Dom / Terapija za ekcem/ Prosječna vrijednost između dva broja. Aritmetička sredina i njena svojstva. Distribucija lokala trgovačkog preduzeća "Vesna" po prodajnoj površini, kv. M

Prosječna vrijednost između dva broja. Aritmetička sredina i njena svojstva. Distribucija lokala trgovačkog preduzeća "Vesna" po prodajnoj površini, kv. M

Ovaj izraz ima druga značenja, pogledajte prosječno značenje.

Prosjek(u matematici i statistici) skupovi brojeva - zbir svih brojeva podijeljen njihovim brojem. To je jedna od najčešćih mjera centralne tendencije.

Predložili su ga (zajedno sa geometrijskom sredinom i harmonijskom sredinom) Pitagorejci.

Posebni slučajevi aritmetičke sredine su srednja vrijednost (opća populacija) i uzorkovana sredina (uzorak).

Uvod

Označimo skup podataka X = (x 1 , x 2 , …, x n), tada je srednja vrijednost uzorka obično označena horizontalnom crtom iznad varijable (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))), izgovara se " x sa linijom").

Grčko slovo μ koristi se za označavanje aritmetičke sredine cjelokupne populacije. Za slučajnu varijablu za koju je određena srednja vrijednost, μ je vjerovatnoća prosjeka ili matematičko očekivanje slučajne varijable. Ako je set X je kolekcija slučajnih brojeva sa vjerovatnoćom srednje vrijednosti μ, tada za bilo koji uzorak x i iz ovog skupa μ = E( x i) je matematičko očekivanje ovog uzorka.

U praksi, razlika između μ i x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) je u tome što je μ tipična varijabla jer možete vidjeti uzorak, a ne cijeli opšta populacija. Stoga, ako je uzorak predstavljen nasumično (u smislu teorije vjerovatnoće), tada se x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (ali ne μ) može tretirati kao slučajna varijabla koja ima distribuciju vjerovatnoće na uzorku ( distribucija vjerovatnoće srednje vrijednosti).

Obje ove količine se izračunavaju na isti način:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\suma _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

Ako X je slučajna varijabla, zatim matematičko očekivanje X može se smatrati aritmetičkom sredinom vrijednosti u ponovljenim mjerenjima veličine X. Ovo je manifestacija zakona veliki brojevi. Stoga se srednja vrijednost uzorka koristi za procjenu nepoznate očekivane vrijednosti.

U elementarnoj algebri je dokazano da je srednja vrijednost n+ 1 broj iznad prosjeka n brojevi ako i samo ako je novi broj veći od starog prosjeka, manji ako i samo ako je novi broj manji od prosjeka i ne mijenja se ako i samo ako je novi broj jednak prosjeku. Više n, što je manja razlika između novog i starog prosjeka.

Imajte na umu da postoji nekoliko drugih dostupnih "prosjeka", uključujući srednju snagu, Kolmogorovljevu sredinu, harmonijsku sredinu, aritmetičko-geometrijsku sredinu i različite ponderisane prosjeke (npr. ponderirana aritmetička sredina, ponderirana geometrijska sredina, ponderirana harmonijska sredina).

Primjeri

Za tri broja, trebate ih sabrati i podijeliti sa 3:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)

Za četiri broja, trebate ih sabrati i podijeliti sa 4:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

Ili jednostavnije 5+5=10, 10:2. Pošto smo sabirali 2 broja, što znači koliko brojeva sabiramo, dijelimo s tim brojem.

Kontinuirana slučajna varijabla

Za kontinuirano distribuiranu veličinu f (x) (\displaystyle f(x)), aritmetička sredina na intervalu [ a ; b ] (\displaystyle ) određuje se kroz određeni integral:

F (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

Neki problemi korištenja prosjeka

Nedostatak robusnosti

Glavni članak: Robusnost u statistici

Iako se aritmetičke sredine često koriste kao proseci ili centralne tendencije, ovaj koncept nije čvrsta statistika, što znači da je aritmetička sredina pod velikim uticajem "velikih odstupanja". Važno je napomenuti da za distribucije s velikim koeficijentom asimetrije, aritmetička sredina možda neće odgovarati konceptu „srednje vrijednosti“, a vrijednosti srednje vrijednosti iz robusne statistike (na primjer, medijan) mogu bolje opisati središnji sklonost.

Klasičan primjer je izračunavanje prosječnog prihoda. Aritmetička sredina se može pogrešno protumačiti kao medijana, što može dovesti do zaključka da ima više ljudi s većim primanjima nego što ih zapravo ima. “Prosječni” prihod se tumači tako da većina ljudi ima prihode oko ovog broja. Ovaj “prosječni” (u smislu aritmetičke sredine) prihod je veći od prihoda većine ljudi, budući da visok dohodak sa velikim odstupanjem od prosjeka čini aritmetičku sredinu jako iskrivljenom (nasuprot tome, prosječni prihod na medijani „opire se“ takvom iskošenju). Međutim, ovaj "prosječni" prihod ne govori ništa o broju ljudi blizu srednjeg prihoda (i ne govori ništa o broju ljudi blizu modalnog prihoda). Međutim, ako pojmove “prosjek” i “većina ljudi” shvatite olako, možete izvući pogrešan zaključak da većina ljudi ima prihode veće nego što jesu. Na primjer, izvještaj o "prosječnom" neto prihodu u Medini u Washingtonu, izračunatom kao aritmetički prosjek svih godišnjih neto prihoda stanovnika, iznenađujuće će dati veliki broj zbog Bila Gejtsa. Razmotrite uzorak (1, 2, 2, 2, 3, 9). Aritmetička sredina je 3,17, ali pet od šest vrijednosti je ispod ove sredine.

Složena kamata

Glavni članak: Povrat investicije

Ako su brojevi umnožiti, ali ne fold, trebate koristiti geometrijsku sredinu, a ne aritmetičku sredinu. Najčešće se ovaj incident dešava prilikom izračunavanja povrata ulaganja u finansije.

Na primjer, ako je dionica pala za 10% u prvoj godini i porasla za 30% u drugoj, onda je pogrešno izračunati „prosječan“ porast u te dvije godine kao aritmetičku sredinu (−10% + 30%) / 2 = 10%; tačan prosjek u ovom slučaju je dat složenom godišnjom stopom rasta, koja daje godišnju stopu rasta od samo oko 8,16653826392% ≈ 8,2%.

Razlog tome je što procenti svaki put imaju novu početnu tačku: 30% je 30% od broja manjeg od cijene na početku prve godine: ako je dionica počela na 30 dolara i pala za 10%, vrijedi 27 dolara na početku druge godine. Ako bi dionice porasle za 30%, na kraju druge godine vrijedile bi 35,1 dolara. Aritmetički prosjek ovog rasta je 10%, ali pošto je dionica porasla samo za 5,1 USD u 2 godine, prosječan rast od 8,2% daje konačni rezultat od 35,1 USD:

[30 USD (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 USD (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 USD]. Ako koristimo prosjek na isti način aritmetička vrijednost 10%, nećemo dobiti stvarnu vrijednost: [30 USD (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3 USD].

Složena kamata na kraju 2 godine: 90% * 130% = 117%, odnosno ukupno povećanje je 17%, a prosječna godišnja složena kamata je 117% ≈ 108,2% (\displaystyle (\sqrt (117\% ))\cca 108,2\%), odnosno prosječno godišnje povećanje od 8,2%.

Upute

Glavni članak: Statistika odredišta

Prilikom izračunavanja aritmetičke sredine neke varijable koja se ciklički mijenja (kao što je faza ili ugao), mora se obratiti posebna pažnja. Na primjer, prosjek od 1° i 359° bi bio 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. Ovaj broj je netačan iz dva razloga.

Prvo, ugaone mere su definisane samo za opseg od 0° do 360° (ili od 0 do 2π kada se mere u radijanima). Dakle, isti par brojeva može se napisati kao (1° i -1°) ili kao (1° i 719°). Prosječne vrijednosti svakog para bit će različite: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2 ))=0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\ circ )).
Drugo, u ovom slučaju, vrijednost od 0° (ekvivalentno 360°) će biti geometrijski bolja prosječna vrijednost, budući da brojevi manje odstupaju od 0° nego od bilo koje druge vrijednosti (vrijednost 0° ima najmanju varijansu). uporedi:
- broj 1° odstupa od 0° samo za 1°;
- broj 1° odstupa od izračunatog prosjeka od 180° za 179°.

Prosječna vrijednost za cikličnu varijablu izračunatu korištenjem gornje formule bit će umjetno pomjerena u odnosu na stvarni prosjek prema sredini numeričkog raspona. Zbog toga se prosek izračunava na drugačiji način, odnosno kao prosečna vrednost se bira broj sa najmanjom varijansom (centralna tačka). Također, umjesto oduzimanja, koristi se modularna udaljenost (tj. obodna udaljenost). Na primjer, modularna udaljenost između 1° i 359° je 2°, a ne 358° (na krugu između 359° i 360°==0° - jedan stepen, između 0° i 1° - također 1°, ukupno - 2°).

4.3. Prosječne vrijednosti. Suština i značenje prosječnih vrijednosti

Prosječna veličina u statistici je opšti pokazatelj koji karakteriše tipičan nivo pojave u specifičnim uslovima mesta i vremena, odražavajući vrednost promenljive karakteristike po jedinici kvalitativno homogene populacije. U ekonomskoj praksi koristi se širok spektar indikatora koji se izračunavaju kao prosječne vrijednosti.

Na primjer, opći pokazatelj dohotka radnika akcionarsko društvo(AD) služi kao prosječan prihod jednog radnika, određen omjerom fonda plate i socijalna davanja za posmatrani period (godina, kvartal, mjesec) prema broju radnika AD.

Izračunavanje prosjeka je jedna od uobičajenih tehnika generalizacije; prosječni indikator odražava ono što je zajedničko (tipično) za sve jedinice populacije koja se proučava, dok istovremeno zanemaruje razlike pojedinačnih jedinica. U svakoj pojavi i njenom razvoju postoji kombinacija nezgode I neophodno. Prilikom izračunavanja prosjeka, zbog djelovanja zakona velikih brojeva, slučajnost se poništava i balansira, pa je moguće apstrahirati od nebitnih obilježja pojave, od kvantitativnih vrijednosti karakteristike u svakom konkretnom slučaju . Sposobnost da se apstrahuje od slučajnosti pojedinačnih vrednosti, fluktuacija leži u naučnoj vrednosti proseka kao generalizirajući karakteristike populacija.

Tamo gdje se pojavi potreba za generalizacijom, izračunavanje takvih karakteristika dovodi do zamjene mnogih različitih pojedinačnih vrijednosti atributa prosjek indikator koji karakteriše čitav niz pojava, što omogućava identifikaciju obrazaca svojstvenih masovnim društvenim fenomenima koji su nevidljivi u pojedinačnim pojavama.

Prosjek odražava karakterističan, tipičan, stvarni nivo pojava koje se proučavaju, karakterizira ove nivoe i njihove promjene u vremenu i prostoru.

Prosjek je sažeta karakteristika zakonitosti procesa u uslovima u kojima se odvija.

4.4. Vrste prosjeka i metode za njihovo izračunavanje

Izbor vrste prosjeka određen je ekonomskim sadržajem određenog indikatora i izvornim podacima. U svakom konkretnom slučaju koristi se jedna od prosječnih vrijednosti: aritmetika, garmonički, geometrijski, kvadratni, kubični itd. Navedeni prosjeci pripadaju klasi smireno prosjek.

Uz prosječne snage, u statističkoj praksi se koriste strukturni prosjeci, koji se smatraju modom i medijanom.

Zaustavimo se detaljnije na prosjecima snage.

Aritmetička sredina

Najčešći tip prosjeka je prosjek aritmetika. Koristi se u slučajevima kada je volumen promjenljive karakteristike za cijelu populaciju zbir vrijednosti karakteristika njenih pojedinačnih jedinica. Društvene pojave karakteriše aditivnost (zbirnost) zapremina različite karakteristike; to određuje obim primene aritmetičkog proseka i objašnjava njegovu rasprostranjenost kao opšti pokazatelj, na primer: ukupan fond zarada je zbir plata svim radnicima, bruto žetva je zbir proizvoda proizvedenih iz cijele sezone sjetve.

Da biste izračunali aritmetičku sredinu, trebate podijeliti zbir svih vrijednosti karakteristika njihovim brojem.

U obliku se koristi aritmetička sredina jednostavni prosek i ponderisani prosek. Početni, definirajući oblik je jednostavan prosjek.

Jednostavna aritmetička sredina jednak jednostavnom zbroju pojedinačnih vrijednosti karakteristike koja se u prosjeku dijeli s ukupnim brojem ovih vrijednosti (koristi se u slučajevima kada postoje negrupirane pojedinačne vrijednosti karakteristike):

Gdje
- pojedinačne vrijednosti varijable (varijante); m - broj jedinica u populaciji.

Nadalje, granice zbrajanja neće biti naznačene u formulama. Na primjer, trebate pronaći prosječan učinak jednog radnika (mehaničara) ako znate koliko je dijelova proizveo svaki od 15 radnika, tj. dat je broj pojedinačnih vrijednosti karakteristike, kom.:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Prosta aritmetička sredina izračunava se pomoću formule (4.1), 1 kom.:

Zove se prosek opcija koje se ponavljaju različit broj puta ili, kako kažu, imaju različite težine ponderisano. Ponderi su brojevi jedinica u različitim grupama stanovništva (identične opcije se kombinuju u grupu).

Ponderisan aritmetički prosjek- prosjek grupisanih vrijednosti, - izračunava se pomoću formule:

, (4.2)

Gdje
- težina (učestalost ponavljanja identičnih znakova);

- zbir proizvoda veličine karakteristika i njihovih frekvencija;

- ukupan broj populacijskih jedinica.

Ilustrujemo tehniku izračunavanja aritmetičkog ponderisanog prosjeka koristeći primjer koji je gore razmotren. Da bismo to učinili, grupirat ćemo izvorne podatke i smjestiti ih u tabelu. 4.1.

Tabela 4.1

Raspodjela radnika za proizvodnju dijelova

Prema formuli (4.2), ponderisana aritmetička sredina je jednaka, kom.:

U nekim slučajevima, težine se mogu predstaviti ne kao apsolutne vrijednosti, već kao relativne (u procentima ili dijelovima jedinice). Tada će formula za aritmetički ponderirani prosjek izgledati ovako:

Gdje
- posebnost, tj. udio svake frekvencije u ukupnom zbiru svih

Ako se frekvencije broje u razlomcima (koeficijentima), onda
= 1, a formula za aritmetički ponderisani prosek ima oblik:

Izračunavanje ponderisane aritmetičke sredine iz grupnih sredina izvodi se prema formuli:

Gdje f-broj jedinica u svakoj grupi.

Rezultati izračunavanja aritmetičke sredine iz grupnih sredina prikazani su u tabeli. 4.2.

Tabela 4.2

Raspodjela radnika prema prosječnom radnom stažu

U ovom primjeru opcije nisu pojedinačni podaci o stažu pojedinih radnika, već prosjek za svaku radionicu. Vaga f su broj radnika u radnjama. Dakle, prosječno radno iskustvo radnika u cijelom preduzeću će biti, godina:

Izračunavanje aritmetičke sredine u redovima distribucije

Ako su vrijednosti karakteristike koja se prosječuje navedene u obliku intervala („od - do”), tj. intervalne serije distribucije, tada se pri izračunavanju aritmetičke sredine, sredine ovih intervala uzimaju kao vrijednosti karakteristika u grupama, što rezultira formiranjem diskretne serije. Razmotrite sljedeći primjer (Tabela 4.3).

Prijeđimo sa intervalne serije na diskretnu seriju zamjenom vrijednosti intervala njihovim prosječnim vrijednostima/(jednostavan prosjek

Tabela 4.3

Raspodjela radnika AD prema mjesečnom nivou plata

Grupe radnika	Broj radnika	Sredina intervala
nadnice, rub.	ljudi, f	rub., X





900 ili više

vrijednosti otvorenih intervala (prvi i posljednji) uvjetno su izjednačeni s intervalima koji su im susjedni (drugi i pretposljednji).

Kod ovog izračunavanja prosjeka dozvoljena je određena nepreciznost, budući da se postavlja pretpostavka o ravnomjernoj raspodjeli jedinica karakteristike unutar grupe. Međutim, što je interval uži i što je više jedinica u intervalu, to je manja greška.

Nakon što se pronađu sredine intervala, proračuni se rade na isti način kao u diskretnom nizu - opcije se množe sa frekvencijama (težinama) i zbroj proizvoda se dijeli zbirom frekvencija (težina) , hiljada rubalja:

dakle, prosječan nivo naknada za radnike JSC je 729 rubalja. Mjesečno.

Izračunavanje aritmetičke sredine često uključuje mnogo vremena i rada. Međutim, u određenom broju slučajeva, postupak za izračunavanje prosjeka može se pojednostaviti i olakšati ako koristite njegova svojstva. Predstavimo (bez dokaza) neka osnovna svojstva aritmetičke sredine.

Nekretnina 1. Ako su sve pojedinačne vrijednosti neke karakteristike (tj. sve opcije) smanjiti ili povećati iputa, zatim prosječna vrijednost nova karakteristika će se shodno tome smanjiti ili povećati ijednom.

Nekretnina 2. Ako se smanje sve varijante karakteristike koja se usrednjujesašiti ili povećati za broj A, tada odgovara aritmetička sredinaće se zapravo smanjiti ili povećati za isti broj A.

Nekretnina 3. Ako se težine svih usrednjenih opcija smanje ili povećati za To puta, tada se aritmetička sredina neće promijeniti.

Kao prosječne pondere, umjesto apsolutnih pokazatelja, možete koristiti specifične pondere u ukupnom ukupnom iznosu (udjeli ili procenti). Ovo pojednostavljuje izračunavanje prosjeka.

Da bi pojednostavili izračun prosjeka, oni slijede put smanjenja vrijednosti opcija i frekvencija. Najveće pojednostavljenje se postiže kada, kao A vrijednost jedne od centralnih opcija, koja ima najveću frekvenciju, bira se kao / - vrijednost intervala (za serije sa jednakim intervalima). Količina A naziva se referentna tačka, pa se ova metoda izračunavanja prosjeka naziva „metoda brojanja od uslovne nule“ ili "na način na trenutke."

Pretpostavimo da su sve opcije X prvo se smanjio za isti broj A, a zatim smanjio za i jednom. Dobijamo novu varijantnu seriju distribucije novih opcija .

Onda nove opcijeće se izraziti:

i njihova nova aritmetička sredina , -trenutak prve narudžbe-formula:

Ona je jednaka prosjeku originalnih opcija, prvo umanjenih za A, a zatim unutra i jednom.

Da bi se dobio pravi prosjek, potreban je trenutak prvog reda m 1 , pomnožite sa i i dodati O:

Ova metoda izračunavanja aritmetičke sredine iz niza varijacija naziva se "na način na trenutke." Ova metoda se koristi u redovima u jednakim intervalima.

Izračunavanje aritmetičke sredine metodom momenata ilustrovano je podacima u tabeli. 4.4.

Tabela 4.4

Raspodjela malih preduzeća u regionu po vrijednosti osnovnih proizvodnih sredstava (FPF) u 2000. godini.

Grupe preduzeća prema vrednosti OPF-a, hiljada rubalja.	Broj preduzeća f	Sredina intervala x
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24

Pronalaženje trenutka prve narudžbe

Zatim, uzimajući A = 19 i znajući to i= 2, izračunaj X, hiljada rubalja.:

Vrste prosječnih vrijednosti i metode njihovog izračunavanja

U fazi statističke obrade mogu se postaviti različiti istraživački problemi za čije je rješavanje potrebno odabrati odgovarajući prosjek. U ovom slučaju potrebno je voditi se sljedećim pravilom: veličine koje predstavljaju brojnik i imenilac prosjeka moraju biti logički povezane jedna s drugom.

proseci snage;
strukturni proseci.

Hajde da predstavimo sledeće simboli:

Količine za koje se izračunava prosjek;

Prosjek, gdje traka iznad pokazuje da se vrši usrednjavanje pojedinačnih vrijednosti;

Učestalost (ponovljivost pojedinačnih karakterističnih vrijednosti).

Izvode se različiti prosjeci opšta formula prosjek snage:

(5.1)

kada je k = 1 - aritmetička sredina; k = -1 - harmonijska sredina; k = 0 - geometrijska sredina; k = -2 - srednji kvadrat.

Prosječne vrijednosti mogu biti jednostavne ili ponderisane. Ponderisani proseci To su vrijednosti koje uzimaju u obzir da neke varijante vrijednosti atributa mogu imati različite brojeve, pa se stoga svaka opcija mora pomnožiti s ovim brojem. Drugim riječima, “skale” su brojevi agregatnih jedinica u različitim grupama, tj. Svaka opcija je "ponderisana" svojom frekvencijom. Frekvencija f se zove statistička težina ili Prosječna masa.

Aritmetička sredina- najčešći tip prosjeka. Koristi se kada se proračun vrši na negrupisanim statističkim podacima, gdje je potrebno dobiti prosječan termin. Aritmetička sredina je prosječna vrijednost neke karakteristike, po dobijanju koje ukupan volumen karakteristike u agregatu ostaje nepromijenjen.

Formula aritmetičke sredine ( jednostavno) ima oblik

gdje je n veličina populacije.

Na primjer, prosječna plata zaposlenih u preduzeću izračunava se kao aritmetički prosjek:

Odlučujući indikatori su plata svakog zaposlenog i broj zaposlenih u preduzeću. Prilikom izračunavanja prosjeka ukupan iznos zarada je ostao isti, ali ravnomjerno raspoređen na sve zaposlene. Na primjer, potrebno je izračunati prosječnu platu radnika u maloj kompaniji koja zapošljava 8 ljudi:

Prilikom izračunavanja prosječnih vrijednosti mogu se ponoviti pojedinačne vrijednosti karakteristike koja se usrednjuje, pa se izračunavanje prosječne veličine proizvedeno korištenjem grupisanih podataka. U ovom slučaju mi pričamo o tome o upotrebi ponderisan aritmetički prosek, koji ima oblik

(5.3)

Dakle, potrebno je izračunati prosječnu cijenu akcija akcionarskog društva na berzanskom trgovanju. Poznato je da su transakcije obavljene u roku od 5 dana (5 transakcija), a broj prodatih akcija po prodajnom kursu je raspoređen na sledeći način:

1 - 800 ak. - 1010 rub.

2 - 650 ak. - 990 rub.

3 - 700 ak. - 1015 rub.

4 - 550 ak. - 900 rub.

5 - 850 ak. - 1150 rub.

Početni koeficijent za određivanje prosečne cene akcija je odnos ukupnog iznosa transakcija (TVA) i broja prodatih akcija (KPA).

Hajde sada da pričamo o tome kako izračunati prosek.
Klasičan izgled opšta teorija statistika nam nudi jednu verziju pravila za odabir prosječne vrijednosti.
Prvo morate kreirati ispravnu logičku formulu za izračunavanje prosječne vrijednosti (AFV). Za svaku prosječnu vrijednost uvijek postoji samo jedna logička formula za njeno izračunavanje, pa je ovdje teško pogriješiti. Ali uvijek moramo imati na umu da je u brojiocu (ovo je ono što je na vrhu razlomka) zbir svih pojava, a u nazivniku (ono što je na dnu razlomka) ukupan broj elemenata.

Nakon što je logička formula sastavljena, možete koristiti pravila (radi lakšeg razumijevanja, pojednostavit ćemo ih i skratiti):
1. Ako izvorni podaci (određeni učestalošću) sadrže nazivnik logičke formule, tada se izračunavanje vrši korištenjem formule ponderirane aritmetičke sredine.
2. Ako je brojilac logičke formule prikazan u izvornim podacima, tada se proračun vrši pomoću ponderisane formule harmonijskog prosjeka.
3. Ako problem predstavlja i brojnik i imenilac logičke formule (ovo se retko dešava), onda računanje vršimo koristeći ovu formulu ili jednostavnu formulu aritmetičkog proseka.
Ovo je klasična ideja odabira prave formule za izračunavanje prosjeka. Zatim predstavljamo redoslijed radnji pri rješavanju zadataka za izračunavanje prosječne vrijednosti.

Algoritam za rješavanje zadataka za izračunavanje prosječne vrijednosti

A. Odredite metodu za izračunavanje prosječne vrijednosti - jednostavno ili ponderisano . Ako su podaci prikazani u tabeli, onda koristimo ponderiranu metodu, ako su podaci prikazani jednostavnim nabrajanjem, onda koristimo jednostavan metod izračuna.

B. Definišemo ili raspoređujemo simbole - x - opcija, f – frekvencija . Opcija je za koji fenomen želite da pronađete prosječnu vrijednost. Preostali podaci u tabeli će biti učestalost.

B. Određujemo obrazac za izračunavanje prosječne vrijednosti - aritmetički ili harmonički . Određivanje se vrši pomoću stupca frekvencije. Aritmetički oblik se koristi ako su frekvencije specificirane eksplicitnom količinom (uslovno, možete zamijeniti riječ komadi, broj elemenata „komadi“). Harmonski oblik se koristi ako su frekvencije specificirane ne eksplicitnom veličinom, već kompleksnim indikatorom (proizvod prosječne količine i frekvencije).

Najteže je pogoditi gdje se i koja količina daje, pogotovo za studenta neiskusnog u takvim stvarima. U takvoj situaciji možete koristiti jednu od sljedećih metoda. Za neke zadatke (ekonomske) prikladna je izjava razvijena godinama prakse (tačka B.1). U drugim situacijama morat ćete koristiti tačku B.2.

B.1 Ako je frekvencija data u novčanim jedinicama (u rubljama), tada se za izračunavanje koristi harmonijski prosek, ova izjava je uvek tačna, ako je identifikovana frekvencija data u novcu, u drugim situacijama ovo pravilo ne važi.

B.2 Koristite pravila za odabir prosječne vrijednosti koja su gore navedena u ovom članku. Ako je učestalost data imeniteljem logičke formule za izračunavanje prosječne vrijednosti, tada izračunavamo pomoću oblika aritmetičke sredine; ako je frekvencija data brojicom logičke formule za izračunavanje prosječne vrijednosti, onda izračunavamo pomoću harmonijski srednji oblik.

Pogledajmo primjere korištenja ovog algoritma.

O. Pošto su podaci prikazani u liniji, koristimo jednostavnu metodu proračuna.

B.V. Imamo samo podatke o visini penzija, a one će biti naša opcija - x. Podaci su predstavljeni kao jednostavan broj (12 osoba), za izračun koristimo prosti aritmetički prosjek.

Prosječna penzija za penzionera je 9208,3 rublja.

B. Pošto treba da nađemo prosječne veličine plaćanja po djetetu, tada su opcije u prvoj koloni, tu stavite oznaku x, druga kolona automatski postaje frekvencija f.

B. Učestalost (broj djece) je data eksplicitnom količinom (možete zamijeniti riječ komadi djece, sa stanovišta ruskog jezika ovo je netačna fraza, ali je, zapravo, vrlo zgodno check), što znači da se za izračunavanje koristi ponderisana aritmetička sredina.

Isti problem se ne može riješiti formulaičnom metodom, već tabelarnom metodom, odnosno unosom svih podataka međuproračunima u tablicu.

Kao rezultat, sve što sada treba da se uradi je da razdvojite dva zbroja ispravnim redosledom.

Prosječna mjesečna isplata po djetetu iznosila je 1.910 rubalja.

O. Pošto su podaci prikazani u tabeli, koristimo ponderisani obrazac za proračun.

B. Učestalost (trošak proizvodnje) je data implicitnom količinom (učestalost je data u rublja tačka algoritma B1), što znači da se za proračun koristi ponderisani harmonijski prosjek. Općenito, u suštini, trošak proizvodnje je složen pokazatelj, koji se dobija množenjem cijene jedinice proizvoda s brojem takvih proizvoda, to je suština harmonične srednje vrijednosti.

Da bi se ovaj problem riješio pomoću formule aritmetičke sredine, potrebno je da umjesto cijene proizvodnje bude broj proizvoda sa odgovarajućom vrijednošću.

Napominjemo da je zbir u nazivniku koji se dobije nakon proračuna 410 (120+80+210) ovo je ukupan broj proizvedenih proizvoda.

Prosječna cijena po jedinici proizvoda iznosila je 314,4 rubalja.

O. Pošto su podaci prikazani u tabeli, koristimo ponderisani obrazac za proračun.

B. Pošto treba da nađemo prosečnu cenu po jedinici proizvoda, opcije su u prvoj koloni, tu stavljamo oznaku x, druga kolona automatski postaje frekvencija f.

B. Učestalost (ukupan broj izostanaka) je data implicitnom veličinom (ovo je proizvod dva pokazatelja broja izostanaka i broja učenika sa tim brojem izostanaka), što znači da se koristi ponderisani harmonični prosjek za obračun. Koristićemo tačku algoritma B2.

Da bi se ovaj problem riješio pomoću formule aritmetičke sredine, potrebno je da umjesto ukupnog broja izostanaka bude broj učenika.

Izrađujemo logičnu formulu za izračunavanje prosječnog broja izostanaka po učeniku.

Učestalost po stanju zadatka Ukupan broj propusta. U logičkoj formuli, ovaj indikator je u brojiocu, što znači da koristimo formulu harmonske srednje vrijednosti.

Napominjemo da je zbir u nazivniku, koji nastaje nakon izračunavanja 31 (18+8+5), ukupan broj učenika.

Prosječan broj izostanaka po učeniku je 13,8 dana.

Pretpostavimo da trebate pronaći prosječan broj dana za izvršavanje zadataka različitih zaposlenika. Ili želite da izračunate vremenski interval od 10 godina Prosječna temperatura na određeni dan. Izračunavanje prosjeka niza brojeva na nekoliko načina.

Srednja vrijednost je funkcija mjere centralne tendencije u kojoj se nalazi centar niza brojeva u statističkoj distribuciji. Tri su najčešća kriterijuma centralne tendencije.

Prosjek Aritmetička sredina se izračunava dodavanjem niza brojeva, a zatim dijeljenjem broja tih brojeva. Na primjer, prosjek od 2, 3, 3, 5, 7 i 10 je 30 podijeljen sa 6,5;

Medijan Prosječan broj niza brojeva. Polovina brojeva ima vrijednosti koje su veće od medijane, a polovina brojeva ima vrijednosti koje su manje od medijane. Na primjer, medijan od 2, 3, 3, 5, 7 i 10 je 4.

Mode Najčešći broj u grupi brojeva. Na primjer, način rada 2, 3, 3, 5, 7 i 10 - 3.

Ove tri mjere centralne tendencije, simetrične raspodjele niza brojeva, su iste. U asimetričnoj raspodjeli većeg broja brojeva, oni mogu biti različiti.

Izračunajte prosjek ćelija koje su susjedne u istom redu ili koloni

Slijedite ove korake:

Izračunavanje prosjeka nasumičnih ćelija

Da biste izvršili ovaj zadatak, koristite funkciju PROSJEČNO. Kopirajte donju tabelu na prazan list papira.

Izračunavanje ponderisanog prosjeka

SUMPRODUCT I iznosi. v Ovaj primjer izračunava prosječnu jediničnu cijenu plaćenu za tri kupovine, pri čemu je svaka kupovina za različit broj jedinica po različitim jediničnim cijenama.

Kopirajte donju tabelu na prazan list papira.

Izračunavanje prosjeka brojeva, isključujući nulte vrijednosti

Da biste izvršili ovaj zadatak, koristite funkcije PROSJEČNO I Ako. Kopirajte donju tabelu i imajte na umu da je u ovom primjeru, radi lakšeg razumijevanja, kopirajte na prazan list papira.

Aritmetička sredina je statistički indikator koji pokazuje prosječnu vrijednost datog niza podataka. Ovaj indikator se izračunava kao razlomak, čiji je brojnik zbir svih vrijednosti u nizu, a nazivnik je njihov broj. Aritmetička sredina je važan koeficijent koji se koristi u svakodnevnim proračunima.

Značenje koeficijenta

Aritmetička sredina je elementarni indikator za poređenje podataka i izračunavanje prihvatljive vrijednosti. Na primjer, različite trgovine prodaju limenku piva određenog proizvođača. Ali u jednoj prodavnici košta 67 rubalja, u drugoj - 70 rubalja, u trećoj - 65 rubalja, au poslednjoj - 62 rubalja. Raspon cijena je prilično širok, pa će kupca zanimati prosječna cijena limenke kako bi prilikom kupovine proizvoda mogao uporediti svoje troškove. Prosječna cijena limenke piva u gradu je:

Prosječna cijena = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 rubalja.

Poznavajući prosječnu cijenu, lako je odrediti gdje je isplativo kupiti proizvod, a gdje ćete morati preplatiti.

Aritmetička sredina se stalno koristi u statističkim proračunima u slučajevima kada se analizira homogeni skup podataka. U gornjem primjeru, ovo je cijena limenke piva iste marke. Međutim, ne možemo uspoređivati cijene piva različitih proizvođača ili cijene piva i limunade, jer će u tom slučaju raspon vrijednosti biti veći, prosječna cijena će biti zamagljena i nepouzdana, a sam smisao kalkulacije će biti iskrivljena do granice karikature." prosječna temperatura oko bolnice." Za izračunavanje heterogenih skupova podataka koristi se ponderisana aritmetička sredina, kada svaka vrijednost dobije svoj težinski koeficijent.

Izračunavanje aritmetičke sredine

Formula za izračun je izuzetno jednostavna:

P = (a1 + a2 + … an) / n,

gdje je an vrijednost količine, n je ukupan broj vrijednosti.

Za šta se može koristiti ovaj indikator? Prva i očigledna upotreba je u statistici. Gotovo svaka statistička studija koristi aritmetičku sredinu. To može biti prosečne starosti brak u Rusiji, prosječna ocjena iz predmeta za školskog djeteta ili prosječna potrošnja na namirnice po danu. Kao što je gore spomenuto, bez uzimanja u obzir pondera, izračunavanje prosjeka može proizvesti čudne ili apsurdne vrijednosti.

Na primjer, predsjednik Ruska Federacija dao izjavu da je prema statistici prosječna plata Rusa 27.000 rubalja. Za većinu stanovnika Rusije ovaj nivo plata izgledao je apsurdno. Nije iznenađujuće ako se prilikom izračunavanja uzmu u obzir prihodi oligarha, šefova industrijskih preduzeća, velikih bankara s jedne strane i plate učitelja, čistačica i prodavaca s druge strane. Čak i prosječne plate u jednoj specijalnosti, na primjer, računovođa, imat će ozbiljne razlike u Moskvi, Kostromi i Jekaterinburgu.

Kako izračunati prosjek za heterogene podatke

U situacijama platnog spiska, važno je uzeti u obzir težinu svake vrijednosti. To znači da bi plate oligarha i bankara dobijale ponder od, na primjer, 0,00001, a plate prodavača - 0,12. Ovo su brojke iz vedra neba, ali one otprilike ilustruju rasprostranjenost oligarha i prodavača u ruskom društvu.

Dakle, za izračunavanje prosjeka prosjeka ili prosječnih vrijednosti u heterogenom skupu podataka, potrebno je koristiti aritmetički ponderisani prosjek. U suprotnom ćete dobiti prosječnu platu u Rusiji od 27.000 rubalja. Ako želite da znate svoje prosječna ocjena iz matematike ili prosječnog broja golova koje je postigao odabrani hokejaš, onda će vam odgovarati kalkulator aritmetičkog prosjeka.

Naš program je jednostavan i praktičan kalkulator za izračunavanje aritmetičkog prosjeka. Da biste izvršili proračune, potrebno je samo unijeti vrijednosti parametara.

Pogledajmo nekoliko primjera

Izračun prosječne ocjene

Mnogi nastavnici koriste metod aritmetičkog prosjeka za određivanje godišnje ocjene za predmet. Zamislimo da je dijete iz matematike dobilo sljedeće četvrtine: 3, 3, 5, 4. Koju godišnju ocjenu će mu dati nastavnik? Upotrijebimo kalkulator i izračunajmo aritmetički prosjek. Za početak odaberite odgovarajući broj polja i unesite vrijednosti ocjene u ćelije koje se pojavljuju:

(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75

Nastavnik će zaokružiti vrijednost u korist učenika, a učenik će dobiti solidnu B za godinu.

Obračun pojedenih bombona

Ilustrujmo neke od apsurdnosti aritmetičkog prosjeka. Zamislimo da su Maša i Vova imali 10 bombona. Maša je pojela 8 bombona, a Vova samo 2. Koliko je slatkiša u prosjeku pojelo svako dijete? Koristeći kalkulator, lako je izračunati da su djeca u prosjeku pojela 5 bombona, što je potpuno netačno i zdrav razum. Ovaj primjer pokazuje da je aritmetička sredina važna za smislene skupove podataka.

Zaključak

Izračunavanje aritmetičke sredine se široko koristi u mnogim naučnim oblastima. Ovaj indikator je popularan ne samo u statističkim proračunima, već iu fizici, mehanici, ekonomiji, medicini ili finansijama. Koristite naše kalkulatore kao pomoćnika za rješavanje zadataka koji uključuju izračunavanje aritmetičke sredine.

Najviše u ek. U praksi moramo koristiti aritmetičku sredinu, koja se može izračunati kao jednostavna i ponderisana aritmetička sredina.

aritmetički prosjek (SA)-n Najčešći tip prosjeka. Koristi se u slučajevima kada je volumen promjenljive karakteristike za cijelu populaciju zbir vrijednosti karakteristika njenih pojedinačnih jedinica. Društvene pojave karakterizira aditivnost (ukupnost) volumena različite karakteristike; to određuje obim primjene SA i objašnjava njegovu rasprostranjenost kao opći pokazatelj, na primjer: opšti fond plata je zbir plata svih zaposlenih.

Da biste izračunali SA, trebate podijeliti zbir svih vrijednosti karakteristika njihovim brojem. SA se koristi u 2 oblika.

Hajde da prvo razmotrimo jednostavnu aritmetičku sredinu.

1-CA jednostavan (početni, definirajući oblik) jednak je jednostavnom zbroju pojedinačnih vrijednosti karakteristike koja se u prosjeku dijeli s ukupnim brojem ovih vrijednosti (koristi se kada postoje negrupirane vrijednosti indeksa karakteristike):

Napravljeni proračuni mogu se generalizirati u sljedeću formulu:

(1)

Gdje - prosječna vrijednost varijabilne karakteristike, odnosno prosječne aritmetičke sredine;

znači sumiranje, odnosno dodavanje individualnih karakteristika;

x- pojedinačne vrijednosti varijabilne karakteristike, koje se nazivaju varijante;

n - broj jedinica stanovništva

Primjer 1, potrebno je pronaći prosječan učinak jednog radnika (mehaničara), ako se zna koliko je dijelova proizveo svaki od 15 radnika, tj. s obzirom na seriju ind. vrijednosti atributa, kom.: 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Jednostavni SA izračunava se pomoću formule (1), kom.:

Primjer 2. Izračunajmo SA na osnovu uslovnih podataka za 20 prodavnica uključenih u trgovačko preduzeće (tabela 1). Tabela 1

Distribucija lokala trgovačkog preduzeća "Vesna" po prodajnoj površini, kv. M

Prodavnica br.		Prodavnica br.

Za izračunavanje prosječne površine trgovine ( ) potrebno je zbrojiti površine svih trgovina i dobiveni rezultat podijeliti s brojem trgovina:

Tako je prosječna prodajna površina za ovu grupu maloprodajnih preduzeća 71 m2.

Stoga, da biste odredili jednostavan SA, trebate podijeliti zbroj svih vrijednosti datog atributa s brojem jedinica koje posjeduju ovaj atribut.

Gdje f 1 , f 2 , … ,f n – težina (učestalost ponavljanja identičnih znakova);

– zbir proizvoda veličine karakteristika i njihovih frekvencija;

– ukupan broj populacijskih jedinica.

- SA ponderisan - Sa Sredina opcija koje se ponavljaju različit broj puta, ili, kako kažu, imaju različite težine. Ponderi su brojevi jedinica u različitim grupama stanovništva (identične opcije se kombinuju u grupu). SA ponderisan – prosjek grupisanih vrijednosti x 1 , x 2 , .., x n, – izračunato:

(2)

Gdje X- opcije;

f- frekvencija (težina).

Ponderisani SA je količnik dijeljenja zbira proizvoda opcija i njihovih odgovarajućih frekvencija zbirom svih frekvencija. Frekvencije ( f) koji se pojavljuju u SA formuli obično se nazivaju vage, zbog čega se SA izračunat uzimajući u obzir pondere naziva ponderiranim.

Ilustrovaćemo tehniku izračunavanja ponderisanog SA koristeći gore opisani primer 1. Da bismo to uradili, grupisaćemo početne podatke i staviti ih u tabelu.

Prosjek grupisanih podataka određuje se na sljedeći način: prvo se opcije množe sa frekvencijama, zatim se sabiraju proizvodi i rezultirajuća suma se dijeli zbirom frekvencija.

Prema formuli (2), ponderisani SA je jednak, kom.:

Raspodjela radnika za proizvodnju dijelova

Podaci prikazani u prethodnom primjeru 2 mogu se kombinovati u homogene grupe, koje su prikazane u tabeli. Table

Raspodjela prodavnica Vesna po prodajnim površinama, kv. m

Dakle, rezultat je bio isti. Međutim, ovo će već biti ponderisana aritmetička srednja vrednost.

U prethodnom primjeru izračunali smo aritmetički prosjek pod uvjetom da su poznate apsolutne frekvencije (broj trgovina). Međutim, u velikom broju slučajeva apsolutne frekvencije izostaju, ali su relativne frekvencije poznate, ili, kako se obično nazivaju, frekvencije koje pokazuju proporciju ili udio frekvencija u cijelom setu.

Prilikom izračunavanja SA ponderisane upotrebe frekvencije omogućava vam da pojednostavite proračune kada je frekvencija izražena velikim, višecifrenim brojevima. Izračun se vrši na isti način, međutim, budući da se prosječna vrijednost poveća za 100 puta, rezultat treba podijeliti sa 100.

Tada će formula za aritmetički ponderirani prosjek izgledati ovako:

Gdje d– frekvencija, tj. udio svake frekvencije u ukupnom zbiru svih frekvencija.

(3)

U našem primjeru 2 prvo utvrđujemo udio trgovina po grupama u ukupnom broju radnji kompanije Vesna. Dakle, za prvu grupu specifična težina odgovara 10%
. Dobijamo sljedeće podatke Tabela3