Linearna funkcija je parna. Osnovna svojstva funkcija

Naučite uzimati derivate funkcija. Izvod karakterizira brzinu promjene funkcije u određenoj tački koja leži na grafu ove funkcije. U ovom slučaju, graf može biti ravna ili kriva linija. To jest, derivacija karakterizira brzinu promjene funkcije u određenom trenutku. Zapamti opšta pravila, kojim se uzimaju derivati, a tek onda prelazimo na sljedeći korak.

• Pročitajte članak.
• Kako uzeti najjednostavnije derivate, na primjer, derivat eksponencijalna jednačina, opisano. Proračuni predstavljeni u sljedećim koracima će se zasnivati ​​na metodama opisanim u njima.

Naučite razlikovati probleme u kojima koeficijent nagiba treba izračunati kroz derivaciju funkcije. Problemi ne traže uvijek od vas da pronađete nagib ili derivaciju funkcije. Na primjer, od vas će se možda tražiti da pronađete stopu promjene funkcije u tački A(x,y). Od vas se takođe može tražiti da pronađete nagib tangente u tački A(x,y). U oba slučaja potrebno je uzeti derivaciju funkcije.

Definicija linearne funkcije

Hajde da uvedemo definiciju linearne funkcije

Definicija

Funkcija oblika $y=kx+b$, gdje je $k$ različit od nule, naziva se linearna funkcija.

Grafikon linearne funkcije je prava linija. Poziva se broj $k$ nagib ravno.

Kada je $b=0$ linearna funkcija se naziva funkcijom direktne proporcionalnosti $y=kx$.

Razmotrite sliku 1.

Rice. 1. Geometrijsko značenje nagiba prave

Razmotrimo trougao ABC. Vidimo da je $VS=kx_0+b$. Nađimo tačku preseka prave $y=kx+b$ sa osom $Ox$:

\ \

Dakle, $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Nađimo omjer ovih strana:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

S druge strane, $\frac(BC)(AC)=tg\ugao A$.

Dakle, možemo izvući sljedeći zaključak:

Zaključak

Geometrijsko značenje koeficijent $k$. Ugaoni koeficijent prave $k$ jednak je tangenti ugla nagiba ove prave na osu $Ox$.

Proučavanje linearne funkcije $f\left(x\right)=kx+b$ i njenog grafa

Prvo, razmotrite funkciju $f\left(x\right)=kx+b$, gdje je $k > 0$.

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. dakle, ovu funkciju povećava se kroz čitav domen definicije. Ne postoje ekstremne tačke.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Grafikon (slika 2).

Rice. 2. Grafovi funkcije $y=kx+b$, za $k > 0$.

Sada razmotrite funkciju $f\left(x\right)=kx$, gdje je $k

1. Domen definicije su svi brojevi.
2. Raspon vrijednosti su svi brojevi.
3. $f\levo(-x\desno)=-kx+b$. Funkcija nije ni parna ni neparna.
4. Za $x=0,f\left(0\right)=b$. Kada je $y=0.0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Točke preseka sa koordinatnim osama: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ i $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Dakle, funkcija nema prevojne tačke.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. Grafikon (slika 3).

Instrukcije

Ako je graf prava linija koja prolazi kroz ishodište koordinata i formira ugao α sa osom OX (ugao nagiba prave linije prema pozitivnoj poluosi OX). Funkcija koja opisuje ovu liniju imat će oblik y = kx. Koeficijent proporcionalnosti k je jednak tan α. Ako ravna linija prolazi kroz 2. i 4. koordinatnu četvrtinu, tada k< 0, и является убывающей, если через 1-ю и 3-ю, то k >0 i funkcija raste Neka predstavlja pravu liniju koja se nalazi na različite načine u odnosu na koordinatne osi. Ovo je linearna funkcija i ima oblik y = kx + b, gdje su varijable x i y na prvi stepen, a k i b mogu biti pozitivni ili negativni. negativne vrijednosti ili jednako nuli. Prava je paralelna pravoj y = kx i preseca se na osi |b| jedinice. Ako je prava paralelna sa apscisnom osom, tada je k = 0, ako je ordinatna osa, onda jednačina ima oblik x = const.

Kriva koja se sastoji od dvije grane smještene u različitim četvrtima i simetrične u odnosu na ishodište koordinata je hiperbola. Ovaj grafikon inverzni odnos varijabla y od x i opisana je jednadžbom y = k/x. Ovdje je k ≠ 0 koeficijent proporcionalnosti. Štaviše, ako je k > 0, funkcija se smanjuje; ako k< 0 - функция возрастает. Таким образом, областью определения функции является вся числовая прямая, кроме x = 0. Ветви приближаются к осям координат как к своим асимптотам. С уменьшением |k| ветки гиперболы все больше «вдавливаются» в координатные углы.

Kvadratna funkcija ima oblik y = ax2 + bx + c, gdje su a, b i c konstantne veličine i a  0. Ako je ispunjen uvjet b = c = 0, jednadžba funkcije izgleda kao y = ax2 ( najjednostavniji slučaj), a njegov graf je parabola koja prolazi kroz ishodište. Graf funkcije y = ax2 + bx + c ima isti oblik kao i najjednostavniji slučaj funkcije, ali njen vrh (tačka presjeka sa osom OY) ne leži u početku.

Graf je takođe parabola funkcija snage, izraženo jednačinom y = xⁿ, ako je n bilo koji čak broj. Ako je n bilo koji neparan broj, graf takve funkcije stepena će izgledati kao kubna parabola.
Ako je n bilo koji, jednadžba funkcije poprima oblik. Graf funkcije za neparno n bit će hiperbola, a za parno n njihove grane će biti simetrične u odnosu na op os.

Takođe u školske godine Funkcije se detaljno proučavaju i konstruiraju se njihovi grafovi. Ali, nažalost, oni praktički ne uče kako čitati graf funkcije i pronaći njen tip iz predstavljenog crteža. Zapravo je prilično jednostavno ako se sjetite osnovnih tipova funkcija.

Instrukcije

Ako je prikazani graf , koji je kroz ishodište koordinata i sa OX osom ugao α (koji je ugao nagiba prave na pozitivnu polu-os), tada će funkcija koja opisuje takvu pravu liniju biti predstavljen kao y = kx. U ovom slučaju, koeficijent proporcionalnosti k je jednak tangentu ugla α.

Ako data linija prolazi kroz drugu i četvrtu koordinatnu četvrtinu, tada je k jednako 0 i funkcija raste. Neka je prikazani graf prava linija koja se nalazi na bilo koji način u odnosu na koordinatne ose. Onda funkcija takvih grafikeće biti linearna, što je predstavljeno oblikom y = kx + b, gdje su varijable y i x u prvoj, a b i k mogu uzeti i negativne i pozitivne vrijednosti ili .

Ako je prava paralelna pravoj sa grafikom y = kx i odsijeca b jedinica na ordinatnoj osi, tada jednačina ima oblik x = const, ako je graf paralelan sa osom apscise, tada je k = 0.

Zakrivljena linija koja se sastoji od dvije grane, simetrične u odnosu na ishodište i smještene u različitim četvrtima, je hiperbola. Takav graf pokazuje inverznu zavisnost varijable y od varijable x i opisan je jednadžbom oblika y = k/x, pri čemu k ne bi trebalo biti jednaka nuli, pošto je to koeficijent inverzna proporcionalnost. Štaviše, ako je vrijednost k veća od nule, funkcija se smanjuje; ako je k manji od nule, povećava se.

Ako je predloženi graf parabola koja prolazi kroz ishodište, njegova funkcija, pod uslovom da je b = c = 0, imaće oblik y = ax2. Ovo je najjednostavniji slučaj kvadratna funkcija. Graf funkcije oblika y = ax2 + bx + c imat će isti oblik kao i najjednostavniji slučaj, međutim, vrh (tačka u kojoj graf seče ordinatnu osu) neće biti u početku. U kvadratnoj funkciji, predstavljenoj u obliku y = ax2 + bx + c, vrijednosti a, b i c su konstantne, dok a nije jednako nuli.

Parabola također može biti graf funkcije stepena izražene jednadžbom oblika y = xⁿ samo ako je n bilo koji paran broj. Ako je vrijednost n neparan broj, takav graf funkcije stepena će biti predstavljen kubnom parabolom. U slučaju da je varijabla n bilo koja negativan broj, jednadžba funkcije ima oblik .

Video na temu

Koordinatu apsolutno bilo koje tačke na ravni određuju njene dvije veličine: duž ose apscise i osi ordinata. Zbirka mnogih takvih tačaka predstavlja graf funkcije. Iz njega se vidi kako se mijenja vrijednost Y ovisno o promjeni vrijednosti X. Također možete odrediti u kojem dijelu (intervalu) funkcija raste, a u kojem opada.

Instrukcije

Šta možete reći o funkciji ako je njen graf prava linija? Pogledajte da li ova linija prolazi kroz početnu točku koordinata (to jest, onu u kojoj su vrijednosti X i Y ​​jednake 0). Ako prođe, onda je takva funkcija opisana jednadžbom y = kx. Lako je razumjeti da što je veća vrijednost k, to će se ova prava linija nalaziti bliže osi ordinate. A sama Y osa zapravo korespondira beskonačno od velikog značaja k.

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, pravnim postupkom, odnosno na osnovu javnog zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

1) Domen funkcije i opseg funkcije.

Domena funkcije je skup svih valjanih vrijednosti argumenata x(promenljiva x), za koje je funkcija y = f(x) odlučan. Opseg funkcije je skup svih realnih vrijednosti y, što funkcija prihvata.

U osnovnoj matematici, funkcije se proučavaju samo na skupu realnih brojeva.

2) Nule funkcije.

Funkcija nula je vrijednost argumenta pri kojoj je vrijednost funkcije jednaka nuli.

3) Intervali konstantnog predznaka funkcije.

Intervali konstantnog predznaka funkcije su skupovi vrijednosti argumenata na kojima su vrijednosti funkcije samo pozitivne ili samo negativne.

4) Monotonost funkcije.

Rastuća funkcija (u određenom intervalu) je funkcija za koju veća vrijednost argument iz ovog intervala odgovara većoj vrijednosti funkcije.

Opadajuća funkcija (u određenom intervalu) je funkcija u kojoj veća vrijednost argumenta iz ovog intervala odgovara manjoj vrijednosti funkcije.

5) Parna (neparna) funkcija.

Parna funkcija je funkcija čija je domena definicije simetrična u odnosu na ishodište i za bilo koje X iz domena definicije jednakost f(-x) = f(x). Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na ordinatu.

Neparna funkcija je funkcija čija je domena definicije simetrična u odnosu na ishodište i za bilo koje X iz domena definicije jednakost je tačna f(-x) = - f(x). Raspored neparna funkcija simetrično u odnosu na porijeklo.

6) Ograničene i neograničene funkcije.

Funkcija se naziva ograničenom ako postoji pozitivan broj M takav da je |f(x)| ≤ M za sve vrijednosti x. Ako takav broj ne postoji, funkcija je neograničena.

7) Periodičnost funkcije.

Funkcija f(x) je periodična ako postoji broj T koji nije nula takav da za bilo koji x iz domena definicije funkcije vrijedi sljedeće: f(x+T) = f(x). Ovaj najmanji broj naziva se period funkcije. Sve trigonometrijske funkcije su periodični. (Trigonometrijske formule).

19. Osnovne elementarne funkcije, njihova svojstva i grafovi. Primjena funkcija u ekonomiji.

Osnovne elementarne funkcije. Njihova svojstva i grafovi

1. Linearna funkcija.

Linearna funkcija naziva se funkcija oblika , gdje je x varijabla, a i b su realni brojevi.

Broj A nazvana nagibom prave, jednaka je tangenti ugla nagiba ove linije prema pozitivnom smjeru x-ose. Grafikon linearne funkcije je prava linija. Definisano je sa dve tačke.

Svojstva linearne funkcije

1. Domen definicije - skup svih realnih brojeva: D(y)=R

2. Skup vrijednosti je skup svih realnih brojeva: E(y)=R

3. Funkcija uzima nultu vrijednost kada ili.

4. Funkcija raste (opada) u cijelom domenu definicije.

5. Linearna funkcija kontinuirano u cijelom domenu definicije, diferencibilno i .

2. Kvadratna funkcija.

Funkcija oblika, gdje je x varijabla, koeficijenti a, b, c su realni brojevi, naziva se kvadratni