Dom / Bradavice/ Potpuni kvadrat iz kvadratnog trinoma

Potpuni kvadrat iz kvadratnog trinoma

Definicija

Izrazi oblika 2 x 2 + 3 x + 5 nazivaju se kvadratni trinomi. Općenito, kvadratni trinom je izraz oblika a x 2 + b x + c, gdje su a, b, c a, b, c proizvoljni brojevi, a a ≠ 0.

Razmotrimo kvadratni trinom x 2 - 4 x + 5. Zapišimo to u ovom obliku: x 2 - 2 · 2 · x + 5. Dodajmo 2 2 ovom izrazu i oduzmemo 2 2, dobićemo: x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 - 2 2 + 5. Imajte na umu da je x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, dakle x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . Transformacija koju smo napravili se zove „dodjela pun kvadrat iz kvadratnog trinoma".

Odredite savršeni kvadrat iz kvadratnog trinoma 9 x 2 + 3 x + 1.

Imajte na umu da je 9 x 2 = (3 x) 2 , `3x=2*1/2*3x`. Zatim `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. Dobijamo sabiranje i oduzimanje `(1/2)^2` rezultujućem izrazu

`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.

Pokazat ćemo kako se metoda izolacije savršenog kvadrata iz kvadratnog trinoma koristi za faktorizaciju kvadratnog trinoma.

Faktori kvadratni trinom 4 x 2 - 12 x + 5.

Odabiremo savršeni kvadrat iz kvadratnog trinoma: 2 x 2 - 2 · 2 x · 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2. Sada primjenjujemo formulu a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) , dobijamo: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x - 1) .

Faktor kvadratnog trinoma - 9 x 2 + 12 x + 5.

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5. Sada primjećujemo da je 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 3 x 2.

Dodamo izraz 2 2 izrazu 9 x 2 - 12 x, dobićemo:

3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 .

Primjenjujemo formulu za razliku kvadrata, imamo:

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .

Faktor kvadratnog trinoma 3 x 2 - 14 x - 5 .

Izraz 3 x 2 ne možemo predstaviti kao kvadrat nekog izraza, jer to još nismo učili u školi. Kroz ovo ćete proći kasnije, a u zadatku br. 4 ćemo proučiti kvadratni korijeni. Hajde da pokažemo kako možete faktorisati dati kvadratni trinom:

`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`

`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=`

`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1) `.

Pokazat ćemo vam kako koristiti metodu savršenog kvadrata da pronađete najveću ili najmanju vrijednost kvadratnog trinoma.
Razmotrimo kvadratni trinom x 2 - x + 3. Odaberite cijeli kvadrat:

`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Imajte na umu da je kada je `x=1/2` vrijednost kvadratnog trinoma `11/4`, a kada je `x!=1/2` dodana je vrijednost `11/4` pozitivan broj, tako da dobijamo broj veći od `11/4`. dakle, najmanju vrijednost kvadratni trinom je `11/4` i dobija se kada je `x=1/2`.

Pronađite najveću vrijednost kvadratnog trinoma - 16 2 + 8 x + 6.

Odabiremo savršen kvadrat iz kvadratnog trinoma: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 .

Kada je `x=1/4` vrijednost kvadratnog trinoma je 7, a kada je `x!=1/4` od broja 7 oduzmemo pozitivan broj, odnosno dobijemo broj manji od 7. Dakle, broj 7 je najveća vrijednost kvadratni trinom, a dobija se kada je `x=1/4`.

Rastavite brojilac i nazivnik razlomka `(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)` i smanjite razlomak.

Imajte na umu da je imenilac razlomka x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2. Faktorizujmo brojilac razlomka metodom izolacije kompletnog kvadrata iz kvadratnog trinoma. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4 ) = (x + 5) (x - 3) .

Ovaj razlomak je smanjen na oblik `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` nakon smanjenja za (x - 3) dobijamo `(x+5)/(x-3) )`.

Razdijelite polinom x 4 - 13 x 2 + 36.

Primijenimo metodu izolacije kompletnog kvadrata na ovaj polinom. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`

x pozvao

1.2.3. Korištenje skraćenih identiteta množenja

Primjer. Faktor x 4 16.

x 4 16x 2 2 42 x 2 4x 2 4x 2x 2x 2 4 .

1.2.4. Faktoriranje polinoma koristeći njegove korijene

Teorema. Neka polinom P x ima korijen x 1 . Tada se ovaj polinom može faktorizirati na sljedeći način: P x x x 1 S x , gdje je S x neki polinom čiji je stepen za jedan manji

vrijednosti naizmenično u izraz za P x. Dobijamo da kada je x 2 vi-

izraz će se pretvoriti u 0, odnosno P 2 0, što znači da je x 2 korijen višestruke

član. Podijelite polinom P x sa x 2 .

X 3 3x 2 10x 24
x 32 x 2	24 10 x	x2 x12
	24 10 x

12x 2412x 24

P x x 2 x2 x12 x2 x2 3 x4 x12 x2 x x3 4 x3

x2 x3 x4

1.3. Odabir cijelog kvadrata

Metoda za odabir potpunog kvadrata zasniva se na korištenju formula: a 2 2ab b 2 a b 2 ,a 2 2ab b 2 a b 2 .

Izolacija potpunog kvadrata je transformacija identiteta u kojoj je dati trinom predstavljen kao b 2 zbir ili razlika kvadrata binoma i nekog numeričkog ili alfabetskog izraza.

Kvadratni trinom u odnosu na varijablu daje izraz oblika

ax 2 bx c , gdje su a , b i c dati brojevi, a a 0 .

Transformirajmo kvadratni trinom ax 2 bx c na sljedeći način.

x2:

koeficijent

Tada izraz b x predstavljamo kao 2b x (dvostruki proizvod

x ):a x

Izrazu u zagradama dodajemo i oduzimamo broj od njega

što je kvadrat broja

Kao rezultat dobijamo:

Primetivši sada to

Dobijamo

4a 2

Primjer. Odaberite cijeli kvadrat.

2 x 12

2x 2 4x 5 2x 2 2x 5

2 x 2 2x 1 15

2 x 12 7.

4 a 2,

1.4. Polinomi u nekoliko varijabli

Polinomi u nekoliko varijabli, kao polinomi u jednoj varijabli, mogu se zbrajati, množiti i podići na prirodni stepen.

Bitan identična transformacija polinom u nekoliko varijabli je faktorizacija. Ovdje se koriste takve metode faktorizacije kao stavljanje zajedničkog faktora iz zagrada, grupisanje, korištenje skraćenih identiteta množenja, izolacija potpunog kvadrata i uvođenje pomoćnih varijabli.

1. Faktor polinoma P x ,y 2x 5 128x 2 y 3 .

2 x 5128 x 2y 32 x 2x 364 y 32 x 2x 4 y x 24 xy 16 y 2.

2. Faktor P x ,y ,z 20x 2 3yz 15xy 4xz . Primijenimo metodu grupisanja

20 x2 3 yz15 xy4 xz20 x2 15 xy4 xz3 yz5 x4 x3 y z4 x3 y

4 x3 y5 x z.

3. Faktor P x ,y x 4 4y 4 . Odaberimo ceo kvadrat:

x 4y 4x 44 x 2y 24 y 24 x 2y 2x 22 y 2 2 4 x 2y 2

x2 2 y2 2 xy x2 2 y2 2 xy.

1.5. Svojstva stepena sa bilo kojim racionalnim eksponentom

Stepen sa bilo kojim racionalnim eksponentom ima sljedeća svojstva:

1. a r 1a r 2a r 1r 2,

	a r 1a r 2a r 1r 2,
3. a r 1r 2 a r 1r 2,
4. abr 1 ar 1 br 1,
	a r 1	ar 1


		br 1

gdje su a 0;b 0;r 1;r 2 proizvoljni racionalni brojevi.

1. Pomnožite 8

x 3 12x 7.

24 x 23.

8 x 3 12 x 7 x 8x 12x 8 12x 24

2. Faktorizirajte

a 2x 3

1.6. Vježbe koje možete raditi sami

1. Izvršite radnje koristeći skraćene formule za množenje. 1) a 52 ;

2) 3 a 72 ;

3) a nb n2 .

4) 1 x 3 ;

	3 y 3 ;

7) 8 a 2 8a 2 ;

8) a nb ka kb na nb ka kb n.

9) a 2 b a2 2 ab4 b2 ;

10) a 3a 2 3a 9 ;

11) a 2b 2a 4a 2b 2b 4. 3

2. Izračunajte koristeći skraćene identitete množenja:

1) 53 2 432 ;

2) 22,4 2 22,32 ;

4) 30 2 2 ;

5) 51 2 ;

6) 99 2 ;

7) 17 2 2 17 23 232 ;

8) 85 2 2 85 15 152 .

3. Dokažite identitete:

1). x 2 13 3x 2 x 12 6x x 1 11x 3 32 2;

2) a 2b 2 2 2 ab 2 a 2b 2 2 ;

3) a 2 b2 x2 y2 ax by2 bx ay2 .

4. Faktorizirajte sljedeće polinome:

1) 3 x a2 a2;

2) ac 7 bc3 a21 b;

3) 63 m 4n 327 m 3n 445 m 5n 7;

4) 5 b2 c3 2 bc2 k2 k2 ;

5) 2 x3 y2 3 yz2 2 x2 yz3 z3 ;

6) 24 ax38 bx12 a19 b;

7) 25 a 21 b 2q 2;

8) 9 5 a 4b 2 64a 2 ;

9) 121 n 2 3n 2t 2 ;

10) 4 t 2 20tn 25n 2 36;

11) p 4 6 p2 k9 k2 ;

12) 16 p 3 q 8 72p 4 q 7 81p 5 q 6 ;

13) 6 x 3 36x 2 72x 48;

14) 15 sjekira 3 45 sjekira 2 45 sjekira 15 a ;

15) 9 a 3 n 1 4.5a 2 n 1 ;

16) 5 p 2 n q n 15p 5 n q 2 n ;

17) 4 a 7b 232 a 4b 5;

18) 7 x 24 y 2 2 3 x 28 y 2 2 ;

19) 1000 t 3 27t 6 .

5. Izračunajte na najjednostavniji način:

1) 59 3 413 ;

2) 67 3 523 67 52. 119

6. Nađi količnik i ostatak polinoma P x po polinomu Q x: 1)P x 2x 4 x 3 5; Q x x 3 9x ;

2) P x 2 x 2; Q x x3 2 x2 x; 3) P x x6 1; Q x x4 4 x2 .

7. Dokazati da je polinom x 2 2x 2 nema pravih korijena.

8. Pronađite korijene polinoma:

1) x 3 4 x;

2) x 3 3x 2 5x 15.

9. Faktor:

1) 6 a 2 a 5 5a 3 ;

2) x 2 x 3 2x 32 4x 3 3x 2 ;

3) x 3 6x 2 11x 6.

10. Riješite jednadžbe izolacijom cijelog kvadrata:

1) x 2 2x 3 0;

2) x 2 13x 30 0 .

11. Pronađite značenja izraza:

		4 3 85

		16 6
		2 520 9 519

1254

3) 5 3 25 7 ;

4) 0,01 2 ;

5) 06 .

12. Izračunajte:

16 0,25

Online kalkulator.
Izolacija kvadrata binoma i faktoring kvadratnog trinoma.

Ovaj matematički program razlikuje kvadratni binom od kvadratnog trinoma, tj. vrši transformaciju poput:
$ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $ i faktorizira kvadratni trinom: $ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $

One. problemi se svode na pronalaženje brojeva $p, q$ i $n, m$

Program ne samo da daje odgovor na problem, već i prikazuje proces rješavanja.

Ovaj program može biti koristan za srednjoškolce srednje škole u pripremi za testovi i ispiti, prilikom provjere znanja prije Jedinstvenog državnog ispita, za roditelje za kontrolu rješavanja mnogih zadataka iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti nastavnika ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite da to završite što je brže moguće? zadaća iz matematike ili algebre? U tom slučaju možete koristiti i naše programe sa detaljnim rješenjima.

Na taj način možete sami voditi svoju obuku i/ili obuku. mlađa braća ili sestre, dok se nivo obrazovanja iz oblasti problema koji se rješavaju povećava.

Ako niste upoznati s pravilima za unos kvadratnog trinoma, preporučujemo da se upoznate s njima.

Pravila za unos kvadratnog polinoma

Bilo koje latinično slovo može djelovati kao varijabla.
Na primjer: $x, y, z, a, b, c, o, p, q$, itd.

Brojevi se mogu unositi kao cijeli ili razlomak.
Štaviše, razlomci brojeva može se uneti ne samo kao decimalni, već i kao običan razlomak.

Pravila za unos decimalnih razlomaka.
U decimalnim razlomcima, razlomak se može odvojiti od cijelog dijela tačkom ili zarezom.
Na primjer, možete unijeti decimale ovako: 2,5x - 3,5x^2

Pravila za unos običnih razlomaka.
Samo cijeli broj može biti brojnik, nazivnik i cijeli broj razlomka.

Imenilac ne može biti negativan.

Prilikom unosa brojčanog razlomka, brojilac je odvojen od nazivnika znakom dijeljenja: /
Cijeli dio je odvojen od razlomka znakom ampersanda: &
Ulaz: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Rezultat: $3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2$

Prilikom unosa izraza možete koristiti zagrade. U ovom slučaju, prilikom rješavanja, uvedeni izraz se prvo pojednostavljuje.
Na primjer: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Primjer detaljno rješenje

Izolacija kvadrata binoma.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\levo(x+\frac(1)(2) \desno)^2-\frac(9)(2) $$ odgovor:$$2x^2+2x-4 = 2\levo(x+\frac(1)(2) \desno)^2-\frac(9)(2) $$ Faktorizacija.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\lijevo(x^2+x-2 \desno) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \desno) = $$ $$ 2 \levo(x -1 \desno) \levo(x +2 \desno) $$ odgovor:$$2x^2+2x-4 = 2 \levo(x -1 \desno) \levo(x +2 \desno) $$

Odluči se

Otkriveno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog problema nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.

JavaScript je onemogućen u vašem pretraživaču.
Da bi se rješenje pojavilo, morate omogućiti JavaScript.
Evo instrukcija kako da omogućite JavaScript u vašem pretraživaču.

Jer Ima puno ljudi koji su voljni da riješe problem, vaš zahtjev je stavljen u red čekanja.
Za nekoliko sekundi rješenje će se pojaviti ispod.
Pričekajte sec...

Ako ti uočio grešku u rješenju, onda o tome možete pisati u Obrascu za povratne informacije.
Nemoj zaboraviti naznačiti koji zadatak ti odluči šta unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Izoliranje kvadrata binoma od kvadratnog trinoma

Ako je kvadratni trinom ax 2 +bx+c predstavljen kao a(x+p) 2 +q, gdje su p i q realni brojevi, onda kažemo da iz kvadratni trinom, kvadrat binoma je istaknut.

Iz trinoma 2x 2 +12x+14 izdvajamo kvadrat binoma.

$2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) $

Da biste to učinili, zamislite 6x kao proizvod 2*3*x, a zatim dodajte i oduzmite 3 2. Dobijamo:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

To. Mi izdvojiti kvadratni binom iz kvadratnog trinoma, i pokazao da:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Faktoriranje kvadratnog trinoma

Ako je kvadratna trinomska os 2 +bx+c predstavljena u obliku a(x+n)(x+m), gdje su n i m realni brojevi, tada se kaže da je operacija izvedena faktorizacija kvadratnog trinoma.

Pokažimo na primjeru kako se vrši ova transformacija.

Razložimo kvadratni trinom 2x 2 +4x-6.

Uzmimo koeficijent a iz zagrada, tj. 2:
$2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) $

Hajde da transformišemo izraz u zagradama.
Da biste to učinili, zamislite 2x kao razliku 3x-1x, a -3 kao -1*3. Dobijamo:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

To. Mi faktorizovao kvadratni trinom, i pokazao da:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Imajte na umu da je faktoring kvadratnog trinoma moguće samo kada, kvadratna jednačina, koji odgovara ovom trinomu ima korijene.
One. u našem slučaju, moguće je faktorizovati trinom 2x 2 +4x-6 ako kvadratna jednadžba 2x 2 +4x-6 =0 ima korijen. U procesu faktorizacije ustanovili smo da jednačina 2x 2 + 4x-6 = 0 ima dva korijena 1 i -3, jer sa ovim vrijednostima, jednačina 2(x-1)(x+3)=0 pretvara se u pravu jednakost.

Knjige (udžbenici) Sažeci Jedinstvenog državnog ispita i Jedinstvenog državnog ispita online Igre, zagonetke Iscrtavanje grafova funkcija Pravopisni rječnik ruskog jezika Rječnik omladinskog slenga Katalog ruskih škola Katalog srednjih obrazovnih institucija Rusije Katalog ruskih univerziteta Lista zadataka