Koren prirodnog stepena i njegova svojstva. Kvadratni korijen. Sveobuhvatni vodič (2019.)

U ovom članku ćemo se predstaviti koncept korijena broja. Nastavit ćemo uzastopno: počet ćemo s kvadratnim korijenom, odatle ćemo prijeći na opis kubnog korijena, nakon čega ćemo generalizirati koncept korijena, definirajući n-ti korijen. Istovremeno ćemo uvesti definicije, notacije, dati primjere korijena i dati potrebna objašnjenja i komentare.

Kvadratni korijen, aritmetički kvadratni korijen

Da biste razumjeli definiciju korijena broja, a posebno kvadratnog korijena, trebate imati . U ovom trenutku često ćemo se susresti sa drugim stepenom broja - kvadratom broja.

Počnimo sa definicije kvadratnog korijena.

Definicija

Kvadratni korijen od a je broj čiji je kvadrat jednak a.

Da bi doneo primjeri kvadratni korijeni , uzmemo nekoliko brojeva, na primjer, 5, −0,3, 0,3, 0, i kvadriramo ih, dobićemo brojeve 25, 0,09, 0,09 i 0, redom (5 2 =5·5=25, (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3·0,3=0,09 i 0 2 =0·0=0 ). Zatim, prema gore datoj definiciji, broj 5 je kvadratni korijen broja 25, brojevi -0,3 i 0,3 su kvadratni korijeni od 0,09, a 0 je kvadratni korijen iz nule.

Treba napomenuti da ni za jedan broj a ne postoji a čiji je kvadrat jednak a. Naime, za bilo koji negativan broj a ne postoji realan broj b čiji je kvadrat jednak a. U stvari, jednakost a=b 2 je nemoguća za bilo koje negativno a, jer b 2 nije negativan broj za bilo koje b. dakle, ne postoji kvadratni korijen negativnog broja na skupu realnih brojeva. Drugim riječima, na skupu realnih brojeva kvadratni korijen negativnog broja nije definiran i nema značenje.

Iz ovoga proizilazi logično pitanje: “Postoji li kvadratni korijen od a za bilo koje nenegativno a”? Odgovor je da. Ova se činjenica može opravdati konstruktivnom metodom koja se koristi za pronalaženje vrijednosti kvadratnog korijena.

Tada se postavlja sljedeće logično pitanje: “Koji je broj svih kvadratnih korijena datog nenegativnog broja a – jedan, dva, tri ili čak više”? Evo odgovora: ako je a nula, tada je jedini kvadratni korijen od nule nula; ako je a neki pozitivan broj, tada je broj kvadratnih korijena broja a dva, a korijeni su . Hajde da to opravdamo.

Počnimo sa slučajem a=0. Prvo, pokažimo da je nula zaista kvadratni korijen od nule. Ovo proizilazi iz očigledne jednakosti 0 2 =0·0=0 i definicije kvadratnog korijena.

Dokažimo sada da je 0 jedini kvadratni korijen od nule. Koristimo suprotnu metodu. Pretpostavimo da postoji neki nenulti broj b koji je kvadratni korijen od nule. Tada uslov b 2 =0 mora biti zadovoljen, što je nemoguće, pošto je za bilo koji b različit od nule vrijednost izraza b 2 pozitivna. Došli smo do kontradikcije. Ovo dokazuje da je 0 jedini kvadratni korijen od nule.

Pređimo na slučajeve u kojima je a pozitivan broj. Gore smo rekli da uvijek postoji kvadratni korijen svakog nenegativnog broja, neka kvadratni korijen od a bude broj b. Recimo da postoji broj c, koji je ujedno i kvadratni korijen od a. Tada su, po definiciji kvadratnog korijena, jednakosti b 2 =a i c 2 =a tačne, iz čega slijedi da je b 2 −c 2 =a−a=0, ali pošto b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c) , tada (b−c)·(b+c)=0 . Rezultirajuća jednakost je važeća svojstva operacija sa realnim brojevima moguće samo kada je b−c=0 ili b+c=0 . Dakle, brojevi b i c su jednaki ili suprotni.

Ako pretpostavimo da postoji broj d, koji je drugi kvadratni korijen iz broja a, onda se rasuđivanjem sličnim već navedenim dokazuje da je d jednako broju b ili c. Dakle, broj kvadratnih korijena pozitivnog broja je dva, a kvadratni korijeni su suprotni brojevi.

Radi praktičnosti rada s kvadratnim korijenima, negativni korijen je "odvojen" od pozitivnog. U tu svrhu se uvodi definicija aritmetičkog kvadratnog korijena.

Definicija

Aritmetički kvadratni korijen nenegativnog broja a je nenegativan broj čiji je kvadrat jednak a.

Zapis za aritmetički kvadratni korijen od a je . Znak se naziva aritmetički znak kvadratnog korijena. Naziva se i radikalnim znakom. Stoga ponekad možete čuti i "korijen" i "radikal", što znači isti objekat.

Poziva se broj ispod aritmetičkog znaka kvadratnog korijena radikalni broj, a izraz pod znakom korijena je radikalan izraz, dok se izraz “radikalni broj” često zamjenjuje “radikalnim izrazom”. Na primjer, u zapisu je broj 151 radikalni broj, a u zapisu izraz a je radikalni izraz.

Prilikom čitanja, riječ "aritmetika" se često izostavlja, na primjer, unos se čita kao "kvadratni korijen od sedam zareza dvadeset devet". Riječ "aritmetika" se koristi samo kada to žele naglasiti mi pričamo o tome konkretno o pozitivnom kvadratnom korijenu broja.

U svjetlu uvedene notacije, iz definicije aritmetičkog kvadratnog korijena slijedi da je za bilo koji nenegativan broj a .

Kvadratni korijeni pozitivnog broja a zapisuju se pomoću aritmetičkog znaka kvadratnog korijena kao i . Na primjer, kvadratni korijeni od 13 su i . Aritmetički kvadratni korijen od nule jednaka nuli, to je, . Za negativne brojeve a, nećemo pridavati značenje notaciji dok ne proučimo kompleksni brojevi. Na primjer, izrazi i su besmisleni.

Na osnovu definicije kvadratnog korijena dokazuju se svojstva kvadratnog korijena koji se često koriste u praksi.

U zaključku ove tačke, napominjemo da su kvadratni korijeni iz broja a rješenja oblika x 2 =a u odnosu na varijablu x.

Kockasti korijen broja

Definicija kubnog korijena broja a dat je slično definiciji kvadratnog korijena. Samo što se zasniva na konceptu kocke broja, a ne kvadrata.

Definicija

Kockasti korijen a je broj čija je kocka jednaka a.

Hajde da damo primjeri kubnih korijena. Da biste to učinili, uzmite nekoliko brojeva, na primjer, 7, 0, −2/3, i kockirajte ih: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, . Zatim, na osnovu definicije kubnog korijena, možemo reći da je broj 7 kockasti koren od 343, 0 je kubni korijen od nule, a −2/3 je kubni korijen od −8/27.

Može se pokazati da kubni korijen broja, za razliku od kvadratnog korijena, uvijek postoji, ne samo za nenegativan a, već i za bilo koji realan broj a. Da biste to učinili, možete koristiti istu metodu koju smo spomenuli kada proučavate kvadratne korijene.

Štaviše, postoji samo jedan kubni korijen datog broja a. Dokažimo posljednju tvrdnju. Da biste to učinili, razmotrite tri slučaja odvojeno: a je pozitivan broj, a=0 i a je negativan broj.

Lako je pokazati da ako je a pozitivno, kubni korijen a ne može biti ni negativan broj ni nula. Zaista, neka je b kubni korijen a, tada po definiciji možemo napisati jednakost b 3 =a. Jasno je da ova jednakost ne može biti tačna za minus b i za b=0, jer će u ovim slučajevima b 3 =b·b·b biti negativan broj, odnosno nula. Dakle, kubni korijen pozitivnog broja a je pozitivan broj.

Pretpostavimo sada da pored broja b postoji još jedan kubni korijen broja a, označimo ga c. Tada je c 3 =a. Dakle, b 3 −c 3 =a−a=0, ali b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(ovo je skraćena formula za množenje razlika kockica), odakle je (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. Rezultirajuća jednakost je moguća samo kada je b−c=0 ili b 2 +b·c+c 2 =0. Iz prve jednakosti imamo b=c, a druga jednakost nema rješenja, jer je njena lijeva strana pozitivan broj za bilo koje pozitivne brojeve b i c kao zbir tri pozitivna člana b 2, b·c i c 2. Ovo dokazuje jedinstvenost kubnog korijena pozitivnog broja a.

Kada je a=0, kubni korijen broja a je samo broj nula. Zaista, ako pretpostavimo da postoji broj b, koji je različit od nule kubni korijen od nule, tada mora vrijediti jednakost b 3 =0, što je moguće samo kada je b=0.

Za negativno a, mogu se dati argumenti slični slučaju za pozitivno a. Prvo, pokazujemo da kubni korijen negativnog broja ne može biti jednak ni pozitivnom broju ni nuli. Drugo, pretpostavljamo da postoji drugi kubni korijen negativnog broja i pokazujemo da će se on nužno podudarati s prvim.

Dakle, uvijek postoji kubni korijen svakog datog realnog broja a, i to jedinstven.

Hajde da damo definicija aritmetičkog kubnog korijena.

Definicija

Aritmetički kubni korijen nenegativnog broja a je nenegativan broj čija je kocka jednaka a.

Aritmetički kubni korijen nenegativnog broja a označava se kao , znak se naziva znak aritmetičkog kubnog korijena, broj 3 u ovoj notaciji se naziva korijenski indeks. Broj pod znakom korijena je radikalni broj, izraz pod znakom korijena je radikalan izraz.

Iako je aritmetički kubni korijen definiran samo za nenegativne brojeve a, također je zgodno koristiti oznake u kojima se negativni brojevi nalaze pod znakom aritmetičkog kubnog korijena. Razumjet ćemo ih na sljedeći način: , gdje je a pozitivan broj. Na primjer, .

Govorit ćemo o svojstvima kubnih korijena u općem članku svojstva korijena.

Izračunavanje vrijednosti kubnog korijena naziva se vađenje kubnog korijena; ova radnja je obrađena u članku vađenje korijena: metode, primjeri, rješenja.

Da zaključimo ovu poentu, recimo da je kubni korijen broja a rješenje oblika x 3 =a.

n-ti korijen, aritmetički korijen stepena n

Hajde da generalizujemo pojam korena broja - uvodimo definicija n-tog korijena za n.

Definicija

n-ti korijen od a je broj čiji je n-ti stepen jednak a.

Od ovu definiciju jasno je da je koren prvog stepena broja a sam broj a, pošto smo prilikom proučavanja stepena sa prirodnim eksponentom uzeli a 1 =a.

Iznad smo pogledali posebne slučajeve n-tog korijena za n=2 i n=3 - kvadratni korijen i kubni korijen. To jest, kvadratni korijen je korijen drugog stepena, a kubni korijen je korijen trećeg stepena. Za proučavanje korijena n-tog stepena za n=4, 5, 6, ..., zgodno ih je podijeliti u dvije grupe: prva grupa - korijeni parnih stupnjeva (tj. za n = 4, 6, 8 , ...), druga grupa - korijeni neparnih stupnjeva (tj. sa n=5, 7, 9, ...). To je zbog činjenice da su korijeni parnih potencija slični kvadratnim korijenima, a korijeni neparnih potencija su slični kubnim korijenima. Hajde da se pozabavimo njima jedan po jedan.

Počnimo s korijenima, čije su moći parni brojevi 4, 6, 8, ... Kao što smo rekli, slični su kvadratnom korijenu broja a. To jest, korijen bilo kojeg parnog stepena broja a postoji samo za nenegativno a. Štaviše, ako je a=0, tada je korijen a jedinstven i jednak nuli, a ako je a>0, tada postoje dva korijena parnog stepena broja a, i to su suprotni brojevi.

Da potkrijepimo posljednju tvrdnju. Neka je b korijen parnog stepena (označavamo ga sa 2 m, gdje je m neki prirodni broj) od broja a. Pretpostavimo da postoji broj c - drugi korijen stepena 2·m od broja a. Tada je b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Ali znamo oblik b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), tada (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Iz ove jednakosti slijedi da je b−c=0, ili b+c=0, ili b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Prve dvije jednakosti znače da su brojevi b i c jednaki ili su b i c suprotni. A posljednja jednakost vrijedi samo za b=c=0, pošto se na njenoj lijevoj strani nalazi izraz koji nije negativan za bilo koje b i c kao zbir nenegativnih brojeva.

Što se tiče korijena n-tog stepena za neparno n, oni su slični kubnom korijenu. To jest, korijen bilo kojeg neparnog stepena broja a postoji za bilo koji realan broj a, a za dati broj a je jedinstven.

Jedinstvenost korena neparnog stepena 2·m+1 od broja a dokazuje se analogno dokazu jedinstvenosti kubnog korena a. Samo ovdje umjesto jednakosti a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2) koristi se jednakost oblika b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). Izraz u zadnjoj zagradi može se prepisati kao b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Na primjer, sa m=2 imamo b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Kada su a i b oba pozitivni ili oba negativna, njihov proizvod je pozitivan broj, tada je izraz b 2 +c 2 +b·c u zagradi sam visok stepen gniježdenja, pozitivan je kao zbir pozitivnih brojeva. Sada, prelazeći uzastopno na izraze u zagradama prethodnih stupnjeva ugniježđenja, uvjereni smo da su i oni pozitivni kao zbir pozitivnih brojeva. Kao rezultat, dobijamo da je jednakost b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0 moguće samo kada je b−c=0, odnosno kada je broj b jednak broju c.

Vrijeme je da shvatimo notaciju n-tog korijena. U tu svrhu je dato definicija aritmetičkog korijena n-tog stepena.

Definicija

Aritmetički korijen n-tog stepena nenegativnog broja a je nenegativan broj čiji je n-ti stepen jednak a.

Date su osnovne osobine funkcije stepena, uključujući formule i svojstva korijena. Derivat, integral, proširenje u power series i predstavljanje putem kompleksnih brojeva funkcije stepena.

Definicija

Definicija
Funkcija snage sa eksponentom p je funkcija f (x) = x p, čija je vrijednost u tački x jednaka vrijednosti eksponencijalne funkcije sa bazom x u tački p.
Pored toga, f (0) = 0 p = 0 za p > 0 .

Za prirodne vrednosti eksponent, funkcija stepena je proizvod n brojeva jednakih x:
.
Definiran je za sve važeće .

Za pozitivne racionalne vrijednosti eksponenta, funkcija stepena je proizvod n korijena stepena m broja x:
.
Za neparan m, definiran je za sve realne x. Za paran m, funkcija stepena je definirana za one koje nisu negativne.

Za negativan, funkcija snage određena je formulom:
.
Dakle, nije definisan u ovom trenutku.

Za iracionalne vrijednosti eksponenta p, funkcija snage određena je formulom:
,
gdje je a proizvoljan pozitivan broj, ne jednako jedan: .
Kada je definirano za .
Kada je , funkcija snage je definirana za .

Kontinuitet. Funkcija moći je kontinuirana u svom domenu definicije.

Svojstva i formule stepena funkcija za x ≥ 0

Ovdje ćemo razmotriti svojstva funkcije snage za ne negativne vrijednosti argument x. Kao što je gore navedeno, za određene vrijednosti eksponenta p, funkcija stepena je također definirana za negativne vrijednosti x. U ovom slučaju, njegova svojstva se mogu dobiti iz svojstava , koristeći parne ili neparne. Ovi slučajevi su razmotreni i detaljno ilustrovani na stranici "".

Funkcija stepena, y = x p, sa eksponentom p ima sljedeća svojstva:
(1.1) definisano i kontinuirano na setu
u ,
at ;
(1.2) ima mnogo značenja
u ,
at ;
(1.3) striktno raste sa ,
striktno opada kao ;
(1.4) at ;
at ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Dokaz svojstava je dat na stranici “Funkcija snage (dokaz kontinuiteta i svojstva)”

Korijeni - definicija, formule, svojstva

Definicija
Korijen broja x stepena n je broj koji kada se podigne na stepen n daje x:
.
Ovdje n = 2, 3, 4, ... - prirodni broj veći od jedan.

Također možete reći da je korijen broja x stepena n korijen (tj. rješenje) jednačine
.
Imajte na umu da je funkcija inverzna funkciji.

Kvadratni korijen od x je korijen stepena 2: .

Kockasti korijen od x je korijen stepena 3: .

Čak i stepen

Za parne stepene n = 2 m, korijen je definiran za x ≥ 0 . Formula koja se često koristi vrijedi i za pozitivan i za negativan x:
.
Za kvadratni korijen:
.

Ovdje je važan redoslijed izvođenja operacija - to jest, prvo se izvodi kvadrat, što rezultira nenegativnim brojem, a zatim se iz njega uzima korijen (kvadratni korijen se može uzeti iz nenegativnog broja ). Ako bismo promijenili redoslijed: , tada bi za negativan x korijen bio nedefiniran, a time bi i cijeli izraz bio nedefiniran.

Neparni stepen

Za neparne stepene, korijen je definiran za sve x:
;
.

Svojstva i formule korijena

Koren od x je funkcija stepena:
.
Kada je x ≥ 0 primjenjuju se sljedeće formule:
;
;
, ;
.

Ove formule se mogu primijeniti i za negativne vrijednosti varijabli. Samo treba da budete sigurni da radikalni izraz parnih moći nije negativan.

Privatne vrijednosti

Korijen od 0 je 0: .
Korijen 1 je jednak 1: .
Kvadratni korijen od 0 je 0: .
Kvadratni korijen od 1 je 1: .

Primjer. Korijen korijena

Pogledajmo primjer kvadratnog korijena:
.
Transformirajmo unutrašnji kvadratni korijen koristeći gornju formulu:
.
Sada transformirajmo originalni korijen:
.
dakle,
.

y = x p za različite vrijednosti eksponenta p.

Ovdje su grafovi funkcije za nenegativne vrijednosti argumenta x. Grafovi funkcije snage definirane za negativne vrijednosti x dati su na stranici "Funkcija snage, njena svojstva i grafovi"

Inverzna funkcija

Inverzna funkcija stepena sa eksponentom p je funkcija stepena sa eksponentom 1/p.

Ako onda.

Derivat funkcije stepena

Derivat n-tog reda:
;

Izvođenje formula > > >

Integral funkcije snage

P ≠ - 1 ;
.

Proširenje serije snaga

u - 1 < x < 1 odvija se sljedeća dekompozicija:

Izrazi koji koriste kompleksne brojeve

Razmotrimo funkciju kompleksne varijable z:
f (z) = z t.
Izrazimo kompleksnu varijablu z u terminima modula r i argumenta φ (r = |z|):
z = r e i φ .
Kompleksni broj t predstavljamo u obliku realnih i imaginarnih dijelova:
t = p + i q .
Imamo:

Zatim, uzimamo u obzir da argument φ nije jednoznačno definiran:
,

Razmotrimo slučaj kada je q = 0 , odnosno eksponent je realan broj, t = p. Onda
.

Ako je p cijeli broj, tada je kp cijeli broj. Zatim, zbog periodičnosti trigonometrijskih funkcija:
.
To je eksponencijalna funkcija za cjelobrojni eksponent, za dati z, ima samo jednu vrijednost i stoga je nedvosmislen.

Ako je p iracionalno, onda proizvodi kp za bilo koji k ne proizvode cijeli broj. Pošto k prolazi kroz beskonačan niz vrijednosti k = 0, 1, 2, 3, ..., tada funkcija z p ima beskonačno mnogo vrijednosti. Kad god se povećava argument z 2π(jedan okret), prelazimo na novu granu funkcije.

Ako je p racionalno, onda se može predstaviti kao:
, Gdje m, n- cijeli brojevi koji ne sadrže zajedničke djelitelje. Onda
.
Prvih n vrijednosti, sa k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, dati n različita značenja kp:
.
Međutim, sljedeće vrijednosti daju vrijednosti koje se razlikuju od prethodnih za cijeli broj. Na primjer, kada je k = k 0+n imamo:
.
Trigonometrijske funkcije, čiji se argumenti razlikuju po vrijednostima koje su višestruke 2π, imati jednake vrijednosti. Stoga, daljim povećanjem k, dobijamo iste vrijednosti z p kao za k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Dakle, eksponencijalna funkcija s racionalnim eksponentom je višeznačna i ima n vrijednosti (grana). Kad god se povećava argument z 2π(jedan okret), prelazimo na novu granu funkcije. Nakon n takvih okretaja vraćamo se na prvu granu od koje je počelo odbrojavanje.

Konkretno, korijen stepena n ima n vrijednosti. Kao primjer, razmotrite n-ti korijen realnog pozitivnog broja z = x. U ovom slučaju φ 0 = 0 , z = r = |z| = x, .
.
Dakle, za kvadratni korijen, n = 2 ,
.
Za parno k, (- 1 ) k = 1. Za neparan k, (- 1 ) k = - 1.
To jest, kvadratni korijen ima dva značenja: + i -.

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente, „Lan“, 2009.

Skripta lekcije za 11. razred na temu:

“N-ti korijen realnog broja. »

Svrha lekcije: Formiranje kod učenika holističkog razumijevanja korijena n-. stepen i aritmetički koren n. stepena, formiranje računskih veština, svesni i racionalno korišćenje svojstva korijena pri rješavanju raznih problema koji sadrže radikal. Provjerite nivo razumijevanja pitanja o temi od strane učenika.

Predmet:stvoriti smislene i organizacione uslove za savladavanje gradiva na temu “ Numerički i abecedni izrazi » na nivou percepcije, razumijevanja i primarnog pamćenja; razviti sposobnost korištenja ovih informacija prilikom izračunavanja n-tog korijena realnog broja;

meta-predmet: promovirati razvoj računarskih vještina; sposobnost analize, poređenja, generalizacije, izvođenja zaključaka;

Lični: Neguju sposobnost izražavanja svog gledišta, slušaju odgovore drugih, učestvuju u dijalogu i razvijaju sposobnost pozitivne saradnje.

Planirani rezultat.

Predmet: biti u stanju primijeniti u realnoj situaciji svojstva n-tog korijena realnog broja prilikom izračunavanja korijena i rješavanja jednačina.

Lični: razvijati pažnju i tačnost u proračunima, zahtjevan odnos prema sebi i svom poslu i gajiti osjećaj uzajamne pomoći.

Vrsta lekcije: lekcija o proučavanju i početnom učvršćivanju novih znanja

Motivacija za edukativne aktivnosti:

Istočna mudrost kaže: "Konja možete odvesti do vode, ali ga ne možete natjerati da pije." I nemoguće je natjerati osobu da dobro uči ako sama ne pokušava naučiti više i nema želju da radi na svom mentalnom razvoju. Na kraju krajeva, znanje je samo znanje kada se stiče naporima nečijih misli, a ne samo pamćenjem.

Naš čas će se održati pod motom: „Osvojićemo svaki vrh ako mu težimo“. Tokom lekcije, vi i ja trebamo imati vremena da savladamo nekoliko vrhova i svako od vas mora uložiti sve svoje napore u osvajanje ovih vrhova.

“Danas imamo lekciju u kojoj se moramo upoznati s novim konceptom: “N-ti korijen” i naučiti kako primijeniti ovaj koncept na transformaciju različitih izraza.

Vaš cilj je zasnovan na razne forme rad na aktiviranju postojećeg znanja, doprinosu proučavanju gradiva i dobijanju dobrih ocjena"
Učili smo kvadratni korijen realnog broja u 8. razredu. Kvadratni korijen je povezan s funkcijom forme y=x 2. Ljudi, sjećate li se kako smo izračunali kvadratne korijene i koja su svojstva imala?
a) individualna anketa:

kakav je ovo izraz

ono što se zove kvadratni korijen

ono što se zove aritmetički kvadratni korijen

navesti svojstva kvadratnog korijena

b) rad u parovima: izračunaj.

-

2. Ažuriranje znanja i stvaranje problemske situacije: Riješite jednačinu x 4 =1. Kako to možemo riješiti? (analitički i grafički). Rešimo to grafički. Da bismo to uradili, u jednom koordinatnom sistemu ćemo konstruisati grafik funkcije y = x 4 prava linija y = 1 (slika 164 a). Seku se u dve tačke: A (-1;1) i B(1;1). Apscise tačaka A i B, tj. x 1 = -1,

x 2 = 1 su korijeni jednadžbe x 4 = 1.
Rezonujući na potpuno isti način, nalazimo korijene jednadžbe x 4 =16: Pokušajmo sada riješiti jednačinu x 4 =5; geometrijska ilustracija je prikazana na sl. 164 b. Jasno je da jednačina ima dva korijena x 1 i x 2, a ovi brojevi su, kao iu prethodna dva slučaja, međusobno suprotni. Ali za prve dvije jednadžbe korijeni su pronađeni bez poteškoća (mogli su se naći bez korištenja grafova), ali s jednadžbom x 4 = 5 postoje problemi: sa crteža ne možemo naznačiti vrijednosti korijena, ali mi može samo utvrditi da se jedan korijen nalazi na lijevoj tački -1, a drugi desno od tačke 1.

x 2 = - (čitaj: “četvrti korijen od pet”).

Razgovarali smo o jednačini x 4 = a, gdje je a 0. Mogli bismo jednako dobro govoriti i o jednačini x 4 = a, gdje je a 0, a n bilo koji prirodan broj. Na primjer, grafički rješavajući jednačinu x 5 = 1, nalazimo x = 1 (slika 165); rješavajući jednačinu x 5 "= 7, utvrđujemo da jednačina ima jedan korijen x 1, koji se nalazi na x osi malo desno od tačke 1 (vidi sliku 165). Za broj x 1 uvodimo notacija .

Definicija 1. Root nth stepena nenegativnog broja a (n = 2, 3,4, 5,...) je nenegativan broj koji, kada se podigne na stepen n, rezultira brojem a.

Ovaj broj je označen, broj a se naziva radikalnim brojem, a broj n je eksponent korijena.
Ako je n=2, onda obično ne kažu "drugi korijen", već kažu "kvadratni korijen". U ovom slučaju ne pišu ovo. Ovo je poseban slučaj koji ste posebno učili u kursu algebre 8. razreda .

Ako je n = 3, onda umjesto „korijena trećeg stepena“ često kažu „korijen kocke“. Vaše prvo upoznavanje sa kubnim korenom takođe se dogodilo u 8. razredu algebre. Koristili smo kubne korijene u algebri 9. razreda.

Dakle, ako je a ≥0, n= 2,3,4,5,…, onda je 1) ≥ 0; 2) () n = a.

Općenito, =b i b n =a su isti odnos između nenegativnih brojeva a i b, ali samo je drugi opisan više jednostavnim jezikom(koristi jednostavnije znakove) od prvog.

Operacija pronalaženja korijena nenegativnog broja obično se naziva vađenje korijena. Ova operacija je suprotna od podizanja na odgovarajuću snagu. uporedi:

Imajte na umu još jednom: u tabeli se pojavljuju samo pozitivni brojevi, jer je to propisano u definiciji 1. I iako je, na primjer, (-6) 6 = 36 tačna jednakost, prijeđite s nje na zapis koristeći kvadratni korijen, tj. napišite da je to nemoguće. Po definiciji, pozitivan broj znači = 6 (ne -6). Na isti način, iako je 2 4 =16, t (-2) 4 =16, prelazeći na predznake korijena, moramo napisati = 2 (i u isto vrijeme ≠-2).

Ponekad se izraz naziva radikalnim (od latinske riječi gadix - "korijen"). U ruskom se izraz radikalne koristi prilično često, na primjer, "radikalne promjene" - to znači "radikalne promjene". Inače, sama oznaka korijena podsjeća na riječ gadix: simbol je stilizirano slovo r.

Operacija vađenja korijena također je određena za negativni radikalni broj, ali samo u slučaju neparnog korijenskog eksponenta. Drugim riječima, jednakost (-2) 5 = -32 može se prepisati u ekvivalentnom obliku kao =-2. Koristi se sljedeća definicija.

Definicija 2. Neparni korijen n negativnog broja a (n = 3,5,...) je negativan broj koji, kada se podigne na stepen n, rezultira brojem a.

Ovaj broj, kao u definiciji 1, označen je sa , broj a je radikalni broj, a broj n je eksponent korijena.
Dakle, ako je a , n=,5,7,…, onda: 1) 0; 2) () n = a.

Dakle, paran korijen ima značenje (tj. definiran je) samo za nenegativni radikalni izraz; neparan koren ima smisla za svaki radikalan izraz.

5. Primarna konsolidacija znanja:

1. Izračunaj: br. 33,5; 33.6; 33,74 33,8 usmeno a) ; b) ; V) ; G) .

d) Za razliku od prethodnih primjera, ne možemo naznačiti tačnu vrijednost broja, jasno je samo da je veći od 2, ali manji od 3, jer je 2 4 = 16 (ovo je manje od 17), a 3 4 = 81 (ovo više od 17). Napominjemo da je 24 mnogo bliže 17 nego 34, tako da postoji razlog da se koristi približni znak jednakosti:
2. Pronađite značenja sljedećih izraza.

Stavite odgovarajuće slovo pored primjera.

Malo informacija o velikom naučniku. Rene Descartes (1596-1650) francuski plemić, matematičar, filozof, fiziolog, mislilac. Rene Descartes je postavio temelje analitičke geometrije i uveo slovne oznake x 2, y 3. Svi znaju kartezijanske koordinate koje definiraju funkciju varijable.

3 . Riješite jednačine: a) = -2; b) = 1; c) = -4

Rješenje: a) Ako je = -2, onda je y = -8. Zapravo oba dijela zadata jednačina moramo kockati. Dobijamo: 3x+4= - 8; 3x= -12; x = -4. b) Rezoniranje kao u primjeru a), dižemo obje strane jednačine na četvrti stepen. Dobijamo: x=1.

c) Nema potrebe da se diže na četvrti stepen, ova jednačina nema rješenja. Zašto? Jer, prema definiciji 1, paran korijen je nenegativan broj.
Vašoj pažnji nudi se nekoliko zadataka. Kada završite ove zadatke, naučit ćete ime i prezime velikog matematičara. Ovaj naučnik je prvi uveo korijenski znak 1637. godine.

6. Hajde da se malo odmorimo.

Razred diže ruke - ovo je "jedan".

Glava se okrenula - bilo je "dva".

Ruke dolje, gledajte naprijed - ovo je "tri".

Ruke okrenute šire u strane na "četiri"

Pritiskati ih silom u ruke je „dala petica“.

Svi momci treba da sjednu - to je "šest".

7. Samostalan rad:

opcija: opcija 2:

b) 3-. b)12 -6.

2. Riješite jednačinu: a) x 4 = -16; b) 0,02x 6 -1,28=0; a) x 8 = -3; b)0,3x 9 – 2,4=0;

c) = -2; c)= 2

8. Ponavljanje: Pronađite korijen jednačine = - x. Ako jednadžba ima više od jednog korijena, napišite odgovor s manjim korijenom.

9. Refleksija:Šta ste naučili na lekciji? Šta je bilo zanimljivo? Šta je bilo teško?

Ovaj članak je zbirka detaljnih informacija koje se odnose na temu svojstava korijena. S obzirom na temu, počećemo sa svojstvima, proučiti sve formulacije i pružiti dokaze. Da bismo konsolidirali temu, razmotrit ćemo svojstva n-tog stepena.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Svojstva korijena

Pričaćemo o nekretninama.

1. Nekretnina pomnožene brojeve a I b, što je predstavljeno kao jednakost a · b = a · b. Može se predstaviti u obliku faktora, pozitivnih ili jednakih nuli a 1 , a 2 , … , a k kao a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k ;
2. iz količnika a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0, može se napisati i u ovom obliku a b = a b;
3. Svojstvo po stepenu broja a sa parnim eksponentom a 2 m = a m za bilo koji broj a, na primjer, svojstvo iz kvadrata broja a 2 = a.

U bilo kojoj od predstavljenih jednačina možete zamijeniti dijelove prije i poslije znaka crtice, na primjer, jednakost a · b = a · b se transformira kao a · b = a · b. Svojstva jednakosti se često koriste za pojednostavljenje složenih jednačina.

Dokaz prvih svojstava zasniva se na definiciji kvadratnog korijena i svojstava potencija s prirodnim eksponentom. Da bismo opravdali treće svojstvo, potrebno je pozvati se na definiciju modula broja.

Prije svega, potrebno je dokazati svojstva kvadratnog korijena a · b = a · b. Prema definiciji, potrebno je uzeti u obzir da je a b broj, pozitivan ili jednak nuli, koji će biti jednak a b tokom izgradnje u kvadrat. Vrijednost izraza a · b je pozitivna ili jednaka nuli kao proizvod nenegativnih brojeva. Svojstvo stepena pomnoženih brojeva omogućava nam da predstavimo jednakost u obliku (a · b) 2 = a 2 · b 2 . Po definiciji kvadratnog korijena, a 2 = a i b 2 = b, zatim a · b = a 2 · b 2 = a · b.

Na sličan način se to može dokazati iz proizvoda k množitelji a 1 , a 2 , … , a kće biti jednak proizvodu kvadratnih korijena ovih faktora. Zaista, a 1 · a 2 · … · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · a k 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

Iz ove jednakosti slijedi da je a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k.

Pogledajmo nekoliko primjera kako bismo pojačali temu.

Primjer 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 i 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 · 0 , 2 (1) .

Potrebno je dokazati svojstvo aritmetičkog kvadratnog korijena količnika: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Svojstvo nam omogućava da zapišemo jednakost a: b 2 = a 2: b 2 i a 2: b 2 = a: b, dok je a: b pozitivan broj ili jednak nuli. Ovaj izraz će postati dokaz.

Na primjer, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 i 30,121 = 30,121.

Razmotrimo svojstvo kvadratnog korijena kvadrata broja. Može se zapisati kao jednakost kao 2 = a Da bismo dokazali ovo svojstvo, potrebno je detaljno razmotriti nekoliko jednakosti za a ≥ 0 i na a< 0 .

Očigledno, za a ≥ 0 jednakost a 2 = a je tačna. At a< 0 jednakost a 2 = - a će biti tačna. Zapravo, u ovom slučaju − a > 0 i (− a) 2 = a 2 . Možemo zaključiti, a 2 = a, a ≥ 0 - a, a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer 2

5 2 = 5 = 5 i - 0,36 2 = - 0,36 = 0,36.

Dokazano svojstvo će pomoći da se opravda a 2 m = a m, gdje a– pravi, i m-prirodni broj. Zaista, svojstvo podizanja moći nam omogućava da zamijenimo moć a 2 m izraz (a m) 2, tada a 2 m = (a m) 2 = a m.

Primjer 3

3 8 = 3 4 = 3 4 i (- 8 , 3) ​​14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) ​​7 .

Svojstva n-tog korijena

Prvo, moramo razmotriti osnovna svojstva n-tog korijena:

1. Svojstvo iz proizvoda brojeva a I b, koji su pozitivni ili jednaki nuli, mogu se izraziti kao jednakost a · b n = a n · b n , ovo svojstvo vrijedi za proizvod k brojevi a 1 , a 2 , … , a k kao a 1 · a 2 · … · a k n = a 1 n · a 2 n · … · a k n ;
2. od razlomak broj ima svojstvo a b n = a n b n , gdje je a je bilo koji realan broj koji je pozitivan ili jednak nuli, i b– pozitivan realni broj;
3. Za bilo koje a pa čak i indikatore n = 2 m a 2 · m 2 · m = a je tačno, a za neparno n = 2 m − 1 vrijedi jednakost a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a.
4. Svojstvo ekstrakcije iz a m n = a n m , gdje je a– bilo koji broj, pozitivan ili jednak nuli, n I m su prirodni brojevi, ovo svojstvo se takođe može predstaviti u obliku. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . · n k ;
5. Za bilo koje nenegativno a i proizvoljno n I m, koji su prirodni, možemo definisati i pravednu jednakost a m n · m = a n ;
6. Svojstvo stepena n iz snage broja a, koji je pozitivan ili jednak nuli, in prirodni stepen m, definisana jednakošću a m n = a n m ;
7. Poređenje svojstava koja imaju isti pokazatelji: za sve pozitivne brojeve a I b takav da a< b , nejednakost a n< b n ;
8. Svojstvo poređenja koje ima iste brojeve ispod korijena: if m I n – prirodni brojevi koji m > n, zatim u 0 < a < 1 nejednakost a m > a n je tačna i kada a > 1 izvršio m< a n .

Gore navedene jednakosti vrijede ako se dijelovi prije i poslije znaka jednakosti zamjenjuju. Mogu se koristiti iu ovom obliku. Ovo se često koristi prilikom pojednostavljivanja ili transformacije izraza.

Dokaz gore navedenih svojstava korijena zasniva se na definiciji, svojstvima stepena i definiciji modula broja. Ova svojstva moraju biti dokazana. Ali sve je u redu.

1. Prije svega, dokažimo svojstva n-tog korijena proizvoda a · b n = a n · b n . Za a I b , koji su pozitivan ili jednak nuli , vrijednost a n · b n je također pozitivna ili jednaka nuli, jer je posljedica množenja nenegativnih brojeva. Svojstvo proizvoda na prirodni stepen omogućava nam da zapišemo jednakost a n · b n n = a n n · b n n . Po definiciji korijena n-ti stepen a n n = a i b n n = b , dakle, a n · b n n = a · b . Rezultirajuća jednakost je upravo ono što je trebalo dokazati.

Ovo svojstvo se može dokazati na sličan način za proizvod k množitelji: za nenegativne brojeve a 1, a 2, …, a n, a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0.

Evo primjera korištenja root svojstva n-ta snaga iz proizvoda: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 i 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 = 8, 3 17, (21) 3 · 5 7 4 .

1. Dokažimo svojstvo korijena količnika a b n = a n b n . At a ≥ 0 I b > 0 uslov a n b n ≥ 0 je zadovoljen i a n b n n = a n n b n n = a b .

Pokažimo primjere:

Primjer 4

8 27 3 = 8 3 27 3 i 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10.

1. Za sljedeći korak potrebno je dokazati svojstva n-tog stepena od broja do stepena n. Zamislimo ovo kao jednakost a 2 m 2 m = a i a 2 m - 1 2 m - 1 = a za bilo koju realnu a i prirodno m. At a ≥ 0 dobijamo a = a i a 2 m = a 2 m, što dokazuje jednakost a 2 m 2 m = a, a jednakost a 2 m - 1 2 m - 1 = a je očigledna. At a< 0 dobijamo, respektivno, a = - a i a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m. Posljednja transformacija broja vrijedi prema svojstvu snage. Upravo to dokazuje jednakost a 2 m 2 m = a, i a 2 m - 1 2 m - 1 = a će biti tačna, pošto se smatra neparnim stepenom - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1 za bilo koji broj c , pozitivan ili jednak nuli.

Kako bismo konsolidirali primljene informacije, razmotrimo nekoliko primjera korištenja svojstva:

Primjer 5

7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 i (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39.

1. Dokažimo sljedeću jednakost a m n = a n m . Da biste to učinili, trebate zamijeniti brojeve ispred i iza znaka jednakosti: a n · m = a m n . To će značiti da je unos ispravan. Za a,što je pozitivno ili jednako nuli , oblika a m n je broj pozitivan ili jednak nuli. Okrenimo se svojstvu uzdizanja moći na stepen i njegovoj definiciji. Uz njihovu pomoć, možete transformirati jednakosti u obliku a m n n · m = a m n n m = a m m = a. Ovo dokazuje svojstvo korijena razmatranog korijena.

Ostale osobine se dokazuju slično. Zaista, . . . a n k n 2 n 1 n 1 · n 2 · . . . · n k = . . . a n k n 3 n 2 n 2 · n 3 · . . . · n k = . . . a n k n 4 n 3 n 3 · n 4 · . . . · n k = . . . = a n k n k = a .

Na primjer, 7 3 5 = 7 5 3 i 0,0009 6 = 0,0009 2 2 6 = 0,0009 24.

1. Dokažimo sljedeće svojstvo a m n · m = a n . Da biste to učinili, potrebno je pokazati da je n broj, pozitivan ili jednak nuli. Kada se podigne na stepen n m je jednako a m. Ako je broj a onda je pozitivan ili jednak nuli n-. stepen iz red a je pozitivan broj ili jednak nuli.U ovom slučaju, a n · m n = a n n m , što je trebalo dokazati.

Kako bismo konsolidirali stečeno znanje, pogledajmo nekoliko primjera.

1. Dokažimo sljedeće svojstvo – svojstvo korijena stepena oblika a m n = a n m . Očigledno je da kada a ≥ 0 stepen a n m je nenegativan broj. Štaviše, ona n th stepen je jednak a m, zaista, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Ovo dokazuje svojstvo stepena koji se razmatra.

Na primjer, 2 3 5 3 = 2 3 3 5.

1. To je potrebno dokazati za sve pozitivne brojeve a i b uslov je zadovoljen a< b . Razmotrimo nejednakost a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию a< b . Stoga, a n< b n при a< b .

Na primjer, dajmo 12 4< 15 2 3 4 .

1. Razmotrite svojstvo korijena n-th stepen. Potrebno je prvo razmotriti prvi dio nejednakosti. At m > n I 0 < a < 1 istina a m > a n . Pretpostavimo da je a m ≤ a n. Svojstva će vam omogućiti da pojednostavite izraz na a n m · n ≤ a m m · n . Tada, prema svojstvima stepena sa prirodnim eksponentom, vrijedi nejednakost a n m · n m · n ≤ a m m · n m · n, tj. a n ≤ a m. Dobijena vrijednost na m > n I 0 < a < 1 ne odgovara gore navedenim svojstvima.

Na isti način se može dokazati da kada m > n I a > 1 uslov a m je tačan< a n .

Da biste konsolidirali gornja svojstva, razmotrite nekoliko konkretni primjeri. Pogledajmo nejednakosti koristeći određene brojeve.

Primjer 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Korenski stepen n od realnog broja a, Gdje n- prirodni broj, takav realan broj se zove x, nčiji je stepen jednak a.

Korenski stepen n od broja a je označeno simbolom. Prema ovoj definiciji.

Pronalaženje korijena n-. stepen iz red a naziva se ekstrakcija korena. Broj A naziva se radikalni broj (izraz), n- korijenski indikator. Za čudno n postoji korijen n-ti stepen za bilo koji realan broj a. Kad je čak n postoji korijen n-th stepen samo za nenegativne brojeve a. Da razjasnimo korijen n-. stepen iz red a, uvodi se koncept aritmetičkog korijena n-. stepen iz red a.

Koncept aritmetičkog korena stepena N

Ako n- prirodni broj, veći 1 , tada postoji, i to samo jedan, nenegativan broj X, tako da je jednakost zadovoljena. Ovaj broj X naziva se aritmetičkim korijenom n stepen nenegativnog broja A i određen je. Broj A naziva se radikalnim brojem, n- korijenski indikator.

Dakle, prema definiciji, notacija , gdje , znači, prvo, da i, drugo, da, tj. .

Koncept diplome sa racionalnim eksponentom

Stepen sa prirodnim eksponentom: neka A je realan broj, i n- prirodni broj veći od jedan, n-ti stepen broja A nazovi posao n faktora, od kojih je svaki jednak A, tj. . Broj A- osnovu diplome, n- eksponent. Potencija s nultim eksponentom: po definiciji, ako , onda . Nulta snaga broja 0 nema smisla. Stepen s negativnim cijelim eksponentom: pretpostavlja se po definiciji ako i n je prirodan broj, onda . Stepen sa razlomkom eksponenta: pretpostavlja se po definiciji ako i n- prirodni broj, m je cijeli broj, onda .

Operacije s korijenima.

U svim formulama ispod, simbol označava aritmetički korijen (radikalni izraz je pozitivan).

1. Korijen proizvoda nekoliko faktora jednak je proizvodu korijena ovih faktora:

2. Korijen omjera jednak je omjeru korijena dividende i djelitelja:

3. Prilikom podizanja korijena na stepen, dovoljno je podići radikalni broj na ovaj stepen:

4. Ako povećate stepen korijena n puta i istovremeno podignete radikalni broj na n-ti stepen, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

5. Ako smanjite stepen korijena za n puta i istovremeno izvučete n-ti korijen radikalnog broja, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

Proširivanje koncepta stepena. Do sada smo razmatrali stepene samo sa prirodnim eksponentima; ali operacije sa potencijama i korijenima također mogu dovesti do negativnih, nultih i razlomanih eksponenta. Svi ovi eksponenti zahtijevaju dodatnu definiciju.

Stepen sa negativnim eksponentom. Potencija određenog broja s negativnim (cjelobrojnim) eksponentom definira se kao jedinica podijeljena potencijom istog broja s eksponentom jednakim apsolutnoj vrijednosti negativnog eksponenta:

Sada se formula a m: a n = a m - n može koristiti ne samo za m veće od n, već i za m manje od n.

PRIMJER a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Ako želimo da formula a m: a n = a m - n važi za m = n, potrebna nam je definicija stepena nula.

Diploma sa nultim indeksom. Potencija bilo kojeg broja različitog od nule s eksponentom nula je 1.

PRIMJERI. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Stepen sa razlomkom eksponenta. Da biste podignuli realni broj a na stepen m / n, morate izdvojiti n-ti korijen m-tog stepena ovog broja a:

O izrazima koji nemaju značenje. Postoji nekoliko takvih izraza.

Slučaj 1.

Gdje a ≠ 0 ne postoji.

U stvari, ako pretpostavimo da je x određeni broj, onda u skladu sa definicijom operacije dijeljenja imamo: a = 0 x, tj. a = 0, što je u suprotnosti sa uslovom: a ≠ 0

Slučaj 2.

Bilo koji broj.

U stvari, ako pretpostavimo da je ovaj izraz jednak određenom broju x, onda prema definiciji operacije dijeljenja imamo: 0 = 0 · x. Ali ova jednakost vrijedi za bilo koji broj x, što je trebalo dokazati.

stvarno,

Rješenje. Razmotrimo tri glavna slučaja:

1) x = 0 – ova vrijednost ne zadovoljava ovu jednačinu

2) za x > 0 dobijamo: x / x = 1, tj. 1 = 1, što znači da je x bilo koji broj; ali uzimajući u obzir da je u našem slučaju x > 0, odgovor je x > 0;

3) na x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

u ovom slučaju nema rješenja. Dakle, x > 0.