Jednadžba tangente na funkciju u datoj tački. Tangenta na graf funkcije

U ovom članku ćemo analizirati sve vrste problema koje treba pronaći

Podsjetimo se geometrijsko značenje derivat: ako je tangenta nacrtana na graf funkcije u nekoj tački, tada je koeficijent nagiba tangente (jednak tangenti kuta između tangente i pozitivnog smjera ose) jednak derivaciji funkcije u tački.

Uzmimo proizvoljnu tačku na tangenti sa koordinatama:

I razmislite o pravokutnom trokutu:

U ovom trouglu

Odavde

Ovo je jednadžba tangente povučene na graf funkcije u tački.

Da bismo napisali jednadžbu tangente, potrebno je samo znati jednadžbu funkcije i tačku u kojoj je tangenta nacrtana. Tada možemo pronaći i .

Postoje tri glavna tipa problema tangentnih jednačina.

1. Date kontaktnu tačku

2. Dat je koeficijent nagiba tangente, odnosno vrijednost derivacije funkcije u tački.

3. Date su koordinate tačke kroz koju je povučena tangenta, ali koja nije tačka tangente.

Pogledajmo svaku vrstu zadatka.

1 . Napišite jednadžbu tangente na graf funkcije u tački .

.

b) Pronađite vrijednost derivacije u tački . Prvo pronađimo derivaciju funkcije

Zamijenimo pronađene vrijednosti u tangentnu jednadžbu:

Otvorimo zagrade na desnoj strani jednačine. Dobijamo:

odgovor: .

2. Pronađite apscisu tačaka u kojima su funkcije tangente na graf paralelno sa x-osom.

Ako je tangenta paralelna sa x-osi, stoga je ugao između tangente i pozitivnog smjera ose jednak nuli, stoga je tangenta kuta tangente nula. To znači da je vrijednost derivacije funkcije na dodirnim tačkama je nula.

a) Naći derivaciju funkcije .

b) Izjednačimo derivaciju sa nulom i pronađemo vrijednosti u kojima je tangenta paralelna s osom:

Izjednačavajući svaki faktor sa nulom, dobijamo:

Odgovor: 0;3;5

3. Napišite jednadžbe za tangente na graf funkcije , paralelno ravno .

Tangenta je paralelna pravoj. Nagib ove linije je -1. Pošto je tangenta paralelna sa ovom pravom, nagib tangente je takođe -1. To je znamo nagib tangente, i, samim tim, vrijednost derivata u tački tangente.

Ovo je druga vrsta problema za pronalaženje tangentne jednačine.

Dakle, data nam je funkcija i vrijednost derivacije u tački tangente.

a) Pronađite tačke u kojima je derivacija funkcije jednaka -1.

Prvo, pronađimo jednačinu derivata.

Izjednačimo derivaciju sa brojem -1.

Nađimo vrijednost funkcije u tački.

(po stanju)

.

b) Pronađite jednadžbu tangente na graf funkcije u tački .

Nađimo vrijednost funkcije u tački.

(po stanju).

Zamijenimo ove vrijednosti u tangentnu jednadžbu:

.

odgovor:

4 . Napišite jednadžbu tangente na krivu , prolazeći kroz tačku

Prvo, hajde da proverimo da li je tačka tačka tangente. Ako je tačka tangentna tačka, tada pripada grafu funkcije, a njene koordinate moraju zadovoljiti jednadžbu funkcije. Zamenimo koordinate tačke u jednadžbu funkcije.

Title="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и !} nije kontaktna tačka.

Ovo je posljednja vrsta problema za pronalaženje tangentne jednačine. Prva stvar moramo pronaći apscisu tačke tangente.

Hajde da nađemo vrednost.

Neka bude tačka kontakta. Tačka pripada tangenti na graf funkcije. Ako zamenimo koordinate ove tačke u tangentnu jednačinu, dobićemo tačnu jednakost:

.

Vrijednost funkcije u tački je .

Nađimo vrijednost derivacije funkcije u tački.

Prvo, pronađimo derivaciju funkcije. Ovo .

Izvod u tački je jednak .

Zamijenimo izraze za i u tangentnu jednadžbu. Dobijamo jednačinu za:

Hajde da riješimo ovu jednačinu.

Smanjite brojilac i nazivnik razlomka za 2:

Dovedemo desnu stranu jednačine na zajednički nazivnik. Dobijamo:

Pojednostavimo brojilac razlomka i pomnožimo obje strane sa - ovaj izraz je striktno veći od nule.

Dobijamo jednačinu

Hajde da to rešimo. Da bismo to učinili, kvadriramo oba dijela i prijeđimo na sistem.

Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0) ) ))( )">!}

Rešimo prvu jednačinu.

Hajde da odlučimo kvadratna jednačina, dobijamo

Drugi korijen ne zadovoljava uslov title="8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Napišimo jednačinu tangente na krivu u tački. Da biste to učinili, zamijenite vrijednost u jednadžbu - Već smo to snimili.

odgovor:
.

Tangenta je prava linija koja prolazi kroz tačku na krivulji i poklapa se s njom u ovoj tački do prvog reda (slika 1).

Druga definicija: ovo je granična pozicija sekansa na Δ x→0.

Objašnjenje: Uzmite pravu liniju koja siječe krivu u dvije tačke: A I b(vidi sliku). Ovo je sekansa. Rotiraćemo ga u smeru kazaljke na satu dok ne nađe samo jednu zajedničku tačku sa krivom. Ovo će nam dati tangentu.

Stroga definicija tangente:

Tangenta na graf funkcije f, diferencibilan u tački xO, je prava linija koja prolazi kroz tačku ( xO; f(xO)) i imati nagib f′( xO).

Nagib ima ravnu liniju oblika y =kx +b. Koeficijent k i je nagib ovu pravu liniju.

Nagib je jednak tangenti oštar ugao, formirana ovom pravom linijom sa osom apscisa:

k = tan α

Ovdje je ugao α ugao između prave linije y =kx +b i pozitivan (to jest, u smjeru suprotnom od kazaljke na satu) smjer x-ose. To se zove ugao nagiba prave linije(sl. 1 i 2).

Ako je ugao nagiba ravan y =kx +b akutna, onda je nagib pozitivan broj. Grafikon raste (slika 1).

Ako je ugao nagiba ravan y =kx +b je tup, tada je nagib negativan broj. Grafikon se smanjuje (slika 2).

Ako je prava linija paralelna sa x-osi, tada je ugao nagiba prave linije nula. U ovom slučaju, nagib prave je također nula (pošto je tangenta nule nula). Jednačina prave će izgledati kao y = b (slika 3).

Ako je ugao nagiba prave linije 90º (π/2), odnosno okomit je na osu apscise, tada je ta prava data jednakošću x =c, Gdje c– neki realni broj (slika 4).

Jednadžba tangente na graf funkcijey = f(x) u tački xO:

Primjer: Pronađite jednadžbu tangente na graf funkcije f(x) = x 3 – 2x 2 + 1 u tački sa apscisom 2.

Rješenje .

Pratimo algoritam.

1) Točka dodira xO je jednako 2. Izračunajte f(xO):

f(xO) = f(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Pronađite f′( x). Da bismo to učinili, primjenjujemo formule diferencijacije navedene u prethodnom odjeljku. Prema ovim formulama, X 2 = 2X, A X 3 = 3X 2. znači:

f′( x) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.

Sada, koristeći rezultirajuću vrijednost f′( x), izračunati f′( xO):

f′( xO) = f′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Dakle, imamo sve potrebne podatke: xO = 2, f(xO) = 1, f ′( xO) = 4. Zamijenite ove brojeve u tangentnu jednadžbu i pronađite konačno rješenje:

y = f(xO) + f′( xO) (x – x o) = 1 + 4 ∙ (x – 2) = 1 + 4x – 8 = –7 + 4x = 4x – 7.

Odgovor: y = 4x – 7.

Neka je data funkcija f koja u nekoj tački x 0 ima konačan izvod f (x 0). Tada se prava linija koja prolazi kroz tačku (x 0 ; f (x 0)), koja ima ugaoni koeficijent f ’(x 0), naziva tangentom.

Šta se dešava ako izvod ne postoji u tački x 0? Postoje dvije opcije:

1. Ne postoji ni tangenta na graf. Klasičan primjer je funkcija y = |x | u tački (0; 0).
2. Tangenta postaje vertikalna. To vrijedi, na primjer, za funkciju y = arcsin x u tački (1; π /2).

Tangentna jednadžba

Svaka nevertikalna prava linija je data jednačinom oblika y = kx + b, gdje je k nagib. Tangenta nije izuzetak, a da bi se stvorila njena jednadžba u nekoj tački x 0, dovoljno je znati vrijednost funkcije i derivacije u ovoj tački.

Dakle, neka je data funkcija y = f (x) koja ima izvod y = f ’(x) na segmentu. Tada se u bilo kojoj tački x 0 ∈ (a ; b) može povući tangenta na graf ove funkcije, koja je data jednadžbom:

y = f ’(x 0) (x − x 0) + f (x 0)

Ovdje je f’(x 0) vrijednost derivacije u tački x 0, a f (x 0) je vrijednost same funkcije.

Zadatak. Zadata funkcija y = x 3 . Napišite jednadžbu za tangentu na graf ove funkcije u tački x 0 = 2.

Jednačina tangente: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Tačka x 0 = 2 nam je data, ali će se morati izračunati vrijednosti f (x 0) i f ’(x 0).

Prvo, pronađimo vrijednost funkcije. Ovdje je sve lako: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Sada pronađimo izvod: f ’(x) = (x 3)’ = 3x 2;
Zamjenjujemo x 0 = 2 u izvod: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 2 2 = 12;
Ukupno dobijamo: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Ovo je tangentna jednadžba.

Zadatak. Napišite jednadžbu za tangentu na graf funkcije f (x) = 2sin x + 5 u tački x 0 = π /2.

Ovaj put nećemo detaljno opisivati ​​svaku radnju - samo ćemo naznačiti ključne korake. Imamo:

f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f ’(x) = (2sin x + 5)’ = 2cos x;
f ’(x 0) = f ’(π /2) = 2cos (π /2) = 0;

Tangentna jednadžba:

y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

U potonjem slučaju, ravna linija se pokazala vodoravnom, jer njegov ugaoni koeficijent k = 0. U ovome nema ništa loše - upravo smo naišli na tačku ekstrema.

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, pravnim postupkom, odnosno na osnovu javnog zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu nasljednika.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Tangenta je prava linija , koji dodiruje graf funkcije u jednoj tački i čije su sve tačke na najkraćoj udaljenosti od grafa funkcije. Dakle, tangenta prolazi tangentu na graf funkcije pod određenim uglom, a nekoliko tangenta pod različitim uglovima ne može proći kroz tačku tangente. Tangentne jednadžbe i normalne jednadžbe na graf funkcije konstruiraju se pomoću izvoda.

Jednačina tangente je izvedena iz jednačine linije .

Izvedemo jednadžbu tangente, a zatim i jednadžbu normale na graf funkcije.

y = kx + b .

U njemu k- ugaoni koeficijent.

Odavde dobijamo sledeći unos:

y - y 0 = k(x - x 0 ) .

Vrijednost derivata f "(x 0 ) funkcije y = f(x) u tački x0 jednak nagibu k= tg φ tangenta na graf funkcije povučen kroz tačku M0 (x 0 , y 0 ) , Gdje y0 = f(x 0 ) . Ovo je geometrijsko značenje derivacije .

Dakle, možemo zamijeniti k on f "(x 0 ) i dobijete sljedeće jednadžba tangente na graf funkcije :

y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .

U problemima koji uključuju sastavljanje jednadžbe tangente na graf funkcije (a uskoro ćemo prijeći na njih), potrebno je jednadžbu dobivenu iz gornje formule svesti na jednačina prave linije u opštem obliku. Da biste to učinili, trebate premjestiti sva slova i brojeve na lijevu stranu jednačine, a ostaviti nulu na desnoj strani.

Sada o normalnoj jednadžbi. Normalno - ovo je prava linija koja prolazi kroz tačku tangente na graf funkcije okomita na tangentu. Normalna jednačina :

(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0

Da biste se zagrijali, od vas se traži da sami riješite prvi primjer, a zatim pogledate rješenje. S razlogom se nadamo da ovaj zadatak neće biti „hladan tuš“ za naše čitatelje.

Primjer 0. Kreirajte jednadžbu tangente i normalnu jednačinu za graf funkcije u tački M (1, 1) .

Primjer 1. Napišite jednadžbu tangente i normalnu jednačinu za graf funkcije , ako je apscisa tangenta .

Nađimo derivaciju funkcije:

Sada imamo sve što treba zamijeniti u unosu datom u teorijskoj pomoći da se dobije jednačina tangente. Dobijamo

U ovom primjeru imali smo sreće: ispostavilo se da je nagib jednaka nuli, dakle, odvojeno svesti jednadžbu na opšti izgled nije bilo potrebno. Sada možemo kreirati normalnu jednačinu:

Na slici ispod: graf funkcije u bordo boji, tangenta Zelena boja, narandžasta normalna.

Sljedeći primjer također nije kompliciran: funkcija je, kao i u prethodnom, također polinom, ali nagib neće biti jednak nuli, pa će se dodati još jedan korak - dovođenje jednačine u opći oblik.

Primjer 2.

Rješenje. Nađimo ordinatu tangentne tačke:

Nađimo derivaciju funkcije:

.

Nađimo vrijednost derivacije u tački tangente, odnosno nagib tangente:

Sve dobijene podatke zamenimo u „praznu formulu“ i dobijemo tangentnu jednačinu:

Dovodimo jednadžbu u njen opći oblik (sakupljamo sva slova i brojeve osim nule na lijevoj strani, a ostavljamo nulu na desnoj):

Sastavljamo normalnu jednačinu:

Primjer 3. Napišite jednadžbu tangente i jednadžbu normale na graf funkcije ako je apscisa tačka tangente.

Rješenje. Nađimo ordinatu tangentne tačke:

Nađimo derivaciju funkcije:

.

Nađimo vrijednost derivacije u tački tangente, odnosno nagib tangente:

.

Pronalazimo tangentnu jednačinu:

Prije nego što dovedete jednadžbu u njen opći oblik, trebate je malo "pročešljati": pomnožite član po član sa 4. Ovo radimo i dovedemo jednačinu u njen opći oblik:

Sastavljamo normalnu jednačinu:

Primjer 4. Napišite jednadžbu tangente i jednadžbu normale na graf funkcije ako je apscisa tačka tangente.

Rješenje. Nađimo ordinatu tangentne tačke:

.

Nađimo derivaciju funkcije:

Nađimo vrijednost derivacije u tački tangente, odnosno nagib tangente:

.

Dobijamo tangentnu jednačinu:

Dovodimo jednačinu u njen opći oblik:

Sastavljamo normalnu jednačinu:

Uobičajena greška pri pisanju tangentnih i normalnih jednačina je da se ne primijeti da je funkcija data u primjeru složena i da se njen izvod izračuna kao izvod jednostavne funkcije. Sljedeći primjeri su već iz složene funkcije(odgovarajuća lekcija će se otvoriti u novom prozoru).

Primjer 5. Napišite jednadžbu tangente i jednadžbu normale na graf funkcije ako je apscisa tačka tangente.

Rješenje. Nađimo ordinatu tangentne tačke:

Pažnja! Ova funkcija- kompleksno, budući da argument tangente (2 x) je sama po sebi funkcija. Stoga derivaciju funkcije nalazimo kao derivaciju kompleksne funkcije.