Zbir primjera geometrijske progresije. Geometrijska progresija. Primjer sa rješenjem

Razmotrimo određenu seriju.

7 28 112 448 1792...

Apsolutno je jasno da je vrijednost bilo kojeg od njegovih elemenata tačno četiri puta veća od prethodnog. To znači da je ova serija progresija.

Geometrijska progresija je beskonačan niz brojeva. glavna karakteristika a to je da se sljedeći broj dobije od prethodnog množenjem nekim određenim brojem. To se izražava sljedećom formulom.

a z +1 =a z ·q, gdje je z broj odabranog elementa.

Prema tome, z ∈ N.

Period kada se školuju škole geometrijska progresija- 9. razred. Primjeri će vam pomoći da shvatite koncept:

0.25 0.125 0.0625...

Na osnovu ove formule, nazivnik progresije se može naći na sljedeći način:

Ni q ni b z ne mogu biti nula. Takođe, svaki od elemenata progresije ne bi trebao biti jednak nuli.

U skladu s tim, da biste saznali sljedeći broj u nizu, trebate posljednji pomnožiti sa q.

Da biste postavili ovu progresiju, morate navesti njen prvi element i nazivnik. Nakon toga moguće je pronaći bilo koji od narednih članova i njihov zbir.

Sorte

Ovisno o q i a 1, ova progresija se dijeli na nekoliko tipova:

• Ako su i 1 i q veći od jedan, tada je takav niz geometrijska progresija koja raste sa svakim sljedećim elementom. Primjer za to je predstavljen u nastavku.

Primjer: a 1 =3, q=2 - oba parametra su veća od jedan.

Tada se niz brojeva može napisati ovako:

3 6 12 24 48 ...

• Ako |q| manje od jedan, odnosno množenje s njim je ekvivalentno dijeljenju, tada je progresija sa sličnim uvjetima opadajuća geometrijska progresija. Primjer za to je predstavljen u nastavku.

Primjer: a 1 =6, q=1/3 - a 1 je veći od jedan, q manji.

Tada se niz brojeva može napisati na sljedeći način:

6 2 2/3 ... - bilo koji element je 3 puta veći od elementa koji slijedi.

• Naizmjenični znak. Ako je q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Primjer: a 1 = -3, q = -2 - oba parametra su manja od nule.

Tada se niz brojeva može napisati ovako:

3, 6, -12, 24,...

Formule

Postoje mnoge formule za praktično korištenje geometrijskih progresija:

• Z-term formula. Omogućava vam da izračunate element pod određenim brojem bez izračunavanja prethodnih brojeva.

primjer:q = 3, a 1 = 4. Potrebno je računati četvrti element progresije.

Rješenje:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Zbir prvih elemenata čija je količina jednaka z. Omogućava vam da izračunate zbir svih elemenata niza doa zinkluzivno.

Od (1-q) je u nazivniku, tada (1 - q)≠ 0, stoga q nije jednako 1.

Napomena: ako je q=1, tada bi progresija bila niz brojeva koji se beskonačno ponavljaju.

Zbir geometrijske progresije, primjeri:a 1 = 2, q= -2. Izračunajte S5.

Rješenje:S 5 = 22 - proračun po formuli.

• Iznos ako |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

primjer:a 1 = 2 , q= 0,5. Pronađite iznos.

Rješenje:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Neke nekretnine:

• Karakteristično svojstvo. Ako je sledeći uslov radi za bilo kojez, tada je dati niz brojeva geometrijska progresija:

a z 2 = a z -1 · az+1

• Također, kvadrat bilo kojeg broja u geometrijskoj progresiji nalazi se dodavanjem kvadrata bilo koja dva druga broja u datom nizu, ako su jednako udaljeni od ovog elementa.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , Gdjet- udaljenost između ovih brojeva.

• Elementirazlikuju se u qjednom.
• Logaritmi elemenata progresije također čine progresiju, ali aritmetičku, odnosno svaki od njih je veći od prethodnog za određeni broj.

Primjeri nekih klasičnih problema

Da bismo bolje razumjeli što je geometrijska progresija, mogu pomoći primjeri sa rješenjima za klasu 9.

• Uslovi:a 1 = 3, a 3 = 48. Nađiq.

Rješenje: svaki sljedeći element je veći od prethodnog uq jednom.Neophodno je neke elemente izraziti u terminima drugih koristeći nazivnik.

dakle,a 3 = q 2 · a 1

Prilikom zamjeneq= 4

• Uslovi:a 2 = 6, a 3 = 12. Izračunajte S 6.

Rješenje:Da biste to učinili, samo pronađite q, prvi element i zamijenite ga u formulu.

a 3 = q· a 2 , dakle,q= 2

a 2 = q · a 1 ,Zbog toga a 1 = 3

S 6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Pronađite četvrti element progresije.

Rješenje: da biste to učinili, dovoljno je četvrti element izraziti kroz prvi i kroz nazivnik.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Primjer primjene:

• Klijent banke je položio depozit u iznosu od 10.000 rubalja, pod kojim će svake godine klijentu biti dodato 6% na glavnicu. Koliko novca će biti na računu nakon 4 godine?

Rješenje: Početni iznos je 10 hiljada rubalja. To znači da će godinu dana nakon ulaganja račun imati iznos jednak 10.000 + 10.000 · 0,06 = 10000 1,06

Shodno tome, iznos na računu nakon još jedne godine biće iskazan na sledeći način:

(10000 · 1,06) · 0,06 + 10000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10000

Odnosno, svake godine iznos se povećava za 1,06 puta. To znači da je za pronalaženje iznosa sredstava na računu nakon 4 godine dovoljno pronaći četvrti element progresije, koji je dat prvim elementom jednakim 10 hiljada i imeniocem jednakim 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Primjeri problema izračunavanja sume:

Geometrijska progresija se koristi u raznim problemima. Primjer za pronalaženje sume može se dati na sljedeći način:

a 1 = 4, q= 2, izračunajS 5.

Rješenje: svi podaci potrebni za izračun su poznati, samo ih trebate zamijeniti u formulu.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Izračunajte zbir prvih šest elemenata.

Rješenje:

U geom. progresije, svaki sljedeći element je q puta veći od prethodnog, odnosno da biste izračunali zbroj koji vam je potreban da znate elementa 1 i imenilacq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Slično, morate pronaćia 1 , znajućia 2 Iq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Instrukcije

10, 30, 90, 270...

Morate pronaći nazivnik geometrijske progresije.
Rješenje:

Opcija 1. Uzmimo proizvoljan član progresije (na primjer, 90) i podijelimo ga s prethodnim (30): 90/30=3.

Ako je poznat zbir nekoliko članova geometrijske progresije ili zbir svih članova opadajuće geometrijske progresije, onda da biste pronašli nazivnik progresije, koristite odgovarajuće formule:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), gdje je Sn zbir prvih n članova geometrijske progresije i
S = b1/(1-q), gdje je S zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije (zbir svih članova progresije sa nazivnikom manjim od jedan).
Primjer.

Prvi član opadajuće geometrijske progresije jednak je jedan, a zbir svih njegovih članova jednak je dva.

Potrebno je odrediti nazivnik ove progresije.
Rješenje:

Zamijenite podatke iz problema u formulu. Ispostaviće se:
2=1/(1-q), odakle je – q=1/2.

Progresija je niz brojeva. U geometrijskoj progresiji, svaki naredni član se dobija množenjem prethodnog sa određenim brojem q, koji se naziva imenilac progresije.

Instrukcije

Ako su poznata dva susjedna geometrijska člana b(n+1) i b(n), da biste dobili nazivnik, trebate podijeliti broj sa većim brojem koji mu prethodi: q=b(n+1)/b (n). Ovo proizilazi iz definicije progresije i njenog nazivnika. Važan uslov je da prvi član i imenilac progresije nisu jednaki nuli, inače se smatra nedefinisanim.

Dakle, između članova progresije su uspostavljeni sljedeći odnosi: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. Koristeći formulu b(n)=b1 q^(n-1), može se izračunati bilo koji član geometrijske progresije u kojoj su imenilac q i termin b1 poznati. Takođe, svaka od progresija je jednaka po modulu proseku svojih susednih članova: |b(n)|=√, gde je progresija dobila svoj .

Analog geometrijske progresije je najjednostavnija eksponencijalna funkcija y=a^x, gdje je x eksponent, a određeni broj. U ovom slučaju, nazivnik progresije se poklapa sa prvim članom i jednak je broju a. Vrijednost funkcije y može se shvatiti kao n-ti član progresije ako se argument x uzme kao prirodan broj n (brojač).

Postoji za zbir prvih n članova geometrijske progresije: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Ova formula vrijedi za q≠1. Ako je q=1, tada se zbir prvih n članova izračunava po formuli S(n)=n b1. Usput, progresija će se zvati rastućom kada je q veći od jedan i b1 pozitivan. Ako nazivnik progresije ne prelazi jedan u apsolutnoj vrijednosti, progresija će se zvati opadajućom.

Poseban slučaj geometrijske progresije je beskonačno opadajuća geometrijska progresija (beskonačno opadajuća geometrijska progresija). Činjenica je da će se uslovi opadajuće geometrijske progresije iznova i iznova smanjivati, ali nikada neće dostići nulu. Uprkos tome, moguće je pronaći zbir svih članova takve progresije. Određuje se formulom S=b1/(1-q). Ukupan broj pojmova n je beskonačan.

Da biste vizualizirali kako možete dodati beskonačan broj brojeva, a da ne dobijete beskonačnost, ispecite tortu. Odseci polovinu. Zatim odrežite 1/2 pola, i tako dalje. Komadi koje ćete dobiti nisu ništa drugo do članovi beskonačno opadajuće geometrijske progresije sa nazivnikom 1/2. Ako saberete sve ove komade, dobijate originalnu tortu.

Zadaci geometrije su posebna vrsta vježbe koja zahtijeva prostorno razmišljanje. Ako ne možete riješiti geometrijski zadatak, pokušajte slijediti dolje navedena pravila.

Instrukcije

Pažljivo pročitajte uslove zadatka; ako se nečega ne sjećate ili ne razumijete, pročitajte ponovo.

Pokušajte odrediti o kakvoj se vrsti geometrijskih problema radi, na primjer: računski, kada trebate saznati neku količinu, problemi koji uključuju , koji zahtijevaju logički lanac zaključivanja, problemi koji uključuju konstrukciju pomoću šestara i ravnala. Više zadataka mješovitog tipa. Kada shvatite vrstu problema, pokušajte logično razmišljati.

Primijenite potrebnu teoremu za dati zadatak, ali ako sumnjate ili uopće nema opcija, pokušajte se sjetiti teorije koju ste proučavali na relevantnu temu.

Također zapišite rješenje problema u nacrt obrasca. Pokušajte koristiti poznate metode da provjerite ispravnost vašeg rješenja.

Rešenje zadatka pažljivo popunite u svoju svesku, bez brisanja i precrtavanja, i što je najvažnije - .. Možda će biti potrebno vreme i trud da se reši prvi geometrijski problem. Međutim, čim savladate ovaj proces, počet ćete klikati zadatke poput orašastih plodova, uživajući u tome!

Geometrijska progresija je niz brojeva b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n) tako da je b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. Drugim riječima, svaki član progresije se dobija iz prethodnog množenjem nekim nenultim nazivnikom progresije q.

Instrukcije

Problemi s progresijom se najčešće rješavaju sastavljanjem, a zatim praćenjem sistema u odnosu na prvi član progresije b1 i nazivnik progresije q. Za kreiranje jednadžbi korisno je zapamtiti neke formule.

Kako izraziti n-ti član progresije kroz prvi član progresije i imenilac progresije: b(n)=b1*q^(n-1).

Razmotrimo posebno slučaj |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Geometrijska progresija ništa manje važno u matematici u odnosu na aritmetiku. Geometrijska progresija je niz brojeva b1, b2,..., b[n], čiji se svaki sljedeći član dobija množenjem prethodnog konstantnim brojem. Ovaj broj, koji takođe karakteriše stopu rasta ili smanjenja progresije, naziva se nazivnik geometrijske progresije i označiti

Da biste u potpunosti specificirali geometrijsku progresiju, osim nazivnika, potrebno je znati ili odrediti njen prvi član. Za pozitivnu vrijednost nazivnika, progresija je monoton niz, i ako je ovaj niz brojeva monotono opadajući i ako je monotono rastući. Slučaj kada je imenilac jednak jedinici se ne razmatra u praksi, jer imamo niz identičnih brojeva, a njihovo zbrajanje nije od praktičnog interesa

Opšti termin geometrijske progresije izračunato po formuli

Zbir prvih n članova geometrijske progresije određena formulom

Pogledajmo rješenja klasičnih problema geometrijske progresije. Počnimo s najjednostavnijim za razumijevanje.

Primjer 1. Prvi član geometrijske progresije je 27, a imenilac je 1/3. Pronađite prvih šest članova geometrijske progresije.

Rješenje: Zapišimo uvjet problema u formu

Za proračune koristimo formulu za n-ti član geometrijske progresije

Na osnovu toga nalazimo nepoznate uslove progresije

Kao što vidite, izračunavanje pojmova geometrijske progresije nije teško. Sama progresija će izgledati ovako

Primjer 2. Prva tri člana geometrijske progresije su data: 6; -12; 24. Pronađite imenilac i njegov sedmi član.

Rješenje: Izračunavamo nazivnik geomitrijske progresije na osnovu njene definicije

Dobili smo naizmjeničnu geometrijsku progresiju čiji je imenilac jednak -2. Sedmi član se izračunava pomoću formule

Ovo rješava problem.

Primjer 3. Geometrijska progresija data je sa dva njena člana . Pronađite deseti član progresije.

Rješenje:

Zapišimo date vrijednosti koristeći formule

Prema pravilima, trebalo bi da pronađemo imenilac i onda tražimo željenu vrednost, ali za deseti član imamo

Ista formula se može dobiti na osnovu jednostavnih manipulacija sa ulaznim podacima. Podijelimo šesti član niza drugim i kao rezultat dobijemo

Ako se rezultujuća vrijednost pomnoži sa šestim članom, dobićemo deseti

Dakle, za takve probleme, koristeći jednostavne transformacije na brz način, možete pronaći ispravno rješenje.

Primjer 4. Geometrijska progresija je data rekurentnim formulama

Naći nazivnik geometrijske progresije i zbir prvih šest članova.

Rješenje:

Zapišimo date podatke u obliku sistema jednačina

Izrazite imenilac tako što drugu jednačinu podijelite s prvom

Nađimo prvi član progresije iz prve jednačine

Izračunajmo sljedećih pet članova da nađemo zbir geometrijske progresije

Geometrijska progresija je numerički niz, čiji je prvi član različit od nule, a svaki sljedeći član jednak je prethodnom članu pomnoženom istim brojem koji nije nula.

Koncept geometrijske progresije

Geometrijska progresija se označava b1,b2,b3, …, bn, ….

Odnos bilo kog člana geometrijske greške u odnosu na prethodni član jednak je istom broju, to jest, b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Ovo direktno slijedi iz definicije aritmetičke progresije. Ovaj broj se naziva nazivnik geometrijske progresije. Obično se nazivnik geometrijske progresije označava slovom q.

Zbir beskonačne geometrijske progresije za |q|<1

Jedan od načina da se specificira geometrijska progresija je specificiranje njenog prvog člana b1 i nazivnika geometrijske greške q. Na primjer, b1=4, q=-2. Ova dva uslova definišu geometrijsku progresiju 4, -8, 16, -32, ….

Ako je q>0 (q nije jednako 1), tada je progresija monotona sekvenca. Na primjer, niz, 2, 4,8,16,32, ... je monotono rastući niz (b1=2, q=2).

Ako je nazivnik u geometrijskoj grešci q=1, tada će svi članovi geometrijske progresije biti međusobno jednaki. U takvim slučajevima se kaže da je napredovanje konstantan niz.

Da bi niz brojeva (bn) bio geometrijska progresija, potrebno je da svaki njegov član, počevši od drugog, bude geometrijska sredina susjednih članova. Odnosno, potrebno je ispuniti sljedeću jednačinu
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), za bilo koje n>0, gdje n pripada skupu prirodnih brojeva N.

Sada stavimo (Xn) - geometrijsku progresiju. Imenilac geometrijske progresije q, i |q|∞).
Ako sada sa S označimo zbir beskonačne geometrijske progresije, tada će se primijeniti sljedeća formula:
S=x1/(1-q).

Pogledajmo jednostavan primjer:

Pronađite zbir beskonačne geometrijske progresije 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ….

Da bismo pronašli S, koristimo formulu za zbir beskonačne aritmetičke progresije. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

Neki problemi iz fizike i matematike mogu se riješiti korištenjem svojstava brojevnih nizova. Dva najjednostavnija brojevna niza koja se uče u školama su algebarski i geometrijski. U ovom članku ćemo detaljnije pogledati pitanje kako pronaći zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije.

Geometrijska progresija

Ove riječi označavaju niz realnih brojeva čiji elementi a i zadovoljavaju izraz:

Ovdje je i broj elementa u nizu, r je konstantan broj koji se zove nazivnik.

Ova definicija pokazuje da, znajući bilo koji član progresije i njegov nazivnik, možete vratiti cijeli niz brojeva. Na primjer, ako je 10. element poznat, tada će se dijeljenjem sa r dobiti 9. element, zatim će se ponovnim dijeljenjem dobiti 8. i tako dalje. Ovi jednostavni argumenti nam omogućavaju da zapišemo izraz koji vrijedi za niz brojeva koji se razmatra:

Primjer progresije sa nazivnikom 2 bi bio sljedeći niz:

1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

Ako je imenilac jednak -2, onda se dobija potpuno drugačiji niz:

1, -2, 4, -8, 16, -32, ...

Geometrijska progresija je mnogo brža od algebarske progresije, odnosno njeni članovi se brzo povećavaju i brzo smanjuju.

Zbir i uslova progresije

Za rješavanje praktičnih problema često je potrebno izračunati zbir nekoliko elemenata numeričkog niza koji se razmatra. Za ovaj slučaj vrijedi sljedeća formula:

S i = a 1 *(r i -1)/(r-1)

Može se vidjeti da za izračunavanje zbroja i članova trebate znati samo dva broja: a 1 i r, što je logično, jer oni jedinstveno određuju cijeli niz.

Opadajući niz i zbir njegovih članova

Pogledajmo sada poseban slučaj. Pretpostavićemo da modul nazivnika r ne prelazi jedan, odnosno -1

Zanimljivo je razmotriti opadajuću geometrijsku progresiju jer beskonačan zbir njenih članova teži konačnom realnom broju.

Hajde da dobijemo formulu za zbir To je lako uraditi ako napišete izraz za S i dat u prethodnom pasusu. Imamo:

S i = a 1 *(r i -1)/(r-1)

Razmotrimo slučaj kada je i->∞. Pošto je modul nazivnika manji od 1, podizanjem na beskonačan stepen dobit će nula. Ovo se može provjeriti na primjeru r=0,5:

0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009.

Kao rezultat, zbir članova beskonačno opadajuće geometrijske progresije će poprimiti oblik:

Ova formula se često koristi u praksi, na primjer, za izračunavanje površina figura. Također se koristi za rješavanje paradoksa Zenona iz Eleje s kornjačom i Ahilejem.

Očigledno je da će razmatranje sume beskonačne geometrijske rastuće progresije (r>1) dovesti do rezultata S ∞ = +∞.

Zadatak pronalaženja prvog člana progresije

Pokažimo kako primijeniti gornje formule na primjeru rješavanja problema. Poznato je da je zbir beskonačne geometrijske progresije 11. Štaviše, njen sedmi član je 6 puta manji od trećeg člana. Koji je prvi element za ovaj niz brojeva?

Prvo, napišimo dva izraza za određivanje 7. i 3. elementa. Dobijamo:

Podijelimo prvi izraz drugim i izrazimo imenilac, imamo:

a 7 /a 3 = r 4 => r = 4 √(a 7 /a 3)

Pošto je omjer sedmog i trećeg člana dat u iskazu problema, možete ga zamijeniti i pronaći r:

r = 4 √(a 7 /a 3) = 4 √(1/6) ≈ 0,63894

Izračunali smo r na pet decimala. Kako je rezultirajuća vrijednost manja od jedan, progresija se smanjuje, što opravdava korištenje formule za njen beskonačan zbir. Zapišimo izraz za prvi član kroz zbir S ∞:

U ovu formulu zamjenjujemo poznate vrijednosti i dobijamo odgovor:

a 1 = 11*(1-0,63894) = 3,97166.

Zenonov poznati paradoks sa brzim Ahilejem i sporom kornjačom

Zenon iz Eleje je poznati grčki filozof koji je živeo u 5. veku pre nove ere. e. Brojni njeni apogeji ili paradoksi dosegli su danas, u kojima se formuliše problem beskonačno velikog i beskonačno malog u matematici.

Jedan od Zenonovih poznatih paradoksa je nadmetanje Ahila i kornjače. Zenon je vjerovao da ako Ahilej kornjači da prednost u daljini, nikada je neće moći sustići. Na primjer, neka Ahil trči 10 puta brže od životinje koja puzi, a koja je, na primjer, 100 metara ispred njega. Kada ratnik pretrči 100 metara, kornjača puzi 10 metara, Ahilej nakon ponovnog pretrčavanja 10 metara vidi da kornjača puzi još 1 metar. Ovako možete raspravljati do beskonačnosti, razmak između konkurenata će se zaista smanjiti, ali kornjača će uvijek biti ispred.

Naveo je Zenona do zaključka da kretanje ne postoji, a sva okolna kretanja objekata su iluzija. Naravno, starogrčki filozof nije bio u pravu.

Rješenje paradoksa leži u činjenici da beskonačan zbir stalno opadajućih segmenata teži konačnom broju. U gornjem slučaju, za udaljenost koju je Ahilej pretrčao, dobijamo:

100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ...

Primjenjujući formulu za zbir beskonačne geometrijske progresije, dobivamo:

S ∞ = 100 /(1-0,1) ≈ 111,111 metara

Ovaj rezultat pokazuje da će Ahil sustići kornjaču kada pređe samo 11.111 metara.

Stari Grci nisu znali kako da rade sa beskonačnim veličinama u matematici. Međutim, ovaj paradoks se može razriješiti ako obratimo pažnju ne na beskonačan broj praznina koje Ahilej mora savladati, već na konačan broj koraka koji trkaču treba da dostigne svoj cilj.