UlazSvojstva aritmetičkih operacija s racionalnim brojevima. "radnje sa racionalnim brojevima"
U ovoj lekciji ćemo se prisjetiti osnovnih svojstava operacija s brojevima. Ne samo da ćemo pregledati osnovna svojstva, već ćemo naučiti i kako ih primijeniti na racionalne brojeve. Svo stečeno znanje ćemo objediniti rješavanjem primjera.
Osnovna svojstva operacija sa brojevima:
Prva dva svojstva su svojstva sabiranja, sljedeća dva su svojstva množenja. Peto svojstvo se odnosi na obje operacije.
Nema ništa novo u ovim nekretninama. Važili su i za prirodne i za cijele brojeve. Oni su takođe istiniti za racionalni brojevi i važiće za brojeve koje ćemo dalje proučavati (na primer, iracionalne brojeve).
Svojstva permutacije:
Preuređivanje termina ili faktora ne mijenja rezultat.
Svojstva kombinacije:, .
Sabiranje ili množenje više brojeva može se izvršiti bilo kojim redoslijedom.
Raspodjela imovine:.
Svojstvo povezuje obje operacije - zbrajanje i množenje. Također, ako ga čitate s lijeva na desno, onda se to zove pravilo otvaranja zagrada, a ako je u suprotnom smjeru, naziva se pravilo za stavljanje zajedničkog faktora van zagrada.
Sljedeća dva svojstva opisuju neutralni elementi za sabiranje i množenje: zbrajanjem nule i množenjem sa jedan ne mijenja se originalni broj.
Još dva svojstva koja opisuju simetričnih elemenata za sabiranje i množenje, zbir suprotnih brojeva je nula; proizvod recipročnih brojeva jednak je jedan.
Sljedeća nekretnina: . Ako se broj pomnoži sa nulom, rezultat će uvijek biti nula.
Posljednja nekretnina koju ćemo pogledati je: .
Množenjem broja sa , dobivamo suprotan broj. Ova nekretnina ima posebnu karakteristiku. Sva druga razmatrana svojstva nisu se mogla dokazati korištenjem ostalih. Ista svojstva se mogu dokazati prethodnim.
Množenje sa
Dokažimo da ako pomnožimo broj sa , dobićemo suprotan broj. Za ovo koristimo svojstvo distribucije: .
Ovo važi za sve brojeve. Zamenimo i umesto broja:
Na lijevoj strani u zagradama je zbir međusobno suprotnih brojeva. Njihov zbir je nula (imamo takvo svojstvo). Na lijevoj strani. Sa desne strane dobijamo: 
.
Sada imamo nulu na lijevoj strani, a zbir dva broja na desnoj strani. Ali ako je zbir dva broja nula, onda su ti brojevi međusobno suprotni. Ali broj ima samo jedan suprotan broj: . Dakle, ovo je ono što je: .
Imovina je dokazana.
Takvo svojstvo, koje se može dokazati korištenjem prethodnih svojstava, naziva se teorema
Zašto ovdje nema svojstava oduzimanja i dijeljenja? Na primjer, moglo bi se napisati distributivno svojstvo za oduzimanje: .
Ali pošto:
- Oduzimanje bilo kojeg broja može se ekvivalentno napisati kao sabiranje zamjenom broja njegovom suprotnošću:
- Deljenje se može napisati kao množenje sa recipročnim:
To znači da se svojstva sabiranja i množenja mogu primijeniti na oduzimanje i dijeljenje. Kao rezultat toga, lista svojstava koja treba zapamtiti je kraća.
Sva svojstva koja smo razmatrali nisu isključivo svojstva racionalnih brojeva. Ostali brojevi, na primjer, iracionalni, također se pridržavaju svih ovih pravila. Na primjer, zbir njegovog suprotnog broja je nula: .
Sada ćemo prijeći na praktični dio, rješavajući nekoliko primjera.
Racionalni brojevi u životu
One osobine objekata koje možemo kvantitativno opisati, označiti nekim brojem, nazivaju se vrijednosti: dužina, težina, temperatura, količina.
Ista količina može biti označena i cijelim i razlomkom, pozitivnim ili negativnim.
Na primjer, vaša visina je m - razlomak broj. Ali možemo reći da je jednako cm - to je već cijeli broj (slika 1).
Rice. 1. Ilustracija na primjer
Još jedan primjer. Negativna temperatura na Celzijusovoj skali će biti pozitivna na Kelvinovoj skali (slika 2).
Rice. 2. Ilustracija na primjer
Prilikom izgradnje zida kuće jedna osoba može izmjeriti širinu i visinu u metrima. On proizvodi frakcione količine. On će izvršiti sve daljnje proračune s razlomcima (racionalnim) brojevima. Druga osoba može izmjeriti sve u broju cigli po širini i visini. Nakon što je dobio samo cjelobrojne vrijednosti, on će izvršiti proračune s cijelim brojevima.
Same količine nisu ni cijele ni razlomke, niti negativne niti pozitivne. Ali broj kojim opisujemo vrijednost neke veličine je već prilično specifičan (na primjer, negativan i razlomak). Zavisi od mjerne skale. A kada pređemo sa stvarnih veličina na matematički model, radimo sa specifičnom vrstom brojeva
Počnimo sa sabiranjem. Uslovi se mogu preurediti na bilo koji način koji nam odgovara, a radnje se mogu izvoditi bilo kojim redoslijedom. Ako se izrazi različitih znakova završavaju istom cifrom, tada je zgodno prvo izvršiti operacije s njima. Da bismo to uradili, zamenimo uslove. Na primjer:
Uobičajeni razlomci sa isti imenioci lako se sklapa.
Zbir suprotnih brojeva je nula. Brojeve sa istim decimalnim repovima je lako oduzeti. Koristeći ova svojstva, kao i komutativni zakon sabiranja, možete olakšati izračunavanje vrijednosti, na primjer, sljedećeg izraza:
Lako je dodati brojeve sa komplementarnim decimalnim repovima. Sa cijelim i razlomcima mešoviti brojevi pogodan za rad odvojeno. Koristimo ova svojstva kada izračunavamo vrijednost sljedećeg izraza:
Pređimo na množenje. Postoje parovi brojeva koje je lako pomnožiti. Koristeći komutativno svojstvo, možete preurediti faktore tako da budu susjedni. Broj minusa u proizvodu može se odmah prebrojati i izvući zaključak o predznaku rezultata.
Razmotrite ovaj primjer:
Ako od faktora jednaka nuli, tada je proizvod jednak nuli, na primjer: .
Proizvod recipročnih brojeva jednak je jedan, a množenje sa jedan ne mijenja vrijednost proizvoda. Razmotrite ovaj primjer:
Pogledajmo primjer korištenja distributivnog svojstva. Ako otvorite zagrade, svako množenje je lako.
Srednja škola Badamshinskaya br. 2
matematike
u 6. razredu
"Radnje s racionalnim brojevima"
pripremljeno
nastavnik matematike
Babenko Larisa Grigorijevna
With. Badamsha
2014
Tema lekcije:« Operacije s racionalnim brojevima».
Vrsta lekcije :
Čas generalizacije i sistematizacije znanja.
Ciljevi lekcije:
edukativni:
Sumirati i sistematizovati znanja učenika o pravilima rada sa pozitivnim i negativnim brojevima;
Ojačati sposobnost primjene pravila tokom vježbi;
Razvijati samostalne radne vještine;
razvijanje:
Develop logičko razmišljanje, matematički govor, računske vještine; - razvijaju sposobnost primjene stečenih znanja za rješavanje primijenjenih problema; - proširite svoje vidike;
podizanje:
Vaspitanje kognitivni interes predmetu.
Oprema:
Listovi sa tekstovima zadataka, zadacima za svakog učenika;
Matematika. Udžbenik za 6. razred obrazovne institucije/
N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Česnokov, S. I. Shvartsburd. – M., 2010.
Plan lekcije:
Organiziranje vremena.
Radite usmeno
Pregled pravila za sabiranje i oduzimanje brojeva sa različiti znakovi. Ažuriranje znanja.
Rješavanje zadataka prema udžbeniku
Pokretanje testa
Sumiranje lekcije. Postavljanje domaće zadaće
Refleksija
Tokom nastave
Organiziranje vremena.
Pozdrav od nastavnika i učenika.
Prijavi temu časa, plan rada za čas.
Danas imamo neobičnu lekciju. U ovoj lekciji ćemo se prisjetiti svih pravila operacija s racionalnim brojevima i sposobnosti izvođenja operacija sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja.
Moto naše lekcije biće kineska parabola:
„Reci mi i zaboraviću;
Pokaži mi i zapamtiću;
Pusti me da to uradim i razumeću.”
Želim da te pozovem na putovanje.
Usred prostora gde se jasno videlo izlazak sunca, prostirala se uska, nenaseljena zemlja - brojevna prava. Ne zna se gdje je počelo i ne zna se gdje je završilo. I prvi su naselili ovu zemlju cijeli brojevi. Koji brojevi se nazivaju prirodni brojevi i kako se označavaju?
odgovor:
Brojevi 1, 2, 3, 4,…..koriste se za brojanje objekata ili za označavanje serijski broj jednog ili drugog objekta među homogenim objektima nazivaju se prirodnim (N ).
Verbalno brojanje
88-19 72:8 200-60
Odgovori: 134; 61; 2180.
Bilo ih je beskonačno mnogo, ali zemlja, iako mala po širini, bila je beskonačna po dužini, tako da se sve od jednog do beskonačnosti uklopilo i formiralo prvo stanje, skup prirodnih brojeva.
Rad na zadatku.
Zemlja je bila izuzetno lepa. Veličanstveni vrtovi su se nalazili na cijeloj teritoriji. To su trešnja, jabuka, breskva. Sada ćemo pogledati jednu od njih.
Svaka tri dana ima 20 posto više zrelih trešanja. Koliko će zrelih plodova ova trešnja imati nakon 9 dana, ako je na početku posmatranja na njoj bilo 250 zrelih trešanja?
Odgovor: 432 zrela ploda će biti na ovoj trešnji za 9 dana (300; 360; 432).
Neki novi brojevi su počeli da se naseljavaju na teritoriju prve države, a ti brojevi su zajedno sa prirodnim formirali novu državu, koju ćemo saznati rešavanjem zadatka.
Učenici imaju dva lista papira na svojim stolovima:
1. Izračunajte:
1)-48+53 2)45-(-23) 3)-7,5:(-0,5) 4)-4x(-15)
1)56:(-8) 2)-3,3-4,7 3)-5,6:(-0,1) 4)9-12
1)48-54 2)37-(-37) 3)-52,7+42,7 4)-6x1/3
1)-12x(-6) 2)-90:(-15) 3)-25+45 4)6-(-10)
vježba: Povežite sve prirodne brojeve u nizu bez podizanja ruke i imenujte rezultirajuće slovo.
Odgovori na test:
5 68 15 60
72 6 20 16
Pitanje:Šta znači ovaj simbol? Koji se brojevi nazivaju cijeli brojevi?
Odgovori: 1) Lijevo, sa teritorije prve države, naselio se broj 0, lijevo od njega -1, još dalje lijevo -2 itd. do beskonačnosti. Ovi brojevi, zajedno sa prirodnim brojevima, formirali su novo prošireno stanje, skup celih brojeva.
2) Prirodni brojevi, njihovi suprotni brojevi i nula nazivaju se cijeli brojevi ( Z ).
Ponavljanje naučenog.
1) Sljedeća stranica naše bajke je očarana. Hajde da ga razočaramo, ispravimo greške.
27 · 4 0 -27 = 27 0 · (-27) = 0
63 3 0 · 40 (-6) · (-6) -625 124
50 · 8 27 -18: (-2)
odgovori:
-27 4 27 0 (-27) = 0
-50 8 4 -36:6
2) Nastavimo sa slušanjem priče.
On slobodna mjesta brojevnoj pravoj dodani su razlomci 2/5; −4/5; 3.6; −2,2;... Razlomci su zajedno sa prvim naseljenicima formirali sledeće prošireno stanje - skup racionalnih brojeva. ( Q)
1) Koji se brojevi nazivaju racionalnim?
2) Da li je bilo koji cijeli ili decimalni razlomak racionalan broj?
3) Pokažite da je svaki cijeli broj, bilo koji decimalni razlomak racionalan broj.
Zadatak na tabli: 8; 3 ; -6; - ; - 4,2; – 7,36; 0; .
odgovori:
1) Broj koji se može napisati kao omjer , gdje je a cijeli broj, a n prirodan broj, naziva se racionalnim brojem .
2) Da.
3) .
Sada znate cijele brojeve i razlomke, pozitivne i negativni brojevi, kao i broj nula. Svi ovi brojevi nazivaju se racionalnim, što u prijevodu na ruski znači " podložan umu."
Racionalni brojevi
pozitivna nula negativna
cijeli razlomak cijeli razlomak
Da biste u budućnosti uspješno učili matematiku (i ne samo matematiku), morate dobro poznavati pravila aritmetičke operacije sa racionalnim brojevima, uključujući pravila znakova. I tako su različiti! Neće potrajati dugo da se zbunite.
Minut fizičkog vaspitanja.
Dinamička pauza.
Učitelj: Svaki posao zahteva pauzu. Hajde da se odmorimo!
Uradimo vježbe oporavka:
1) Jedan, dva, tri, četiri, pet -
Jednom! Ustani, podigni se,
Dva! Sagni se, uspravi se,
Tri! tri pljeska rukama,
Tri klimanja glavom.
Četiri znači šire ruke.
Pet - mašite rukama. Šest - mirno sjedite za svojim stolom.
(Djeca izvode pokrete prateći učitelja prema sadržaju teksta.)
2) Brzo trepnite, zatvorite oči i sjedite tako da brojite do pet. Ponovite 5 puta.
3) Čvrsto zatvorite oči, brojite do tri, otvorite ih i gledajte u daljinu, brojeći do pet. Ponovite 5 puta.
Istorijska stranica.
U životu, kao iu bajkama, ljudi su postepeno „otkrivali“ racionalne brojeve. U početku, prilikom brojanja objekata, nastali su prirodni brojevi. U početku ih je bilo malo. U početku su nastali samo brojevi 1 i 2. Riječi “solista”, “sunce”, “solidarnost” potiču od latinskog “solus” (jedan). Mnoga plemena nisu imala druge brojeve. Umjesto “3” rekli su “jedan-dva”, umjesto “4” rekli su “dva-dva”. I tako do šest. A onda je došlo „mnogo“. Ljudi su nailazili na razlomke kada su dijelili plijen i kada su mjerili količine. Da bi se olakšao rad sa razlomcima, oni su izmišljeni decimale. U Evropu ih je uveo 1585. godine holandski matematičar.
Rad na jednačinama
Ime matematičara saznat ćete rješavanjem jednadžbi i korištenjem koordinatnog pravca kako biste pronašli slovo koje odgovara datoj koordinati.
1) -2,5 + x = 3,5 2) -0,3 x = 0,6 3) y – 3,4 = -7,4
4) – 0,8: x = -0,4 5)a · (-8) =0 6)m + (- )=
E A T M I O V R N U S
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
odgovori:
6 (C) 4)2 (B)
-2 (T) 5) 0 (I)
-4(E) 6)4(H)
STEVIN - holandski matematičar i inženjer (Simon Stevin)
Istorijska stranica.
Učitelj:
Bez poznavanja prošlosti u razvoju nauke nemoguće je razumeti njenu sadašnjost. Ljudi su naučili izvoditi operacije s negativnim brojevima još prije naše ere. Indijski matematičari su pozitivne brojeve smatrali „svojstvima“, a negativne brojeve „dugovima“. Ovako je indijski matematičar Brahmagupta (7. vek) postavio neka pravila za izvođenje operacija sa pozitivnim i negativnim brojevima:
"Zbroj dva svojstva je svojina"
"Zbroj dva duga je dug"
"Zbroj imovine i duga jednak je njihovoj razlici,"
“Proizvod dvije imovine ili dva duga je imovina”, “Proizvod imovine i duga je dug.”
Ljudi, molim vas prevedite drevna indijska pravila na savremeni jezik.
Poruka nastavnika:
Kao da nema topline na svetu bez sunca,
Bez zimskog snega i bez cvetnog lišća,
U matematici nema operacija bez znakova!
Od djece se traži da pogode koji znak akcije nedostaje.
Vježbajte. Popunite znak koji nedostaje.
− 1,2 1,4 = − 2,6
3,2 (− 8) = − 0,4
1 (− 1,7) = 2,7
− 4,5 (− 0,5) = 9
− 1,3 2,8 = 1,5
Odgovori: 1) + 2) ∙ 3) − 4) : 5) − 6) :
Samostalan rad(napišite odgovore na zadatke na listu):
Uporedite brojeve
pronađite njihove module
porediti sa nulom
pronađite njihov zbir
pronađite njihovu razliku
nađi posao
pronađite količnik
napiši suprotne brojeve
pronađite udaljenost između ovih brojeva
10) koliko se cijelih brojeva nalazi između njih
11) pronađite zbir svih celih brojeva koji se nalaze između njih.
Kriterijumi ocjenjivanja: sve je točno riješeno – “5”
1-2 greške - “4”
3-4 greške - “3”
više od 4 greške - “2”
Individualni rad po kartama(dodatno).
Kartica 1. Riješite jednačinu: 8,4 – (x – 3,6) = 18
Kartica 2. Riješite jednačinu: -0,2x · (-4) = -0,8
Kartica 3. Riješite jednačinu: =
Odgovori na kartice :
1) 6; 2) -1; 3) 4/15.
Igra "Ispit".
Stanovnici zemlje su živjeli srećno, igrali igrice, rješavali zadatke, jednačine i pozivali nas da se igramo kako bismo sumirali rezultate.
Učenici dolaze do table, uzimaju karticu i odgovaraju na zapisano pitanje poleđina.
pitanja:
1. Koji se od dva negativna broja smatra većim?
2. Formulirajte pravilo za dijeljenje negativnih brojeva.
3. Formulirajte pravilo za množenje negativnih brojeva.
4. Formulirajte pravilo za množenje brojeva sa različitim predznacima.
5. Formulirajte pravilo za dijeljenje brojeva sa različitim predznacima.
6. Formulirajte pravilo za sabiranje negativnih brojeva.
7. Formulirajte pravilo za sabiranje brojeva sa različitim predznacima.
8.Kako pronaći dužinu segmenta na koordinatnoj liniji?
9. Koji se brojevi nazivaju cijeli brojevi?
10. Koji brojevi se nazivaju racionalnim?
Rezimirajući.
Učitelj: Danas zadaća bit će kreativan:
Pripremite poruku “Pozitivni i negativni brojevi oko nas” ili sastavite bajku.
« Hvala na lekciji!!!"
Tada je a + b = b + a, a+(b + c) = (a + b) + c.
Dodavanje nule ne mijenja broj, ali je zbir suprotnih brojeva nula.
To znači da za bilo koji racionalni broj imamo: a + 0 = a, a + (- a) = 0.
Množenje racionalnih brojeva takođe ima komutativna i asocijativna svojstva. Drugim riječima, ako su a, b i c bilo koji racionalni brojevi, onda ab - ba, a(bc) - (ab)c.
Množenjem sa 1 se ne mijenja racionalan broj, ali je proizvod broja i njegovog inverza jednak 1.
To znači da za bilo koji racionalni broj a imamo:
a) x + 8 - x - 22; c) a-m + 7-8+m;
b) -x-a + 12+a -12; d) 6,1 -k + 2,8 + p - 8,8 + k - p.
1190. Odabravši prikladan postupak izračunavanja, pronađite vrijednost izraza:
1191. Formulirajte riječima komutativno svojstvo množenja ab = ba i provjerite kada:
1192. Formulirajte riječima asocijativno svojstvo množenja a(bc)=(ab)c i provjerite kada:
1193. Odabirom prikladnog redoslijeda izračunavanja, pronađite vrijednost izraza:
1194. Koji broj ćete dobiti (pozitivan ili negativan) ako pomnožite:
a) jedan negativan broj i dva pozitivna broja;
b) dva negativna i jedan pozitivan broj;
c) 7 negativnih i nekoliko pozitivnih brojeva;
d) 20 negativnih i nekoliko pozitivnih? Izvucite zaključak.
1195. Odredi znak proizvoda:
a) - 2 (- 3) (- 9) (-1,3) 14 (- 2,7) (- 2,9);
b) 4 (-11) (-12) (-13) (-15) (-17) 80 90.
a) Vitya, Kolya, Petya, Seryozha i Maxim okupili su se u teretani (Sl. 91, a). Ispostavilo se da svaki od dječaka poznaje još samo dvojicu. ko zna koga? (Ivica grafikona znači „mi se poznajemo.“)
b) Braća i sestre jedne porodice šetaju dvorištem. Koje od ove djece su dječaci, a koje djevojčice (Sl. 91, b)? (Tačkane ivice grafikona znače „ja sam sestra“, a pune „ja sam brat.“)
1205. Izračunaj:
1206. Uporedi:
a) 2 3 i 3 2; b) (-2) 3 i (-3) 2; c) 1 3 i 1 2; d) (-1) 3 i (-1) 2.
1207. Zaokruži 5,2853 na hiljaditinke; prije stotinke; do desetina; do jedinica.
1208. Riješite problem:
1) Motociklista sustiže biciklistu. Sada je između njih 23,4 km. Brzina motocikliste je 3,6 puta veća od brzine bicikliste. Nađite brzine bicikliste i motocikliste ako se zna da će motociklist sustići biciklistu za sat vremena.
2) Auto sustiže autobus. Sada je između njih 18 km. Brzina autobusa je ista kao i putničkog automobila. Pronađite brzine autobusa i automobila ako se zna da će auto sustići autobus za sat vremena.
1209. Pronađite značenje izraza:
1) (0,7245:0,23 - 2,45) 0,18 + 0,07 4;
2) (0,8925:0,17 - 4,65) 0,17+0,098;
3) (-2,8 + 3,7 -4,8) 1,5:0,9;
4) (5,7-6,6-1,9) 2,1:(-0,49).
Provjerite svoje proračune sa mikro kalkulator.
1210. Odabravši prikladan postupak izračunavanja, pronađite vrijednost izraza: 
1211. Pojednostavite izraz:
1212. Pronađite značenje izraza:
1213. Slijedite ove korake:
1214. Učenici su dobili zadatak da sakupe 2,5 tone starog metala. Prikupili su 3,2 tone starog metala. Za koliko su procenti učenici ispunili zadatak, a za koliko su premašili zadatak?
1215. Automobil je prešao 240 km. Od toga je 180 km hodala seoskim putem, a ostatak autoputem. Potrošnja benzina na svakih 10 km seoskog puta iznosila je 1,6 litara, a na autoputu - 25% manje. Koliko je litara benzina u prosjeku potrošeno na svakih 10 km putovanja?
1216. Napuštajući selo, biciklista je primijetio pješaka na mostu kako ide u istom pravcu i sustigao ga je nakon 12 minuta. Nađi brzinu pješaka ako je brzina bicikliste 15 km/h, a udaljenost od sela do mosta 1 km 800 m?
1217. Slijedite ove korake:
a) - 4,8 3,7 - 2,9 8,7 - 2,6 5,3 + 6,2 1,9;
b) -14,31:5,3 - 27,81:2,7 + 2,565:3,42+4,1 0,8;
c) 3,5 0,23 - 3,5 (- 0,64) + 0,87 (- 2,5).
Ljudi su, kao što znate, postepeno upoznavali racionalne brojeve. U početku, prilikom brojanja objekata, nastali su prirodni brojevi. U početku ih je bilo malo. Tako su do nedavno starosjedioci ostrva u Torresovom moreuzu (koji razdvaja Novu Gvineju od Australije) u svom jeziku imali nazive samo dva broja: “urapun” (jedan) i “okaz” (dva). Ostrvljani su brojali ovako: “Okaza-urapun” (tri), “Okaza-Okaza” (četiri) itd. Domoroci su sve brojeve, počevši od sedam, nazivali riječju koja znači “mnogo”.
Naučnici veruju da se reč za stotine pojavila pre više od 7.000 godina, za hiljade - pre 6.000 godina i pre 5.000 godina u Drevni Egipat i u Drevni Babilon imena se pojavljuju za ogromne brojeve - do milion. Ali dugo vremena prirodni niz brojeva smatran je konačnim: ljudi su mislili da ih ima najviše veliki broj.
Najveći starogrčki matematičar i fizičar Arhimed (287-212 pne) smislio je način da opiše ogromne brojeve. Najveći broj koji je Arhimed mogao imenovati bio je toliko velik da bi za digitalno snimanje bila potrebna traka dvije hiljade puta duža od udaljenosti od Zemlje do Sunca.
Ali još nisu bili u stanju da zapišu tako ogromne brojeve. Ovo je postalo moguće tek nakon indijskih matematičara u 6. veku. Broj nula je izmišljen i počeo je označavati odsustvo jedinica na decimalnim mjestima broja.
Prilikom podjele plijena i kasnije prilikom mjerenja vrijednosti, iu drugim sličnim slučajevima, ljudi su se susreli sa potrebom da se uvedu „izlomljeni brojevi“ - obični razlomci. Operacije sa razlomcima su se još u srednjem vijeku smatrale najtežim područjem matematike. Nemci i dan-danas za osobu koja se nađe u teškoj situaciji kažu da je „pao u razlomke“.
Da bi se olakšao rad sa razlomcima, izmišljene su decimale razlomci. U Evropi ih je u X585 uveo holandski matematičar i inženjer Simon Stevin.
Negativni brojevi su se pojavili kasnije od razlomaka. Za dugo vremena takvi brojevi su smatrani “nepostojećim”, “lažnim” prvenstveno zbog činjenice da je prihvaćeno tumačenje pozitivnih i negativnih brojeva “imovina - dug” dovelo do zabune: možete dodati ili oduzeti “imovinu” ili “dugove”, ali kako razumjeti proizvod ili privatnu “vlasništvo” i “dug”?
Međutim, uprkos takvim sumnjama i nedoumicama, pravila za množenje i dijeljenje pozitivnih i negativnih brojeva predložena su u 3. stoljeću. grčki matematičar Diofant (u obliku: „Ono što se oduzme, pomnoži sa onim što se doda, daje oduzeto; ono što se oduzme od oduzetog daje ono što se doda,“ itd.), a kasnije i indijski matematičar Bhaskar (XII vek) izrazio ista pravila u konceptima “imovina”, “dug” (“Proizvod dvije imovine ili dva duga je imovina; proizvod imovine i duga je dug.” Isto pravilo vrijedi i za diobu).
Utvrđeno je da su svojstva operacija nad negativnim brojevima ista kao i ona nad pozitivnim brojevima (na primjer, sabiranje i množenje imaju komutativno svojstvo). I konačno, od početka prošlog stoljeća negativni brojevi su postali jednaki pozitivnim brojevima.
Kasnije su se u matematici pojavili novi brojevi - iracionalni, kompleksni i drugi. Učiš o njima u srednjoj školi.
N.Ya.Vilenkin, A.S. Česnokov, S.I. Shvartsburd, V.I. Zhokhov, Matematika za 6. razred, Udžbenik za srednja škola
Knjige i udžbenici prema kalendarskom planu za 6. razred matematike preuzimanje, pomoć školarcima online
Crtanje. Aritmetičke operacije nad racionalnim brojevima.
Tekst:
Pravila za operacije sa racionalnim brojevima:
. kod sabiranja brojeva sa istim predznacima potrebno je sabrati njihove module i staviti njihov zajednički predznak ispred zbira;
. pri sabiranju dva broja sa različitim predznacima, od broja većeg modula oduzmite broj sa manjim modulom i stavite znak broja sa većim modulom ispred nastale razlike;
. Kada oduzimate jedan broj od drugog, potrebno je na minus dodati broj suprotan od onoga koji se oduzima: a - b = a + (-b)
. kada se množe dva broja s istim predznacima, njihovi se moduli množe i ispred rezultirajućeg proizvoda stavlja se znak plus;
. kada se množe dva broja s različitim predznacima, njihovi moduli se množe i ispred rezultirajućeg proizvoda stavlja se znak minus;
. kod dijeljenja brojeva sa istim predznacima, modul dividende dijeli se sa modulom djelitelja i ispred rezultirajućeg količnika stavlja se znak plus;
. kod dijeljenja brojeva s različitim predznacima, modul dividende se dijeli sa modulom djelitelja i ispred rezultirajućeg količnika stavlja se znak minus;
. Prilikom dijeljenja i množenja nule bilo kojim brojem koji nije jednak nuli, rezultat je nula:
. Ne možete podijeliti sa nulom.