinom.
Metode rješavanja kvadratnih jednačina.
1. METODA : Faktoriranje lijeve strane jednačine.
Hajde da riješimo jednačinu x 2 + 10x - 24 = 0. Faktorizujmo lijevu stranu:
x 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12)(x - 2).
Dakle, jednačina se može prepisati na sljedeći način:
(x + 12)(x - 2) = 0
Pošto je proizvod nula, onda je barem jedan njegov faktor jednak nuli. Stoga, lijeva strana jednačine postaje nula u x = 2, kao i kada x = - 12. To znači da je broj 2 I - 12 su korijeni jednadžbe x 2 + 10x - 24 = 0.
2. METODA : Metoda za odabir cijelog kvadrata.
Hajde da riješimo jednačinu x 2 + 6x - 7 = 0. Odaberite cijeli kvadrat na lijevoj strani.
Da bismo to učinili, zapisujemo izraz x 2 + 6x u sljedećem obliku:
x 2 + 6x = x 2 + 2 x 3.
U rezultirajućem izrazu, prvi član je kvadrat broja x, a drugi je dvostruki umnožak x sa 3. Dakle, da biste dobili potpun kvadrat, trebate dodati 3 2, jer
x 2 + 2 x 3 + 3 2 = (x + 3) 2.
Transformirajmo sada lijevu stranu jednačine
x 2 + 6x - 7 = 0,
dodajući mu i oduzimajući 3 2. Imamo:
x 2 + 6x - 7 = x 2 + 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.
Dakle, ova jednačina se može napisati na sljedeći način:
(x + 3) 2 - 16 =0, (x + 3) 2 = 16.
dakle, x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1, ili x + 3 = -4, x 2 = -7.
3. METODA :Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću formule.
Pomnožimo obje strane jednačine
ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0
na 4a i redom imamo:
4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0,
((2ax) 2 + 2ax b + b 2) - b 2 + 4ac = 0,
(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,
2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,
2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,
Primjeri.
A) Rešimo jednačinu: 4x 2 + 7x + 3 = 0.
a = 4, b = 7, c = 3, D = b 2 - 4ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,
D > 0, dva različita korijena;
Dakle, u slučaju pozitivnog diskriminanta, tj. at
b 2 - 4ac >0, jednadžba ax 2 + bx + c = 0 ima dva različita korijena.
b) Rešimo jednačinu: 4x 2 - 4x + 1 = 0,
a = 4, b = - 4, c = 1, D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,
D = 0, jedan korijen;
Dakle, ako je diskriminant nula, tj. b 2 - 4ac = 0, zatim jednačina
ax 2 + bx + c = 0 ima jedan korijen
V) Rešimo jednačinu: 2x 2 + 3x + 4 = 0,
a = 2, b = 3, c = 4, D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, D< 0.
Ova jednadžba nema korijen.
Dakle, ako je diskriminant negativan, tj. b 2 - 4ac< 0 , jednadžba
ax 2 + bx + c = 0 nema korena.
Formula (1) korijena kvadratne jednadžbe ax 2 + bx + c = 0 omogućava vam da pronađete korijene bilo koji kvadratna jednačina (ako postoji), uključujući redukovanu i nepotpunu. Formula (1) se izražava verbalno na sljedeći način: korijeni kvadratne jednadžbe jednaki su razlomku čiji je brojilac jednak drugom koeficijentu uzetom sa suprotnim predznakom, plus minus kvadratni korijen kvadrata ovog koeficijenta bez četverostrukog umnoška prvog koeficijenta slobodnim članom, i imenilac je dvostruki od prvog koeficijenta.
4. METODA: Rješavanje jednadžbi pomoću Vietine teoreme.
Kao što je poznato, dato kvadratna jednačina izgleda kao
x 2 + px + c = 0.(1)
Njegovi korijeni zadovoljavaju Vietin teorem, koji, kada a =1 izgleda kao
x 1 x 2 = q,
x 1 + x 2 = - str
Iz ovoga možemo izvući sljedeće zaključke (iz koeficijenata p i q možemo predvidjeti predznake korijena).
a) Ako je polučlan q data jednadžba (1) je pozitivna ( q > 0), tada jednačina ima dva korijena predznaka jednakosti i to ovisi o drugom koeficijentu str. Ako R< 0 , tada su oba korijena negativna ako R< 0 , tada su oba korijena pozitivna.
Na primjer,
x 2 – 3x + 2 = 0; x 1 = 2 I x 2 = 1, jer q = 2 > 0 I p = - 3< 0;
x 2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7 I x 2 = - 1, jer q = 7 > 0 I p= 8 > 0.
b) Ako je slobodan član q data jednadžba (1) je negativna ( q< 0 ), tada jednadžba ima dva korijena različitog predznaka, a veći korijen će biti pozitivan ako str< 0 , ili negativan if p > 0 .
Na primjer,
x 2 + 4x – 5 = 0; x 1 = - 5 I x 2 = 1, jer q= - 5< 0 I p = 4 > 0;
x 2 – 8x – 9 = 0; x 1 = 9 I x 2 = - 1, jer q = - 9< 0 I p = - 8< 0.
Primjeri.
1) Hajde da riješimo jednačinu 345x 2 – 137x – 208 = 0.
Rješenje. Jer a + b + c = 0 (345 – 137 – 208 = 0), To
x 1 = 1, x 2 = c/a = -208/345.
Odgovor: 1; -208/345.
2) Riješite jednačinu 132x 2 – 247x + 115 = 0.
Rješenje. Jer a + b + c = 0 (132 – 247 + 115 = 0), To
x 1 = 1, x 2 = c/a = 115/132.
Odgovor: 1; 115/132.
B. Ako je drugi koeficijent b = 2k je paran broj, a zatim korijen formula
Primjer.
Hajde da riješimo jednačinu 3x2 - 14x + 16 = 0.
Rješenje. Imamo: a = 3, b = - 14, c = 16, k = - 7;
D = k 2 – ac = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, dva različita korijena;
Odgovor: 2; 8/3
IN. Redukovana jednačina
x 2 + px + q= 0
poklapa se sa opštom jednačinom u kojoj a = 1, b = p I c = q. Prema tome, za redukovanu kvadratnu jednadžbu, korijenska formula je
Uzima formu:
Formula (3) je posebno pogodna za upotrebu kada R- čak broj.
Primjer. Hajde da riješimo jednačinu x 2 – 14x – 15 = 0.
Rješenje. Imamo: x 1,2 =7±
Odgovor: x 1 = 15; x 2 = -1.
5. METODA: Grafičko rješavanje jednačina.
Primjer. Riješite jednačinu x2 - 2x - 3 = 0.
Nacrtajmo funkciju y = x2 - 2x - 3
1) Imamo: a = 1, b = -2, x0 = = 1, y0 = f(1) = 12 - 2 - 3 = -4. To znači da je vrh parabole tačka (1; -4), a osa parabole prava linija x = 1.
2) Uzmite dvije tačke na x-osi koje su simetrične oko ose parabole, na primjer tačke x = -1 i x = 3.
Imamo f(-1) = f(3) = 0. Konstruirajmo tačke (-1; 0) i (3; 0) na koordinatnoj ravni.
3) Kroz tačke (-1; 0), (1; -4), (3; 0) crtamo parabolu (Sl. 68).
Koreni jednačine x2 - 2x - 3 = 0 su apscise tačaka preseka parabole sa x-osom; To znači da su korijeni jednačine: x1 = - 1, x2 - 3.