Ermitteln des Rangs einer Matrix. Das Konzept des Matrixrangs. Berechnen des Rangs einer Matrix mithilfe elementarer Transformationen

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Matrixrang

Bestimmen des Rangs einer Matrix

Betrachten Sie eine rechteckige Matrix. Wenn wir in dieser Matrix willkürlich auswählen k Linien und k Spalten, dann bilden die Elemente am Schnittpunkt der ausgewählten Zeilen und Spalten eine quadratische Matrix k-ter Ordnung. Die Determinante dieser Matrix heißt Moll k-ter Ordnung Matrix A. Offensichtlich hat Matrix A Nebenwerte jeder Ordnung von 1 bis zur kleinsten der Zahlen m und n. Unter allen Minderjährigen ungleich Null der Matrix A gibt es mindestens einen Minderjährigen, dessen Ordnung die größte ist. Die größte der von Null verschiedenen Nebenordnungen einer gegebenen Matrix wird aufgerufen Rang Matrizen. Wenn der Rang der Matrix A ist R Dies bedeutet, dass Matrix A eine Nebenordnung ungleich Null hat R, aber jede kleinere Ordnung größer als R, ist gleich Null. Der Rang der Matrix A wird mit r(A) bezeichnet. Offensichtlich gilt die Beziehung

Berechnen des Rangs einer Matrix mithilfe von Minderjährigen

Der Rang der Matrix wird entweder durch die Methode der angrenzenden Minderjährigen oder durch die Methode der Elementartransformationen ermittelt. Wenn Sie den Rang einer Matrix mit der ersten Methode berechnen, sollten Sie von Minderjährigen niedrigerer Ordnung zu Minderjährigen höherer Ordnung übergehen. Wenn bereits ein von Null verschiedenes Minor D der k-ten Ordnung der Matrix A gefunden wurde, müssen nur die an das Minor D angrenzenden Minors (k+1)-Ordnung berechnet werden, d. h. enthält es als Nebenfach. Wenn sie alle gleich Null sind, ist der Rang der Matrix gleich k.

Beispiel 1.Ermitteln Sie den Rang der Matrix mithilfe der Methode der Randberechnung von Minderjährigen

.

Lösung.Wir beginnen mit Minderjährigen erster Ordnung, d.h. aus den Elementen der Matrix A. Wählen wir zum Beispiel ein Nebenelement (Element) M 1 = 1, das sich in der ersten Zeile und ersten Spalte befindet. Durch die Eingrenzung mit Hilfe der zweiten Zeile und der dritten Spalte erhalten wir ein von Null verschiedenes Minor M 2 =. Wir wenden uns nun den Minderjährigen 3. Ordnung zu, die an M2 grenzen. Es gibt nur zwei davon (Sie können eine zweite oder vierte Spalte hinzufügen). Berechnen wir sie: = 0. Somit waren alle angrenzenden Minderjährigen dritter Ordnung gleich Null. Der Rang der Matrix A ist zwei.

Berechnen des Rangs einer Matrix mithilfe elementarer Transformationen

GrundschuleDie folgenden Matrixtransformationen heißen:

1) Permutation zweier beliebiger Zeilen (oder Spalten),

2) Multiplizieren einer Zeile (oder Spalte) mit einer Zahl ungleich Null,

3) Hinzufügen einer weiteren Zeile (oder Spalte) zu einer Zeile (oder Spalte), multipliziert mit einer bestimmten Zahl.

Die beiden Matrizen werden aufgerufen Äquivalent, wenn eine von ihnen durch eine endliche Menge elementarer Transformationen aus der anderen gewonnen wird.

Äquivalente Matrizen sind im Allgemeinen nicht gleich, aber ihre Ränge sind gleich. Wenn die Matrizen A und B äquivalent sind, wird es wie folgt geschrieben: A~B.

KanonischEine Matrix ist eine Matrix, in der am Anfang der Hauptdiagonale mehrere Einsen hintereinander stehen (deren Anzahl Null sein kann) und alle anderen Elemente gleich Null sind, zum Beispiel

.

Durch elementare Transformationen von Zeilen und Spalten kann jede Matrix auf kanonisch reduziert werden. Der Rang einer kanonischen Matrix ist gleich der Anzahl der Einsen auf ihrer Hauptdiagonale.

Beispiel 2Finden Sie den Rang einer Matrix

A=

und bringen Sie es in kanonische Form.

Lösung. Subtrahieren Sie von der zweiten Zeile die erste und ordnen Sie diese Zeilen neu an:

.

Von der zweiten und dritten Zeile subtrahieren wir nun die erste, multipliziert mit 2 bzw. 5:

;

subtrahiere die erste von der dritten Zeile; wir bekommen eine Matrix

B = ,

was der Matrix A äquivalent ist, da sie aus dieser mithilfe einer endlichen Menge elementarer Transformationen erhalten wird. Offensichtlich ist der Rang der Matrix B 2 und daher ist r(A)=2. Matrix B kann leicht auf kanonisch reduziert werden. Indem wir die erste Spalte, multipliziert mit geeigneten Zahlen, von allen nachfolgenden subtrahieren, setzen wir alle Elemente der ersten Zeile außer der ersten auf Null, und die Elemente der verbleibenden Zeilen ändern sich nicht. Dann subtrahieren wir die zweite Spalte, multipliziert mit geeigneten Zahlen, von allen nachfolgenden, setzen alle Elemente der zweiten Zeile außer der zweiten auf Null und erhalten die kanonische Matrix:

.

Matrixrang wird die größte Ordnung ihrer Nicht-Null-Minderjährigen genannt. Der Rang einer Matrix wird mit oder bezeichnet.

Wenn alle Nebenwerte höherer Ordnung einer gegebenen Matrix gleich Null sind, dann sind auch alle Nebenwerte höherer Ordnung einer gegebenen Matrix gleich Null. Dies folgt aus der Definition der Determinante. Dies impliziert einen Algorithmus zum Ermitteln des Rangs einer Matrix.

Wenn alle Minderjährigen erster Ordnung (Matrixelemente) gleich Null sind, dann . Wenn mindestens einer der Nebenwerte erster Ordnung von Null verschieden ist und alle Nebenwerte zweiter Ordnung gleich Null sind, dann . Darüber hinaus reicht es aus, nur die Minderjährigen zweiter Ordnung zu betrachten, die an einen Minderjährigen erster Ordnung ungleich Null grenzen. Wenn es einen von Null verschiedenen Minor zweiter Ordnung gibt, untersuchen Sie die Minor dritter Ordnung, die an den Minor zweiter Ordnung ungleich Null angrenzen. Dies wird so lange fortgesetzt, bis sie zu einem von zwei Fällen kommen: Entweder sind alle Minderjährigen der Ordnung, die an einen Nicht-Null-Minor der Ordnung th grenzen, gleich Null, oder es gibt keine solchen Minderjährigen. Dann .

Beispiel 10. Berechnen Sie den Rang einer Matrix.

Das Minor (Element) erster Ordnung ist ungleich Null. Auch das ihn umgebende Moll ist ungleich Null.

Alle diese Minderjährigen sind gleich Null, was bedeutet.

Der angegebene Algorithmus zum Ermitteln des Rangs einer Matrix ist nicht immer praktisch, da er die Berechnung einer großen Anzahl von Determinanten erfordert. Bei der Berechnung des Rangs einer Matrix ist es am bequemsten, elementare Transformationen zu verwenden, mit deren Hilfe die Matrix auf eine so einfache Form reduziert wird, dass klar ist, welchen Rang sie hat.

Elementare Matrixtransformationen Folgende Transformationen heißen:

Ø Multiplizieren einer Zeile (Spalte) einer Matrix mit einer Zahl ungleich Null;

Ø Hinzufügen einer weiteren Zeile (Spalte) zu einer Zeile (Spalte), multipliziert mit einer beliebigen Zahl.

Poluzhordanov Transformation der Matrixzeilen:

mit einem auflösenden Element ist der folgende Satz von Transformationen mit Matrixzeilen:

Ø th zur ersten Zeile hinzufügen, mit der Zahl multiplizieren usw.;

Ø Fügen Sie in der letzten Zeile yu multipliziert mit der Zahl hinzu.

Semi-Jordanische Transformation von Matrixspalten mit einem auflösenden Element ist der folgende Satz von Transformationen mit Matrixspalten:

Ø th zur ersten Spalte hinzufügen, mit der Zahl multiplizieren usw.;

Ø Addiere th zur letzten Spalte multipliziert mit der Zahl.

Nach Durchführung dieser Transformationen erhält man die Matrix:

Eine Semi-Jordan-Transformation der Zeilen oder Spalten einer quadratischen Matrix ändert deren Determinante nicht.

Elementare Matrixtransformationen ändern ihren Rang nicht. Lassen Sie uns anhand eines Beispiels zeigen, wie man den Rang einer Matrix mithilfe elementarer Transformationen berechnet. Zeilen (Spalten) sind linear abhängig.

In diesem Artikel werden ein Konzept wie der Rang einer Matrix und die erforderlichen zusätzlichen Konzepte erläutert. Wir geben Beispiele und Beweise für die Ermittlung des Rangs einer Matrix und erklären Ihnen auch, was ein Matrix-Minor ist und warum er so wichtig ist.

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Matrix-Moll

Um den Rang einer Matrix zu verstehen, müssen Sie das Konzept der Matrix-Minor verstehen.

Definition 1

UnerheblichkOrdnung der Matrix ist die Determinante einer quadratischen Matrix der Ordnung k×k, die aus Elementen der Matrix A besteht, die sich in vorgewählten k-Zeilen und k-Spalten befinden, wobei die Position der Elemente der Matrix A beibehalten wird.

Einfach ausgedrückt: Wenn Sie in Matrix A (p-k) Zeilen und (n-k) Spalten löschen und aus den verbleibenden Elementen eine Matrix erstellen und dabei die Anordnung der Elemente von Matrix A beibehalten, dann ist die Determinante der resultierenden Matrix die Ordnung k-Moll der Matrix A.

Aus dem Beispiel folgt, dass die Minderjährigen erster Ordnung der Matrix A die Matrixelemente selbst sind.

Wir können mehrere Beispiele für Minderjährige 2. Ordnung nennen. Wählen wir zwei Zeilen und zwei Spalten aus. Zum Beispiel 1. und 2. Zeile, 3. und 4. Spalte.

Mit dieser Wahl der Elemente ist das Nebenelement zweiter Ordnung - 1 3 0 2 = (- 1) × 2 - 3 × 0 = - 2

Ein weiterer Minor 2. Ordnung der Matrix A ist 0 0 1 1 = 0

Lassen Sie uns die Konstruktion von Minderjährigen zweiter Ordnung der Matrix A veranschaulichen:

Ein Minor 3. Ordnung erhält man durch Durchstreichen der dritten Spalte der Matrix A:

0 0 3 1 1 2 - 1 - 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) – 3 × 1 × (- 1) – 0 × 1 × 0 - 0 × 2 × (- 4) = - 9

Veranschaulichung, wie das Minor 3. Ordnung der Matrix A erhalten wird:

Für eine gegebene Matrix gibt es keine Minderjährigen höherer Ordnung als 3. Ordnung, weil

k ≤ m i n (p , n) = m i n (3 , 4) = 3

Wie viele Minderjährige der Ordnung k gibt es für die Matrix A der Ordnung p×n?

Die Anzahl der Minderjährigen wird nach folgender Formel berechnet:

C p k × C n k , wobei e C p k = p ! k! (p - k) ! und C n k = n ! k! (n - k) ! - die Anzahl der Kombinationen von p bis k bzw. von n bis k.

Nachdem wir die Minderjährigen der Matrix A bestimmt haben, können wir mit der Bestimmung des Rangs der Matrix A fortfahren.

Matrixrang: Methoden zum Finden

Definition 2

Matrixrang - die höchste Ordnung der Matrix außer Null.

Bezeichnung 1

Rang (A), Rg (A), Rang (A).

Aus der Definition des Rangs einer Matrix und des Minor einer Matrix wird deutlich, dass der Rang einer Nullmatrix gleich Null ist und der Rang einer Nicht-Null-Matrix von Null verschieden ist.

Den Rang einer Matrix per Definition ermitteln

Definition 3

Methode zur Zählung von Minderjährigen - eine Methode, die auf der Bestimmung des Rangs einer Matrix basiert.

Aktionsalgorithmus unter Verwendung der Methode der Aufzählung von Minderjährigen :

Es ist notwendig, den Rang einer Ordnungsmatrix A zu ermitteln P× N. Wenn es mindestens ein von Null verschiedenes Element gibt, ist der Rang der Matrix mindestens gleich eins ( Weil Es gibt ein Moll 1. Ordnung, das ungleich Null ist).

Als nächstes folgt die Aufzählung der Minderjährigen 2. Ordnung. Wenn alle Minderjährigen 2. Ordnung gleich Null sind, ist der Rang gleich Eins. Wenn mindestens ein Nebenfach 2. Ordnung ungleich Null vorhanden ist, muss mit der Aufzählung der Nebenfächer 3. Ordnung fortgefahren werden, und der Rang der Matrix beträgt in diesem Fall mindestens zwei.

Machen wir dasselbe mit dem Rang 3. Ordnung: Wenn alle Nebenwerte der Matrix gleich Null sind, ist der Rang gleich zwei. Wenn es mindestens ein Nebenfach 3. Ordnung ungleich Null gibt, beträgt der Rang der Matrix mindestens drei. Und so weiter, analog.

Beispiel 2

Finden Sie den Rang der Matrix:

A = - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

Da die Matrix ungleich Null ist, ist ihr Mindestrang eins.

Das Moll 2. Ordnung - 1 1 2 2 = (- 1) × 2 - 1 × 2 = 4 ist ungleich Null. Daraus folgt, dass der Rang der Matrix A mindestens zwei beträgt.

Wir sortieren die Minderjährigen 3. Ordnung aus: C 3 3 × C 5 3 = 1 5! 3! (5 - 3) ! = 10 Stück.

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = (- 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (- 1) × 2 × 3 - (- 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (- 1) × 6 × 3 = 0

1 - 1 - 2 2 6 0 4 11 1 = (- 1) × 6 × 1 + (- 1) × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 11 - (- 2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 – (- 1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 2 0 4 3 1 = (- 1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 3 - (- 2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 4 11 - 7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7) – (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 3 11 - 7 = 1 × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - (- 1) × 2 × (- 7) – 1 × (- 4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 = 1 × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (- 2) × 2 × (- 7) – 1 × (- 4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 = (- 1) × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7) – (- 1) × (- 4) × 1 = 0

Minderjährige 3. Ordnung sind gleich Null, daher ist der Rang der Matrix zwei.

Antwort : Rang (A) = 2.

Ermitteln des Rangs einer Matrix mithilfe der Bordering-Minor-Methode

Definition 3

Angrenzende Moll-Methode – eine Methode, mit der Sie mit weniger Rechenaufwand Ergebnisse erzielen können.

Kante Moll - Minor M o k (k + 1) der ten Ordnung der Matrix A, das an das Minor M der Ordnung k der Matrix A grenzt, wenn die Matrix, die dem Minor M o k entspricht, die Matrix „enthält“, die dem entspricht Moll M.

Vereinfacht ausgedrückt wird die Matrix, die dem angrenzenden Minor M entspricht, aus der Matrix erhalten, die dem angrenzenden Minor M o k entspricht, indem die Elemente einer Zeile und einer Spalte gelöscht werden.

Beispiel 3

Finden Sie den Rang der Matrix:

A = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

Um den Rang zu ermitteln, nehmen wir das Moll 2. Ordnung M = 2 - 1 4 1

Wir notieren alle angrenzenden Minderjährigen:

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

Um die Methode der Bordering-Minderjährigen zu rechtfertigen, stellen wir einen Satz vor, für dessen Formulierung kein Beweis erforderlich ist.

Satz 1

Wenn alle Nebenstellen, die an die Nebenstelle k-ter Ordnung einer Matrix A der Ordnung p mal n grenzen, gleich Null sind, dann sind alle Nebenstellen der Ordnung (k+1) der Matrix A gleich Null.

Aktionsalgorithmus :

Um den Rang einer Matrix zu ermitteln, ist es nicht notwendig, alle Nebenwerte durchzugehen, sondern sich nur die angrenzenden anzusehen.

Wenn die angrenzenden Minderjährigen gleich Null sind, ist der Rang der Matrix Null. Wenn es mindestens einen Minor gibt, der ungleich Null ist, dann berücksichtigen wir angrenzende Minor.

Wenn sie alle Null sind, dann ist Rang(A) zwei. Wenn es mindestens einen angrenzenden Minor ungleich Null gibt, dann betrachten wir dessen angrenzende Minor. Und so weiter, auf die gleiche Weise.

Beispiel 4

Ermitteln Sie den Rang einer Matrix mithilfe der Edge-Minor-Methode

A = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

Wie löst man?

Da das Element a 11 der Matrix A ungleich Null ist, nehmen wir ein Minor 1. Ordnung. Beginnen wir mit der Suche nach einem angrenzenden Moll, das von Null verschieden ist:

2 1 4 2 = 2 × 2 – 1 × 4 = 0 2 0 4 1 = 2 × 1 – 0 × 4 = 2

Wir haben ein angrenzendes Moll 2. Ordnung ungleich Null 2 ​​0 4 1 gefunden.

Zählen wir die angrenzenden Minderjährigen auf – (es sind (4 – 2) × (5 – 2) = 6 Stück).

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

Antwort : Rang(A) = 2.

Ermitteln des Rangs einer Matrix mithilfe der Gaußschen Methode (unter Verwendung elementarer Transformationen)

Erinnern wir uns daran, was elementare Transformationen sind.

Elementare Transformationen:

• durch Neuanordnen der Zeilen (Spalten) der Matrix;
• durch Multiplizieren aller Elemente einer beliebigen Zeile (Spalte) der Matrix mit einer beliebigen Zahl k ungleich Null;

durch Hinzufügen von Elementen zu den Elementen einer beliebigen Zeile (Spalte), die einer anderen Zeile (Spalte) der Matrix entsprechen, die mit einer beliebigen Zahl k multipliziert werden.

Definition 5

Ermitteln des Rangs einer Matrix mithilfe der Gaußschen Methode - eine Methode, die auf der Theorie der Matrixäquivalenz basiert: Wenn Matrix B aus Matrix A mithilfe einer endlichen Anzahl elementarer Transformationen erhalten wird, dann gilt Rang(A) = Rang(B).

Die Gültigkeit dieser Aussage ergibt sich aus der Definition der Matrix:

• Wenn die Zeilen oder Spalten einer Matrix neu angeordnet werden, ändert sich das Vorzeichen ihrer Determinante. Wenn es gleich Null ist, bleibt es beim Neuanordnen von Zeilen oder Spalten gleich Null;
• Im Falle der Multiplikation aller Elemente einer beliebigen Zeile (Spalte) der Matrix mit einer beliebigen Zahl k ungleich Null ist die Determinante der resultierenden Matrix gleich der Determinante der ursprünglichen Matrix, mit der multipliziert wird k;

Im Falle der Addition der entsprechenden Elemente einer anderen Zeile oder Spalte zu den Elementen einer bestimmten Zeile oder Spalte einer Matrix, die mit der Zahl k multipliziert werden, ändert sich deren Determinante nicht.

Die Essenz der Methode der Elementartransformationen : Reduzieren Sie die Matrix, deren Rang ermittelt werden muss, mithilfe elementarer Transformationen auf eine trapezförmige Matrix.

Wofür?

Der Rang von Matrizen dieses Typs ist recht einfach zu ermitteln. Sie entspricht der Anzahl der Zeilen, die mindestens ein Element ungleich Null enthalten. Und da sich der Rang bei der Durchführung elementarer Transformationen nicht ändert, ist dies der Rang der Matrix.

Lassen Sie uns diesen Prozess veranschaulichen:

• für rechteckige Matrizen A der Ordnung p mal n, deren Zeilenanzahl größer als die Spaltenanzahl ist:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 2 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b n - 1 n 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 , R a n k (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b k k + 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R a n k (A) = k

• für rechteckige Matrizen A der Ordnung p mal n, deren Zeilenanzahl kleiner ist als die Spaltenanzahl:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 p b 1 p + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 p b 2 p + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b p p + 1 ⋯ b p n , R a n k (A) = p

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b k k + 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0

• für quadratische Matrizen A der Ordnung n mal n:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 1 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b n - 1 n 0 0 0 ⋯ 0 1 , R a n k (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b k k + 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R a n k (A) = k , k< n

Beispiel 5

Ermitteln Sie den Rang der Matrix A mithilfe elementarer Transformationen:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

Wie löst man?

Da das Element a 11 von Null verschieden ist, müssen die Elemente der ersten Zeile der Matrix A mit 1 a 11 = 1 2 multipliziert werden:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

Zu den Elementen der 2. Zeile addieren wir die entsprechenden Elemente der 1. Zeile, die mit (-3) multipliziert werden. Zu den Elementen der 3. Zeile addieren wir die Elemente der 1. Zeile, die mit (-1) multipliziert werden:

~ A (1) = 1 1 2 - 1 3 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~ A (2) = = 1 1 2 - 1 3 3 + 1 (- 3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (- 1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5) 7 + 1 (- 7) 2 + 1 2 (- 7) - 4 + (- 1) (- 7) 11 + 3 (- 7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

Element a 22 (2) ist ungleich Null, daher multiplizieren wir die Elemente der 2. Zeile der Matrix A mit A (2) mit 1 a 22 (2) = - 2 3:

A (3) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ A (4) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

• Zu den Elementen der 3. Zeile der resultierenden Matrix fügen wir die entsprechenden Elemente der 2. Zeile hinzu, die mit 3 2 multipliziert werden;
• zu den Elementen der 4. Zeile - den Elementen der 2. Zeile, die mit 9 2 multipliziert werden;
• zu den Elementen der 5. Reihe - den Elementen der 2. Reihe, die mit 3 2 multipliziert werden.

Alle Zeilenelemente sind Null. So haben wir die Matrix mithilfe elementarer Transformationen in eine Trapezform gebracht, woraus ersichtlich ist, dass R an k (A (4)) = 2 ist. Daraus folgt, dass der Rang der ursprünglichen Matrix ebenfalls gleich zwei ist.

Kommentar

Wenn Sie Elementartransformationen durchführen, sind Näherungswerte nicht zulässig!

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Eine Zahl r heißt Rang der Matrix A, wenn:
1) In der Matrix A gibt es einen Minderjährigen der Ordnung r, der von Null verschieden ist;
2) alle Minderjährigen der Ordnung (r+1) und höher, falls vorhanden, sind gleich Null.
Ansonsten ist der Rang einer Matrix die höchste Nebenordnung außer Null.
Bezeichnungen: rangA, r A oder r.
Aus der Definition folgt, dass r eine positive ganze Zahl ist. Für eine Nullmatrix wird der Rang als Null betrachtet.

Zweck des Dienstes. Der Online-Rechner dient zum Finden Matrixrang. In diesem Fall wird die Lösung im Word- und Excel-Format gespeichert. siehe Beispiellösung.

Anweisungen. Wählen Sie die Matrixdimension aus und klicken Sie auf Weiter.

Definition. Gegeben sei eine Matrix vom Rang r. Jede Nebenmatrix einer Matrix, die von Null verschieden ist und die Ordnung r hat, wird als Basismatrix bezeichnet, und die Zeilen und Spalten ihrer Komponenten werden als Basiszeilen und -spalten bezeichnet.
Nach dieser Definition kann eine Matrix A mehrere Basisminorwerte haben.

Der Rang der Identitätsmatrix E ist n (die Anzahl der Zeilen).

Beispiel 1. Gegeben zwei Matrizen, und ihre Minderjährigen , . Welche davon kann als grundlegend angesehen werden?
Lösung. Minor M 1 =0, daher kann es keine Basis für eine der Matrizen sein. Minor M 2 =-9≠0 und hat die Ordnung 2, was bedeutet, dass es als Basis für die Matrizen A oder / und B verwendet werden kann, sofern sie Ränge gleich 2 haben. Da detB=0 (als Determinante mit zwei proportionalen Spalten), dann kann rangB=2 und M 2 als Basisminor der Matrix B genommen werden. Der Rang der Matrix A ist 3, da detA=-27≠ ist 0 und daher muss die Ordnung der Basis Minor dieser Matrix gleich 3 sein, das heißt, M 2 ist keine Basis für die Matrix A. Beachten Sie, dass die Matrix A eine einzelne Basisminor hat, die der Determinante der Matrix A entspricht.

Satz (über die Basis Moll). Jede Zeile (Spalte) einer Matrix ist eine Linearkombination ihrer Basiszeilen (Spalten).
Folgerungen aus dem Satz.

1. Jede (r+1) Spalten-(Zeilen-)Matrix mit Rang r ist linear abhängig.
2. Wenn der Rang einer Matrix kleiner ist als die Anzahl ihrer Zeilen (Spalten), dann sind ihre Zeilen (Spalten) linear abhängig. Wenn rangA gleich der Anzahl seiner Zeilen (Spalten) ist, dann sind die Zeilen (Spalten) linear unabhängig.
3. Die Determinante einer Matrix A ist genau dann gleich Null, wenn ihre Zeilen (Spalten) linear abhängig sind.
4. Wenn Sie einer Zeile (Spalte) einer Matrix eine weitere Zeile (Spalte) hinzufügen und diese mit einer anderen Zahl als Null multiplizieren, ändert sich der Rang der Matrix nicht.
5. Wenn Sie eine Zeile (Spalte) in einer Matrix streichen, die eine lineare Kombination anderer Zeilen (Spalten) ist, ändert sich der Rang der Matrix nicht.
6. Der Rang einer Matrix ist gleich der maximalen Anzahl ihrer linear unabhängigen Zeilen (Spalten).
7. Die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen entspricht der maximalen Anzahl linear unabhängiger Spalten.

Beispiel 2. Finden Sie den Rang einer Matrix .
Lösung. Basierend auf der Definition des Matrixrangs suchen wir nach einem Minor höchster Ordnung, der von Null verschieden ist. Lassen Sie uns zunächst die Matrix in eine einfachere Form umwandeln. Multiplizieren Sie dazu die erste Zeile der Matrix mit (-2) und addieren Sie sie zur zweiten, multiplizieren Sie sie dann mit (-1) und addieren Sie sie zur dritten.

Um mit dem Konzept des Matrixrangs arbeiten zu können, benötigen wir Informationen aus dem Thema „Algebraische Komplemente und Nebenkomplemente. Arten von Nebenkomplementen und algebraischen Komplementen.“ Dies betrifft zunächst den Begriff „Matrix-Moll“, da wir den Rang der Matrix genau durch die Minderjährigen bestimmen werden.

Matrixrang ist die maximale Ordnung seiner Minderjährigen, von denen mindestens einer ungleich Null ist.

Äquivalente Matrizen- Matrizen, deren Ränge einander gleich sind.

Lassen Sie es uns genauer erklären. Nehmen wir an, dass es unter den Minderjährigen zweiter Ordnung mindestens eines gibt, das von Null verschieden ist. Und alle Minderjährigen, deren Ordnung höher als zwei ist, sind gleich Null. Fazit: Der Rang der Matrix ist 2. Oder es gibt beispielsweise unter den Minderjährigen zehnter Ordnung mindestens einen, der ungleich Null ist. Und alle Minderjährigen, deren Ordnung höher als 10 ist, sind gleich Null. Fazit: Der Rang der Matrix ist 10.

Der Rang der Matrix $A$ wird wie folgt bezeichnet: $\rang A$ oder $r(A)$. Der Rang der Nullmatrix $O$ wird als Null angenommen, $\rang O=0$. Ich möchte Sie daran erinnern, dass Sie zum Bilden einer Matrix-Minor Zeilen und Spalten durchstreichen müssen, aber es ist unmöglich, mehr Zeilen und Spalten durchzustreichen, als die Matrix selbst enthält. Wenn beispielsweise die Matrix $F$ die Größe $5\times 4$ hat (d. h. 5 Zeilen und 4 Spalten enthält), dann beträgt die maximale Ordnung ihrer Nebenmatrix vier. Es wird nicht mehr möglich sein, Nebenfächer fünfter Ordnung zu bilden, da diese 5 Spalten benötigen (und wir haben nur 4). Das bedeutet, dass der Rang der Matrix $F$ nicht höher als vier sein kann, d. h. $\rang F≤4$.

Allgemeiner ausgedrückt bedeutet das oben Gesagte, dass, wenn eine Matrix $m$ Zeilen und $n$ Spalten enthält, ihr Rang den kleinsten von $m$ und $n$ nicht überschreiten darf, d. h. $\rang A≤\min(m,n)$.

Im Prinzip ergibt sich aus der Definition des Rangs die Methode, ihn zu finden. Der Prozess der Ermittlung des Rangs einer Matrix kann per Definition schematisch wie folgt dargestellt werden:

Lassen Sie mich dieses Diagramm genauer erläutern. Beginnen wir mit der Argumentation von Anfang an, d.h. aus den Minderjährigen erster Ordnung einer Matrix $A$.

1. Wenn alle Minderjährigen erster Ordnung (d. h. Elemente der Matrix $A$) gleich Null sind, dann ist $\rang A=0$. Wenn es unter den Minderjährigen erster Ordnung mindestens einen gibt, der ungleich Null ist, dann ist $\rang A≥ 1$. Kommen wir zur Überprüfung von Minderjährigen zweiter Ordnung.
2. Wenn alle Minderjährigen zweiter Ordnung gleich Null sind, dann ist $\rang A=1$. Wenn es unter den Minderjährigen zweiter Ordnung mindestens eines gibt, das ungleich Null ist, dann ist $\rang A≥ 2$. Kommen wir zur Überprüfung von Minderjährigen dritter Ordnung.
3. Wenn alle Minderjährigen dritter Ordnung gleich Null sind, dann ist $\rang A=2$. Wenn es unter den Minderjährigen dritter Ordnung mindestens einen gibt, der ungleich Null ist, dann ist $\rang A≥ 3$. Kommen wir zur Überprüfung von Minderjährigen vierter Ordnung.
4. Wenn alle Minderjährigen vierter Ordnung gleich Null sind, dann ist $\rang A=3$. Wenn es unter den Minderjährigen vierter Ordnung mindestens einen gibt, der ungleich Null ist, dann ist $\rang A≥ 4$. Wir gehen weiter zur Überprüfung von Minderjährigen fünfter Ordnung und so weiter.

Was erwartet uns am Ende dieses Verfahrens? Es ist möglich, dass es unter den Minderjährigen k-ter Ordnung mindestens einen gibt, der von Null verschieden ist, und alle Minderjährigen der Ordnung (k+1) gleich Null sind. Dies bedeutet, dass k die maximale Ordnung der Minderjährigen ist, unter denen es mindestens eine gibt, die ungleich Null ist, d.h. der Rang wird gleich k sein. Es kann eine andere Situation geben: Unter den Minderjährigen k-ter Ordnung wird es mindestens einen geben, der nicht gleich Null ist, aber es wird nicht mehr möglich sein, Minderjährige (k+1)-Ordnung zu bilden. In diesem Fall ist der Rang der Matrix ebenfalls gleich k. Kurz gesagt, Die Reihenfolge des zuletzt komponierten Molls ungleich Null entspricht dem Rang der Matrix.

Kommen wir zu Beispielen, in denen der Prozess der Ermittlung des Rangs einer Matrix per Definition anschaulich veranschaulicht wird. Lassen Sie mich noch einmal betonen, dass wir in den Beispielen dieses Themas beginnen werden, den Rang von Matrizen nur anhand der Rangdefinition zu ermitteln. Andere Methoden (Berechnung des Rangs einer Matrix mit der Methode der Grenzübergänge, Berechnung des Rangs einer Matrix mit der Methode der Elementartransformationen) werden in den folgenden Themen besprochen.

Übrigens ist es überhaupt nicht notwendig, das Verfahren zur Rangfindung mit Minderjährigen der kleinsten Ordnung zu beginnen, wie dies in den Beispielen Nr. 1 und Nr. 2 geschehen ist. Sie können sofort zu Minderjährigen höherer Ordnung übergehen (siehe Beispiel Nr. 3).

Beispiel Nr. 1

Ermitteln Sie den Rang der Matrix $A=\left(\begin(array)(ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \end(array) \right)$.

Diese Matrix hat die Größe $3\times 5$, d.h. enthält drei Zeilen und fünf Spalten. Von den Zahlen 3 und 5 beträgt das Minimum 3, daher beträgt der Rang der Matrix $A$ nicht mehr als 3, d. h. $\rang A≤ 3$. Und diese Ungleichheit ist offensichtlich, da wir nicht mehr in der Lage sein werden, Minderjährige vierter Ordnung zu bilden – sie erfordern 4 Zeilen und wir haben nur 3. Fahren wir direkt mit dem Prozess fort, den Rang einer bestimmten Matrix zu ermitteln.

Unter den Minderjährigen erster Ordnung (d. h. unter den Elementen der Matrix $A$) gibt es Einsen ungleich Null. Zum Beispiel 5, -3, 2, 7. Im Allgemeinen interessiert uns nicht die Gesamtzahl der Elemente ungleich Null. Es gibt mindestens ein Element ungleich Null – und das reicht. Da es unter den Minor-Werten erster Ordnung mindestens einen von Null gibt, schließen wir, dass $\rang A≥ 1$ ist, und fahren mit der Überprüfung der Minor-Werte zweiter Ordnung fort.

Beginnen wir mit der Erforschung von Minderjährigen zweiter Ordnung. Am Schnittpunkt der Zeilen Nr. 1, Nr. 2 und der Spalten Nr. 1, Nr. 4 befinden sich beispielsweise Elemente des folgenden Nebensatzes: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|. Für diese Determinante sind alle Elemente der zweiten Spalte gleich Null, daher ist die Determinante selbst gleich Null, d.h. $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=0$ (siehe Eigenschaft Nr. 3 im Thema Eigenschaften von Determinanten). Oder Sie berechnen diese Determinante einfach mit der Formel Nr. 1 aus dem Abschnitt zur Berechnung von Determinanten zweiter und dritter Ordnung:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$

Das erste von uns getestete Moll zweiter Ordnung erwies sich als gleich Null. Was bedeutet das? Über die Notwendigkeit, Minderjährige zweiter Ordnung weiter zu überprüfen. Entweder erweisen sie sich alle als Null (und dann ist der Rang gleich 1), oder unter ihnen gibt es mindestens einen Nebenwert, der von Null verschieden ist. Versuchen wir, eine bessere Wahl zu treffen, indem wir ein Nebenfach zweiter Ordnung schreiben, dessen Elemente sich am Schnittpunkt der Zeilen Nr. 1, Nr. 2 und der Spalten Nr. 1 und Nr. 5 befinden: $\left|\begin( array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \right|$. Lassen Sie uns den Wert dieses Moll zweiter Ordnung ermitteln:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$

Dieses Nebenfach ist ungleich Null. Fazit: Unter den Minderjährigen zweiter Ordnung gibt es mindestens einen von Null verschiedenen. Daher ist $\rang A≥ 2$. Wir müssen mit dem Studium von Minderjährigen dritter Ordnung fortfahren.

Wenn wir Spalte Nr. 2 oder Spalte Nr. 4 wählen, um Minderjährige dritter Ordnung zu bilden, sind diese Minderjährigen gleich Null (da sie eine Nullspalte enthalten). Es bleibt nur noch ein Nebenfach dritter Ordnung zu prüfen, dessen Elemente sich am Schnittpunkt der Spalten Nr. 1, Nr. 3, Nr. 5 und der Zeilen Nr. 1, Nr. 2, Nr. 3 befinden. Schreiben wir dieses Moll auf und finden seinen Wert:

$$ \left|\begin(array)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(array) \right|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$

Daher sind alle Minderjährigen dritter Ordnung gleich Null. Das letzte von uns zusammengestellte Nebenfach ungleich Null war von zweiter Ordnung. Schlussfolgerung: Die maximale Ordnung von Minderjährigen, unter denen es mindestens eine Nicht-Null-Stelle gibt, ist 2. Daher ist $\rang A=2$.

Antwort: $\rang A=2$.

Beispiel Nr. 2

Ermitteln Sie den Rang der Matrix $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(array) \right)$.

Wir haben eine quadratische Matrix vierter Ordnung. Beachten wir sofort, dass der Rang dieser Matrix 4 nicht überschreitet, d.h. $\rang A≤ 4$. Beginnen wir mit der Ermittlung des Rangs der Matrix.

Unter den Minderjährigen erster Ordnung (d. h. unter den Elementen der Matrix $A$) gibt es mindestens eines, das ungleich Null ist, also $\rang A≥ 1$. Kommen wir zur Überprüfung von Minderjährigen zweiter Ordnung. Am Schnittpunkt der Zeilen Nr. 2, Nr. 3 und der Spalten Nr. 1 und Nr. 2 erhalten wir beispielsweise den folgenden Minor zweiter Ordnung: $\left| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|$. Berechnen wir es:

$$\left| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|=0-10=-10. $$

Unter den Minderjährigen zweiter Ordnung gibt es mindestens einen, der ungleich Null ist, also $\rang A≥ 2$.

Kommen wir zu den Minderjährigen dritter Ordnung. Suchen wir zum Beispiel einen Nebenfach, dessen Elemente sich am Schnittpunkt der Zeilen Nr. 1, Nr. 3, Nr. 4 und der Spalten Nr. 1, Nr. 2, Nr. 4 befinden:

$$\left | \begin(array) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(array) \right|=105-105=0. $$

Da sich herausstellte, dass dieser Minor dritter Ordnung gleich Null war, muss ein weiterer Minor dritter Ordnung untersucht werden. Entweder sind alle gleich Null (dann ist der Rang gleich 2), oder unter ihnen gibt es mindestens einen, der ungleich Null ist (dann beginnen wir mit dem Studium der Nebenfächer vierter Ordnung). Betrachten wir ein Nebenfach dritter Ordnung, dessen Elemente sich am Schnittpunkt der Zeilen Nr. 2, Nr. 3, Nr. 4 und der Spalten Nr. 2, Nr. 3, Nr. 4 befinden:

$$\left| \begin(array) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(array) \right|=-28. $$

Unter den Minderjährigen dritter Ordnung gibt es mindestens einen von Null verschiedenen Wert, also $\rang A≥ 3$. Kommen wir zur Überprüfung von Minderjährigen vierter Ordnung.

Jeder Minor vierter Ordnung befindet sich am Schnittpunkt von vier Zeilen und vier Spalten der Matrix $A$. Mit anderen Worten, der Minor vierter Ordnung ist die Determinante der Matrix $A$, da diese Matrix 4 Zeilen und 4 Spalten enthält. Die Determinante dieser Matrix wurde im Beispiel Nr. 2 des Themas „Die Reihenfolge der Determinante in einer Zeile (Spalte) reduzieren“ berechnet, also nehmen wir einfach das fertige Ergebnis:

$$\left| \begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end (Array)\right|=86. $$

Das Moll vierter Ordnung ist also nicht gleich Null. Wir können keine Minderjährigen fünfter Ordnung mehr ausbilden. Fazit: Die höchste Ordnung von Minderjährigen, unter denen es mindestens einen von Null verschiedenen gibt, ist 4. Ergebnis: $\rang A=4$.

Antwort: $\rang A=4$.

Beispiel Nr. 3

Ermitteln Sie den Rang der Matrix $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \end( array) \right)$.

Beachten wir sofort, dass diese Matrix 3 Zeilen und 4 Spalten enthält, also $\rang A≤ 3$. In den vorherigen Beispielen haben wir mit der Ermittlung des Rangs begonnen, indem wir Minderjährige der kleinsten (ersten) Ordnung berücksichtigt haben. Hier werden wir versuchen, die Minderjährigen der höchstmöglichen Ordnung sofort zu überprüfen. Für die Matrix $A$ sind dies die Minderjährigen dritter Ordnung. Betrachten wir ein Nebenfach dritter Ordnung, dessen Elemente am Schnittpunkt der Zeilen Nr. 1, Nr. 2, Nr. 3 und der Spalten Nr. 2, Nr. 3, Nr. 4 liegen:

$$\left| \begin(array) (ccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(array) \right|=-8-60-20=-88. $$

Die höchste Ordnung der Minderjährigen, unter denen es mindestens eine ungleich Null gibt, ist also 3. Daher ist der Rang der Matrix 3, d.h. $\rang A=3$.

Antwort: $\rang A=3$.

Im Allgemeinen ist die Ermittlung des Rangs einer Matrix per Definition eine recht arbeitsintensive Aufgabe. Beispielsweise hat eine relativ kleine Matrix der Größe $5\times 4$ 60 Minderjährige zweiter Ordnung. Und selbst wenn 59 davon gleich Null sind, kann sich herausstellen, dass der 60. Moll ungleich Null ist. Dann müssen Sie Nebenfächer dritter Ordnung studieren, von denen diese Matrix 40 Teile enthält. Normalerweise versuchen sie, weniger umständliche Methoden zu verwenden, wie zum Beispiel die Methode der angrenzenden Minderjährigen oder die Methode der äquivalenten Transformationen.