UlazPrimjeri Hornerove metode. Jednačine u višoj matematici Racionalni korijeni polinoma. Horner shema
Web stranica „Profesionalni tutor matematike“ nastavlja seriju metodičkih članaka o nastavi. Objavljujem opise metoda svog rada sa najsloženijim i najproblematičnijim temama školskog programa. Ovaj materijal će biti od koristi nastavnicima i nastavnicima matematike koji rade sa učenicima 8-11 razreda kako u redovnom programu tako iu programu nastave matematike.
Nastavnik matematike ne može uvijek objasniti materijal koji je loše predstavljen u udžbeniku. Nažalost, takve teme su sve brojnije, a masovno se prave greške u prezentaciji prateći autore priručnika. Ovo se ne odnosi samo na početnike i honorarne tutore (tutori su studenti i univerzitetski tutori), već i na iskusne nastavnike, profesionalne tutore, tutore sa iskustvom i kvalifikacijama. Nemaju svi nastavnici matematike talenat da kompetentno ispravljaju grube ivice u školskim udžbenicima. Ne razumiju svi da su ove ispravke (ili dodaci) neophodne. Malo djece je uključeno u prilagođavanje materijala za njegovu kvalitetnu percepciju od strane djece. Nažalost, prošlo je vrijeme kada su nastavnici matematike, zajedno sa metodicima i autorima publikacija, masovno raspravljali o svakom slovu udžbenika. Prethodno su, prije puštanja udžbenika u škole, vršene ozbiljne analize i studije ishoda učenja. Došlo je vrijeme za amatere koji nastoje da udžbenike učine univerzalnim, prilagođavajući ih standardima jakih časova matematike.
Trka za povećanjem količine informacija samo dovodi do smanjenja kvaliteta njihove asimilacije i, kao posljedicu, smanjenja nivoa stvarnog znanja iz matematike. Ali na ovo niko ne obraća pažnju. A naša deca su primorana da već u 8. razredu uče ono što smo mi učili na institutu: teoriju verovatnoće, rešavanje jednačina visokog stepena i još nešto. Prilagođavanje gradiva u knjigama za djetetovu potpunu percepciju ostavlja mnogo da se poželi, a učitelj matematike je prisiljen nekako se nositi s tim.
Razgovarajmo o metodologiji za podučavanje takve specifične teme kao što je "dijeljenje polinoma polinomom uglom", poznatije u matematici za odrasle kao "Bezoutova teorema i Hornerova shema". Prije samo nekoliko godina, pitanje nije bilo toliko goruće za nastavnika matematike, jer nije bilo dio osnovnog školskog programa. Sada su uvaženi autori udžbenika, koji je uredio Teljakovski, uneli izmene u najnovije izdanje najbolji udžbenik, po mom mišljenju, i, pošto ga je potpuno upropastio, samo je dodao nepotrebne brige nastavniku. Nastavnici škola i odeljenja koja nemaju status matematike, fokusirajući se na inovacije autora, počeli su sve češće da uključuju dodatne paragrafe u svoje lekcije, a radoznala deca, gledajući prelepe stranice svog udžbenika matematike, sve češće pitaju nastavnik: „Kakva je ovo podjela po uglu? Hoćemo li proći kroz ovo? Kako podijeliti kutak? Od takvih direktnih pitanja više se ne može sakriti. Učitelj će morati djetetu nešto reći.
Ali kao? Vjerovatno ne bih opisao način rada na temi da je kompetentno predstavljena u udžbenicima. Kako sve ide kod nas? Udžbenike treba štampati i prodavati. A za to ih je potrebno redovno ažurirati. Žale li se profesori na fakultetima da im djeca dolaze prazne glave, bez znanja i vještina? Da li se povećavaju zahtjevi za matematičkim znanjem? Odlično! Uklonimo neke vježbe i umjesto toga ubacimo teme koje se proučavaju u drugim programima. Zašto je naš udžbenik lošiji? Uključićemo neka dodatna poglavlja. Školarci ne znaju pravilo podjele ugla? Ovo je osnovna matematika. Ovaj paragraf bi trebao biti fakultativan, pod naslovom „za one koji žele znati više“. Tutori protiv toga? Zašto nam je uopšte stalo do tutora? Protiv su i metodolozi i nastavnici? Nećemo komplicirati materijal i razmotrit ćemo njegov najjednostavniji dio.
I tu počinje. Jednostavnost teme i kvalitet njene asimilacije leže, prije svega, u razumijevanju njene logike, a ne u izvođenju, prema uputama autora udžbenika, određenog skupa operacija koje nisu jasno povezane jedna s drugom. . U suprotnom će biti magle u glavi učenika. Ako autori ciljaju na relativno jake studente (ali koji studiraju po redovnom programu), onda ne biste trebali predstavljati temu u komandnoj formi. Šta vidimo u udžbeniku? Djeco, moramo se podijeliti po ovom pravilu. Dobiti polinom pod uglom. Dakle, originalni polinom će biti faktorizovan. Međutim, nije jasno zašto su pojmovi ispod ugla odabrani upravo na ovaj način, zašto se moraju pomnožiti polinomom iznad ugla, a zatim oduzeti od trenutnog ostatka. I što je najvažnije, nije jasno zašto se odabrani monomi na kraju moraju dodati i zašto će rezultirajuće zagrade biti ekspanzija originalnog polinoma. Svaki kompetentan matematičar staviće podebljan upitnik iznad objašnjenja datih u udžbeniku.
Predavačima i nastavnicima matematike ukazujem svoje rješenje zadatka, koje učeniku praktično čini očiglednim sve što je navedeno u udžbeniku. Zapravo, dokazat ćemo Bezoutovu teoremu: ako je broj a korijen polinoma, onda se ovaj polinom može razložiti na faktore, od kojih je jedan x-a, a drugi se iz originalnog dobiva na jedan od tri načina: izolacijom linearnog faktora kroz transformacije, dijeljenjem uglom ili Hornerovom shemom. Sa ovom formulacijom će učitelju matematike biti lakše raditi.
Šta je metodika nastave? Prije svega, ovo je jasan redoslijed u nizu objašnjenja i primjera na osnovu kojih se izvode matematički zaključci. Ova tema nije izuzetak. Veoma je važno da nastavnik matematike upozna dijete sa Bezoutovom teoremom prije podjele uglom. Veoma je važno! Najbolji način da se postigne razumijevanje je da konkretan primjer. Uzmimo neki polinom s odabranim korijenom i pokažimo tehniku rastavljanja na faktore pomoću metode poznate školarcima od 7. razreda transformacije identiteta. Uz odgovarajuća popratna objašnjenja, naglaske i savjete nastavnika matematike, sasvim je moguće prenijeti gradivo bez ikakvih općih matematičkih proračuna, proizvoljnih koeficijenata i potencija.
Važan savjet za nastavnika matematike- slijedite upute od početka do kraja i ne mijenjajte ovaj niz.
Dakle, recimo da imamo polinom. Ako zamijenimo broj 1 umjesto njegovog X, tada će vrijednost polinoma biti jednaka nuli. Stoga je x=1 njegov korijen. Pokušajmo ga razložiti na dva člana tako da je jedan od njih proizvod linearnog izraza i nekog monoma, a drugi ima stupanj jedan manji od . Odnosno, predstavimo ga u obliku
Odabiremo monom za crveno polje tako da kada se pomnoži sa vodećim članom, potpuno se poklapa sa vodećim članom originalnog polinoma. Ako učenik nije najslabiji, onda će biti sasvim sposoban da nastavniku matematike kaže traženi izraz: . Treba odmah zamoliti nastavnika da ga ubaci u crveno polje i pokaže šta će se desiti kada se otvore. Najbolje je da se ovaj virtuelni privremeni polinom potpiše ispod strelica (ispod male fotografije), istakavši ga nekom bojom, na primer plavom. Ovo će vam pomoći da odaberete termin za crveno polje, koji se zove ostatak odabira. Savjetovao bih učiteljima da ovdje istaknu da se ovaj ostatak može naći oduzimanjem. Izvođenjem ove operacije dobijamo:
Nastavnik matematike treba učeniku skrenuti pažnju na činjenicu da zamjenom jedinice u ovu jednakost zagarantovano dobivamo nulu na njenoj lijevoj strani (pošto je 1 korijen originalnog polinoma), a na desnoj strani, očito, takođe će poništiti prvi član. To znači da bez ikakve provjere možemo reći da je jedan korijen „zelenog ostatka“.
Hajde da se pozabavimo njime na isti način kao što smo uradili sa originalnim polinomom, izolujući od njega isti linearni faktor. Nastavnik matematike crta dva okvira ispred učenika i traži od njih da popune s lijeva na desno.
Student bira za nastavnika monom za crveno polje tako da, kada se pomnoži sa vodećim članom linearnog izraza, dobije vodeći član ekspanzivnog polinoma. Uklopimo ga u okvir, odmah otvorimo zagradu i istaknemo plavom bojom izraz koji treba oduzeti od preklopnog. Izvođenjem ove operacije dobijamo
I na kraju, uradite isto sa zadnjim ostatkom
konačno ćemo to dobiti
Sada izvadimo izraz iz zagrade i vidjet ćemo dekompoziciju originalnog polinoma na faktore, od kojih je jedan „x minus odabrani korijen“.
Kako bi spriječio učenika da pomisli da je posljednji "zeleni ostatak" slučajno razložen na tražene faktore, nastavnik matematike treba da istakne važna imovina svih zelenih ostataka - svaki od njih ima korijen 1. Pošto se stupnjevi ovih ostataka smanjuju, onda koji god nam se stupanj početnog polinoma dao, prije ili kasnije, dobićemo linearni "zeleni ostatak" sa korijenom 1, i stoga će nužno razložiti u proizvod neki broj i izraz.
Nakon takvog pripremnog rada, nastavniku matematike neće biti teško objasniti učeniku šta se dešava kada se dijeli uglom. Ovo je isti proces, samo u kraćem i kompaktnijem obliku, bez znakova jednakosti i bez ponovnog pisanja istih istaknutih pojmova. Polinom iz kojeg se izdvaja linearni faktor ispisuje se lijevo od ugla, odabrani crveni monomi se skupljaju pod uglom (sada postaje jasno zašto se zbrajaju), da bi se dobili "plavi polinomi", "crveni ” jedinice se moraju pomnožiti sa x-1, a zatim oduzeti od trenutno odabranog kako se to radi uobičajenom podjelom brojeva u kolonu (ovdje je analogija s onim što je prethodno proučavano). Rezultirajući “zeleni ostaci” podliježu novoj izolaciji i selekciji “crvenih monoma”. I tako sve dok ne dobijete nultu „zelenu bilancu“. Najvažnije je da učenik razumije dalje sudbine napisani polinomi iznad i ispod ugla. Očigledno je riječ o zagradama čiji je proizvod jednak originalnom polinomu.
Sljedeća faza rada nastavnika matematike je formulacija Bezoutove teoreme. Zapravo, njegova formulacija s ovim pristupom nastavnika postaje očigledna: ako je broj a korijen polinoma, onda se može faktorizirati, od kojih je jedan , a drugi se dobiva iz originalnog na jedan od tri načina :
- direktna dekompozicija (analogno metodi grupisanja)
- dijeljenje uglom (u koloni)
- preko Hornerovog kola
Mora se reći da svi nastavnici matematike ne pokazuju horner dijagram svojim učenicima, a ne svi nastavnici (na sreću samih nastavnika) ne ulaze toliko duboko u temu tokom nastave. Međutim, za učenika iz razreda matematike, ne vidim razlog da se zaustavi na dugom dijeljenju. Štoviše, najprikladniji i brzo Tehnika dekompozicije zasniva se upravo na Hornerovoj shemi. Da bi se djetetu objasnilo odakle dolazi, dovoljno je na primjeru dijeljenja uglom pratiti pojavu viših koeficijenata u zelenim ostacima. Postaje jasno da se vodeći koeficijent početnog polinoma prenosi u koeficijent prvog "crvenog monoma", a dalje od drugog koeficijenta trenutnog gornjeg polinoma oduzeto rezultat množenja trenutnog koeficijenta "crvenog monoma" sa . Stoga je moguće dodati rezultat množenja sa . Nakon što učenikovu pažnju usmjeri na specifičnosti radnji s koeficijentima, nastavnik matematike može pokazati kako se te radnje obično izvode bez bilježenja samih varijabli. Da biste to učinili, prikladno je unijeti korijen i koeficijente originalnog polinoma po redoslijedu u sljedeću tablicu:
Ako neki stepen nedostaje u polinomu, njegov nulti koeficijent se unosi u tabelu. Koeficijenti "crvenih polinoma" se redom zapisuju u donjem redu prema pravilu "kuke": 
Korijen se množi posljednjim crvenim koeficijentom, dodaje sljedećem koeficijentu u gornjem redu, a rezultat se zapisuje u donji red. U posljednjoj koloni garantovano ćemo dobiti najveći koeficijent posljednjeg „zelenog ostatka“, odnosno nulu. Nakon što je proces završen, brojevi u sendviču između podudarnog korijena i nultog ostatka ispadaju kao koeficijenti drugog (nelinearnog) faktora.
Pošto korijen a daje nulu na kraju donjeg reda, Hornerova shema se može koristiti za provjeru brojeva za naslov korijena polinoma. Ako je posebna teorema o izboru racionalnog korijena. Svi kandidati za ovu titulu dobijeni uz njegovu pomoć jednostavno se redom ubacuju s lijeve strane u Hornerov dijagram. Čim dobijemo nulu, testirani broj će biti korijen, a istovremeno ćemo dobiti koeficijente faktorizacije originalnog polinoma na njegovoj liniji. Vrlo udobno.
U zaključku, želio bih napomenuti da za precizno uvođenje Hornerove sheme, kao i za praktičnu konsolidaciju teme, nastavnik matematike mora imati dovoljan broj sati na raspolaganju. Tutor koji radi po režimu „jednom sedmično“ ne bi trebao da se bavi podjeli u ćošku. Na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike i na Državnoj matematičkoj akademiji iz matematike, malo je vjerovatno da ćete u prvom dijelu ikada naići na jednačinu trećeg stepena koja se može riješiti na takav način. Ako nastavnik priprema dijete za ispit iz matematike na Moskovskom državnom univerzitetu, proučavanje teme postaje obavezno. Univerzitetski nastavnici, za razliku od sastavljača Jedinstvenog državnog ispita, zaista vole da testiraju dubinu znanja kandidata.
Kolpakov Aleksandar Nikolajevič, nastavnik matematike Moskva, Strogino
Slajd 3
Horner Williams George (1786-22.9.1837) - engleski matematičar. Rođen u Bristolu. Studirao je i radio tamo, zatim u školama u Bathu. Osnovni radovi iz algebre. Godine 1819 objavio metodu za približno izračunavanje realnih korijena polinoma, koja se danas zove Ruffini-Hornerova metoda (ova metoda bila je poznata Kinezima još u 13. stoljeću). Šema za dijeljenje polinoma binomom x-a je nazvana nakon Hornera.
Slajd 4
HORNER SCHEME
Metoda podjele n-ti polinom stepen na linearnom binomu - a, na osnovu činjenice da su koeficijenti nepotpunog količnika i ostatka povezani sa koeficijentima djeljivog polinoma i sa formulama:
Slajd 5
Proračuni prema Hornerovoj shemi nalaze se u tabeli:
Primjer 1. Podjela Parcijalni količnik je x3-x2+3x - 13, a ostatak je 42=f(-3).
Slajd 6
Glavna prednost ove metode je kompaktnost zapisa i mogućnost brzog dijeljenja polinoma u binom. Zapravo, Hornerova shema je još jedan oblik snimanja metode grupisanja, iako je, za razliku od potonjeg, potpuno nevizualna. Odgovor (faktorizacija) se ovde dobija sam po sebi, a mi ne vidimo proces njegovog dobijanja. Nećemo se upuštati u rigorozno potkrepljivanje Hornerove šeme, već ćemo samo pokazati kako ona funkcioniše.
Slajd 7
Primjer 2.
Dokažimo da je polinom P(x)=x4-6x3+7x-392 djeljiv sa x-7 i pronađimo količnik dijeljenja. Rješenje. Koristeći Hornerovu šemu, nalazimo P(7): Odavde dobijamo P(7)=0, tj. ostatak pri dijeljenju polinoma sa x-7 jednaka nuli i, prema tome, polinom P(x) je višekratnik (x-7). Štaviše, brojevi u drugom redu tabele su koeficijenti kvocijenta od P(x) podeljen sa (x-7), dakle P(x) = (x-7) (x3+x2+7x+56).
Slajd 8
Faktori polinom x3 – 5x2 – 2x + 16.
Ovaj polinom ima cjelobrojne koeficijente. Ako je cijeli broj korijen ovog polinoma, onda je on djelilac broja 16. Dakle, ako dati polinom ima cjelobrojne korijene, onda to mogu biti samo brojevi ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Direktnom provjerom uvjeravamo se da je broj 2 korijen ovog polinoma, odnosno x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x), gdje je Q(x) polinom drugog stepena
Slajd 9
Rezultirajući brojevi 1, −3, −8 su koeficijenti polinoma, koji se dobijaju dijeljenjem originalnog polinoma sa x – 2. To znači da je rezultat dijeljenja: 1 x2 + (–3)x + ( –8) = x2 – 3x – 8. Stepen polinoma koji je rezultat dijeljenja uvijek je za 1 manji od stepena prvobitnog. Dakle: x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)(x2 – 3x – 8).
Ciljevi lekcije:
- naučiti učenike da rješavaju jednačine višim stepenima korištenje Hornerove sheme;
- razvijati sposobnost rada u paru;
- stvoriti, zajedno s glavnim dijelovima predmeta, osnovu za razvoj sposobnosti učenika;
- pomoći učeniku da procijeni svoj potencijal, razvije interesovanje za matematiku, sposobnost razmišljanja i govora o temi.
Oprema: kartice za grupni rad, poster sa Hornerovim dijagramom.
Metoda nastave: predavanje, priča, objašnjenje, izvođenje vježbi.
Oblik kontrole: provere zadataka nezavisna odluka, samostalan rad.
Tokom nastave
1. Organizacioni momenat
2. Ažuriranje znanja učenika
Koja teorema vam omogućava da odredite da li je broj korijen date jednadžbe (formulirajte teoremu)?
Bezoutova teorema. Ostatak podjele polinoma P(x) binomom x-c je jednako P(c), broj c se naziva korijenom polinoma P(x) ako je P(c)=0. Teorema omogućava, bez izvođenja operacije dijeljenja, da se utvrdi da li je dati broj korijen polinoma.
Koje izjave olakšavaju pronalaženje korijena?
a) Ako je vodeći koeficijent polinoma jednako jedan, onda korijene polinoma treba tražiti među djeliteljima slobodnog člana.
b) Ako je zbir koeficijenata polinoma 0, tada je jedan od korijena 1.
c) Ako je zbir koeficijenata na parnim mjestima jednak zbiru koeficijenata na neparnim mjestima, tada je jedan od korijena jednak -1.
d) Ako su svi koeficijenti pozitivni, tada su korijeni polinoma negativni brojevi.
e) Polinom neparnog stepena ima najmanje jedan realan koren.
3. Učenje novog gradiva
Prilikom rješavanja cijelih brojeva algebarske jednačine morate pronaći vrijednosti korijena polinoma. Ova se operacija može značajno pojednostaviti ako se proračuni izvode pomoću posebnog algoritma koji se naziva Hornerova shema. Ovo kolo je nazvano po engleskom naučniku Williamu Georgeu Horneru. Hornerova shema je algoritam za izračunavanje kvocijenta i ostatka dijeljenja polinoma P(x) sa x-c. Ukratko kako to funkcionira.
Neka je dat proizvoljni polinom P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + …+ a n-1 x+ a n. Dijeljenje ovog polinoma sa x-c predstavlja njegovu reprezentaciju u obliku P(x)=(x-c)g(x) + r(x). Parcijalni g(x)=in 0 x n-1 + u n x n-2 +...+in n-2 x + u n-1, gdje je u 0 =a 0, u n =st n-1 +a n , n=1,2,3,…n-1. Ostatak r(x)= st n-1 +a n. Ova metoda proračuna naziva se Hornerova šema. Riječ "šema" u nazivu algoritma je zbog činjenice da je njegova implementacija obično formatirana na sljedeći način. Prvo nacrtajte tabelu 2(n+2). U donju lijevu ćeliju upišite broj c, a u gornji red koeficijente polinoma P(x). U ovom slučaju, gornja lijeva ćelija ostaje prazna.
u 0 =a 0 |
u 1 =st 1 +a 1 |
u 2 = sv 1 + A 2 |
u n-1 =st n-2 +a n-1 |
r(x)=f(c)=st n-1 +a n |
Broj za koji se nakon izvršenja algoritma ispostavi da je zapisan u donjoj desnoj ćeliji je ostatak podjele polinoma P(x) sa x-c. Ostali brojevi u 0, u 1, u 2,... u donjem redu su koeficijenti količnika.
Na primjer: Podijelite polinom P(x)= x 3 -2x+3 sa x-2.
Dobijamo da je x 3 -2x+3=(x-2) (x 2 +2x+2) + 7.
4. Konsolidacija proučenog gradiva
Primjer 1: Faktori polinom P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 u faktore sa cjelobrojnim koeficijentima.
Tražimo cijele korijene među djeliteljima slobodnog člana -1:1; -1. Napravimo tabelu:
X = -1 – korijen
P(x)= (x+1) (2x 3 -9x 2 +6x -1)
Provjerimo 1/2.
X=1/2 - korijen |
Stoga se polinom P(x) može predstaviti u obliku
P(x)= (x+1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) = (x+1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)
Primjer 2: Riješite jednačinu 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0
Budući da je zbroj koeficijenata polinoma napisanog na lijevoj strani jednadžbe jednak nuli, tada je jedan od korijena 1. Koristimo Hornerovu shemu:
X=1 - korijen |
Dobijamo P(x)=(x-1) (2x 3 -3x 2 =2x +2). Korijene ćemo tražiti među djeliteljima slobodnog člana 2.
Saznali smo da više nema netaknutih korijena. Provjerimo 1/2; -1/2.
X= -1/2 - korijen |
Odgovor: 1; -1/2.
Primjer 3: Riješite jednačinu 5x 4 – 3x 3 – 4x 2 -3x+ 5 = 0.
Korijene ove jednačine tražit ćemo među djeliteljima slobodnog člana 5: 1;-1;5;-5. x=1 je korijen jednadžbe, pošto je zbir koeficijenata nula. Koristimo Hornerovu šemu:
Hajde da predstavimo jednačinu kao proizvod tri faktora: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) = 0. Odlučivanje kvadratna jednačina 5x 2 -7x+5=0, dobili smo D=49-100=-51, nema korijena.
Kartica 1
- Faktor polinoma: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
- Riješite jednačinu: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0
Kartica 2
- Faktor polinoma: x 4 - x 3 -7x 2 +13x-6
- Riješite jednačinu: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0
Kartica 3
- Uračunajte u: 2x 3 -21x 2 +37x+24
- Riješite jednačinu: x 3 -2x 2 +4x-8=0
Kartica 4
- Uračunajte u: 5x 3 -46x 2 +79x-14
- Riješite jednačinu: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0
5. Sumiranje
Provjera znanja pri rješavanju u paru provodi se na času prepoznavanjem načina radnje i naziva odgovora.
Zadaća:
Riješite jednačine:
a) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x+1=0
b) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0
c) x 4 + x 3 + x + 1 = 4x 2
d) x 4 +2x 3 -x-2=0
Književnost
- N.Ya. Vilenkin et al., Algebra i počeci analize, 10. razred (dubinski studij matematike): Prosvjeta, 2005.
- U.I. Sakharchuk, L.S. Sagatelova, Rješenje jednačina viših stupnjeva: Volgograd, 2007.
- S.B. Gaškov, Sistemi brojeva i njihova primena.
Nazad napred
Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda ne predstavljaju sve karakteristike prezentacije. Ako ste zainteresovani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.
Vrsta lekcije: Čas savladavanja i učvršćivanja osnovnog znanja.
Svrha lekcije:
- Upoznati učenike s konceptom korijena polinoma i naučiti ih kako ih pronaći. Poboljšati vještine korištenja Hornerove sheme za proširenje polinoma po stepenu i dijeljenje polinoma binomom.
- Naučite pronaći korijene jednadžbe koristeći Hornerov dijagram.
- Razvijati apstraktno razmišljanje.
- Negujte računarsku kulturu.
- Razvoj interdisciplinarnih veza.
Tokom nastave
1. Organizacioni momenat.
Informirajte temu lekcije, formulirajte ciljeve.
2. Provjera domaćeg zadatka.
3. Proučavanje novog gradiva.
Neka Fn(x) = a n x n +a n-1 x n-1 +...+ a 1 x +a 0 - polinom za x stepena n, gde su a 0 , a 1 ,...,a n dati brojevi, a 0 nije jednako 0. Ako se polinom F n (x) podeli sa ostatkom binomom x-a , tada je količnik (nepotpuni količnik) polinom Q n-1 (x) stepena n-1, ostatak R je broj, a jednakost je tačna F n (x)=(x-a) Q n-1 (x) +R. Polinom F n (x) je djeljiv sa binomom (x-a) samo u slučaju R=0.
Bezoutov teorem: Ostatak R pri dijeljenju polinoma F n (x) binomom (x-a) jednaka vrijednosti polinom F n (x) za x=a, tj. R=Pn(a).
Malo istorije. Bezoutova teorema, uprkos svojoj prividnoj jednostavnosti i očiglednosti, jedna je od fundamentalnih teorema teorije polinoma. Ova teorema povezuje algebarska svojstva polinoma (koji omogućavaju da se polinomi tretiraju kao cijeli brojevi) sa njihovim funkcionalnim svojstvima (koja omogućavaju da se polinomi tretiraju kao funkcije). Jedan od načina za rješavanje jednačina višeg stepena je faktoriranje polinoma na lijevoj strani jednačine. Izračun koeficijenata polinoma i ostatka zapisuje se u obliku tabele koja se zove Hornerova šema.
Hornerova shema je algoritam za dijeljenje polinoma, napisan za poseban slučaj kada je količnik jednak binomu x–a.
Horner William George (1786-1837), engleski matematičar. Glavna istraživanja se odnose na teoriju algebarskih jednadžbi. Razvio metodu za približno rješenje jednačina bilo kojeg stepena. Godine 1819. uveo je važnu metodu za algebru dijeljenja polinoma binomom x - a (Hornerova shema).
Zaključak opšta formula za Hornerovu šemu.
Dijeliti polinom f(x) sa ostatkom binomom (x-c) znači pronaći polinom q(x) i broj r tako da je f(x)=(x-c)q(x)+r
Zapišimo ovu jednakost detaljno:
f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n =(x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r
Izjednačimo koeficijente na istim stepenima:
xn: f 0 = q 0 => q 0 = f 0 xn-1: f 1 = q 1 - c q 0 => q 1 = f 1 + c q 0 xn-2: f 2 = q 2 - c q 1 => q 2 = f 2 + c q 1 ... ... x0: f n = q n - c q n-1 => q n = f n + c q n-1.
Demonstracija Hornerovog kola na primjeru.
Vježba 1. Koristeći Hornerovu šemu, dijelimo s ostatkom polinom f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 binomom x-2.
| 1 | -5 | 0 | 8 | |
| 2 | 1 | 2*1+(-5)=-3 | 2*(-3)+0=-6 | 2*(-6)+8=-4 |
f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 =(x-2)(x 2 -3x-6)-4, gdje je g(x)= (x 2 -3x-6), r = -4 ostatak.
Proširenje polinoma po stepenu binoma.
Koristeći Hornerovu šemu, polinom f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 proširujemo u stepene binoma (x+2).
Kao rezultat, trebali bismo dobiti ekspanziju f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1 )(x+ 2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3( x+2 ) 2 -2(x+2)+12
Hornerova shema se često koristi pri rješavanju jednačina trećeg, četvrtog i višeg stepena, kada je zgodno proširiti polinom u binom x-a. Broj a pozvao korijen polinoma F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n, ako je na x=a vrijednost polinoma F n (x) jednaka je nuli: F n (a)=0, tj. ako je polinom djeljiv binomom x-a.
Na primjer, broj 2 je korijen polinoma F 3 (x)=3x 3 -2x-20, pošto je F 3 (2)=0. to znači. Da faktorizacija ovog polinoma sadrži faktor x-2.
F 3 (x)=3x 3 -2x-20=(x-2)(3x 2 +6x+10).
Bilo koji polinom F n(x) stepena n 1 ne mogu imati više n pravim korenima.
Svaki cjelobrojni korijen jednadžbe sa cjelobrojnim koeficijentima je djelitelj njenog slobodnog člana.
Ako je vodeći koeficijent jednačine 1, onda je sve racionalni koreni jednadžbe, ako postoje, su cijeli brojevi.
Konsolidacija proučenog materijala.
Za konsolidaciju novog gradiva učenici se pozivaju da popune brojeve iz udžbenika 2.41 i 2.42 (str. 65).
(2 učenika rješavaju na tabli, a ostali, nakon odluke, provjeravaju zadatke u svesci sa odgovorima na tabli).
Rezimirajući.
Shvativši strukturu i princip rada Hornerove sheme, može se koristiti i na časovima informatike, kada se razmatra pitanje pretvaranja cijelih brojeva iz decimalnog u binarni sistem i obrnuto. Osnova za prelazak iz jednog brojevnog sistema u drugi je sljedeća opšta teorema
Teorema. Za pretvaranje cijelog broja Ap od str-aran brojni sistem na osnovni brojni sistem d neophodno Ap sekvencijalno podijeliti s ostatkom brojem d, napisano u istom str-arnog sistema sve dok rezultujući količnik ne postane jednak nuli. Ostaci od podjele će biti d-numeričke cifre Ad, počevši od najmlađe kategorije do najstarije. Sve radnje se moraju izvršiti u str-ari sistem brojeva. Za osobu je ovo pravilo zgodno samo kada str= 10, tj. prilikom prevođenja od decimalni sistem. Što se računara tiče, naprotiv, za njega je „zgodnije“ da obavlja proračune u binarnom sistemu. Stoga, za pretvaranje "2 u 10", koristi se sekvencijalno dijeljenje sa deset u binarnom sistemu, a "10 u 2" je sabiranje stepena desetice. Da bi optimizovao proračune procedure „10 u 2“, računar koristi Hornerovu ekonomičnu računarsku šemu.
Zadaća. Predlaže se da se završe dva zadatka.
1st. Koristeći Hornerovu šemu, podijelite polinom f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 sa binomom (x-3).
2nd. Pronađite cjelobrojne korijene polinoma f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6 (uzimajući u obzir da je bilo koji cjelobrojni korijen jednadžbe s cjelobrojnim koeficijentima djelitelj njenog slobodnog člana)
Književnost.
- Kurosh A.G. “Kurs više algebre.”
- Nikolsky S.M., Potapov M.K. i dr. 10. razred “Algebra i počeci matematičke analize.”
- http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.