Formula za zbir aritmetičke progresije. III. Rješavanje problema. Zbir aritmetičke progresije

Aritmetika i geometrijska progresija

Teorijske informacije

Teorijske informacije

	Aritmetička progresija	Geometrijska progresija
Definicija	Aritmetička progresija a n je niz u kojem je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom članu dodanom istom broju d (d- razlika u napredovanju)	Geometrijska progresija b n je niz brojeva koji nisu nula, čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom članu pomnoženom istim brojem q (q- imenilac progresije)
Formula recidiva	Za bilo koji prirodni n a n + 1 = a n + d	Za bilo koji prirodni n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Formula n-ti član	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Karakteristično svojstvo
Zbir prvih n članova

Primjeri zadataka s komentarima

Vježba 1

IN aritmetička progresija (a n) a 1 = -6, a 2

Prema formuli n-tog člana:

a 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 d

Po uslovu:

a 1= -6, dakle a 22= -6 + 21 d .

Potrebno je pronaći razliku progresija:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Odgovor : a 22 = -48.

Zadatak 2

Naći peti član geometrijske progresije: -3; 6;....

1. metoda (koristeći n-term formulu)

Prema formuli za n-ti član geometrijske progresije:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Jer b 1 = -3,

2. metoda (koristeći rekurentnu formulu)

Pošto je imenilac progresije -2 (q = -2), onda:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Odgovor : b 5 = -48.

Zadatak 3

U aritmetičkoj progresiji ( a n) a 74 = 34; a 76= 156. Pronađite sedamdeset peti član ove progresije.

Za aritmetičku progresiju, karakteristično svojstvo ima oblik .

dakle:

.

Zamijenimo podatke u formulu:

Odgovor: 95.

Zadatak 4

U aritmetičkoj progresiji ( a n ) a n= 3n - 4. Naći zbir prvih sedamnaest članova.

Da bi se pronašao zbir prvih n članova aritmetičke progresije, koriste se dvije formule:

.

Koji od njih je pogodniji za korištenje u ovom slučaju?

Po uslovu je poznata formula za n-ti član originalne progresije ( a n) a n= 3n - 4. Možete odmah pronaći i a 1, And a 16 bez pronalaženja d. Stoga ćemo koristiti prvu formulu.

Odgovor: 368.

Zadatak 5

U aritmetičkoj progresiji ( a n) a 1 = -6; a 2= -8. Pronađite dvadeset drugi član progresije.

Prema formuli n-tog člana:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21d.

Po uslovu, ako a 1= -6, dakle a 22= -6 + 21d . Potrebno je pronaći razliku progresija:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Odgovor : a 22 = -48.

Zadatak 6

Napisano je nekoliko uzastopnih članova geometrijske progresije:

Pronađite termin progresije označen sa x.

Prilikom rješavanja koristit ćemo formulu za n-ti član b n = b 1 ∙ q n - 1 za geometrijske progresije. Prvi termin progresije. Da biste pronašli nazivnik progresije q, potrebno je da uzmete bilo koji od datih članova progresije i podijelite s prethodnim. U našem primjeru možemo uzeti i podijeliti po. Dobijamo da je q = 3. Umjesto n, u formulu zamjenjujemo 3, jer je potrebno pronaći treći član date geometrijske progresije.

Zamjenom pronađenih vrijednosti u formulu dobijamo:

.

Odgovor: .

Zadatak 7

Od aritmetičkih progresija datih formulom n-tog člana, izaberite onu za koju je uslov zadovoljen a 27 > 9:

Pošto dati uslov mora biti zadovoljen za 27. član progresije, u svakoj od četiri progresije zamjenjujemo 27 umjesto n. U 4. progresiji dobijamo:

.

Odgovor: 4.

Zadatak 8

U aritmetičkoj progresiji a 1= 3, d = -1,5. Odrediti najveća vrijednost n za koji vrijedi nejednakost a n > -6.

Ili je aritmetika vrsta uređenog numeričkog niza čija se svojstva proučavaju u školskom kursu algebre. Ovaj članak detaljno razmatra pitanje kako pronaći zbir aritmetičke progresije.

Kakva je ovo progresija?

Prije nego što pređemo na pitanje (kako pronaći zbir aritmetičke progresije), vrijedi razumjeti o čemu govorimo.

Svaki niz realnih brojeva koji se dobije dodavanjem (oduzimanjem) neke vrijednosti od svakog prethodnog broja naziva se algebarska (aritmetička) progresija. Ova definicija, kada se prevede na matematički jezik, ima oblik:

evo me - serijski broj element serije a i . Dakle, znajući samo jedan početni broj, lako možete vratiti cijelu seriju. Parametar d u formuli naziva se razlika progresije.

Lako se može pokazati da za niz brojeva koji se razmatra vrijedi sljedeća jednakost:

a n = a 1 + d * (n - 1).

To jest, da biste pronašli vrijednost n-tog elementa po redu, trebate dodati razliku d prvom elementu a 1 n-1 puta.

Što je zbir aritmetičke progresije: formula

Prije nego što date formulu za navedeni iznos, vrijedi razmotriti jednostavan poseban slučaj. Progresija je data prirodni brojevi od 1 do 10, potrebno je pronaći njihov zbir. Budući da je u progresiji (10) malo članova, moguće je problem riješiti direktno, odnosno sabrati sve elemente po redu.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Vrijedi razmotriti jednu zanimljivu stvar: budući da se svaki član razlikuje od sljedećeg za istu vrijednost d = 1, onda će parno zbrajanje prvog sa desetim, drugog sa devetim i tako dalje dati isti rezultat. stvarno:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Kao što vidite, ovih suma je samo 5, odnosno tačno dva puta manje od broja elemenata serije. Zatim pomnožite broj zbroja (5) sa rezultatom svakog zbroja (11), doći ćete do rezultata dobivenog u prvom primjeru.

Ako generalizujemo ove argumente, možemo napisati sljedeći izraz:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Ovaj izraz pokazuje da uopće nije potrebno zbrajati sve elemente u nizu, dovoljno je znati vrijednost prvog a 1 i posljednjeg a n, kao i ukupan broj članova n.

Vjeruje se da je Gauss prvi pomislio na ovu jednakost kada je tražio rješenje za problem koji mu je dao učitelj: zbroj prvih 100 cijelih brojeva.

Zbir elemenata od m do n: formula

Formula data u prethodnom pasusu odgovara na pitanje kako pronaći zbir aritmetičke progresije (prvi elementi), ali je često u zadacima potrebno sabrati niz brojeva u sredini progresije. Kako uraditi?

Najlakši način da se odgovori na ovo pitanje je razmatranjem sljedećeg primjera: neka je potrebno pronaći zbir članova od m-tog do n-og. Da biste riješili problem, trebali biste dati segment od m do n progresije predstaviti kao novi numeričke serije. U takvim m-to predstavljanje termin a m će biti prvi, a a n će biti numerisano n-(m-1). U ovom slučaju, primjenom standardne formule za sumu, dobit će se sljedeći izraz:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Primjer korištenja formula

Znajući kako pronaći zbroj aritmetičke progresije, vrijedi razmotriti jednostavan primjer korištenja gornjih formula.

Ispod je numerički niz, trebali biste pronaći zbir njegovih članova, počevši od 5. i završavajući sa 12.:

Dati brojevi označavaju da je razlika d jednaka 3. Koristeći izraz za n-ti element, možete pronaći vrijednosti 5. i 12. člana progresije. Ispada:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Poznavajući vrijednosti brojeva na krajevima algebarske progresije koja se razmatra, kao i znajući koje brojeve u nizu oni zauzimaju, možete koristiti formulu za zbroj dobiven u prethodnom paragrafu. Ispostaviće se:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Vrijedi napomenuti da se ova vrijednost može dobiti drugačije: prvo pronađite zbir prvih 12 elemenata koristeći standardnu ​​formulu, zatim izračunajte zbir prva 4 elementa koristeći istu formulu, a zatim oduzmite drugi od prvog zbira.

Redoslijed brojeva

Dakle, hajde da sjednemo i počnemo pisati neke brojeve. Na primjer:
Možete napisati bilo koje brojeve, a može ih biti koliko god želite (u našem slučaju ih ima). Koliko god brojeva zapisali, uvijek možemo reći koji je prvi, koji drugi, i tako do posljednjeg, odnosno možemo ih numerirati. Ovo je primjer niza brojeva:

Redoslijed brojeva
Na primjer, za naš niz:

Dodijeljeni broj je specifičan za samo jedan broj u nizu. Drugim riječima, u nizu nema broja od tri sekunde. Drugi broj (kao i ti broj) je uvijek isti.
Broj sa brojem naziva se th član niza.

Obično cijeli niz nazivamo nekim slovom (na primjer,), a svaki član ovog niza je isto slovo s indeksom jednakim broju ovog člana: .

u našem slučaju:

Recimo da imamo niz brojeva u kojem je razlika između susjednih brojeva ista i jednaka.
Na primjer:

itd.
Ovaj niz brojeva naziva se aritmetička progresija.
Termin "progresija" uveo je rimski autor Boetije još u 6. veku i shvaćen je u širem smislu kao beskonačan numerički niz. Naziv "aritmetika" prenet je iz teorije kontinuiranih proporcija, koju su proučavali stari Grci.

Ovo je niz brojeva čiji je svaki član jednak prethodnom dodanom istom broju. Ovaj broj se naziva razlika aritmetičke progresije i označava se.

Pokušajte odrediti koji nizovi brojeva su aritmetička progresija, a koji nisu:

a)
b)
c)
d)

Jasno? Uporedimo naše odgovore:
Is aritmetička progresija - b, c.
Nije aritmetička progresija - a, d.

Vratimo se na datu progresiju () i pokušamo pronaći vrijednost njenog th člana. Postoji dva način da ga nađete.

1. Metoda

Možemo dodati broj progresije na prethodnu vrijednost dok ne dođemo do th člana progresije. Dobro je da nemamo mnogo toga da rezimiramo - samo tri vrijednosti:

Dakle, th član opisane aritmetičke progresije je jednak.

2. Metoda

Šta ako trebamo pronaći vrijednost th člana progresije? Zbrajanje bi nam oduzelo više od jednog sata, a nije činjenica da ne bismo pogriješili prilikom sabiranja brojeva.
Naravno, matematičari su smislili način na koji nije potrebno dodati razliku aritmetičke progresije na prethodnu vrijednost. Pogledajte izbliza nacrtanu sliku... Sigurno ste već primijetili određeni uzorak, i to:

Na primjer, da vidimo od čega se sastoji vrijednost th člana ove aritmetičke progresije:


Drugim riječima:

Pokušajte sami pronaći vrijednost člana date aritmetičke progresije na ovaj način.

Jesi li izračunao? Uporedite svoje bilješke sa odgovorom:

Imajte na umu da ste dobili potpuno isti broj kao u prethodnoj metodi, kada smo uzastopno dodali članove aritmetičke progresije na prethodnu vrijednost.
Pokušajmo "depersonalizirati" ovu formulu - stavimo je u opći oblik i dobijemo:

Jednačina aritmetičke progresije.

Aritmetičke progresije mogu biti rastuće ili opadajuće.

Povećanje- progresije u kojima je svaka naredna vrijednost pojmova veća od prethodne.
Na primjer:

Silazno- progresije u kojima je svaka naredna vrijednost pojmova manja od prethodne.
Na primjer:

Izvedena formula se koristi u izračunavanju članova u rastućim i opadajućim terminima aritmetičke progresije.
Hajde da to proverimo u praksi.
Dobili smo aritmetičku progresiju koja se sastoji od sljedećih brojeva: Provjerimo koliki će biti th broj ove aritmetičke progresije ako koristimo našu formulu da ga izračunamo:

Od tada:

Stoga smo uvjereni da formula djeluje i u opadajućoj i u rastućoj aritmetičkoj progresiji.
Pokušajte sami pronaći th i th članove ove aritmetičke progresije.

Uporedimo rezultate:

Svojstvo aritmetičke progresije

Hajde da zakomplikujemo problem - izvešćemo svojstvo aritmetičke progresije.
Recimo da nam je dat sljedeći uslov:
- aritmetička progresija, pronađite vrijednost.
Lako, kažete i počinjete brojati prema formuli koju već znate:

Neka, ah, onda:

Apsolutno u pravu. Ispada da prvo pronađemo, pa ga dodamo prvom broju i dobijemo ono što tražimo. Ako je progresija predstavljena malim vrijednostima, onda u tome nema ništa komplikovano, ali šta ako su nam dati brojevi u uslovu? Slažem se, postoji mogućnost da napravite grešku u proračunima.
Sada razmislite o tome da li je moguće riješiti ovaj problem u jednom koraku koristeći bilo koju formulu? Naravno da, i to je ono što ćemo sada pokušati da iznesemo.

Označimo traženi član aritmetičke progresije kao, formula za njeno pronalaženje nam je poznata - to je ista formula koju smo izveli na početku:
, Zatim:

• prethodni termin progresije je:
• sljedeći termin progresije je:

Sumirajmo prethodni i naredni termin progresije:

Ispada da je zbir prethodnog i narednog člana progresije dvostruka vrijednost člana progresije koji se nalazi između njih. Drugim riječima, da biste pronašli vrijednost progresijskog člana sa poznatim prethodnim i uzastopnim vrijednostima, trebate ih sabrati i podijeliti.

Tako je, imamo isti broj. Osigurajmo materijal. Sami izračunajte vrijednost za napredak, to uopće nije teško.

Dobro urađeno! Znate skoro sve o napredovanju! Ostaje da saznamo samo jednu formulu, koju je, prema legendi, lako zaključio jedan od najvećih matematičara svih vremena, “kralj matematičara” - Karl Gauss...

Kada je Carl Gauss imao 9 godina, učiteljica, zauzeta provjeravanjem rada učenika u drugim razredima, zadala je sljedeći zadatak u razredu: „Izračunaj zbir svih prirodnih brojeva od do (prema drugim izvorima do) uključivo.” Zamislite učiteljevo iznenađenje kada je jedan od njegovih učenika (ovo je bio Karl Gauss) minut kasnije dao tačan odgovor na zadatak, dok je većina drznika iz razreda, nakon dugih proračuna, dobila pogrešan rezultat...

Mladi Carl Gauss primijetio je određeni obrazac koji i vi možete lako primijetiti.
Recimo da imamo aritmetičku progresiju koja se sastoji od --tih članova: Moramo pronaći zbir ovih članova aritmetičke progresije. Naravno, možemo ručno sabrati sve vrijednosti, ali šta ako zadatak zahtijeva pronalaženje zbira njegovih članova, kao što je Gauss tražio?

Hajde da opišemo napredak koji nam je dat. Pogledajte pobliže istaknute brojeve i pokušajte s njima izvesti razne matematičke operacije.


Jeste li probali? Šta ste primetili? Tačno! Njihove sume su jednake

Sada mi recite koliko je ukupno takvih parova u progresiji koja nam je data? Naravno, tačno polovina svih brojeva, tj.
Na osnovu činjenice da je zbir dva člana aritmetičke progresije jednak, a slični parovi jednaki, dobijamo da je ukupan zbir jednak:
.
Dakle, formula za zbir prvih članova bilo koje aritmetičke progresije bit će:

U nekim problemima ne znamo th pojam, ali znamo razliku progresije. Pokušajte zamijeniti formulu th-og člana u formulu zbira.
šta si dobio?

Dobro urađeno! Vratimo se sada na problem koji je postavljen Carlu Gausu: izračunajte sami čemu je jednak zbir brojeva koji počinju od th i zbiru brojeva koji počinju od th.

Koliko si dobio?
Gauss je otkrio da je zbir članova jednak i zbir članova. Jesi li tako odlučio?

U stvari, formulu za zbir članova aritmetičke progresije dokazao je starogrčki naučnik Diofant još u 3. veku, i sve to vreme, duhoviti ljudi su u potpunosti koristili svojstva aritmetičke progresije.
Na primjer, zamislite Drevni Egipat i najviše izgradnja velikih razmera tog vremena - konstrukcija piramide... Na slici je jedna njena strana.

Gdje je tu napredak, kažete? Pažljivo pogledajte i pronađite uzorak u broju pješčanih blokova u svakom redu zida piramide.


Zašto ne aritmetička progresija? Izračunajte koliko je blokova potrebno za izgradnju jednog zida ako su blok cigle postavljene u podnožju. Nadam se da nećete brojati dok pomičete prst po monitoru, sjećate se posljednje formule i svega što smo rekli o aritmetičkoj progresiji?

U ovom slučaju, progresija izgleda ovako: .
Razlika aritmetičke progresije.
Broj članova aritmetičke progresije.
Zamijenimo naše podatke u posljednje formule (izračunajte broj blokova na 2 načina).

Metoda 1.

Metoda 2.

A sada možete izračunati na monitoru: usporedite dobivene vrijednosti s brojem blokova koji se nalaze u našoj piramidi. Jasno? Bravo, savladali ste zbir n-ih članova aritmetičke progresije.
Naravno, ne možete izgraditi piramidu od blokova u podnožju, ali od? Pokušajte izračunati koliko je pješčanih cigli potrebno za izgradnju zida s ovim uvjetom.
Jeste li uspjeli?
Tačan odgovor su blokovi:

Trening

Zadaci:

1. Maša je u formi za ljeto. Svakim danom povećava broj čučnjeva. Koliko puta će Maša raditi čučnjeve u sedmici ako je radila čučnjeve na prvom treningu?
2. Koliki je zbir svih neparnih brojeva sadržanih u.
3. Prilikom skladištenja trupaca, drvosječe ih slažu na način da svaki gornji sloj sadrži jedan trupac manje od prethodnog. Koliko je trupaca u jednom zidu, ako je temelj zidanja trupac?

odgovori:

1. Definirajmo parametre aritmetičke progresije. U ovom slučaju
   (sedmice = dani).

   odgovor: Za dvije sedmice, Maša bi trebala raditi čučnjeve jednom dnevno.

2. Prvo neparan broj, posljednji broj.
   Razlika aritmetičke progresije.
   Broj neparnih brojeva u je pola, međutim, provjerimo ovu činjenicu koristeći formulu za pronalaženje th člana aritmetičke progresije:

   Brojevi sadrže neparne brojeve.
   Zamijenimo dostupne podatke u formulu:

   odgovor: Zbir svih neparnih brojeva sadržanih u je jednak.

3. Prisjetimo se problema s piramidama. Za naš slučaj, a , pošto je svaki gornji sloj smanjen za jedan log, onda ukupno postoji gomila slojeva, tj.
   Zamijenimo podatke u formulu:

   odgovor: U zidovima su trupci.

Hajde da sumiramo

1. - brojevni niz u kojem je razlika između susjednih brojeva ista i jednaka. Može se povećavati ili smanjivati.
2. Pronalaženje formule Ti član aritmetičke progresije piše se formulom - , gdje je broj brojeva u progresiji.
3. Svojstvo članova aritmetičke progresije- - gdje je broj brojeva u progresiji.
4. Zbir članova aritmetičke progresije može se naći na dva načina:
   
   , gdje je broj vrijednosti.

ARITHMETIČKA PROGRESIJA. PROSJEČNI NIVO

Redoslijed brojeva

Hajde da sjednemo i počnemo pisati neke brojeve. Na primjer:

Možete napisati bilo koje brojeve, a može ih biti koliko god želite. Ali uvijek možemo reći koji je prvi, koji je drugi i tako dalje, odnosno možemo ih numerisati. Ovo je primjer niza brojeva.

Redoslijed brojeva je skup brojeva, od kojih se svakom može dodijeliti jedinstveni broj.

Drugim riječima, svaki broj može biti povezan s određenim prirodnim brojem, i to jedinstvenim. I nećemo dodijeliti ovaj broj nijednom drugom broju iz ovog skupa.

Broj sa brojem naziva se th član niza.

Obično cijeli niz nazivamo nekim slovom (na primjer,), a svaki član ovog niza je isto slovo s indeksom jednakim broju ovog člana: .

Vrlo je zgodno ako se th član niza može specificirati nekom formulom. Na primjer, formula

postavlja redoslijed:

A formula je sljedeći niz:

Na primjer, aritmetička progresija je niz (prvi član je ovdje jednak, a razlika je). Ili (, razlika).

n-ti termin formula

Formulu nazivamo rekurentnom u kojoj, da biste saznali th pojam, morate znati prethodni ili nekoliko prethodnih:

Da bismo pronašli, na primjer, th član progresije koristeći ovu formulu, morat ćemo izračunati prethodnih devet. Na primjer, neka. onda:

Pa, da li je sada jasno koja je formula?

U svakom redu dodajemo, pomnoženo nekim brojem. Koji? Vrlo jednostavno: ovo je broj trenutnog člana minus:

Sada je mnogo zgodnije, zar ne? Provjeravamo:

Odlučite sami:

U aritmetičkoj progresiji pronađite formulu za n-ti član i pronađite stoti član.

Rješenje:

Prvi član je jednak. Koja je razlika? Evo šta:

(Zato se zove razlika jer je jednaka razlici uzastopnih članova progresije).

Dakle, formula:

Tada je stoti član jednak:

Koliki je zbir svih prirodnih brojeva od do?

Prema legendi, veliki matematičar Karl Gauss, kao 9-godišnji dječak, izračunao je ovu količinu za nekoliko minuta. Primijetio je da je zbir prvog i posljednjeg broja jednak, zbir drugog i pretposljednjeg broja isti, zbir trećeg i trećeg sa kraja isti, itd. Koliko ukupno ima takvih parova? Tako je, tačno polovina broja svih brojeva, tj. dakle,

Opća formula za zbir prvih članova bilo koje aritmetičke progresije bit će:

primjer:
Pronađite zbir svih dvocifrenim brojevima, višestruki.

Rješenje:

Prvi takav broj je ovaj. Svaki naredni broj se dobija dodavanjem prethodnog broja. Dakle, brojevi koji nas zanimaju formiraju aritmetičku progresiju sa prvim članom i razlikom.

Formula th člana za ovu progresiju:

Koliko članova ima u progresiji ako svi moraju biti dvocifreni?

Vrlo jednostavno: .

Posljednji član progresije će biti jednak. Zatim suma:

Odgovor: .

Sada odlučite sami:

1. Svakog dana sportista pretrči više metara nego prethodnog dana. Koliko će ukupno kilometara pretrčati u sedmici ako je prvog dana pretrčao km m?
2. Biciklista svaki dan prijeđe više kilometara nego prethodnog dana. Prvog dana prešao je km. Koliko dana mu je potrebno da pređe kilometar? Koliko će kilometara preći tokom posljednjeg dana svog putovanja?
3. Cijena frižidera u trgovini svake godine se smanjuje za isti iznos. Odredite za koliko se smanjila cijena frižidera svake godine ako je, stavljen na prodaju za rublje, šest godina kasnije prodat za rublje.

odgovori:

1. Ovdje je najvažnije prepoznati aritmetičku progresiju i odrediti njene parametre. U ovom slučaju, (sedmice = dani). Morate odrediti zbir prvih članova ove progresije:
   .
   odgovor:
2. Ovdje je dato: , mora se naći.
   Očigledno, morate koristiti istu formulu sume kao u prethodnom zadatku:
   .
   Zamijenite vrijednosti:

   Korijen očito ne odgovara, tako da je odgovor.
   Izračunajmo put koji smo prešli u posljednjem danu koristeći formulu th člana:
   (km).
   odgovor:

3. Dato: . Pronađite: .
   Ne može biti jednostavnije:
   (rub).
   odgovor:

ARITHMETIČKA PROGRESIJA. UKRATKO O GLAVNIM STVARIMA

Ovo je niz brojeva u kojem je razlika između susjednih brojeva ista i jednaka.

Aritmetička progresija može biti rastuća () i opadajuća ().

Na primjer:

Formula za pronalaženje n-og člana aritmetičke progresije

zapisuje se po formuli, gdje je broj brojeva u progresiji.

Svojstvo članova aritmetičke progresije

Omogućava vam da lako pronađete pojam progresije ako su poznati njegovi susjedni pojmovi - gdje je broj brojeva u progresiji.

Zbir članova aritmetičke progresije

Postoje dva načina da pronađete iznos:

Gdje je broj vrijednosti.

Gdje je broj vrijednosti.

Pa, tema je gotova. Ako čitate ove redove, to znači da ste veoma cool.

Zato što je samo 5% ljudi sposobno nešto samostalno savladati. A ako pročitate do kraja, onda ste u ovih 5%!

Sada najvažnija stvar.

Razumjeli ste teoriju na ovu temu. I, ponavljam, ovo... ovo je jednostavno super! Već ste bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što ovo možda nije dovoljno...

Za što?

Za uspešan polaganje Jedinstvenog državnog ispita, za upis na fakultet na budžetu i, NAJVAŽNIJE, doživotno.

Neću vas ni u šta ubeđivati, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su stekli dobro obrazovanje zarađuju mnogo više od onih koji ga nisu stekli. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavna stvar je da su SREĆNIJI (ima takvih studija). Možda zato što se pred njima otvara još mnogo mogućnosti i život postaje svjetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Šta je potrebno da biste bili sigurni da ćete biti bolji od drugih na Jedinstvenom državnom ispitu i na kraju biti... sretniji?

STVARITE SE RJEŠAVANJEM PROBLEMA NA OVU TEMU.

Od vas se neće tražiti teorija tokom ispita.

Trebaće ti rješavati probleme protiv vremena.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu grešku ili jednostavno nećete imati vremena.

To je kao u sportu - morate to ponoviti mnogo puta da biste sigurno pobijedili.

Pronađite kolekciju gde god želite, obavezno sa rešenjima, detaljna analiza i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (opciono) i mi ih, naravno, preporučujemo.

Da biste bolje koristili naše zadatke, morate pomoći da produžite život YouClever udžbenika koji trenutno čitate.

Kako? Postoje dvije opcije:

1. Otključajte sve skrivene zadatke u ovom članku - 299 rub.
2. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka udžbenika - 499 rub.

Da, u našem udžbeniku imamo 99 takvih članaka i pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima može se odmah otvoriti.

Pristup svim skrivenim zadacima je omogućen za CIJELI vijek trajanja stranice.

U zakljucku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati na teoriji.

“Razumijem” i “Mogu riješiti” su potpuno različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!

Koncept niza brojeva podrazumijeva da svaki prirodni broj odgovara nekoj realnoj vrijednosti. Takav niz brojeva može biti ili proizvoljan ili imati određena svojstva - progresiju. U potonjem slučaju, svaki sljedeći element (član) niza može se izračunati korištenjem prethodnog.

Aritmetička progresija je niz brojčanih vrijednosti u kojima se susjedni članovi razlikuju jedni od drugih za isti broj (svi elementi niza, počevši od 2., imaju slično svojstvo). Ovaj broj - razlika između prethodnog i narednog pojma - je konstantan i naziva se razlika progresije.

Razlika u progresiji: definicija

Razmotrimo niz koji se sastoji od j vrijednosti A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j pripada skupu prirodnih brojeva N. Aritmetika progresija, prema svojoj definiciji, je niz, u kojem je a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Vrijednost d je željena razlika ove progresije.

d = a(j) – a(j-1).

Istaknite:

• Rastuća progresija, u kom slučaju je d > 0. Primjer: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Smanjenje progresije, zatim d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Progresija razlike i njeni proizvoljni elementi

Ako su poznata 2 proizvoljna člana progresije (i-ti, k-ti), onda se razlika za dati niz može odrediti na osnovu odnosa:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, što znači d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Razlika u progresiji i njenom prvom terminu

Ovaj izraz će pomoći u određivanju nepoznate vrijednosti samo u slučajevima kada je poznat broj elementa niza.

Razlika progresije i njen zbir

Zbir progresije je zbir njegovih članova. Da biste izračunali ukupnu vrijednost njegovih prvih j elemenata, koristite odgovarajuću formulu:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, ali pošto a(j) = a(1) + d(j – 1), tada je S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijala u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Aritmetička progresija je niz brojeva u kojima je svaki broj veći (ili manji) od prethodnog za isti iznos.

Ova tema se često čini složenom i nerazumljivom. Slovni indeksi n-ti termin progresije, razlike u progresiji - sve je to nekako zbunjujuće, da... Hajde da shvatimo značenje aritmetičke progresije i sve će odmah krenuti na bolje.)

Koncept aritmetičke progresije.

Aritmetička progresija je vrlo jednostavan i jasan koncept. Imate li sumnje? Uzalud.) Uvjerite se sami.

Napisaću nedovršeni niz brojeva:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Možete li produžiti ovu seriju? Koji će brojevi biti sljedeći, nakon petice? Svi... uh... ukratko, svi će shvatiti da će na red doći brojevi 6, 7, 8, 9, itd.

Hajde da zakomplikujemo zadatak. Dajem vam nedovršeni niz brojeva:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Moći ćete uhvatiti uzorak, proširiti niz i imenovati sedmi broj reda?

Ako ste shvatili da je ovaj broj 20, čestitamo! Ne samo da ste se osećali ključne točke aritmetička progresija, ali i uspješno ih koristi u poslovanju! Ako niste shvatili, čitajte dalje.

A sada da prevedemo ključne tačke iz senzacija u matematiku.)

Prva ključna tačka.

Aritmetička progresija se bavi nizom brojeva. Ovo je u početku zbunjujuće. Navikli smo rješavati jednačine, crtati grafove i sve to... Ali ovdje produžavamo niz, nalazimo broj niza...

Uredu je. Samo što su progresije prvo upoznavanje sa novom granom matematike. Odjeljak se zove "Serija" i radi posebno sa serijama brojeva i izraza. Naviknuti se na nešto.)

Druga ključna tačka.

U aritmetičkoj progresiji, bilo koji broj se razlikuje od prethodnog za isti iznos.

U prvom primjeru ova razlika je jedna. Koji god broj da uzmete, jedan je više od prethodnog. U drugom - tri. Bilo koji broj je tri veći od prethodnog. Zapravo, upravo ovaj trenutak nam daje priliku da shvatimo obrazac i izračunamo sljedeće brojeve.

Treća ključna tačka.

Ovaj trenutak nije upečatljiv, da... Ali je veoma, veoma važan. evo ga: Svaki broj napredovanja je na svom mjestu. Postoji prvi broj, postoji sedmi, postoji četrdeset peti itd. Ako ih nasumično pomiješate, uzorak će nestati. Aritmetička progresija će također nestati. Ono što je ostalo je samo niz brojeva.

To je cela poenta.

Naravno, u nova tema pojavljuju se novi termini i oznake. Morate ih znati. Inače nećete razumjeti zadatak. Na primjer, morat ćete odlučiti nešto poput:

Zapišite prvih šest članova aritmetičke progresije (a n), ako je a 2 = 5, d = -2,5.

Inspirativno?) Slova, neki indeksi... A zadatak, inače, ne može biti jednostavniji. Vi samo trebate razumjeti značenje termina i oznaka. Sada ćemo savladati ovu materiju i vratiti se zadatku.

Termini i oznake.

Aritmetička progresija je niz brojeva u kojima se svaki broj razlikuje od prethodnog za isti iznos.

Ova količina se zove . Pogledajmo ovaj koncept detaljnije.

Razlika aritmetičke progresije.

Razlika aritmetičke progresije je iznos za koji bilo koji broj progresije više prethodni.

Jedan važna tačka. Molimo obratite pažnju na riječ "više". Matematički, to znači da je svaki broj progresije dodavanjem razlika aritmetičke progresije u odnosu na prethodni broj.

Za izračunavanje, recimo sekunda brojevi serije, morate prvo broj dodati upravo ova razlika aritmetičke progresije. Za obračun peti- razlika je neophodna dodati To četvrto, pa, itd.

Razlika aritmetičke progresije Možda pozitivno, tada će se svaki broj u nizu pokazati kao stvaran više od prethodnog. Ova progresija se zove povećanje. Na primjer:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Ovdje se dobija svaki broj dodavanjem pozitivan broj, +5 na prethodni.

Razlika može biti negativan, tada će svaki broj u nizu biti manje od prethodnog. Ova progresija se zove (nećete vjerovati!) opadajući.

Na primjer:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Ovdje se također dobija svaki broj dodavanjem na prethodni, ali već negativan broj, -5.

Inače, kada se radi s progresijom, vrlo je korisno odmah odrediti njenu prirodu - da li se povećava ili smanjuje. Ovo uvelike pomaže da se snađete u odluci, uočite svoje greške i ispravite ih prije nego što bude prekasno.

Razlika aritmetičke progresije obično se označava slovom d.

Kako pronaći d? Veoma jednostavno. Potrebno je oduzeti bilo koji broj u nizu prethodni broj. Oduzmi. Usput, rezultat oduzimanja naziva se "razlika".)

Hajde da definišemo npr. d za povećanje aritmetičke progresije:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Uzimamo bilo koji broj u nizu koji želimo, na primjer, 11. Od njega oduzimamo prethodni broj one. 8:

Ovo je tačan odgovor. Za ovu aritmetičku progresiju, razlika je tri.

Možeš to uzeti bilo koji broj napredovanja, jer za konkretnu progresiju d-uvijek isto. Bar negdje na početku reda, barem u sredini, barem bilo gdje. Ne možete uzeti samo prvi broj. Jednostavno zbog prvog broja nema prethodnog.)

Usput, znajući to d=3, pronalaženje sedmog broja ove progresije je vrlo jednostavno. Dodajmo 3 petom broju - dobijamo šesti, biće 17. Dodajmo tri šestom broju, dobijamo sedmi broj - dvadeset.

Hajde da definišemo d za opadajuću aritmetičku progresiju:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Podsjećam da se, bez obzira na znakove, treba odrediti d potreba sa bilo kog broja oduzeti prethodni. Odaberite bilo koji broj napredovanja, na primjer -7. Njegov prethodni broj je -2. onda:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Razlika aritmetičke progresije može biti bilo koji broj: cijeli, razlomak, iracionalan, bilo koji broj.

Ostali pojmovi i oznake.

Svaki broj u nizu se poziva član aritmetičke progresije.

Svaki član progresije ima svoj broj. Brojevi su striktno uredni, bez ikakvih trikova. Prvi, drugi, treći, četvrti itd. Na primjer, u progresiji 2, 5, 8, 11, 14, ... dva je prvi član, pet je drugi, jedanaest je četvrti, pa, razumete...) Molim vas jasno shvatite - sami brojevi može biti apsolutno bilo šta, cijeli, razlomak, negativan, bilo šta, ali numerisanje brojeva- strogo po redu!

Kako napisati progresiju u opšti pogled? Nema problema! Svaki broj u nizu je napisan kao slovo. Za označavanje aritmetičke progresije obično se koristi slovo a. Broj člana je označen indeksom u donjem desnom uglu. Pojmove pišemo odvojene zarezima (ili tačkom i zarezom), ovako:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1- ovo je prvi broj, a 3- treći, itd. Ništa fensi. Ova serija se može ukratko napisati ovako: (a n).

Progresije se dešavaju konačno i beskonačno.

Krajnji progresija ima ograničen broj članova. Pet, trideset osam, svejedno. Ali to je konačan broj.

Beskonačno progresija - ima beskonačan broj članova, kao što možete pretpostaviti.)

Možete napisati konačnu progresiju kroz niz poput ove, sa svim pojmovima i tačkom na kraju:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5.

Ili ovako, ako ima mnogo članova:

a 1, a 2, ... a 14, a 15.

U kratkom unosu morate dodatno navesti broj članova. Na primjer (za dvadeset članova), ovako:

(a n), n = 20

Beskonačna progresija se može prepoznati po elipsi na kraju reda, kao u primjerima u ovoj lekciji.

Sada možete riješiti zadatke. Zadaci su jednostavni, isključivo za razumijevanje značenja aritmetičke progresije.

Primjeri zadataka o aritmetičkoj progresiji.

Pogledajmo detaljno gore dat zadatak:

1. Napišite prvih šest članova aritmetičke progresije (a n), ako je a 2 = 5, d = -2,5.

Prevodimo zadatak na razumljiv jezik. Zadana je beskonačna aritmetička progresija. Drugi broj ove progresije je poznat: a 2 = 5. Razlika u napredovanju je poznata: d = -2,5. Moramo pronaći prvi, treći, četvrti, peti i šesti član ove progresije.

Radi jasnoće, zapisaću niz prema uslovima problema. Prvih šest termina, gdje je drugi član pet:

a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6,....

a 3 = a 2 + d

Zamijenite u izraz a 2 = 5 I d = -2,5. Ne zaboravite na minus!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Ispostavilo se da je treći termin manji od drugog. Sve je logično. Ako je broj veći od prethodnog negativan vrijednost, što znači da će sam broj biti manji od prethodnog. Progresija se smanjuje. Dobro, uzmimo to u obzir.) Računamo četvrti član naše serije:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Dakle, izračunati su termini od trećeg do šestog. Rezultat je sljedeća serija:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Ostaje da se pronađe prvi pojam a 1 By poznati drugi. Ovo je korak u drugom smjeru, lijevo.) Dakle, razlika aritmetičke progresije d ne treba dodati a 2, A oduzmi:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

To je to. Odgovor na zadatak:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Usput želim napomenuti da smo ovaj zadatak riješili ponavljajuća način. Ova strašna riječ znači samo potragu za članom progresije prema prethodnom (susednom) broju. U nastavku ćemo pogledati druge načine rada s progresijom.

Iz ovog jednostavnog zadatka može se izvući jedan važan zaključak.

Zapamtite:

Ako znamo barem jedan pojam i razliku aritmetičke progresije, možemo pronaći bilo koji član ove progresije.

Sjećaš li se? Ovaj jednostavan zaključak vam omogućava da riješite većinu problema školskog tečaja na ovu temu. Svi se zadaci vrte oko sebe tri glavna parametri: član aritmetičke progresije, razlika progresije, broj člana progresije. Sve.

Naravno, sva prethodna algebra se ne poništava.) Nejednakosti, jednačine i druge stvari se vezuju za progresiju. Ali prema samom napredovanju- sve se vrti oko tri parametra.

Kao primjer, pogledajmo neke popularne zadatke na ovu temu.

2. Zapišite konačnu aritmetičku progresiju kao niz ako je n=5, d = 0,4 i a 1 = 3,6.

Ovdje je sve jednostavno. Sve je već dato. Morate zapamtiti kako se broje članovi aritmetičke progresije, prebrojite ih i zapišite. Preporučljivo je da ne propustite riječi u uvjetima zadatka: "konačno" i " n=5". Da ne računate dok ne budete potpuno plav u licu.) Postoji samo 5 (pet) članova u ovoj progresiji:

a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Ostaje da zapišemo odgovor:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Još jedan zadatak:

3. Odredite da li će broj 7 biti član aritmetičke progresije (a n), ako a 1 = 4,1; d = 1.2.

Hmm... Ko zna? Kako nešto odrediti?

Kako-kako... Zapišite progresiju u obliku serije i vidite hoće li tu biti sedam ili ne! računamo:

a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3

a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Sada se jasno vidi da nas je samo sedam provukao se između 6,5 i 7,7! Sedam nije ušlo u naš niz brojeva, pa prema tome, sedam neće biti član date progresije.

Odgovor: ne.

A evo i problema zasnovanog na pravoj verziji GIA-e:

4. Ispisuje se nekoliko uzastopnih članova aritmetičke progresije:

...; 15; X; 9; 6; ...

Evo serije napisane bez kraja i početka. Nema brojeva članova, nema razlike d. Uredu je. Za rješavanje problema dovoljno je razumjeti značenje aritmetičke progresije. Pogledajmo i vidimo šta je moguće znati iz ove serije? Koja su tri glavna parametra?

Brojevi članova? Ovdje nema ni jednog broja.

Ali postoje tri broja i - pažnja! - riječ "dosljedan" u stanju. To znači da su brojevi strogo po redu, bez praznina. Ima li dva u ovom redu? susjedni poznati brojevi? Da imam! To su 9 i 6. Dakle, možemo izračunati razliku aritmetičke progresije! Oduzmite od šest prethodni broj, tj. devet:

Ostale su sitnice. Koji će broj biti prethodni za X? Petnaest. To znači da se X može lako naći jednostavnim sabiranjem. Dodajte razliku aritmetičke progresije na 15:

To je sve. odgovor: x=12

Sljedeće probleme rješavamo sami. Napomena: ovi problemi nisu zasnovani na formulama. Čisto da shvatimo značenje aritmetičke progresije.) Samo zapišemo niz brojeva i slova, pogledamo i shvatimo.

5. Pronađite prvi pozitivni član aritmetičke progresije ako je a 5 = -3; d = 1.1.

6. Poznato je da je broj 5,5 član aritmetičke progresije (a n), gdje je a 1 = 1,6; d = 1,3. Odredite broj n ovog člana.

7. Poznato je da je u aritmetičkoj progresiji a 2 = 4; a 5 = 15,1. Pronađite 3.

8. Ispisuje se nekoliko uzastopnih članova aritmetičke progresije:

...; 15.6; X; 3.4; ...

Pronađite termin progresije označen slovom x.

9. Voz je krenuo sa stanice, ravnomjerno povećavajući brzinu za 30 metara u minuti. Kolika će biti brzina voza za pet minuta? Odgovor dajte u km/sat.

10. Poznato je da je u aritmetičkoj progresiji a 2 = 5; a 6 = -5. Pronađite 1.

Odgovori (u neredu): 7,7; 7.5; 9.5; 9; 0,3; 4.

Je li sve uspjelo? Nevjerovatno! Možete savladati aritmetičku progresiju za više visoki nivo, u narednim lekcijama.

Zar nije sve uspjelo? Nema problema. U Posebnom dijelu 555, svi ovi problemi su razvrstani dio po dio.) I, naravno, opisana je jednostavna praktična tehnika koja odmah ističe rješenje takvih zadataka jasno, jasno, na prvi pogled!

Inače, u slagalici voza postoje dva problema oko kojih se ljudi često spotiču. Jedan je isključivo u smislu progresije, a drugi je opšti za sve probleme iz matematike, pa i fizike. Ovo je prijevod dimenzija iz jedne u drugu. To pokazuje kako se ovi problemi trebaju riješiti.

U ovoj lekciji pogledali smo osnovno značenje aritmetičke progresije i njene glavne parametre. Ovo je dovoljno za rješavanje gotovo svih problema na ovu temu. Dodati d na brojeve, napiši seriju, sve će se riješiti.

Rješenje za prste dobro funkcionira za vrlo kratke dijelove reda, kao u primjerima u ovoj lekciji. Ako je niz duži, proračuni postaju složeniji. Na primjer, ako u zadatku 9 u pitanju zamijenimo "pet minuta" on "trideset pet minuta" problem će se znatno pogoršati.)

A postoje i zadaci koji su jednostavni u suštini, ali apsurdni u smislu proračuna, na primjer:

Zadana je aritmetička progresija (a n). Pronađite 121 ako je a 1 =3 i d=1/6.

Pa šta, hoćemo li dodati 1/6 mnogo, mnogo puta?! Možeš se ubiti!?

Možete.) Ako ne znate jednostavnu formulu po kojoj možete riješiti takve zadatke za minut. Ova formula će biti u sledećoj lekciji. I taj problem je tu riješen. Za minut.)

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)

Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.