Definicija najveće i najmanje vrijednosti funkcije je kratka. Najmanje i najveće vrijednosti funkcije na segmentu

S praktične tačke gledišta, najveći interes je korištenje derivata za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije. Sa čime je ovo povezano? Maksimiziranje profita, minimiziranje troškova, određivanje optimalnog opterećenja opreme... Drugim riječima, u mnogim područjima života moramo rješavati probleme optimizacije nekih parametara. A to su zadaci pronalaženja najveće i najmanje vrijednosti funkcije.

Treba napomenuti da najveći i najmanju vrijednost funkcije se obično traže na nekom intervalu X, koji je ili cijeli domen funkcije ili dio domene. Sam interval X može biti segment, otvoreni interval , beskonačan interval.

U ovom članku ćemo govoriti o pronalaženju najveće i najmanje vrijednosti eksplicitno definirane funkcije jedne varijable y=f(x).

Navigacija po stranici.

Najveća i najmanja vrijednost funkcije - definicije, ilustracije.

Pogledajmo ukratko glavne definicije.

Najveća vrijednost funkcije to za bilo koga nejednakost je tačna.

Najmanja vrijednost funkcije y=f(x) na intervalu X naziva se takva vrijednost to za bilo koga nejednakost je tačna.

Ove definicije su intuitivne: najveća (najmanja) vrijednost funkcije je najveća (najmanja) prihvaćena vrijednost na intervalu koji se razmatra na apscisi.

Stacionarne tačke– to su vrijednosti argumenta pri kojima derivacija funkcije postaje nula.

Zašto su nam potrebne stacionarne tačke pri pronalaženju najvećih i najmanjih vrijednosti? Odgovor na ovo pitanje daje Fermatova teorema. Iz ove teoreme slijedi da ako diferencijabilna funkcija ima ekstrem (lokalni minimum ili lokalni maksimum) u nekoj tački, onda je ta tačka stacionarna. Dakle, funkcija često uzima svoju najveću (najmanju) vrijednost na intervalu X u jednoj od stacionarnih tačaka iz ovog intervala.

Također, funkcija često može poprimiti svoje najveće i najmanje vrijednosti u tačkama u kojima prvi izvod ove funkcije ne postoji, a sama funkcija je definirana.

Odgovorimo odmah na jedno od najčešćih pitanja na ovu temu: „Da li je uvijek moguće odrediti najveću (najmanju) vrijednost funkcije“? Ne ne uvek. Ponekad se granice intervala X poklapaju sa granicama domene definicije funkcije, ili je interval X beskonačan. A neke funkcije u beskonačnosti i na granicama domene definicije mogu poprimiti i beskonačno velike i beskonačno male vrijednosti. U ovim slučajevima se ništa ne može reći o najvećoj i najmanjoj vrijednosti funkcije.

Radi jasnoće daćemo grafičku ilustraciju. Pogledajte slike i mnogo toga će vam biti jasnije.

Na segmentu

Na prvoj slici, funkcija uzima najveću (max y) i najmanju (min y) vrijednost u stacionarnim tačkama koje se nalaze unutar segmenta [-6;6].

Razmotrite slučaj prikazan na drugoj slici. Promijenimo segment u . U ovom primjeru, najmanja vrijednost funkcije postiže se u stacionarnoj tački, a najveća u tački sa apscisom koja odgovara desnoj granici intervala.

Na slici 3, granične tačke segmenta [-3;2] su apscise tačaka koje odgovaraju najvećoj i najmanjoj vrednosti funkcije.

Na otvorenom intervalu

Na četvrtoj slici, funkcija uzima najveću (max y) i najmanju (min y) vrijednost u stacionarnim tačkama koje se nalaze unutar otvorenog intervala (-6;6).

Na intervalu se ne mogu izvući zaključci o najvećoj vrijednosti.

U beskonačnosti

U primjeru prikazanom na sedmoj slici, funkcija uzima najveću vrijednost (max y) u stacionarnoj tački sa apscisom x=1, a najmanja vrijednost (min y) postiže se na desnoj granici intervala. Na minus beskonačnosti, vrijednosti funkcije asimptotski se približavaju y=3.

Tokom intervala, funkcija ne dostiže ni najmanju ni najveću vrijednost. Kako se x=2 približava s desne strane, vrijednosti funkcije teže minus beskonačnosti (prava x=2 je vertikalna asimptota), a kako apscisa teži plus beskonačnosti, vrijednosti funkcije asimptotski se približavaju y=3. Grafička ilustracija ovog primjera prikazana je na slici 8.

Algoritam za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti kontinuirane funkcije na segmentu.

Napišimo algoritam koji nam omogućava da pronađemo najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu.

1. Pronalazimo domenu definicije funkcije i provjeravamo da li ona sadrži cijeli segment.
2. Pronalazimo sve tačke u kojima prvi izvod ne postoji i koje su sadržane u segmentu (obično se takve tačke nalaze u funkcijama sa argumentom pod znakom modula i u funkcije snage sa razlomkom-racionalnim eksponentom). Ako takvih tačaka nema, prijeđite na sljedeću tačku.
3. Određujemo sve stacionarne tačke koje spadaju u segment. Da bismo to učinili, izjednačavamo ga s nulom, rješavamo rezultirajuću jednadžbu i odabiremo odgovarajuće korijene. Ako nema stacionarnih tačaka ili nijedna od njih ne pada u segment, pređite na sledeću tačku.
4. Izračunavamo vrijednosti funkcije u odabranim stacionarnim tačkama (ako ih ima), u tačkama u kojima prvi izvod ne postoji (ako postoji), kao i na x=a i x=b.
5. Od dobivenih vrijednosti funkcije biramo najveću i najmanju - to će biti tražena najveća i najmanja vrijednost funkcije.

Analizirajmo algoritam za rješavanje primjera kako bismo pronašli najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu.

Primjer.

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije

• na segmentu;
• na segmentu [-4;-1] .

Rješenje.

Područje definicije funkcije je cijeli skup realnih brojeva, sa izuzetkom nule, tj. Oba segmenta spadaju u domen definicije.

Pronađite izvod funkcije u odnosu na:

Očigledno, derivacija funkcije postoji u svim tačkama segmenata i [-4;-1].

Stacionarne tačke određujemo iz jednačine. Jedini pravi korijen je x=2. Ova stacionarna tačka spada u prvi segment.

Za prvi slučaj izračunavamo vrijednosti funkcije na krajevima segmenta i u stacionarnoj tački, odnosno za x=1, x=2 i x=4:

Dakle, najveća vrijednost funkcije se postiže pri x=1, a najmanja vrijednost – na x=2.

Za drugi slučaj izračunavamo vrijednosti funkcije samo na krajevima segmenta [-4;-1] (pošto ne sadrži ni jednu stacionarnu tačku):

Zadana funkcija koja je definirana i kontinuirana na određenom intervalu. Morate pronaći najveću (najmanju) vrijednost funkcije na ovom intervalu.

Teorijska osnova.
Teorema (Druga Weierstrassova teorema):

Ako je funkcija definirana i kontinuirana u zatvorenom intervalu, tada ona u tom intervalu dostiže svoje maksimalne i minimalne vrijednosti.

Funkcija može doseći svoje najveće i najmanje vrijednosti bilo na unutrašnjim točkama intervala ili na njegovim granicama. Ilustrujmo sve moguće opcije.

Objašnjenje:
1) Funkcija dostiže svoju najveću vrijednost na lijevoj granici intervala u tački , a svoju minimalnu vrijednost na desnoj granici intervala u tački .
2) Funkcija dostiže svoju najveću vrijednost u tački (ovo je maksimalna tačka), a minimalnu vrijednost na desnoj granici intervala u tački.
3) Funkcija dostiže svoju maksimalnu vrijednost na lijevoj granici intervala u tački , a svoju minimalnu vrijednost u tački (ovo je minimalna tačka).
4) Funkcija je konstantna na intervalu, tj. dostiže svoje minimalne i maksimalne vrijednosti u bilo kojoj tački intervala, a minimalne i maksimalne vrijednosti su međusobno jednake.
5) Funkcija dostiže svoju najveću vrijednost u tački , a svoju minimalnu vrijednost u tački (uprkos činjenici da funkcija ima i maksimum i minimum na ovom intervalu).
6) Funkcija dostiže svoju najveću vrijednost u tački (ovo je maksimalna tačka), a minimalnu vrijednost u tački (ovo je minimalna tačka).
komentar:

"Maksimum" i " maksimalna vrijednost" - Različite stvari. Ovo proizilazi iz definicije maksimuma i intuitivnog razumijevanja izraza „maksimalna vrijednost“.

Algoritam za rješavanje problema 2.



4) Odaberite najveću (najmanju) od dobijenih vrijednosti i zapišite odgovor.

Primjer 4:

Odredite najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu.
Rješenje:
1) Pronađite izvod funkcije.

2) Naći stacionarne tačke (i tačke za koje se sumnja da su ekstremne) rješavanjem jednačine. Obratite pažnju na tačke u kojima ne postoji dvostrani konačni izvod.

3) Izračunajte vrijednosti funkcije u stacionarnim tačkama i na granicama intervala.

4) Odaberite najveću (najmanju) od dobijenih vrijednosti i zapišite odgovor.

Funkcija na ovom segmentu dostiže svoju najveću vrijednost u tački s koordinatama .

Funkcija na ovom segmentu dostiže svoju minimalnu vrijednost u tački s koordinatama .

Ispravnost proračuna možete provjeriti gledajući graf funkcije koja se proučava.


komentar: Funkcija dostiže svoju najveću vrijednost u tački maksimuma, a minimalnu na granici segmenta.

Poseban slučaj.

Pretpostavimo da trebate pronaći maksimalnu i minimalnu vrijednost neke funkcije na segmentu. Nakon završetka prve tačke algoritma, tj. derivacije izračuna, postaje jasno da je, na primjer, potrebno samo negativne vrijednosti na čitav razmatrani segment. Zapamtite da ako je izvod negativan, onda se funkcija smanjuje. Otkrili smo da funkcija opada na cijelom segmentu. Ova situacija je prikazana na grafikonu br. 1 na početku članka.

Funkcija se smanjuje na segmentu, tj. nema ekstremnih tačaka. Sa slike možete vidjeti da će funkcija uzeti najmanju vrijednost na desnoj granici segmenta, a najveću vrijednost na lijevoj. ako je izvod na segmentu svugdje pozitivan, tada se funkcija povećava. Najmanja vrijednost je na lijevoj ivici segmenta, najveća na desnoj.

Kako pronaći najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu?

Za ovo pratimo dobro poznati algoritam:

1 . Mi nalazimo ODZ funkcije.

2 . Pronalaženje derivacije funkcije

3 . Izjednačavanje derivacije sa nulom

4 . Pronalazimo intervale u kojima derivacija zadržava predznak i iz njih određujemo intervale povećanja i smanjenja funkcije:

Ako je na intervalu I derivacija funkcije 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} povećava u ovom intervalu.

Ako je na intervalu I derivacija funkcije , tada funkcija opada u ovom intervalu.

5 . Mi nalazimo maksimalne i minimalne tačke funkcije.

IN na maksimalnoj tački funkcije, derivacija mijenja predznak iz “+” u “-”.

IN minimalna tačka funkcijederivat mijenja znak iz "-" u "+".

6 . Pronalazimo vrijednost funkcije na krajevima segmenta,

• zatim uspoređujemo vrijednost funkcije na krajevima segmenta i na maksimalnim tačkama, i odaberite najveći od njih ako trebate pronaći najveću vrijednost funkcije
• ili usporedite vrijednost funkcije na krajevima segmenta i na minimalnim tačkama, i odaberite najmanji od njih ako trebate pronaći najmanju vrijednost funkcije

Međutim, ovisno o tome kako se funkcija ponaša na segmentu, ovaj algoritam se može značajno smanjiti.

Razmotrite funkciju . Grafikon ove funkcije izgleda ovako:

Pogledajmo nekoliko primjera rješavanja problema iz Otvorene banke zadataka za

1 . Zadatak B15 (br. 26695)

Na segmentu.

1. Funkcija je definirana za sve realne vrijednosti x

Očigledno, ova jednadžba nema rješenja, a izvod je pozitivan za sve vrijednosti x. Posljedično, funkcija raste i poprima najveću vrijednost na desnom kraju intervala, odnosno na x=0.

Odgovor: 5.

2 . Zadatak B15 (br. 26702)

Pronađite najveću vrijednost funkcije na segmentu.

1. ODZ funkcije title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Izvod je jednak nuli na , međutim, u ovim točkama ne mijenja predznak:

Stoga, title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} raste i uzima najveću vrijednost na desnom kraju intervala, na .

Da bi bilo jasno zašto derivacija ne mijenja predznak, transformiramo izraz za izvod na sljedeći način:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Odgovor: 5.

3. Zadatak B15 (br. 26708)

Pronađite najmanju vrijednost funkcije na segmentu.

1. ODZ funkcije: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Postavimo korijene ove jednadžbe na trigonometrijski krug.

Interval sadrži dva broja: i

Postavimo znakove. Da bismo to učinili, određujemo predznak derivacije u tački x=0: . Prilikom prolaska kroz tačke i, derivacija mijenja predznak.

Opišimo promjenu predznaka derivacije funkcije na koordinatnoj liniji:

Očigledno, tačka je minimalna tačka (u kojoj derivacija mijenja predznak iz “-” u “+”), a da biste pronašli najmanju vrijednost funkcije na segmentu, trebate uporediti vrijednosti funkcije na minimalnoj tački i na lijevom kraju segmenta, .

U ovom članku govorit ću o tome kako primijeniti vještinu pronalaženja na proučavanje funkcije: pronaći njenu najveću ili najmanju vrijednost. A onda ćemo riješiti nekoliko problema iz zadatka B15 iz Otvorene banke zadataka za.

Kao i obično, prisjetimo se prvo teorije.

Na početku svakog proučavanja funkcije nalazimo je

Da biste pronašli najveću ili najmanju vrijednost funkcije, morate ispitati na kojim intervalima funkcija raste, a na kojima opada.

Da bismo to učinili, moramo pronaći derivaciju funkcije i ispitati njene intervale konstantnog predznaka, odnosno intervale u kojima derivacija zadržava svoj predznak.

Intervali preko kojih je derivacija funkcije pozitivna su intervali rastuće funkcije.

Intervali na kojima je derivacija funkcije negativna su intervali opadajuće funkcije.

1 . Rešimo zadatak B15 (br. 245184)

Da bismo to riješili, slijedit ćemo sljedeći algoritam:

a) Pronađite domen definicije funkcije

b) Nađimo derivaciju funkcije.

c) Hajde da ga izjednačimo sa nulom.

d) Nađimo intervale konstantnog predznaka funkcije.

e) Pronađite tačku u kojoj funkcija poprima najveću vrijednost.

f) Pronađite vrijednost funkcije u ovoj tački.

Detaljno rješenje ovog zadatka objašnjavam u VIDEO TUTORIALU:

Vaš pretraživač vjerovatno nije podržan. Da biste koristili simulator "Sat objedinjenog državnog ispita", pokušajte preuzeti
Firefox

2. Rešimo zadatak B15 (br. 282862)

Pronađite najveću vrijednost funkcije na segmentu

Očigledno je da funkcija zauzima najveću vrijednost na segmentu u tački maksimuma, na x=2. Nađimo vrijednost funkcije u ovom trenutku:

Odgovor: 5

3. Rešimo zadatak B15 (br. 245180):

Pronađite najveću vrijednost funkcije

1. title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Jer prema domenu definicije originalne funkcije title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. Brojač jednak nuli u . Provjerimo da li ODZ pripada funkciji. Da bismo to uradili, proverimo da li je uslov title="4-2x-x^2>0"> при .!}

Title="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

to znači da tačka pripada ODZ funkciji

Pogledajmo znak derivacije desno i lijevo od tačke:

Vidimo da funkcija poprima najveću vrijednost u tački . Sada pronađimo vrijednost funkcije na:

Napomena 1. Imajte na umu da u ovom zadatku nismo pronašli domen definicije funkcije: samo smo popravili ograničenja i provjerili da li tačka u kojoj je derivacija jednaka nuli pripada domenu definicije funkcije. Ovo se pokazalo dovoljnim za ovaj zadatak. Međutim, to nije uvijek slučaj. Zavisi od zadatka.

Napomena 2. Prilikom proučavanja ponašanja složena funkcija možete koristiti ovo pravilo:

• ako se eksterna funkcija kompleksne funkcije povećava, tada funkcija poprima svoju najveću vrijednost u istoj točki u kojoj unutrašnja funkcija uzima najveću vrijednost. Ovo slijedi iz definicije rastuće funkcije: funkcija raste na intervalu I ako veća vrijednost argument iz ovog intervala odgovara većoj vrijednosti funkcije.
• ako se vanjska funkcija kompleksne funkcije smanjuje, tada funkcija poprima najveću vrijednost u istoj točki u kojoj unutrašnja funkcija poprima najmanju vrijednost . Ovo slijedi iz definicije opadajuće funkcije: funkcija se smanjuje na intervalu I ako veća vrijednost argumenta iz ovog intervala odgovara manjoj vrijednosti funkcije

U našem primjeru, eksterna funkcija se povećava u cijeloj domeni definicije. Pod znakom logaritma nalazi se izraz - kvadratni trinom, koji sa negativnim vodećim koeficijentom uzima najveću vrijednost u tački . Zatim, ovu vrijednost x zamjenjujemo u jednadžbu funkcije i pronaći njegovu najveću vrijednost.

Neka je funkcija $z=f(x,y)$ definirana i kontinuirana u nekom ograničenom zatvorenom domenu $D$. Neka data funkcija u ovom području ima konačne parcijalne izvode prvog reda (osim, možda, za konačan broj tačaka). Da biste pronašli najveću i najmanju vrijednost funkcije dvije varijable u datom zatvorenom području, potrebna su tri koraka jednostavnog algoritma.

Algoritam za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije $z=f(x,y)$ u zatvorenom domenu $D$.

1. Pronađite kritične tačke funkcije $z=f(x,y)$ koje pripadaju domeni $D$. Izračunajte vrijednosti funkcije u kritičnim tačkama.
2. Istražite ponašanje funkcije $z=f(x,y)$ na granici područja $D$, pronalazeći tačke mogućih maksimalnih i minimalnih vrijednosti. Izračunajte vrijednosti funkcije u dobivenim tačkama.
3. Od vrijednosti funkcije dobijenih u prethodna dva paragrafa odaberite najveću i najmanju.

Šta su kritične tačke? prikaži\sakrij

Ispod kritične tačke impliciraju tačke u kojima su oba parcijalna izvoda prvog reda jednaka nuli (tj. $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ i $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) ili barem jedan parcijalni izvod ne postoji.

Često se nazivaju tačke u kojima su parcijalne derivacije prvog reda jednake nuli stacionarne tačke. Dakle, stacionarne tačke su podskup kritičnih tačaka.

Primjer br. 1

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije $z=x^2+2xy-y^2-4x$ u zatvorenom području ograničenom linijama $x=3$, $y=0$ i $y=x +1$.

Pratićemo gore navedeno, ali prvo ćemo se pozabaviti crtanjem date površine, koju ćemo označiti slovom $D$. Dato nam je jednačine tri prave linije koje ograničavaju ovu oblast. Prava linija $x=3$ prolazi kroz tačku $(3;0)$ paralelnu sa ordinatnom osom (Oy osa). Prava linija $y=0$ je jednačina apscisne ose (Ox osa). Pa, da bismo konstruisali pravu $y=x+1$, naći ćemo dve tačke kroz koje ćemo povući ovu pravu. Možete, naravno, zamijeniti nekoliko proizvoljnih vrijednosti umjesto $x$. Na primjer, zamjenom $x=10$, dobijamo: $y=x+1=10+1=11$. Pronašli smo tačku $(10;11)$ koja leži na pravoj $y=x+1$. Međutim, bolje je pronaći one tačke u kojima prava $y=x+1$ siječe prave $x=3$ i $y=0$. Zašto je ovo bolje? Jer ćemo jednim udarcem ubiti nekoliko muva: dobićemo dve tačke da konstruišemo pravu liniju $y=x+1$ i istovremeno saznati u kojim tačkama ova prava linija seče druge prave koje ograničavaju datu oblast. Prava $y=x+1$ seče pravu $x=3$ u tački $(3;4)$, a prava $y=0$ seče u tački $(-1;0)$. Kako ne bih zatrpao napredak rješenja pomoćnim objašnjenjima, pitanje dobivanja ove dvije točke stavit ću u napomenu.

Kako su dobijene tačke $(3;4)$ i $(-1;0)$? prikaži\sakrij

Počnimo od točke presjeka pravih $y=x+1$ i $x=3$. Koordinate željene tačke pripadaju i prvoj i drugoj pravoj liniji, stoga, da biste pronašli nepoznate koordinate, morate riješiti sistem jednadžbi:

$$ \lijevo \( \begin(poravnano) & y=x+1;\\ & x=3. \end(poravnano) \desno. $$

Rješenje takvog sistema je trivijalno: zamjenom $x=3$ u prvu jednačinu imat ćemo: $y=3+1=4$. Tačka $(3;4)$ je željena tačka preseka pravih $y=x+1$ i $x=3$.

Sada pronađimo tačku presjeka pravih $y=x+1$ i $y=0$. Hajde da ponovo sastavimo i rešimo sistem jednačina:

$$ \lijevo \( \begin(poravnano) & y=x+1;\\ & y=0. \end(poravnano) \desno. $$

Zamjenom $y=0$ u prvu jednačinu dobijamo: $0=x+1$, $x=-1$. Tačka $(-1;0)$ je željena tačka preseka pravih $y=x+1$ i $y=0$ (x-osa).

Sve je spremno za izradu crteža koji će izgledati ovako:

Pitanje bilješke izgleda očigledno, jer se sve vidi na slici. Međutim, vrijedi zapamtiti da crtež ne može poslužiti kao dokaz. Crtež je samo u ilustrativne svrhe.

Naše područje je definirano pomoću pravolinijskih jednačina koje su ga ograničavale. Očigledno, ove linije definiraju trokut, zar ne? Ili nije sasvim očigledno? Ili nam je možda dato drugačije područje, ograničeno istim linijama:

Naravno, uslov kaže da je prostor zatvoren, pa je prikazana slika netačna. Ali da bi se izbjegle takve nejasnoće, bolje je definirati regije prema nejednakostima. Da li nas zanima dio ravni koji se nalazi ispod prave $y=x+1$? Ok, dakle $y ≤ x+1$. Da li naša oblast treba da se nalazi iznad linije $y=0$? Odlično, to znači $y ≥ 0$. Inače, posljednje dvije nejednačine se lako mogu kombinovati u jednu: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(poravnano) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(poravnano) \desno. $$

Ove nejednakosti definiraju područje $D$, i definišu ga nedvosmisleno, ne dopuštajući bilo kakvu dvosmislenost. Ali kako nam to pomaže s pitanjem iznesenim na početku bilješke? Također će pomoći :) Moramo provjeriti da li tačka $M_1(1;1)$ pripada području $D$. Zamenimo $x=1$ i $y=1$ u sistem nejednakosti koje definišu ovo područje. Ako su obe nejednakosti zadovoljene, onda se tačka nalazi unutar regiona. Ako barem jedna od nejednakosti nije zadovoljena, tada tačka ne pripada regiji. dakle:

$$ \lijevo \( \begin(poravnano) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(poravnano) \desno \;\; \lijevo \( \begin(poravnano) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(poravnano) \desno.$$

Obje nejednakosti su važeće. Tačka $M_1(1;1)$ pripada regionu $D$.

Sada je vrijeme da se prouči ponašanje funkcije na granici regije, tj. idemo na . Počnimo sa pravom linijom $y=0$.

Prava linija $y=0$ (os apscisa) ograničava područje $D$ pod uslovom $-1 ≤ x ≤ 3$. Zamijenimo $y=0$ u datu funkciju$z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Funkciju jedne varijable $x$ dobijenu kao rezultat zamjene označavamo kao $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Sada za funkciju $f_1(x)$ trebamo pronaći najveću i najmanju vrijednost na intervalu $-1 ≤ x ≤ 3$. Nađimo derivaciju ove funkcije i izjednačimo je sa nulom:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Vrijednost $x=2$ pripada segmentu $-1 ≤ x ≤ 3$, pa ćemo na listu tačaka dodati i $M_2(2;0)$. Osim toga, izračunajmo vrijednosti funkcije $z$ na krajevima segmenta $-1 ≤ x ≤ 3$, tj. u tačkama $M_3(-1;0)$ i $M_4(3;0)$. Usput, ako tačka $M_2$ ne pripada segmentu koji se razmatra, onda, naravno, ne bi bilo potrebe da se izračunava vrijednost funkcije $z$ u njoj.

Dakle, izračunajmo vrijednosti funkcije $z$ u tačkama $M_2$, $M_3$, $M_4$. Možete, naravno, zamijeniti koordinate ovih tačaka u originalni izraz $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Na primjer, za tačku $M_2$ dobijamo:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Međutim, proračuni se mogu malo pojednostaviti. Da biste to učinili, vrijedi zapamtiti da na segmentu $M_3M_4$ imamo $z(x,y)=f_1(x)$. Ovo ću detaljno napisati:

\begin(poravnano) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end (poravnano)

Naravno, obično nema potrebe za ovako detaljnim zapisima, a ubuduće ćemo sve proračune ukratko zapisati:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Sada se okrenimo pravoj liniji $x=3$. Ova prava linija ograničava područje $D$ pod uslovom $0 ≤ y ≤ 4$. Zamijenimo $x=3$ u datu funkciju $z$. Kao rezultat ove zamjene dobijamo funkciju $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Za funkciju $f_2(y)$ trebamo pronaći najveću i najmanju vrijednost na intervalu $0 ≤ y ≤ 4$. Nađimo derivaciju ove funkcije i izjednačimo je sa nulom:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Vrijednost $y=3$ pripada segmentu $0 ≤ y ≤ 4$, tako da ćemo prethodno pronađenim tačkama dodati i $M_5(3;3)$. Osim toga, potrebno je izračunati vrijednost funkcije $z$ u tačkama na krajevima segmenta $0 ≤ y ≤ 4$, tj. u tačkama $M_4(3;0)$ i $M_6(3;4)$. U tački $M_4(3;0)$ već smo izračunali vrijednost $z$. Izračunajmo vrijednost funkcije $z$ u tačkama $M_5$ i $M_6$. Da vas podsjetim da na segmentu $M_4M_6$ imamo $z(x,y)=f_2(y)$, dakle:

\begin(poravnano) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end (poravnano)

I na kraju, razmotrimo posljednja granica područje $D$, tj. prava $y=x+1$. Ova prava linija ograničava područje $D$ pod uslovom $-1 ≤ x ≤ 3$. Zamjenom $y=x+1$ u funkciju $z$, imat ćemo:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Još jednom imamo funkciju jedne varijable $x$. I opet trebamo pronaći najveću i najmanju vrijednost ove funkcije na intervalu $-1 ≤ x ≤ 3$. Nađimo derivaciju funkcije $f_(3)(x)$ i izjednačimo je sa nulom:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Vrijednost $x=1$ pripada intervalu $-1 ≤ x ≤ 3$. Ako je $x=1$, onda je $y=x+1=2$. Dodajmo $M_7(1;2)$ na listu tačaka i saznamo koja je vrijednost funkcije $z$ u ovoj tački. Tačke na krajevima segmenta $-1 ≤ x ≤ 3$, tj. tačke $M_3(-1;0)$ i $M_6(3;4)$ razmatrane su ranije, već smo pronašli vrijednost funkcije u njima.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Drugi korak rješenja je završen. Dobili smo sedam vrijednosti:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Hajde da se okrenemo. Odabirom najveće i najmanje vrijednosti od brojeva dobijenih u trećem paragrafu, imat ćemo:

$$z_(min)=-4; \; z_(max)=6.$$

Problem je riješen, ostaje samo da zapišete odgovor.

Odgovori: $z_(min)=-4; \; z_(max)=6$.

Primjer br. 2

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije $z=x^2+y^2-12x+16y$ u području $x^2+y^2 ≤ 25$.

Prvo, napravimo crtež. Jednačina $x^2+y^2=25$ (ovo je granična linija date oblasti) definiše kružnicu sa centrom u početku (tj. u tački $(0;0)$) i poluprečnikom 5. Nejednakost $x^2 +y^2 ≤ $25 zadovoljava sve tačke unutar i na pomenutom krugu.

Postupaćemo u skladu sa. Nađimo parcijalne izvode i saznajmo kritične tačke.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

Ne postoje tačke u kojima pronađeni parcijalni izvod ne postoje. Hajde da saznamo u kojim su tačkama oba parcijalna izvoda istovremeno jednaka nuli, tj. hajde da nađemo stacionarne tačke.

$$ \lijevo \( \begin(poravnano) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(poravnano) \desno \;\; \lijevo \( \begin(poravnano) & x =6;\\ & y=-8.\end(poravnano)\desno.$$

Dobili smo stacionarnu tačku $(6;-8)$. Međutim, pronađena tačka ne pripada regionu $D$. Ovo je lako prikazati bez pribjegavanja crtanju. Provjerimo da li vrijedi nejednakost $x^2+y^2 ≤ 25$, koja definira našu regiju $D$. Ako je $x=6$, $y=-8$, onda je $x^2+y^2=36+64=100$, tj. nejednakost $x^2+y^2 ≤ 25$ ne vrijedi. Zaključak: tačka $(6;-8)$ ne pripada području $D$.

Dakle, nema kritičnih tačaka unutar regiona $D$. Idemo dalje na... Moramo proučiti ponašanje funkcije na granici date regije, tj. na krugu $x^2+y^2=25$. Možemo, naravno, izraziti $y$ u terminima $x$, a zatim zamijeniti rezultirajući izraz u našu funkciju $z$. Iz jednačine kružnice dobijamo: $y=\sqrt(25-x^2)$ ili $y=-\sqrt(25-x^2)$. Zamjenom, na primjer, $y=\sqrt(25-x^2)$ u datu funkciju, imat ćemo:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Dalje rješenje će biti potpuno identično proučavanju ponašanja funkcije na granici područja u prethodnom primjeru br. 1. Međutim, čini mi se da je razumnije primijeniti Lagrangeovu metodu u ovoj situaciji. Nas će zanimati samo prvi dio ove metode. Nakon primjene prvog dijela Lagrangeove metode, dobićemo tačke u kojima ćemo ispitati funkciju $z$ za minimalne i maksimalne vrijednosti.

Sastavljamo Lagrangeovu funkciju:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Pronalazimo parcijalne izvode Lagrangeove funkcije i sastavljamo odgovarajući sistem jednačina:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (poravnano) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0. \end(poravnano) \ desno \;\; \levo \( \begin(poravnano) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( poravnato)\desno.$$

Da bismo riješili ovaj sistem, odmah istaknemo da je $\lambda\neq -1$. Zašto $\lambda\neq -1$? Pokušajmo zamijeniti $\lambda=-1$ u prvu jednačinu:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Rezultirajuća kontradikcija $0=6$ ukazuje da je vrijednost $\lambda=-1$ neprihvatljiva. Izlaz: $\lambda\neq -1$. Izrazimo $x$ i $y$ u terminima $\lambda$:

\begin(poravnano) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end (poravnano)

Vjerujem da ovdje postaje jasno zašto smo posebno odredili uslov $\lambda\neq -1$. Ovo je urađeno kako bi se izraz $1+\lambda$ uklopio u nazivnike bez interferencije. To jest, da budemo sigurni da je nazivnik $1+\lambda\neq 0$.

Zamenimo dobijene izraze za $x$ i $y$ u treću jednačinu sistema, tj. u $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Iz rezultirajuće jednakosti slijedi da je $1+\lambda=2$ ili $1+\lambda=-2$. Dakle, imamo dvije vrijednosti parametra $\lambda$, i to: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. U skladu s tim, dobijamo dva para vrijednosti $x$ i $y$:

\begin(poravnano) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end (poravnano)

Dakle, dobili smo dvije tačke mogućeg uslovnog ekstremuma, tj. $M_1(3;-4)$ i $M_2(-3;4)$. Nađimo vrijednosti funkcije $z$ u tačkama $M_1$ i $M_2$:

\begin(poravnano) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end (poravnano)

Trebalo bi odabrati najveću i najmanju vrijednost od onih koje smo dobili u prvom i drugom koraku. Ali u ovom slučaju izbor je mali :) Imamo:

$$ z_(min)=-75; \; z_(max)=125. $$

Odgovori: $z_(min)=-75; \; z_(max)=125$.