Istraživački rad na temu: „Znaci djeljivosti prirodnih brojeva. Integers. Deljivost prirodnih brojeva

Relacija djeljivosti. Ako je, kada se prirodni broj a dijeli prirodnim brojem b s ostatkom, ostatak 0, tada se kaže da je a djeljiv sa b. U ovom slučaju, a se naziva višekratnik od b, b se naziva djelitelj a.

Oznaka a:b

Snimanje sa simbolima (a,bN) (a:b)(cN) (a=bc).

Prost broj. Prirodni broj se naziva prostim ako je djeljiv samo sa sobom i jedinicom, odnosno ako ima samo dva djelila.

Kompozitni broj. Prirodni broj se naziva složenim ako ima više od dva djelitelja.

• 1 nije ni prost ni složen broj, jer ima samo jedan djelitelj - sebe.
• 2 je jedini paran prost broj.

Svojstva relacije djeljivosti:

• 1. ako je a deljivo sa b, onda je a?b.
• 2. refleksivnost, tj. Svaki prirodan broj je djeljiv sam sa sobom.
• 3. antisimetrija, tj. Ako dva broja nisu jednaka, a prvi od njih je djeljiv drugim, onda drugi nije djeljiv s prvim.
• 4. tranzitivnost, tj. Ako je prvi broj djeljiv sa drugim brojem, drugi broj je djeljiv s trećim brojem, tada je prvi broj djeljiv s trećim brojem.

Relacija djeljivosti sa N je parcijalna relacija nestrogog reda. Redoslijed je djelomičan, jer postoje tako različiti parovi prirodni brojevi, od kojih nijedan nije djeljiv s drugim.

Znak da je zbir djeljiv brojem. Ako je svaki član u zbroju djeljiv brojem, tada se cijeli zbir dijeli ovim brojem (da bi zbir bio djeljiv brojem, dovoljno je da je svaki član djeljiv ovim brojem). Ova karakteristika nije neophodna, tj. Ako svaki član nije djeljiv brojem, tada se cijeli zbir može podijeliti s tim brojem.

Testirajte djeljivost razlike brojem. Ako su minuend i oduzetak podijeljeni brojem, a minuend je veći od oduzetog, onda se razlika podijeli s tim brojem (da bi razlika bila djeljiva brojem, dovoljno je da minuend i oduzetak dijele se ovim brojem, pod uvjetom da je ta razlika pozitivna). Ova karakteristika nije neophodna, tj. Minuend i subtrahend možda nisu djeljivi brojem, ali njihova razlika može biti djeljiva ovim brojem.

Znak da je zbir nedjeljiv brojem. Ako su svi članovi zbira osim jednog djeljivi brojem, onda zbir nije djeljiv tim brojem.

Test za djeljivost proizvoda brojem. Ako je barem jedan faktor u proizvodu djeljiv brojem, tada se proizvod dijeli ovim brojem (da bi proizvod bio djeljiv brojem, dovoljno je da je jedan faktor u proizvodu djeljiv ovim brojem) . Ova karakteristika nije neophodna, tj. Ako nijedan faktor u proizvodu nije djeljiv brojem, tada se proizvod može podijeliti s tim brojem.

Znak djeljivosti djela na proizvod. Ako je broj a djeljiv brojem b, broj c je podijeljen brojem d, tada je proizvod brojeva a i c podijeljen umnoškom brojeva b i d. Ovaj atribut nije neophodan.

Test djeljivosti prirodnih brojeva sa 2. Da bi prirodni broj bio djeljiv sa 2, potrebno je i dovoljno da se decimalni zapis ovog broja završava jednom od cifara 0, 2, 4, 6 ili 8.

Test djeljivosti prirodnih brojeva sa 5. Da bi prirodni broj bio djeljiv sa 5, potrebno je i dovoljno da se decimalni zapis ovog broja završava na 0 ili 5.

Test djeljivosti prirodnih brojeva sa 4. Da bi prirodni broj bio djeljiv sa 4, potrebno je i dovoljno da decimalni zapis ovog broja završava na 00 ili posljednje dvije cifre u decimalnom zapisu ovog brojevnog oblika dvocifreni broj, višestruko od 4.

Test djeljivosti prirodnih brojeva sa 3. Da bi prirodni broj bio djeljiv sa 3, potrebno je i dovoljno da zbir svih cifara decimalnog zapisa ovog broja bude djeljiv sa 3.

Test djeljivosti prirodnih brojeva sa 9. Da bi prirodni broj bio djeljiv sa 9, potrebno je i dovoljno da zbir svih cifara decimalnog zapisa ovog broja bude djeljiv sa 9.

Zajednički djelitelj prirodnih brojeva a i b je prirodan broj koji je djelitelj svakog od ovih brojeva.

Najveći zajednički djelitelj prirodnih brojeva a i b je najveći prirodni broj svih zajedničkih djelitelja ovih brojeva.

Oznaka GCD (a, b)

Svojstva GCD (a, b):

• 1. uvijek postoji samo jedan.
• 2. ne prelazi manji od a i b.
• 3. djeljiv sa bilo kojim zajedničkim djeliteljem a i b.

Zajednički višekratnik prirodnih brojeva a i b je prirodni broj koji je višekratnik svakog od ovih brojeva.

Najmanji zajednički višekratnik prirodnih brojeva a i b je najmanji prirodni broj svih zajedničkih višekratnika ovih brojeva.

Oznaka NOC (a, b)

Svojstva NOC-a (a, b):

• 1. uvijek postoji samo jedna stvar.
• 2. ne manje od većeg od a i b.
• 3. svaki zajednički višekratnik a i b je djeljiv s njim.

Međusobno prosti brojevi. Prirodni brojevi a i b nazivaju se relativno prosti ako nemaju zajedničkih djelitelja osim 1, tj. GCD (a, b) = 1.

Test djeljivosti za složeni broj. Da bi prirodni broj a bio djeljiv umnoškom relativno prostih brojeva m i n, potrebno je i dovoljno da broj a bude djeljiv sa svakim od njih.

• 1. Da bi broj bio djeljiv sa 12, potrebno je i dovoljno da bude djeljiv sa 3 i 4.
• 2. Da bi broj bio djeljiv sa 18, potrebno je i dovoljno da bude djeljiv sa 2 i 9.

Faktorovanje broja u proste faktore predstavlja predstavljanje ovog broja kao proizvoda prostih faktora.

Osnovna teorema aritmetike. Bilo koji složeni broj može se jedinstveno predstaviti kao proizvod prostih faktora.

Algoritam za pronalaženje GCD:

Zapišite umnožak prostih faktora zajedničkih datim brojevima i zapišite svaki faktor s najmanjim eksponentom s kojim je uključen u sva proširenja.

Pronađite vrijednost rezultirajućeg proizvoda. Ovo će biti GCD ovih brojeva.

Algoritam za pronalaženje LOC-a:

Podijelite svaki broj na proste faktore.

Zapišite umnožak svih prostih faktora iz proširenja i svaki od njih zapišite s najvećim eksponentom s kojim je uključen u sve ekspanzije.

Pronađite vrijednost rezultirajućeg proizvoda. Ovo će biti LCM ovih brojeva.

Skup pozitivnih racionalnih brojeva

Razlomak. Neka je segment zadan A i jedinični segment e, koji se sastoji od n segmenti jednaki e.

Ako segment A obuhvata m segmenti jednaki e. tada se njegova dužina može predstaviti kao

Simbol se zove frakcija; m, n- cijeli brojevi; m- brojilac razlomka, n- imenilac razlomka. n pokazuje na koliko jednakih delova je podeljena jedinica mere; m pokazuje koliko je takvih dijelova sadržano u segmentu a.

Jednaki razlomci. Razlomci koji izražavaju dužinu istog segmenta u jednoj mjernoj jedinici nazivaju se jednaki.

Znak jednakosti razlomaka.

Glavno svojstvo razlomka. Ako se brojnik i nazivnik razlomka pomnože ili podijele istim prirodnim brojem, dobićete razlomak jednak datom.

Smanjenje razlomka je zamjena datog razlomka drugim koji mu je jednak, ali s manjim brojnikom i nazivnikom.

Nesvodljivi razlomak je razlomak čiji su brojilac i imenilac međusobno prosti brojevi, tj. njihov gcd je jednak jedinici.

Svođenje razlomaka na zajednički imenilac je zamjena datih razlomaka drugim koji su im jednaki s jednakim nazivnicima.

Pozitivno racionalni broj- ovo je beskonačan broj razlomaka s različitim pravopisima, ali jednakih jedni drugima; svaki razlomak ovog skupa je oblik pisanja ovog pozitivnog racionalnog broja.

Jednaki pozitivni racionalni brojevi su brojevi koji se mogu napisati kao jednaki razlomci.

Zbir pozitivnih racionalnih brojeva. Ako je pozitivan racionalni broj a b predstavljen razlomkom, a zatim njihov zbir With, predstavljen razlomkom.

Komutativno svojstvo sabiranja. Promena mesta termina ne menja vrednost sume.

Kombinativna osobina sabiranja. Da biste zbroju dva broja dodali trećinu, prvom broju možete dodati zbir drugog i trećeg.

Postojanje zbroja i njegova jedinstvenost. Šta god da su pozitivni racionalni brojevi a I b njihov zbir uvijek postoji i jedinstven je.

Pravi razlomak je razlomak. čiji je brojilac manji od nazivnika.

Nepravilan razlomak je razlomak čiji je brojilac veći ili jednak nazivniku.

Nepravilan razlomak se može napisati kao prirodan broj ili kao mješoviti razlomak.

Mješoviti razlomak je zbir prirodnog broja i pravilnog razlomka (obično se piše bez znaka sabiranja).

Relacija "manje od" na Q. Pozitivan racionalni broj b manji od pozitivnog racionalnog broja a, ako postoji pozitivan racionalni broj c, što je ukupno sa b daje a.

Svojstva relacije "manje od".

• 1. Antirefleksivnost. Nijedan broj ne može biti manji od samog sebe.
• 2. Antisimetrija. Ako je prvi broj manji od drugog, onda drugi ne može biti manji od prvog.
• 3. Tranzitivnost. Ako je prvi broj manji od drugog, a drugi manji od trećeg, tada je prvi broj manji od trećeg.
• 4. Povezanost. Ako dva broja nisu jednaka, onda je ili prvi manji od drugog, ili je drugi manji od prvog.

Relacija "manje od" na Q je relacija strogog linearnog reda.

Razlika pozitivnih racionalnih brojeva. Razlika pozitivnih racionalnih brojeva a I b naziva se pozitivnim racionalnim brojem c, što je ukupno sa b daje a.

Postojanje razlike. Razlika u broju a I b postoji ako i samo ako b manje a.

Ako postoji razlika, onda je ona jedina.

Proizvod pozitivnih racionalnih brojeva. Ako je pozitivan racionalni broj a predstavljen razlomkom, pozitivnim racionalnim brojem b predstavljene razlomkom, onda je njihov proizvod pozitivan racionalni broj With, predstavljen razlomkom.

Postojanje djela i njegova jedinstvenost. Šta god da su pozitivni racionalni brojevi a I b njihov rad uvijek postoji i jedinstven je.

Komutativno svojstvo množenja. Promena mesta faktora ne menja vrednost proizvoda.

Kombinativna osobina množenja. Da biste pomnožili umnožak dva broja s trećinom, možete prvi broj pomnožiti umnoškom drugog i trećeg.

Distributivno svojstvo množenja u odnosu na sabiranje. Da pomnožite zbir brojeva brojem, možete svaki pojam pomnožiti s ovim brojem i dodati rezultirajuće proizvode.

Količnik pozitivnih racionalnih brojeva. Kvotnici pozitivnih racionalnih brojeva a I b naziva se pozitivnim racionalnim brojem c, koji kada se pomnoži sa b daje a.

Postojanje privatnog. Šta god da su pozitivni racionalni brojevi a I b, njihov količnik uvijek postoji i jedinstven je.

Skup Q i njegova svojstva.

• 1. Q je linearno uređen korištenjem relacije manje od.
• 2. Ne postoji najmanji broj u Q.
• 3. Ne postoji najveći broj u Q.
• 4. Q je beskonačan skup.
• 5. Q je sam po sebi gust, tj. Bilo koja dva različita pozitivna racionalna broja sadrže beskonačan broj pozitivnih racionalnih brojeva.

Zapisivanje pozitivnih racionalnih brojeva kao decimala.

Decimalni razlomak je razlomak oblika m/n, gdje je m I n- cijeli brojevi.

Vrste decimalnih razlomaka. Konačne, beskonačne, periodične (čisto periodične i mješovite periodične), neperiodične.

Konačna decimala je razlomak. u kojoj postoji konačan broj cifara iza decimalnog zareza.

Beskonačni periodični decimalni razlomak je razlomak koji se dobija beskonačnim ponavljanjem iste grupe cifara, počevši od određenog broja, a grupa cifara koja se ponavlja naziva se period.

Čisto periodični i mješoviti periodični razlomci. Ako period razlomka počinje odmah nakon decimalnog zareza, tada se taj razlomak naziva čisto periodičnim. Ako između decimalnog zareza i početka perioda ima nekoliko znamenki, tada se razlomak naziva mješovitim periodičnim.

Teorema. Bilo koji pozitivan racionalni broj može se predstaviti kao konačan broj decimalni, ili beskonačan periodični decimalni razlomak.

Prevod običan razlomak na decimalni. Da biste pretvorili, trebate podijeliti brojilac sa imeniocem u koloni. Prilikom dijeljenja dobit ćete ili konačni decimalni razlomak ili beskonačan periodični razlomak.

Pretvaranje konačnog decimalnog razlomka u obični razlomak. Odbacite zarez, upišite rezultirajući broj u brojilac i u imenilac upišite onoliko nula nakon jedinice koliko je broj cifara iza decimalne tačke.

Pretvaranje čisto periodičnog razlomka u običan razlomak. U brojiocu upišite period razlomka, a u nazivnik upišite onoliko devetki koliko ima cifara u periodu.

Pretvaranje mješovitog periodičnog razlomka u obični razlomak. U brojiocu upišite razliku između zareza i druge zagrade i broja između zareza i prve zagrade; U nazivnik upiši onoliko devetki koliko ima cifara u tački, a iza njih onoliko nula koliko ima cifara između decimalnog zareza i prve zagrade.

Teorema. Da bi nesvodljivi razlomak bio zapisan kao konačni decimalni razlomak, potrebno je i dovoljno da faktorizacija njegovog nazivnika na proste činioce uključuje samo brojeve 2 i 5.

Deljivost brojeva. Prosti i složeni brojevi.

Jedan od ciljeva matematičkog obrazovanja, koji se ogleda u federalnoj komponenti državnog standarda iz matematike, je intelektualni razvoj studenti.

Tema: Deljivost brojeva. Prosti i složeni brojevi" jedna je od tema koja, počevši od 5. razreda, omogućava djeci da u većoj mjeri razviju svoje matematičke sposobnosti. Radeći u školi sa detaljnim izučavanjem matematike, fizike i informatike, u kojoj se nastava izvodi od 7. razreda, matematičko odeljenje naše škole je zainteresovano da se učenici 5-7 razreda bolje upoznaju sa ovom temom. Trudimo se da to implementiramo u nastavi u Školi mladih matematičara (SYUM), kao i na regionalnom ljetnom matematičkom kampu, gdje predajem zajedno sa nastavnicima naše škole. Pokušao sam da izaberem zadatke koji bi bili interesantni učenicima od 5. do 11. razreda. Uostalom, učenici naše škole uče ovu temu po programu. I posljednje 2 godine maturanti su se suočavali s problemima na ovu temu na Jedinstvenom državnom ispitu (u zadacima tipa C6). U različitim slučajevima razmatram teorijski materijal u različitim količinama.

Deljivost prirodnih brojeva.

Neke definicije:

Za prirodan broj a se kaže da je djeljiv prirodnim brojem b ako postoji prirodan broj c takav da je a=bc. Istovremeno pišu: a b. U tome

U ovom slučaju, b se naziva djelitelj od a, a a je višekratnik od b. Prirodni broj se naziva prostim ako nema djelitelja.

različit od sebe i od jedinice (na primjer: 2, 3, 5, 7, itd.). Broj se naziva kompozitnim ako nije prost. Jedinica nije ni jednostavna ni kompozitna.

Broj n je djeljiv prostim brojem p ako i samo ako se p pojavljuje među prostim faktorima na koje je n razloženo.

Najveći zajednički djelitelj brojeva a i b naziva se najveći broj, koji je i djelilac a i b, označava se sa GCD (a; b) ili D (a; b).

Najmanji zajednički višekratnik se zove najmanji broj, djeljiv sa a i b, označava se LCM (a;b) ili K (a;b).

Zovu se brojevi a i b uzajamno prime, ako je njihov najveći zajednički djelitelj jednak jedan.

Osnovna teorema aritmetike

Svaki prirodni broj n može se jedinstveno proširiti (do reda faktora) u proizvod potencija prostih faktora:

n = p1 k 1 p2 k 2 pm k m

ovdje su p1, p2,...pm različiti prosti djelitelji broja n, a k1, k2,...km su stepeni pojavljivanja (stepeni višestrukosti) ovih djelitelja.

Znakovi djeljivosti

∙ Broj je djeljiv sa 2 ako i samo ako je posljednja znamenka djeljiva sa 2 (odnosno, parna).

∙ Broj je djeljiv sa 3 ako i samo ako je zbir njegovih cifara djeljiv sa 3.

∙ Broj je djeljiv sa 4 ako i samo ako je dvocifreni broj sastavljen od posljednje dvije cifre djeljiv sa 4.

∙ Broj je djeljiv sa 5 ako i samo ako je posljednja znamenka djeljiva sa 5 (to jest, jednaka 0 ili 5).

∙ Da biste saznali da li je broj djeljiv sa 7 (sa 13), trebate podijeliti njegov decimalni zapis s desna na lijevo u grupe od po 3 znamenke (krajnja lijeva grupa može sadržavati 1 ili 2 znamenke), a zatim uzeti neparni broj grupe sa znakom minus", a sa parnim brojevima - sa znakom plus. Ako je rezultirajući izraz djeljiv sa 7 (sa 13), tada je dati broj djeljiv sa 7 (sa 13).

∙ Broj je djeljiv sa 8 ako i samo ako trocifreni broj, sastavljen od posljednje tri cifre, djeljiv je sa 8.

∙ Broj je djeljiv sa 9 ako i samo ako je zbir njegovih cifara djeljiv sa 9.

∙ Broj je djeljiv sa 10 ako i samo ako je zadnja cifra nula.

∙ Broj je djeljiv sa 11 ako i samo ako zbir njegovih parnih znamenki u decimalnom zapisu i zbir njegovih neparnih znamenki u decimalnom zapisu daje jednake ostatke kada se podijeli sa 11.

Izjave vezane za djeljivost brojeva.

∙ Ako su a b i b c, onda a c.

∙ Ako je a m, onda ab m.

∙ Ako su a m i b m, onda a+b m

∙ Ako su a+.b m i a m, onda b m

∙ Ako su a m i a k, i m i k međusobno prosti, onda je a mk

∙ Ako su ab m i a koprosti sa m, onda je b m

∙ U nastavi na ovu temu, u zavisnosti od uzrasta učenika, mesta i vremena održavanja nastave, razmatram različite zadatke. Ove probleme biram uglavnom iz izvora koji su navedeni na kraju rada, uključujući materijale Permskog regionalnog turnira mladih matematičara prethodnih godina i materijale II i III faze Ruske olimpijade za školsku djecu prethodnih godina .

Za izvođenje nastave u 5, 6, 7 razredu u SHYuM1 e koristim sljedeće zadatke kada obrađujem temu „Djeljivost brojeva. Prosti i složeni brojevi. Znakovi djeljivosti."

Usmeni zadaci.

1. Dodajte po jednu cifru lijevo i desno od broja 15 tako da broj bude djeljiv sa 15.

Odgovor: 1155, 3150, 4155, 6150, 7155, 9150.

2. Dodajte po jednu cifru lijevo i desno od broja 10 tako da broj bude djeljiv sa 72.

Odgovor: 4104.

3. Određeni broj je djeljiv sa 6 i 4. Da li mora biti djeljiv sa 24?

Odgovor: ne, na primjer 12.

4. Pronađite najveći prirodni broj koji je višekratnik broja 36 i koji ima sve znamenke predstavljene jednom.

Odgovor: 9876543120.

5. Navedeni broj je 645*7235. Zamijenite * brojem tako da dobijeni broj bude višekratnik 3. Odgovor: 1, 4, 7.

6. Dat je broj 72*3*. Zamijenite * brojevima tako da dobijeni broj bude višekratnik 45. Odgovor: 72630, 72135.

"Polu-oralni" zadaci.

1. Koliko nedjelja može biti u godini?

2. U određenom mjesecu padale su tri nedjelje parni brojevi. Koji dan u sedmici je bio 7. ovog mjeseca?

3. Počnimo brojati prste na sljedeći način: neka bude prvi thumb, drugi - indeks, treći - srednji, četvrti - prsten, peti - mali prst, šesti - ponovo prsten, sedmi - srednji, osmi - indeks, deveti - palac, deseti - kažiprst itd. Koji će to biti prst 2000?

1 ŠUM - Škola mladih matematičara - subotnja škola pri Fizičkoj školi br.146

Sa kojim n je broj 1111...111 djeljiv sa 7?

Sa kojim n je broj 1111...111 djeljiv sa 999,999,999?

6. Razlomak b a je reducibilan. Hoće li razlomak a + − b b biti reducibilan?

7. U zemlji Ančurije u opticaju su novčanice u apoenima od 1 Ančura, 10 Ančura, 100 Ančura, 1000 Ančura. Da li je moguće izbrojati 1.000.000 sidra koristeći 500.000 novčanica?

8. Nađite dvocifreni broj čija je prva cifra jednaka razlici između ovog broja i broja napisanog istim ciframa, ali obrnutim redoslijedom.

1. U godini može biti 365 ili 366 dana, svaki sedmi dan je nedelja, što znači 365 = 52 × 7 + 1 ili 366 = 52 × 7 + 2, može biti 52 ili 53 ako nedelja pada 1. dan.

2. Ove 3 nedjelje padale su na 2., 16. i 30. To znači da će 7. ovog mjeseca biti petak.

3. Broj prstiju pri brojanju će se ponavljati sa periodom od 8, što znači da je dovoljno izračunati ostatak dijeljenja 2000 sa 8. To je jednako 0. Jer tada kažiprst dolazi na osmi 2000. će biti kažiprst.

za 7, i 111111=7× 15873. Iz toga slijedi da ako ima više od 6 jedinica u zapisu datog broja, onda je nakon svakih 6 jedinica sljedeći ostatak jednak 0. Dakle,

broj oblika 1111...111 je djeljiv sa 7 ako i samo ako je njegova količina

cifre su djeljive sa 6, tj. n=7× t, gdje je tO Z.

istovremeno. U ovom broju, broj jedinica je višestruki od 9. Međutim, prvi i drugi takvi brojevi 111 111 111 i 111 111 111 111 111 111 nisu djeljivi sa 999 999 999. A broj sa 18 jedinica 9 je djeljiv sa 9 999 999. Štaviše, počevši od 18. svaki 18. broj se dijeli sa 999.999.999, tj. n=18× t, gdje je tO N.

7. Neka su novčanice u apoenu od 1 ančura, b u apoenu od 10 ančura, c u apoenu od 100 ančura i d u apoenu od 1000 ančura. Dobijamo

Obrazovna oblast: prirodne nauke.

Sekcija: "Matematika"

Istraživački rad na temu:

"Znakovi djeljivosti prirodnih brojeva"

Rukovodilac: Lapko I.V.

nastavnik matematike

Uvod:

1. Činjenice iz istorije matematike.

2. Znakovi djeljivosti sa 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10.

3. Znaci djeljivosti prirodnih brojeva sa 7, 11, 12, 13, 14, 19, 25,50.

4. Rješavanje problema korištenjem kriterija djeljivosti.

6. Spisak korišćene literature (izvora).

Relevantnost: Svi smo u školi naučili znakove djeljivosti, koji nam do danas pomažu, bez gubljenja nepotrebnog vremena, brzo i precizno podijeliti ovaj ili onaj broj. Ne tako davno, prisjećajući se ove teme, počeo sam se pitati postoje li drugi znakovi djeljivosti prirodnim brojevima. I upravo me ta pomisao nagnala da napišem istraživački rad.
hipoteza: Ako možete odrediti djeljivost prirodnih brojeva sa 2, 3, 5, 9, 10, onda najvjerovatnije postoje znakovi pomoću kojih možete odrediti djeljivost prirodnih brojeva drugim brojevima.
Predmet studija: djeljivost prirodnih brojeva.

Predmet studija: znakove djeljivosti prirodnih brojeva.

Cilj: dopuniti već poznate znakove djeljivosti prirodnih brojeva, izučavane u školi.

Zadaci:
1. Definirajte i ponovite već proučene znakove djeljivosti sa 2, 3. 5, 9, 10.
2. Proučiti dodatnu literaturu koja potvrđuje ispravnost postavljenog pitanja o postojanju drugih znakova djeljivosti prirodnih brojeva.
3. Samostalno provjeriti i dobiti znakove djeljivosti prirodnih brojeva sa 4, 6, 8, 15, 25.
4. Pronađite iz dodatne literature znakove djeljivosti prirodnih brojeva sa 7, 11,12,13,14.
5. Izvucite zaključak.
novost: Tokom projekta proširio sam svoja znanja o znacima djeljivosti prirodnih brojeva.

Metode istraživanja: prikupljanje materijala, obrada podataka, posmatranje, poređenje, analiza, sinteza.

1. Činjenice iz istorije matematike

1. Znak djeljivosti- algoritam koji vam omogućava da relativno brzo odredite da li je broj višekratnik unaprijed određenog
Test djeljivosti je pravilo po kojem se bez dijeljenja može utvrditi da li je jedan prirodan broj djeljiv drugim. Znakovi djeljivosti oduvijek su zanimali naučnike različite zemlje Znakovi djeljivosti sa 2, 3, 5, 9, 10 poznati su od davnina. Znak deljivosti sa 2 bio je poznat starim Egipćanima 2 hiljade godina pre nove ere, a znakove deljivosti sa 2, 3, 5 detaljno je opisao italijanski matematičar Leonardo Pisanus (lat. Leonardus Pisanus, italijanski Leonardo Pisano, oko 1170. Piza - oko 1250. godine, ibid.) - prvi veliki matematičar srednjovjekovne Evrope. Najpoznatiji je po svom nadimku Fibonači. Aleksandrijski naučnik Eratosten, koji je živeo u 3. veku pre nove ere, jednom je razmišljao o istom pitanju. Njegov metod sastavljanja liste prostih brojeva nazvan je "Eratostenovo sito". Recimo da trebamo pronaći sve proste brojeve do 100. Napišimo redom sve brojeve do 100.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100.

Ostavljajući broj 2, precrtajte sve ostale parne brojeve. Prvi preživjeli broj nakon 2 bit će 3. Sada, ostavljajući broj 3, precrtajmo brojeve deljive sa 3. Zatim precrtajte brojeve deljive sa 5. Kao rezultat toga, svi složeni brojevi će biti precrtani i samo prosti brojevi ostaće: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 , 97. Koristeći ovu metodu, možete napraviti liste prostih brojeva , većih od 100.

Pitagorejci su razmatrali pitanja djeljivosti brojeva. U teoriji brojeva koju su izveli veliki posao prema tipologiji prirodnih brojeva. Pitagorejci su ih podijelili u klase. Razlikuju se klase: savršeni brojevi (broj jednak zbiru vlastiti djelitelji, na primjer: 6=1+2+3), prijateljski brojevi (od kojih je svaki jednak zbroju djelitelja drugog, na primjer 220 i 284: 284=1+2+4+5+10+ 20+11+22+44 +55+110; 220=1+2+4+71+142), figurirani brojevi (trouglasti broj, kvadratni broj), prosti brojevi, itd. Blaise Pascal (1623-1662) napravio je veliki doprinos proučavanju znakova djeljivosti brojeva. ). Mladi Blejz je vrlo rano pokazao izvanredne matematičke sposobnosti, naučivši da broji pre nego što je mogao da čita. Općenito, njegov primjer je klasičan slučaj matematičkog genija iz djetinjstva. Svoju prvu matematičku raspravu, “Iskustvo u teoriji konusnih presjeka” napisao je u dobi od 24 godine. Otprilike u isto vrijeme dizajnirao je mehaničku mašinu za sabiranje, prototip mašine za sabiranje. IN rani period Svestrani naučnik je u svom stvaralačkom radu (1640-1650) pronašao algoritam za pronalaženje znakova djeljivosti bilo kojeg cijelog broja bilo kojim drugim cijelim brojem, iz kojeg slijede svi partikularni predznaci. Njegov predznak je sljedeći: Prirodni broj a bit će podijeljen drugim prirodnim brojem b samo ako je zbir proizvoda cifara broja a odgovarajućih ostataka dobivenih dijeljenjem jedinica cifara brojem b djeljiv s ovim broj.
Prilikom proučavanja ove teme potrebno je poznavati pojmove djelitelja, višekratnika, prostih i složenih brojeva.Djelilac prirodnog broja a je prirodan broj b, kojim se a dijeli bez ostatka.Često, izjava o djeljivosti broja brojem b izražava se drugim ekvivalentnim riječima: a je višekratnik broja b, b je djelitelj a, b dijeli a. Prosti brojevi su prirodni brojevi koji imaju dva djelitelja: 1 i sam broj. Na primjer, brojevi 5,7,19 su prosti brojevi jer su djeljive sa 1 i samim sobom. Brojevi koji imaju više od dva djelitelja nazivaju se složeni brojevi. Na primjer, broj 14 ima 4 djelitelja: 1, 2, 7, 14, što znači da je složen.

2. Znakovi djeljivosti

Da bi se pojednostavila podjela prirodnih brojeva, izvedena su pravila za podjelu na brojeve prve desetice i brojeve 11, 25, koji su objedinjeni u odjeljak o znakovima djeljivosti prirodnih brojeva. Ispod su pravila po kojima će analiza broja bez dijeljenja s drugim prirodnim brojem odgovoriti na pitanje, da li je prirodni broj višekratnik brojeva 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 i cifarska jedinica?

Prirodni brojevi koji imaju cifre (završavaju na) 2,4,6,8,0 u prvoj cifri nazivaju se parni.

Test djeljivosti brojeva sa 2

Svi parni prirodni brojevi su djeljivi sa 2, na primjer: 172, 94,67, 838, 1670.

Na primjer, broj 52,738 je djeljiv sa 2 jer je posljednja znamenka, 8, paran; 7691 nije djeljivo sa 2, jer je 1 neparan broj; 1250 je djeljivo sa 2 jer je zadnja cifra nula.

Test djeljivosti brojeva sa 3

Svi prirodni brojevi čiji je zbir cifara djeljiv sa 3 djeljivi su sa 3. Na primjer:
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);

16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).

Primjeri.

Broj 52632 je djeljiv sa 9 jer je zbir njegovih cifara (18) djeljiv sa 9.

Test djeljivosti brojeva sa 4

Svi prirodni brojevi čije su zadnje dvije cifre nule ili višekratnik broja 4 djeljivi su sa 4.
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).

Primjeri.
31.700 je djeljivo sa 4 jer se završava s dvije nule;
215,634 nije djeljivo sa 4, jer zadnje dvije cifre daju broj 34, koji nije djeljiv sa 4;
16608 je djeljiv sa 4 jer zadnje dvije cifre od 08 daju broj 8, koji je djeljiv sa 4.

Test djeljivosti brojeva sa 5

Test djeljivosti brojeva sa 6

Oni prirodni brojevi koji su u isto vrijeme djeljivi sa 2 i 3 djeljivi su sa 6 (svi parni brojevi koji su djeljivi sa 3). Na primjer: 126 (b - parno, 1 + 2 + 6 = 9, 9: 3 = 3).

Test djeljivosti brojeva sa 8

Oni i samo oni brojevi koji završavaju sa tri nule ili čije posljednje tri cifre izražavaju broj djeljiv sa 8 djeljivi su sa 8. Primjer

Broj 853.000 završava se sa tri nule, što znači da je djeljiv sa 8

Broj 381.864 je djeljiv sa 8 jer je broj koji čine posljednje tri znamenke broja 864 djeljiv sa 8.

itdZnak djeljivosti brojeva sa 9

Oni prirodni brojevi čiji je zbir cifara višekratnik 9 djeljivi su sa 9. Na primjer:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).

Primjeri.
Broj 17835 je djeljiv sa 3 i nije djeljiv sa 9, jer je zbir njegovih cifara 1 + 7 + 8 + 3 + 5 = 24 djeljiv sa 3 i nije djeljiv sa 9.
Broj 105.499 nije djeljiv ni sa 3 ni sa 9, jer zbir njegovih cifara (29) nije djeljiv ni sa 3 ni sa 9.
Broj 52632 je djeljiv sa 9 jer je zbir njegovih znamenki (18) djeljiv sa 9

Test djeljivosti brojeva sa 10

Primjeri.
8200 je djeljivo sa 10 i 100;
542000 je djeljivo sa 10, 100, 1000.

3. Znaci djeljivosti prirodnih brojeva sa 7, 11, 12, 13, 14, 19, 25,50.

Iz dodatne literature pronašli smo potvrdu ispravnosti kriterija koje smo formulirali za djeljivost prirodnih brojeva sa 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000. Pronašli smo i nekoliko znakova djeljivosti sa 7:
1) Prirodni broj je djeljiv sa 7 ako i samo ako je razlika između broja hiljada i broja izraženog sa posljednje tri cifre djeljiva sa 7.
primjeri:
478009 je djeljivo sa 7 jer 478-9=469, 469 je deljivo sa 7.
479345 nije djeljivo sa 7, jer 479-345=134, 134 nije deljivo sa 7.
2) Prirodni broj je djeljiv sa 7 ako je zbir dvostrukog broja desetica i preostalog broja djeljiv sa 7.
primjeri:
4592 je djeljivo sa 7 jer 45·2=90, 90+92=182, 182 je deljivo sa 7.
57384 nije djeljivo sa 7, jer 573·2=1146, 1146+84=1230, 1230 nije deljivo sa 7.
3) Trocifreni prirodni broj oblika aba bit će djeljiv sa 7 ako je a+b djeljiv sa 7.
primjeri:
252 je djeljivo sa 7 jer 2+5=7, 7/7.
636 nije djeljivo sa 7 jer 6+3=9, 9 nije deljivo sa 7.
4) Trocifreni prirodni broj oblika baa biće djeljiv sa 7 ako je zbir cifara broja djeljiv sa 7.
primjeri:
455 je djeljivo sa 7 jer 4+5+5=14, 14/7.
244 nije djeljivo sa 7, jer 2+4+4=12, 12 nije deljivo sa 7.
5) Trocifreni prirodni broj oblika aab bit će djeljiv sa 7 ako je 2a-b djeljiv sa 7.
primjeri:
882 je djeljivo sa 7 jer 8+8-2=14, 14/7.
996 nije djeljivo sa 7, jer 9+9-6=12, 12 nije deljivo sa 7.
6) Četvorocifren prirodni broj oblika baa, gde je b dvocifreni broj, biće deljiv sa 7 ako je b+2a deljiv sa 7.
primjeri:
2744 je djeljivo sa 7 jer 27+4+4=35, 35/7.
1955 nije djeljivo sa 7, jer 19+5+5=29, 29 nije deljivo sa 7.
7) Prirodni broj je djeljiv sa 7 ako i samo ako je rezultat dvostrukog oduzimanja posljednje cifre od tog broja bez zadnje cifre djeljiv sa 7.
primjeri:
483 je djeljivo sa 7 jer 48-3·2=42, 42/7.
564 nije djeljivo sa 7, jer 56-4 2=48, 48 nije deljivo sa 7.
8) Prirodni broj je djeljiv sa 7 ako i samo ako je zbir proizvoda cifara broja na odgovarajuće ostatke dobijen dijeljenjem cifarskih jedinica brojem 7 djeljiv sa 7.
primjeri:
10׃7=1 (ost 3)
100׃7=14 (ost 2)
1000׃7=142 (ost 6)
10000׃7=1428 (ost 4)
100000׃7=14285 (ost 5)
1000000׃7=142857 (ostatak 1) i ostaci se ponavljaju ponovo.
Broj 1316 je djeljiv sa 7 jer... 1 6 + 3 2 + 1 3 + 6 = 21, 21/7 (6 ostataka od dijeljenja 1000 sa 7; 2 ostataka od dijeljenja 100 sa 7; 3 ostataka od dijeljenja 10 sa 7) .
Broj 354722 nije djeljiv sa 7, jer... 3·5+5·4+4·6+7·2+2·3+2=81, 81 nije djeljivo sa 7 (5 je ostatak od dijeljenja 100.000 sa 7; 4 je ostatak od dijeljenja 10.000 sa 7 ; 6 ostataka od dijeljenja 1000 sa 7; 2 ostatka od dijeljenja 100 sa 7; 3 ostatka od dijeljenja 10 sa 7).
Deljivost sa 11.
1) Broj je djeljiv sa 11 ako je razlika između zbira cifara na neparnim mjestima i zbira cifara na parnim mjestima višekratnik 11.
Razlika može biti negativan broj ili 0, ali mora biti višekratnik od 11. Numeracija ide s lijeva na desno.
primjer:
2135704 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10 nije višekratnik 11, što znači da ovaj broj nije djeljiv sa 11.
1352736 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11 je višekratnik 11, što znači da je ovaj broj djeljiv sa 11.
2) Prirodni broj se dijeli s desna na lijevo u grupe od po 2 cifre i te se grupe sabiraju. Ako je rezultirajući zbroj višekratnik od 11, tada je broj koji se testira višestruki od 11.
Primjer: Odredite da li je broj 12561714 djeljiv sa 11.
Podijelimo broj u grupe od po dvije cifre: 12/56/17/14; 12+56+17+14=99, 99 je djeljiv sa 11, što znači da je ovaj broj djeljiv sa 11.
3) Trocifreni prirodni broj je djeljiv sa 11 ako je zbir bočnih cifara broja jednak cifri u sredini. Odgovor će se sastojati od istih bočnih brojeva.
primjeri:
594 je djeljivo sa 11 jer 5+4=9, 9 je u sredini.
473 je djeljivo sa 11 jer 4+3=7, 7- u sredini.
861 nije djeljivo sa 11 jer 8+1=9, a u sredini je 6.
Test djeljivosti sa 12
Prirodni broj je djeljiv sa 12 ako i samo ako je istovremeno djeljiv sa 3 i 4.
primjeri:
636 je deljivo sa 3 i 4, što znači da je deljivo sa 12.
587 nije deljivo sa 3 ili 4, što znači da nije deljivo sa 12.
27126 je deljivo sa 3, ali nije deljivo sa 4, što znači da nije deljivo sa 12.
Testovi djeljivosti sa 13
1) Prirodni broj je djeljiv sa 13 ako je razlika između broja hiljada i broja koji čine posljednje tri cifre djeljiva sa 13.
primjeri:
Broj 465400 je djeljiv sa 13 jer... 465 - 400 = 65, 65 podijeljeno sa 13.
Broj 256184 nije djeljiv sa 13, jer... 256 - 184 = 72, 72 nije djeljivo sa 13.
2) Prirodni broj je djeljiv sa 13 ako i samo ako je rezultat oduzimanja posljednje cifre pomnožene sa 9 od ovog broja bez posljednje cifre djeljiv sa 13.
primjeri:
988 je djeljivo sa 13 jer 98 - 9 8 = 26, 26 je podijeljeno sa 13.
853 nije djeljivo sa 13 jer 85 - 3 9 = 58, 58 nije djeljivo sa 13.
Test djeljivosti sa 14
Prirodni broj je djeljiv sa 14 ako i samo ako je istovremeno djeljiv sa 2 i 7.
primjeri:
Broj 45826 je djeljiv sa 2, ali nije djeljiv sa 7, što znači da nije djeljiv sa 14.
Broj 1771 je djeljiv sa 7, ali nije djeljiv sa 2, što znači da nije djeljiv sa 14.
Broj 35882 je djeljiv sa 2 i 7, što znači da je djeljiv sa 14.
Test djeljivosti sa 19
Prirodni broj je djeljiv sa 19 bez ostatka ako i samo ako je broj njegovih desetica dodat dvostrukom broju jedinica djeljiv sa 19.
Treba uzeti u obzir da se broj desetica u broju ne računa po cifri na mjestu desetice, već po ukupnom broju cijelih desetica u cijelom broju.
primjeri:
1534 desetice je 153, 4 2 = 8, 153 + 8 = 161, 161 nije deljivo sa 19, što znači da 1534 nije deljivo sa 19.
1824 182+4·2=190, 190/19, što znači da je broj 1824/19.
Testirajte djeljivost sa 25 i 50
Podijeliti sa 25 ili 50 su oni i samo oni brojevi koji završavaju s dvije nule ili čije posljednje dvije cifre izražavaju broj djeljiv sa 25 odnosno 50.

Broj 97300 završava se s dvije nule, što znači da je djeljiv sa 25 i 50.

Broj 79.450 djeljiv je sa 25 i 50, jer je broj koji čine posljednje dvije znamenke 50 djeljiv sa 25 i 50.

4. Rješavanje problema korištenjem kriterija djeljivosti.

Prodavac u radnji.

Kupac je iz radnje uzeo pakovanje mlijeka u vrijednosti od 34,5 rubalja, kutiju svježeg sira od 36 rubalja, 6 kolača i 3 kilograma šećera. Kada je blagajnik izbacio ček na 296 rubalja, kupac je zahtijevao da provjeri izračun i ispravi grešku. Kako je kupac utvrdio da je faktura neispravna?

Rješenje: Trošak kupljene robe svake vrste izražava se brojem djeljivim sa 3 (za prve dvije vrste robe cijena je višestruka od 3, a za ostale - broj kupljene robe je višestruk od 3). svaki od članova je djeljiv sa 3, tada iznos mora biti djeljiv sa 3. Broj 296 nije djeljiv sa 3, stoga je izračun netačan.

Jabuke u kutijike.

Broj jabuka u kutiji je manji od 200. Mogu se podijeliti na 2,3,4,5 i 6 djece. Koji maksimalni iznos jabuke mozda u kutiji?

Rješenje.

LCM(2,3,4,5,6) = 60.

60s< 200, значит максимальное количество яблок в ящике = 180

Odgovor: 180 jabuka.

5. Zaključak:

Radeći sam se upoznao sa istorijom razvoja znakova djeljivosti, formulisao znake djeljivosti prirodnih brojeva sa 4, 6, 8, 15, 25,50 i našao potvrdu za to u dodatnoj literaturi. Uvjerio sam se i da postoje i drugi znaci djeljivosti prirodnih brojeva (sa 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37), što je potvrdilo tačnost hipoteze o postojanju drugih znakova djeljivosti prirodnih brojeva.

Spisak korišćene literature (izvori):

1. Galkin V.A. Zadaci na temu “Kriterijumi djeljivosti” // Matematika, 1999.-№5.-P.9.

2. Gusev V.A., Orlov A.I., Rosenthal A.L. Vannastavni rad iz matematike u 6-8 razredima - M.: Obrazovanje, 1984.

3. Kaplun L.M. GCD i LCM u problemima. // Matematika, 1999.- br. 7. - str. 4-6.

4.​ Pelman Ya.I. Matematika je zanimljiva! - M.: TERRA - Klub knjiga, 2006

5.​ enciklopedijski rječnik mladi matematičar./ Comp. Savin A.P. - M.: Pedagogija, 1989. - Str. 352.

6.​ Resursi - Internet.

• Jednostavno je broj koji ima samo dva djelitelja: jedan i sam broj.
• Kompozitni je broj koji ima više od dva djelitelja.
• Broj 1 ne odnosi se ni na proste brojeve ni na složene brojeve.
• Pisanje složenog broja kao proizvoda samo prostih brojeva se zove raspadanje kompozitni broj on primarni faktori. Bilo koji složeni broj može se jedinstveno predstaviti kao proizvod prostih faktora.

Primjeri. Podijelite složeni broj na proste faktore:

1) 48; 2) 75; 3) 80; 4) 120.
Zapišimo broj 48 i nacrtajmo okomitu liniju desno od njega. Počinjemo razvrstavati proste faktore broja 48, počevši od najmanjeg - broja 2 . Pišemo 2 desno od reda. Pod brojem 48 upisujemo količnik od 48 podijeljen sa 2. Ovo je broj 24, koji je također djeljiv sa 2 . Desno od broja 24 pišemo 2, a ispod broja 24 - rezultat dijeljenja 24 sa 2. Ovo je broj 12, koji opet dijelimo sa 2 . Desno upisujemo broj 2, a ispod broja 12 stavljamo 6. Ponovo dijelimo broj 6 sa 2 , dobijamo broj 3, koji upisujemo ispod broja 6. Broj 3 dijelimo sa 3 i konačno, ispod broja 3 upisujemo 1. Tako dobijamo dekompoziciju broja 48 na proste faktore: 48= 2·2·2·2·3 ili 48=2 4 ∙3.

Najmanji prosti faktor od 75 je broj 3 , postavljamo ga desno od okomite linije. Kao rezultat dijeljenja broja 75 sa 3, dobijamo 25. Pod brojem 75 upisujemo broj 25. Broj 25 dijelimo sa 5 , dakle, upisujemo broj 5 desno od broja 25, a ispod broja 25 upisujemo broj 5 - rezultat dijeljenja 25 sa 5. Broj 5 dijeli se sa 5 , ispod njega stavite broj 1. Rezultat: 75= 3·5·5 ili 75=3∙5 2.

Broj 80 završava na nulu, što znači da je djeljiv sa 10. Broj 10 je složen, jednak je umnošku prostih brojeva 2 i 5, stoga je zgodno pisati proizvod desno od vertikale bar 2·5. zatim ispod broja 80 upisujemo broj 8. Podijelimo broj 8 sa 2 (desno pišemo 2), ispod broja 8 upisujemo broj 4. Ponovo podijelimo 2 , dobijamo 2, podijelimo sa 2 , ostaje 1. Rezultat: 80=2 4 ∙5.

Odmah podijelite broj 120 sa 10. Pošto je 10 = 2 5, onda desno od okomite linije pišemo 2·5. Ispod broja 120 upisujemo 12. Podijelite broj 12 sa 2 , napiši ispod broja 12 broj 6, kojim dijelimo 2 , a zatim podijelite rezultirajući broj 3 sa 3 , što rezultira brojem 1. Rezultat: 120=2 3 ∙3∙5.

Stranica 1 od 1 1

Ovaj članak počinje materijalom teorija djeljivosti cijelih brojeva. Ovdje uvodimo koncept djeljivosti i ukazujemo na prihvaćene termine i oznake. To će nam omogućiti da navedemo i opravdamo glavna svojstva djeljivosti.

Navigacija po stranici.

Koncept djeljivosti

Koncept djeljivosti jedan je od osnovnih pojmova aritmetike i teorije brojeva. Govorit ćemo o djeljivosti iu posebnim slučajevima - o djeljivosti. Dakle, dajmo ideju o djeljivosti na skupu cijelih brojeva.

Integer a dionice cijelim brojem b, koji je različit od nule, ako postoji cijeli broj (označiti ga sa q) takav da je jednakost a=b·q tačna. U ovom slučaju takođe kažemo da b deli a. U ovom slučaju se poziva cijeli broj b razdjelnik brojeva a, poziva se cijeli broj a višestruki broj b (za više informacija o djeliteljima i višekratnicima pogledajte članak djelitelji i višekratnici), a cijeli broj q se zove privatni.

Ako je cijeli broj a djeljiv cijelim brojem b u gore navedenom smislu, onda se može reći da je a djeljiv sa b potpuno. Riječ "potpuno" u ovom slučaju dodatno naglašava da je količnik dijeljenja cijelog broja a cijelim brojem b cijeli broj.

U nekim slučajevima, za date cijele brojeve a i b, ne postoji cijeli broj q za koji je tačna jednakost a=b·q. U takvim slučajevima kažemo da cijeli broj a nije djeljiv cijelim brojem b (što znači da a nije djeljiv sa b). Međutim, u tim slučajevima pribjegavaju.

Hajde da razumijemo koncept djeljivosti koristeći primjere.

Svaki cijeli broj a djeljiv je brojem a, brojem −a, a, jednim i brojem −1.

Dokažimo ovo svojstvo djeljivosti.

Za bilo koji cijeli broj a vrijede jednakosti a=a·1 i a=1·a, iz čega slijedi da je a djeljivo sa a, a količnik jednak jedan i da je a djeljivo sa 1, a količnik je jednak a. Za bilo koji cijeli broj a vrijede jednakosti a=(−a)·(−1) i a=(−1)·(−a), iz čega slijedi da je a djeljivo brojem nasuprot a, kao kao i a je deljivo sa minus jedinicom.

Imajte na umu da se svojstvo djeljivosti cijelog broja a samo po sebi naziva svojstvom refleksivnosti.

Sljedeće svojstvo djeljivosti kaže da je nula djeljiva s bilo kojim cijelim brojem b.

Zaista, pošto je 0=b·0 za bilo koji cijeli broj b, onda je nula djeljiva sa bilo kojim cijelim brojem.

Konkretno, nula je također djeljiva sa nulom. Ovo potvrđuje jednakost 0=0·q, gdje je q bilo koji cijeli broj. Iz ove jednakosti slijedi da je količnik nule podijeljen sa nulom bilo koji cijeli broj.

Također treba napomenuti da nijedan drugi cijeli broj osim nule nije djeljiv sa 0. Hajde da objasnimo ovo. Ako je nula podijelila cijeli broj različit od nule, tada bi jednakost a=0·q trebala biti tačna, gdje je q neki cijeli broj, a posljednja jednakost je moguća samo ako je a=0.

Ako je cijeli broj a djeljiv cijelim brojem b i a je manji od modula b, tada je a jednako nuli. U doslovnom obliku, ovo svojstvo djeljivosti je zapisano na sljedeći način: ako je ab i , onda je a=0.

Dokaz.

Pošto je a djeljivo sa b, postoji cijeli broj q za koji je tačna jednakost a=b·q. Tada jednakost također mora biti istinita, a na osnovu toga jednakost oblika također mora biti istinita. Ako q nije jednako nuli, onda slijedi da je . Uzimajući u obzir dobivenu nejednakost, iz jednakosti slijedi da . Ali ovo je u suprotnosti sa uslovom. Dakle, q može biti jednako nuli, a dobijamo a=b·q=b·0=0, što smo trebali dokazati.

Ako je cijeli broj a različit od nule i djeljiv cijelim brojem b, tada modul a nije manji od modula b. To jest, ako je a≠0 i ab, onda . Ovo svojstvo djeljivosti proizilazi direktno iz prethodnog.

Jedini djelitelji jedinice su cijeli brojevi 1 i −1.

Prvo, pokažimo da je 1 deljivo sa 1 i −1. Ovo slijedi iz jednakosti 1=1·1 i 1=(−1)·(−1) .

Ostaje dokazati da nijedan drugi cijeli broj nije djelitelj jedinice.

Pretpostavimo da je cijeli broj b, različit od 1 i −1, djelitelj jedinice. Pošto je jedinica deljiva sa b, onda, zbog prethodnog svojstva deljivosti, nejednakost mora biti zadovoljena, što je ekvivalentno nejednakosti. Ovu nejednakost zadovoljavaju samo tri cijela broja: 1, 0 i −1. Pošto smo pretpostavili da je b različit od 1 i −1, ostaje samo b=0. Ali b=0 ne može biti djelitelj jedinice (kao što smo pokazali kada smo opisivali drugo svojstvo djeljivosti). Ovo dokazuje da nijedan drugi brojevi osim 1 i −1 nisu djelitelji jedinice.

Da bi cijeli broj a bio djeljiv cijelim brojem b, potrebno je i dovoljno da je modul broja a djeljiv sa modulom broja b.

Hajde da prvo dokažemo neophodnost.

Neka je a podijeljeno sa b, tada postoji cijeli broj q takav da je a=b·q. Onda . Pošto je to cijeli broj, jednakost implicira da je modul broja a djeljiv sa modulom broja b.

Sada dovoljno.

Neka se modul broja a podijeli s modulom broja b, tada postoji cijeli broj q takav da je . Ako su brojevi a i b pozitivni, tada je tačna jednakost a=b·q, što dokazuje djeljivost a sa b. Ako su a i b negativni, tada je tačna jednakost −a=(−b)·q, koja se može prepisati kao a=b·q. Ako - negativan broj, a b je pozitivan, onda imamo −a=b·q, ova jednakost je ekvivalentna jednakosti a=b·(−q) . Ako je a pozitivno, a b negativno, onda imamo a=(−b)·q, i a=b·(−q) . Pošto su i q i −q cijeli brojevi, rezultirajuće jednakosti dokazuju da je a djeljivo sa b.

Zaključak 1.

Ako je cijeli broj a djeljiv cijelim brojem b, tada je a također djeljiv sa suprotnim brojem −b.

Zaključak 2.

Ako je cijeli broj a djeljiv cijelim brojem b, tada je −a također djeljiv sa b.

Važnost upravo razmatranog svojstva djeljivosti teško je precijeniti - teorija djeljivosti se može opisati na skupu pozitivnih cijelih brojeva, a ovo svojstvo djeljivosti je proširuje na negativne cijele brojeve.

Djeljivost ima svojstvo tranzitivnosti: ako je cijeli broj a djeljiv s nekim cijelim brojem m, a broj m je zauzvrat podijeljen s nekim cijelim brojem b, tada je a djeljiv sa b. To jest, ako su am i mb, onda ab.

Dajemo dokaz ovog svojstva djeljivosti.

Pošto je a deljivo sa m, postoji neki ceo broj a 1 takav da je a=m·a 1. Slično, pošto je m deljivo sa b, postoji neki ceo broj m 1 takav da je m=b·m 1. Onda a=m a 1 =(b m 1) a 1 =b (m 1 a 1). Pošto je proizvod dva cijela broja cijeli broj, onda je m 1 ·a 1 neki cijeli broj. Označavajući ga q, dolazimo do jednakosti a=b·q, što dokazuje svojstvo djeljivosti koje se razmatra.

Deljivost ima svojstvo antisimetrije, to jest, ako je a podeljeno sa b i istovremeno b podeljeno sa a, tada su ili celi brojevi a i b, ili brojevi a i −b, jednaki.

Iz djeljivosti a sa b i b sa a, možemo govoriti o postojanju cijelih brojeva q 1 i q 2 takvih da su a=b·q 1 i b=a·q 2. Zamjenom b·q 1 umjesto a u drugu jednakost, ili zamjenom a·q 2 umjesto b u prvu jednakost, dobijamo da je q 1 ·q 2 =1, a s obzirom da su q 1 i q 2 cijeli brojevi, ovo je moguće samo ako je q 1 =q 2 =1 ili kada je q 1 =q 2 =−1. Iz toga slijedi da je a=b ili a=−b (ili, što je isto, b=a ili b=−a ).

Za bilo koji cijeli broj i različit od nule b, postoji cijeli broj a, koji nije jednak b, koji je djeljiv sa b.

Ovaj broj će biti bilo koji od brojeva a=b·q, gdje je q bilo koji cijeli broj, ne jednako jedan. Možemo prijeći na sljedeće svojstvo djeljivosti.

Ako je svaki od dva cjelobrojna člana a i b djeljiv cijelim brojem c, tada je i zbir a+b djeljiv sa c.

Pošto su a i b djeljivi sa c, možemo napisati a=c·q 1 i b=c·q 2. Onda a+b=c q 1 +c q 2 =c (q 1 +q 2)(zadnji prijelaz je moguć zbog ). Pošto je zbir dva cijela broja cijeli broj, jednakost a+b=c·(q 1 +q 2) dokazuje djeljivost zbira a+b sa c.

Ovo svojstvo se može proširiti na zbir tri, četiri ili više termina.

Ako se također prisjetimo da je oduzimanje cijelog broja b od cijelog broja a sabiranje broja a sa brojem −b (vidi), onda ovo svojstvo djeljivosti vrijedi i za razliku brojeva. Na primjer, ako su cijeli brojevi a i b djeljivi sa c, tada je razlika a−b također djeljiva sa c.

Ako je poznato da su u jednakosti oblika k+l+…+n=p+q+…+s svi članovi osim jednog djeljivi s nekim cijelim brojem b, onda je i ovaj član djeljiv sa b.

Recimo da je ovaj pojam p (možemo uzeti bilo koji od pojmova jednakosti, što neće uticati na rezonovanje). Tada je p=k+l+…+n−q−…−s . Izraz dobijen na desnoj strani jednakosti podijeljen je sa b zbog prethodnog svojstva. Dakle, broj p je također djeljiv sa b.

Ako je cijeli broj a djeljiv cijelim brojem b, tada se proizvod a·k, gdje je k proizvoljan cijeli broj, dijeli sa b.

Pošto je a deljivo sa b, tačna je jednakost a=b·q, gde je q neki ceo broj. Tada je a·k=(b·q)·k=b·(q·k) (zadnji prelaz je izveden zbog ). Pošto je proizvod dva cijela broja cijeli broj, jednakost a·k=b·(q·k) dokazuje djeljivost proizvoda a·k sa b.

Posljedica: ako je cijeli broj a djeljiv cijelim brojem b, onda je proizvod a·k 1 ·k 2 ·…·k n, gdje su k 1, k 2, …, k n neki cijeli brojevi, djeljiv sa b.

Ako su cijeli brojevi a i b djeljivi sa c, tada se zbir proizvoda a·u i b·v oblika a·u+b·v, gdje su u i v proizvoljni cijeli brojevi, dijeli sa c.

Dokaz ovog svojstva djeljivosti je sličan prethodna dva. Iz uslova imamo a=c·q 1 i b=c·q 2. Onda a u+b v=(c q 1) u+(c q 2) v=c (q 1 u+q 2 v). Kako je zbroj q 1 ·u+q 2 ·v cijeli broj, onda je jednakost oblika a u+b v=c (q 1 u+q 2 v) dokazuje da je a·u+b·v deljivo sa c.

Ovo završava naš pregled osnovnih svojstava djeljivosti.

Bibliografija.

• Vilenkin N.Ya. i dr. Matematika. 6. razred: udžbenik za opšteobrazovne ustanove.
• Vinogradov I.M. Osnove teorije brojeva.
• Mikhelovich Sh.H. Teorija brojeva.
• Kulikov L.Ya. i dr. Zbirka zadataka iz algebre i teorije brojeva: Tutorial za studente fizike i matematike. specijalnosti pedagoških instituta.