Aritmetičke jednačine. Što je zbir aritmetičke progresije: formula. Aritmetička progresija. prosječan nivo

Vrsta lekcije: učenje novog gradiva.

Ciljevi lekcije:

• proširivanje i produbljivanje razumijevanja učenika o problemima rješavanim aritmetičkom progresijom; organiziranje aktivnosti pretraživanja učenika pri izvođenju formule za zbir prvih n članova aritmetičke progresije;
• razvijanje sposobnosti za samostalno sticanje novih znanja i korištenje već stečenih znanja za postizanje zadatog zadatka;
• razvijanje želje i potrebe za uopštavanjem dobijenih činjenica, razvijanje samostalnosti.

Zadaci:

• sumirati i sistematizovati postojeća znanja na temu „Aritmetička progresija“;
• izvesti formule za izračunavanje sume prvih n članova aritmetičke progresije;
• naučiti kako primijeniti dobijene formule pri rješavanju različitih zadataka;
• skrenuti pažnju učenika na postupak nalaženja vrijednosti brojevnog izraza.

Oprema:

• kartice sa zadacima za rad u grupama i parovima;
• evaluacijski papir;
• prezentacija"Aritmetička progresija."

I. Ažuriranje osnovnih znanja.

1. Samostalan rad u parovima.

1. opcija:

Definirajte aritmetičku progresiju. Zapišite formulu ponavljanja koja postavlja aritmetička progresija. Navedite primjer aritmetičke progresije i navedite njegovu razliku.

2. opcija:

Zapišite formulu za n-ti član aritmetičke progresije. Pronađite 100. član aritmetičke progresije ( a n}: 2, 5, 8 …
U ovom trenutku dva studenta stražnja strana odbori pripremaju odgovore na ista pitanja.
Učenici ocjenjuju rad svog partnera tako što ga provjeravaju na tabli. (Liste sa odgovorima se predaju.)

2. Trenutak igre.

Vježba 1.

Učitelju. Mislio sam na neku aritmetičku progresiju. Postavite mi samo dva pitanja kako biste nakon odgovora mogli brzo imenovati 7. član ove progresije. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Pitanja studenata.

1. Koji je šesti termin progresije i koja je razlika?
2. Koji je osmi termin progresije i koja je razlika?

Ako više nema pitanja, onda ih nastavnik može stimulirati - "zabrana" na d (razliku), odnosno nije dozvoljeno pitati čemu je razlika jednaka. Možete postavljati pitanja: čemu je jednak 6. član progresije, a čemu 8. član progresije?

Zadatak 2.

Na tabli je napisano 20 brojeva: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Učitelj stoji leđima okrenut tabli. Učenici prozivaju broj, a nastavnik odmah proziva sam broj. Objasnite kako to mogu učiniti?

Nastavnik pamti formulu za n-ti rok a n = 3n – 2 i, zamjenom navedenih vrijednosti n, pronalazi odgovarajuće vrijednosti a n.

II. Postavljanje zadatka za učenje.

Predlažem da rešim drevni problem koji datira iz 2. milenijuma pre nove ere, koji je pronađen u egipatskim papirusima.

zadatak:“Neka vam se kaže: podijelite 10 mjera ječma na 10 ljudi, razlika između svakog čovjeka i njegovog susjeda je 1/8 mjere.”

• Kako je ovaj problem povezan s aritmetičkom progresijom teme? (Svaka sljedeća osoba dobije 1/8 mjere više, što znači da je razlika d=1/8, 10 osoba, što znači n=10.)
• Šta mislite da znači broj 10 mjera? (Zbroj svih uslova progresije.)
• Šta još trebate znati da biste lako i jednostavno podijelili ječam prema uvjetima problema? (Prvi period napredovanja.)

Cilj lekcije– dobijanje zavisnosti zbira članova progresije od njihovog broja, prvog člana i razlike i provera da li je problem u antičko doba bio ispravno rešen.

Prije nego što zaključimo formulu, pogledajmo kako su stari Egipćani riješili problem.

I to su riješili na sljedeći način:

1) 10 mjera: 10 = 1 mjera – prosječan udio;
2) 1 takt ∙ = 2 takta – udvostručen prosjek dijeliti.
Udvostručeno prosjek udio je zbir udjela 5. i 6. lica.
3) 2 takta – 1/8 takta = 1 7/8 takta – duplo više od petog lica.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – dio petine; i tako dalje, možete pronaći udio svake prethodne i sljedeće osobe.

Dobijamo slijed:

III. Rješavanje problema.

1. Rad u grupama

Grupa I: Pronađite zbroj 20 uzastopnih prirodni brojevi: S 20 =(20+1)∙10 =210.

Uglavnom

II grupa: Pronađite zbir prirodnih brojeva od 1 do 100 (Legenda o malom Gausu).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

zaključak:

III grupa: Pronađite zbir prirodnih brojeva od 1 do 21.

Rješenje: 1+21=2+20=3+19=4+18…

zaključak:

IV grupa: Pronađite zbir prirodnih brojeva od 1 do 101.

zaključak:

Ova metoda rješavanja razmatranih problema naziva se “Gaussova metoda”.

2. Svaka grupa predstavlja rješenje problema na tabli.

3. Generalizacija predloženih rješenja za proizvoljnu aritmetičku progresiju:

a 1, a 2, a 3,…, a n-2, a n-1, a n.
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Nađimo ovaj zbir koristeći slično rezonovanje:

4. Jesmo li riješili problem?(Da.)

IV. Primarno razumijevanje i primjena dobijenih formula pri rješavanju zadataka.

1. Provjera rješenja starog problema pomoću formule.

2. Primjena formule u rješavanju različitih problema.

3. Vježbe za razvijanje sposobnosti primjene formula pri rješavanju zadataka.

A) Ne. 613

Dato: ( a n) – aritmetička progresija;

(a n): 1, 2, 3, …, 1500

Pronađite: S 1500

Rješenje: , a 1 = 1 i 1500 = 1500,

B) Dato: ( a n) – aritmetička progresija;
(a n): 1, 2, 3, …
S n = 210

Pronađite: n
Rješenje:

V. Samostalan rad uz međusobnu provjeru.

Denis je počeo da radi kao kurir. Prvog mjeseca njegova plata iznosila je 200 rubalja, u svakom narednom mjesecu povećavala se za 30 rubalja. Koliko je ukupno zaradio za godinu dana?

Dato: ( a n) – aritmetička progresija;
a 1 = 200, d=30, n=12
Pronađite: S 12
Rješenje:

Odgovor: Denis je za godinu dobio 4380 rubalja.

VI. Instrukcije za domaću zadaću.

1. Odjeljak 4.3 – naučite izvođenje formule.
2. №№ 585, 623 .
3. Napravite problem koji se može riješiti korištenjem formule za zbir prvih n članova aritmetičke progresije.

VII. Sumiranje lekcije.

1. Rezultati

2. Nastavite rečenice

• Danas na času sam naučio...
• Naučene formule...
• Vjerujem da …

3. Možete li pronaći zbir brojeva od 1 do 500? Koju metodu ćete koristiti za rješavanje ovog problema?

Bibliografija.

1. Algebra, 9. razred. Tutorial za obrazovne institucije. Ed. G.V. Dorofeeva. M.: „Prosvetljenje“, 2009.

Šta glavna poenta formule?

Ova formula vam omogućava da pronađete bilo koji NJEGOVIM BROJEM" n" .

Naravno, morate znati i prvi pojam a 1 i razlika u napredovanju d, pa, bez ovih parametara ne možete zapisati određenu progresiju.

Pamtiti (ili plakati) ovu formulu nije dovoljno. Morate razumjeti njegovu suštinu i primijeniti formulu u raznim problemima. I takođe da ne zaboravim u pravom trenutku, da...) Kako ne zaboravi- Ne znam. I ovdje kako zapamtiti Ako bude potrebno, svakako ću Vas savjetovati. Za one koji završe lekciju do kraja.)

Dakle, pogledajmo formulu za n-ti član aritmetičke progresije.

Šta je uopšte formula? Usput, pogledajte ako niste pročitali. Tamo je sve jednostavno. Ostaje da se shvati šta je to n-ti termin.

Progresija se općenito može zapisati kao niz brojeva:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1- označava prvi član aritmetičke progresije, a 3- treći član, a 4- četvrti, i tako dalje. Ako nas zanima peti mandat, recimo da radimo a 5, ako je sto dvadeseti - s a 120.

Kako to možemo definisati uopšteno? bilo kojičlan aritmetičke progresije, sa bilo koji broj? Veoma jednostavno! Volim ovo:

a n

To je ono što je n-ti član aritmetičke progresije. Slovo n sakriva sve brojeve članova odjednom: 1, 2, 3, 4, itd.

A šta nam takav zapis daje? Zamislite, umjesto broja napisali su slovo...

Ova notacija nam daje moćan alat za rad s aritmetičkom progresijom. Koristeći notaciju a n, možemo brzo pronaći bilo kojičlan bilo koji aritmetička progresija. I riješiti gomilu drugih problema napredovanja. Videćete dalje.

U formuli za n-ti član aritmetičke progresije:

a n = a 1 + (n-1)d

a 1- prvi član aritmetičke progresije;

n- članski broj.

Formula povezuje ključne parametre bilo koje progresije: a n ; a 1 ; d I n. Svi problemi progresije se vrte oko ovih parametara.

Formula n-tog pojma se također može koristiti za pisanje određene progresije. Na primjer, problem može reći da je progresija specificirana uvjetom:

a n = 5 + (n-1) 2.

Takav problem može biti ćorsokak... Nema ni niza ni razlike... Ali, upoređujući stanje sa formulom, lako je shvatiti da u ovoj progresiji a 1 =5 i d=2.

A može biti i gore!) Ako uzmemo isti uslov: a n = 5 + (n-1) 2, Da, otvorite zagrade i donesite slične? Dobijamo nova formula:

a n = 3 + 2n.

Ovo Samo ne općenito, već za konkretan napredak. Ovdje vreba zamka. Neki ljudi misle da je prvi mandat trojka. Iako je u stvarnosti prvi rok pet... Malo niže ćemo raditi sa ovako izmijenjenom formulom.

U problemima progresije postoji još jedna notacija - a n+1. Ovo je, kao što ste pogodili, "n plus prvi" član progresije. Njegovo značenje je jednostavno i bezopasno.) Ovo je član progresije čiji je broj veći od broja n za jedan. Na primjer, ako u nekom problemu uzmemo a n onda peti mandat a n+1 biće šesti član. itd.

Najčešće oznaka a n+1 nalazi u formulama recidiva. Ne bojte se ove strašne riječi!) Ovo je samo način izražavanja člana aritmetičke progresije kroz prethodni. Recimo da nam je data aritmetička progresija u ovom obliku, koristeći rekurentnu formulu:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Četvrti - kroz treći, peti - kroz četvrti, i tako dalje. Kako da odmah prebrojimo, recimo, dvadeseti rok? a 20? Ali nema šanse!) Dok ne saznamo 19. termin, 20. ne možemo računati. Ovo je fundamentalna razlika između rekurentne formule i formule n-og člana. Rekurentni radi samo kroz prethodni pojam, a formula n-tog člana je kroz prvo i dozvoljava odmah pronađite bilo kojeg člana po broju. Bez izračunavanja čitavog niza brojeva po redu.

U aritmetičkoj progresiji, lako je povratnu formulu pretvoriti u regularnu. Izbrojte par uzastopnih članova, izračunajte razliku d, pronađite, ako je potrebno, prvi pojam a 1, napišite formulu u njenom uobičajenom obliku i radite s njom. Takvi zadaci se često susreću u Državnoj akademiji nauka.

Primjena formule za n-ti član aritmetičke progresije.

Prvo, pogledajmo direktnu primjenu formule. Na kraju prethodne lekcije pojavio se problem:

Zadana je aritmetička progresija (a n). Pronađite 121 ako je a 1 =3 i d=1/6.

Ovaj problem se može riješiti bez ikakvih formula, jednostavno na osnovu značenja aritmetičke progresije. Dodajte i dodajte... Sat ili dva.)

A prema formuli, rješenje će trajati manje od minute. Možete ga odrediti na vrijeme.) Hajde da odlučimo.

Uvjeti pružaju sve podatke za korištenje formule: a 1 =3, d=1/6. Ostaje da shvatimo šta je jednako n. Nema problema! Moramo pronaći a 121. Pa pišemo:

Molimo obratite pažnju! Umjesto indeksa n pojavio se određeni broj: 121. Što je sasvim logično.) Zanima nas član aritmetičke progresije broj sto dvadeset jedan. Ovo će biti naše n. Ovo je smisao n= 121 zamenićemo dalje u formulu, u zagradama. Zamjenjujemo sve brojeve u formulu i izračunavamo:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

To je to. Jednako brzo se mogao naći petsto deseti pojam, a hiljadu treći, bilo koji. Stavili smo umjesto toga nželjeni broj u indeksu slova " a" i u zagradama, i računamo.

Dozvolite mi da vas podsjetim na poentu: ova formula vam omogućava da pronađete bilo koji termin aritmetičke progresije NJEGOVIM BROJEM" n" .

Hajde da riješimo problem na lukaviji način. Hajde da naletimo na sledeći problem:

Pronađite prvi član aritmetičke progresije (a n), ako je a 17 =-2; d=-0,5.

Ako budete imali poteškoća, reći ću vam prvi korak. Zapišite formulu za n-ti član aritmetičke progresije! Da da. Zapišite rukama, direktno u svoju svesku:

a n = a 1 + (n-1)d

I sada, gledajući slova formule, razumijemo koje podatke imamo, a šta nedostaje? Dostupan d=-0,5, ima sedamnaesti član... Je li to to? Ako mislite da je to to, onda nećete riješiti problem, da...

Još uvijek imamo broj n! U stanju a 17 =-2 skriveno dva parametra. Ovo je i vrijednost sedamnaestog člana (-2) i njegov broj (17). One. n=17. Ova „sitnica“ često prođe pored glave, a bez nje (bez „sitnice“, a ne glave!) problem se ne može rešiti. Mada... i bez glave.)

Sada možemo jednostavno glupo zamijeniti naše podatke u formulu:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Oh da, a 17 znamo da je -2. U redu, zamenimo:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

To je u osnovi sve. Ostaje da izrazimo prvi član aritmetičke progresije iz formule i izračunamo ga. Odgovor će biti: a 1 = 6.

Ova tehnika - zapisivanje formule i jednostavna zamjena poznatih podataka - je od velike pomoći u jednostavnim zadacima. Pa, naravno, morate znati izraziti varijablu iz formule, ali šta učiniti!? Bez ove veštine, matematika se možda uopšte neće izučavati...

Još jedna popularna zagonetka:

Naći razliku aritmetičke progresije (a n), ako je a 1 =2; a 15 =12.

Šta mi radimo? Iznenadit ćete se, pišemo formulu!)

a n = a 1 + (n-1)d

Hajde da razmotrimo šta znamo: a 1 =2; a 15 =12; i (posebno ću istaći!) n=15. Slobodno zamijenite ovo u formulu:

12=2 + (15-1)d

Radimo aritmetiku.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Ovo je tačan odgovor.

Dakle, zadaci za a n, a 1 I d odlučila. Ostaje samo naučiti kako pronaći broj:

Broj 99 je član aritmetičke progresije (a n), gdje je a 1 =12; d=3. Pronađite broj ovog člana.

Zamjenjujemo nam poznate količine u formulu n-tog člana:

a n = 12 + (n-1) 3

Na prvi pogled ovde postoje dve nepoznate količine: a n i n. Ali a n- ovo je neki član progresije sa brojem n...A mi poznajemo ovog člana progresije! To je 99. Ne znamo njegov broj. n, Dakle, ovaj broj je ono što trebate pronaći. Zamjenjujemo pojam progresije 99 u formulu:

99 = 12 + (n-1) 3

Izražavamo iz formule n, mi mislimo. Dobijamo odgovor: n=30.

A sada problem na istu temu, ali kreativniji):

Odredite da li je broj 117 član aritmetičke progresije (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Hajde da ponovo napišemo formulu. Šta, nema parametara? Hm... Zašto su nam date oči?) Vidimo li prvi član progresije? Vidimo. Ovo je -3,6. Možete sa sigurnošću napisati: a 1 = -3,6. Razlika d Možete li reći iz serije? Lako je ako znate koja je razlika aritmetičke progresije:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Dakle, uradili smo najjednostavniju stvar. Ostaje da se pozabavimo nepoznatim brojem n i nerazumljivi broj 117. U prethodnom zadatku se barem znalo da je zadan termin progresije. Ali ovde ni ne znamo... Šta da radimo!? Pa šta da se radi, šta da se radi... Uključi se Kreativne vještine!)

Mi pretpostavimo da je 117, na kraju krajeva, član našeg napredovanja. Sa nepoznatim brojem n. I, baš kao u prethodnom zadatku, pokušajmo pronaći ovaj broj. One. pišemo formulu (da, da!)) i zamjenjujemo naše brojeve:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Opet izražavamo iz formulen, računamo i dobijamo:

Ups! Broj se ispostavio fractional! Sto jedan i po. I razlomci u progresijama ne može biti. Kakav zaključak možemo izvući? Da! Broj 117 niječlan našeg napredovanja. To je negdje između sto prvog i sto drugog pojma. Ako je broj ispao prirodan, tj. je pozitivan cijeli broj, tada bi broj bio član progresije s pronađenim brojem. A u našem slučaju, odgovor na problem će biti: br.

Zadatak zasnovan na pravoj verziji GIA:

Aritmetička progresija je data uslovom:

a n = -4 + 6.8n

Pronađite prvi i deseti član progresije.

Ovdje je progresija postavljena na neobičan način. Nekakva formula... Dešava se.) Međutim, ova formula (kao što sam gore napisao) - također formula za n-ti član aritmetičke progresije! Ona takođe dozvoljava pronađite bilo kojeg člana progresije po njegovom broju.

Tražimo prvog člana. Onaj koji misli. da je prvi član minus četiri je fatalna greška!) Jer je formula u zadatku izmijenjena. Prvi član aritmetičke progresije u njemu skriveno. U redu je, sada ćemo to pronaći.)

Kao iu prethodnim problemima, vršimo zamjenu n=1 u ovu formulu:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Evo! Prvi član je 2,8, a ne -4!

Deseti pojam tražimo na isti način:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

To je to.

A sada, za one koji su pročitali ove redove, obećani bonus.)

Pretpostavimo da ste u teškoj borbenoj situaciji Državnog ispita ili Jedinstvenog državnog ispita zaboravili korisnu formulu za n-ti član aritmetičke progresije. Sjećam se nečega, ali nekako nesigurno... Ili n tamo, ili n+1, ili n-1... Kako biti!?

Miran! Ovu formulu je lako izvesti. Ne baš strogo, ali zbog samopouzdanja i ispravna odluka definitivno dovoljno!) Za zaključak je dovoljno zapamtiti elementarno značenje aritmetičke progresije i imati par minuta vremena. Samo treba da nacrtate sliku. Radi jasnoće.

Nacrtajte brojevnu pravu i označite prvu na njoj. drugi, treći itd. članovi. I primjećujemo razliku d između članova. Volim ovo:

Gledamo sliku i mislimo: čemu je jednak drugi član? Sekunda jedan d:

a 2 =a 1 + 1 d

Šta je treći termin? Treće pojam je jednak prvom članu plus dva d.

a 3 =a 1 + 2 d

Da li shvatate? Nije uzalud neke riječi podebljano. U redu, još jedan korak).

Šta je četvrti mandat? Četvrto pojam je jednak prvom članu plus tri d.

a 4 =a 1 + 3 d

Vrijeme je da shvatimo da je broj praznina, tj. d, Uvijek jedan manji od broja člana kojeg tražite n. Odnosno na broj n, broj razmakaće n-1. Stoga će formula biti (bez varijacija!):

a n = a 1 + (n-1)d

Općenito, vizualne slike su od velike pomoći u rješavanju mnogih matematičkih problema. Nemojte zanemariti slike. Ali ako je teško nacrtati sliku, onda ... samo formula!) Osim toga, formula n-tog člana omogućava vam da povežete cijeli moćni arsenal matematike s rješenjem - jednadžbe, nejednačine, sisteme itd. Ne možete ubaciti sliku u jednačinu...

Zadaci za samostalno rješavanje.

Za zagrijavanje:

1. U aritmetičkoj progresiji (a n) a 2 =3; a 5 =5.1. Pronađite 3.

Savjet: prema slici, problem se može riješiti za 20 sekundi... Po formuli ispada teže. Ali za savladavanje formule, korisnije je.) U odjeljku 555, ovaj problem je riješen korištenjem i slike i formule. Osjetite razliku!)

I ovo više nije zagrijavanje.)

2. U aritmetičkoj progresiji (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Pronađite a 3 .

Šta, ne želite da nacrtate sliku?) Naravno! Bolje po formuli, da...

3. Aritmetička progresija je data uslovom:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Pronađite sto dvadeset peti član ove progresije.

U ovom zadatku, napredovanje je specificirano na ponavljajući način. Ali računajući do sto dvadeset i petog člana... Nije svako sposoban za takav podvig.) Ali formula n-tog člana je u moći svakoga!

4. S obzirom na aritmetičku progresiju (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Pronađite broj najmanjeg pozitivnog člana progresije.

5. Prema uslovima zadatka 4, naći zbir najmanjeg pozitivnog i najvećeg negativnog člana progresije.

6. Proizvod petog i dvanaestog člana rastuće aritmetičke progresije jednak je -2,5, a zbir trećeg i jedanaestog člana jednak je nuli. Pronađite 14.

Nije najlakši zadatak, da...) Metoda "vrh prsta" ovdje neće raditi. Morat ćete napisati formule i riješiti jednačine.

Odgovori (u neredu):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Desilo se? Lijepo je!)

Nije sve u redu? Dešava se. Inače, u posljednjem zadatku postoji jedna suptilna točka. Biće potrebna pažnja prilikom čitanja problema. I logika.

Rješenje svih ovih problema je detaljno razmotreno u Odjeljku 555. I element fantazije za četvrti, i suptilni trenutak za šesti, i opšti pristupi rješavati sve probleme koji uključuju formulu n-og člana - sve je napisano. Predlažem.

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)

Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Redoslijed brojeva

Dakle, hajde da sjednemo i počnemo pisati neke brojeve. Na primjer:
Možete napisati bilo koje brojeve, a može ih biti koliko god želite (u našem slučaju ih ima). Koliko god brojeva zapisali, uvijek možemo reći koji je prvi, koji drugi, i tako do posljednjeg, odnosno možemo ih numerirati. Ovo je primjer niza brojeva:

Redoslijed brojeva
Na primjer, za naš niz:

Dodijeljeni broj je specifičan za samo jedan broj u nizu. Drugim riječima, u nizu nema broja od tri sekunde. Drugi broj (kao i ti broj) je uvijek isti.
Broj sa brojem naziva se th član niza.

Obično cijeli niz nazivamo nekim slovom (na primjer,), a svaki član ovog niza je isto slovo s indeksom jednakim broju ovog člana: .

u našem slučaju:

Recimo da imamo niz brojeva u kojem je razlika između susjednih brojeva ista i jednaka.
Na primjer:

itd.
Ovaj niz brojeva naziva se aritmetička progresija.
Termin "progresija" uveo je rimski autor Boetije još u 6. veku i shvaćen je u širem smislu kao beskonačan numerički niz. Naziv "aritmetika" prenet je iz teorije kontinuiranih proporcija, koju su proučavali stari Grci.

Ovo je niz brojeva čiji je svaki član jednak prethodnom dodanom istom broju. Ovaj broj se naziva razlika aritmetičke progresije i označava se.

Pokušajte odrediti koji nizovi brojeva su aritmetička progresija, a koji nisu:

a)
b)
c)
d)

Jasno? Uporedimo naše odgovore:
Is aritmetička progresija - b, c.
Nije aritmetička progresija - a, d.

Vratimo se na datu progresiju () i pokušamo pronaći vrijednost njenog th člana. Postoji dva način da ga nađete.

1. Metoda

Možemo dodati broj progresije na prethodnu vrijednost dok ne dođemo do th člana progresije. Dobro je da nemamo mnogo toga da rezimiramo - samo tri vrijednosti:

Dakle, th član opisane aritmetičke progresije je jednak.

2. Metoda

Šta ako trebamo pronaći vrijednost th člana progresije? Zbrajanje bi nam oduzelo više od jednog sata, a nije činjenica da ne bismo pogriješili prilikom sabiranja brojeva.
Naravno, matematičari su smislili način na koji nije potrebno dodati razliku aritmetičke progresije na prethodnu vrijednost. Pogledajte izbliza nacrtanu sliku... Sigurno ste već primijetili određeni uzorak, i to:

Na primjer, da vidimo od čega se sastoji vrijednost th člana ove aritmetičke progresije:


Drugim riječima:

Pokušajte sami pronaći vrijednost člana date aritmetičke progresije na ovaj način.

Jesi li izračunao? Uporedite svoje bilješke sa odgovorom:

Imajte na umu da ste dobili potpuno isti broj kao u prethodnoj metodi, kada smo uzastopno dodali članove aritmetičke progresije na prethodnu vrijednost.
Pokušajmo "depersonalizirati" ovu formulu - hajde da je uvedemo opšti oblik i dobijamo:

Jednačina aritmetičke progresije.

Aritmetičke progresije mogu biti rastuće ili opadajuće.

Povećanje- progresije u kojima je svaka naredna vrijednost pojmova veća od prethodne.
Na primjer:

Silazno- progresije u kojima je svaka naredna vrijednost pojmova manja od prethodne.
Na primjer:

Izvedena formula se koristi u izračunavanju članova u rastućim i opadajućim terminima aritmetičke progresije.
Hajde da to proverimo u praksi.
Dobili smo aritmetičku progresiju koja se sastoji od sljedećih brojeva: Provjerimo koliki će biti th broj ove aritmetičke progresije ako koristimo našu formulu da ga izračunamo:

Od tada:

Stoga smo uvjereni da formula djeluje i u opadajućoj i u rastućoj aritmetičkoj progresiji.
Pokušajte sami pronaći th i th članove ove aritmetičke progresije.

Uporedimo rezultate:

Svojstvo aritmetičke progresije

Hajde da zakomplikujemo problem - izvešćemo svojstvo aritmetičke progresije.
Recimo da nam je dat sljedeći uslov:
- aritmetička progresija, pronađite vrijednost.
Lako, kažete i počinjete brojati prema formuli koju već znate:

Neka, ah, onda:

Apsolutno u pravu. Ispada da prvo pronađemo, pa ga dodamo prvom broju i dobijemo ono što tražimo. Ako je progresija predstavljena malim vrijednostima, onda u tome nema ništa komplikovano, ali šta ako su nam dati brojevi u uslovu? Slažem se, postoji mogućnost da napravite grešku u proračunima.
Sada razmislite o tome da li je moguće riješiti ovaj problem u jednom koraku koristeći bilo koju formulu? Naravno da, i to je ono što ćemo sada pokušati da iznesemo.

Označimo traženi član aritmetičke progresije kao, formula za njeno pronalaženje nam je poznata - to je ista formula koju smo izveli na početku:
, Zatim:

• prethodni termin progresije je:
• sljedeći termin progresije je:

Sumirajmo prethodni i naredni termin progresije:

Ispada da je zbir prethodnog i narednog člana progresije dvostruka vrijednost člana progresije koji se nalazi između njih. Drugim riječima, da biste pronašli vrijednost progresijskog člana sa poznatim prethodnim i uzastopnim vrijednostima, trebate ih sabrati i podijeliti.

Tako je, imamo isti broj. Osigurajmo materijal. Sami izračunajte vrijednost za napredak, to uopće nije teško.

Dobro urađeno! Znate skoro sve o napredovanju! Ostaje da saznamo samo jednu formulu, koju je, prema legendi, lako zaključio jedan od najvećih matematičara svih vremena, “kralj matematičara” - Karl Gauss...

Kada je Carl Gauss imao 9 godina, učiteljica, zauzeta provjeravanjem rada učenika u drugim razredima, zadala je sljedeći zadatak u razredu: „Izračunaj zbir svih prirodnih brojeva od do (prema drugim izvorima do) uključivo.” Zamislite učiteljevo iznenađenje kada je jedan od njegovih učenika (ovo je bio Karl Gauss) minut kasnije dao tačan odgovor na zadatak, dok je većina drznika iz razreda, nakon dugih proračuna, dobila pogrešan rezultat...

Mladi Carl Gauss primijetio je određeni obrazac koji i vi možete lako primijetiti.
Recimo da imamo aritmetičku progresiju koja se sastoji od --tih članova: Moramo pronaći zbir ovih članova aritmetičke progresije. Naravno, možemo ručno sabrati sve vrijednosti, ali šta ako zadatak zahtijeva pronalaženje zbira njegovih članova, kao što je Gauss tražio?

Hajde da opišemo napredak koji nam je dat. Pogledajte pobliže istaknute brojeve i pokušajte s njima izvesti razne matematičke operacije.


Jeste li probali? Šta ste primetili? Tačno! Njihove sume su jednake

Sada mi recite koliko je ukupno takvih parova u progresiji koja nam je data? Naravno, tačno polovina svih brojeva, tj.
Na osnovu činjenice da je zbir dva člana aritmetičke progresije jednak, a slični parovi jednaki, dobijamo da je ukupan zbir jednak:
.
Dakle, formula za zbir prvih članova bilo koje aritmetičke progresije bit će:

U nekim problemima ne znamo th pojam, ali znamo razliku progresije. Pokušajte zamijeniti formulu th-og člana u formulu zbira.
šta si dobio?

Dobro urađeno! Vratimo se sada na problem koji je postavljen Carlu Gausu: izračunajte sami čemu je jednak zbir brojeva koji počinju od th i zbiru brojeva koji počinju od th.

Koliko si dobio?
Gauss je otkrio da je zbir članova jednak i zbir članova. Jesi li tako odlučio?

U stvari, formulu za zbir članova aritmetičke progresije dokazao je starogrčki naučnik Diofant još u 3. veku, i sve to vreme, duhoviti ljudi su u potpunosti koristili svojstva aritmetičke progresije.
Na primjer, zamislite Drevni Egipat i najviše izgradnja velikih razmera tog vremena - konstrukcija piramide... Na slici je jedna njena strana.

Gdje je tu napredak, kažete? Pažljivo pogledajte i pronađite uzorak u broju pješčanih blokova u svakom redu zida piramide.


Zašto ne aritmetička progresija? Izračunajte koliko je blokova potrebno za izgradnju jednog zida ako su blok cigle postavljene u podnožju. Nadam se da nećete brojati dok pomičete prst po monitoru, sjećate se posljednje formule i svega što smo rekli o aritmetičkoj progresiji?

U ovom slučaju, progresija izgleda ovako: .
Razlika aritmetičke progresije.
Broj članova aritmetičke progresije.
Zamijenimo naše podatke u posljednje formule (izračunajte broj blokova na 2 načina).

Metoda 1.

Metoda 2.

A sada možete izračunati na monitoru: usporedite dobivene vrijednosti s brojem blokova koji se nalaze u našoj piramidi. Jasno? Bravo, savladali ste zbir n-ih članova aritmetičke progresije.
Naravno, ne možete izgraditi piramidu od blokova u podnožju, ali od? Pokušajte izračunati koliko je pješčanih cigli potrebno za izgradnju zida s ovim uvjetom.
Jeste li uspjeli?
Tačan odgovor su blokovi:

Trening

Zadaci:

1. Maša je u formi za ljeto. Svakim danom povećava broj čučnjeva. Koliko puta će Maša raditi čučnjeve u sedmici ako je radila čučnjeve na prvom treningu?
2. Koliki je zbir svih neparnih brojeva sadržanih u.
3. Prilikom skladištenja trupaca, drvosječe ih slažu na način da svaki gornji sloj sadrži jedan trupac manje od prethodnog. Koliko je trupaca u jednom zidu, ako je temelj zidanja trupac?

odgovori:

1. Definirajmo parametre aritmetičke progresije. U ovom slučaju
   (sedmice = dani).

   odgovor: Za dvije sedmice, Maša bi trebala raditi čučnjeve jednom dnevno.

2. Prvo neparan broj, posljednji broj.
   Razlika aritmetičke progresije.
   Broj neparnih brojeva u je pola, međutim, provjerimo ovu činjenicu koristeći formulu za pronalaženje th člana aritmetičke progresije:

   Brojevi sadrže neparne brojeve.
   Zamijenimo dostupne podatke u formulu:

   odgovor: Zbir svih neparnih brojeva sadržanih u je jednak.

3. Prisjetimo se problema s piramidama. Za naš slučaj, a , pošto je svaki gornji sloj smanjen za jedan log, onda ukupno postoji gomila slojeva, tj.
   Zamijenimo podatke u formulu:

   odgovor: U zidovima su trupci.

Hajde da sumiramo

1. - brojevni niz u kojem je razlika između susjednih brojeva ista i jednaka. Može se povećavati ili smanjivati.
2. Pronalaženje formule Ti član aritmetičke progresije piše se formulom - , gdje je broj brojeva u progresiji.
3. Svojstvo članova aritmetičke progresije- - gdje je broj brojeva u progresiji.
4. Zbir članova aritmetičke progresije može se naći na dva načina:
   
   , gdje je broj vrijednosti.

ARITHMETIČKA PROGRESIJA. PROSJEČAN NIVO

Redoslijed brojeva

Hajde da sjednemo i počnemo pisati neke brojeve. Na primjer:

Možete napisati bilo koje brojeve, a može ih biti koliko god želite. Ali uvijek možemo reći koji je prvi, koji je drugi i tako dalje, odnosno možemo ih numerisati. Ovo je primjer niza brojeva.

Redoslijed brojeva je skup brojeva, od kojih se svakom može dodijeliti jedinstveni broj.

Drugim riječima, svaki broj može biti povezan s određenim prirodnim brojem, i to jedinstvenim. I nećemo dodijeliti ovaj broj nijednom drugom broju iz ovog skupa.

Broj sa brojem naziva se th član niza.

Obično cijeli niz nazivamo nekim slovom (na primjer,), a svaki član ovog niza je isto slovo s indeksom jednakim broju ovog člana: .

Vrlo je zgodno ako se th član niza može specificirati nekom formulom. Na primjer, formula

postavlja redoslijed:

A formula je sljedeći niz:

Na primjer, aritmetička progresija je niz (prvi član je ovdje jednak, a razlika je). Ili (, razlika).

n-ti termin formula

Formulu nazivamo rekurentnom u kojoj, da biste saznali th pojam, morate znati prethodni ili nekoliko prethodnih:

Da bismo pronašli, na primjer, th član progresije koristeći ovu formulu, morat ćemo izračunati prethodnih devet. Na primjer, neka. onda:

Pa, da li je sada jasno koja je formula?

U svakom redu dodajemo, pomnoženo nekim brojem. Koji? Vrlo jednostavno: ovo je broj trenutnog člana minus:

Sada je mnogo zgodnije, zar ne? Provjeravamo:

Odlučite sami:

U aritmetičkoj progresiji pronađite formulu za n-ti član i pronađite stoti član.

Rješenje:

Prvi član je jednak. Koja je razlika? Evo šta:

(Zato se zove razlika jer je jednaka razlici uzastopnih članova progresije).

Dakle, formula:

Tada je stoti član jednak:

Koliki je zbir svih prirodnih brojeva od do?

Prema legendi, veliki matematičar Karl Gauss, kao 9-godišnji dječak, izračunao je ovu količinu za nekoliko minuta. Primijetio je da je zbir prvog i posljednjeg broja jednak, zbir drugog i pretposljednjeg broja isti, zbir trećeg i trećeg sa kraja isti, itd. Koliko ukupno ima takvih parova? Tako je, tačno polovina broja svih brojeva, tj. dakle,

Opća formula za zbir prvih članova bilo koje aritmetičke progresije bit će:

primjer:
Pronađite zbir svih dvocifrenim brojevima, višestruki.

Rješenje:

Prvi takav broj je ovaj. Svaki naredni broj se dobija dodavanjem prethodnog broja. Dakle, brojevi koji nas zanimaju formiraju aritmetičku progresiju sa prvim članom i razlikom.

Formula th člana za ovu progresiju:

Koliko članova ima u progresiji ako svi moraju biti dvocifreni?

Vrlo jednostavno: .

Posljednji član progresije će biti jednak. Zatim suma:

Odgovor: .

Sada odlučite sami:

1. Svakog dana sportista pretrči više metara nego prethodnog dana. Koliko će ukupno kilometara pretrčati u sedmici ako je prvog dana pretrčao km m?
2. Biciklista svaki dan prijeđe više kilometara nego prethodnog dana. Prvog dana prešao je km. Koliko dana mu je potrebno da pređe kilometar? Koliko će kilometara preći tokom posljednjeg dana svog putovanja?
3. Cijena frižidera u trgovini svake godine se smanjuje za isti iznos. Odredite za koliko se smanjila cijena frižidera svake godine ako je, stavljen na prodaju za rublje, šest godina kasnije prodat za rublje.

odgovori:

1. Ovdje je najvažnije prepoznati aritmetičku progresiju i odrediti njene parametre. U ovom slučaju, (sedmice = dani). Morate odrediti zbir prvih članova ove progresije:
   .
   odgovor:
2. Ovdje je dato: , mora se naći.
   Očigledno, morate koristiti istu formulu sume kao u prethodnom zadatku:
   .
   Zamijenite vrijednosti:

   Korijen očito ne odgovara, tako da je odgovor.
   Izračunajmo put koji smo prešli u posljednjem danu koristeći formulu th člana:
   (km).
   odgovor:

3. Dato: . Pronađite: .
   Ne može biti jednostavnije:
   (rub).
   odgovor:

ARITHMETIČKA PROGRESIJA. UKRATKO O GLAVNIM STVARIMA

Ovo je niz brojeva u kojem je razlika između susjednih brojeva ista i jednaka.

Aritmetička progresija može biti rastuća () i opadajuća ().

Na primjer:

Formula za pronalaženje n-og člana aritmetičke progresije

zapisuje se po formuli, gdje je broj brojeva u progresiji.

Svojstvo članova aritmetičke progresije

Omogućava vam da lako pronađete pojam progresije ako su poznati njegovi susjedni pojmovi - gdje je broj brojeva u progresiji.

Zbir članova aritmetičke progresije

Postoje dva načina da pronađete iznos:

Gdje je broj vrijednosti.

Gdje je broj vrijednosti.

Pa, tema je gotova. Ako čitate ove redove, to znači da ste veoma cool.

Zato što je samo 5% ljudi sposobno nešto samostalno savladati. A ako pročitate do kraja, onda ste u ovih 5%!

Sada najvažnija stvar.

Razumjeli ste teoriju na ovu temu. I, ponavljam, ovo... ovo je jednostavno super! Već ste bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što ovo možda nije dovoljno...

Za što?

Za uspešan polaganje Jedinstvenog državnog ispita, za upis na fakultet na budžetu i, NAJVAŽNIJE, doživotno.

Neću vas ni u šta ubeđivati, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su stekli dobro obrazovanje zarađuju mnogo više od onih koji ga nisu stekli. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavna stvar je da su SREĆNIJI (ima takvih studija). Možda zato što se pred njima otvara još mnogo mogućnosti i život postaje svjetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Šta je potrebno da biste bili sigurni da ćete biti bolji od drugih na Jedinstvenom državnom ispitu i na kraju biti... sretniji?

STVARITE SE RJEŠAVANJEM PROBLEMA NA OVU TEMU.

Od vas se neće tražiti teorija tokom ispita.

Trebaće ti rješavati probleme protiv vremena.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu grešku ili jednostavno nećete imati vremena.

To je kao u sportu - morate to ponoviti mnogo puta da biste sigurno pobijedili.

Pronađite kolekciju gde god želite, obavezno sa rešenjima, detaljna analiza i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (opciono) i mi ih, naravno, preporučujemo.

Da biste bolje koristili naše zadatke, morate pomoći da produžite život YouClever udžbenika koji trenutno čitate.

Kako? Postoje dvije opcije:

1. Otključajte sve skrivene zadatke u ovom članku - 299 rub.
2. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka udžbenika - 499 rub.

Da, u našem udžbeniku imamo 99 takvih članaka i pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima može se odmah otvoriti.

Pristup svim skrivenim zadacima je omogućen za CIJELI vijek trajanja stranice.

U zakljucku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati na teoriji.

“Razumijem” i “Mogu riješiti” su potpuno različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!

Neki ljudi s oprezom tretiraju riječ „napredak“, kao vrlo složen izraz iz odjeljaka višu matematiku. U međuvremenu, najjednostavnija aritmetička progresija je rad taksimetra (gdje još postoje). A razumijevanje suštine (a u matematici nema ništa važnije od „shvatanja suštine“) aritmetičkog niza nije tako teško, analizirajući nekoliko elementarnih koncepata.

Matematički niz brojeva

Numerički niz se obično naziva nizom brojeva, od kojih svaki ima svoj broj.

a 1 je prvi član niza;

i 2 je drugi član niza;

i 7 je sedmi član niza;

i n je n-ti član niza;

Međutim, ne zanima nas bilo koji proizvoljan skup brojeva i brojeva. Pažnju ćemo usmjeriti na numerički niz u kojem je vrijednost n-og člana povezana s njegovim rednim brojem odnosom koji se može jasno matematički formulirati. Drugim riječima: brojčana vrijednost n-tog broja je neka funkcija od n.

a je vrijednost člana numeričkog niza;

n - njegov serijski broj;

f(n) je funkcija, gdje je redni broj u numeričkom nizu n argument.

Definicija

Aritmetičkom progresijom se obično naziva numerički niz u kojem je svaki sljedeći član veći (manji) od prethodnog za isti broj. Formula za n-ti član aritmetičkog niza je sljedeća:

a n - vrijednost trenutnog člana aritmetičke progresije;

a n+1 - formula sledećeg broja;

d - razlika (određeni broj).

Lako je utvrditi da ako je razlika pozitivna (d>0), tada će svaki sljedeći član razmatranog niza biti veći od prethodnog i takva će se aritmetička progresija povećavati.

Na donjem grafikonu je lako vidjeti zašto se brojčani niz naziva „rastući“.

U slučajevima kada je razlika negativna (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Navedena vrijednost člana

Ponekad je potrebno odrediti vrijednost bilo kojeg proizvoljnog člana a n aritmetičke progresije. To se može učiniti uzastopnim izračunavanjem vrijednosti svih članova aritmetičke progresije, počevši od prvog do željenog. Međutim, ovaj put nije uvijek prihvatljiv ako je, na primjer, potrebno pronaći vrijednost petohiljaditog ili osammilionitog člana. Tradicionalni proračuni će oduzeti dosta vremena. Međutim, određena aritmetička progresija može se proučavati korištenjem određenih formula. Postoji i formula za n-ti član: vrijednost bilo kojeg člana aritmetičke progresije može se odrediti kao zbir prvog člana progresije s razlikom progresije, pomnoženom brojem željenog člana, umanjenom za jedan.

Formula je univerzalna za povećanje i smanjenje progresije.

Primjer izračunavanja vrijednosti datog pojma

Rešimo sledeći problem nalaženja vrednosti n-tog člana aritmetičke progresije.

Uvjet: postoji aritmetička progresija s parametrima:

Prvi član niza je 3;

Razlika u nizu brojeva je 1,2.

Zadatak: potrebno je pronaći vrijednost 214 pojmova

Rješenje: da bismo odredili vrijednost datog pojma, koristimo formulu:

a(n) = a1 + d(n-1)

Zamjenom podataka iz iskaza problema u izraz, imamo:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Odgovor: 214. član niza je jednak 258,6.

Prednosti ove metode proračuna su očigledne - cijelo rješenje ne traje više od 2 reda.

Zbir datog broja pojmova

Vrlo često je u datom aritmetičkom nizu potrebno odrediti zbir vrijednosti nekih njegovih segmenata. Da biste to učinili, također nije potrebno izračunati vrijednosti svakog pojma i zatim ih zbrajati. Ova metoda je primjenjiva ako je mali broj pojmova čiji zbir treba pronaći. U drugim slučajevima, prikladnije je koristiti sljedeću formulu.

Zbir članova aritmetičke progresije od 1 do n jednak je zbiru prvog i n-tog člana, pomnoženog sa brojem člana n i podijeljenog sa dva. Ako se u formuli vrijednost n-tog člana zamijeni izrazom iz prethodnog stava članka, dobijamo:

Primjer izračuna

Na primjer, riješimo problem sa sljedećim uvjetima:

Prvi član niza je nula;

Razlika je 0,5.

Problem zahtijeva određivanje zbira članova niza od 56 do 101.

Rješenje. Koristimo formulu za određivanje količine progresije:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Prvo određujemo zbir vrijednosti 101 člana progresije zamjenom datih uslova našeg problema u formulu:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

Očigledno, da bismo saznali zbir članova progresije od 56. do 101., potrebno je od S 101 oduzeti S 55.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Dakle, zbir aritmetičke progresije za ovaj primjer je:

s 101 - s 55 = 2.525 - 742,5 = 1.782,5

Primjer praktične primjene aritmetičke progresije

Na kraju članka, vratimo se primjeru aritmetičkog niza datog u prvom pasusu - taksimetar (taxi mjerač automobila). Razmotrimo ovaj primjer.

Ukrcaj u taksi (koji uključuje 3 km putovanja) košta 50 rubalja. Svaki naredni kilometar se plaća po stopi od 22 rublje/km. Udaljenost putovanja je 30 km. Izračunajte cijenu putovanja.

1. Odbacimo prva 3 km čija je cijena uključena u cijenu slijetanja.

30 - 3 = 27 km.

2. Dalje izračunavanje nije ništa drugo do raščlanjivanje niza aritmetičkih brojeva.

Broj člana - broj prijeđenih kilometara (minus prva tri).

Vrijednost člana je zbir.

Prvi član u ovom zadatku će biti jednak a 1 = 50 rubalja.

Razlika progresije d = 22 r.

broj koji nas zanima je vrijednost (27+1)-og člana aritmetičke progresije - očitavanje brojila na kraju 27. kilometra je 27.999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Proračuni kalendarskih podataka za proizvoljno dug period zasnivaju se na formulama koje opisuju određene numeričke nizove. U astronomiji, dužina orbite geometrijski zavisi od udaljenosti nebeskog tijela do zvijezde. Osim toga, različiti brojevni redovi se uspješno koriste u statistici i drugim primijenjenim oblastima matematike.

Druga vrsta niza brojeva je geometrijska

Geometrijsku progresiju karakteriziraju veće stope promjene u odnosu na aritmetičku progresiju. Nije slučajno da se u politici, sociologiji i medicini, da bi se prikazala velika brzina širenja određene pojave, na primjer, bolesti tokom epidemije, kaže da se proces razvija geometrijskom progresijom.

N-ti član niza geometrijskih brojeva razlikuje se od prethodnog po tome što se množi s nekim konstantnim brojem - nazivnik, na primjer, prvi član je 1, nazivnik je odgovarajući jednak 2, zatim:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - vrijednost trenutnog člana geometrijske progresije;

b n+1 - formula sledećeg člana geometrijske progresije;

q je imenilac geometrijske progresije (konstantni broj).

Ako je graf aritmetičke progresije prava linija, onda geometrijska progresija daje malo drugačiju sliku:

Kao iu slučaju aritmetike, geometrijska progresija ima formulu za vrijednost proizvoljnog člana. Svaki n-ti član geometrijske progresije jednak je umnošku prvog člana i nazivnika progresije na stepen n smanjen za jedan:

Primjer. Imamo geometrijsku progresiju sa prvim članom jednakim 3 i nazivnikom progresije jednakim 1,5. Nađimo 5. član progresije

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Zbir datog broja termina se također izračunava pomoću posebne formule. Zbir prvih n članova geometrijske progresije jednak je razlici između umnoška n-tog člana progresije i njegovog nazivnika i prvog člana progresije, podijeljenog nazivnikom smanjenim za jedan:

Ako se b n zamijeni gore opisanom formulom, vrijednost zbroja prvih n članova brojevnog niza koji se razmatra imat će oblik:

Primjer. Geometrijska progresija počinje sa prvim članom jednakim 1. Imenilac je postavljen na 3. Nađimo zbir prvih osam članova.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Zbir aritmetičke progresije.

Zbir aritmetičke progresije je jednostavna stvar. I po značenju i po formuli. Ali ima svakakvih zadataka na ovu temu. Od osnovnog do sasvim solidnog.

Prvo, shvatimo značenje i formulu iznosa. A onda ćemo odlučiti. Za vaše zadovoljstvo.) Značenje količine je jednostavno kao mukanje. Da biste pronašli zbir aritmetičke progresije, trebate samo pažljivo sabrati sve njegove članove. Ako je ovih pojmova malo, možete dodati bez ikakvih formula. Ali ako ima puno, ili puno... dodatak je neugodan.) U ovom slučaju formula dolazi u pomoć.

Formula za iznos je jednostavna:

Hajde da shvatimo kakva su slova uključena u formulu. Ovo će dosta razjasniti stvari.

S n - zbir aritmetičke progresije. Rezultat zbrajanja svimačlanovi, sa prvo By zadnji. Važno je. Tačno se sabiraju Svečlanovi u nizu, bez preskakanja ili preskakanja. I, tačnije, počevši od prvo. U problemima kao što je pronalaženje zbira trećeg i osmog člana, ili zbira petog do dvadesetog člana, direktna primjena formule će razočarati.)

a 1 - prvočlan progresije. Ovde je sve jasno, jednostavno prvo broj reda.

a n- zadnjičlan progresije. Poslednji broj serije. Nije baš poznato ime, ali kada se primjenjuje na količinu, vrlo je prikladno. Onda ćete se sami uvjeriti.

n - broj posljednjeg člana. Važno je shvatiti da je u formuli ovaj broj poklapa se sa brojem dodatih pojmova.

Hajde da definišemo koncept zadnjičlan a n. Šaljivo pitanje: koji će član biti posljednji ako je dato beskrajno aritmetička progresija?)

Da biste odgovorili pouzdano, morate razumjeti elementarno značenje aritmetičke progresije i... pažljivo pročitati zadatak!)

U zadatku pronalaženja zbira aritmetičke progresije uvijek se pojavljuje posljednji član (direktno ili indirektno), koje bi trebalo ograničiti. Inače, konačan, konkretan iznos jednostavno ne postoji. Za rješenje nije bitno da li je progresija data: konačna ili beskonačna. Nije važno kako je zadan: niz brojeva ili formula za n-ti član.

Najvažnije je shvatiti da formula funkcionira od prvog člana progresije do člana s brojem n. Zapravo, puno ime formule izgleda ovako: zbir prvih n članova aritmetičke progresije. Broj ovih prvih članova, tj. n, određen je isključivo zadatkom. U zadatku su sve ove vrijedne informacije često šifrirane, da... Ali nema veze, u primjerima ispod otkrivamo ove tajne.)

Primjeri zadataka na zbir aritmetičke progresije.

Prije svega korisne informacije:

Glavna poteškoća u zadacima koji uključuju zbir aritmetičke progresije leži u ispravnom određivanju elemenata formule.

Autori zadataka šifriraju upravo ove elemente bezgraničnom maštom.) Ovdje je glavna stvar ne bojati se. Razumijevajući suštinu elemenata, dovoljno ih je jednostavno dešifrirati. Pogledajmo nekoliko primjera detaljno. Počnimo sa zadatkom zasnovanim na stvarnom GIA.

1. Aritmetička progresija je data uslovom: a n = 2n-3.5. Pronađite zbroj njegovih prvih 10 članova.

Dobar posao. Lako.) Šta trebamo znati da bismo odredili količinu pomoću formule? Prvi član a 1, prošli mandat a n, da broj posljednjeg člana n.

Gdje mogu dobiti broj posljednjeg člana? n? Da, tu, pod uslovom! Piše: nađi zbir prvih 10 članova. Pa, sa kojim će brojem? posljednje, deseti član?) Nećete vjerovati, njegov broj je deseti!) Stoga, umjesto a n Zamijenit ćemo u formulu a 10, i umjesto toga n- deset. Ponavljam, broj zadnjeg člana se poklapa sa brojem članova.

Ostaje da se utvrdi a 1 I a 10. Ovo se lako izračunava pomoću formule za n-ti član, koja je data u opisu problema. Ne znate kako to učiniti? Pohađajte prethodnu lekciju, bez ovoga nema šanse.

a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

a 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

Saznali smo značenje svih elemenata formule za zbir aritmetičke progresije. Ostaje samo da ih zamijenite i prebrojite:

To je to. Odgovor: 75.

Još jedan zadatak baziran na GIA. Malo komplikovanije:

2. Zadata je aritmetička progresija (a n), čija je razlika 3,7; a 1 =2.3. Pronađite zbir njegovih prvih 15 članova.

Odmah pišemo formulu sume:

Ova formula nam omogućava da pronađemo vrijednost bilo kojeg pojma po njegovom broju. Tražimo jednostavnu zamjenu:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Ostaje zamijeniti sve elemente u formulu za zbir aritmetičke progresije i izračunati odgovor:

Odgovor: 423.

Usput, ako u formuli zbira umjesto a n Jednostavno zamijenimo formulu za n-ti član i dobijemo:

Predstavimo slične i dobijemo novu formulu za zbir članova aritmetičke progresije:

Kao što vidite, n-ti pojam ovdje nije potreban a n. Kod nekih problema ova formula jako pomaže, da... Možete zapamtiti ovu formulu. Ili ga možete jednostavno prikazati u pravo vrijeme, kao ovdje. Na kraju krajeva, uvijek morate zapamtiti formulu za zbir i formulu za n-ti član.)

Sada zadatak u obliku kratke enkripcije):

3. Pronađite zbir svih pozitivnih dvocifrenih brojeva koji su višestruki od tri.

Vau! Ni prvi član, ni zadnji, ni napredovanje uopšte... Kako živjeti!?

Morat ćete razmišljati svojom glavom i iz stanja izvući sve elemente zbira aritmetičke progresije. Znamo šta su dvocifreni brojevi. Sastoje se od dva broja.) Koji će biti dvocifreni broj prvo? 10, vjerovatno.) A zadnja stvar dvocifreni broj? 99, naravno! Trocifrene će ga pratiti...

Višestruki od tri... Hm... Ovo su brojevi koji su djeljivi sa tri, evo! Deset nije deljivo sa tri, 11 nije deljivo... 12... je deljivo! Dakle, nešto se pojavljuje. Već možete zapisati niz prema uslovima problema:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Hoće li ova serija biti aritmetička progresija? Svakako! Svaki pojam razlikuje se od prethodnog za striktno tri. Ako nekom pojmu dodate 2 ili 4, recimo, rezultat, tj. novi broj više nije djeljiv sa 3. Možete odmah odrediti razliku aritmetičke progresije: d = 3. Dobro će doći!)

Dakle, možemo sigurno zapisati neke parametre progresije:

Koji će biti broj? n zadnji član? Ko misli da je 99 kobno se vara... Brojevi uvijek idu nizom, ali naši članovi preskaču tri. Ne poklapaju se.

Ovdje postoje dva rješenja. Jedan od načina je za super vrijedne. Možete zapisati progresiju, cijeli niz brojeva i prstom prebrojati broj članova.) Drugi način je za promišljene. Morate zapamtiti formulu za n-ti član. Ako primijenimo formulu na naš problem, otkrićemo da je 99 trideseti član progresije. One. n = 30.

Pogledajmo formulu za zbir aritmetičke progresije:

Gledamo i radujemo se.) Iz opisa problema smo izvukli sve što je potrebno za izračunavanje iznosa:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Ostaje samo elementarna aritmetika. Zamjenjujemo brojeve u formulu i izračunavamo:

Odgovor: 1665

Još jedna vrsta popularne slagalice:

4. S obzirom na aritmetičku progresiju:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Nađi zbir članova od dvadesetog do trideset četvrtog.

Gledamo formulu za iznos i... uznemirimo se.) Formula, da vas podsjetim, izračunava iznos od prvečlan. A u zadatku morate izračunati sumu od dvadesetog... Formula neće raditi.

Možete, naravno, ispisati cijelu progresiju u nizu, i dodati pojmove od 20 do 34. Ali... to je nekako glupo i dugo traje, zar ne?)

Postoji elegantnije rješenje. Podijelimo našu seriju na dva dijela. Prvi dio će biti od prvog mandata do devetnaestog. Drugi dio - od dvadeset do trideset četiri. Jasno je da ako izračunamo zbir članova prvog dijela S 1-19, dodajmo ga sa zbirom članova drugog dijela S 20-34, dobijamo zbir progresije od prvog člana do trideset četvrtog S 1-34. Volim ovo:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Iz ovoga možemo vidjeti da nađemo zbir S 20-34 može se uraditi jednostavnim oduzimanjem

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

U obzir se uzimaju oba iznosa na desnoj strani od prvečlan, tj. standardna formula sume je prilično primjenjiva na njih. Hajde da počnemo?

Izvlačimo parametre progresije iz iskaza problema:

d = 1,5.

a 1= -21,5.

Da bismo izračunali zbir prvih 19 i prva 34 člana, trebat će nam 19. i 34. član. Izračunavamo ih koristeći formulu za n-ti član, kao u zadatku 2:

a 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

a 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Ništa nije ostalo. Od zbira 34 člana oduzmite zbir 19 članova:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Odgovor: 262.5

Jedna važna napomena! Postoji vrlo koristan trik u rješavanju ovog problema. Umjesto direktnog obračuna šta ti treba (S 20-34), brojali smo nešto što se čini da nije potrebno - S 1-19. A onda su odlučili S 20-34, odbacujući nepotrebno iz kompletnog rezultata. Ova vrsta "finte sa ušima" često vas spašava od opakih problema.)

U ovoj lekciji smo se bavili problemima za koje je dovoljno razumjeti značenje zbira aritmetičke progresije. Pa, morate znati nekoliko formula.)

Praktični savjeti:

Kada rješavate bilo koji zadatak koji uključuje zbir aritmetičke progresije, preporučujem da odmah napišete dvije glavne formule iz ove teme.

Formula za n-ti član:

Ove formule će vam odmah reći šta da tražite i u kom pravcu da razmišljate kako biste rešili problem. Pomaže.

A sada zadaci za samostalno rješavanje.

5. Pronađite zbir svih dvocifrenih brojeva koji nisu djeljivi sa tri.

Cool?) Nagoveštaj je skriven u napomeni za problem 4. Pa, problem 3 će pomoći.

6. Aritmetička progresija je data uslovom: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Pronađite zbir njegovih prva 24 člana.

Neobično?) Ovo je formula koja se ponavlja. O tome možete pročitati u prethodnoj lekciji. Nemojte zanemariti vezu, takvi problemi se često nalaze u Državnoj akademiji nauka.

7. Vasya je uštedio novac za odmor. Čak 4550 rubalja! I odlučio sam da svojoj omiljenoj osobi (sebi) poklonim nekoliko dana sreće). Živite lijepo, ne uskraćujući sebi ništa. Potrošite 500 rubalja prvog dana, a svaki sljedeći dan potrošite 50 rubalja više od prethodnog! Dok novac ne ponestane. Koliko je dana sreće imao Vasja?

Je li teško?) Dodatna formula iz zadatka 2 će pomoći.

Odgovori (u neredu): 7, 3240, 6.

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)

Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.