Ugao između tangenti je jednak. Tangenta na kružnicu. Izračunavanje uglova

Tangenta na kružnicu. Dragi prijatelji! Osnova zadataka za Jedinstveni državni ispit iz matematike uključuje grupu zadataka gdje se uvjet bavi tangentom i postavlja pitanje izračunavanja ugla. Ovi zadaci su izuzetno jednostavni. malo teorije:

Šta je tangenta na kružnicu?

Važno je zapamtiti jedno osnovno svojstvo tangente:

U prikazanim problemima koriste se još dva svojstva vezana za uglove:

1. Zbir uglova četvorougla je 360 ​​0, detaljnije.

2. Iznos oštri uglovi pravouglog trougla je 90 0.

Razmotrimo zadatke:

27879. Kroz krajeve A I B povučeni su lukovi kružnice na 62 0 tangente A.C. I B.C.. Pronađite ugao ACB. Odgovor dajte u stepenima.

Kaže se da stepen stepena luka AB odgovara 62 stepena, odnosno da je ugao AOB jednak 62 0 .

Prvi način.

Poznato je da je zbir uglova u četvorouglu 360 0.

Drugi način.

U trouglu ABC možemo naći uglove ABC i BAC. Koristimo svojstvo tangente.

Pošto je BC tangenta, ugao OBC je jednak 90 0, što znači:

Isto tako

IN jednakokraki trougao AOB:

Sredstva

Prema teoremi o zbiru uglova trougla:

Odgovor: 118 0

27880. Tangente C.A. I C.B. formiraju ugao u odnosu na krug ACB, jednako 122 0. Nađite veličinu malog luka AB, kontrahirano tačkama dodira. Odgovor dajte u stepenima.

Zadatak je suprotan od prethodnog. Potrebno je pronaći ugao AOB.

Pošto su BC i AC tangente, onda po svojstvu tangente:

Poznato je da je zbir uglova u četvorouglu 360 0 .

U četvorouglu OASV poznajemo tri ugla, možemo pronaći četvrti:

Odgovor: 58

27882. Ugao ACO je jednako 28 0, gdje je O- centar kruga. Njegova strana C.A. dodiruje krug. Nađite veličinu malog luka AB krug koji se nalazi unutar ovog ugla. Odgovor dajte u stepenima.

Vrijednost stepena luka odgovara kutu AOS. Odnosno, problem se svodi na pronalaženje ugla AOC u pravouglom trouglu OCA. Trougao je pravougaonog oblika jer je AC tangenta, a ugao između tangente i poluprečnika povučenog do tačke tangente je 90 stepeni.

Prema svojstvu pravouglog trougla, zbir njegovih oštrih uglova jednak je 90 0, što znači:

Odgovor: 62

27883. Pronađite ugao ACO, ako je njegova strana C.A. dodiruje krug O- centar kruga i glavni luk AD krug unutar ovog kuta jednak je 116 0. Odgovor dajte u stepenima.

Kaže se da je luk AD krug zatvoren unutar kuta ASO jednak je 116 0, odnosno ugao DOA jednak je 116 0. Trougao OCA je pravougaonog oblika.

Uglovi AOC i DOA su susjedni, odnosno njihov zbir je jednak 180 0, što znači:

Potreban ugao je:

Odgovor: 26

\[(\Large(\text(Centralni i upisani uglovi)))\]

Definicije

Centralni ugao je ugao čiji vrh leži u centru kružnice.

Upisani ugao je ugao čiji vrh leži na kružnici.

Mera stepena luka kružnice je stepenasta mera centralnog ugla koji ga savija.

Teorema

Mera stepena upisanog ugla jednaka je polovini stepena mere luka na koji se oslanja.

Dokaz

Dokaz ćemo provesti u dvije faze: prvo ćemo dokazati valjanost tvrdnje za slučaj kada jedna od stranica upisanog ugla sadrži prečnik. Neka je tačka \(B\) vrh upisanog ugla \(ABC\), a \(BC\) prečnik kružnice:

Trokut \(AOB\) je jednakokračan, \(AO = OB\) , \(\ugao AOC\) je vanjski, tada \(\ugao AOC = \ugao OAB + \ugao ABO = 2\ugao ABC\), gdje \(\ugao ABC = 0,5\cdot\ugao AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).

Sada razmotrite proizvoljan upisani ugao \(ABC\) . Nacrtajmo prečnik kružnice \(BD\) iz vrha upisanog ugla. Postoje dva moguća slučaja:

1) prečnik siječe ugao na dva ugla \(\ugao ABD, \ugao CBD\) (za svaki od kojih je teorema tačna kao što je gore dokazano, stoga vrijedi i za originalni ugao, koji je zbir ovih dva i prema tome jednaka je polovini zbira lukova na koje počivaju, odnosno jednaka je polovini luka na koju počivaju). Rice. 1.

2) prečnik nije presekao ugao na dva ugla, onda imamo još dva nova upisana ugla \(\ugao ABD, \ugao CBD\), čija stranica sadrži prečnik, dakle, za njih je tačna teorema, onda je važi i za originalni ugao (koji je jednak razlici ova dva ugla, što znači da je jednak polurazlici lukova na kojima počivaju, odnosno jednak polovini luka na koji počiva) . Rice. 2.

Posljedice

1. Upisani uglovi koji savijaju isti luk su jednaki.

2. Upisani ugao sastavljen polukrugom je pravi ugao.

3. Upisani ugao jednak je polovini središnjeg ugla savijenog istim lukom.

\[(\Large(\text(Tangenta na kružnicu)))\]

Definicije

Postoje tri vrste relativnu poziciju prava linija i krug:

1) prava linija \(a\) seče kružnicu u dvije tačke. Takva prava se naziva sekantna linija. U ovom slučaju, udaljenost \(d\) od centra kružnice do prave linije je manja od polumjera \(R\) kružnice (slika 3).

2) prava \(b\) seče kružnicu u jednoj tački. Takva prava se naziva tangenta, a njihova zajednička tačka \(B\) naziva se tačka tangente. U ovom slučaju \(d=R\) (slika 4).

Teorema

1. Tangenta na kružnicu je okomita na poluprečnik povučen do tačke dodira.

2. Ako prava prolazi kroz kraj poluprečnika kružnice i okomita je na ovaj poluprečnik, onda je tangenta na kružnicu.

Posljedica

Tangentni segmenti povučeni iz jedne tačke u kružnicu su jednaki.

Dokaz

Nacrtajmo dvije tangente \(KA\) i \(KB\) na kružnicu iz tačke \(K\):

To znači da su \(OA\perp KA, OB\perp KB\) kao poluprečnici. Pravi trouglovi\(\trougao KAO\) i \(\trougao KBO\) su jednaki po kraku i hipotenuzi, dakle, \(KA=KB\) .

Posljedica

Središte kružnice \(O\) leži na simetrali ugla \(AKB\) formiranog od dvije tangente povučene iz iste tačke \(K\) .

\[(\Large(\text(Teoreme vezane za uglove)))\]

Teorema o uglu između sekanti

Ugao između dve sekute povučene iz iste tačke jednak je polurazlici u stepenu većeg i manjeg luka koje seku.

Dokaz

Neka je \(M\) tačka iz koje se povlače dvije sekante kao što je prikazano na slici:

Pokažimo to \(\ugao DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).

\(\ugao DAB\) je vanjski ugao trougla \(MAD\), dakle \(\ugao DAB = \ugao DMB + \ugao MDA\), gdje \(\ugao DMB = \ugao DAB - \ugao MDA\), ali su uglovi \(\ugao DAB\) i \(\ugao MDA\) upisani, tada \(\ugao DMB = \ugao DAB - \ugao MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), što je trebalo dokazati.

Teorema o kutu između tetiva koje se sijeku

Ugao između dvije tetive koje se ukrštaju jednak je polovini zbroja stepeni stepena lukova koje seku: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\desno)\]

Dokaz

\(\ugao BMA = \ugao CMD\) kao okomito.

Iz trougla \(AMD\): \(\ugao AMD = 180^\circ - \ugao BDA - \ugao CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).

Ali \(\ugao AMD = 180^\circ - \ugao CMD\), iz čega zaključujemo da \[\ugao CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ osmijeh\preko (CD)).\]

Teorema o uglu između tetive i tangente

Ugao između tangente i tetive koja prolazi kroz tačku tangente jednak je polovini stepena mjere luka koji je savijen tetivom.

Dokaz

Neka prava linija \(a\) dodiruje kružnicu u tački \(A\), \(AB\) je tetiva ove kružnice, \(O\) je njeno središte. Neka prava koja sadrži \(OB\) siječe \(a\) u tački \(M\) . Dokažimo to \(\ugao BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).

Označimo \(\ugao OAB = \alpha\) . Budući da su \(OA\) i \(OB\) polumjeri, tada \(OA = OB\) i \(\ugao OBA = \ugao OAB = \alfa\). dakle, \(\buildrel\smile\over(AB) = \ugao AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).

Pošto je \(OA\) poluprečnik povučen do tačke tangente, onda \(OA\perp a\), odnosno \(\ugao OAM = 90^\circ\), dakle, \(\ugao BAM = 90^\circ - \ugao OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).

Teorema o lukovima savijenim jednakim tetivama

Jednake tetive savijaju jednake lukove manje od polukrugova.

I obrnuto: jednaki lukovi su sastavljeni jednakim akordima.

Dokaz

1) Neka \(AB=CD\) . Dokažimo da su manji polukrugovi luka .

Na tri strane, dakle, \(\ugao AOB=\ugao COD\) . Ali zato \(\ugao AOB, \ugao COD\) - centralni uglovi, oslanjajući se na lukove \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\) shodno tome, onda \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).

2) Ako \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), To \(\trokut AOB=\trokut COD\) na dvije strane \(AO=BO=CO=DO\) i ugao između njih \(\ugao AOB=\ugao COD\) . Stoga, i \(AB=CD\) .

Teorema

Ako polumjer prepolovi tetivu, onda je ona okomita na nju.

Obratno je također istinito: ako je polumjer okomit na tetivu, tada je u tački presjeka prepolovi.

Dokaz

1) Neka \(AN=NB\) . Dokažimo da je \(OQ\perp AB\) .

Uzmimo u obzir \(\trougao AOB\) : jednakokrak je, jer \(OA=OB\) – radijusi kružnice. Jer \(ON\) je medijan povučen do baze, onda je to i visina, dakle, \(ON\perp AB\) .

2) Neka \(OQ\perp AB\) . Dokažimo da je \(AN=NB\) .

Slično, \(\trougao AOB\) je jednakokračan, \(ON\) je visina, dakle, \(ON\) je medijan. Prema tome, \(AN=NB\) .

\[(\Large(\text(Teoreme vezane za dužine segmenata)))\]

Teorema o proizvodu segmenata tetiva

Ako se dvije tetive kružnice sijeku, onda je proizvod segmenata jedne tetive jednak proizvodu segmenata druge tetive.

Dokaz

Neka se tetive \(AB\) i \(CD\) sijeku u tački \(E\) .

Razmotrimo trouglove \(ADE\) i \(CBE\) . U ovim trouglovima su uglovi \(1\) i \(2\) jednaki, jer su upisani i počivaju na istom luku \(BD\), a uglovi \(3\) i \(4\) su jednaki kao vertikalno. Trokuti \(ADE\) i \(CBE\) su slični (na osnovu prvog kriterijuma sličnosti trouglova).

Onda \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), od čega \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .

Teorema tangente i sekanse

Kvadrat tangentnog segmenta jednak je proizvodu sekante i njenog vanjskog dijela.

Dokaz

Neka tangenta prolazi kroz tačku \(M\) i dodirne kružnicu u tački \(A\) . Neka sekansa prolazi kroz tačku \(M\) i siječe kružnicu u tačkama \(B\) i \(C\) tako da \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .

Razmotrimo trouglove \(MBA\) i \(MCA\) : \(\ugao M\) je uobičajen, \(\ugao BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). Prema teoremi o uglu između tangente i sekanse, \(\ugao BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \ugao BCA\). Dakle, trouglovi \(MBA\) i \(MCA\) su slični pod dva ugla.

Iz sličnosti trokuta \(MBA\) i \(MCA\) imamo: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), što je ekvivalentno \(MB\cdot MC = MA^2\) .

Posljedica

Umnožak sekante povučene iz tačke \(O\) njenim vanjskim dijelom ne ovisi o izboru sekante povučene iz točke \(O\) .

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, pravnim postupkom, odnosno na osnovu javnog zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.