Integers. Deljivost prirodnih brojeva. Znakovi djeljivosti prirodnih brojeva

Kao što je već napomenuto, prirodni broj a je djeljiv prirodnim brojem b ako postoji prirodan broj c, koji kada se pomnoži sa b daje a:

Riječ "u potpunosti" se obično izostavlja radi sažetosti.

Ako je a deljivo sa b, onda takođe kažu da je a višekratnik sa b. Na primjer, broj 48 je višekratnik broja 24.

Teorema 1. Ako je jedan od faktora djeljiv sa određenim brojem, tada je i proizvod djeljiv ovim brojem.

Na primjer, 15 je deljivo sa 3, što znači da je 15∙11 deljivo sa 3, jer je 15∙11=(3∙5)∙11=3∙(5∙11).

Ovi argumenti se odnose i na opšti slučaj. Neka je broj a djeljiv sa c, tada postoji prirodan broj n takav da je a = n∙c. Razmotrimo proizvod broja a i proizvoljnog prirodnog broja b. a∙b = n∙(c∙b) =
= n∙(b∙c) = (n∙b)∙c. Odavde, po definiciji, slijedi da je proizvod a∙b također djeljiv sa c. Q.E.D.

Teorema 2. Ako je prvi broj djeljiv sa drugim, a drugi s trećim, tada je prvi broj djeljiv sa trećim.

Na primjer, 777 je djeljivo sa 111 jer je 777 = 7∙111, a 111 je djeljivo sa 3 jer je 111 = 3∙37. Iz ovoga slijedi da je 777 djeljivo sa 3, jer je 777 = 3∙(37∙7).

U opštem slučaju, ovi argumenti se mogu ponoviti gotovo doslovno. Neka se broj a podijeli brojem b, a broj b podijeli brojem c. To znači da postoje prirodni brojevi n i m takvi da su a = n∙b i b = m∙c. Tada se broj a može predstaviti kao: a = n∙b = n∙(m∙c) = (n∙m)∙c. Jednakost a = (n∙m)∙c znači da je i broj a djeljiv sa c.

Teorema 3. Ako je svaki od dva broja djeljiv određenim brojem, onda su njihov zbir i razlika djeljivi ovim brojem.

Na primjer, 100 je djeljivo sa 4 jer je 100=25∙4; 36 je također djeljivo sa 4, jer je 36 = 9∙4. Iz toga slijedi da je 136 djeljivo sa 4 jer

136 = 100+ 36 = 25∙4+ 9∙4 = (25+ 9)∙4 = 34∙4.

Također možemo zaključiti da je broj 64 djeljiv sa 4 jer

64 = 100 – 36 = 25∙4 – 9∙4 =(25 – 9)∙4= 16∙4.

Dokažimo teoremu u opštem slučaju. Neka je svaki od brojeva a i b djeljiv brojem c. Tada, po definiciji, postoje prirodni brojevi n i m takvi da
a = n∙c i b = m∙c. Razmotrimo zbir brojeva a i b.

a + b = n∙c + m∙c = (n + m)∙c.

Iz toga slijedi da je a + b djeljiv sa c.

Slično, a – b = n∙c – m∙c = (n – m)∙c. Stoga je a – b podijeljeno sa c.

Teorema 4. Ako je jedan od dva broja djeljiv određenim brojem, a drugi nije djeljiv s njim, onda njihov zbir i razlika nisu djeljivi ovim brojem.

Na primjer, 148 je deljivo sa 37 jer je 148 = 4∙37, a 11 nije deljivo sa 37. Očigledno, zbir 148 + 11 i razlika 148 – 11 nisu deljivi sa 37, inače bi to bilo u suprotnosti sa svojstvom 3 .

Znakovi djeljivosti

Ako se broj završava na 0, onda je djeljiv sa 10.

Na primjer, broj 4560 završava se brojem 0, može se predstaviti kao proizvod 456∙10, koji je podijeljen sa 10 (prema teoremi 1).

Broj 4561 nije djeljiv sa 10, jer je 4561 = 4560+1 zbir broja 4560, djeljivog sa 10, i broja 1, koji nije djeljiv sa 10 (teoremom 4).

Ako se broj završava jednom od cifara 0 ili 5, onda je djeljiv sa 5.

Na primjer, broj 2300 je djeljiv sa 5 jer je ovaj broj djeljiv sa 10, a 10 je djeljiv sa 5 (prema teoremi 2).

Broj 2305 završava se brojem 5, djeljiv je sa 5, jer se može napisati kao zbir brojeva djeljivih sa 5: 2300 + 5 (prema teoremi 3).

Broj 52 nije djeljiv sa 5, jer je 52 = 50 + 2 zbir broja 50, djeljivog sa 5, i broja 2, koji nije djeljiv sa 5 (prema teoremi 4).

Ako se broj završava jednom od cifara 0, 2, 4, 6, 8, tada je djeljiv sa 2.

Na primjer, broj 130 završava sa 0, djeljiv je sa 10, a 10 je djeljiv sa 2, dakle 130 je djeljiv sa 2.

Broj 136 završava se brojem 6, djeljiv je sa 2, jer se može napisati kao zbir brojeva djeljivih sa 2: 130 + 6 (prema teoremi 3).

Broj 137 nije djeljiv sa 2, jer je 137 = 130 + 7 zbir broja 130, djeljivog sa 2, i broja 7, koji nije djeljiv sa 2 (prema teoremi 4).

Broj djeljiv sa 2 naziva se paran.

Broj koji nije djeljiv sa 2 naziva se neparan.

Na primjer, brojevi 152 i 790 su parni, a brojevi 111 i 293 su neparni.

Ako je zbir cifara broja djeljiv sa 9, tada je i sam broj djeljiv sa 9..

Na primjer, zbir cifara 7 + 2 + 4 + 5 = 18 broja 7245 je djeljiv sa 9. Broj 7245 je djeljiv sa 9 jer se može predstaviti kao zbir 7∙1000 +
+ 2∙100 + 4∙10 + 5 = 7 (999 + 1) + 2∙(99 + 1) + + 4∙(9 + 1) + 5 = (7∙999 + 2∙99 +
+ 4∙9) + (7 + 2 + 4 + 5), pri čemu je zbir u prvim zagradama djeljiv sa 9, au drugim zagradama - zbir cifara datog broja - također je podijeljen sa 9 ( prema teoremi 3).

Broj 375 nije djeljiv sa 9, jer zbir njegovih cifara 3 + 7 + 5=15 nije djeljiv sa 9. To se može dokazati na sljedeći način: 375 = 3∙(99 + 1) + 7∙(9+ 1) + 5 =
+ (3∙99 + 7∙9) + (3 + 7 + 5), pri čemu je zbir u prvim zagradama djeljiv sa 9, au drugoj zagradi - zbir cifara broja 375 - nije djeljiv sa 9 (prema teoremi 4).

Ako je zbir cifara broja djeljiv sa 3, tada je i sam broj djeljiv sa 3..

Na primjer, broj 375 ima zbir cifara 3 + 7 + 5 = 15 koji je djeljiv sa 3, a sam je djeljiv sa 3 jer je 375 = (3∙99 + 7∙9) + (3 + 7 + 5), gdje je zbir u prvim zagradama djeljiv sa 3, au drugim zagradama - zbir cifara broja 375 - također je djeljiv sa 3.

Zbir cifara broja 679, jednak 6 + 7 + 9 = 22, nije djeljiv sa 3, a sam broj nije djeljiv sa 3, jer je 679 = (6∙99 + 7∙9) + ( 6 + 7 + 9), pri čemu je zbir u prvim zagradama djeljiv sa 3, au drugim zagradama - zbir cifara broja 679 - nije djeljiv sa 3.

Bilješka. Kada kažu "broj se završava cifrom..." oni misle "decimalni zapis broja završava cifrom..."

Prosti i složeni brojevi

Svaki prirodni broj p je djeljiv sa 1 i sam sa sobom:

p:1=p, p:p=1.

Prost broj je prirodan broj koji je veći od jedan i djeljiv samo sa 1 i samim sobom..

Evo prvih deset prostih brojeva:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Neprosti prirodni brojevi, velike jedinice, nazivaju se kompozitnim. Svaki složeni broj je djeljiv sa 1, samim sobom i barem još jednim prirodnim brojem.

Ovdje su svi složeni brojevi manji od 20:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18.

Dakle, skup svega prirodni brojevi sastoji se od prostih brojeva, složenih brojeva i jedan.

Postoji beskonačan broj prostih brojeva; postoji prvi broj - 2, ali ne postoji zadnji prosti broj.

Dijelioci prirodnih brojeva

Ako je prirodni broj a djeljiv prirodnim brojem b, tada je broj b naziva se djelitelj brojevi a.

Na primjer, djelitelji broja 13 su brojevi 1 i 13, djelitelji broja 4 su brojevi 1, 2, 4, a djelitelji broja 12 su brojevi 1, 2, 3, 4, 6 , 12.

Svaki prost broj ima samo dva djelitelja - jedan i sebe, a svaki složeni broj, osim jednog i sebe, ima druge djelitelje.

Ako je djelitelj prost broj, onda se naziva prosti djelitelj. Na primjer, broj 13 ima prosti faktor 13, broj 4 ima prosti faktor 2, a broj 12 ima prosti faktor 2 i 3.

Svaki složeni broj može se predstaviti kao proizvod njegovih prostih djelitelja. Na primjer,

28 = 2∙2∙7 = 2 2 ∙7;

81 = 3∙3∙3∙3 = 3 4;

100 = 2∙2∙5∙5 = 2 2 ∙5 2 .

Desne strane rezultirajućih jednakosti nazivaju se prostim faktorima brojeva 28, 22, 81 i 100.

Faktorirati dati složeni broj u proste faktore znači predstaviti ga kao proizvod njegovih različitih prostih faktora ili njihovih moći.

Hajde da pokažemo kako možete rastaviti broj 90 na proste faktore.

1) 90 je podijeljeno sa 2, 90:2 = 45;

2) 45 nije deljivo sa 2, ali je deljivo sa 3, 45:3= 15;

3) 15 je podijeljeno sa 3, 15:3 = 5;

4) 5 je deljivo sa 5, 5:5 = 1.

Dakle, 90 = 2∙45 = 2∙3∙15 = 2∙3∙3∙5.

Najveći zajednički djelitelj

Broj 12 ima faktore 1, 2, 3, 4, 12. Broj 54 ima faktore 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54. Vidimo da brojevi 12 i 54 imaju zajedničke faktore 1, 2 , 3 , 6.

Najveći zajednički djelitelj brojeva 12 i 54 je broj 6.

Najveći zajednički djelitelj brojeva a i b označava se sa: gcd (a, b).

Na primjer, GCD (12, 54) = 6.

Najmanji zajednički višekratnik

Broj djeljiv sa 12 naziva se višekratnik broja 12. Broj 12 je višekratnik 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, itd. Broj 18 je višestruki od 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, itd.

Vidimo da postoje brojevi koji su višekratnici i od 12 i od 18. Na primjer, 36, 72, 108, .... Ovi brojevi se nazivaju zajedničkim višekratnicima 12 i 18.

Najmanji zajednički višekratnik prirodnih brojeva a i b je najmanji prirodan broj djeljiv sa a i b. Ovaj broj je označen sa: LOC (a, b).

Najmanji zajednički višekratnik dva broja obično se nalazi na jedan od dva načina. Pogledajmo ih.

Nađimo LCM(18, 24).

Metoda I Zapisaćemo brojeve koji su višestruki od 24 (veći od ovih brojeva), provjeravajući da li je svaki od njih djeljiv sa 18: 24∙1=24 – nije djeljiv sa 18, 24∙2 = 48 – nije djeljiv sa 18, 24∙3 = 72 – deljivo je sa 18, pa je LCM (24, 18) =
= 72.

II metoda. Razložimo brojeve 24 i 18 u proste faktore: 24 = 2∙2∙2∙3,
18 = 2∙3∙3.

LCM(24, 18) mora biti djeljiv sa 24 i 18. Prema tome, traženi broj sadrži sve proste faktore više 24 (tj. brojevi 2, 2, 2, 3) i još nedostaju faktori iz proširenja manjeg broja 18 (još jedan broj 3). Stoga je LCM(18, 24) = 2∙2∙2∙3∙3 = 72.

Budući da zajednički prosti brojevi nemaju zajedničke proste faktore, njihov najmanji zajednički višekratnik jednak je proizvodu ovih brojeva. Na primjer, 24 i 25 su relativno prosti brojevi. Prema tome, LCM (24, 25) = 24∙25 = 600.

Ako je jedan od dva broja djeljiv s drugim, tada je najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva jednak većem od njih. Na primjer, 120 je djeljivo sa 24, stoga je LCM (120, 24) = 120.

Cijeli brojevi

Podsjetnik. Pozivaju se brojevi koji se koriste za brojanje objekata prirodni brojevi. Nula se ne smatra prirodnim brojem. Prirodni brojevi i nula, napisani uzlaznim redoslijedom i bez praznina, tvore niz nenegativnih cijelih brojeva:

Novi brojevi će biti predstavljeni u ovoj sekciji - negativni cijeli brojevi.

Negativni cijeli brojevi

Osnovni primjer iz stvarnog života je termometar. Recimo da pokazuje temperaturu od 7°C. Ako temperatura padne za 4°, termometar će pokazati 3° toplote. Smanjenje temperature odgovara djelovanju oduzimanja: 7 – 4 = 3. Ako temperatura padne za 7°, termometar će pokazati 0°: 7 – 7 = 0.

Ako temperatura padne za 8°, termometar će pokazati –1° (1° ispod nule). Ali rezultat oduzimanja 7 – 8 ne može se napisati korišćenjem prirodnih brojeva i nule, iako ima pravo značenje.

Nemoguće je izbrojati 8 brojeva od broja 7 lijevo u nizu nenegativnih cijelih brojeva. Da bi radnja 7 – 8 bila izvediva, proširimo raspon nenegativnih cijelih brojeva. Da bismo to učinili, lijevo od nule, pišemo (s desna na lijevo) sve prirodne brojeve po redu, dodajući svakom od njih znak "-", što pokazuje da je ovaj broj lijevo od nule.

Unosi –1, –2, –3, ... glase “minus 1”, “minus 2”, “minus 3” itd.:

–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... .

Rezultirajući niz brojeva naziva se niz cijelih brojeva. Tačke lijevo i desno u ovom unosu znače da se niz može neograničeno nastaviti desno i lijevo.

Desno od broja 0 u ovom redu nalaze se brojevi koji se nazivaju prirodni brojevi ili pozitivni cijeli brojevi.

Ovaj članak počinje materijalom teorija djeljivosti cijelih brojeva. Ovdje uvodimo koncept djeljivosti i ukazujemo na prihvaćene termine i oznake. To će nam omogućiti da navedemo i opravdamo glavna svojstva djeljivosti.

Navigacija po stranici.

Koncept djeljivosti

Koncept djeljivosti jedan je od osnovnih pojmova aritmetike i teorije brojeva. Govorit ćemo o djeljivosti iu posebnim slučajevima - o djeljivosti. Dakle, dajmo ideju o djeljivosti na skupu cijelih brojeva.

Integer a dionice cijelim brojem b, koji je različit od nule, ako postoji cijeli broj (označiti ga sa q) takav da je jednakost a=b·q tačna. U ovom slučaju takođe kažemo da b deli a. U ovom slučaju se poziva cijeli broj b razdjelnik brojeva a, poziva se cijeli broj a višestruki broj b (za više informacija o djeliteljima i višekratnicima pogledajte članak djelitelji i višekratnici), a cijeli broj q se zove privatni.

Ako je cijeli broj a djeljiv cijelim brojem b u gore navedenom smislu, onda se može reći da je a djeljiv sa b potpuno. Riječ "potpuno" u ovom slučaju dodatno naglašava da je količnik dijeljenja cijelog broja a cijelim brojem b cijeli broj.

U nekim slučajevima, za date cijele brojeve a i b, ne postoji cijeli broj q za koji je tačna jednakost a=b·q. U takvim slučajevima kažemo da cijeli broj a nije djeljiv cijelim brojem b (što znači da a nije djeljiv sa b). Međutim, u tim slučajevima pribjegavaju.

Hajde da razumijemo koncept djeljivosti koristeći primjere.

Svaki cijeli broj a djeljiv je brojem a, brojem −a, a, jednim i brojem −1.

Dokažimo ovo svojstvo djeljivosti.

Za bilo koji cijeli broj a vrijede jednakosti a=a·1 i a=1·a, iz čega slijedi da je a djeljivo sa a, a količnik jednak jedan i da je a djeljivo sa 1, a količnik je jednak a. Za bilo koji cijeli broj a vrijede jednakosti a=(−a)·(−1) i a=(−1)·(−a), iz čega slijedi da je a djeljivo brojem nasuprot a, kao kao i a je deljivo sa minus jedinicom.

Imajte na umu da se svojstvo djeljivosti cijelog broja a samo po sebi naziva svojstvom refleksivnosti.

Sljedeće svojstvo djeljivosti kaže da je nula djeljiva s bilo kojim cijelim brojem b.

Zaista, pošto je 0=b·0 za bilo koji cijeli broj b, onda je nula djeljiva sa bilo kojim cijelim brojem.

Konkretno, nula je također djeljiva sa nulom. Ovo potvrđuje jednakost 0=0·q, gdje je q bilo koji cijeli broj. Iz ove jednakosti slijedi da je količnik nule podijeljen sa nulom bilo koji cijeli broj.

Također treba napomenuti da nijedan drugi cijeli broj osim nule nije djeljiv sa 0. Hajde da objasnimo ovo. Ako je nula podijelila cijeli broj različit od nule, tada bi jednakost a=0·q trebala biti tačna, gdje je q neki cijeli broj, a posljednja jednakost je moguća samo ako je a=0.

Ako je cijeli broj a djeljiv cijelim brojem b i a je manji od modula b, tada je a jednako nuli. U doslovnom obliku, ovo svojstvo djeljivosti je zapisano na sljedeći način: ako je ab i , onda je a=0.

Dokaz.

Pošto je a djeljivo sa b, postoji cijeli broj q za koji je tačna jednakost a=b·q. Tada jednakost također mora biti istinita, a na osnovu toga jednakost oblika također mora biti istinita. Ako q nije jednako nuli, onda slijedi da je . Uzimajući u obzir dobivenu nejednakost, iz jednakosti slijedi da . Ali ovo je u suprotnosti sa uslovom. Dakle, q može biti jednako nuli, a dobijamo a=b·q=b·0=0, što smo trebali dokazati.

Ako je cijeli broj a različit od nule i djeljiv cijelim brojem b, tada modul a nije manji od modula b. To jest, ako je a≠0 i ab, onda . Ovo svojstvo djeljivosti proizilazi direktno iz prethodnog.

Jedini djelitelji jedinice su cijeli brojevi 1 i −1.

Prvo, pokažimo da je 1 deljivo sa 1 i −1. Ovo slijedi iz jednakosti 1=1·1 i 1=(−1)·(−1) .

Ostaje dokazati da nijedan drugi cijeli broj nije djelitelj jedinice.

Pretpostavimo da je cijeli broj b, različit od 1 i −1, djelitelj jedinice. Pošto je jedinica deljiva sa b, onda, zbog prethodnog svojstva deljivosti, nejednakost mora biti zadovoljena, što je ekvivalentno nejednakosti. Ovu nejednakost zadovoljavaju samo tri cijela broja: 1, 0 i −1. Pošto smo pretpostavili da je b različit od 1 i −1, ostaje samo b=0. Ali b=0 ne može biti djelitelj jedinice (kao što smo pokazali kada smo opisivali drugo svojstvo djeljivosti). Ovo dokazuje da nijedan drugi brojevi osim 1 i −1 nisu djelitelji jedinice.

Da bi cijeli broj a bio djeljiv cijelim brojem b, potrebno je i dovoljno da je modul broja a djeljiv sa modulom broja b.

Hajde da prvo dokažemo neophodnost.

Neka je a podijeljeno sa b, tada postoji cijeli broj q takav da je a=b·q. Onda . Pošto je to cijeli broj, jednakost implicira da je modul broja a djeljiv sa modulom broja b.

Sada dovoljno.

Neka se modul broja a podijeli s modulom broja b, tada postoji cijeli broj q takav da je . Ako su brojevi a i b pozitivni, tada je tačna jednakost a=b·q, što dokazuje djeljivost a sa b. Ako su a i b negativni, tada je tačna jednakost −a=(−b)·q, koja se može prepisati kao a=b·q. Ako je a negativan broj, a b pozitivan, onda imamo −a=b·q, ova jednakost je ekvivalentna jednakosti a=b·(−q) . Ako je a pozitivno, a b negativno, onda imamo a=(−b)·q, i a=b·(−q) . Pošto su i q i −q cijeli brojevi, rezultirajuće jednakosti dokazuju da je a djeljivo sa b.

Zaključak 1.

Ako je cijeli broj a djeljiv cijelim brojem b, tada je a također djeljiv sa suprotnim brojem −b.

Zaključak 2.

Ako je cijeli broj a djeljiv cijelim brojem b, tada je −a također djeljiv sa b.

Važnost upravo razmatranog svojstva djeljivosti teško je precijeniti - teorija djeljivosti se može opisati na skupu pozitivnih cijelih brojeva, a ovo svojstvo djeljivosti je proširuje na negativne cijele brojeve.

Djeljivost ima svojstvo tranzitivnosti: ako je cijeli broj a djeljiv s nekim cijelim brojem m, a broj m je zauzvrat podijeljen s nekim cijelim brojem b, tada je a djeljiv sa b. To jest, ako su am i mb, onda ab.

Dajemo dokaz ovog svojstva djeljivosti.

Pošto je a deljivo sa m, postoji neki ceo broj a 1 takav da je a=m·a 1. Slično, pošto je m deljivo sa b, postoji neki ceo broj m 1 takav da je m=b·m 1. Onda a=m a 1 =(b m 1) a 1 =b (m 1 a 1). Pošto je proizvod dva cijela broja cijeli broj, onda je m 1 ·a 1 neki cijeli broj. Označavajući ga q, dolazimo do jednakosti a=b·q, što dokazuje svojstvo djeljivosti koje se razmatra.

Deljivost ima svojstvo antisimetrije, to jest, ako je a podeljeno sa b i istovremeno b podeljeno sa a, tada su ili celi brojevi a i b, ili brojevi a i −b, jednaki.

Iz djeljivosti a sa b i b sa a, možemo govoriti o postojanju cijelih brojeva q 1 i q 2 takvih da su a=b·q 1 i b=a·q 2. Zamjenom b·q 1 umjesto a u drugu jednakost, ili zamjenom a·q 2 umjesto b u prvu jednakost, dobijamo da je q 1 ·q 2 =1, a s obzirom da su q 1 i q 2 cijeli brojevi, ovo je moguće samo ako je q 1 =q 2 =1 ili kada je q 1 =q 2 =−1. Iz toga slijedi da je a=b ili a=−b (ili, što je isto, b=a ili b=−a ).

Za bilo koji cijeli broj i različit od nule b, postoji cijeli broj a, koji nije jednak b, koji je djeljiv sa b.

Ovaj broj će biti bilo koji od brojeva a=b·q, gdje je q bilo koji cijeli broj, ne jednako jedan. Možemo prijeći na sljedeće svojstvo djeljivosti.

Ako je svaki od dva cjelobrojna člana a i b djeljiv cijelim brojem c, tada je i zbir a+b djeljiv sa c.

Pošto su a i b djeljivi sa c, možemo napisati a=c·q 1 i b=c·q 2. Onda a+b=c q 1 +c q 2 =c (q 1 +q 2)(zadnji prijelaz je moguć zbog ). Pošto je zbir dva cijela broja cijeli broj, jednakost a+b=c·(q 1 +q 2) dokazuje djeljivost zbira a+b sa c.

Ovo svojstvo se može proširiti na zbir tri, četiri ili više termina.

Ako se također prisjetimo da je oduzimanje cijelog broja b od cijelog broja a sabiranje broja a sa brojem −b (vidi), onda ovo svojstvo djeljivosti vrijedi i za razliku brojeva. Na primjer, ako su cijeli brojevi a i b djeljivi sa c, tada je razlika a−b također djeljiva sa c.

Ako je poznato da su u jednakosti oblika k+l+…+n=p+q+…+s svi članovi osim jednog djeljivi s nekim cijelim brojem b, onda je i ovaj član djeljiv sa b.

Recimo da je ovaj pojam p (možemo uzeti bilo koji od pojmova jednakosti, što neće uticati na rezonovanje). Tada je p=k+l+…+n−q−…−s . Izraz dobijen na desnoj strani jednakosti podijeljen je sa b zbog prethodnog svojstva. Dakle, broj p je također djeljiv sa b.

Ako je cijeli broj a djeljiv cijelim brojem b, tada se proizvod a·k, gdje je k proizvoljan cijeli broj, dijeli sa b.

Pošto je a deljivo sa b, tačna je jednakost a=b·q, gde je q neki ceo broj. Tada je a·k=(b·q)·k=b·(q·k) (zadnji prelaz je izveden zbog ). Pošto je proizvod dva cijela broja cijeli broj, jednakost a·k=b·(q·k) dokazuje djeljivost proizvoda a·k sa b.

Posljedica: ako je cijeli broj a djeljiv cijelim brojem b, tada je proizvod a·k 1 ·k 2 ·…·k n, gdje su k 1, k 2, …, k n neki cijeli brojevi, djeljiv sa b.

Ako su cijeli brojevi a i b djeljivi sa c, tada se zbir proizvoda a·u i b·v oblika a·u+b·v, gdje su u i v proizvoljni cijeli brojevi, dijeli sa c.

Dokaz ovog svojstva djeljivosti je sličan prethodna dva. Iz uslova imamo a=c·q 1 i b=c·q 2. Onda a u+b v=(c q 1) u+(c q 2) v=c (q 1 u+q 2 v). Kako je zbroj q 1 ·u+q 2 ·v cijeli broj, onda je jednakost oblika a u+b v=c (q 1 u+q 2 v) dokazuje da je a·u+b·v deljivo sa c.

Ovo završava naš pregled osnovnih svojstava djeljivosti.

Bibliografija.

• Vilenkin N.Ya. i dr. Matematika. 6. razred: udžbenik za opšteobrazovne ustanove.
• Vinogradov I.M. Osnove teorije brojeva.
• Mikhelovich Sh.H. Teorija brojeva.
• Kulikov L.Ya. i dr. Zbirka zadataka iz algebre i teorije brojeva: Tutorial za studente fizike i matematike. specijalnosti pedagoških instituta.

Nikitina Elizaveta

U ovom radu studentica je sistematizovala svoja znanja o znacima djeljivosti prirodnih brojeva i pronašla nova u dodatnoj literaturi, navodeći mnoge primjere njihove primjene.

Skinuti:

Pregled:

Regionalni konkurs za dizajn i istraživanje

I kreativni radovi studenti.

Obrazovna oblast: prirodne nauke.

Sekcija: "Matematika"

Istraživački rad na temu:

"Znakovi djeljivosti prirodnih brojeva"

Učenik 8. razreda

Supervizor:

Tsepilova E. A.

Nastavnik matematike.

2014

1. Uvod

2. Istorija djeljivosti prirodnih brojeva

3. Znaci djeljivosti prirodnih brojeva sa 2, sa 3, sa 9, sa 5, sa 10, proučavani u

školski kurs matematike.

4. Znakovi djeljivosti sa 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37, opisani u raznim izvorima.

5. Testovi djeljivosti prirodnih brojeva sa 4, 6, 8, 15, 25, dobijeni nezavisno

7. Zaključak.

1. Uvod

Relevantnost: Proučavajući temu: “Znaci za djeljivost prirodnih brojeva sa 2, 3, 5, 9, 10” zainteresovao sam se za pitanje djeljivosti brojeva. Poznato je da jedan prirodan broj nije uvijek djeljiv drugim prirodnim brojem bez ostatka. Prilikom dijeljenja prirodnih brojeva griješimo i kao rezultat gubimo vrijeme. Testovi djeljivosti pomažu da se utvrdi, bez dijeljenja, da li je jedan prirodan broj djeljiv drugim. U izbornom predmetu razmatrali smo još neke znakove djeljivosti prirodnih brojeva. Pitao sam se da li je i dalje moguće dobiti nove znakove djeljivosti? Tako je nastala tema mog istraživačkog rada.

hipoteza: ako je moguće odrediti djeljivost prirodnih brojeva sa 2, 3, 5, 9, 10, onda moraju postojati znaci pomoću kojih se može odrediti djeljivost prirodnih brojeva drugim brojevima.

Predmet studija:djeljivost prirodnih brojeva.

Predmet studija:znakove djeljivosti prirodnih brojeva.

Cilj: dopuniti već poznate znakove djeljivosti prirodnih brojeva, izučavane u školi.

Zadaci:

1. Proučite istoriju pojave znakova djeljivosti.
2. Ponovite znake djeljivosti sa 2, 3. 5, 9, 10, učili u školi.
3. Proučite dodatnu literaturu koja potvrđuje ispravnost hipoteze o postojanju drugih znakova djeljivosti prirodnih brojeva i ispravnost znakova djeljivosti koje sam identificirao.
4. Nezavisno dobiti znakove djeljivosti prirodnih brojeva sa 4, 6, 8, 15, 25.
5. Pronađite iz dodatne literature znakove djeljivosti prirodnih brojeva sa 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37.
6. Izvucite zaključak.

novost: Tokom projekta proširio sam svoja znanja o znacima djeljivosti prirodnih brojeva.

Metode istraživanja:prikupljanje materijala, obrada podataka, posmatranje, poređenje, analiza, sinteza.

1. Iz istorije.

Test djeljivosti je pravilo po kojem se bez dijeljenja može utvrditi da li je jedan prirodan broj djeljiv drugim. Znakovi djeljivosti oduvijek su zanimali naučnike različite zemlje i vremena.

Znakovi djeljivosti sa 2, 3, 5, 9, 10 poznati su od davnina. Znak djeljivosti sa 2 bio je poznat starim Egipćanima 2 hiljade godina prije nove ere, a znakove djeljivosti sa 2, 3, 5 detaljno je opisao italijanski matematičar Leonardo Fibonacci (1170-1228).

Pitanja djeljivosti brojeva razmatrali su pitagorejci i drugi.

Blaise Pascal

Blaise Pascal (1623-1662) dao je veliki doprinos proučavanju znakova djeljivosti brojeva. Mladi Blejz je vrlo rano pokazao izvanredne matematičke sposobnosti, naučivši da broji pre nego što je mogao da čita. Svoju prvu matematičku raspravu, “Iskustvo u teoriji konusnih presjeka” napisao je u dobi od 24 godine. Otprilike u isto vrijeme dizajnirao je mehaničku mašinu za sabiranje, prototip mašine za sabiranje. IN rani period Svestrani naučnik je u svom stvaralačkom radu (1640-1650) pronašao algoritam za pronalaženje znakova djeljivosti bilo kojeg cijelog broja bilo kojim drugim cijelim brojem, iz kojeg slijede svi partikularni predznaci. Njegov predznak je sljedeći: Prirodni broj A će biti podijeljen sa drugim prirodnim brojem b samo ako je zbir proizvoda cifara broja a na odgovarajuće ostatke dobijene dijeljenjem cifarskih jedinica brojem b, je podijeljen ovim brojem.

1. Kriterijumi djeljivosti prirodnih brojeva, proučavani u školi.

Kada proučavate ovu temu, morate znati pojmove djelitelja, višekratnika, prostih i složenih brojeva.

Delitelj prirodnog broja A pozvati prirodni broj b , na koji a podijeljeno bez ostatka.

Često izjava o djeljivosti broja A brojem b se izražava drugim ekvivalentnim riječima: a je višekratnik od b, b je djelitelj a, b dijeli a.

Prosti brojevi su prirodni brojevi koji imaju dva djelitelja: 1 i sam broj. Na primjer, brojevi 5,7,19 su prosti jer su djeljive sa 1 i samim sobom.

Brojevi koji imaju više od dva djelitelja nazivaju se složeni brojevi. Na primjer, broj 14 ima 4 djelitelja: 1, 2, 7, 14, što znači da je složen.

1. Znakovi djeljivosti prirodnih brojeva sa 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37, opisani u različitim izvorima.

Iz dodatne literature našao sam potvrdu ispravnosti kriterija koje sam formulirao za djeljivost prirodnih brojeva sa 4, 6, 8, 15, 25.

Razmotrimo nekoliko znakova djeljivosti:

Prirodni broj je djeljiv sa 7 ako je zbir dvostrukog broja u deseticama i preostalog broja djeljiv sa 7.

primjeri:

4592 je djeljivo sa 7 jer 45·2=90, 90+92=182, 182 je deljivo sa 7.

57384 nije djeljivo sa 7, jer 573·2=1146, 1146+84=1230, 1230 nije deljivo sa 7.

Broj je djeljiv sa 11 ako je razlika između zbira cifara na neparnim mjestima i zbira cifara na parnim mjestima višekratnik 11.

Razlika može biti negativan broj ili 0, ali mora biti višekratnik od 11. Numeracija ide s lijeva na desno.

primjer:

2 1 3 5 7 0 4 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10 nije višekratnik broja 11, što znači da ovaj broj nije djeljiv sa 11.

1 3 5 2 7 3 6 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11 je višekratnik 11, što znači da je ovaj broj djeljiv sa 11.

Prirodni broj je djeljiv sa 12 ako i samo ako je istovremeno djeljiv sa 3 i 4.

primjeri:

636 je deljivo sa 3 i 4, što znači da je deljivo sa 12.

587 nije deljivo sa 3 ili 4, što znači da nije deljivo sa 12.

27126 je deljivo sa 3, ali nije deljivo sa 4, što znači da nije deljivo sa 12.

Prirodni broj je djeljiv sa 13 ako je razlika između broja hiljada i broja koji čine posljednje tri znamenke djeljiva sa 13.

primjeri:

Broj 465400 je djeljiv sa 13 jer... 465 – 400 = 65, 65 podijeljeno sa 13.

Broj 256184 nije djeljiv sa 13, jer... 256 – 184 = 72, 72 nije djeljivo sa 13.

Prirodni broj je djeljiv sa 14 ako i samo ako je istovremeno djeljiv sa 2 i 7.

primjeri:

Broj 45826 je djeljiv sa 2, ali nije djeljiv sa 7, što znači da nije djeljiv sa 14.

Broj 1771 je djeljiv sa 7, ali nije djeljiv sa 2, što znači da nije djeljiv sa 14.

Broj 35882 je djeljiv sa 2 i 7, što znači da je djeljiv sa 14.

Prirodni broj je djeljiv sa 19 bez ostatka ako i samo ako je broj njegovih desetica dodat dvostrukom broju jedinica djeljiv sa 19.

Treba uzeti u obzir da se broj desetica u broju ne računa po cifri na mjestu desetice, već po ukupnom broju cijelih desetica u cijelom broju.

primjeri:

153 4 desetice-153, 4·2=8, 153+8=161, 161 nije deljivo sa 19, što znači da 1534 nije deljivo sa 19.

182 4 182+4·2=190, 190/19, što znači da je broj 1824/19.

Prirodni broj je djeljiv sa 37 ako je zbir brojeva formiranih od trojki cifara datog broja u decimalnom zapisu djeljiv sa 37 respektivno.

Primjer: Odredite da li je broj 100048 djeljiv sa 37.

100/048 100+48=148, 148 je djeljivo sa 37, što znači da je broj djeljiv sa 37.

1. Testovi deljivosti prirodnih brojeva sa 4, 6, 8, 15, 25, dobijeni nezavisno.

Izvodeći operacije dijeljenja i množenja prirodnih brojeva, promatrajući rezultate radnji, pronašao sam obrasce i dobio sljedeće znakove djeljivosti.

25·4=1 00; 56·4=2 24 ; 123·4=4 92 ; 125·4=5 00; 2345·4=93 80 ; 2500·4=100 00; ...

Dok sam množio prirodne brojeve sa 4, primijetio sam da su brojevi formirani od posljednje dvije cifre broja djeljivi sa 4 bez ostatka.

Test djeljivosti sa 4 glasi ovako:

Prirodni h Broj je djeljiv sa 4 ako i samo ako su njegove posljednje dvije cifre 0 ili čine broj djeljiv sa 4.

Imajte na umu da je 6=2·3 Test djeljivosti sa 6:

Ako je prirodni broj djeljiv sa 2 i 3, onda je djeljiv sa 6.

primjeri:

216 je djeljiv sa 2 (završava se sa 6) i djeljiv sa 3 (8+1+6=15, 15׃3), što znači da je broj djeljiv sa 6.

625 nije deljivo sa 2 ili 3, što znači da nije deljivo sa 6.

2120 je deljivo sa 2 (završava se sa 0), ali nije deljivo sa 3 (2+1+2+0=5, 5 nije deljivo sa 3), što znači da broj nije deljiv sa 6.

279 je djeljivo sa 3 (2+7+9=18, 18:3), ali nije djeljivo sa 2 (završava se neparnom cifrom), što znači da broj nije djeljiv sa 6.

125·8=1.000; 242·8=1,936; 512·8=4096; 600·8=4 800; 1234·8=9,872; 122875·8=983,000 ;…

Prilikom množenja prirodnog broja sa 8, primijetio sam ovaj obrazac: brojevi se završavaju na tri nule ili posljednje tri cifre čine broj koji je djeljiv sa 8.

Dakle, ovo je znak.

Prirodni h Broj je djeljiv sa 8 ako i samo ako su njegove posljednje tri cifre 0 ili broj djeljiv sa 8.

Imajte na umu da je 15=3·5

Ako je prirodan broj djeljiv i sa 5 i sa 3, tada je djeljiv sa 15.

primjeri:

346725 je djeljiv sa 5 (završava se sa 5) i djeljiv sa 3 (3+4+6+7+2+5=24, 24:3), što znači da je broj djeljiv sa 15.

48732 je djeljiv sa 3 (4+8+7+3+2=24, 24:3), ali nije djeljiv sa 5, što znači da broj nije djeljiv sa 15.

87565 je deljivo sa 5 (završava se sa 5), ​​ali nije deljivo sa 3 (8+7+5+6+5=31, 31 nije deljivo sa 3),

Dok sam množio različite prirodne brojeve sa 25, vidio sam sljedeći obrazac: proizvodi završavaju na 00, 25, 50, 75.

Tako da je prirodno Broj je djeljiv sa 25 ako se završava na 00, 25, 50, 75.

Svi navedeni znakovi djeljivosti prirodnih brojeva mogu se podijeliti u 4 grupe:

Grupa 1 - kada je djeljivost brojeva određena posljednjom cifrom (ciframa) - to su znaci djeljivosti sa 2, sa 5, sa 4, sa 8, sa 25.

Grupa 2 - kada je djeljivost brojeva određena zbirom cifara broja - to su znaci djeljivosti sa 3, sa 9, sa 7, sa 37.

Grupa 3 - kada se djeljivost brojeva utvrđuje nakon izvođenja nekih radnji na ciframa broja - to su znaci djeljivosti sa 7, sa 11, sa 13, sa 19.

Grupa 4 - kada se za određivanje djeljivosti broja koriste drugi znaci djeljivosti - to su znaci djeljivosti sa 6, sa 15, sa 12, sa 14.

6. Primjena testova djeljivosti prirodnih brojeva pri rješavanju zadataka.

Kriterijumi djeljivosti se koriste pri pronalaženju GCD i LCM, kao i pri rješavanju riječnih zadataka korištenjem GCD i LCM.

Zadatak 1: (Upotreba zajedničkih djelitelja i gcd)

Učenici 6. razreda kupili su 203 udžbenika. Svi su kupili isti broj knjiga. Koliko je bilo učenika petog razreda i koliko je udžbenika kupio svaki od njih?

Rješenje: Obje veličine koje je potrebno odrediti moraju biti cijeli brojevi, tj. biti među djeliteljima broja 203. Razloživši 203 na faktore, dobijamo:

203 = 1 ∙ 7 ∙ 29.

Iz praktičnih razlogaproizilazi da udžbenika ne može biti 29. Takođe, broj udžbenika ne može biti jednak1, jer u ovom slučaju bilo bi 203 učenika.To znači da ima 29 učenika petog razreda i svaki je kupio 7 udžbenika.

Odgovor : 29 učenika šestog razreda; 7 udžbenika

Zadatak 2. Ima 60 narandži, 165 orašastih plodova i 225 bombona. Koji najveći broj Mogu li se od ove zalihe napraviti identični pokloni za djecu? Šta je uključeno u svaki set?

Rješenje:

Broj poklona mora biti djelitelj svakog od brojeva koji izražava broj narandži, slatkiša i orašastih plodova, i najveći od ovih brojeva. Stoga moramo pronaći gcd ovih brojeva. GCD (60, 175, 225) = 15. Svaki poklon će sadržavati: 60: 15 = 4 – narandže,175: 15 = 11 – orasi i 225: 15 = 15 – bomboni.

odgovor: Jedan poklon sadrži 4 narandže, 11 orašastih plodova, 15 bombona.

Zadatak 3: U 9. razredu za test 1/7 učenika je dobilo A, 1/3 - B, 1/2 - C. Ostatak rada se pokazao nezadovoljavajućim. Koliko je takvih radova bilo?

Rješenje: Rješenje problema mora biti broj koji je višekratnik brojeva: 7, 3, 2. Hajde da prvo pronađemo najmanji od ovih brojeva. LCM (7, 3, 2) = 42. Možete kreirati izraz prema uslovima zadatka: 42 – (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) = 1 – 1 neuspješno.

Matematički odnosi zadatka pretpostavljaju da je broj učenika u razredu 84, 126 itd. Čovjek. Ali iz razloga zdrav razum Iz toga slijedi da je najprihvatljiviji odgovor broj 42.

Odgovor: 1 posao.

Zadatak 4.

U dva odeljenja zajedno ima 70 učenika. U jednom odeljenju 7/17 učenika se nije pojavilo na nastavi, au drugom 2/9 je dobilo odlične ocjene iz matematike. Koliko učenika ima u svakom razredu?

Rješenje: U prvom od ovih razreda može biti: 17, 34, 51... - brojevi koji su višestruki sa 17. U drugom razredu: 9, 18, 27, 36, 45, 54... - brojevi koji su višestruki od 9. Moramo izabrati 1 broj iz prvog niza , a 2 je broj iz drugog tako da zbir bude 70. Štaviše, u ovim nizovima samo mali broj pojmova može izraziti mogući broj djece u klasa. Ovo razmatranje značajno ograničava izbor opcija. Jedina moguća opcija bio je par (34, 36).

odgovor: U prvom razredu ima 34 učenika, a u drugom 36 učenika.

Zadatak 5.

Dva autobusa polaze sa istog trga na različitim rutama. Jedan od autobusa vozi 48 minuta tamo i nazad, dok drugi vozi 1 sat i 12 minuta. Koliko će vremena trebati da se autobusi ponovo sretnu na istom trgu?

Rješenje: NOC(48, 72) = 144 (min). 144 min = 2 sata 24 min.

odgovor: Nakon 2 sata i 24 minuta autobusi će se ponovo sastati na istom trgu.

Zadatak 6.

Vanja ima jednostavnu ideju trocifreni broj, čiji su svi brojevi različiti. Kojom cifrom može da se završi ako je njena poslednja cifra jednaka zbiru prve dve. Navedite primjere takvih brojeva.

odgovor: Može se završiti samo brojem 7. Postoje 4 takva broja: 167, 257, 347, 527.

7. Zaključak.

Zaključci:

Radeći sam se upoznao sa istorijom razvoja znakova djeljivosti, formulisao znake djeljivosti prirodnih brojeva sa 4, 6, 8, 15, 25, i našao potvrdu za to u dodatnoj literaturi. Uvjerio sam se i da postoje i drugi znaci djeljivosti prirodnih brojeva (sa 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37), što je potvrdilo tačnost hipoteze o postojanju drugih znakova djeljivosti prirodnih brojeva.

Spisak korišćene literature (izvori):

1. Galkin V.A. Zadaci na temu “Kriterijumi djeljivosti” // Matematika, 1999.-№5.-P.9.
2. Gusev V.A., Orlov A.I., Rosenthal A.L. Vannastavni rad iz matematike u 6-8 razredima - M.: Obrazovanje, 1984.
3. Kaplun L.M. GCD i LCM u problemima. // Matematika, 1999.- br. 7. – str. 4-6.
4. Pelman Ya.I. Matematika je zanimljiva! – M.: TERRA – Klub knjiga, 2006.
5. Enciklopedijski rječnik mladog matematičara./ Comp. Savin A.P. – M.: Pedagogija, 1989. – Str. 352.
6. Resursi - Internet.

Imenujte brojeve koji se koriste za brojanje. Svaki broj prebrojivih stavki odgovara određenom prirodnom broju. Ako nema objekata za brojanje, tada se koristi broj 0, ali pri brojanju objekata nikada ne počinjemo od 0, pa se prema tome broj 0 ne može klasificirati kao prirodan. Jasno je da je najmanji prirodan broj jedan. Ne postoji najveći prirodni broj, jer bez obzira koliko je veliki broj, uvijek mu možete dodati 1 i napisati sljedeći prirodan broj.

Hajde da to sredimo najjednostavniji primjer dijeljenje: podijelite broj 30 brojem 5 (ostatak pri dijeljenju broja 30 brojem 5 je 0), jer je 30 = 5. 6. Dakle, broj 30 je djeljiv brojem 5. Broj 5 je razdjelnik broj je 30, a broj 30 jeste višestruko broj 5.

Prirodni broj k n, ako postoji takav prirodan broj m, za koje vrijedi jednakost k = n . m.

Ili drugim riječima , da biste jedan broj podijelili s drugim, morate pronaći treći broj koji, kada se pomnoži sa drugim, daje prvi

Ako je prirodan broj k djeljiv prirodnim brojem n, zatim broj k pozvao višekratnici broja,

broj n — djelitelj broja k.

Brojevi 1, 2, 3, 6, 10, 15, 30 su također djelitelji 30, a 30 je višekratnik svakog od ovih brojeva. Imajte na umu da broj 30 nije djeljiv, na primjer, brojem 7. Dakle, broj 7 nije djelitelj broja 30, a broj 30 nije višekratnik broja 7.

Nakon izvođenja operacija podjele kažu: „Br k djeljiv brojem n", "Broj n je djelitelj broja k", "Broj k višestruki broj n", "Broj k je višekratnik broja n».

Lako je zapisati sve djelitelje broja 6. To su brojevi 1, 2, 3 i 6. Da li je moguće navesti sve brojeve koji su višekratnici broja 6? Brojevi 6. 1, 6. 2, 6. 3, 6. 4, 6. 5, itd. su višekratnici broja 6. Nalazimo da postoji beskonačno mnogo brojeva koji su višekratnici broja 6. Stoga ih je nemoguće sve nabrojati.

Općenito, za bilo koji prirodan broj k svaki od brojeva

k . 1, k . 2, k . 3, k . 4 , ...

je višekratnik broja k.

Najmanji djelitelj bilo koji prirodni broj k je broj 1, i najveći djelitelj- sam broj k.

Među brojevima koji su višestruki k, ne postoji najveći, ali najmanji je - ovo je sam broj k.

Svaki od brojeva 21 i 36 djeljiv je brojem 3, a njihov zbir, broj 57, također je djeljiv brojem 3. Općenito, ako svaki od brojeva k I n djeljiv brojem m, zatim zbroj k+n je također djeljiv brojem m.

Svaki od brojeva 4 i 8 nije dionice je cijeli broj brojem 3, a njihov zbir, broj 12, nije jednako djeljiv brojem 3. Svaki od brojeva 9 i 7 nije jednako djeljiv brojem 5, a njihov zbir, broj 16, je nije jednako djeljiv brojem 5. Uopšteno, ako ni jedan broj k, bez broja n nisu jednako djeljive brojem m, zatim zbroj k + n može ili ne mora biti djeljiva cijelim brojem m.

Broj 35 je djeljiv brojem 7 bez ostatka, ali broj 17 nije djeljiv brojem 7. Zbir 35 + 17 također nije djeljiv brojem 7. Općenito, ako je broj k djeljiv brojem m i broj n nije djeljiva brojem m, zatim zbroj k + n nije djeljiva brojem m.

Integers

Skup prirodnih brojeva koji se koriste za brojanje ili prijenos.

Formalno, skup prirodnih brojeva može se definirati korištenjem Peanoovog aksiomskog sistema.

WITHPeano aksiomski sistem

1. Jedinica - prirodan broj koji ne prati nijedan broj.

2. Za bilo koji prirodan broj postoji jednina
koji odmah sledi.

3. Svaki prirodan broj
odmah slijedi samo jedan broj.

4. Ako neki set
sadrži i zajedno sa svakim prirodnim brojem sadrži broj koji odmah slijedi nakon njega
(aksiom indukcije).

Operacije na setu

Množenje

Oduzimanje :

Svojstva oduzimanja: Ako
To

Ako
To

Deljivost prirodnih brojeva

Division : podijeljena
takav da

Svojstvaoperacije:

1. Ako
se dijele na To
podijeljena

2. Ako
I
se dijele na To
podijeljena

3. Ako
I su djeljive sa da je djeljivo sa

4. Ako je djeljivo do tada
podijeljena

5. Ako
su djeljive sa a ne dijele se na ovo i ono
nije djeljivo sa

6. Ako ili podijeljeno s tim
podijeljena

7. Ako je djeljivo sa
onda je podijeljeno sa i podijeljen je sa

Teoremao podjeli sa ostatkom Za bilo koje prirodne brojeve
postoji samo jedan pozitivni brojevi
takav da
i

Dokaz. Neka
Razmotrite sljedeći algoritam:

	Ako Ako onda uradimo još jedno oduzimanje Nastavljamo proces oduzimanja dok ostatak ne bude manji broj Postoji broj takav da
	Hajde da saberemo sve linije ovog algoritma i dobijemo traženi izraz, gde

Jedinstvenost reprezentacije ćemo dokazati kontradikcijom.

Pretpostavimo da postoje dva prikaza

I
Oduzmite jedan izraz od drugog i
Posljednja jednakost u cijelim brojevima moguća je samo u slučaju pošto
at
□

Zaključak 1. Bilo koji prirodni broj može se predstaviti kao:
ili ili

Zaključak 2. Ako
uzastopnih prirodnih brojeva, onda je jedan od njih djeljiv sa

Zaključak 3. Ako
dva uzastopna parna broja, onda je jedan od njih djeljiv sa

Definicija. Prirodni broj naziva se prostim ako nema djelitelja osim jedan i sebe.

Posljedica4. Svaki prost broj ima oblik
ili

Zaista, bilo koji broj može biti predstavljen u obliku; međutim, svi brojevi u ovom nizu, osim
definitivno su kompozitni. □

Posljedica5 . Ako
onda prost broj
podijeljena

stvarno,
tri uzastopna prirodna broja, i
čak, i
odd prime. Dakle, jedan od parnih brojeva
I
je deljiv sa 4, a jedan je takođe deljiv sa □

Primjer 2 . Sljedeće izjave su tačne:

1. Kvadrat neparnog broja kada se podijeli sa 8 daje ostatak

2. Jer nijedan prirodan broj n nije broj n 2 +1 djeljiv sa 3.

3. Koristeći samo brojeve 2, 3, 7, 8 (moguće nekoliko puta), nemoguće je kvadrirati prirodan broj.

Dokaz1. Svašta neparan broj može se predstaviti u obliku
ili
Kvadirajmo svaki od ovih brojeva i dobijemo traženi iskaz.

Dokaz 2. Svaki prirodan broj se može predstaviti kao
Zatim izraz
će biti jednak jednom od izraza
koji se ne dele na

Dokaz3. Zaista, posljednja znamenka kvadrata prirodnog broja ne može se završiti nijednom od ovih cifara.

Znakovi djeljivosti

Definicija. Decimalni prikaz prirodnog broja je reprezentacija broja u obliku

Stenografija

Znakovi djeljivosti na

Odobreno 6 Neka
decimalni prikaz broja tada:

1. Broj je djeljiv sa
kada broj - čak;

2. Broj je djeljiv sa kada je broj dvocifren
podijeljena

3. Broj je djeljiv sa Kada
ili

4. Broj je djeljiv sa
Kada

5. Broj je djeljiv sa
kada je broj dvocifren
- podijeljena

6. Broj je djeljiv sa

7. Broj je djeljiv sa kada se zbir cifara broja podijeli sa

8. Broj je djeljiv sa
kada se zbir cifara broja sa naizmjeničnim predznacima podijeli sa

Dokaz. Dokaz znakova 1)-5) lako se dobija iz decimalnog zapisa broja. Dokažemo 6) i 7). stvarno,

Iz toga slijedi da ako je djeljivo (ili
tada je i zbir cifara broja djeljiv sa

Dokažimo 11). Neka je djeljiv sa Predstavimo broj u obliku

Pošto su svi dodani zbroji djeljivi sa
tada se iznos također dijeli sa □

Primjer 3 . Pronađite sve petocifreni broj obrasca
, koji su djeljivi sa 45.

Dokaz.
Dakle, broj je djeljiv sa 5, a njegova zadnja cifra je 0 ili 5, tj.
ili
Originalni broj je također djeljiv sa 9, pa je djeljiv sa 9, tj.
ili djeljiv sa 9, tj.

odgovor:

Test djeljivosti on I

Odobreno 7 Neka je decimalni prikaz broja Broj Broj deljiv sa
kada se razlika između broja bez posljednje tri cifre i broja sastavljenog od posljednje tri cifre podijeli sa

Dokaz. Predstavimo ga u obliku Od broja
podijeljeno sa i
To
djeljivo sa i □

Primjer 4 . Neka
Onda
je djeljiv sa i samim tim brojem
podijeljena

Neka
Onda

djeljiv sa Tada brojem
podijeljena

primarni brojevi

Eratostenovo sito

(Jednostavan algoritam za dobijanje svih prostih brojeva)

Algoritam. Zapisujemo sve brojeve od 1 do 100 i prvo precrtavamo sve parne brojeve. Zatim od preostalih precrtavamo one djeljive sa 3, 5, 7 itd. Kao rezultat, ostat će samo prosti brojevi.

Euklidov teorem. Broj prostih brojeva je beskonačan.

Dokaz"kontradikcijom." Neka je broj prostih brojeva konačan -
Uzmite u obzir broj
Pitanje: broj - jednostavno ili složeno?

Ako je složeni broj, onda je djeljiv s nekim prostim brojem i stoga je jedan podijeljen ovim prostim brojem. Kontradikcija.

Ako je prost broj, onda je veći od bilo kojeg prostog broja
i mi smo ispisali i numerisali sve proste brojeve. Opet kontradikcija. □

Odobreno 8 Ako je broj složen, onda ima prost djelitelj takav da

Dokaz. If je najmanji prosti djelitelj kompozitnog broja
To

Posljedica. Da biste utvrdili da li je broj prost, morate utvrditi da li ima proste faktore

Primjer 5 . Neka
Da provjerite da li je broj
jednostavno, potrebno je provjeriti da li je djeljiv prostim brojevima Odgovor: broj
jednostavno.

Generatori prostih brojeva

hipoteza: Svi brojevi obrasca
jednostavno.

At
- ovo su prosti brojevi
Za
Ručno i uz pomoć kompjutera je dokazano da su svi brojevi kompozitni.

Na primjer, (Euler)

hipoteza: Svi brojevi obrasca
jednostavno.

At
to je istina, eh
djeljivo sa 17.

Hipoteza: Svi brojevi obrasca
jednostavno.

At
to je istina, eh

hipoteza: Svi brojevi u obliku su prosti. At
to je istina, eh

Teorema.(Fermatova metoda faktoringa) Neparni cijeli broj nije prost
postoje prirodni brojevi takvi da
Dokaz.

□

Primjer 6 . Faktor brojeva u proste faktore

Primjer 7 . Faktor broj
Ovaj broj je djeljiv sa 3
Nadalje, prema načinu odabira faktora,

Primjer 8 . Na kojim celim brojevima

jednostavno?

Imajte na umu da pošto
jednostavno, onda
ili
odgovor:

Odobreno 10 Ima li prirodan broj neparan broj djelitelja kada je savršen kvadrat?

Dokaz. Ako
djelitelj
tada ima dva različita para djelitelja
I
i kada
oba para će biti jednaka.

Primjer 9 . Brojevi imaju tačno 99 djelitelja. Može li broj imati tačno 100 djelitelja?

Odgovor: ne. Vrijedi prema prethodnom svojstvu i - savršeni kvadrati, ali njihov rad nije.

Primjer 10 . Brojevi
jednostavno. Nađi

Rješenje. Bilo koji broj se može predstaviti kao
Ako
onda dobijete tri prosta broja
zadovoljavanje uslova problema. Ako
To
kompozitni. Ako
taj broj
podijeljena i ako
taj broj
je djeljiv sa Dakle, u svim razmatranim opcijama ne mogu se dobiti tri prosta broja. odgovor:

Definicija. Broj naziva se najveći zajednički djelitelj brojeva i ako se dijeli i i najveći je od takvih brojeva.

Oznaka:

Definicija . Za brojeve i se kaže da su relativno prosti ako

Primjer 1 2 . Riješite jednačinu prirodnim brojevima

Rješenje. Neka

Stoga jednačina izgleda kao Odgovor: Ne postoje rješenja.

Oosnovna teorema aritmetike

Teorema. Svaki prirodni broj veći od je ili prost broj ili se može napisati kao proizvod prostih brojeva, a ovaj proizvod je jedinstven do reda faktora.

Zaključak 1. Neka

Onda
jednak je proizvodu svih zajedničkih prostih faktora sa najmanjim potencijama.

Zaključak 2. Neka
Onda
jednak je proizvodu svih različitih prostih faktora sa najvećim moćima. podijeljena

10. Pronađite zadnju cifru broja 7 2011 + 9 2011.

11. Pronađite sve prirodne brojeve koji se povećavaju za 9 puta ako se između cifre jedinice i cifre desetice ubaci nula.

12. Nekima dvocifreni broj lijevo i desno su dodijeljeni po jedan. Rezultat je bio broj 23 puta veći od originala. Pronađite ovaj broj.

Pitanja o teoriji ili vježbama mogu se postaviti Valery Petrovich Chuvakov

chv @ uriit . ru

dodatnu literaturu

1. Vilenkin N.Ya. i dr. Iza stranica udžbenika matematike. Aritmetika. Algebra. –M.: Obrazovanje, 2008.

2. Sevryukov P.F. Priprema za rješavanje olimpijskih zadataka iz matematike. –M.: Ilexa, 2009.

3. Kanel-Belov A.Ya., Kovaldzhi A.K. Kako odluče nestandardni zadaci. –M. MCNMO, 2009.

4. Agakhanov N.A., Podlipsky O.K. Matematičke olimpijade Moskovske regije. –M.: Fizmatkniga, 2006

5. Gorbačov N.V. Zbirka olimpijskih zadataka, –M.:MCNMO, 2004

Predavanje

Bilješke sa predavanja za predmet „teorija brojeva“

Predavanje

Sljedeći dijelovi teorije brojevi: teorija djeljivost, jednostavno i složeno... Teorema. Neka je x>0, xR, dN. Količina prirodnobrojevi, višekratnik d i ne prelazi x, jednako je... Predavanje 12 13 Predavanje 13 15 Književnost. 17 Abstractpredavanja na kursu "Teorije" brojevi" ...

Bilješke s predavanja iz ulturologije

Abstract

Pavljučenkov Abstractpredavanja u kulturološkim studijama... neujednačeno i postojalo unutar prirodno farme. To je u polisu... istraživanje infinitezimala brojevi su uveliko završili stvaranje... dok je materijal djeljiv do beskonačnosti. duhovni...

D A Shadrin Logic bilješke s predavanja

Abstract

Predstavlja apstraktnopredavanja u disciplini "Logika". Abstractpredavanja sastavljeno u... ovo je definicija prirodnobrojevi. Dakle, ako 1 - prirodno broj i n - prirodno broj, zatim 1 ... iscrpite cijeli volumen djeljiv koncepti, dakle...