Dom / Terapija za ekcem/ Rješenje homogenih trigonometrijskih jednadžbi. Trigonometrijske jednadžbe - formule, rješenja, primjeri

Rješavanje homogenih trigonometrijskih jednačina. Trigonometrijske jednadžbe - formule, rješenja, primjeri

Možete naručiti detaljno rješenje tvoj zadatak!!!

Jednakost koja sadrži nepoznatu pod znakom trigonometrijske funkcije (`sin x, cos x, tan x` ili `ctg x`) naziva se trigonometrijska jednačina, njihove formule ćemo dalje razmatrati.

Najjednostavnije jednačine su `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, gdje je `x` ugao koji treba pronaći, `a` je bilo koji broj. Zapišimo korijenske formule za svaku od njih.

1. Jednačina `sin x=a`.

Za `|a|>1` nema rješenja.

Kada `|a| \leq 1` ima beskonačan broj rješenja.

Korijenska formula: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Jednačina `cos x=a`

Za `|a|>1` - kao iu slučaju sinusa, nema rješenja među realnim brojevima.

Kada `|a| \leq 1` ima beskonačan broj rješenja.

Formula korijena: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Posebni slučajevi za sinus i kosinus u grafovima.

3. Jednačina `tg x=a`

Ima beskonačan broj rješenja za bilo koju vrijednost `a`.

Formula korijena: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Jednačina `ctg x=a`

Također ima beskonačan broj rješenja za bilo koje vrijednosti `a`.

Formula korijena: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formule za korijene trigonometrijskih jednadžbi u tabeli

za sinus:
za kosinus:
Za tangentu i kotangens:
Formule za rješavanje jednadžbi koje sadrže inverzne trigonometrijske funkcije:

Metode rješavanja trigonometrijskih jednačina

Rješavanje bilo koje trigonometrijske jednadžbe sastoji se od dvije faze:

uz pomoć transformacije u najjednostavnije;
riješiti najjednostavniju jednačinu dobivenu korištenjem korijenskih formula i tablica koje su gore napisane.

Pogledajmo glavne metode rješenja koristeći primjere.

Algebarska metoda.

Ova metoda uključuje zamjenu varijable i zamjenu u jednakost.

Primjer. Riješite jednačinu: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

napravite zamjenu: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, zatim `2y^2-3y+1=0`,

nalazimo korijene: `y_1=1, y_2=1/2`, iz čega slijede dva slučaja:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Odgovor: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizacija.

Primjer. Riješite jednačinu: `sin x+cos x=1`.

Rješenje. Pomjerimo sve članove jednakosti ulijevo: `sin x+cos x-1=0`. Koristeći , transformiramo i faktoriziramo lijevu stranu:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

`sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
`cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Odgovor: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Redukcija na homogenu jednačinu

Prvo, trebate svesti ovu trigonometrijsku jednačinu na jedan od dva oblika:

`a sin x+b cos x=0` (homogena jednačina prvog stepena) ili `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogena jednačina drugog stepena).

Zatim podijelite oba dijela sa `cos x \ne 0` - za prvi slučaj, i sa `cos^2 x \ne 0` - za drugi. Dobijamo jednadžbe za `tg x`: `a tg x+b=0` i `a tg^2 x + b tg x +c =0`, koje treba riješiti poznatim metodama.

Primjer. Riješite jednačinu: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Rješenje. Zapišimo desnu stranu kao `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Ovo je homogena trigonometrijska jednadžba drugog stepena, njezinu lijevu i desnu stranu podijelimo sa `cos^2 x \ne 0`, dobijamo:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Hajde da uvedemo zamjenu `tg x=t`, što rezultira `t^2 + t - 2=0`. Korijeni ove jednadžbe su `t_1=-2` i `t_2=1`. onda:

`tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
`tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Odgovori. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Prelazak na pola ugla

Primjer. Riješite jednačinu: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Rješenje. Primijenimo formule dvostrukog ugla, što rezultira: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Primjenom algebarske metode koja je gore opisana dobijamo:

`tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \u Z`,
`tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \u Z`.

Odgovori. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \u Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \u Z`.

Uvođenje pomoćnog ugla

U trigonometrijskoj jednadžbi `a sin x + b cos x =c`, gdje su a,b,c koeficijenti, a x je varijabla, podijelite obje strane sa `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Koeficijenti na lijevoj strani imaju svojstva sinusa i kosinusa, naime zbir njihovih kvadrata je jednak 1 i njihovi moduli nisu veći od 1. Označimo ih na sljedeći način: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, onda:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Pogledajmo pobliže sljedeći primjer:

Primjer. Riješite jednačinu: `3 sin x+4 cos x=2`.

Rješenje. Podijelimo obje strane jednakosti sa `sqrt (3^2+4^2)`, dobićemo:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Označimo `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Pošto `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, onda uzimamo `\varphi=arcsin 4/5` kao pomoćni ugao. Zatim zapisujemo našu jednakost u obliku:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Primjenjujući formulu za zbir uglova za sinus, zapisujemo našu jednakost u sljedećem obliku:

`grijeh (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Odgovori. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Frakcionalne racionalne trigonometrijske jednadžbe

To su jednakosti sa razlomcima čiji brojnici i nazivnici sadrže trigonometrijske funkcije.

Primjer. Riješite jednačinu. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Rješenje. Pomnožite i podijelite desnu stranu jednakosti sa `(1+cos x)`. Kao rezultat dobijamo:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

S obzirom da imenilac ne može biti jednak nuli, dobijamo `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Izjednačimo brojilac razlomka sa nulom: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Tada je `sin x=0` ili `1-sin x=0`.

`sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
`1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

S obzirom da je ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, rješenja su `x=2\pi n, n \in Z` i `x=\pi /2+2\pi n` , `n \u Z`.

Odgovori. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometrija, a posebno trigonometrijske jednadžbe, koriste se u gotovo svim područjima geometrije, fizike i inženjerstva. Učenje počinje u 10. razredu, uvijek postoje zadaci za Jedinstveni državni ispit, pa pokušajte zapamtiti sve formule trigonometrijskih jednadžbi - one će vam sigurno biti korisne!

Međutim, ne morate ih čak ni zapamtiti, najvažnije je razumjeti suštinu i moći je izvući. Nije tako teško kao što se čini. Uvjerite se sami gledajući video.

Učitelj: Sinitsina S.I.

MBOU Srednja škola br. 20 nazvana po N.I. Milevskom

Tema: Homogene trigonometrijske jednadžbe (10. razred)

Ciljevi: Upoznati pojam homogenih trigonometrijskih jednačina I i II stepena;

Formulirati i izraditi algoritam za rješavanje homogenih trigonometrijskih problema

jednačine stepena I i II;

Ojačati vještine rješavanja svih vrsta trigonometrijskih jednačina kroz

razvoj i unapređenje vještina primjene postojećih znanja u modificiranom

situacije, kroz sposobnost izvođenja zaključaka i generalizacije

Usađivanje urednosti i kulture ponašanja kod učenika.

Tip lekcije: lekcija formiranja novih znanja.

Oprema: kompjuter, multimedijalni projektor, platno, tabla, prezentacija

Tokom nastave

I. Organizacioni momenat

Pozdravljanje učenika, mobiliziranje pažnje.

II. Ažuriranje referentnog znanja (Zadaća provjeravaju konsultanti prije lekcije. Nastavnik sumira domaći zadatak.)

Učitelj: Nastavljamo s proučavanjem teme „Trigonometrijske jednačine“. Danas ćemo vas u lekciji upoznati s još jednom vrstom trigonometrijskih jednadžbi i metodama za njihovo rješavanje, te ćemo stoga ponoviti ono što smo naučili. Kod rješavanja svih vrsta trigonometrijskih jednadžbi one se svode na rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi.

Usmeni rad

Koju jednačinu nazivamo trigonometrijskom?
Imenujte algoritam za rješavanje jednadžbe cos t = a
Imenujte algoritam za rješavanje jednačine sin t = a

III. Motivacija za učenje.

Učitelj: Moramo raditi na rješavanju ukrštenice. Nakon što ga riješimo, saznat ćemo naziv nove vrste jednadžbi koje ćemo naučiti rješavati danas na času.

Pitanja se projektuju na tablu. Nakon što riješe ukrštenicu, djeca će pročitati riječ „homogena“.

1.Vrijednost varijable koja čini jednačinu istinitom? (korijen)

2.Jedinica uglova? (radijan)

3.Numerički faktor u proizvodu? (Koeficijent)

4. Grana matematike koja proučava trigonometrijske funkcije? (trigonometrija)

5. Koji je matematički model potreban za uvod trigonometrijske funkcije? (Krug)

6. Koja je trigonometrijska funkcija parna? (Kosinus)

7. Kako se zove istinska jednakost? (Identitet)

8. Jednakost sa varijablom? (jednadžbe)

9. Jednačine koje imaju iste korijene? (ekvivalentno)

10. Koliko korijena ima jednačina? (rješenje)

IV. Objašnjenje nove teme

Učitelj: Tema lekcije je „Homogene trigonometrijske jednačine“.

Zapišimo temu lekcije u svesku. Homogene trigonometrijske jednačine su prvog i drugog stepena.

Zapišimo definiciju homogene jednačine prvog stepena. Prikazujem primjer rješavanja ove vrste jednadžbe, kreirate algoritam za rješavanje homogene trigonometrijske jednačine prvog stepena.

Jednačina oblika a sinx + b cosx = 0 naziva se homogena trigonometrijska jednačina prvog stepena.

Razmotrimo rješavanje jednadžbe kada su koeficijenti a i b različiti od 0.

Primjer 1: 2sinx - 3cosx = 0

Podijelimo obje strane člana po članu sa cosx, dobivamo

2sinx/ cosx - 3cosx/ cosx = 0

2 tg x-3 =0, tg x =3/2, x= arctan3/2 + πn, nê Z,

Pažnja! Možete dijeliti istim izrazom samo ako se ovaj izraz nigdje ne pretvara u 0. Hajde da analiziramo. Ako je kosinus jednak 0, tada da bi se cijeli izraz pretvorio u 0, sinus također mora biti jednak 0 (uzimamo u obzir da su koeficijenti različiti od 0). Ali znamo da sinus i kosinus nestaju na razne tačke. Stoga se takva operacija može izvesti prilikom rješavanja ove vrste jednadžbi.

Jednačina oblika a sin mx + b cos mx = 0 naziva se i homogena trigonometrijska jednačina prvog stepena i također se rješava dijeljenjem obje strane jednačine sa cos mx.

Jednačina oblika a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0 naziva se homogena trigonometrijska jednačina drugog stepena.

Primjer2: sin 2 x – 3 sinx cosx +2 cos 2 x = 0

Koeficijent a se razlikuje od 0 i stoga je, kao u prethodnoj jednadžbi, cosx 0 i stoga možete koristiti metodu dijeljenja obje strane jednačine sa cos 2 x.

Dobijamo tg 2 x – 3 tgx +2 = 0

Rješavamo uvođenjem nove varijable neka je tgx = a, tada dobijamo jednačinu

a 2 -3 a +2 = 0 a 1 = 1 a 2 = 2

Nazad na zamjenu

tgx =1, x = ¼π+ πn, nê Z tgx = 2, x = arktan 2 + πn, nê Z

Odgovor: x = ¼π + πn, nê Z, x = arktan 2 + πn, nê Z

Ako je koeficijent a = 0, onda jednačina ima oblik –3sinx cosx + 2cos 2 x = 0, rješavamo je tako što ćemo zajednički faktor – cosx izvaditi iz zagrada: – cosx (3 sinx – 2cosx) = 0,

cosx = 0 ili 3sinx – 2cosx = 0. Druga jednačina je homogena jednačina prvog stepena.

Ako je koeficijent c = 0, onda će jednačina dobiti oblik sin 2 x -3sinx cosx = 0, rješavamo je tako što ćemo zajednički faktor sinx izvaditi iz zagrada: sinx (sinx -3 cosx) = 0,

sinx = 0 ili sinx -3 cosx = 0. Druga jednačina je homogena jednačina prvog stepena.

Algoritam za rješavanje homogene trigonometrijske jednadžbe drugog stepena:

1. Pogledajte da li jednačina sadrži pojam a sin 2 x.

2. Ako je pojam asin 2 x sadržan u jednačini (tj. a 0), tada se jednačina rješava dijeljenjem

obje strane jednadžbe na cos 2 x i naknadno uvođenje nove varijable a = tgx

3. Ako izraz asin 2 x nije sadržan u jednačini (tj. a = 0), tada se jednačina rješava faktorizacijom: cosx se vadi iz zagrada.

Homogene jednadžbe vrsta a sin 2 mx + b sin mx cos mx + c cos 2 mx = 0 reseno na isti nacin

V. Usvajanje novih znanja

Da li su ove jednačine homogene?

sin x = 2 cos x
sin 5x + cos 5x = 0
sin 3x - cos 3x = 2
sin 2 8x – 5 sin8x cos8x +2 cos 2 8x =0

VI. Minut fizičkog vaspitanja

VII. Formiranje vještina rješavanja homogenih trigonometrijskih jednačina

Otvorite knjige zadataka str 47 br. 18.10 (a), br. 18.11 (a, b), 18.12 (d)

VIII. samostalan rad ( učenici biraju diferencirane zadatke prema dvije opcije)

Opcija 1 Opcija 2

1) sinx + 2cosx = 0. 1) sinx - 4cosx = 0.

2) sin 2 x + 2sinx cosx -3 cos 2 x = 0 2) sin 2 x – 4 sinx cosx +3 cos 2 x = 0

3) 2sin 2 2x – 5 sin2x cos2x +2 cos 2 2x = 0 3) 3sin 2 3x +10 sin3x cos3x +3 cos 2 3x = 0

Tačni odgovori se projektuju na tabli.

IX. Sumiranje lekcije, ocjenjivanje

O kojoj vrsti trigonometrijskih jednačina smo učili na času?

Koje jednačine nazivamo homogenim?

Formulisati algoritme za rešavanje homogenih trigonometrijskih jednačina prvog i drugog stepena.

X. Domaći zadatak: Sastaviti i rešiti 2 homogene jednačine prvog stepena i 1 homogenu jednačinu drugog stepena

Tema lekcije: "Homogene trigonometrijske jednadžbe"

(10. razred)

Cilj: uvesti pojam homogenih trigonometrijskih jednačina I i II stepena; formulisati i izraditi algoritam za rešavanje homogenih trigonometrijskih jednačina I i II stepena; naučiti učenike da rješavaju homogene trigonometrijske jednačine I i II stepena; razviti sposobnost prepoznavanja obrazaca i generalizacije; stimulisati interesovanje za predmet, razvijati osećaj solidarnosti i zdrave konkurencije.

Vrsta lekcije: lekcija u formiranju novih znanja.

Forma: rad u grupama.

Oprema: kompjuter, multimedijalna instalacija

Tokom nastave

Organiziranje vremena

Pozdravljanje učenika, mobiliziranje pažnje.

Na času je sistem ocenjivanja znanja (nastavnik objašnjava sistem ocenjivanja znanja, popunjavajući ocenjivački list od strane nezavisnog stručnjaka koji nastavnik bira iz redova učenika). Lekciju prati prezentacija. .

Ažuriranje osnovnih znanja.

Domaće zadaće provjeravaju i ocjenjuju nezavisni stručnjak i konsultanti prije časa i popunjava se bodovni list.

Nastavnik sumira domaći zadatak.

Učitelj: Nastavljamo s proučavanjem teme "Trigonometrijske jednadžbe". Danas ćemo vas u lekciji upoznati s još jednom vrstom trigonometrijskih jednadžbi i metodama za njihovo rješavanje, te ćemo stoga ponoviti ono što smo naučili. Kod rješavanja svih vrsta trigonometrijskih jednadžbi one se svode na rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi.

Provjerava se individualna domaća zadaća urađena u grupama. Odbrana prezentacije “Rješenja najjednostavnijih trigonometrijskih jednačina”

(Rad grupe ocjenjuje nezavisni stručnjak)

Motivacija za učenje.

Učitelj: Imamo posla da riješimo ukrštenicu. Nakon što ga riješimo, saznat ćemo naziv nove vrste jednadžbi koje ćemo naučiti rješavati danas na času.

Pitanja se projektuju na tablu. Učenici pogađaju, a nezavisni stručnjak upisuje bodove učenika koji su odgovorili u zapisnik.

Nakon što riješe ukrštenicu, djeca će pročitati riječ „homogena“.

Usvajanje novih znanja.

Učitelj: Tema lekcije je "Homogene trigonometrijske jednadžbe."

Zapišimo temu lekcije u svesku. Homogene trigonometrijske jednačine su prvog i drugog stepena.

Zapišimo definiciju homogene jednačine prvog stepena. Prikazujem primjer rješavanja ove vrste jednadžbe, kreirate algoritam za rješavanje homogene trigonometrijske jednačine prvog stepena.

Jednačina oblika A sinx + b cosx = 0 naziva se homogena trigonometrijska jednačina prvog stepena.

Razmotrimo rješenje jednačine kada su koeficijenti A I V razlikuju se od 0.

primjer: sinx + cosx = 0

R dijeleći obje strane člana jednadžbe sa cosx, dobijamo

Pažnja! Možete podijeliti sa 0 samo ako se ovaj izraz nigdje ne pretvori u 0. Hajde da analiziramo. Ako je kosinus jednak 0, tada će i sinus biti jednak 0, s obzirom da su koeficijenti različiti od 0, ali znamo da sinus i kosinus idu na nulu u različitim tačkama. Stoga se ova operacija može izvesti prilikom rješavanja ove vrste jednadžbe.

Algoritam za rješavanje homogene trigonometrijske jednadžbe prvog stepena: dijeljenje obje strane jednačine sa cosx, cosx 0

Jednačina oblika A sin mx +b cos mx = 0 naziva se i homogena trigonometrijska jednačina prvog stepena i također rješava podjelu obje strane jednačine kosinusom mx.

Jednačina oblika a grijeh 2 x+b sinx cosx +c cos2x = 0 naziva se homogena trigonometrijska jednačina drugog stepena.

Primjer : grijeh 2 x + 2sinx cosx – 3cos 2 x = 0

Koeficijent a se razlikuje od 0 i stoga, kao i prethodna jednadžba, cosx nije jednak 0, te stoga možete koristiti metodu dijeljenja obje strane jednadžbe sa cos 2 x.

Dobijamo tg 2 x + 2tgx – 3 = 0

Rješavamo uvođenjem nove varijable neka je tgx = a, tada dobijamo jednačinu

a 2 + 2a – 3 = 0

D = 4 – 4 (–3) = 16

a 1 = 1 a 2 = –3

Nazad na zamjenu

odgovor:

Ako je koeficijent a = 0, onda će jednačina dobiti oblik 2sinx cosx – 3cos2x = 0, rješavamo je tako što ćemo zajednički faktor cosx izvaditi iz zagrada. Ako je koeficijent c = 0, onda jednačina ima oblik sin2x +2sinx cosx = 0, rješavamo je tako što ćemo zajednički faktor sinx izvaditi iz zagrada. Algoritam za rješavanje homogene trigonometrijske jednadžbe prvog stepena:

Pogledajte da li jednačina sadrži asin2 x član.

Ako je izraz asin2 x sadržan u jednadžbi (tj. a 0), tada se jednačina rješava dijeljenjem obje strane jednadžbe sa cos2x, a zatim uvođenjem nove varijable.

Ako pojam asin2 x nije sadržan u jednačini (tj. a = 0), tada se jednačina rješava faktorizacijom: cosx se vadi iz zagrada. Homogene jednadžbe oblika a sin2m x + b sin mx cos mx + c cos2mx = 0 rješavaju se na isti način

Algoritam za rješavanje homogenih trigonometrijskih jednačina napisan je u udžbeniku na strani 102.

Minut fizičkog vaspitanja

Formiranje vještina rješavanja homogenih trigonometrijskih jednačina

Otvaranje knjiga zadataka stranica 53

1. i 2. grupa odlučuju br. 361-v

3. i 4. grupa odlučuju br. 363-v

Pokažite rješenje na ploči, objasnite, dopunite. Nezavisni stručnjak ocjenjuje.

Primjeri rješavanja iz zadataka br. 361-v
sinx – 3cosx = 0
podijelimo obje strane jednačine sa cosx 0, dobijamo

br. 363-v
sin2x + sinxcosx – 2cos2x = 0
podijelimo obje strane jednačine sa cos2x, dobićemo tg2x + tanx – 2 = 0

riješiti uvođenjem nove varijable
neka je tgx = a, onda dobijamo jednačinu
a2 + a – 2 = 0
D = 9
a1 = 1 a2 = –2
nazad na zamenu

Samostalan rad.

Riješite jednačine.

2 cosx – 2 = 0

2cos2x – 3cosx +1 = 0

3 sin2x + sinx cosx – 2 cos2x = 0

Po završetku samostalan rad promjena posla i međusobna provjera. Tačni odgovori se projektuju na tabli.

Zatim ga predaju nezavisnom stručnjaku.

Uradi sam rešenje

Sumiranje lekcije.

O kojoj vrsti trigonometrijskih jednačina smo učili na času?

Algoritam za rješavanje trigonometrijskih jednačina prvog i drugog stepena.

Zadaća: § 20.3 pročitano. br. 361(d), 363(b), dodatna poteškoća br. 380(a).

Ukrštenica.

Ako unesete ispravne riječi, dobit ćete naziv jedne od vrsta trigonometrijskih jednačina.

Vrijednost varijable koja čini jednadžbu istinitom? (korijen)

Mjerna jedinica za uglove? (radijan)

Numerički faktor u proizvodu? (koeficijent)

Grana matematike koja proučava trigonometrijske funkcije? (trigonometrija)

Koji je matematički model potreban za uvođenje trigonometrijskih funkcija? (Krug)

Koja je trigonometrijska funkcija parna? (kosinus)

Kako se zove istinska jednakost? (Identitet)

Jednakost sa varijablom? (jednačina)

Jednačine koje imaju iste korijene? (ekvivalentno)

Skup korijena jednadžbe ? (rješenje)

Evaluacijski papir

№
n\n

Prezime, ime nastavnika

Zadaća

Prezentacija

Kognitivna aktivnost
studiranje

Rješavanje jednačina

Nezavisna
Posao

Domaća zadaća – 12 bodova (za domaći zadatak su zadate 3 jednačine 4 x 3 = 12)

Prezentacija – 1 bod

Aktivnost učenika – 1 odgovor – 1 bod (maksimalno 4 boda)

Rješavanje jednadžbi 1 bod

Samostalan rad – 4 boda

Grupna ocjena:

“5” – 22 boda ili više
“4” – 18 – 21 poen
“3” – 12 – 17 bodova

Uz ovu video lekciju učenici će moći da proučavaju temu homogenih trigonometrijskih jednačina.

Dajemo definicije:

1) homogena trigonometrijska jednačina prvog stepena izgleda kao sin x + b cos x = 0;

2) homogena trigonometrijska jednačina drugog stepena izgleda kao sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0.

Razmotrimo jednačinu a sin x + b cos x = 0. Ako je a jednako nuli, onda će jednačina izgledati kao b cos x = 0; ako je b jednako nuli, tada će jednadžba izgledati kao sin x = 0. Ovo su jednačine koje smo nazvali najjednostavnijim i riješene su ranije u prethodnim temama.

Sada razmotrite opciju kada a i b nisu jednaki nuli. Dijeljenjem dijelova jednadžbe kosinusom x vršimo transformaciju. Dobijamo tg x + b = 0, tada će tg x biti jednako - b/a.

Iz navedenog proizilazi da je jednačina a sin mx + b cos mx = 0 homogena trigonometrijska jednačina prvog stepena. Da biste riješili jednačinu, podijelite njene dijelove sa cos mx.

Pogledajmo primjer 1. Riješite 7 sin (x/2) - 5 cos (x/2) = 0. Prvo podijelite dijelove jednačine kosinusom (x/2). Znajući da je sinus podijeljen kosinusom tangentan, dobijamo 7 tan (x/2) - 5 = 0. Transformirajući izraz, nalazimo da je vrijednost tan (x/2) jednaka 5/7. Rješenje ove jednadžbe ima oblik x = arctan a + πn, u našem slučaju x = 2 arctan (5/7) + 2πn.

Razmotrimo jednačinu a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0:

1) kod a jednak nuli jednačina će izgledati kao b sin x cos x + c cos 2 x = 0. Transformacijom dobijamo izraz cos x (b sin x + c cos x) = 0 i prelazimo na rješavanje dvije jednačine. Nakon podjele dijelova jednačine kosinusom x, dobijamo b tg x + c = 0, što znači tg x = - c/b. Znajući da je x = arctan a + πn, tada će rješenje u ovom slučaju biti x = arctan (- s/b) + πn.

2) ako a nije jednako nuli, onda dijeljenjem dijelova jednadžbe sa kosinusom na kvadrat dobijamo jednačinu koja sadrži tangentu, koja će biti kvadratna. Ova jednačina se može riješiti uvođenjem nove varijable.

3) kada je c jednako nuli, jednačina će dobiti oblik a sin 2 x + b sin x cos x = 0. Ova jednačina se može riješiti tako da se sinus x izvadi iz zagrade.

1. vidjeti da li jednačina sadrži sin 2 x;

2. Ako jednačina sadrži pojam a sin 2 x, onda se jednačina može riješiti dijeljenjem obje strane sa kosinusom na kvadrat, a zatim uvođenjem nove varijable.

3. Ako jednačina ne sadrži sin 2 x, onda se jednačina može riješiti tako da se cosx izvadi iz zagrada.

Razmotrimo primjer 2. Uzmimo kosinus iz zagrada i dobijemo dvije jednačine. Koren prve jednadžbe je x = π/2 + πn. Da bismo riješili drugu jednačinu, podijelimo dijelove ove jednačine kosinusom x i transformacijom dobijemo x = π/3 + πn. Odgovor: x = π/2 + πn i x = π/3 + πn.

Riješimo primjer 3, jednadžbu oblika 3 sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + 3 cos 2 2x = 2 i pronađemo njene korijene, koji pripadaju segmentu od - π do π. Jer Ova jednadžba je nehomogena, potrebno ju je dovesti u homogeni oblik. Koristeći formulu sin 2 x + cos 2 x = 1, dobijamo jednačinu sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + cos 2 2x = 0. Podijelimo sve dijelove jednačine sa cos 2 x, dobićemo tg 2 2x + 2tg 2x + 1 = 0 Unosom nove varijable z = tan 2x rješavamo jednačinu čiji je korijen z = 1. Tada je tan 2x = 1, što implicira da je x = π/8 + (πn)/2. Jer prema uslovima zadatka, potrebno je pronaći korijene koji pripadaju segmentu od - π do π, rješenje će imati oblik - π< x <π. Подставляя найденное значение x в данное выражение и преобразовывая его, получим - 2,25 < n < 1,75. Т.к. n - это целые числа, то решению уравнения удовлетворяют значения n: - 2; - 1; 0; 1. При этих значениях n получим корни решения исходного уравнения: x = (- 7π)/8, x = (- 3π)/8, x =π/8, x = 5π/8.

DEKODIRANJE TEKSTA:

Homogene trigonometrijske jednadžbe

Danas ćemo pogledati kako se rješavaju "Homogene trigonometrijske jednačine". Ovo su jednadžbe posebnog tipa.

Hajde da se upoznamo sa definicijom.

Jednačina oblika i sin x+bcosx = 0 (a sinus x plus kosinus x je jednak nuli) naziva se homogena trigonometrijska jednačina prvog stepena;

jednačina oblika i sin 2 x+bsin xcosx+scos 2 x= 0 (a sinus kvadrat x plus be sinus x kosinus x plus se kosinus kvadrat x jednak je nuli) naziva se homogena trigonometrijska jednačina drugog stepena.

Ako a=0, tada jednačina poprima oblik bcosx = 0.

Ako b = 0 , onda dobijamo i sin x= 0.

Ove jednadžbe su elementarne trigonometrijske, a o njihovom rješenju smo govorili u našim prethodnim temama

Hajde da razmotrimo slučaj kada oba koeficijenta nisu jednaka nuli. Podijelimo obje strane jednačine Agrijehx+ bcosx = 0 član po član cosx.

To možemo učiniti jer kosinus od x nije nula. Uostalom, ako cosx = 0 , zatim jednačina Agrijehx+ bcosx = 0 poprimiće formu Agrijehx = 0 , A≠ 0, dakle grijehx = 0 . Što je nemoguće, jer prema osnovnom trigonometrijskom identitetu sin 2 x+cos 2 x=1 .

Dijeljenje obje strane jednačine Agrijehx+ bcosx = 0 član po član cosx, dobijamo: + =0

Izvršimo transformacije:

1. Pošto = tg x, onda =i tg x

2 smanjiti za cosx, Onda

Tako dobijamo sledeći izraz i tg x + b =0.

Izvršimo transformaciju:

1.premjestiti b na desnu stranu izraza sa suprotnim predznakom

i tg x =- b

2. Oslobodimo se množitelja i dijeljenje obje strane jednačine sa a

tan x= -.

Zaključak: Jednačina oblika kao umx+bcosmx = 0 (a sinus em x plus be kosinus em x jednak je nuli) naziva se i homogena trigonometrijska jednačina prvog stepena. Da biste to riješili, podijelite obje strane sa cosmx.

PRIMJER 1. Riješite jednačinu 7 sin - 5 cos = 0 (sedam sinus x preko dva minus pet kosinus x preko dva jednako je nuli)

Rješenje. Podijelimo obje strane člana jednadžbe sa cos, dobivamo

1. = 7 tan (pošto je omjer sinusa i kosinusa tangenta, tada je sedam sinusa x sa dva podijeljeno kosinusom x sa dva jednako 7 tan x sa dva)

2. -5 = -5 (sa cos skraćenicom)

Na ovaj način smo dobili jednačinu

7tg - 5 = 0, Hajde da transformišemo izraz, pomerimo minus pet na desnu stranu, menjajući predznak.

Sveli smo jednačinu na oblik tg t = a, gdje je t=, a =. I pošto ova jednačina ima rješenje za bilo koju vrijednost A a ova rješenja imaju oblik

x = arctan a + πn, tada će rješenje naše jednadžbe imati oblik:

Arctg + πn, pronađite x

x=2 arktan + 2πn.

Odgovor: x=2 arktan + 2πn.

Pređimo na homogenu trigonometrijsku jednačinu drugog stepena

Asin 2 x+b sin x cos x +Withcos 2 x= 0.

Razmotrimo nekoliko slučajeva.

I. Ako a=0, tada jednačina poprima oblik bgrijehxcosx+scos 2 x= 0.

Prilikom rješavanja e Zatim koristimo metodu faktorizacije jednadžbi. Izvadićemo ga cosx izvan zagrade i dobijamo: cosx(bgrijehx+scosx)= 0 . Gdje cosx= 0 ili

b sin x +Withcos x= 0. I već znamo kako riješiti ove jednačine.

Podijelimo obje strane člana jednadžbe sa cosh, dobijamo

1 (pošto je omjer sinusa i kosinusa tangenta).

Tako dobijamo jednačinu: b tg x+c=0

Sveli smo jednačinu na oblik tg t = a, gdje je t= x, a =. I pošto ova jednačina ima rješenje za bilo koju vrijednost A a ova rješenja imaju oblik

x = arctan a + πn, tada će rješenje naše jednadžbe biti:

x = arktan + πn, .

II. Ako a≠0, tada dijelimo obje strane jednadžbe član po član na cos 2 x.

(Argumentirajući na sličan način, kao u slučaju homogene trigonometrijske jednačine prvog stepena, kosinus x ne može ići na nulu).

III. Ako c=0, tada jednačina poprima oblik Agrijeh 2 x+ bgrijehxcosx= 0. Ova jednačina se može riješiti metodom faktorizacije (izvlačimo grijehx izvan zagrade).

To znači da prilikom rješavanja jednačine Agrijeh 2 x+ bgrijehxcosx+scos 2 x= 0 možete pratiti algoritam:

PRIMJER 2. Riješite jednačinu sinxcosx - cos 2 x= 0 (sinus x puta kosinus x minus korijen tri puta kosinus na kvadrat x jednak je nuli).

Rješenje. Hajde da ga faktorizujemo (izbacimo cosx iz zagrada). Dobijamo

cos x(sin x - cos x)= 0, tj. cos x=0 ili sin x - cos x= 0.

Odgovor: x =+ πn, x= + πn.

PRIMJER 3. Riješite jednačinu 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 (tri sinus na kvadrat dva x minus dvostruki proizvod sinusa dva x puta kosinus dva x plus tri kosinus na kvadrat dva x) i pronađite njezine korijene koji pripadaju interval (- π; π).

Rješenje. Ova jednadžba nije homogena, pa napravimo neke transformacije. Broj 2 koji se nalazi na desnoj strani jednačine zamjenjujemo proizvodom 2 1

Pošto je po glavnom trigonometrijskom identitetu sin 2 x + cos 2 x =1, onda

2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = otvaranjem zagrada dobijamo: 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) =2 sin 2 x + 2 cos 2 x

To znači da će jednačina 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 imati oblik:

3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x - 2 sin 2 x - 2 cos 2 x=0,

sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +cos 2 2x =0.

Dobili smo homogenu trigonometrijsku jednačinu drugog stepena. Primijenimo metodu dijeljenja po član sa cos 2 2x:

tg 2 2x - 2tg 2x + 1 = 0.

Hajde da uvedemo novu varijablu z= tan2x.

Imamo z 2 - 2 z + 1 = 0. Ovo je kvadratna jednadžba. Uočivši skraćenu formulu množenja na lijevoj strani - kvadrat razlike (), dobijamo (z - 1) 2 = 0, tj. z = 1. Vratimo se na obrnutu zamjenu:

Sveli smo jednačinu na oblik tg t = a, gdje je t= 2x, a =1. I pošto ova jednačina ima rješenje za bilo koju vrijednost A a ova rješenja imaju oblik

x = arctan x a + πn, tada će rješenje naše jednadžbe biti:

2h= arctan1 + πn,

x = + , (x je jednako zbroju pi puta osam i pi en puta dva).

Sve što treba da uradimo je da pronađemo vrednosti x koje se nalaze u intervalu

(- π; π), tj. zadovoljiti dvostruku nejednakost - π x π. Jer

x= +, onda - π + π. Podijelite sve dijelove ove nejednakosti sa π i pomnožite sa 8, dobićemo

pomerite jedan udesno i ulevo, menjajući znak u minus jedan

podijelimo sa četiri dobijamo,

Radi praktičnosti, razdvajamo cijele dijelove u razlomke

Ova nejednakost je zadovoljena sljedećim cijelim brojem n: -2, -1, 0, 1

U ovom članku ćemo pogledati metodu za rješavanje homogenih trigonometrijskih jednadžbi.

Homogene trigonometrijske jednadžbe imaju istu strukturu kao i homogene jednačine bilo kojeg drugog tipa. Da vas podsjetim na metodu rješavanja homogenih jednačina drugog stepena:

Razmotrimo homogene jednačine oblika

Prepoznatljive karakteristike homogenih jednačina:

a) svi monomi imaju isti stepen,

b) slobodni termin je nula,

c) jednačina sadrži potencije sa dvije različite baze.

Homogene jednadžbe se rješavaju korištenjem sličnog algoritma.

Da bismo riješili ovu vrstu jednadžbe, podijelimo obje strane jednačine sa (može se podijeliti sa ili sa)

Pažnja! Kada dijelite desnu i lijevu stranu jednadžbe izrazom koji sadrži nepoznanicu, možete izgubiti korijene. Stoga je potrebno provjeriti da li su korijeni izraza kojim dijelimo obje strane jednadžbe korijeni izvorne jednačine.

Ako jeste, onda zapisujemo ovaj korijen da ga kasnije ne zaboravimo, a zatim podijelimo izraz sa ovim.

Općenito, prva stvar koju treba učiniti kada rješavate bilo koju jednadžbu koja ima nulu na desnoj strani je pokušati faktorizirati lijevu stranu jednačine na bilo koji raspoloživi način. I onda svaki faktor izjednačiti sa nulom. U ovom slučaju sigurno nećemo izgubiti korijene.

Dakle, pažljivo podijelite lijevu stranu jednačine na izraz pojam po član. Dobijamo:

Smanjimo brojnik i nazivnik drugog i trećeg razlomka:

Hajde da predstavimo zamenu:

Dobijamo kvadratnu jednačinu:

Hajde da riješimo kvadratnu jednadžbu, pronađemo vrijednosti , a zatim se vratimo na prvobitnu nepoznatu.

Prilikom rješavanja homogenih trigonometrijskih jednadžbi treba zapamtiti nekoliko važnih stvari:

1. Lažni termin se može pretvoriti u kvadrat sinusa i kosinusa koristeći osnovni trigonometrijski identitet:

2. Sinus i kosinus dvostrukog argumenta su monomi drugog stepena - sinus dvostrukog argumenta se lako može pretvoriti u proizvod sinusa i kosinusa, a kosinus dvostrukog argumenta u kvadrat sinusa ili kosinusa:

Pogledajmo nekoliko primjera rješavanja homogenih trigonometrijskih jednadžbi.

1 . Rešimo jednačinu:

Ovo je klasičan primjer homogene trigonometrijske jednadžbe prvog stepena: stepen svakog monoma je jednak jedan, a presječeni član jednak je nuli.

Prije dijeljenja obje strane jednadžbe sa , morate provjeriti da korijeni jednadžbe nisu korijeni originalne jednadžbe. Provjeravamo: if , then title="sin(x)0">, следовательно их сумма не равна нулю.!}

Podijelimo obje strane jednadžbe sa .

Dobijamo:

, Gdje

odgovor: , Gdje

2. Rešimo jednačinu:

Ovo je primjer homogene trigonometrijske jednačine drugog stepena. Sjećamo se da ako možemo faktorisati lijevu stranu jednačine, onda je preporučljivo to učiniti. U ovu jednačinu možemo staviti . uradimo to:

Rješenje prve jednadžbe: , gdje

Druga jednačina je homogena trigonometrijska jednačina prvog stepena. Da biste ga riješili, podijelite obje strane jednadžbe sa . Dobijamo:

Odgovor: , gdje ,

3. Rešimo jednačinu:

Da bi ova jednadžba "postala" homogena, transformiramo je u proizvod i predstavljamo broj 3 kao zbir kvadrata sinusa i kosinusa:

Pomaknimo sve pojmove ulijevo, otvorimo zagrade i predstavimo slične pojmove. Dobijamo:

Faktorizujmo lijevu stranu i postavimo svaki faktor jednak nuli:

Odgovor: , gdje ,

4 . Rešimo jednačinu:

Vidimo šta možemo izvući iz zagrada. uradimo to:

Izjednačimo svaki faktor sa nulom:

Rješenje prve jednadžbe:

Druga jednačina populacije je klasična homogena jednačina drugog stepena. Korijeni jednadžbe nisu korijeni originalne jednadžbe, tako da obje strane jednačine dijelimo sa: