Trokuti su ili jednakokračni skali ili jednakostrani. Trougao. Kompletne lekcije – Hipermarket znanja

Trougao je poligon sa 3 strane (ili 3 ugla). Stranice trokuta su često označene malim slovima koja odgovaraju velikim slovima koji označavaju obrnute vrhove.

Akutni trougao se naziva trougao u kojem su sva tri ugla oštra.

Tupokutni trokut naziva se trokut u kojem je jedan od uglova tup.

Pravokutni trokut naziva se trokut u kojem je jedan od uglova pravi ugao, drugim riječima jednak 90°; strane a, b koje čine pravi ugao nazivaju se noge; strana c, naspram pravog ugla, naziva se hipotenuza.

Jednakokraki trougao naziva se trougao čije su dvije stranice jednake (a = c); ove jednake strane se nazivaju bočno, poziva se treća strana osnovicu trougla.

Jednakostranični trougao naziva se trougao u kojem su sve stranice jednake (a = b = c). U tom slučaju, u trouglu nijedna njegova stranica (abc) nije jednaka, onda je ovo jednakostranični trougao.

Glavne karakteristike trouglova

U bilo kom trouglu:

Znakovi jednakosti trouglova

Trokuti su podudarni, u kom slučaju su jednaki:

Znaci jednakosti pravokutnih trougla

Dva pravokutna trokuta su jednaka, u tom slučaju se izvršava jedan od sljedećih kriterija:

Visinatrougao je okomica spuštena iz bilo kojeg vrha na poleđina(ili njegov nastavak). Ova strana se zove osnovicu trougla. Tri visine trougla se uvek seku u jednoj tački tzv ortocentar trougla.

Ortocentar oštrog trougla nalazi se unutar trougla, a ortocentar tupougla se nalazi izvan; Ortocentar pravokutnog trougla poklapa se sa vrhom pravi ugao.

Medijan- ovo je segment koji povezuje svaki vrh trougla sa sredinom naličja. Tri medijane trougla seku se u jednoj tački, koja uvek leži unutar trougla i predstavlja njegovo središte mase. Ova tačka dijeli svaku medijanu u omjeru 2:1, računajući od temena.

Simetrala- ovo je segment simetrale ugla od vrha do tačke preseka sa poleđina. Tri simetrale trougla seku se u jednoj tački, koja uvek leži unutar trougla i centar je upisane kružnice. Simetrala dijeli obrnutu stranu na dijelove proporcionalne susjednim stranicama.

Srednja okomita je okomica povučena iz midpoint segment (strana). Tri srednje okomice trougla seku se u jednoj tački, koja je centar opisane kružnice.

IN oštar trougao ova tačka leži unutar trougla, u tupouglu - spolja, u pravougaonom trokutu - u sredini hipotenuze. Ortocentar, centar mase, centar opisane kružnice i centar upisane kružnice poklapaju se isključivo u jednakostraničnom trokutu.

Pitagorin aksiom

IN pravougaonog trougla Kvadrat dužine hipotenuze jednak je zbiru kvadrata dužina kateta.

Potvrda Pitagorinog aksioma

Konstruirajmo kvadrat AKMB koristeći hipotenuzu AB kao stranu. Zatim nastavljamo stranice pravokutnog trougla ABC tako da dobijemo kvadrat CDEF čija je stranica jednaka a + b. Sada je jasno da je površina kvadrata CDEF jednaka (a + b) 2. S druge strane, ova površina je jednaka zbroju površina četiri pravokutna trokuta i kvadrata AKMB, u drugom riječi,

c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,

c 2 + 2 ab = (a + b) 2,

i imamo:

c 2 = a 2 + b 2 .

Omjer stranica u slučajnom trouglu

U općem slučaju (za slučajni trokut) imamo:

c 2 = a 2 + b 2 - 2 ab * cos C,

gdje je C ugao između stranica a i b.

Dodatno na sajtu:

Nauka o geometriji nam govori šta su trougao, kvadrat i kocka. IN savremeni svet u školama ga uče svi bez izuzetka. Takođe, nauka koja direktno proučava šta je trougao i koja svojstva ima je trigonometrija. Ona detaljno istražuje sve pojave vezane za podatke.O tome šta je trougao danas ćemo govoriti u našem članku. Njihove vrste će biti opisane u nastavku, kao i neke teoreme povezane s njima.

Šta je trougao? Definicija

Ovo je ravan poligon. Ima tri ugla, kao što je jasno iz njegovog imena. Takođe ima tri stranice i tri vrha, prvi od njih su segmenti, drugi su tačke. Znajući čemu su jednaka dva ugla, treći možete pronaći oduzimanjem zbroja prva dva od broja 180.

Koje vrste trouglova postoje?

Mogu se klasifikovati prema različitim kriterijumima.

Prije svega, dijele se na oštrougaone, tupokutne i pravokutne. Prvi imaju oštre uglove, odnosno one koji su manji od 90 stepeni. Kod tupih uglova jedan od uglova je tup, odnosno onaj koji je veći od 90 stepeni, druga dva su oštra. Oštri trouglovi takođe uključuju jednakostranične trouglove. Takvi trouglovi imaju sve stranice i uglove jednake. Svi su jednaki 60 stepeni, to se lako može izračunati tako što se zbir svih uglova (180) podeli sa tri.

Pravokutni trokut

Nemoguće je ne govoriti o tome šta je pravougli trougao.

Takva figura ima jedan ugao jednak 90 stepeni (ravno), odnosno dvije njegove strane su okomite. Preostala dva ugla su oštra. Oni mogu biti jednaki, tada će biti jednakokraki. Pitagorina teorema se odnosi na pravougli trokut. Koristeći ga, možete pronaći treću stranu, poznavajući prve dvije. Prema ovoj teoremi, ako kvadratu jedne noge dodate kvadrat druge, možete dobiti kvadrat hipotenuze. Kvadrat kateta se može izračunati oduzimanjem kvadrata poznatog kateta od kvadrata hipotenuze. Govoreći o tome šta je trougao, možemo se prisjetiti i jednakokračnog trougla. Ovo je onaj u kojem su dvije stranice jednake, a dva ugla su također jednaka.

Šta su krak i hipotenuza?

Noga je jedna od stranica trougla koja formira ugao od 90 stepeni. Hipotenuza je preostala strana koja se nalazi nasuprot pravog ugla. Možete spustiti okomicu s nje na nogu. Stav susjedna noga hipotenuzi se naziva ništa manje nego kosinusom, a suprotno se naziva sinusom.

- koje su njegove karakteristike?

Pravougaona je. Njegovi kraci su tri i četiri, a hipotenuza pet. Ako vidite da su katete datog trougla jednake tri i četiri, možete biti sigurni da će hipotenuza biti jednaka pet. Također, koristeći ovaj princip, možete lako odrediti da će krak biti jednak tri ako je drugi jednak četiri, a hipotenuza jednaka pet. Da biste dokazali ovu tvrdnju, možete primijeniti Pitagorinu teoremu. Ako su dva kraka jednaka 3 i 4, tada je 9 + 16 = 25, korijen od 25 je 5, odnosno hipotenuza je jednaka 5. Egipatski trokut je također pravougaoni trokut čije su stranice jednake 6, 8 i 10; 9, 12 i 15 i drugi brojevi sa omjerom 3:4:5.

Šta bi drugo mogao biti trougao?

Trokuti također mogu biti upisani ili opisani. Figura oko koje je opisana kružnica naziva se upisana; svi njeni vrhovi su tačke koje leže na kružnici. Opisani trougao je onaj u koji je upisana kružnica. Sve njegove strane dolaze u dodir s njim u određenim tačkama.

Kako se nalazi?

Površina bilo koje figure se mjeri u kvadratnim jedinicama (kvadratni metri, kvadratni milimetri, kvadratni centimetri, kvadratni decimetri, itd.) Ova vrijednost se može izračunati na različite načine, ovisno o vrsti trokuta. Područje bilo koje figure s uglovima može se pronaći množenjem njene strane okomicom koja je na nju spuštena iz suprotnog ugla i dijeljenjem ove figure s dva. Ovu vrijednost možete pronaći i množenjem dvije strane. Zatim pomnožite ovaj broj sa sinusom ugla koji se nalazi između ovih stranica i podijelite ovaj rezultat sa dva. Poznavajući sve strane trougla, ali ne znajući njegove uglove, možete pronaći površinu na drugi način. Da biste to učinili, morate pronaći polovicu perimetra. Zatim naizmjenično oduzimajte različite strane od ovog broja i pomnožite rezultirajuće četiri vrijednosti. Zatim pronađite iz broja koji je izašao. Površina upisanog trokuta može se naći množenjem svih stranica i dijeljenjem rezultirajućeg broja s onim opisanim oko njega, pomnoženim sa četiri.

Površina opisanog trokuta nalazi se na ovaj način: polovinu perimetra množimo polumjerom kruga koji je u njega upisan. Ako se tada njegova površina može pronaći na sljedeći način: kvadratirajte stranu, pomnožite rezultirajuću cifru s korijenom od tri, a zatim podijelite ovaj broj sa četiri. Na sličan način možete izračunati visinu trokuta u kojem su sve strane jednake; da biste to učinili, trebate jednu od njih pomnožiti s korijenom od tri, a zatim ovaj broj podijeliti s dva.

Teoreme vezane za trokut

Glavne teoreme koje su povezane s ovom figurom su Pitagorina teorema opisana gore i kosinus. Drugi (od sinusa) je da ako bilo koju stranu podijelite sa sinusom ugla nasuprot njoj, možete dobiti polumjer kružnice koja je opisana oko nje, pomnožen sa dva. Treći (kosinusi) je da ako od zbira kvadrata dviju strana oduzmemo njihov proizvod, pomnožen sa dva i kosinus ugla koji se nalazi između njih, onda ćemo dobiti kvadrat treće strane.

Dali trougao - šta je to?

Mnogi, kada se suoče s ovim konceptom, isprva misle da je to neka vrsta definicije u geometriji, ali to uopće nije tako. Dalijev trougao je uobičajeno ime tri mjesta koja su usko povezana sa životom slavnog umjetnika. Njegovi „vrhunci“ su kuća u kojoj je živeo Salvador Dali, dvorac koji je poklonio svojoj supruzi, kao i muzej nadrealističkih slika. Možete puno naučiti tokom obilaska ovih mjesta. zanimljivosti o ovom jedinstvenom kreativnom umjetniku poznatom u cijelom svijetu.

Trougao je poligon sa tri strane (ili tri ugla). Stranice trokuta se često označavaju malim slovima (a, b, c), koje odgovaraju velika slova, koji označava suprotne vrhove (A, B, C).

Ako su sva tri ugla trougla oštra, onda jeste oštar trougao.

Ako je jedan od uglova u trouglu pravi, onda jeste pravougaonog trougla. Stranice koje tvore pravi ugao nazivaju se noge. Strana suprotna od pravog ugla se zove hipotenuza.

Ako je jedan od uglova u trokutu tup, onda jeste tupougaonog trougla.

Jednakokraki trougao, ako su njegove dvije strane jednake; ove jednake stranice nazivaju se bočne, a treća strana se naziva osnova trougla.

Jednakostranični trougao, ako su sve njegove strane jednake.

Osnovna svojstva trouglova

U bilo kom trouglu:

1. Nasuprot većoj strani leži veći ugao, i obrnuto.

2. Jednaki uglovi leže nasuprot jednakih strana, i obrnuto.
Konkretno, svi uglovi u jednakostraničnom trouglu su jednaki.

3. Zbir uglova trougla je 180º.
Iz posljednja dva svojstva slijedi da je svaki ugao u jednakostranični
trougao je 60º.

4. Nastavljajući jednu od stranica trougla, dobivamo vanjsku
ugao. Vanjski ugao trougla jednak je zbiru unutrašnjih uglova,
nije u blizini.

5. Bilo koja strana trougla je manja od zbira druge dvije stranice i veća
njihove razlike.

Znakovi jednakosti trouglova.

Trokuti su podudarni ako su respektivno jednaki:

A) dvije stranice i ugao između njih;
b) dva ugla i strana uz njih;
c) tri strane.

Znaci jednakosti pravokutnih trougla.

Dva pravougla trougla su podudarna ako je jedan od sljedećih uslova tačan:

1) noge su im jednake;
2) kateta i hipotenuza jednog trougla jednake su kateta i hipotenuze drugog trougla;
3) hipotenuza i oštar ugao jednog trougla jednaki su hipotenuzi i oštrom uglu drugog trougla;
4) kateta i susedni oštar ugao jednog trougla jednaki su kateta i susednom oštrom uglu drugog trougla;
5) kateta i suprotni oštar ugao jednog trougla jednaki su kateta i suprotnom oštrom uglu drugog trougla.

Visina trougla je okomica spuštena s bilo kojeg vrha na suprotnu stranu (ili njegov nastavak). Ova stranica se zove osnova trougla. Tri visine trougla se uvek seku u jednoj tački tzv ortocentar trougla. Ortocentar oštrog trougla nalazi se unutar trougla, a ortocentar tupouglog je izvan; Ortocentar pravouglog trougla poklapa se sa vrhom pravog ugla.

Medijan je segment koji povezuje bilo koji vrh trougla sa sredinom suprotne strane. Tri medijane trougla seku se u jednoj tački, koja uvek leži unutar trougla i njegova je centar gravitacije. Ova tačka dijeli svaku medijanu u omjeru 2:1, računajući od temena.

Svojstvo medijane jednakokračnog trougla. U jednakokračnom trouglu, medijana povučena do osnove je simetrala i visina.

Simetrala- ovo je segment simetrale ugla od vrha do tačke preseka sa suprotnom stranom. Tri simetrale trougla seku se u jednoj tački, koja uvek leži unutar trougla i centar upisane kružnice. Simetrala dijeli suprotnu stranu na dijelove proporcionalne susjednim stranicama.

Srednja okomita je okomica povučena iz sredine segmenta (stranice). Tri okomite medijane trougla seku se u jednoj tački, što je središte opisane kružnice. U oštrom trouglu, ova tačka leži unutar trougla; pod tupim uglom - spolja; u pravougaonom - u sredini hipotenuze. Ortocentar, centar gravitacije, centar opisanog i upisana kružnica poklapaju se samo u jednakostraničnom trokutu.

Srednja linija trougla je segment koji povezuje sredine njegove dvije strane.

Svojstvo srednje linije trougla. Srednja linija trougla, koja povezuje sredine dvije date stranice, paralelna je s trećom stranom i jednaka je njenoj polovini.

Pitagorina teorema. U pravokutnom trokutu kvadrat dužine hipotenuze jednak je zbiru kvadrata dužina kateta. c 2 = a 2 + b 2 .

Dokazi Pitagorine teoreme mozes da vidis Evo.

Teorema sinusa. Stranice trokuta su proporcionalne sinusima suprotnih uglova .

Kosinus teorema. Kvadrat bilo koje stranice trokuta jednak je zbroju kvadrata druge dvije stranice bez dvostrukog umnoška ovih stranica kosinusom ugla između njih .

Dokaz teoreme sinusa i kosinus teoreme mozes da vidis Evo.

Teorema o zbiru uglova u trouglu. Zbir unutrašnjih uglova trougla je 180°.

Teorema vanjskog ugla trokuta. Vanjski ugao trougla jednak je zbiru dva unutrašnja ugla koji mu nisu susjedni.

Možda najosnovnija, jednostavna i najzanimljivija figura u geometriji je trokut. Znam srednja škola proučavaju se njegova osnovna svojstva, ali je ponekad znanje o ovoj temi nepotpuno. Vrste trouglova u početku određuju njihova svojstva. Ali ovaj stav je i dalje pomiješan. Stoga, pogledajmo sada ovu temu malo detaljnije.

Vrste trouglova zavise od stepena mere uglova. Ove figure su oštre, pravokutne i tupe. Ako svi uglovi ne prelaze 90 stepeni, tada se broj može sa sigurnošću nazvati akutnim. Ako je barem jedan ugao trokuta 90 stepeni, onda imate posla s pravokutnom podvrstom. Prema tome, u svim ostalim slučajevima razmatrani se naziva tupouglom.

Postoje mnogi problemi za podtipove sa oštrim uglom. Prepoznatljiva karakteristika je unutrašnja lokacija presječnih točaka simetrala, medijana i visina. U drugim slučajevima, ovaj uslov možda neće biti ispunjen. Nije teško odrediti vrstu figure trougla. Dovoljno je znati, na primjer, kosinus svakog ugla. Ako je bilo koja vrijednost manja od nule, tada je trokut u svakom slučaju tup. U slučaju indikatora nule, figura ima pravi ugao. Sve pozitivne vrijednosti garantovano će vam reći da gledate u ugaoni pogled.

Ne može se ne spomenuti pravilan trougao. Ovo je najidealniji pogled, gdje se sve točke presjeka medijana, simetrala i visina poklapaju. Središte upisane i opisane kružnice također leži na istom mjestu. Da biste riješili probleme, morate znati samo jednu stranu, pošto su vam uglovi u početku dati, a druge dvije strane su poznate. To jest, cifra je određena samo jednim parametrom. Oni postoje glavna karakteristika- jednakost dviju stranica i uglova pri osnovici.

Ponekad se postavlja pitanje da li trougao sa datim stranicama postoji. Zapravo vas pitaju da li je prikladno ovaj opis pod glavnim tipovima. Na primjer, ako je zbroj dviju strana manji od treće, onda u stvarnosti takva brojka uopće ne postoji. Ako zadatak traži od vas da pronađete kosinuse uglova trokuta sa stranicama 3,5,9, onda se očigledno može objasniti bez složenih matematičkih tehnika. Pretpostavimo da želite doći od tačke A do tačke B. Udaljenost u pravoj liniji je 9 kilometara. Međutim, sjetili ste se da morate otići do tačke C u prodavnici. Udaljenost od A do C je 3 kilometra, a od C do B je 5. Tako ispada da ćete pri kretanju kroz radnju hodati jedan kilometar manje. Ali pošto se tačka C ne nalazi na pravoj AB, moraćete da pređete dodatnu udaljenost. Ovdje postoji kontradikcija. Naravno, uslovno objašnjenje. Matematika zna više od jednog načina da se dokaže da se sve vrste trouglova povinuju osnovnom identitetu. Navodi da je zbir dviju strana duže treće.

Bilo koja vrsta ima sljedeća svojstva:

1) Zbir svih uglova je 180 stepeni.

2) Uvek postoji ortocentar - tačka preseka sve tri visine.

3) Sve tri medijane povučene iz vrhova unutrašnjih uglova seku se na jednom mestu.

4) Krug se može nacrtati oko bilo kojeg trougla. Također možete upisati krug tako da ima samo tri dodirne točke i da se ne proteže dalje od vanjskih strana.

Sada ste upoznati sa glavnim svojstvima koja imaju različite vrste trouglovi. U budućnosti je važno razumjeti sa čime se suočavate kada rješavate problem.