Meni
Besplatno
Registracija
Dom  /  Terapija za ekcem/ Poređenje frakcijskih brojeva. Poređenje razlomaka

Poređenje razlomaka brojeva. Poređenje razlomaka

Od dva razlomka sa isti imenioci onaj sa većim brojiocem je veći, a onaj sa manjim brojnikom je manji. U stvari, imenilac pokazuje na koliko je delova podeljena jedna cela vrednost, a brojilac pokazuje na koliko je takvih delova uzeto.

Ispada da smo svaki cijeli krug podijelili istim brojem 5 , ali su uzeli različite količine dijelovi: uzeli su više - veći dio i ispalo je.

Od dva razlomka sa istim brojiocima, onaj sa manjim nazivnikom je veći, a onaj sa većim imeniocem manji. Pa, u stvari, ako podijelimo jedan krug na 8 dijelovi, a drugi na 5 dijelove i uzmite po jedan dio iz svakog od krugova. Koji dio će biti veći?

Naravno, iz kruga podijeljenog sa 5 dijelovi! Sada zamislite da ne dijele krugove, već kolače. Koji komad biste više voljeli, odnosno koji bi dijelili: peti ili osmi?

Za usporedbu razlomaka s različitim brojiocima i različiti imenioci, trebate svesti razlomke na najmanji zajednički imenilac, a zatim uporediti razlomke sa istim nazivnicima.

Primjeri. Uporedite obične razlomke:

Smanjimo ove razlomke na njihov najmanji zajednički nazivnik. NOZ(4 ; 6)=12. Pronalazimo dodatne faktore za svaki od razlomaka. Za 1. razlomak dodatni faktor 3 (12: 4=3 ). Za 2. razlomak dodatni faktor 2 (12: 6=2 ). Sada upoređujemo brojioce dva rezultujuća razlomka sa istim nazivnicima. Pošto je brojilac prvog razlomka manji od brojnika drugog razlomka ( 9<10) , tada je sam prvi razlomak manji od drugog razlomka.

Ne mogu se porediti samo prosti brojevi, već i razlomci. Uostalom, razlomak je isti broj kao, na primjer, prirodni brojevi. Potrebno je samo znati pravila po kojima se upoređuju razlomci.

Upoređivanje razlomaka sa istim nazivnicima.

Ako dva razlomka imaju iste nazivnike, onda je lako uporediti takve razlomke.

Da biste uporedili razlomke sa istim nazivnicima, morate uporediti njihove brojioce. Razlomak koji ima veći brojilac je veći.

Pogledajmo primjer:

Uporedite razlomke \(\frac(7)(26)\) i \(\frac(13)(26)\).

Imenioci oba razlomka su isti i jednaki su 26, pa upoređujemo brojioce. Broj 13 je veći od 7. Dobijamo:

\(\frac(7)(26)< \frac{13}{26}\)

Poređenje razlomaka sa jednakim brojiocima.

Ako razlomak ima iste brojioce, onda je razlomak sa manjim nazivnikom veći.

Ovo pravilo se može razumjeti davanjem primjera iz života. Imamo tortu. Može nam doći 5 ili 11 gostiju. Ako dođe 5 gostiju, onda ćemo tortu izrezati na 5 jednakih komada, a ako dođe 11 gostiju, onda ćemo je podijeliti na 11 jednakih dijelova. Sada razmislite u kom slučaju bi bilo većeg komada torte po gostu? Naravno, kada dođe 5 gostiju, komad torte će biti veći.

Ili drugi primjer. Imamo 20 bombona. Možemo dati bombone podjednako za 4 prijatelja ili podijeliti bombone na 10 prijatelja. U kom slučaju će svaki prijatelj imati više slatkiša? Naravno, kada podijelimo na samo 4 prijatelja, broj bombona za svakog prijatelja će biti veći. Provjerimo ovaj problem matematički.

\(\frac(20)(4) > \frac(20)(10)\)

Ako prethodno riješimo ove razlomke, dobićemo brojeve \(\frac(20)(4) = 5\) i \(\frac(20)(10) = 2\). Dobijamo da je 5 > 2

Ovo je pravilo za poređenje razlomaka sa istim brojiocima.

Pogledajmo još jedan primjer.

Uporedite razlomke sa istim brojivom \(\frac(1)(17)\) i \(\frac(1)(15)\) .

Pošto su brojnici isti, razlomak sa manjim nazivnikom je veći.

\(\frac(1)(17)< \frac{1}{15}\)

Uspoređivanje razlomaka s različitim nazivnicima i brojiocima.

Da biste uporedili razlomke s različitim nazivnicima, trebate smanjiti razlomke na , a zatim uporediti brojioce.

Uporedite razlomke \(\frac(2)(3)\) i \(\frac(5)(7)\).

Prvo, pronađimo zajednički imenitelj razlomaka. To će biti jednako broju 21.

\(\begin(align)&\frac(2)(3) = \frac(2 \times 7)(3 \times 7) = \frac(14)(21)\\\\&\frac(5) (7) = \frac(5 \puts 3)(7 \times 3) = \frac(15)(21)\\\\ \end(align)\)

Zatim prelazimo na poređenje brojilaca. Pravilo za poređenje razlomaka sa istim nazivnicima.

\(\begin(align)&\frac(14)(21)< \frac{15}{21}\\\\&\frac{2}{3} < \frac{5}{7}\\\\ \end{align}\)

Poređenje.

Nepravilan razlomak je uvijek veći od pravilnog razlomka. Zato što je nepravilan razlomak veći od 1, a pravi razlomak manji od 1.

primjer:
Uporedite razlomke \(\frac(11)(13)\) i \(\frac(8)(7)\).

Razlomak \(\frac(8)(7)\) je nepravilan i veći je od 1.

\(1 < \frac{8}{7}\)

Razlomak \(\frac(11)(13)\) je tačan i manji je od 1. Uporedimo:

\(1 > \frac(11)(13)\)

Dobijamo, \(\frac(11)(13)< \frac{8}{7}\)

Povezana pitanja:
Kako uporediti razlomke sa različitim nazivnicima?
Odgovor: potrebno je razlomke dovesti do zajedničkog nazivnika, a zatim uporediti njihove brojnike.

Kako uporediti razlomke?
Odgovor: Prvo morate odlučiti kojoj kategoriji pripadaju razlomci: imaju zajednički imenilac, imaju zajednički brojnik, nemaju zajednički imenilac i brojilac, ili imate pravilan i nepravilan razlomak. Nakon klasifikacije razlomaka, primijeniti odgovarajuće pravilo poređenja.

Šta je poređenje razlomaka sa istim brojiocima?
Odgovor: Ako razlomci imaju iste brojioce, razlomak sa manjim nazivnikom je veći.

Primjer #1:
Uporedite razlomke \(\frac(11)(12)\) i \(\frac(13)(16)\).

Rješenje:
S obzirom da ne postoje identični brojnici ili nazivnici, primjenjujemo pravilo poređenja sa različitim nazivnicima. Moramo pronaći zajednički imenitelj. Zajednički imenilac će biti 96. Smanjimo razlomke na zajednički imenilac. Pomnožite prvi razlomak \(\frac(11)(12)\) dodatnim faktorom 8, a drugi razlomak \(\frac(13)(16)\) sa 6.

\(\begin(align)&\frac(11)(12) = \frac(11 \times 8)(12 \times 8) = \frac(88)(96)\\\\&\frac(13) (16) = \frac(13 \times 6)(16 \times 6) = \frac(78)(96)\\\\ \end(align)\)

Upoređujemo razlomke sa brojiocima, razlomak sa većim brojiocem je veći.

\(\begin(align)&\frac(88)(96) > \frac(78)(96)\\\\&\frac(11)(12) > \frac(13)(16)\\\ \\end(poravnaj)\)

Primjer #2:
Uporedite pravi razlomak sa jednim?

Rješenje:
Svaki pravi razlomak je uvijek manji od 1.

Zadatak #1:
Sin i otac su igrali fudbal. Sin je pogodio gol 5 puta od 10 pristupa. I tata je pogodio gol 3 puta od 5 pristupa. čiji je rezultat bolji?

Rješenje:
Sin je pogodio 5 puta od 10 mogućih pristupa. Zapišimo ga kao razlomak \(\frac(5)(10)\).
Tata je pogodio 3 puta od 5 mogućih pristupa. Zapišimo ga kao razlomak \(\frac(3)(5)\).

Hajde da uporedimo razlomke. Imamo različite brojnike i nazivnike, svodimo ih na jedan imenilac. Zajednički imenitelj će biti 10.

\(\begin(align)&\frac(3)(5) = \frac(3 \times 2)(5 \times 2) = \frac(6)(10)\\\\&\frac(5) (10)< \frac{6}{10}\\\\&\frac{5}{10} < \frac{3}{5}\\\\ \end{align}\)

Odgovor: Tata ima bolji rezultat.

U ovoj lekciji ćemo naučiti kako međusobno upoređivati ​​razlomke. Ovo je veoma korisna vještina, što je neophodno za rješavanje cijele klase složenijih problema.

Prvo, da vas podsjetim na definiciju jednakosti razlomaka:

Za razlomke a /b i c /d se kaže da su jednaki ako je ad = bc.

  1. 5/8 = 15/24, budući da je 5 24 = 8 15 = 120;
  2. 3/2 = 27/18, jer je 3 18 = 2 27 = 54.

U svim ostalim slučajevima, razlomci su nejednaki, a za njih vrijedi jedna od sljedećih tvrdnji:

  1. Razlomak a/b je veći od razlomka c/d;
  2. Razlomak a /b je manji od razlomka c /d.

Za razlomak a /b se kaže da je veći od razlomka c /d ako je a /b − c /d > 0.

Za razlomak x /y se kaže da je manji od razlomka s /t ako je x /y − s /t< 0.

Oznaka:

Stoga se poređenje razlomaka svodi na njihovo oduzimanje. Pitanje: kako se ne zbuniti sa oznakama "više od" (>) i "manje od" (<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:

  1. Rašireni dio čavke uvijek pokazuje prema većem broju;
  2. Oštar nos čavke uvijek pokazuje na manji broj.

Često u problemima gdje trebate uporediti brojeve, između njih se stavlja znak “∨”. Ovo je gava sa spuštenim nosom, što kao da nagovještava: veći broj još nije određen.

Zadatak. Uporedite brojeve:

Prateći definiciju, oduzmite razlomke jedan od drugog:


U svakom poređenju, od nas se tražilo da razlomke svedemo na zajednički nazivnik. Konkretno, korištenjem unakrsnog metoda i pronalaženjem najmanjeg zajedničkog višekratnika. Namjerno se nisam fokusirao na ove točke, ali ako nešto nije jasno, pogledajte lekciju “Sabiranje i oduzimanje razlomaka” - vrlo je lako.

Poređenje decimala

U slučaju decimalnih razlomaka sve je mnogo jednostavnije. Ovdje nema potrebe oduzimati ništa - samo uporedite cifre. Dobro je zapamtiti koji je značajan dio broja. Za one koji su zaboravili, predlažem da ponove lekciju "Množenje i dijeljenje decimala" - to će također trajati samo nekoliko minuta.

Pozitivna decimala X veća je od pozitivne decimale Y ako sadrži decimalno mjesto tako da:

  1. Cifra na ovom mjestu u razlomku X veća je od odgovarajuće cifre u razlomku Y;
  2. Sve cifre veće od ove za razlomke X i Y su iste.
  1. 12.25 > 12.16. Prve dvije cifre su iste (12 = 12), a treća je veća (2 > 1);
  2. 0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).

Drugim riječima, prolazimo kroz decimale jednu po jednu i tražimo razliku. U ovom slučaju, veći broj odgovara većem razlomku.

Međutim, ova definicija zahtijeva pojašnjenje. Na primjer, kako napisati i uporediti decimalna mjesta? Zapamtite: bilo koji broj napisan u decimalnom obliku može imati bilo koji broj nula dodati s lijeve strane. Evo još par primjera:

  1. 0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (mi pričamo o tome o višem zvanju).
  2. 2300,5 > 0,0025, jer 0,0025 = 0000,0025 - tri nule su dodane lijevo. Sada možete vidjeti da razlika počinje od prve znamenke: 2 > 0.

Naravno, u datim primjerima sa nulama došlo je do očiglednog preterivanja, ali poenta je upravo u sljedećem: popunite bitove koji nedostaju s lijeve strane, a zatim uporedite.

Zadatak. Uporedite razlomke:

  1. 0,029 ∨ 0,007;
  2. 14,045 ∨ 15,5;
  3. 0,00003 ∨ 0,0000099;
  4. 1700,1 ∨ 0,99501.

Po definiciji imamo:

  1. 0,029 > 0,007. Prve dvije cifre se poklapaju (00 = 00), zatim počinje razlika (2 > 0);
  2. 14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
  3. 0,00003 > 0,0000099. Ovdje morate pažljivo brojati nule. Prvih 5 cifara u oba razlomka je nula, ali tada u prvom razlomku ima 3, au drugom - 0. Očigledno, 3 > 0;
  4. 1700,1 > 0,99501. Zapišimo drugi razlomak kao 0000,99501, dodajući 3 nule lijevo. Sada je sve očigledno: 1 > 0 - razlika je otkrivena u prvoj cifri.

Nažalost, data shema poređenja decimale nije univerzalna. Ova metoda može samo porediti pozitivni brojevi. U opštem slučaju, algoritam rada je sledeći:

  1. Pozitivan razlomak je uvijek veći od negativnog razlomka;
  2. Dva pozitivna razlomka se upoređuju korištenjem gornjeg algoritma;
  3. Dva negativna razlomka se porede na isti način, ali se na kraju predznak nejednakosti obrće.

Pa, nije loše? Sada pogledajmo konkretni primjeri- i sve će postati jasno.

Zadatak. Uporedite razlomke:

  1. 0,0027 ∨ 0,0072;
  2. −0,192 ∨ −0,39;
  3. 0,15 ∨ −11,3;
  4. 19,032 ∨ 0,0919295;
  5. −750 ∨ −1,45.
  1. 0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
  2. −0,192 > −0,39. Razlomci su negativni, 2. znamenka je drugačija. 1< 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
  3. 0,15 > −11,3. Pozitivan broj uvijek negativniji;
  4. 19.032 > 0.091. Dovoljno je prepisati drugi razlomak u obliku 00.091 da vidimo da razlika nastaje već u 1. znamenki;
  5. −750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 >001.45. Razlika je u prvoj kategoriji.

IN Svakodnevni životČesto moramo upoređivati ​​razlomke. Najčešće to ne uzrokuje poteškoće. Zaista, svi razumiju da je pola jabuke veće od četvrtine. Ali kada je u pitanju zapisivanje kao matematički izraz, može postati zbunjujuće. Koristeći sljedeće matematička pravila, lako se možete nositi s ovim zadatkom.

Kako uporediti razlomke sa istim nazivnicima

Takve razlomke je najpogodnije za poređenje. U ovom slučaju koristite pravilo:

Od dva razlomka sa istim nazivnicima, ali različitim brojnicima, veći je onaj čiji je brojilac veći, a manji onaj čiji je brojilac manji.

Na primjer, uporedite razlomke 3/8 i 5/8. Imenioci u ovom primjeru su jednaki, tako da primjenjujemo ovo pravilo. 3<5 и 3/8 меньше, чем 5/8.

Zaista, ako dvije pice isječete na 8 kriški, tada je 3/8 kriške uvijek manje od 5/8.

Uspoređivanje razlomaka sa sličnim brojiocima i različitim nazivnicima

U ovom slučaju se upoređuju veličine udjela u nazivniku. Pravilo koje treba primijeniti je:

Ako dva razlomka imaju jednake brojioce, tada je veći razlomak čiji je imenilac manji.

Na primjer, uporedite razlomke 3/4 i 3/8. U ovom primjeru, brojnici su jednaki, što znači da koristimo drugo pravilo. Razlomak 3/4 ima manji imenilac od razlomka 3/8. Dakle 3/4>3/8

Zaista, ako pojedete 3 kriške pice podijeljene na 4 dijela, bit ćete sitiji nego da ste pojeli 3 kriške pizze podijeljene na 8 dijelova.


Uspoređivanje razlomaka s različitim brojiocima i nazivnicima

Primjenjujemo treće pravilo:

Poređenje razlomaka sa različitim nazivnicima trebalo bi da dovede do poređenja razlomaka sa istim imeniocima. Da biste to učinili, trebate svesti razlomke na zajednički nazivnik i koristiti prvo pravilo.

Na primjer, trebate usporediti razlomke i . Da bismo odredili veći razlomak, ova dva razlomka svedemo na zajednički nazivnik:

  • Sada pronađimo drugi dodatni faktor: 6:3=2. Pišemo to iznad drugog razlomka: