Meni
Besplatno
Registracija
Dom  /  Vrste dermatitisa/ Opća shema za rješavanje razlomaka racionalne jednadžbe. Racionalne jednačine – Hipermarket znanja

Opća shema za rješavanje frakcione racionalne jednadžbe. Racionalne jednačine – Hipermarket znanja

Smirnova Anastasia Yurievna

Vrsta lekcije: lekcija učenja novog gradiva.

Oblik organizacije obrazovne aktivnosti : frontalni, individualni.

Svrha lekcije: uvesti novu vrstu jednadžbi - razlomačke racionalne jednadžbe, dati ideju o algoritmu za rješavanje frakcionih racionalnih jednadžbi.

Ciljevi lekcije.

edukativni:

  • formiranje koncepta razlomačke racionalne jednačine;
  • razmotriti algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina, uključujući uslov da je razlomak jednak nuli;
  • podučavati rješavanje frakcionih racionalnih jednačina koristeći algoritam.

razvojno:

  • stvoriti uslove za razvijanje vještina u primjeni stečenog znanja;
  • promovirati razvoj kognitivni interes studenti na predmet;
  • razvijanje sposobnosti učenika da analiziraju, upoređuju i donose zaključke;
  • razvijanje sposobnosti međusobne kontrole i samokontrole, pažnje, pamćenja, usmenog i pismenog govora, samostalnosti.

Obrazovanje:

  • podsticanje kognitivnog interesa za predmet;
  • negovanje samostalnosti u rješavanju obrazovnih problema;
  • negovanje volje i upornosti za postizanje konačnih rezultata.

Oprema: udžbenik, tabla, bojice.

Udžbenik "Algebra 8". Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova, urednik S.A. Telyakovsky. Moskva "Prosvjeta". 2010

On ovu temu predviđeno je pet sati. Ovo je prva lekcija. Glavna stvar je proučiti algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina i prakticirati ovaj algoritam u vježbama.

Tokom nastave

1. Organizacioni momenat.

Zdravo momci! Danas bih želio da započnem našu lekciju katrenom:
Da svima olakšam život,
Šta bi bilo odlučeno, šta bi bilo moguće,
Osmeh, sretno svima,
Da ne bi bilo problema,
Smješkali smo se jedno drugom i stvarali dobro raspoloženje i počeo sa radom.

Na tabli su napisane jednadžbe, pažljivo ih pogledajte. Možete li riješiti sve ove jednačine? Koji nisu i zašto?

Jednačine u kojima su lijeva i desna strana frakcioni racionalni izrazi nazivaju se razlomačnim racionalnim jednadžbama. Šta mislite da ćemo danas učiti na času? Formulirajte temu lekcije. Dakle, otvorite svoje bilježnice i zapišite temu lekcije “Rješavanje razlomaka racionalnih jednačina”.

2. Ažuriranje znanja. Frontalna anketa, usmeni rad sa razredom.

A sada ćemo ponoviti glavni teorijski materijal koji trebamo proučiti nova tema. Odgovorite na sljedeća pitanja:

  1. Šta je jednačina? ( Jednakost sa varijablom ili varijablama.)
  2. Kako se zove jednačina broj 1? ( Linearno.) Rješenje linearne jednačine. (Premjestite sve s nepoznatom na lijevu stranu jednačine, sve brojeve u desnu. Navedite slične termine. Pronađite nepoznati faktor).
  3. Kako se zove jednačina broj 3? ( Square.) Rješenja kvadratne jednačine. (P o formulama)
  4. Šta je proporcija? ( Jednakost dva omjera.) Glavno svojstvo proporcije. ( Ako je proporcija tačna, onda je proizvod njegovih ekstremnih članova jednak proizvodu srednjih članova.)
  5. Koja svojstva se koriste pri rješavanju jednačina? ( 1. Ako pomjerite član u jednačini iz jednog dijela u drugi, mijenjajući njegov predznak, dobićete jednačinu ekvivalentnu datoj. 2. Ako se obje strane jednačine pomnože ili podijele sa istim brojem koji nije nula, dobićete jednačinu koja je ekvivalentna datoj.)
  6. Kada je razlomak jednak nuli? ( Razlomak je jednak nuli kada je brojnik nula, a imenilac nije nula..)

3. Objašnjenje novog materijala.

Rešite jednačinu br. 2 u svojim sveskama i na tabli.

Odgovori: 10.

Koji frakciona racionalna jednačina Možete li pokušati riješiti koristeći osnovno svojstvo proporcije? (br. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Rešite jednačinu br. 4 u svojim sveskama i na tabli.

Odgovori: 1,5.

Koju razlomačku racionalnu jednačinu možete pokušati riješiti množenjem obje strane jednačine sa nazivnikom? (br. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Odgovori: 3;4.

U narednim lekcijama ćemo se baviti rješavanjem jednačina kao što je jednačina br. 7.

Objasnite zašto se to dogodilo? Zašto su u jednom slučaju tri korijena, a u drugom dva? Koji su brojevi korijeni ove racionalne jednadžbe?

Studenti se do sada nisu susreli s konceptom stranog korijena; zaista im je vrlo teško razumjeti zašto se to dogodilo. Ako niko u razredu ne može dati jasno objašnjenje ove situacije, onda nastavnik postavlja sugestivna pitanja.

  • Po čemu se jednačine br. 2 i 4 razlikuju od jednačina br. 5 i 6? ( U jednadžbi br. 2 i 4 nalaze se brojevi u nazivniku, br. 5-6 - izrazi sa promenljivom.)
  • Šta je korijen jednačine? ( Vrijednost varijable pri kojoj jednačina postaje istinita.)
  • Kako saznati da li je broj korijen jednadžbe? ( Provjeri.)

Prilikom testiranja neki učenici primjećuju da moraju podijeliti sa nulom. Oni zaključuju da brojevi 0 i 5 nisu korijeni ove jednadžbe. Postavlja se pitanje: postoji li način rješavanja frakcionih racionalnih jednačina koji nam omogućava da eliminišemo ovu grešku? Da, ova metoda se temelji na uvjetu da je razlomak jednak nuli.

Pokušajmo na ovaj način formulirati algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina. Djeca sama formulišu algoritam.

Algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina:

  1. Pomerite sve na lijevu stranu.
  2. Smanjite razlomke na zajednički nazivnik.
  3. Napravite sistem: razlomak je jednak nuli kada je brojilac jednak nuli, a imenilac nije jednak nuli.
  4. Riješite jednačinu.
  5. Provjerite nejednakost da isključite strane korijene.
  6. Zapišite odgovor.

4. Početno razumijevanje novog gradiva.

Raditi u parovima. Učenici biraju kako će sami riješiti jednačinu ovisno o vrsti jednačine. Zadaci iz udžbenika „Algebra 8“, Yu.N. Makarychev, 2007: br. 600(b,c); br. 601(a,e). Nastavnik prati izvršenje zadatka, odgovara na sva pitanja koja se pojave i pruža pomoć učenicima sa slabim učinkom. Samotestiranje: odgovori su zapisani na tabli.

b) 2 - strani koren. Odgovor: 3.

c) 2 - strani koren. Odgovor: 1.5.

a) Odgovor: -12.5.

5. Postavljanje domaće zadaće.

  1. Pročitajte pasus 25 iz udžbenika, analizirajte primjere 1-3.
  2. Naučite algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina.
  3. Rešiti u sveskama br. 600 (d, d); br. 601(g,h).

6. Sumiranje lekcije.

Dakle, danas smo se u lekciji upoznali sa frakcionim racionalnim jednadžbama, naučili kako riješiti ove jednadžbe Različiti putevi. Bez obzira na to kako rješavate frakcione racionalne jednadžbe, šta trebate imati na umu? U čemu je "lukavost" razlomaka racionalnih jednačina?

Hvala svima, lekcija je gotova.

Već smo naučili kako rješavati kvadratne jednačine. Proširimo proučavane metode na racionalne jednačine.

Šta je racionalni izraz? Već smo se susreli sa ovim konceptom. Racionalni izrazi su izrazi sastavljeni od brojeva, varijabli, njihovih moći i simbola matematičkih operacija.

Prema tome, racionalne jednačine su jednačine oblika: , gdje - racionalni izrazi.

Ranije smo razmatrali samo one racionalne jednadžbe koje se mogu svesti na linearne. Pogledajmo sada one racionalne jednadžbe koje se mogu svesti na kvadratne jednadžbe.

Primjer 1

Riješite jednačinu: .

Rješenje:

Razlomak je jednak 0 ako i samo ako mu je brojilac jednak 0, a nazivnik nije jednak 0.

Dobijamo sledeći sistem:

Prva jednačina sistema je kvadratna jednačina. Prije nego što ga riješimo, podijelimo sve njegove koeficijente sa 3. Dobijamo:

Dobijamo dva korijena: ; .

Pošto 2 nikada nije jednako 0, moraju biti ispunjena dva uslova: . Budući da se nijedan od korijena gore dobivene jednadžbe ne poklapa s nevažećim vrijednostima varijable koje su dobijene rješavanjem druge nejednačine, oba su rješenja ove jednadžbe.

odgovor:.

Dakle, hajde da formulišemo algoritam za rešavanje racionalnih jednačina:

1. Pomaknite sve pojmove na lijevu stranu tako da desna strana završi sa 0.

2. Transformirajte i pojednostavite lijevu stranu, dovedite sve razlomke na zajednički imenilac.

3. Izjednačite rezultujući razlomak sa 0 koristeći sljedeći algoritam: .

4. Zapišite one korijene koji su dobijeni u prvoj jednačini i zadovoljite drugu nejednačinu u odgovoru.

Pogledajmo još jedan primjer.

Primjer 2

Riješite jednačinu: .

Rješenje

Na samom početku sve pojmove pomjerimo na lijevu stranu tako da na desnoj ostane 0. Dobijamo:

Sada dovedimo lijevu stranu jednačine na zajednički nazivnik:

Ova jednačina je ekvivalentna sistemu:

Prva jednačina sistema je kvadratna jednačina.

Koeficijenti ove jednadžbe: . Izračunavamo diskriminanta:

Dobijamo dva korijena: ; .

Sada riješimo drugu nejednakost: proizvod faktora nije jednak 0 ako i samo ako nijedan faktor nije jednak 0.

Moraju biti ispunjena dva uslova: . Nalazimo da je od dva korijena prve jednadžbe samo jedan prikladan - 3.

odgovor:.

U ovoj lekciji smo se prisjetili što je racionalni izraz, a naučili i kako rješavati racionalne jednadžbe koje se svode na kvadratne jednačine.

U sljedećoj lekciji ćemo se osvrnuti na racionalne jednadžbe kao modele realnih situacija, kao i na probleme kretanja.

Bibliografija

  1. Bašmakov M.I. Algebra, 8. razred. - M.: Obrazovanje, 2004.
  2. Dorofejev G.V., Suvorova S.B., Bunimovič E.A. i dr. Algebra, 8. 5. izd. - M.: Obrazovanje, 2010.
  3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, 8. razred. Udžbenik za opšte obrazovne institucije. - M.: Obrazovanje, 2006.
  1. Festival pedagoške ideje "Javni čas" ().
  2. School.xvatit.com ().
  3. Rudocs.exdat.com ().

Zadaća

Hajde da se upoznamo sa racionalnim i frakcionim racionalnim jednadžbama, damo njihovu definiciju, damo primere, a takođe analiziramo najčešće vrste problema.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Racionalna jednadžba: definicija i primjeri

Upoznavanje sa racionalnim izrazima počinje u 8. razredu škole. U ovom trenutku, na časovima algebre, učenici sve češće počinju da se susreću sa zadacima sa jednačinama koje sadrže racionalne izraze u svojim bilješkama. Osvježimo pamćenje o čemu se radi.

Definicija 1

Racionalna jednadžba je jednadžba u kojoj obje strane sadrže racionalne izraze.

U raznim priručnicima možete pronaći drugu formulaciju.

Definicija 2

Racionalna jednadžba- ovo je jednadžba čija lijeva strana sadrži racionalni izraz, a desna nulu.

Definicije koje smo dali za racionalne jednačine su ekvivalentne, jer govore o istoj stvari. Ispravnost naših riječi potvrđuje činjenica da za bilo koje racionalne izraze P I Q jednačine P = Q I P − Q = 0će biti ekvivalentni izrazi.

Pogledajmo sada primjere.

Primjer 1

Racionalne jednadžbe:

x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Racionalne jednadžbe, baš kao i jednačine drugih tipova, mogu sadržavati bilo koji broj varijabli od 1 do nekoliko. Prvo ćemo pogledati jednostavni primjeri, u kojem će jednadžbe sadržavati samo jednu varijablu. A onda ćemo početi postepeno komplicirati zadatak.

Racionalne jednadžbe su podijeljene u dvije velike grupe: cjelobrojne i razlomke. Hajde da vidimo koje će se jednadžbe primijeniti na svaku od grupa.

Definicija 3

Racionalna jednadžba će biti cjelobrojna ako njena lijeva i desna strana sadrže cijele racionalne izraze.

Definicija 4

Racionalna jednačina će biti razlomak ako jedan ili oba njena dijela sadrže razlomak.

Razlomačke racionalne jednadžbe nužno sadrže dijeljenje promjenljivom ili je varijabla prisutna u nazivniku. Ne postoji takva podjela u pisanju cijelih jednačina.

Primjer 2

3 x + 2 = 0 I (x + y) · (3 · x 2 − 1) + x = − y + 0, 5– cijele racionalne jednačine. Ovdje su obje strane jednačine predstavljene cjelobrojnim izrazima.

1 x - 1 = x 3 i x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5 su frakciono racionalne jednadžbe.

Cijele racionalne jednadžbe uključuju linearne i kvadratne jednadžbe.

Rješavanje cijelih jednačina

Rješavanje takvih jednadžbi obično se svodi na njihovo pretvaranje u ekvivalentne algebarske jednačine. To se može postići izvođenjem ekvivalentnih transformacija jednačina u skladu sa sljedećim algoritmom:

  • prvo dobijamo nulu na desnoj strani jednačine, da bismo to uradili, treba da pomerimo izraz koji se nalazi na desnoj strani jednačine na njenu levu stranu i promenimo predznak;
  • zatim transformiramo izraz na lijevoj strani jednadžbe u polinom standardni pogled.

Moramo dobiti algebarsku jednačinu. Ova jednačina će biti ekvivalentna originalnoj jednačini. Jednostavni slučajevi nam omogućavaju da cijelu jednačinu svedemo na linearnu ili kvadratnu kako bismo riješili problem. Općenito, rješavamo algebarsku jednadžbu stepena n.

Primjer 3

Potrebno je pronaći korijene cijele jednačine 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

Rješenje

Transformirajmo originalni izraz da bismo dobili ekvivalentnu algebarsku jednačinu. Da bismo to učinili, prenijet ćemo izraz koji se nalazi na desnoj strani jednadžbe na lijevu stranu i zamijeniti znak suprotnim. Kao rezultat dobijamo: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

Sada transformirajmo izraz koji se nalazi na lijevoj strani u polinom standardnog oblika i proizvedemo neophodne radnje sa ovim polinomom:

3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = (3 x + 3) (x − 3) − 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 − 9 x + 3 x − 9 − 2 x 2 + x + 3 = x 2 − 5 x − 6

Uspjeli smo svesti rješenje izvorne jednadžbe na rješenje kvadratne jednačine oblika x 2 − 5 x − 6 = 0. Diskriminanta ove jednadžbe je pozitivna: D = (− 5) 2 − 4 · 1 · (− 6) = 25 + 24 = 49 . To znači da će postojati dva prava korijena. Pronađimo ih koristeći formulu za korijene kvadratne jednadžbe:

x = - - 5 ± 49 2 1,

x 1 = 5 + 7 2 ili x 2 = 5 - 7 2,

x 1 = 6 ili x 2 = - 1

Provjerimo ispravnost korijena jednačine koju smo pronašli tokom rješavanja. Za to zamjenjujemo brojeve koje smo dobili u originalnu jednadžbu: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3 I 3 · (− 1 + 1) · (− 1 − 3) = (− 1) · (2 ​​· (− 1) − 1) − 3. U prvom slučaju 63 = 63 , u drugom 0 = 0 . Roots x=6 I x = − 1 su zaista korijeni jednadžbe date u primjeru uvjeta.

odgovor: 6 , − 1 .

Pogledajmo šta znači "stepen čitave jednačine". Često ćemo se susresti s ovim terminom u slučajevima kada trebamo predstaviti cijelu jednačinu u algebarskom obliku. Hajde da definišemo koncept.

Definicija 5

Stepen cijele jednačine- ovo je diploma algebarska jednačina, ekvivalentno originalnoj cjelobrojnoj jednadžbi.

Ako pogledate jednačine iz gornjeg primjera, možete ustanoviti: stepen cijele ove jednačine je drugi.

Kada bi se naš kurs ograničio na rješavanje jednačina drugog stepena, onda bi se rasprava o ovoj temi mogla završiti. Ali to nije tako jednostavno. Rješavanje jednadžbi trećeg stepena je puno poteškoća. A za jednačine veće od četvrtog stepena nema opšte formule korijenje. S tim u vezi, rješavanje čitavih jednačina trećeg, četvrtog i drugih stupnjeva zahtijeva od nas korištenje niza drugih tehnika i metoda.

Najčešći pristup rješavanju cijelih racionalnih jednačina zasniva se na metodi faktorizacije. Algoritam akcija u ovom slučaju je sljedeći:

  • pomeramo izraz s desne strane na lijevu tako da nula ostane na desnoj strani zapisa;
  • Izraz na lijevoj strani predstavljamo kao proizvod faktora, a zatim prelazimo na skup nekoliko jednostavnijih jednačina.
Primjer 4

Pronađite rješenje jednačine (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) .

Rješenje

Pomeramo izraz s desne strane zapisa na lijevu sa suprotnim predznakom: (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) − 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) = 0. Pretvaranje lijeve strane u polinom standardnog oblika nije prikladno zbog činjenice da će nam to dati algebarsku jednadžbu četvrtog stepena: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Lakoća konverzije ne opravdava sve poteškoće u rješavanju takve jednadžbe.

Mnogo je lakše ići drugim putem: izvadimo zajednički faktor iz zagrada x 2 − 10 x + 13 . Tako dolazimo do jednačine oblika (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Sada ćemo rezultujuću jednadžbu zamijeniti skupom od dvije kvadratne jednadžbe x 2 − 10 x + 13 = 0 I x 2 − 2 x − 1 = 0 i pronađu njihove korijene kroz diskriminantu: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

odgovor: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

Na isti način možemo koristiti metodu uvođenja nove varijable. Ova metoda nam omogućava da pređemo na ekvivalentne jednačine sa stepenima nižim od stepeni u originalnoj celobrojnoj jednačini.

Primjer 5

Da li jednadžba ima korijen? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Rješenje

Ako sada pokušamo svesti cijelu racionalnu jednačinu na algebarsku, dobićemo jednačinu stepena 4, koja nema racionalni koreni. Stoga će nam biti lakše krenuti drugim putem: uvesti novu varijablu y, koja će zamijeniti izraz u jednadžbi x 2 + 3 x.

Sada ćemo raditi s cijelom jednačinom (y + 1) 2 + 10 = − 2 · (y − 4). Pomaknimo desnu stranu jednadžbe ulijevo sa suprotnim predznakom i izvršimo potrebne transformacije. Dobijamo: y 2 + 4 y + 3 = 0. Nađimo korijene kvadratne jednadžbe: y = − 1 I y = − 3.

Sada napravimo obrnutu zamjenu. Dobijamo dvije jednačine x 2 + 3 x = − 1 I x 2 + 3 · x = − 3 . Zapišimo ih kao x 2 + 3 x + 1 = 0 i x 2 + 3 x + 3 = 0. Koristimo formulu za korijene kvadratne jednadžbe da bismo pronašli korijene prve jednadžbe od dobijenih: - 3 ± 5 2. Diskriminanta druge jednačine je negativna. To znači da druga jednadžba nema pravi korijen.

odgovor:- 3 ± 5 2

Cijele jednačine visoki stepeničesto nailazi na zadatke. Nema potrebe da ih se plašite. Morate biti spremni za korištenje nestandardne metode za njihovo rješavanje, uključujući brojne umjetne transformacije.

Rješavanje razlomaka racionalnih jednačina

Započećemo razmatranje ove podteme sa algoritmom za rešavanje frakciono racionalnih jednačina oblika p (x) q (x) = 0, gde je p(x) I q(x)– cijeli racionalni izrazi. Rješenje drugih frakciono racionalnih jednačina uvijek se može svesti na rješenje jednačina navedenog tipa.

Najčešće korištena metoda za rješavanje jednačina p (x) q (x) = 0 zasniva se na sljedećoj tvrdnji: numerički razlomak u v, Gdje v- ovo je broj koji je različit od nule, jednak nuli samo u onim slučajevima kada je brojnik razlomka jednak nuli. Slijedeći logiku gornje izjave, možemo tvrditi da se rješenje jednačine p (x) q (x) = 0 može svesti na ispunjavanje dva uslova: p(x)=0 I q(x) ≠ 0. Ovo je osnova za konstruisanje algoritma za rešavanje frakcionih racionalnih jednačina oblika p (x) q (x) = 0:

  • pronaći rješenje cijele racionalne jednačine p(x)=0;
  • provjeravamo da li je uvjet zadovoljen za korijene pronađene tokom rješavanja q(x) ≠ 0.

Ako je ovaj uslov ispunjen, onda pronađeni korijen, ako nije, onda korijen nije rješenje problema.

Primjer 6

Nađimo korijene jednačine 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .

Rješenje

Radimo sa razlomkom racionalne jednadžbe oblika p (x) q (x) = 0, u kojoj je p (x) = 3 x − 2, q (x) = 5 x 2 − 2 = 0. Počnimo rješavati linearnu jednačinu 3 x − 2 = 0. Koren ove jednačine će biti x = 2 3.

Provjerimo pronađeni korijen da vidimo da li zadovoljava uvjet 5 x 2 − 2 ≠ 0. Da biste to učinili, zamijenite numeričku vrijednost u izraz. Dobijamo: 5 · 2 3 2 - 2 = 5 · 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0.

Uslov je ispunjen. To znači da x = 2 3 je korijen originalne jednadžbe.

odgovor: 2 3 .

Postoji još jedna opcija za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina p (x) q (x) = 0. Podsjetimo da je ova jednačina ekvivalentna cijeloj jednačini p(x)=0 u regionu prihvatljive vrijednosti varijabla x originalne jednadžbe. Ovo nam omogućava da koristimo sljedeći algoritam u rješavanju jednačina p (x) q (x) = 0:

  • riješi jednačinu p(x)=0;
  • pronađite raspon dozvoljenih vrijednosti varijable x;
  • uzimamo korijene koji leže u rasponu dopuštenih vrijednosti varijable x kao željene korijene originalne frakcione racionalne jednadžbe.
Primjer 7

Riješite jednačinu x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0.

Rješenje

Prvo, riješimo kvadratnu jednačinu x 2 − 2 x − 11 = 0. Za izračunavanje njegovih korijena koristimo formulu korijena za parni drugi koeficijent. Dobijamo D 1 = (− 1) 2 − 1 · (− 11) = 12, i x = 1 ± 2 3 .

Sada možemo pronaći ODZ varijable x za originalnu jednačinu. Ovo su svi brojevi za koje x 2 + 3 x ≠ 0. To je isto kao x (x + 3) ≠ 0, odakle je x ≠ 0, x ≠ − 3.

Sada provjerimo da li su korijeni x = 1 ± 2 3 dobijeni u prvoj fazi rješenja unutar raspona dozvoljenih vrijednosti varijable x. Vidimo ih kako ulaze. To znači da originalna frakciona racionalna jednačina ima dva korijena x = 1 ± 2 3.

odgovor: x = 1 ± 2 3

Druga opisana metoda rješenja jednostavnija je od prve u slučajevima kada se lako pronalazi raspon dozvoljenih vrijednosti varijable x, a korijeni jednadžbe p(x)=0 iracionalno. Na primjer, 7 ± 4 · 26 9. Korijeni mogu biti racionalni, ali s velikim brojnikom ili nazivnikom. Na primjer, 127 1101 I − 31 59 . Ovo štedi vrijeme na provjeri stanja q(x) ≠ 0: Mnogo je lakše isključiti korijene koji nisu prikladni prema ODZ-u.

U slučajevima kada su korijeni jednadžbe p(x)=0 su cijeli brojevi, svrsishodnije je koristiti prvi od opisanih algoritama za rješavanje jednačina oblika p (x) q (x) = 0. Brže pronađite korijene cijele jednačine p(x)=0, a zatim provjerite da li je uvjet za njih zadovoljen q(x) ≠ 0, umjesto pronalaženja ODZ-a, a zatim rješavanja jednadžbe p(x)=0 na ovom ODZ-u. To je zbog činjenice da je u takvim slučajevima obično lakše provjeriti nego pronaći DZ.

Primjer 8

Pronađite korijene jednadžbe (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0.

Rješenje

Počnimo tako što ćemo pogledati cijelu jednačinu (2 x − 1) (x − 6) (x 2 − 5 x + 14) (x + 1) = 0 i pronalaženje njenih korena. Da bismo to učinili, primjenjujemo metodu rješavanja jednačina kroz faktorizaciju. Ispada da je originalna jednadžba ekvivalentna skupu od četiri jednačine 2 x − 1 = 0, x − 6 = 0, x 2 − 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, od kojih su tri linearne i jedan je kvadratan. Pronalaženje korijena: iz prve jednadžbe x = 1 2, od drugog – x=6, iz trećeg – x = 7 , x = − 2 , iz četvrtog – x = − 1.

Provjerimo dobijene korijene. U ovom slučaju nam je teško odrediti ODZ, jer ćemo za to morati riješiti algebarsku jednačinu petog stepena. Lakše će se provjeriti uvjet prema kojem nazivnik razlomka, koji se nalazi na lijevoj strani jednačine, ne bi trebao ići na nulu.

Hajdemo naizmjence zamijeniti korijene za varijablu x u izrazu x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112 i izračunaj njegovu vrijednost:

1 2 5 − 15 1 2 4 + 57 1 2 3 − 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 − 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 302 ;

6 5 − 15 · 6 4 + 57 · 6 3 − 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 · 7 4 + 57 · 7 3 − 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 · (− 2) 4 + 57 · (− 2) 3 − 13 · (− 2) 2 + 26 · (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 · (− 1) 4 + 57 · (− 1) 3 − 13 · (− 1) 2 + 26 · (− 1) + 112 = 0 .

Provedena verifikacija nam omogućava da ustanovimo da su korijeni originalne razlomke racionalne jednadžbe 1 2, 6 i − 2 .

odgovor: 1 2 , 6 , - 2

Primjer 9

Nađite korijene razlomačke racionalne jednadžbe 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0.

Rješenje

Počnimo raditi s jednačinom (5 x 2 − 7 x − 1) (x − 2) = 0. Hajde da pronađemo njegove korene. Lakše nam je zamisliti ovu jednačinu kao skup kvadratnih i linearnih jednadžbi 5 x 2 − 7 x − 1 = 0 I x − 2 = 0.

Koristimo formulu za korijene kvadratne jednadžbe da pronađemo korijene. Iz prve jednačine dobijamo dva korijena x = 7 ± 69 10, a iz druge x = 2.

Biće nam prilično teško da zamenimo vrednost korena u originalnu jednačinu da bismo proverili uslove. Biće lakše odrediti ODZ varijable x. U ovom slučaju, ODZ varijable x su svi brojevi osim onih za koje je uvjet ispunjen x 2 + 5 x − 14 = 0. Dobijamo: x ∈ - ∞, - 7 ∪ - 7, 2 ∪ 2, + ∞.

Sada provjerimo pripadaju li korijeni koje smo pronašli u rasponu dozvoljenih vrijednosti varijable x.

Korijeni x = 7 ± 69 10 pripadaju, dakle, oni su korijeni originalne jednadžbe, i x = 2- ne pripada, dakle, to je strani koren.

odgovor: x = 7 ± 69 10 .

Razmotrimo odvojeno slučajeve kada brojnik razlomke racionalne jednadžbe oblika p (x) q (x) = 0 sadrži broj. U takvim slučajevima, ako brojnik sadrži broj koji nije nula, tada jednačina neće imati korijena. Ako je ovaj broj jednak nuli, tada će korijen jednadžbe biti bilo koji broj iz ODZ-a.

Primjer 10

Riješite frakcionu racionalnu jednačinu - 3, 2 x 3 + 27 = 0.

Rješenje

Ova jednadžba neće imati korijene, jer brojnik razlomka na lijevoj strani jednačine sadrži broj različit od nule. To znači da ni pri jednoj vrijednosti x vrijednost razlomka datog u iskazu problema neće biti jednaka nuli.

odgovor: nema korijena.

Primjer 11

Riješite jednačinu 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Rješenje

Pošto brojnik razlomka sadrži nulu, rješenje jednadžbe će biti bilo koja vrijednost x iz ODZ-a varijable x.

Sada definirajmo ODZ. Uključuje sve vrijednosti x za koje x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Rješenja jednadžbe x 4 + 5 x 3 = 0 su 0 I − 5 , budući da je ova jednačina ekvivalentna jednačini x 3 (x + 5) = 0, a ovo je zauzvrat ekvivalentno kombinaciji dviju jednadžbi x 3 = 0 i x + 5 = 0, gdje su ovi korijeni vidljivi. Dolazimo do zaključka da je željeni raspon prihvatljivih vrijednosti bilo koji x osim x = 0 I x = − 5.

Ispostavilo se da frakciona racionalna jednadžba 0 x 4 + 5 x 3 = 0 ima beskonačan broj rješenja, a to su bilo koji brojevi osim nule i - 5.

odgovor: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Sada razgovarajmo o frakcionim racionalnim jednadžbama proizvoljnog oblika i metodama za njihovo rješavanje. Mogu se napisati kao r(x) = s(x), Gdje r(x) I s(x)– racionalni izrazi, a barem jedan od njih je razlomak. Rješavanje takvih jednadžbi svodi se na rješavanje jednadžbi oblika p (x) q (x) = 0.

Već znamo da možemo dobiti ekvivalentnu jednačinu prenošenjem izraza s desne strane jednačine na lijevu sa suprotnim predznakom. To znači da je jednačina r(x) = s(x) je ekvivalentan jednačini r (x) − s (x) = 0. Također smo već raspravljali o načinima pretvaranja racionalnog izraza u racionalni razlomak. Zahvaljujući tome, možemo lako transformisati jednačinu r (x) − s (x) = 0 u identičan racionalni razlomak oblika p (x) q (x) .

Dakle, prelazimo sa originalne racionalne jednadžbe r(x) = s(x) na jednadžbu oblika p (x) q (x) = 0, koju smo već naučili riješiti.

Treba uzeti u obzir da prilikom prelaska sa r (x) − s (x) = 0 na p(x)q(x) = 0, a zatim na p(x)=0 možda nećemo uzeti u obzir proširenje raspona dozvoljenih vrijednosti varijable x.

Sasvim je moguće da je originalna jednadžba r(x) = s(x) i jednačina p(x)=0 kao rezultat transformacija oni će prestati da budu ekvivalentni. Zatim rješenje jednadžbe p(x)=0 može nam dati korijene koji će biti strani r(x) = s(x). S tim u vezi, u svakom slučaju potrebno je izvršiti verifikaciju koristeći bilo koju od gore opisanih metoda.

Da bismo vam olakšali proučavanje teme, saželi smo sve informacije u algoritam za rješavanje razlomačke racionalne jednadžbe oblika r(x) = s(x):

  • prenosimo izraz sa desne strane sa suprotnim predznakom i dobijamo nulu na desnoj strani;
  • transformirati originalni izraz u racionalni razlomak p (x) q (x) , sekvencijalno izvodeći operacije sa razlomcima i polinomima;
  • riješi jednačinu p(x)=0;
  • Strane korijene identificiramo provjeravanjem njihove pripadnosti ODZ-u ili zamjenom u originalnu jednadžbu.

Vizualno će lanac akcija izgledati ovako:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → eliminacija VANJSKI KORIJENI

Primjer 12

Riješite frakcionu racionalnu jednačinu x x + 1 = 1 x + 1 .

Rješenje

Pređimo na jednačinu x x + 1 - 1 x + 1 = 0. Transformirajmo frakcioni racionalni izraz na lijevoj strani jednadžbe u oblik p (x) q (x) .

Da bismo to učinili, morat ćemo svesti racionalne razlomke na zajednički nazivnik i pojednostaviti izraz:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = - 2 · x - 1 x · (x + 1)

Da bismo pronašli korijene jednadžbe - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, moramo riješiti jednačinu − 2 x − 1 = 0. Dobijamo jedan korijen x = - 1 2.

Sve što treba da uradimo je da proverimo bilo kojom od metoda. Pogledajmo oboje.

Zamijenimo rezultirajuću vrijednost u originalnu jednačinu. Dobijamo - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1. Došli smo do tačne brojčane jednakosti − 1 = − 1 . To znači da x = − 1 2 je korijen originalne jednadžbe.

Sada da provjerimo kroz ODZ. Odredimo raspon dozvoljenih vrijednosti varijable x. Ovo će biti cijeli skup brojeva, s izuzetkom − 1 i 0 (pri x = − 1 i x = 0, nazivnici razlomaka nestaju). Korijen koji smo dobili x = − 1 2 pripada ODZ-u. To znači da je to korijen originalne jednadžbe.

odgovor: − 1 2 .

Primjer 13

Pronađite korijene jednačine x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 · x.

Rješenje

Radimo sa razlomkom racionalne jednadžbe. Stoga ćemo djelovati prema algoritmu.

Pomerimo izraz s desne strane na lijevu sa suprotnim predznakom: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Izvršimo potrebne transformacije: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x.

Dolazimo do jednačine x = 0. Koren ove jednačine je nula.

Provjerimo da li je ovaj korijen izvan originalne jednadžbe. Zamijenimo vrijednost u originalnu jednačinu: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 · 0. Kao što vidite, rezultirajuća jednačina nema smisla. To znači da je 0 vanjski korijen, a originalna frakciona racionalna jednadžba nema korijena.

odgovor: nema korijena.

Ako u algoritam nismo uključili druge ekvivalentne transformacije, to ne znači da se one ne mogu koristiti. Algoritam je univerzalan, ali je dizajniran da pomaže, a ne ograničava.

Primjer 14

Riješite jednačinu 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Rješenje

Najlakši način je da se zadatu frakcionu racionalnu jednačinu reši prema algoritmu. Ali postoji i drugi način. Hajde da to razmotrimo.

Oduzmite 7 sa desne i lijeve strane, dobivamo: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24.

Iz ovoga možemo zaključiti da izraz u nazivniku na lijevoj strani mora biti jednak recipročnom broju na desnoj strani, odnosno 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7.

Oduzmi 3 sa obe strane: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7. Po analogiji, 2 + 1 5 - x 2 = 7 3, odakle je 1 5 - x 2 = 1 3, a zatim 5 - x 2 = 3, x 2 = 2, x = ± 2

Izvršimo provjeru da utvrdimo da li su pronađeni korijeni korijeni izvorne jednadžbe.

odgovor: x = ± 2

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Cjelobrojni izraz je matematički izraz sastavljen od brojeva i literalnih varijabli koristeći operacije sabiranja, oduzimanja i množenja. Cijeli brojevi također uključuju izraze koji uključuju dijeljenje bilo kojim brojem osim nule.

Koncept frakcionog racionalnog izraza

Frakcijski izraz je matematički izraz koji pored operacija sabiranja, oduzimanja i množenja koje se izvode s brojevima i slovnim varijablama, kao i dijeljenja brojem koji nije jednak nuli, sadrži i podjelu na izraze sa slovnim varijablama.

Racionalni izrazi su svi izrazi u celini i razlomci. Racionalne jednačine su jednačine u kojima su lijeva i desna strana racionalni izrazi. Ako su u racionalnoj jednadžbi lijeva i desna strana cjelobrojni izrazi, onda se takva racionalna jednačina naziva cijeli broj.

Ako su u racionalnoj jednadžbi lijeva ili desna strana frakcijski izrazi, onda se takva racionalna jednačina naziva razlomkom.

Primjeri frakcionih racionalnih izraza

1. x-3/x = -6*x+19

2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)

3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))

Šema za rješavanje frakcijske racionalne jednadžbe

1. Naći zajednički imenilac svih razlomaka koji su uključeni u jednačinu.

2. Pomnožite obje strane jednačine zajedničkim nazivnikom.

3. Riješi rezultirajuću cijelu jednačinu.

4. Provjerite korijene i isključite one koji čine da zajednički imenilac nestane.

Budući da rješavamo razlomke racionalne jednadžbe, postojat će varijable u nazivnicima razlomaka. To znači da će oni biti zajednički imenitelj. A u drugoj tački algoritma množimo sa zajedničkim nazivnikom, tada se mogu pojaviti strani korijeni. Pri čemu će zajednički imenitelj biti jednak nuli, što znači da će množenje s njim biti besmisleno. Stoga je na kraju potrebno provjeriti dobivene korijene.

Pogledajmo primjer:

Riješite frakcionu racionalnu jednačinu: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

Držaćemo se toga opšta šema: Hajde da prvo pronađemo zajednički imenilac svih razlomaka. Dobijamo x*(x-5).

Pomnožite svaki razlomak zajedničkim nazivnikom i napišite rezultirajuću cijelu jednačinu.

(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

Pojednostavimo rezultirajuću jednačinu. Dobijamo:

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;

Dobijamo jednostavnu redukovanu kvadratnu jednačinu. Rješavamo ga bilo kojom od poznatih metoda, dobijamo korijene x=-2 i x=5.

Sada provjeravamo dobijena rješenja:

Zamijenite brojeve -2 i 5 u zajednički imenilac. Kod x=-2, zajednički imenilac x*(x-5) ne nestaje, -2*(-2-5)=14. To znači da će broj -2 biti korijen originalne frakcione racionalne jednadžbe.

Kada je x=5, zajednički imenilac x*(x-5) postaje jednaka nuli. Prema tome, ovaj broj nije korijen originalne frakcione racionalne jednadžbe, budući da će postojati podjela sa nulom.

Ciljevi lekcije:

edukativni:

  • formiranje koncepta frakcionih racionalnih jednačina;
  • razmotriti različite načine rješavanja frakcionih racionalnih jednačina;
  • razmotriti algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina, uključujući uslov da je razlomak jednak nuli;
  • podučavati rješavanje frakcionih racionalnih jednačina korištenjem algoritma;
  • provjeravanje nivoa savladanosti teme izvođenjem testa.

razvojno:

  • razvijanje sposobnosti pravilnog operisanja stečenim znanjem i logičkog mišljenja;
  • razvoj intelektualnih vještina i mentalne operacije- analiza, sinteza, poređenje i sinteza;
  • razvoj inicijative, sposobnost donošenja odluka, a ne zaustavljanje na tome;
  • razvoj kritičkog mišljenja;
  • razvoj istraživačkih vještina.

Obrazovanje:

  • podsticanje kognitivnog interesa za predmet;
  • negovanje samostalnosti u rješavanju obrazovnih problema;
  • negovanje volje i upornosti za postizanje konačnih rezultata.

Vrsta lekcije: lekcija - objašnjenje novog gradiva.

Tokom nastave

1. Organizacioni momenat.

Zdravo momci! Na tabli su napisane jednadžbe, pažljivo ih pogledajte. Možete li riješiti sve ove jednačine? Koji nisu i zašto?

Jednačine u kojima su lijeva i desna strana frakcioni racionalni izrazi nazivaju se razlomačnim racionalnim jednadžbama. Šta mislite da ćemo danas učiti na času? Formulirajte temu lekcije. Dakle, otvorite svoje bilježnice i zapišite temu lekcije “Rješavanje razlomaka racionalnih jednačina”.

2. Ažuriranje znanja. Frontalna anketa, usmeni rad sa razredom.

A sada ćemo ponoviti glavni teorijski materijal koji će nam trebati za proučavanje nove teme. Odgovorite na sljedeća pitanja:

  1. Šta je jednačina? ( Jednakost sa varijablom ili varijablama.)
  2. Kako se zove jednačina broj 1? ( Linearno.) Metoda za rješavanje linearnih jednačina. ( Premjestite sve s nepoznatom na lijevu stranu jednačine, sve brojeve u desnu. Navedite slične termine. Pronađite nepoznati faktor).
  3. Kako se zove jednačina broj 3? ( Square.) Metode rješavanja kvadratnih jednačina. ( Odabir pun kvadrat, formulama, koristeći Vietin teorem i njegove posljedice.)
  4. Šta je proporcija? ( Jednakost dva omjera.) Glavno svojstvo proporcije. ( Ako je proporcija tačna, onda je proizvod njegovih ekstremnih članova jednak proizvodu srednjih članova.)
  5. Koja svojstva se koriste pri rješavanju jednačina? ( 1. Ako pomjerite član u jednačini iz jednog dijela u drugi, mijenjajući njegov predznak, dobićete jednačinu ekvivalentnu datoj. 2. Ako se obje strane jednačine pomnože ili podijele sa istim brojem koji nije nula, dobićete jednačinu koja je ekvivalentna datoj.)
  6. Kada je razlomak jednak nuli? ( Razlomak je jednak nuli kada je brojnik nula, a imenilac nije nula..)

3. Objašnjenje novog materijala.

Rešite jednačinu br. 2 u svojim sveskama i na tabli.

Odgovori: 10.

Koju razlomku racionalnu jednačinu možete pokušati riješiti koristeći osnovno svojstvo proporcije? (br. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Rešite jednačinu br. 4 u svojim sveskama i na tabli.

Odgovori: 1,5.

Koju razlomačku racionalnu jednačinu možete pokušati riješiti množenjem obje strane jednačine sa nazivnikom? (br. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Odgovori: 3;4.

Sada pokušajte riješiti jednačinu broj 7 koristeći jednu od sljedećih metoda.

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)

(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0

x 2 -2x-5=x+5

x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0

x 2 -2x-5-x-5=0

x(x-5)(x 2 -3x-10)=0

x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0

x 1 =0 x 2 =5 D=49

x 3 =5 x 4 =-2

x 3 =5 x 4 =-2

Odgovori: 0;5;-2.

Odgovori: 5;-2.

Objasnite zašto se to dogodilo? Zašto su u jednom slučaju tri korijena, a u drugom dva? Koji su brojevi korijeni ove racionalne jednadžbe?

Studenti se do sada nisu susreli s konceptom stranog korijena; zaista im je vrlo teško razumjeti zašto se to dogodilo. Ako niko u razredu ne može dati jasno objašnjenje ove situacije, onda nastavnik postavlja sugestivna pitanja.

  • Po čemu se jednačine br. 2 i 4 razlikuju od jednačina br. 5,6,7? ( U jednačinama br. 2 i 4 nalaze se brojevi u nazivniku, br. 5-7 su izrazi sa promjenljivom.)
  • Šta je korijen jednačine? ( Vrijednost varijable pri kojoj jednačina postaje istinita.)
  • Kako saznati da li je broj korijen jednadžbe? ( Provjeri.)

Prilikom testiranja neki učenici primjećuju da moraju podijeliti sa nulom. Oni zaključuju da brojevi 0 i 5 nisu korijeni ove jednadžbe. Postavlja se pitanje: postoji li način rješavanja frakcionih racionalnih jednačina koji nam omogućava da eliminišemo ovu grešku? Da, ova metoda se temelji na uvjetu da je razlomak jednak nuli.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 =-2.

Ako je x=5, onda je x(x-5)=0, što znači da je 5 vanjski korijen.

Ako je x=-2, onda je x(x-5)≠0.

Odgovori: -2.

Pokušajmo na ovaj način formulirati algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina. Djeca sama formulišu algoritam.

Algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina:

  1. Pomerite sve na lijevu stranu.
  2. Smanjite razlomke na zajednički nazivnik.
  3. Napravite sistem: razlomak je jednak nuli kada je brojilac jednak nuli, a imenilac nije jednak nuli.
  4. Riješite jednačinu.
  5. Provjerite nejednakost da isključite strane korijene.
  6. Zapišite odgovor.

Diskusija: kako formalizirati rješenje ako koristite osnovno svojstvo proporcije i množite obje strane jednačine zajedničkim nazivnikom. (Dodajte rješenju: isključite iz njegovih korijena one koji čine da zajednički imenilac nestane).

4. Početno razumijevanje novog gradiva.

Raditi u parovima. Učenici biraju kako će sami riješiti jednačinu ovisno o vrsti jednačine. Zadaci iz udžbenika „Algebra 8“, Yu.N. Makarychev, 2007: br. 600(b,c,i); br. 601(a,e,g). Nastavnik prati izvršenje zadatka, odgovara na sva pitanja koja se pojave i pruža pomoć učenicima sa slabim učinkom. Samotestiranje: odgovori su zapisani na tabli.

b) 2 – strani koren. Odgovor: 3.

c) 2 – strani koren. Odgovor: 1.5.

a) Odgovor: -12.5.

g) Odgovor: 1;1.5.

5. Postavljanje domaće zadaće.

  1. Pročitajte pasus 25 iz udžbenika, analizirajte primjere 1-3.
  2. Naučite algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina.
  3. Rešiti u sveskama br. 600 (a, d, e); br. 601(g,h).
  4. Pokušajte riješiti broj 696(a) (opcionalno).

6. Izvršavanje kontrolnog zadatka na proučavanu temu.

Rad se obavlja na komadima papira.

Primjer zadatka:

A) Koje od jednačina su razlomno racionalne?

B) Razlomak je jednak nuli kada je brojilac ______________________, a imenilac _______________________.

P) Da li je broj -3 korijen jednačine broj 6?

D) Riješi jednačinu br. 7.

Kriterijumi ocjenjivanja za zadatak:

  • “5” se daje ako je učenik tačno uradio više od 90% zadatka.
  • "4" - 75%-89%
  • "3" - 50%-74%
  • “2” se daje učeniku koji je uradio manje od 50% zadatka.
  • Ocjena 2 se ne daje u časopisu, 3 je opciono.

7. Refleksija.

Na samostalne radne listove napišite:

  • 1 – ako vam je lekcija bila zanimljiva i razumljiva;
  • 2 – zanimljivo, ali nejasno;
  • 3 – nije zanimljivo, ali razumljivo;
  • 4 – nije zanimljivo, nije jasno.

8. Sumiranje lekcije.

Dakle, danas smo se na lekciji upoznali sa frakcionim racionalnim jednadžbama, naučili rješavati ove jednadžbe na razne načine, provjerili svoje znanje uz pomoć treninga samostalan rad. Rezultate svog samostalnog rada naučićete na sledećoj lekciji, a kod kuće ćete imati priliku da učvrstite svoje znanje.

Koja je metoda rješavanja frakcionih racionalnih jednačina, po vašem mišljenju, lakša, pristupačnija i racionalnija? Bez obzira na metodu rješavanja frakcionih racionalnih jednačina, čega treba da se setite? U čemu je "lukavost" razlomaka racionalnih jednačina?

Hvala svima, lekcija je gotova.