UlazKako napisati decimalne razlomke. Kako pravilno čitati decimale. Završne decimale
U ovom članku ćemo razumjeti što je decimalni razlomak, koje karakteristike i svojstva ima. Idi! 🙂
Decimalni razlomak je poseban slučaj običnih razlomaka (gdje je nazivnik višekratnik 10).
Definicija
Decimale su razlomci čiji su imenioci brojevi koji se sastoje od jedan i niza nula iza njega. Odnosno, to su razlomci sa nazivnikom 10, 100, 1000 itd. Inače, decimalni razlomak se može okarakterisati kao razlomak sa nazivnikom 10 ili jednim od stepena desetice.
Primjeri razlomaka:
, ,
Decimalni razlomci se pišu drugačije od običnih razlomaka. Operacije s ovim razlomcima također se razlikuju od operacija s običnim. Pravila za operacije s njima su u velikoj mjeri slična pravilima za operacije s cijelim brojevima. To posebno objašnjava njihovu potrebu za rješavanjem praktičnih problema.
Predstavljanje razlomaka u decimalnim zapisima
Decimalni razlomak nema nazivnik; on prikazuje broj brojioca. IN opšti pogled Decimalni razlomak se piše prema sljedećoj shemi:
gdje je X cijeli broj razlomka, Y je njegov razlomak, “,” je decimalni zarez.
Za pravilnu prezentaciju običan razlomak u decimalnom obliku, mora biti ispravan, to jest, s istaknutim cijelim dijelom (ako je moguće) i brojicom koji je manji od nazivnika. Tada se u decimalnom zapisu cijeli broj upisuje prije decimalnog zareza (X), a brojnik običnog razlomka se upisuje nakon decimalnog zareza (Y).
Ako brojilac sadrži broj s manje cifara od broja nula u nazivniku, tada se u dijelu Y broj cifara koji nedostaju u decimalnom zapisu popunjava nulama ispred cifara brojilaca.
primjer: 
Ako je obični razlomak manji od 1, tj. nema cijeli broj, tada za X u decimalnom obliku upišite 0.
U razlomljeni dio (Y), nakon posljednje značajne (ne-nula) cifre, može se unijeti proizvoljan broj nula. Ovo ne utiče na vrijednost razlomka. Suprotno tome, sve nule na kraju razlomka decimale mogu se izostaviti.
Čitanje decimala
Dio X se općenito čita na sljedeći način: "X cijeli brojevi."
Y dio se čita prema broju u nazivniku. Za imenilac 10 treba da pročitate: “Y desetine”, za nazivnik 100: “Y stotinke”, za imenilac 1000: “Y hiljaditih” i tako dalje... 😉
Drugi pristup čitanju, zasnovan na brojanju broja cifara razlomka, smatra se ispravnijim. Da biste to učinili, morate razumjeti da se razlomke nalaze u zrcalnoj slici u odnosu na znamenke cijelog dijela razlomka.
Nazivi za pravilno čitanje dati su u tabeli:
Na osnovu toga, čitanje bi trebalo biti zasnovano na usklađenosti s nazivom cifre posljednje znamenke razlomka.
- 3.5 se čita kao "tri tačke pet"
- 0,016 glasi "nula tačka šesnaest hiljaditih"
Pretvaranje proizvoljnog razlomka u decimalu
Ako je nazivnik običnog razlomka 10 ili neki stepen desetice, onda se konverzija razlomka izvodi kao što je gore opisano. U drugim situacijama potrebne su dodatne transformacije.
Postoje 2 načina prevođenja.
Prvi način prijenosa
Brojilac i nazivnik moraju se pomnožiti s takvim cijelim brojem da nazivnik proizvede broj 10 ili jedan od potencija desetice. I tada je razlomak predstavljen decimalnim zapisom.
Ova metoda je primjenjiva za razlomke čiji se imenilac može proširiti samo na 2 i 5. Dakle, u prethodnom primjeru 
. Ako proširenje sadrži druge osnovne faktore (na primjer, ), tada ćete morati pribjeći 2. metodi.
Drugi način prevođenja
Druga metoda je da se brojnik podijeli sa nazivnikom u stupcu ili na kalkulatoru. Cijeli dio, ako ga ima, ne učestvuje u transformaciji.
Pravilo za dugo dijeljenje koje rezultira decimalnim razlomkom opisano je u nastavku (pogledajte Dijeljenje decimala).
Pretvaranje decimalnog razlomka u obični razlomak
Da biste to učinili, trebali biste zapisati njegov razlomak (desno od decimalnog zareza) kao brojnik, a rezultat čitanja razlomka kao odgovarajući broj u nazivniku. Zatim, ako je moguće, trebate smanjiti rezultujuću frakciju.
Konačan i beskonačan decimalni razlomak
Decimalni razlomak se naziva konačni razlomak, čiji se razlomak sastoji od konačnog broja znamenki.
Svi gornji primjeri sadrže konačne decimalne razlomke. Međutim, ne može se svaki obični razlomak predstaviti kao konačna decimala. Ako 1. metoda konverzije nije primjenjiva za dati razlomak, a 2. metoda pokazuje da se dijeljenje ne može završiti, tada se može dobiti samo beskonačan decimalni razlomak.
Nemoguće je napisati beskonačan razlomak u njegovom potpunom obliku. U nepotpunom obliku, takvi razlomci se mogu predstaviti:
- kao rezultat smanjenja na željeni broj decimalnih mjesta;
- kao periodični razlomak.
Razlomak se naziva periodičnim ako je iza decimalnog zareza moguće razlikovati niz cifara koji se beskonačno ponavlja.
Preostali razlomci se nazivaju neperiodični. Za neperiodične razlomke dozvoljen je samo 1. način predstavljanja (zaokruživanje).
Primjer periodičnog razlomka: 0,8888888... Ovdje se ponavlja broj 8, koji će se, očito, ponavljati beskonačno, jer nema razloga da se pretpostavlja drugačije. Ova cifra se zove period razlomka.
Periodični razlomci mogu biti čisti ili mješoviti. Čisti decimalni razlomak je onaj čiji period počinje odmah nakon decimalnog zareza. U mješovita frakcija postoji 1 ili više cifara ispred decimalnog zareza.
54,33333… – periodični čisti decimalni razlomak
2,5621212121… – periodična mješovita frakcija
Primjeri pisanja beskonačnih decimalnih razlomaka:
Drugi primjer pokazuje kako pravilno formatirati tačku u pisanju periodičnog razlomka.
Pretvaranje periodičnih decimalnih razlomaka u obične razlomke
Da biste čisti periodični razlomak pretvorili u običan period, upišite ga u brojilac, a u nazivnik upišite broj koji se sastoji od devetki u iznosu jednakom broju cifara u periodu.
Mješoviti periodični decimalni razlomak se prevodi na sljedeći način:
- potrebno je da formirate broj koji se sastoji od broja iza decimalne tačke pre tačke i prve tačke;
- Od rezultirajućeg broja oduzmite broj iza decimalne točke prije tačke. Rezultat će biti brojnik običnog razlomka;
- u nazivnik treba da unesete broj koji se sastoji od broja devetki jednakog broju cifara perioda, nakon čega slijede nule, čiji je broj jednak broju cifara broja iza decimalnog zareza prije 1. period.
Poređenje decimala
Decimale se u početku porede po celim delovima. Razlomak čiji je cijeli dio veći je veći.
Ako su cjelobrojni dijelovi isti, uporedite znamenke odgovarajućih znamenki razlomaka, počevši od prvog (od desetih). Ovdje vrijedi isti princip: veći razlomak je onaj sa više desetina; ako su cifre desetine jednake, upoređuju se cifre stotih dela, i tako dalje.
Zbog
, budući da sa jednakim cijelim dijelovima i jednakim desetinama u razlomku, 2. razlomak ima veću stotinu.
Sabiranje i oduzimanje decimala
Decimale se sabiraju i oduzimaju na isti način kao i cijeli brojevi tako što se odgovarajuće znamenke zapisuju jedna ispod druge. Da biste to učinili, morate imati decimalne točke jedna ispod druge. Tada će jedinice (desetice, itd.) cijelog broja, kao i desetine (stotine, itd.) razlomnog dijela, biti u skladu. Cifre koje nedostaju u razlomku su ispunjene nulama. Direktno Proces sabiranja i oduzimanja izvodi se na isti način kao i za cijele brojeve.
Množenje decimala
Da biste pomnožili decimale, morate ih napisati jednu ispod druge, poravnati sa posljednjom znamenkom i ne obraćajući pažnju na lokaciju decimalnih zareza. Zatim morate pomnožiti brojeve na isti način kao kada množite cijele brojeve. Nakon što dobijete rezultat, trebali biste ponovo izračunati broj znamenki iza decimalnog zareza u oba razlomka i odvojiti ukupan broj razlomaka u rezultirajućem broju zarezom. Ako nema dovoljno cifara, one se zamjenjuju nulama.
Množenje i dijeljenje decimala sa 10n
Ove radnje su jednostavne i svode se na pomicanje decimalne točke. P Prilikom množenja, decimalni zarez se pomiče udesno (razlomak se povećava) za broj cifara jednak broju nula u 10n, gdje je n proizvoljni cijeli broj. Odnosno, određeni broj cifara se prenosi iz razlomka u cijeli dio. Prilikom dijeljenja, u skladu s tim, zarez se pomiče ulijevo (broj se smanjuje), a neke od znamenki se prenose iz cijelog broja u razlomak. Ako nema dovoljno brojeva za prijenos, bitovi koji nedostaju se popunjavaju nulama.
Dijeljenje decimale i cijelog broja cijelim brojem i decimalom
Dijeljenje decimale cijelim brojem je slično dijeljenju dva cijela broja. Osim toga, potrebno je samo uzeti u obzir poziciju decimalnog zareza: kada uklanjate cifru mjesta iza koje slijedi zarez, morate staviti zarez iza trenutne cifre generiranog odgovora. Zatim morate nastaviti dijeljenje dok ne dobijete nulu. Ako u dividendi nema dovoljno znakova za potpuno dijeljenje, kao njih treba koristiti nule.
Slično, 2 cijela broja se dijele u stupac ako su sve znamenke dividende uklonjene, a kompletno dijeljenje još nije završeno. U ovom slučaju, nakon uklanjanja posljednje znamenke dividende, decimalni zarez se stavlja u rezultirajući odgovor, a nule se koriste kao uklonjene znamenke. One. dividenda je ovdje u suštini predstavljena kao decimalni razlomak sa nultim razlomkom.
Da biste podijelili decimalni razlomak (ili cijeli broj) decimalnim brojem, morate pomnožiti dividendu i djelitelj brojem 10 n, u kojem je broj nula jednak broju cifara nakon decimalne točke u djelitelju. Na ovaj način ćete se riješiti decimalne točke u razlomku kojim želite podijeliti. Nadalje, proces podjele se poklapa s gore opisanim.
Grafički prikaz decimalnih razlomaka
Decimalni razlomci su grafički predstavljeni pomoću koordinatne linije. Da bi se to postiglo, pojedinačni segmenti se dalje dijele na 10 jednakih dijelova, baš kao što su centimetri i milimetri istovremeno označeni na ravnalu. Ovo osigurava da se decimale prikazuju tačno i da se mogu objektivno upoređivati.
Da bi podjele na pojedinačne segmente bile identične, treba pažljivo razmotriti dužinu samog pojedinačnog segmenta. Trebao bi biti takav da se može osigurati pogodnost dodatne podjele.
frakcijski broj.
Decimalni zapis razlomka broja je skup od dvije ili više cifara od $0$ do $9$, između kojih se nalazi takozvani \textit (decimalna točka).
Primjer 1
Na primjer, $35.02$; $100.7$; $123\456.5$; $54.89$.
Krajnja lijeva cifra u decimalnom zapisu broja ne može biti nula, jedini izuzetak je kada je decimalna točka odmah iza prve cifre $0$.
Primjer 2
Na primjer, $0,357$; $0,064$.
Često se decimalni zarez zamjenjuje decimalnim zarezom. Na primjer, $35.02$; $100.7$; $123\456.5$; $54.89$.
Decimalna definicija
Definicija 1
Decimale-- ovo su razlomci koji su predstavljeni decimalnim zapisom.
Na primjer, 121,05 USD; $67.9$; $345.6700$.
Decimale se koriste za kompaktnije zapisivanje pravih razlomaka, čiji su nazivnici brojevi $10$, $100$, $1\000$, itd. i mješoviti brojevi čiji su nazivnici razlomaka brojevi $10$, $100$, $1\000$, itd.
Na primjer, obični razlomak $\frac(8)(10)$ može se napisati kao decimalni $0,8$, a mješoviti broj $405\frac(8)(100)$ može se napisati kao decimalni $405,08$.
Čitanje decimala
Decimalni razlomci, koji odgovaraju regularnim razlomcima, čitaju se isto kao i obični razlomci, samo se ispred dodaje fraza "nula cijeli broj". Na primjer, obični razlomak $\frac(25)(100)$ (čitaj “dvadeset pet stotinki”) odgovara decimalnom razlomku $0,25$ (čitaj “nulta tačka dvadeset pet stotinki”).
Decimalni razlomci koji odgovaraju mješovitim brojevima čitaju se na isti način kao i mješoviti brojevi. Na primjer, mješoviti broj $43\frac(15)(1000)$ odgovara decimalnom razlomku $43,015$ (čitaj “četrdeset tri zareze petnaest hiljaditih”).
Mjesta u decimalama
U pisanju decimalnog razlomka, značenje svake cifre zavisi od njenog položaja. One. u decimalnim razlomcima koncept se također primjenjuje kategorija.
Mjesta u decimalnim razlomcima do decimalnog zareza nazivaju se isto kao mjesta u prirodnim brojevima. Decimalna mjesta iza decimalnog zareza navedena su u tabeli:
Slika 1.
Primjer 3
Na primjer, u decimalnom razlomku $56.328$, cifra $5$ je na mjestu desetica, $6$ je na mjestu jedinica, $3$ je na mjestu desetina, $2$ je na mjestu stotinke, $8$ je na hiljaditim. mjesto.
Mjesta u decimalnim razlomcima razlikuju se po prioritetu. Kada čitate decimalni razlomak, pomaknite se s lijeva na desno - od senior rang to mlađi.
Primjer 4
Na primjer, u decimalnom razlomku $56.328$, najznačajnije (najviše) mjesto je mjesto desetica, a najniže (najniže) mjesto je mjesto hiljaditih.
Decimalni razlomak se može proširiti na znamenke slične razgradnji cifara prirodnog broja.
Primjer 5
Na primjer, podijelimo decimalni razlomak $37,851$ na znamenke:
$37,851=30+7+0,8+0,05+0,001$
Završne decimale
Definicija 2
Završne decimale nazivaju se decimalni razlomci, čiji zapisi sadrže konačan broj znakova (cifara).
Na primjer, $0.138$; $5.34$; $56.123456$; $350,972.54.
Bilo koji konačni decimalni razlomak može se pretvoriti u razlomak ili mješoviti broj.
Primjer 6
Na primjer, konačni decimalni razlomak $7,39$ odgovara razlomak broj$7\frac(39)(100)$, a konačni decimalni razlomak $0.5$ odgovara pravilnom običnom razlomku $\frac(5)(10)$ (ili bilo kojem razlomku koji mu je jednak, na primjer, $\frac (1) (2)$ ili $\frac(10)(20)$.
Pretvaranje razlomka u decimalu
Pretvaranje razlomaka sa nazivnicima $10, 100, \dots$ u decimale
Prije pretvaranja nekih pravih razlomaka u decimale, oni se prvo moraju "pripremiti". Rezultat takve pripreme trebao bi biti isti broj cifara u brojniku i isti broj nula u nazivniku.
Suština “preliminarne pripreme” pravih običnih razlomaka za pretvaranje u decimalne razlomke je dodavanje tolikog broja nula lijevo u brojiocu da ukupan broj cifara postane jednak broju nula u nazivniku.
Primjer 7
Na primjer, pripremimo razlomak $\frac(43)(1000)$ za konverziju u decimalu i dobijemo $\frac(043)(1000)$. A obični razlomak $\frac(83)(100)$ ne treba nikakvu pripremu.
Hajde da formulišemo pravilo za pretvaranje pravilnog običnog razlomka sa nazivnikom od $10$, ili $100$, ili $1\000$, $\dots$ u decimalni razlomak:
napisati $0$;
nakon njega stavite decimalni zarez;
zapišite broj iz brojila (zajedno sa dodanim nulama nakon pripreme, ako je potrebno).
Primjer 8
Pretvorite odgovarajući razlomak $\frac(23)(100)$ u decimalu.
Rješenje.
Imenilac sadrži broj $100$, koji sadrži $2$ i dvije nule. Brojač sadrži broj $23$, koji je napisan sa $2$.cifre. To znači da nema potrebe pripremati ovaj razlomak za pretvaranje u decimalu.
Hajde da napišemo $0$, stavimo decimalni zarez i zapišemo broj $23$ iz brojila. Dobijamo decimalni razlomak $0.23$.
Odgovori: $0,23$.
Primjer 9
Zapišite odgovarajući razlomak $\frac(351)(100000)$ kao decimalu.
Rješenje.
Brojač ovog razlomka sadrži $3$ znamenke, a broj nula u nazivniku je $5$, tako da ovaj obični razlomak mora biti pripremljen za konverziju u decimalu. Da biste to učinili, trebate dodati $5-3=2$ nule lijevo u brojiocu: $\frac(00351)(100000)$.
Sada možemo formirati željeni decimalni razlomak. Da biste to učinili, zapišite $0$, zatim dodajte zarez i zapišite broj iz brojilaca. Dobijamo decimalni razlomak $0,00351$.
Odgovori: $0,00351$.
Hajde da formulišemo pravilo za pretvaranje nepravilnih razlomaka sa nazivnicima $10$, $100$, $\dots$ u decimalne razlomke:
zapišite broj iz brojilaca;
Koristite decimalni zarez da odvojite onoliko znamenki na desnoj strani koliko ima nula u nazivniku originalnog razlomka.
Primjer 10
Pretvorite nepravilan razlomak $\frac(12756)(100)$ u decimalu.
Rješenje.
Zapišimo broj iz brojila $12756$, a zatim odvojimo cifre $2$ na desnoj strani decimalnim zarezom, jer nazivnik originalnog razlomka $2$ je nula. Dobijamo decimalni razlomak $127.56$.
Decimalni razlomci su isti kao i obični razlomci, ali u takozvanom decimalnom zapisu. Decimalni zapis se koristi za razlomke sa nazivnicima 10, 100, 1000, itd. Umjesto razlomaka, 1/10; 1/100; 1/1000; ... napisati 0,1; 0,01; 0,001;... .
Na primjer, 0,7 ( nula tačka sedam) je razlomak 7/10; 5.43 ( pet zarez četrdeset tri) je mješoviti razlomak 5 43/100 (ili, što je isto, nepravilan razlomak 543/100).
Može se desiti da postoji jedna ili više nula odmah iza decimalnog zareza: 1,03 je razlomak 1 3/100; 17,0087 je razlomak 17 87/10000. Opšte pravilo je li ovo: imenilac običnog razlomka mora imati onoliko nula koliko ima cifara iza decimalne zapete u decimalnom razlomku.
Decimalni razlomak može završiti jednom ili više nula. Ispada da su ove nule "ekstra" - mogu se jednostavno ukloniti: 1,30 = 1,3; 5,4600 = 5,46; 3000 = 3. Otkrijte zašto je to tako?
Decimale prirodno nastaju prilikom dijeljenja "okruglim" brojevima - 10, 100, 1000, ... Obavezno razumite sljedeće primjere:
27:10 = 27/10 = 2 7/10 = 2,7;
579:100 = 579/100 = 5 79/100 = 5,79;
33791:1000 = 33791/1000 = 33 791/1000 = 33,791;
34,9:10 = 349/10:10 = 349/100 = 3,49;
6,35:100 = 635/100:100 = 635/10000 = 0,0635.
Primećujete li ovde neki obrazac? Pokušajte to formulirati. Šta se dešava ako decimalni razlomak pomnožite sa 10, 100, 1000?
Da biste obični razlomak pretvorili u decimalu, morate ga svesti na neki "okrugli" nazivnik:
2/5 = 4/10 = 0,4; 11/20 = 55/100 = 0,55; 9/2 = 45/10 = 4,5, itd.
Dodavanje decimala je mnogo lakše od zbrajanja razlomaka. Sabiranje se vrši na isti način kao i kod običnih brojeva - prema odgovarajućim znamenkama. Prilikom dodavanja u kolonu, pojmovi moraju biti napisani tako da im zarezi budu na istoj vertikali. Zarez u zbroju će također biti na istoj vertikali. Oduzimanje decimalnih razlomaka vrši se na potpuno isti način.
Ako je pri sabiranju ili oduzimanju u jednom od razlomaka broj znamenki iza decimalne točke manji nego u drugom razlomku, na kraju ovog razlomka treba dodati potreban broj nula. Ne možete dodati ove nule, već ih jednostavno zamislite u svom umu.
Prilikom množenja decimalnih razlomaka treba ih ponovo množiti kao obične brojeve (više nije potrebno pisati zarez ispod decimalnog zareza). U rezultirajućem rezultatu morate zarezom odvojiti broj cifara jednak ukupnom broju decimalnih mjesta u oba faktora.
Prilikom dijeljenja decimalnih razlomaka, možete istovremeno pomjeriti decimalni zarez u dividendi i djelitelj udesno za isti broj mjesta: ovo neće promijeniti količnik:
2,8:1,4 = 2,8/1,4 = 28/14 = 2;
4,2:0,7 = 4,2/0,7 = 42/7 = 6;
6:1,2 = 6,0/1,2 = 60/12 = 5.
Objasnite zašto je to tako?
- Nacrtajte kvadrat 10x10. Obojite neki njegov dio jednak: a) 0,02; b) 0,7; c) 0,57; d) 0,91; e) 0,135 površine cijelog kvadrata.
- Koliko je 2,43 kvadrata? Nacrtaj ga na slici.
- Podijelite broj 37 sa 10; 795; 4; 2.3; 65.27; 0,48 i rezultat zapišite kao decimalni razlomak. Podijelite iste brojeve sa 100 i 1000.
- Pomnožite brojeve 4,6 sa 10; 6.52; 23.095; 0,01999. Pomnožite iste brojeve sa 100 i 1000.
- Predstavite decimalni dio kao razlomak i smanjite ga:
a) 0,5; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8;
b) 0,25; 0,75; 0,05; 0,35; 0,025;
c) 0,125; 0,375; 0,625; 0,875;
d) 0,44; 0,26; 0,92; 0,78; 0,666; 0,848. - Prisutno kao miješana frakcija: 1,5; 3.2; 6.6; 2.25; 10,75; 4.125; 23.005; 7.0125.
- Izrazite razlomak kao decimalu:
a) 1/2; 3/2; 7/2; 15/2; 1/5; 3/5; 4/5; 18/5;
b) 1/4; 3/4; 5/4; 19/4; 1/20; 7/20; 49/20; 1/25; 13/25; 77/25; 1/50; 17/50; 137/50;
c) 1/8; 3/8; 5/8; 7/8; 11/8; 125/8; 1/16; 5/16; 9/16; 23/16;
d) 1/500; 3/250; 71/200; 9/125; 27/2500; 1999/2000. - Naći zbir: a) 7,3+12,8; b) 65,14+49,76; c) 3.762+12.85; d) 85,4+129,756; e) 1,44+2,56.
- Zamislite jedan kao zbir dvije decimale. Pronađite još dvadeset načina da to predstavite na ovaj način.
- Pronađite razliku: a) 13,4–8,7; b) 74,52–27,04; c) 49.736–43.45; d) 127.24–93.883; e) 67–52.07; e) 35,24–34,9975.
- Pronađite proizvod: a) 7,6·3,8; b) 4,8·12,5; c) 2,39·7,4; d) 3,74·9,65.
Dešava se da za praktičnost izračunavanja trebate pretvoriti obični razlomak u decimalu i obrnuto. O tome kako to učiniti, govorit ćemo u ovom članku. Pogledajmo pravila za pretvaranje običnih razlomaka u decimale i obrnuto, a također dajemo primjere.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Razmotrit ćemo pretvaranje običnih razlomaka u decimale, slijedeći određeni niz. Prvo, pogledajmo kako se obični razlomci s nazivnikom koji je višekratnik 10 pretvaraju u decimale: 10, 100, 1000, itd. Razlomci s takvim nazivnicima su, u stvari, glomazniji zapis decimalnih razlomaka.
Zatim ćemo pogledati kako pretvoriti obične razlomke s bilo kojim nazivnikom, a ne samo višekratnicima 10, u decimalne razlomke. Imajte na umu da se pri pretvaranju običnih razlomaka u decimale ne dobijaju samo konačne decimale, već i beskonačni periodični decimalni razlomci.
Hajde da počnemo!
Prevođenje običnih razlomaka sa nazivnicima 10, 100, 1000 itd. na decimale
Prije svega, recimo da je nekim razlomcima potrebna određena priprema prije pretvaranja u decimalni oblik. Šta je? Prije broja u brojiocu potrebno je dodati toliko nula tako da broj cifara u brojiocu postane jednak broju nula u nazivniku. Na primjer, za razlomak 3100, broj 0 se mora dodati jednom lijevo od 3 u brojiocu. Razlomak 610, prema gore navedenom pravilu, ne treba modificirati.
Pogledajmo još jedan primjer, nakon čega ćemo formulirati pravilo koje je u početku posebno zgodno za korištenje, dok nema puno iskustva u pretvaranju razlomaka. Dakle, razlomak 1610000 nakon dodavanja nula u brojiocu izgledat će kao 001510000.
Kako pretvoriti običan razlomak sa nazivnikom 10, 100, 1000, itd. na decimalni?
Pravilo za pretvaranje običnih pravih razlomaka u decimale
- Zapišite 0 i stavite zarez iza njega.
- Zapisujemo broj iz brojilaca koji se dobije dodavanjem nula.
Pređimo sada na primjere.
Primjer 1: Pretvaranje razlomaka u decimale
Pretvorimo razlomak 39,100 u decimalu.
Prvo, pogledamo razlomak i vidimo da nema potrebe za obavljanjem pripremnih radnji - broj znamenki u brojniku poklapa se s brojem nula u nazivniku.
Po pravilu pišemo 0, nakon nje stavljamo decimalni zarez i upisujemo broj iz brojilaca. Dobijamo decimalni razlomak 0,39.
Pogledajmo rješenje za još jedan primjer na ovu temu.
Primjer 2. Pretvaranje razlomaka u decimale
Zapišimo razlomak 105 10000000 kao decimalu.
Broj nula u nazivniku je 7, a brojilac ima samo tri cifre. Dodajmo još 4 nule ispred broja u brojiocu:
0000105 10000000
Sada zapisujemo 0, stavljamo decimalni zarez iza njega i zapisujemo broj iz brojilaca. Dobijamo decimalni razlomak 0,0000105.
Razlomci koji se razmatraju u svim primjerima su obični pravi razlomci. Ali kako pretvoriti nepravilan razlomak u decimalu? Recimo odmah da nema potrebe za pripremom sa dodavanjem nula za takve razlomke. Hajde da formulišemo pravilo.
Pravilo za pretvaranje običnih nepravilnih razlomaka u decimale
- Zapišite broj koji se nalazi u brojiocu.
- Koristimo decimalni zarez da odvojimo onoliko znamenki na desnoj strani koliko ima nula u nazivniku originalnog razlomka.
U nastavku je primjer kako koristiti ovo pravilo.
Primjer 3. Pretvaranje razlomaka u decimale
Pretvorimo razlomak 56888038009 100000 iz običnog nepravilnog razlomka u decimalni.
Prvo, zapišimo broj iz brojilaca:
Sada, na desnoj strani, odvajamo pet cifara sa decimalnim zarezom (broj nula u nazivniku je pet). Dobijamo:
Sljedeće pitanje koje se prirodno nameće je: kako mješoviti broj pretvoriti u decimalni razlomak ako je imenilac njegovog razlomka broj 10, 100, 1000 itd. Da biste takav broj pretvorili u decimalni razlomak, možete koristiti sljedeće pravilo.
Pravilo za pretvaranje mješovitih brojeva u decimale
- Po potrebi pripremamo razlomački dio broja.
- Zapisujemo cijeli dio originalnog broja, a iza njega stavljamo zarez.
- Zapisujemo broj iz brojnika razlomka zajedno sa dodanim nulama.
Pogledajmo primjer.
Primjer 4: Pretvaranje mješovitih brojeva u decimale
Pretvorimo mješoviti broj 23 17 10000 u decimalni razlomak.
U razlomku imamo izraz 17 10000. Pripremimo ga i dodajmo još dvije nule lijevo od brojila. Dobijamo: 0017 10000.
Sada zapisujemo cijeli dio broja i stavljamo zarez iza njega: 23, . .
Nakon decimalnog zareza zapišite broj iz brojila zajedno sa nulama. Dobijamo rezultat:
23 17 10000 = 23 , 0017
Pretvaranje običnih razlomaka u konačne i beskonačne periodične razlomke
Naravno, možete pretvoriti u decimale i obične razlomke sa nazivnikom koji nije jednak 10, 100, 1000, itd.
Često se razlomak može lako svesti na novi nazivnik, a zatim koristiti pravilo iz prvog paragrafa ovog člana. Na primjer, dovoljno je pomnožiti brojilac i imenilac razlomka 25 sa 2 i dobijemo razlomak 410, koji se lako pretvara u decimalni oblik 0,4.
Međutim, ova metoda pretvaranja razlomka u decimalu ne može se uvijek koristiti. U nastavku ćemo razmotriti što učiniti ako nije moguće primijeniti razmatranu metodu.
Fundamentalno novi način pretvaranja razlomka u decimalu je dijeljenje brojnika sa nazivnikom pomoću stupca. Ova operacija je vrlo slična dijeljenju prirodnih brojeva kolonom, ali ima svoje karakteristike.
Prilikom dijeljenja, brojilac se predstavlja kao decimalni razlomak - zarez se stavlja desno od posljednje znamenke brojnika i dodaju se nule. U rezultujućem količniku, decimalni zarez se stavlja kada se završi podela celobrojnog dela brojnika. Kako tačno ova metoda funkcionira, bit će jasno nakon pogleda na primjere.
Primjer 5. Pretvaranje razlomaka u decimale
Pretvorimo obični razlomak 621 4 u decimalni oblik.
Predstavimo broj 621 iz brojila kao decimalni razlomak, dodajući nekoliko nula nakon decimalnog zareza. 621 = 621,00
Sada podijelimo 621,00 sa 4 koristeći kolonu. Prva tri koraka dijeljenja bit će ista kao kod dijeljenja prirodnih brojeva i dobićemo.
Kada dođemo do decimalnog zareza u dividendi, a ostatak je različit od nule, stavljamo decimalni zarez u količnik i nastavljamo dijeljenje, ne obraćajući više pažnje na zarez u dividendi.
Kao rezultat, dobijamo decimalni razlomak 155, 25, koji je rezultat preokretanja običnog razlomka 621 4
621 4 = 155 , 25
Pogledajmo još jedan primjer kako bismo ojačali materijal.
Primjer 6. Pretvaranje razlomaka u decimale
Obrnimo uobičajeni razlomak 21 800.
Da biste to učinili, podijelite razlomak 21.000 u stupac sa 800. Dijeljenje cijelog dijela će se završiti na prvom koraku, pa odmah nakon njega stavljamo decimalni zarez u količnik i nastavljamo dijeljenje, ne obraćajući pažnju na zarez u dividendi dok ne dobijemo ostatak jednak nuli.
Kao rezultat, dobili smo: 21,800 = 0,02625.
Ali šta ako pri dijeljenju još uvijek ne dobijemo ostatak od 0. U takvim slučajevima, dijeljenje se može nastaviti beskonačno. Međutim, počevši od određenog koraka, ostaci će se periodično ponavljati. U skladu s tim, brojevi u količniku će se ponoviti. To znači da se obični razlomak pretvara u decimalni beskonačni periodični razlomak. Ilustrirajmo to primjerom.
Primjer 7. Pretvaranje razlomaka u decimale
Pretvorimo običan razlomak 19 44 u decimalu. Da bismo to učinili, vršimo podjelu po stupcu.
Vidimo da se tokom dijeljenja ponavljaju ostaci 8 i 36. U ovom slučaju, brojevi 1 i 8 se ponavljaju u količniku. Ovo je period u decimalnom razlomku. Prilikom snimanja ovi brojevi se stavljaju u zagrade.
Dakle, originalni obični razlomak se pretvara u beskonačan periodični decimalni razlomak.
19 44 = 0 , 43 (18) .
Pogledajmo nesvodljivi obični razlomak. Kakav će oblik biti? Koji se obični razlomci pretvaraju u konačne decimale, a koji u beskonačne periodične?
Prvo, recimo da ako se razlomak može svesti na jedan od nazivnika 10, 100, 1000..., onda će imati oblik konačnog decimalnog razlomka. Da bi se razlomak sveo na jedan od ovih nazivnika, njegov nazivnik mora biti djelitelj barem jednog od brojeva 10, 100, 1000 itd. Iz pravila za razlaganje brojeva u proste činioce proizilazi da je djelitelj brojeva 10, 100, 1000 itd. mora, kada se rastavlja u proste faktore, sadržavati samo brojeve 2 i 5.
Hajde da sumiramo ono što je rečeno:
- Uobičajeni razlomak se može svesti na konačnu decimalu ako se njegov imenilac može rastaviti na proste faktore 2 i 5.
- Ako se pored brojeva 2 i 5 nalaze i drugi prosti brojevi u proširenju nazivnika, razlomak se svodi na oblik beskonačnog periodičnog decimalnog razlomka.
Dajemo primjer.
Primjer 8. Pretvaranje razlomaka u decimale
Koji od ovih razlomaka 47 20, 7 12, 21 56, 31 17 pretvara se u konačni decimalni razlomak, a koji - samo u periodični. Odgovorimo na ovo pitanje bez direktnog pretvaranja razlomka u decimalu.
Razlomak 47 20, kao što je lako vidjeti, množenjem brojnika i nazivnika sa 5 svodi se na novi imenilac 100.
47 20 = 235 100. Iz ovoga zaključujemo da se ovaj razlomak pretvara u konačni decimalni razlomak.
Rastavljanjem na faktore nazivnika razlomka 7 12 dobija se 12 = 2 · 2 · 3. Pošto je prosti faktor 3 različit od 2 i 5, ovaj razlomak se ne može predstaviti kao konačni decimalni razlomak, već će imati oblik beskonačnog periodičnog razlomka.
Razlomak 21 56, prvo, treba smanjiti. Nakon smanjenja za 7, dobijamo nesvodljivi razlomak 3 8, čiji se imenilac rastavlja na faktore da bi se dobilo 8 = 2 · 2 · 2. Dakle, to je konačni decimalni razlomak.
U slučaju razlomka 31 17, rastavljanje imenioca na faktore je sam prost broj 17. Prema tome, ovaj razlomak se može pretvoriti u beskonačan periodični decimalni razlomak.
Običan razlomak se ne može pretvoriti u beskonačan i neperiodičan decimalni razlomak
Gore smo govorili samo o konačnim i beskonačnim periodičnim razlomcima. Ali može li se bilo koji obični razlomak pretvoriti u beskonačan neperiodični razlomak?
Odgovaramo: ne!
Bitan!
Prilikom pretvaranja beskonačnog razlomka u decimalu, rezultat je ili konačna decimala ili beskonačna periodična decimala.
Ostatak dijeljenja je uvijek manji od djelitelja. Drugim riječima, prema teoremi djeljivosti, ako neke podijelimo prirodni broj brojem q, tada ostatak dijeljenja ni u kom slučaju ne može biti veći od q-1. Nakon što se podjela završi, moguća je jedna od sljedećih situacija:
- Dobijamo ostatak od 0, i tu se podjela završava.
- Dobijamo ostatak, koji se ponavlja pri sljedećem dijeljenju, što rezultira beskonačnim periodičnim razlomkom.
Ne mogu postojati nikakve druge opcije prilikom pretvaranja razlomka u decimalu. Recimo i da je dužina perioda (broj cifara) u beskonačnom periodičnom razlomku uvijek manja od broja cifara u nazivniku odgovarajućeg običnog razlomka.
Pretvaranje decimala u razlomke
Sada je vrijeme da pogledamo obrnuti proces pretvaranja decimalnog razlomka u običan razlomak. Hajde da formulišemo pravilo prevođenja koje uključuje tri faze. Kako pretvoriti decimalni razlomak u običan razlomak?
Pravilo za pretvaranje decimalnih razlomaka u obične razlomke
- U brojiocu upisujemo broj iz originalnog decimalnog razlomka, odbacujući zarez i sve nule s lijeve strane, ako ih ima.
- U nazivnik upisujemo jedan iza kojeg slijedi onoliko nula koliko ima cifara iza decimalnog zareza u originalnom decimalnom razlomku.
- Ako je potrebno, smanjite rezultirajuću običnu frakciju.
Pogledajmo primjenu ovog pravila koristeći primjere.
Primjer 8. Pretvaranje decimalnih razlomaka u obične razlomke
Zamislimo broj 3,025 kao običan razlomak.
- Sam decimalni razlomak upisujemo u brojnik, odbacujući zarez: 3025.
- U nazivnik upisujemo jedan, a iza njega tri nule - to je tačno koliko je cifara sadržano u originalnom razlomku nakon decimalnog zareza: 3025 1000.
- Rezultirajući razlomak 3025 1000 može se smanjiti za 25, što rezultira: 3025 1000 = 121 40.
Primjer 9. Pretvaranje decimalnih razlomaka u obične razlomke
Pretvorimo razlomak 0,0017 iz decimalnog u običan.
- U brojiocu upisujemo razlomak 0, 0017, odbacujući zarez i nule na lijevoj strani. Ispostaviće se da je 17.
- U imenilac upisujemo jedan, a iza njega upisujemo četiri nule: 17 10000. Ovaj razlomak je nesvodljiv.
Ako decimalni razlomak ima cijeli broj, tada se takav razlomak može odmah pretvoriti u mješoviti broj. Kako uraditi?
Hajde da formulišemo još jedno pravilo.
Pravilo za pretvaranje decimala u mješovite brojeve.
- Broj ispred decimalnog zareza u razlomku zapisuje se kao cijeli broj mješovitog broja.
- U brojiocu upisujemo broj iza decimalne točke u razlomku, odbacujući nule s lijeve strane ako ih ima.
- U nazivnik razlomka dodajemo jednu i onoliko nula koliko ima cifara iza decimalne tačke u razlomku.
Uzmimo primjer
Primjer 10. Pretvaranje decimale u mješoviti broj
Zamislimo razlomak 155, 06005 kao mješoviti broj.
- Zapisujemo broj 155 kao cijeli broj.
- U brojiocu upisujemo brojeve iza decimalnog zareza, odbacujući nulu.
- U imenilac upisujemo jedan i pet nula
Naučimo mješoviti broj: 155 6005 100000
Razlomak se može smanjiti za 5. Skratimo ga i dobijemo konačan rezultat:
155 , 06005 = 155 1201 20000
Pretvaranje beskonačnih periodičnih decimala u razlomke
Pogledajmo primjere kako pretvoriti periodične decimalne razlomke u obične razlomke. Prije nego počnemo, razjasnimo: bilo koji periodični decimalni razlomak može se pretvoriti u običan razlomak.
Najjednostavniji slučaj je period razlomka jednaka nuli. Periodični razlomak s nultom tačkom zamjenjuje se konačnim decimalnim razlomkom, a proces preokretanja takvog razlomka svodi se na preokretanje konačnog decimalnog razlomka.
Primjer 11. Pretvaranje periodičnog decimalnog razlomka u obični razlomak
Obrnimo periodični razlomak 3, 75 (0).
Eliminišući nule na desnoj strani, dobijamo konačni decimalni razlomak 3,75.
Pretvarajući ovaj razlomak u običan razlomak koristeći algoritam o kojem se govorilo u prethodnim paragrafima, dobijamo:
3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .
Šta ako je period razlomka različit od nule? Periodični dio treba posmatrati kao zbir članova geometrijske progresije, koji se smanjuje. Objasnimo ovo na primjeru:
0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .
Postoji formula za zbir članova beskonačno opadajuće geometrijske progresije. Ako je prvi član progresije b, a imenilac q takav da je 0< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .
Pogledajmo nekoliko primjera koristeći ovu formulu.
Primjer 12. Pretvaranje periodičnog decimalnog razlomka u obični razlomak
Neka nam je periodični razlomak 0, (8) i trebamo ga pretvoriti u običan.
0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .
Ovdje imamo beskonačno opadanje geometrijska progresija sa prvim članom 0, 8 i imeniocem 0, 1.
Primijenimo formulu:
0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9
Ovo je traženi obični razlomak.
Da biste konsolidirali materijal, razmotrite još jedan primjer.
Primjer 13. Pretvaranje periodičnog decimalnog razlomka u obični razlomak
Obrnimo razlomak 0, 43 (18).
Prvo zapišemo razlomak kao beskonačan zbir:
0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)
Pogledajmo pojmove u zagradama. Ova geometrijska progresija se može predstaviti na sljedeći način:
0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .
Rezultat dodajemo konačnom razlomku 0, 43 = 43 100 i dobijemo rezultat:
0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900
Nakon sabiranja ovih razlomaka i smanjenja, dobijamo konačni odgovor:
0 , 43 (18) = 19 44
Da zaključimo ovaj članak, reći ćemo da se neperiodični beskonačni decimalni razlomci ne mogu pretvoriti u obične razlomke.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
kao:
± d m … d 1 d 0 , d -1 d -2 …
gdje je ± znak razlomka: ili +, ili -,
, je decimalna točka koja služi kao separator između cijelog broja i razlomaka broja,
dk- decimalni brojevi.
U ovom slučaju, redoslijed brojeva prije decimalnog zareza (lijevo od njega) ima kraj (kao min 1 po znamenki), a nakon decimalnog zareza (desno) može biti i konačan (kao opcija, iza decimalnog zareza možda uopšte nema cifara) i beskonačno.
Decimalna vrijednost ± d m … d 1 d 0 , d -1 d -2 … je pravi broj:
koji je jednak zbiru konačnog ili beskonačnog broja članova.
Predstavljanje realnih brojeva pomoću decimalnih razlomaka je generalizacija pisanja cijelih brojeva u decimalni brojevni sistem. Decimalni prikaz cijelog broja nema cifara nakon decimalnog zareza, tako da reprezentacija izgleda ovako:
± d m … d 1 d 0 ,
A to se poklapa sa pisanjem našeg broja u decimalni brojevni sistem.
Decimala- ovo je rezultat dijeljenja 1 na 10, 100, 1000 i tako dalje. Ovi razlomci su prilično zgodni za proračune, jer zasnivaju se na istom pozicionom sistemu na kojem se zasniva brojanje i snimanje cijelih brojeva. Zahvaljujući tome, notacija i pravila za rad s decimalnim razlomcima su gotovo isti kao i za cijele brojeve.
Prilikom pisanja decimalnih razlomaka ne morate označavati imenilac, on je određen mjestom koje zauzima odgovarajuća znamenka. Prvo napišemo cijeli dio broja, a zatim stavimo decimalni zarez s desne strane. Prva cifra iza decimalnog zareza označava broj desetinki, druga - broj stotinki, treća - broj hiljaditih i tako dalje. Brojevi koji se nalaze iza decimalnog zareza su decimale.
Na primjer: 
Jedna od prednosti decimalnih razlomaka je ta što se vrlo lako mogu svesti na obične razlomke: broj iza decimalnog zareza (kod nas je 5047) je brojilac; nazivnik jednaki n-th stepen od 10, gdje n- broj decimalnih mjesta (za nas je to n=4):
Kada u decimalnom razlomku ne postoji cijeli broj, stavljamo nulu ispred decimalnog zareza:
Svojstva decimalnih razlomaka.
1. Decimala se ne mijenja kada se nule dodaju desno:
13.6 =13.6000.
2. Decimala se ne mijenja kada se uklone nule na kraju decimale:
0.00123000 = 0.00123.
Pažnja! Ne možete ukloniti nule koje se NE nalaze na kraju decimalnog razlomka!
3. Decimalni razlomak se povećava za 10, 100, 1000 i tako dalje kada pomjerimo decimalni zarez na 1, 2, 2 i tako dalje udesno:
3.675 → 367.5 (razlomak povećan sto puta).
4. Decimalni razlomak postaje deset, sto, hiljadu i tako dalje manji kada pomaknemo decimalni zarez na 1, 2, 3 i tako dalje u lijevo:
1536,78 → 1,53678 (razlomak je postao hiljadu puta manji).
Vrste decimalnih razlomaka.
Decimalni razlomci se dijele na final, beskrajno I periodične decimale.
Konačni decimalni razlomak je ovo je razlomak koji sadrži konačan broj cifara iza decimalnog zareza (ili ih uopće nema), tj. izgleda ovako:
Realan broj se može predstaviti kao konačni decimalni razlomak samo ako je ovaj broj racionalan i ako je napisan kao nesvodljivi razlomak p/q nazivnik q nema primarnih faktora osim 2 i 5.
Beskonačna decimala.
Sadrži beskonačno ponavljajuću grupu brojeva period. Period se piše u zagradama. Na primjer, 0,12345123451234512345… = 0.(12345).
Periodična decimala- ovo je beskonačan decimalni razlomak u kojem je niz cifara nakon decimalnog zareza, počevši od određenog mjesta, periodično ponavljajuća grupa cifara. Drugim riječima, periodični razlomak- decimalni razlomak koji izgleda ovako:
Takav razlomak se obično ukratko piše na sljedeći način:
Grupa brojeva b 1 … b l, koji se ponavlja, je period razlomka, broj cifara u ovoj grupi je dužina perioda.
Kada u periodičnom razlomku tačka dolazi odmah iza decimalnog zareza, to znači da je razlomak čista periodična. Kada postoje brojevi između decimalnog zareza i 1. tačke, onda je razlomak mješoviti periodični, a grupa cifara iza decimalnog zareza do 1. znamenke perioda je fraction predperiod.
Na primjer, razlomak 1,(23) = 1,2323... je čist periodičan, a razlomak 0,1(23) = 0,12323... je mješoviti periodičan.
Glavno svojstvo periodičnih razlomaka, po čemu se razlikuju od čitavog skupa decimalnih razlomaka, leži u činjenici da periodični razlomci i samo oni predstavljaju racionalne brojeve. Tačnije, dešava se sljedeće:
Bilo koji beskonačno periodični decimalni razlomak predstavlja racionalni broj. Suprotno tome, kada se racionalni broj proširi u beskonačan decimalni razlomak, to znači da će taj razlomak biti periodičan.