EingangMethode mit minimalem Risiko. Bewertung von Finanztransaktionen unter Bedingungen der Unsicherheit. Definition und Wesen des Risikos Pareto-Optimalität der Zwei-Kriterien-Finanzierung
Laborarbeit 2 „Betrieb und Diagnose von Oberleitungsstützen“
Ziel der Arbeit: Machen Sie sich mit Methoden zur Bestimmung des Korrosionszustands von Kontaktnetzstützen aus Stahlbeton vertraut
Arbeitsauftrag:
1) Studieren und erstellen Sie einen kurzen Bericht über den Betrieb des ADO-3-Geräts.
2) Studieren und lösen Sie das Problem mit der Methode des minimalen Risikos (gemäß den Optionen (nach Nummer im Journal))
3) Betrachten Sie eine spezielle Frage zu Methoden zur Diagnose des Zustands von Stützen (mit Ausnahme des Neigungswinkels).
P.p. 1 und 3 werden von einem Team aus 5 Personen durchgeführt.
P.2 wird von jedem Schüler individuell durchgeführt.
Daher müssen Sie einen benutzerdefinierten elektronischen Bericht erstellen und ihn an die Tafel hängen.
Methode des minimalen Risikos
Bei Unsicherheiten bei der Entscheidungsfindung kommen spezielle Methoden zum Einsatz, die den Wahrscheinlichkeitscharakter von Ereignissen berücksichtigen. Sie ermöglichen die Zuweisung einer Parametertoleranzgrenze für die Diagnoseentscheidung.
Lassen Sie uns den Zustand des Stahlbetonträgers mithilfe der Vibrationsmethode diagnostizieren.
Die Vibrationsmethode (Abbildung 2.1) basiert auf der Abhängigkeit des Dekrements gedämpfter Vibrationen eines Trägers vom Korrosionsgrad der Bewehrung. Die Stütze wird beispielsweise über ein Abspannseil und eine Auslösevorrichtung in Schwingbewegung versetzt. Die Auslösevorrichtung ist auf eine bestimmte Kraft kalibriert. Auf dem Träger ist ein Vibrationssensor, beispielsweise ein Beschleunigungsmesser, installiert. Die Dekrementierung gedämpfter Schwingungen ist definiert als der Logarithmus des Verhältnisses der Schwingungsamplituden:
wobei A 2 und A 7 die Amplituden der zweiten bzw. siebten Schwingung sind.
a) Diagramm b) Messergebnis
Abbildung 2.1 – Vibrationsmethode
ADO-2M misst Schwingungsamplituden von 0,01 ... 2,0 mm mit einer Frequenz von 1 ... 3 Hz.
Je höher der Korrosionsgrad, desto schneller klingen die Schwingungen ab. Der Nachteil des Verfahrens besteht darin, dass die Schwingungsabnahme weitgehend von den Bodenparametern, der Art der Einbettung der Stütze, Abweichungen in der Herstellungstechnologie der Stütze und der Qualität des Betons abhängt. Der spürbare Einfluss der Korrosion tritt erst bei deutlicher Entwicklung des Prozesses auf.
Die Aufgabe besteht darin, den Wert Xo des X-Parameters so zu wählen, dass bei X ><Хо не проводили управляющего воздействия.
. (2.2)
Die Abnahme der Stützschwingungen hängt nicht nur vom Grad der Korrosion, sondern auch von vielen anderen Faktoren ab. Daher können wir von einem bestimmten Bereich sprechen, in dem sich der Dekrementwert befinden kann. Die Verteilung des Vibrationsdekrements für einen funktionsfähigen und korrodierten Träger ist in Abb. dargestellt. 2.2.
Abbildung 2.2 – Wahrscheinlichkeitsdichte der Abnahme der Stützschwingung
Es ist wichtig, dass die Bereiche wartungsfähig sind D 1 und ätzend D Die beiden Zustände schneiden sich und daher ist es unmöglich, x 0 so zu wählen, dass Regel (2.2) keine fehlerhaften Lösungen liefert.
Fehler erster Art- Treffen einer Entscheidung über das Vorliegen von Korrosion (Defekt), wenn sich der Träger (das System) tatsächlich in gutem Zustand befindet.
Fehler zweiter Art- Entscheidung über den gebrauchsfähigen Zustand treffen, während der Träger (das System) korrodiert ist (einen Defekt aufweist).
Die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers erster Art ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten zweier Ereignisse: der Wahrscheinlichkeit des Vorliegens eines guten Zustands und der Wahrscheinlichkeit, dass x > x 0 in einem guten Zustand ist:
, (2.3)
Dabei ist P(D 1) = P 1 die A-priori-Wahrscheinlichkeit, den Träger in gutem Zustand vorzufinden (auf der Grundlage vorläufiger statistischer Daten als bekannt angesehen).
Wahrscheinlichkeit eines Fehlers vom Typ II:
, (2.4)
Wenn die Fehlerkosten der ersten und zweiten Art c bzw. y bekannt sind, können wir die Gleichung für das durchschnittliche Risiko schreiben:
Finden wir den Grenzwert x 0 für Regel (2.5) aus der Bedingung des minimalen durchschnittlichen Risikos. Wenn wir (2.6) und (2.7) in (2.8) einsetzen und R(x) nach x 0 differenzieren, setzen wir die Ableitung mit Null gleich:
= 0, (2.6)
. (2.7)
Dies ist eine Voraussetzung für die Suche nach zwei Extrema – Maximum und Minimum. Damit am Punkt x = x 0 ein Minimum existiert, muss die zweite Ableitung positiv sein:
. (2.8)
Dies führt zu folgender Bedingung:
. (2.9)
Wenn die Verteilungen f(x/D 1) und f(x/D 2) unimodal sind, dann gilt:
(2.10)
Bedingung (4.58) ist erfüllt.
Unterliegen die Dichteverteilungen der Parameter eines funktionsfähigen und fehlerhaften (Systems) dem Gaußschen Gesetz, dann haben sie die Form:
, (2.11)
. (2.12)
Die Bedingungen (2.7) haben in diesem Fall die Form:
. (2.13)
Nach Transformation und Logarithmus erhalten wir eine quadratische Gleichung
, (2.14)
b = 
;
c = 
.
Durch Lösen von Gleichung (2.14) können wir den Wert x 0 finden, bei dem das minimale Risiko erreicht wird.
Ausgangsdaten:
Arbeitsbedingung:
Erwarteter Wert: 
Wahrscheinlichkeit, dass das System in gutem Zustand ist: 
Standardabweichung: 
Angegebene Kosten für guten Zustand:
Fehlerhafter Zustand:
Erwarteter Wert: ;
Nehmen wir an, dass der DM (Entscheidungsträger) mehrere mögliche Lösungen in Betracht zieht: i = 1,...,m. Die Situation, in der der Entscheidungsträger agiert, ist ungewiss. Es ist nur bekannt, dass eine der Optionen vorhanden ist: j = 1,…, n. Wenn die i-e-Entscheidung getroffen wird und die Situation j-th ist, erhält das vom Entscheidungsträger geleitete Unternehmen Einkommen q ij . Die Matrix Q = (q ij) wird als Konsequenzenmatrix (Lösungsmöglichkeiten) bezeichnet. Welche Entscheidung muss der Entscheidungsträger treffen? In dieser Situation völliger Unsicherheit können nur einige vorläufige Empfehlungen ausgesprochen werden. Sie werden vom Entscheidungsträger nicht unbedingt akzeptiert. Vieles wird beispielsweise von seiner Risikobereitschaft abhängen. Aber wie ist das Risiko in diesem System einzuschätzen?
Nehmen wir an, wir möchten das Risiko abschätzen, das von der i-e-Entscheidung ausgeht. Wir kennen die reale Situation nicht. Aber wenn sie es wüssten, würden sie die beste Lösung wählen, d. h. das meiste Einkommen erwirtschaftet. Diese. Wenn die Situation j ist, würde eine Entscheidung getroffen werden, die das Einkommen q ij erbringen würde.
Das bedeutet, dass wir bei der i-e-Entscheidung das Risiko eingehen, nicht q j , sondern nur q ij zu erhalten, was bedeutet, dass die i-te Entscheidung das Risiko birgt, r ij = q j - q ij nicht zu erhalten. Die Matrix R = (r ij) wird Risikomatrix genannt.
Beispiel Nr. 1. Lassen Sie es eine Matrix von Konsequenzen geben
Lassen Sie uns eine Risikomatrix erstellen. Wir haben q 1 = max(q i 1) = 8, q 2 = 5, q 3 = 8, q 4 = 12. Daher ist die Risikomatrix 
Entscheidungsfindung unter Bedingungen völliger Unsicherheit
Nicht alles Zufällige kann an der Wahrscheinlichkeit „gemessen“ werden. Unsicherheit ist ein umfassenderes Konzept. Die Ungewissheit darüber, auf welcher Zahl der Würfel landen wird, unterscheidet sich von der Ungewissheit darüber, wie sich die russische Wirtschaft in 15 Jahren entwickeln wird. Kurz gesagt sind einzigartige, individuelle Zufallsphänomene mit Unsicherheit verbunden, während massive Zufallsphänomene zwangsläufig einige Muster probabilistischer Natur zulassen.Eine Situation völliger Unsicherheit ist dadurch gekennzeichnet, dass keine zusätzlichen Informationen vorliegen. Welche Regeln und Empfehlungen gibt es für die Entscheidungsfindung in dieser Situation?
Walds Regel(Regel des extremen Pessimismus). In Anbetracht der i-e-Lösung gehen wir davon aus, dass die Situation tatsächlich die schlimmste ist, d.h. bringt das kleinste Einkommen a i Aber jetzt wählen wir die Lösung i 0 mit dem größten a i0 . Die Waldsche Regel empfiehlt also, eine Entscheidung i0 so zu treffen, dass 
Im obigen Beispiel haben wir also a 1 = 2, a 2 = 2, a 3 = 3, a 4 = 1. Von diesen Zahlen ist die Zahl 3 das Maximum. Das bedeutet, dass Walds Regel empfiehlt, die dritte Entscheidung zu treffen.
Wilde Regel(Minimalrisikoregel). Bei Anwendung dieser Regel wird die Risikomatrix R = (rij) analysiert. In Anbetracht der i-e-Lösung gehen wir davon aus, dass tatsächlich eine Situation mit maximalem Risiko vorliegt b i = max
Aber jetzt wählen wir die Lösung i 0 mit dem kleinsten b i0 . Die Regel von Savage empfiehlt also, eine Entscheidung i 0 so zu treffen, dass 
Im betrachteten Beispiel gilt b 1 = 8, b 2 = 6, b 3 = 5, b 4 = 7. Das Minimum dieser Zahlen ist die Zahl 5. D.h. Savages Regel empfiehlt, die dritte Entscheidung zu treffen.
Hurwitz-Herrschaft(Abwägen pessimistischer und optimistischer Herangehensweisen an eine Situation). Es wird die Entscheidung getroffen, bei der das Maximum erreicht wird 
, wobei 0 ≤ λ ≤ 1.
Der Wert von λ wird aus subjektiven Gründen gewählt. Wenn λ sich 1 nähert, dann nähert sich die Hurwitz-Regel der Wald-Regel; wenn λ sich 0 nähert, nähert sich die Hurwitz-Regel der Regel des „rosa Optimismus“ (raten Sie selbst, was das bedeutet). Im obigen Beispiel empfiehlt die Hurwitz-Regel mit λ = 1/2 die 2. Lösung.
Entscheidungsfindung unter Bedingungen teilweiser Unsicherheit
Nehmen wir an, dass im betrachteten Schema die Wahrscheinlichkeiten pj bekannt sind, dass sich die reale Situation gemäß Option j entwickelt. Diese Situation wird als partielle Unsicherheit bezeichnet. Wie trifft man hier eine Entscheidung? Sie können eine der folgenden Regeln auswählen.Regel zur Maximierung des durchschnittlich erwarteten Einkommens. Das Einkommen, das das Unternehmen bei der Implementierung der i-ten Lösung erhält, ist eine Zufallsvariable Qi mit einer Verteilungsreihe
qi1 | qi2 | … | qin |
p1 |
p2 | … |
pn |
Die mathematische Erwartung M ist das durchschnittliche erwartete Einkommen, bezeichnet mit . Die Regel empfiehlt, die Entscheidung zu treffen, die die maximale durchschnittliche erwartete Rendite bringt.
Nehmen wir an, dass in der Schaltung aus dem vorherigen Beispiel die Wahrscheinlichkeiten (1/2, 1/6, 1/6, 1/6) sind. Dann ist Q 1 =29/6, Q 2 =25/6, Q 3 =7, Q 4 =17/6. Die maximale durchschnittliche erwartete Rendite beträgt 7, entsprechend der dritten Lösung.
Regel zur Minimierung des durchschnittlich erwarteten Risikos. Das Risiko des Unternehmens bei der Umsetzung der i-ten Entscheidung ist eine Zufallsvariable R i mit einer Verteilungsreihe
ri1 | ri2 | … | rin |
p1 |
p2 | … |
pn |
Der mathematische Erwartungswert M ist das durchschnittliche erwartete Risiko, auch R i genannt. Die Regel empfiehlt, eine Entscheidung zu treffen, die das minimale durchschnittlich erwartete Risiko mit sich bringt.
Berechnen wir die durchschnittlich erwarteten Risiken für die oben genannten Wahrscheinlichkeiten. Wir erhalten R 1 =20/6, R 2 =4, R 3 =7/6, R 4 =32/5. Das minimale durchschnittliche erwartete Risiko beträgt 7/6, entsprechend der dritten Lösung.
Die Analyse der nach zwei Kriterien getroffenen Entscheidungen: durchschnittliches erwartetes Einkommen und durchschnittliches erwartetes Risiko und die Suche nach Pareto-optimalen Lösungen ähnelt der Analyse der Rentabilität und des Risikos von Finanztransaktionen. Im Beispiel besteht die Menge der Lösungen, die Pareto-optimale Operationen sind, nur aus einer dritten Lösung.
Wenn die Anzahl der pareto-optimalen Lösungen mehr als eins beträgt, wird die Gewichtungsformel f(Q)=2Q -R verwendet, um die beste Lösung zu ermitteln.
Laplace-Regel
Unter Bedingungen völliger Unsicherheit wird manchmal die Laplace-Regel verwendet, nach der alle Wahrscheinlichkeiten p j als gleich angesehen werden. Anschließend können Sie eine der beiden oben genannten Entscheidungsregeln-Empfehlungen wählen.Beispiel Nr. 2. Betrachten wir ein Beispiel für die Lösung eines statistischen Spiels in einem Wirtschaftsproblem.
Ein landwirtschaftlicher Betrieb kann einige Produkte verkaufen:
A1) unmittelbar nach der Reinigung;
A2) in den Wintermonaten;
A3) in den Frühlingsmonaten.
Der Gewinn hängt vom Verkaufspreis in einem bestimmten Zeitraum, den Lagerkosten und möglichen Verlusten ab. Die für verschiedene Einkommens- und Kostenverhältnisse (S1, S2 und S3) berechnete Gewinnhöhe während des gesamten Umsetzungszeitraums wird in Form einer Matrix dargestellt (Millionen Rubel).
| S1 | S2 | S3 | |
| A1 | 2 | -3 | 7 |
| A2 | -1 | 5 | 4 |
| A3 | -7 | 13 | -3 |
Lösung
Die Berechnungsergebnisse werden in die Tabelle eingetragen:
| S1 | S2 | S3 | B | ABER | MM | VON | H-L | |
| A1 | 2 | -3 | 7 | 1 | 2 | -3 | 3 | -0,6 |
| A2 | -1 | 5 | 4 | 3,5 | 2,7 | -1 | 2,6 | 1,7 |
| A3 | -7 | 13 | -3 | 4,2 | 1 | -7 | 5 | -0,28 |
| p j | 0,2 | 0,5 | 0,3 | A3 | A2 | A2 | A3 | A2 |
1. Bayes-Kriterium (maximale mathematische Erwartung)
Die Berechnung erfolgt nach der Formel:
;
W 1 = 2∙0,2 + (-3) ∙0,5 + 7∙0,3 = 0,4 – 1,5 + 2,1 = 1
W 2 = -1∙0,2 + 5 ∙0,5 + 4∙0,3 = -0,2 + 2,5 + 1,2 = 3,5
W 3 = -7∙0,2 + 13∙0,5 + (-3)∙0,3 = -1,2 + 6,5 - 0,9 = 4,2
Wir tragen die gefundenen Werte in die erste Spalte (B) ein und wählen das Maximum aus
W = max(1;3,5;4,2) = 4,2,
Das heißt, Strategie A3 ist nach diesem Kriterium optimal – Verkauf in den Frühlingsmonaten.
2. Laplaces unzureichendes Basiskriterium (LCR)
Ermitteln Sie den Durchschnittswert der Elemente jeder Zeile:
.
;
;
.
Wir tragen die gefundenen Werte in die zweite Spalte ein (ABER) und wählen das Maximum W = max(2; 2,7; 1) = 2,7, was bedeutet, dass Strategie A2 nach diesem Kriterium optimal ist – Verkauf in den Wintermonaten.
3. Maximin-Wald-Kriterium (MM)
In jeder Zeile finden wir das minimale Element: .W 1 = min(2; -3; 7) = -3
W 2 = min(-1; 5; 4) = -1
W 3 = min(-7; 13; -3) = -7
Wir tragen die gefundenen Werte in die dritte Spalte (MM) ein und wählen das Maximum W = max(-3; -1; 7) = -1, was bedeutet, dass Strategie A2 nach diesem Kriterium optimal ist – im Winter verkaufen Monate.
4. Hurwitz-Kriterium des Pessimismus-Optimismus (P-O)
Für jede Zeile berechnen wir den Wert des Kriteriums anhand der Formel: . Gemäß der Bedingung ist C = 0,4, was bedeutet:W 1 = 0,4∙min(2; -3; 7) + (1-0,4) ∙ max(2; -3; 7) = 0,4∙(-3) + 0,6∙7 = -1,2 + 4,2 = 3
W 2 = 0,4∙min(-1; 5; 4) + (1-0,4) ∙ max(-1; 5; 4) = 0,4∙(-1) + 0,6∙5 = -0,4 + 3 = 2,6
W 3 = 0,4∙min(-7; 13; -3) + (1-0,4) ∙ max(-7; 13; -3) = 0,4∙(-7) + 0,6∙ 13 = -2,8 + 7,2 = 5
Wir tragen die gefundenen Werte in die vierte Spalte (P-O) ein und wählen das Maximum W = max(3; 2,6 5) = 5, was bedeutet, dass Strategie A3 nach diesem Kriterium optimal ist – Verkauf in den Frühlingsmonaten.
5. Hodge-Lehman-Kriterium (HL)
Für jede Zeile berechnen wir den Kriteriumswert nach der Formel:
. Unter der Bedingung u = 0,6 und wenn die Faktoren in jedem Term bereits berechnet wurden, können sie aus der ersten Spalte (B) und aus der dritten Spalte (MM) entnommen werden, was bedeutet: W 1 = 0,6∙1 + (1-0,6) ∙(-3) = 0,6 – 1,2 = -0,6
W 2 = 0,6∙3,5 + (1-0,6) ∙(-1) = 2,1 – 0,4 = 1,7
W 3 = 0,6∙4,2 + (1-0,6) ∙(-7) = 2,52 – 2,8 = -0,28
Wir tragen die gefundenen Werte in die fünfte Spalte (Х-Л) ein und wählen das Maximum W = max(-0,6; 1,7; -0,28) = 1,7, was bedeutet, dass die Strategie A2 nach diesem Kriterium optimal ist – verkaufen im Wintermonate.
5. Savages Minimax-Risikokriterium
Berechnen wir die Risikomatrix. Es ist besser, es in Spalten auszufüllen. In jeder Spalte finden wir das maximale Element und Sie lesen daraus alle anderen Elemente der Spalte ab und schreiben die Ergebnisse an die entsprechenden Stellen.So wird die erste Spalte berechnet. Das maximale Element in der ersten Spalte: a 11 = 2, was laut Formel bedeutet
:
r 11 = 2 – a 11 = 2 -2 = 0
r 21 = 2 – a 21 = 2 –(-1) = 3
r 31 = 2 – a 31 = 2 –(-7) = 9
Berechnen wir die zweite Spalte der Risikomatrix. Das maximale Element in der zweiten Spalte ist: a 32 = 13, was bedeutet:
r 12 = 13 – a 12 = 13 –(-3) = 16
r 22 = 13 – a 22 = 13 –5 = 8
r 32 = 13 – a 32 = 13 –13 = 0
Berechnen wir die dritte Spalte der Risikomatrix. Das maximale Element in der dritten Spalte ist: a 13 = 7, was bedeutet:
r 13 = 7 – a 13 = 7 –7 = 0
r 23 = 7 – a 23 = 7 –4 = 3
r 33 = 7 – a 33 = 7 –(-3) = 10
Somit hat die Risikomatrix die Form (in jeder Spalte sollte anstelle des maximalen Elements der Zahlungsmatrix eine Null stehen):
| W ich | |||
| 0 | 16 | 0 | 16 |
| 3 | 8 | 3 | 8 |
| 9 | 0 | 10 | 10 |
W 1 = max(0; 16; 0) = 16
W 2 = max(3; 8; 3) = 8
W 3 = max(9; 0; 10) = 10
Wir tragen die gefundenen Werte in die Spalte (W i) ein und wählen das Minimum W = min(16,8,10) = 8, was bedeutet, dass Strategie A2 nach diesem Kriterium optimal ist – Verkauf in den Wintermonaten.
Abschluss:
- Strategie A1 (sofort nach der Ernte verkaufen) ist nach keinem der Kriterien optimal.
- Strategie A2 (Verkauf in den Wintermonaten) ist optimal nach dem Laplace-Kriterium der unzureichenden Basis, dem Wald-Maximin-Kriterium und dem Savage-Minimax-Kriterium.
- Strategie A3 (Verkauf in den Frühlingsmonaten) ist nach den Pessimismus-Optimismus-Kriterien von Bayes, Hurwitz und Hodge-Lehman optimal.
Beispiel Nr. 2. In einem regulären Strategiespiel führt jeder Spieler genau die Aktionen aus, die für ihn am vorteilhaftesten und für seinen Gegner weniger vorteilhaft sind. Dies setzt voraus, dass die Spieler rationale und antagonistische Gegner sind. Sehr oft herrscht jedoch Unsicherheit, die nicht mit der bewussten Opposition des Feindes zusammenhängt, sondern von einer objektiven Realität abhängt.
Der landwirtschaftliche Betrieb verfügt über drei Grundstücke: nass, mittelfeucht und trocken. Eine dieser Parzellen soll für den Kartoffelanbau genutzt werden, der Rest für die Aussaat von Grünmasse. Um eine gute Kartoffelernte zu erzielen, ist während der Vegetationsperiode eine gewisse Feuchtigkeit im Boden erforderlich. Bei zu hoher Feuchtigkeit kann es in manchen Gebieten zu Fäulnis der Pflanzkartoffeln kommen, bei zu wenig Niederschlag kommt es zu einer schlechten Entwicklung, was zu Ertragseinbußen führt. Bestimmen Sie, in welchem Gebiet Kartoffeln gesät werden sollen, um eine gute Ernte zu erzielen, wenn der durchschnittliche Kartoffelertrag in jedem Gebiet abhängig von den Wetterbedingungen bekannt ist. Standort auf Eine 1 Der Ertrag beträgt 200, 100 und 250 Zentner pro 1 ha, wenn die normale Niederschlagsmenge mehr bzw. weniger als die Norm fällt. Ebenso auf der Website Eine 2– 230, 120 und 200 cwt, und vor Ort Eine 3– 240, 260 und 100 c.
Wir verwenden einen spielerischen Ansatz. Landwirtschaftlicher Betrieb – Spieler A, das drei Strategien hat: Eine 1– Kartoffeln an einem feuchten Ort säen, Eine 2– in einem Bereich mit durchschnittlicher Luftfeuchtigkeit, Eine 3- auf einer trockenen Fläche. Spieler P– Natur, die drei Strategien hat: P 1 entspricht der Niederschlagsmenge unter dem Normalwert, P 2- normal, P 3- mehr als normal. Der Gewinn des landwirtschaftlichen Unternehmens für jedes Strategiepaar ( A i, P j) wird durch den Kartoffelertrag pro Hektar bestimmt.
| P A | P 1 | P 2 | P 3 |
| Eine 1 | 250 | 200 | 100 |
| Eine 2 | 200 | 230 | 120 |
| Eine 3 | 100 | 240 | 260 |
Es mag scheinen, dass das Spielen mit der Natur einfacher ist als das Spielen von Strategien, weil die Natur dem Spieler keinen Widerstand entgegensetzt A. In der Realität ist dies jedoch nicht der Fall, da es in einer unsicheren Situation schwieriger ist, eine fundierte Entscheidung zu treffen. Obwohl er gewinnen wird A, höchstwahrscheinlich mehr als in einem Spiel gegen einen bewussten Gegner.
Beispiel 9. Das Unternehmen produziert beliebte Kinderkleider und -anzüge, deren Verkauf von den Wetterbedingungen abhängt. Die Kosten des Unternehmens pro Produktionseinheit betrugen im Zeitraum August-September: Kleider – 7 Den. Einheiten, Anzüge – 28 Höhle. Einheiten Der Verkaufspreis beträgt 15 und 50 Den. Einheiten jeweils. Nach Beobachtungen aus mehreren Vorjahren kann das Unternehmen bei warmem Wetter 1.950 Kleider und 610 Anzüge verkaufen, bei kühlem Wetter 630 Kleider und 1.050 Anzüge.
Erstellen Sie eine Zahlungsmatrix.
Lösung. Das Unternehmen verfolgt zwei Strategien: Eine 1: Produkte freigeben, im Glauben, dass das Wetter warm sein wird; Eine 2: Geben Sie Produkte frei und glauben Sie, dass das Wetter kühl sein wird.
Die Natur hat zwei Strategien: B 1: das Wetter ist warm; B 2: Das Wetter ist kühl.
Lassen Sie uns die Elemente der Zahlungsmatrix finden:
1) a 11 – das Einkommen des Unternehmens bei der Auswahl einer Strategie Eine 1 angesichts dessen B 1:
a 11 =(15-7) 1950+(50-28) 610=29020.
2) a 12 – das Einkommen des Unternehmens bei der Auswahl Eine 1 angesichts dessen B 2. Das Unternehmen wird 1.950 Kleider produzieren und 630 verkaufen, Einnahmen aus dem Verkauf von Kleidern
(15-7) 630-7 (1950-630)=5040-9240
a 12 =5040-9240+22·610=9220.
3) Ähnliches gilt für die Strategie Eine 2 in Bedingungen B 1 das Unternehmen wird 1.050 Anzüge produzieren und 610 verkaufen;
a 21 =8 630+22 610-28 (1050-610)=6140
4) a 22 =8 630+22 1050=28140
Zahlungsmatrix:
| 20 020 | 9 220 |
| 6 140 | 28 140 |
Beispiel 2. Der Verein führt Mineralexplorationen in drei Lagerstätten durch. Der Fonds des Vereins beträgt 30 Höhlen. Einheiten Geld zur ersten Einzahlung M 1 kann in Vielfachen von 9 Höhlen investiert werden. Einheiten, Sekunde M 2- 6 Tage Einheiten, im dritten M 3– 15 Höhle. Einheiten Die Preise für Bodenschätze können am Ende des Planungszeitraums in zwei Zuständen liegen: C 1 Und C 2. Experten haben das in der Situation festgestellt C 1 Profitieren Sie vom Feld M 1 beträgt 20 % des investierten Geldbetrags. Einheiten für die Entwicklung, z M 2– 12 % und mehr M 3- 15 %. In einer Situation C 1 Am Ende des Planungszeitraums beträgt der Gewinn auf den Feldern 17 %, 15 %, 23 % M 1, M 3, M 3 jeweils.
Spieler A- Union. Spieler P(Natur) – eine Reihe äußerer Umstände, die einen bestimmten Gewinn auf den Feldern bestimmen. Der Spieler hat A Es gibt vier Möglichkeiten, die vorhandenen Möglichkeiten voll auszunutzen. Die erste Strategie A 1 ist das A werde investieren M 1 9 Tage Einheiten, in M 2 – 6 Tage Einheiten, in M 3 – 15 Tage Einheiten Zweite Strategie A 2: in M 1 – 18 Tage Einheiten, in M 2 – 12 Tage Einheiten, in M 3 Investieren Sie kein Geld. Dritte Strategie A 3: 30 Tage Einheiten Investieren in M 3. Die vierte Strategie A 4:. 30 Höhle. Einheiten Investieren in M 2. Kurz können wir schreiben A 1 (9, 6, 15), A 2 (18, 12, 0), A 3 (0, 0, 30), A 4 (0, 30, 0).
Die Natur kann am Ende des Planungszeitraums einen von zwei Zuständen realisieren, die durch unterschiedliche Preise für Mineralien gekennzeichnet sind. Bezeichnen wir die Naturzustände P 1 (20 %, 12 %, 15 %), P 2 (17 %, 15 %, 23 %).
Elemente a ij der Zahlungsmatrix haben die Bedeutung des Gesamtgewinns, den der Verein in verschiedenen Situationen erzielt ( A i, P j) (ich=1, 2, 3, 4, J= 1, 2). Berechnen wir zum Beispiel A 12, entsprechend der Situation ( Eine 1, P 2), also der Fall, wenn der Verein in Einlagen investiert M 1 , M 2 , M 3 bzw. 9 Tage. Einheiten, 6 Tage Einheiten, 15 Tage Einheiten und am Ende des Planungszeitraums waren die Preise in einem Zustand C 2:
eine 12= 9·0,17+6·0,15+15·0,23 = 5,88 Den. Einheiten
Beispiel 3. Überschwemmungen werden erwartet und können von Kategorie eins bis fünf reichen. Höhe des Hochwasserschadens:
| Überschwemmungskategorie | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Schaden, Höhle. Einheiten | 5 | 10 | 13 | 16 | 20 |
Kosten für den Staudammbau:
| Dammhöhe | h 1 | h 2 | Std. 3 | Std. 4 | Std. 5 |
| Kosten, Höhle. Einheiten | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
Wir bekommen Verlustmatrix:
| P/A | P 0 | P 1 | P 2 | P 3 | P 4 | P 5 |
| Eine 0 | 0 | 5 | 10 | 13 | 16 | 20 |
| Eine 1 | 2 | 2 | 12 | 15 | 18 | 22 |
| Eine 2 | 4 | 4 | 4 | 17 | 20 | 24 |
| Eine 3 | 6 | 6 | 6 | 6 | 22 | 26 |
| Eine 4 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 28 |
| Eine 5 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 |
Damit ergibt sich aus der Verlustmatrix ( b ij) Um die Gewinnmatrix zu erhalten, reicht es aus, das Vorzeichen aller Elemente zu ändern und eine beliebige Konstante hinzuzufügen C(in diesem Fall C kann als der für den Bau des Staudamms bereitgestellte Betrag interpretiert werden, dann stellt der Gewinn a ij =C-b ij den eingesparten Betrag dar). Bei C = 30 lautet die Auszahlungsmatrix beispielsweise:
| P / A | P 0 | P 1 | P 2 | P 3 | P 4 | P 5 |
| Eine 0 | 30 | 25 | 20 | 17 | 14 | 10 |
| Eine 1 | 28 | 28 | 18 | 15 | 12 | 8 |
| Eine 2 | 26 | 26 | 26 | 13 | 10 | 6 |
| Eine 3 | 24 | 24 | 24 | 24 | 8 | 4 |
| Eine 4 | 22 | 22 | 22 | 22 | 22 | 2 |
| Eine 5 | 20 | 20 | 20 | 20 | 20 | 20 |
Spiele mit der Natur
Begriff „Natur“ wird in der Spieltheorie im weitesten Sinne verstanden. Dies können tatsächlich natürliche, physikalische (klimatische), biologische, chemische, soziale usw. sein. Prozesse, die das wirtschaftliche Handeln begleiten. „Natur“ kann auch einen dem Unternehmer entgegenstehenden Markt, ein Wettbewerbsumfeld, ein Monopol usw. bedeuten. „Natur“ kann als antagonistische Seite oder vielleicht als kooperative Umgebung fungieren. „Die Natur“ in Form natürlicher Prozesse als Teil der Wirtschaft zielt nicht darauf ab, dem Unternehmer „gezielt“ zu schaden, sondern erleidet aus seiner wirtschaftlichen Tätigkeit und diesem einen gewissen Schaden Der „Verlust“ für sie sollte minimal sein, wenn es für die Umwelt generell nicht wegzudenken ist. Spieler A in solchen Spielen sind wirtschaftliche Einheiten und Spieler B ist „Natur“. Woher kommt die physische „Natur“? Der Verlust des Akteurs B, der physischen „Natur“, muss von außen kompensiert werden, beispielsweise durch staatliche Subventionen oder Mittel aus Investitionsprojekten zur Erneuerung natürlicher Ressourcen. Die Kenntnis der optimalen Strategien der „Natur“ ermöglicht es uns, die ungünstigsten Bedingungen zu ermitteln, die für Spieler A (Unternehmer) auf ihn warten („das Beste hoffen, aber auf das Schlimmste vorbereitet sein“), und die notwendigen Ressourcen für die Wiederherstellung abzuschätzen natürliche Ressourcen, die ihm die Möglichkeit geben, ein garantiertes Einkommen zu erhalten.Wenn „Natur“ ein Wettbewerbsumfeld impliziert, dann ist der Verlust des zweiten Akteurs der Preis für den Kampf gegen Konkurrenten auf dem Markt.
Kommen wir zu Beispielen sinnvoller Problemformulierungen für das Spiel mit „Natur“.
1. Antagonistische Spiele
Beispiel 1. (Anbauplanung). Ein Landwirt, der über ein begrenztes Grundstück verfügt, kann es mit drei verschiedenen Kulturen A 1, A 2, A 3 bebauen. Die Ernte dieser Feldfrüchte hängt hauptsächlich von der Witterung („Natur“) ab, die drei verschiedene Zustände annehmen kann: B 1, B 2, B 3. Der Landwirt verfügt über Informationen (statistische Daten) über den durchschnittlichen Ertrag dieser Kulturen (die Anzahl der pro Hektar Land erzielten Zentner Ernte) unter drei verschiedenen Wetterbedingungen, die sich in der Tabelle widerspiegeln: Dann die Einkommensmatrix (Zahlungsmatrix) von Bauer A hat die Form:
Matrixelement A - ( a ij) zeigt, wie viel Einkommen ein Landwirt mit einem Hektar Land erzielen kann, wenn er eine Ernte aussät ich ( i =1, 2, 3) und das Wetter wird im Zustand sein J (J = 1, 2, 3).
Es ist notwendig, die Anteile zu bestimmen, in denen der Landwirt das verfügbare Grundstück besäen muss, um unabhängig von den Wetterbedingungen das maximale garantierte Einkommen zu erzielen.
Dieses Problem lässt sich auf ein antagonistisches Spiel reduzieren. In diesem Fall ist der Bauer der erste Spieler und die Natur der zweite Spieler. Wir gehen davon aus, dass sich die Natur als Akteur so verhalten kann, dass sie dem Landwirt größtmöglichen Schaden zufügt und damit gegensätzliche Interessen verfolgt (anhand dieser Annahmen können wir abschätzen, welches Einkommen er erzielen kann, wenn die Wetterbedingungen so ungünstig sind wie für ihn möglich). In diesem Fall stehen dem Landwirt drei reine Strategien zur Verfügung:
- Die erste reine Strategie geht davon aus, dass die gesamte Parzelle mit der Kultur A 1 besät wird;
- Die zweite reine Strategie geht davon aus, dass die gesamte Parzelle mit der Kulturpflanze A 2 besät wird;
- Die dritte reine Strategie geht davon aus, dass die gesamte Parzelle mit der Kulturpflanze A 3 besät wird.
- trockenes Wetter, was der ersten reinen Strategie B 1 entspricht;
- normales Wetter, was der zweiten reinen Strategie B 2 entspricht;
- regnerisches Wetter, was der dritten reinen Strategie B 3 entspricht.
2. Schauen wir uns an, ob dieses Spiel einen Sattelpunkt hat.
V * =max i min j a ij = 50.
V * =min j max i a ij = 100.
3. Die Lösung des Spiels sollte in gemischten Strategien gesucht werden. Reduzieren wir das Spielproblem auf ein lineares Programmierproblem. Wenn erster Spieler - Bauer– wendet seine optimale gemischte Strategie P* an, und zweiter Spieler - Die Natur- seine reinen Strategien konsequent anwendet, dann wird die mathematische Erwartung des Einkommens, das ein Landwirt aus seiner Parzelle erzielen kann, nicht geringer sein als der Spielpreis V.
.
Teilen wir die Gleichheit:
p* 1 + p* 2 + p* 3 = 1
Auf V finden wir, dass die neuen Variablen y 1, y 2, y 3 die Bedingung erfüllen:
y 1 + y 2 + y 3 = 1/V
Weil das Das Ziel des ersten Spielers ist es, seinen Gewinn zu maximieren, A die rechnerische Erwartung seines Gewinns ist nicht geringer als der Preis des Spiels, dann wird der erste Spieler danach streben, die Kosten des Spiels zu maximieren, was einer Minimierung des Werts von 1/V entspricht.
Für den ersten Spieler (Landwirt) wurde das Problem der Bestimmung der optimalen Verhaltensstrategie also auf ein lineares Programmierproblem reduziert:
Finden Sie das Minimum der Funktion F = y 1 + y 2 + y 3
und direkte Einschränkungen:
y 1 ≥ 0, y 2 ≥ 0, y 3 ≥ 0
Kommen wir zum zweiten Spieler, der Natur. Wenn zweiter Spieler - Natur - wird seine optimale gemischte Strategie anwenden Q*, und der erste Spieler – der Bauer – wird dann seine reinen Strategien konsequent anwenden Die rechnerische Erwartung des Verlusts des zweiten Spielers wird nicht höher sein als die Kosten des Spiels. Daher muss das folgende Ungleichungssystem erfüllt sein:
Teilen wir jede der im System enthaltenen Ungleichungen durch V und führen neue Variablen ein:
.
Als Ergebnis erhalten wir ein neues System von Ungleichungen:
Teilen wir die Gleichheit:
q* 1 + q* 2 + q* 3 = 1
Auf V finden wir, dass die neuen Variablen q 1, q 2, q 3 die Bedingung erfüllen:
q 1 + q 2 + q 3 = 1/V
Weil das Ziel zweiter Spieler - Natur- seinen Verlust minimieren, A Die mathematische Erwartung seines Verlustes ist nicht höher als der Preis des Spiels, dann wird der zweite Spieler danach streben, die Kosten des Spiels zu minimieren, was einer Maximierung des Werts 1/V entspricht.
Für den zweiten Spieler (Natur) wurde das Problem der Bestimmung der optimalen Verhaltensstrategie also auf ein lineares Programmierproblem reduziert:
Finden Sie das Maximum der Funktion F / = x 1 + x 2 + x 3
mit folgenden Funktionseinschränkungen:
und direkte Einschränkungen:
x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x 3 ≥ 0
Um die optimale gemischte Strategie des zweiten Spielers zu finden, ist es daher auch notwendig, das lineare Programmierproblem zu lösen.
Die Probleme beider Spieler wurden auf ein Paar dualer linearer Programmierprobleme reduziert:
| Das Problem des zweiten Spielers Verlustminimierung V | Das Problem des ersten Spielers Maximierung der Auszahlung V |
| Zielfunktion | |
| F / = x 1 +x 2 +x 3 = → max | F = y 1 +y 2 +y 3 = → min |
| Funktionelle Einschränkungen | |
| Direkte Einschränkungen | |
x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x 3 ≥ 0 | y 1 ≥ 0, y 2 ≥ 0, y 3 ≥ 0 |
Das Problem des ersten Spielers wird mit der Simplex-Methode gelöst. Ergebnisergebnisse:
Schlussfolgerungen. Nach den erzielten Ergebnissen Dem Landwirt wird ein durchschnittliches Einkommen von 66,67 Einheiten garantiert von jedem Hektar Land, der unter ungünstigsten Bedingungen für den Anbau genutzt wird. Optimale Strategie für ihn - zwei Feldfrüchte anbauen, A 1 und A 3, und unter erste Kultur er sollte gegeben werden 0,67 Teil des ganzen Landes, und unter dritte Ernte 0,33 Teil der Gesamtfläche.
Die Natur bedroht den Landwirt für 0,33 der Vegetationsperiode mit Hitze und für 0,67 der Saison mit Regen.
Beispiel. Planung der Produktion unter verschiedenen Naturzuständen – Nachfragemarkt.
Ein Unternehmen kann 4 Arten von Produkten herstellen: A 1, A 2, A 3, A 4 und dabei einen Gewinn erzielen. Sein Wert wird durch den Zustand der Nachfrage (die Art des Marktes) bestimmt, der einen von vier möglichen Zuständen annehmen kann: B 1, B 2, B 3, B 4. Die Abhängigkeit der Gewinnhöhe von der Art des Produkts und den Marktbedingungen ist in der Tabelle dargestellt:
| Arten von Produkten | Mögliche Zustände des Nachfragemarktes | |||
| B 1 | B 2 | B 3 | B 4 | |
| Eine 1 | 4 | 3 | 5 | 6 |
| Eine 2 | 2 | 6 | 1 | 5 |
| Eine 3 | 3 | 0 | 7 | 2 |
| Eine 4 | 3 | 5 | 1 | 3 |
Die Zahlungsmatrix sieht so aus:
Matrixelement A - ( ein ij) charakterisiert, wie viel Gewinn ein Unternehmen erzielen kann, wenn es produziert ich-ter Produkttyp( ich=1, 2, 3, 4) bei j-ter Nachfrage( J = 1, 2, 3, 4).
Es ist notwendig, die optimalen Anteile der vom Unternehmen hergestellten Produkttypen zu bestimmen, deren Verkauf ihm den größtmöglichen Umsatz bescheren würde, unabhängig davon, welche Nachfragesituation realisiert wird
Diese Aufgabe kann auf ein antagonistisches Spiel reduziert werden.
In diesem Fall, als erster Spieler steht Unternehmen, und wie zweiter Spieler - Die Natur, was sich auf die Nachfragesituation auswirkt und diese für das Unternehmen möglichst ungünstig gestalten kann. Wir gehen davon aus, dass sich die Natur als Akteur so verhält, dass sie dem Unternehmen größtmöglichen Schaden zufügt und dabei gegensätzliche Interessen verfolgt.
In diesem Fall kann der Konflikt zwischen den beiden Parteien als antagonistisch bezeichnet werden, und die Verwendung eines Modells dieses Konflikts ermöglicht das Unternehmen. Schätzen Sie die Einnahmen ab, die unabhängig von der realisierten Nachfrage erzielt werden können.
Sich benehmen wie erster Spieler, Unternehmen kann vier Strategien anwenden:
· die erste reine Strategie, die der Produktion ausschließlich der Produkte A 1 durch das Unternehmen entspricht
· die zweite reine Strategie, die der Produktion ausschließlich der Produkte A 2 durch das Unternehmen entspricht
· dritte reine Strategie, die der Produktion von ausschließlich Produkten A 3 durch das Unternehmen entspricht
· die vierte reine Strategie, die der Produktion von ausschließlich Produkten A 4 durch das Unternehmen entspricht
Sich benehmen wie zweiter Spieler, Die Natur kann auch vier Strategien anwenden:
· die erste reine Strategie, bei der der Bedarfszustand B 1 realisiert wird;
· die zweite reine Strategie, bei der der Bedarfszustand B 2 realisiert wird;
· die dritte reine Strategie, bei der der Bedarfszustand B 3 realisiert wird;
· die vierte reine Strategie, bei der der Bedarfszustand B 4 realisiert wird.
Lösung
1. Analysieren wir die Zahlungsmatrix A.
Matrix A hat keine dominierten Strategien und kann nicht vereinfacht werden.
2. Schauen wir uns an, ob dieses Spiel einen Sattelpunkt hat.
Lassen Sie uns den unteren und oberen Preis des Spiels ermitteln:
V * =max i min j a ij = 3.
V * =min j max i a ij = 4.
Da V * ≠V * gilt, hat dieses antagonistische Spiel in reinen Strategien keinen Sattelpunkt und keine Lösung.
Die Lösung des Spiels sollte in gemischten Strategien gesucht werden. Reduzieren wir den betrachteten antagonistischen Konflikt auf ein direktes und duales lineares Programmierproblem.
Wenn erster Spieler - Unternehmen - gilt Mein optimal gemischt Strategie P*, a zweiter Spieler - Die Natur - gilt konsequent ihre reine Strategien, Das mathematische Einkommenserwartung, die das Unternehmen erhalten kann nicht weniger als der Preis des SpielsV.
Und umgekehrt, wenn zweiter Spieler - Natur - Wille Wenden Sie Ihre optimale gemischte Strategie anQ*, A erster Spieler - Unternehmen wird konsistent seinWenden Sie Ihre natürlichen Strategien an, Das mathematische Verlusterwartung der zweite Spieler wird sein nicht mehr als der Preis des Spiels. Daher muss das folgende Ungleichungssystem erfüllt sein:
| Das Problem des zweiten Spielers Verluste minimierenV | Das Problem des ersten Spielers GewinnmaximierungV |
| Zielfunktion | |
| F / = x 1 +x 2 +x 3 +x 4 =→ max | F = y 1 +y 2 +y 3 +y 4 =→ min |
| Funktionelle Einschränkungen | |
 |
 |
| Direkte Einschränkungen | |
|
x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x 3 ≥ 0, x 4 ≥ 0 |
y 1 ≥ 0, y 2 ≥ 0, y 3 ≥ 0, y 4 ≥ 0 |
Y * = (y 1 * = 0,182; y 2 * = 0; y 3 * = 0; y 4 * = 0,091)
F= y 1 * + y 2 * + y 3 * +y 4 * = 0,273
Aus der Beziehung y 1 * + y 2 * + y 3 * +y 4 * =1/V ergibt sich V:
Aus den Beziehungen:
Lass uns finden:
p* 1 = y* 1 V = 0,67, p* 2 = y* 2 V = 0, p* 3 = y* 3 V = 0, p* 4 = y* 4 V =0,33
Endlich haben wir:
P * = (p * 1 =0,67; p * 2 = 0; p * 3 =0; p * 4 = 0,33), V = 3,67
Basierend auf der gefundenen Lösung für das Problem der dualen linearen Programmierung finden wir Lösung die ursprüngliche Aufgabe - Aufgaben des zweiten Spielers:
X * = (x 1 * = 0,121; x 2 * = 0,121; x 3 * = 0,03; x 4 * = 0)
F / = x 1 * + x 2 * + x 3 * +x 4 * = 0,273
Aus der Beziehung x 1 * + x 2 * + x 3 * +x 4 * = 1/V ergibt sich V:
Aus den Beziehungen:
Lass uns finden:
q* 1 = x* 1 V = 0,445, q* 2 = x* 2 V = 0,444, q* 3 = x* 3 V = 0,111, q* 4 = x* 4 V = 0.
Endlich haben wir:
Q * = (q * 1 = 0,445; q * 2 =0,444; q * 3 = 0,111; q * 4 = 0), V = 3,67
Beispiel. Das Unternehmen plant, seine Produkte auf den Märkten zu verkaufen, unter Berücksichtigung möglicher Optionen für die Verbrauchernachfrage P j , j = 1,4 (niedrig, mittel, hoch, sehr hoch). Das Unternehmen hat drei Strategien für den Verkauf der Waren A 1, A 2, A 3 entwickelt. Das Umsatzvolumen (Geldeinheiten) ist je nach Strategie und Verbrauchernachfrage in der Tabelle dargestellt.
| Ein j | P j | |||
| P 1 | P 2 | P 3 | P 4 | |
| Eine 1 | 30+N | 10 | 20 | 25 + N/2 |
| Eine 2 | 50 | 70 - N | 10 + N/2 | 25 |
| Eine 3 | 25 – N/2 | 35 | 40 | 60 - N/2 |
Lösung Finden Sie es mit einem Taschenrechner.
Bayes-Kriterium.
Nach dem Bayes-Kriterium wird die Strategie (rein) A i als optimal akzeptiert, die den durchschnittlichen Gewinn a maximiert oder das durchschnittliche Risiko r minimiert.
Wir zählen die Werte von ∑(a ij p j)
∑(a 1,j p j) = 33 0,3 + 10 0,2 + 20 0,4 + 26,5 0,1 = 22,55
∑(a 2,j p j) = 50 0,3 + 67 0,2 + 11,5 0,4 + 25 0,1 = 35,5
∑(a 3,j p j) = 23,5 0,3 + 35 0,2 + 40 0,4 + 58,5 0,1 = 35,9
| A i | P 1 | P 2 | P 3 | P 4 | ∑(a ij p j) |
| Eine 1 | 9.9 | 2 | 8 | 2.65 | 22.55 |
| Eine 2 | 15 | 13.4 | 4.6 | 2.5 | 35.5 |
| Eine 3 | 7.05 | 7 | 16 | 5.85 | 35.9 |
| p j | 0.3 | 0.2 | 0.4 | 0.1 |
Laplace-Kriterium.
Wenn die Wahrscheinlichkeiten von Naturzuständen plausibel sind, wird zu ihrer Beurteilung das Laplacesche Prinzip der unzureichenden Vernunft herangezogen, wonach alle Naturzustände als gleich wahrscheinlich angenommen werden, d. h.:
q 1 = q 2 = ... = q n = 1/n.
q i = 1/4
| A i | P 1 | P 2 | P 3 | P 4 | ∑(a ij) |
| Eine 1 | 8.25 | 2.5 | 5 | 6.63 | 22.38 |
| Eine 2 | 12.5 | 16.75 | 2.88 | 6.25 | 38.38 |
| Eine 3 | 5.88 | 8.75 | 10 | 14.63 | 39.25 |
| p j | 0.25 | 0.25 | 0.25 | 0.25 |
Wald-Kriterium.
Nach dem Wald-Kriterium wird eine reine Strategie als optimal angenommen, die unter den schlechtesten Bedingungen den maximalen Gewinn garantiert, d.h.
a = max(min a ij)
Das Wald-Kriterium konzentriert die Statistik auf die ungünstigsten Naturzustände, d. h. Dieses Kriterium drückt eine pessimistische Einschätzung der Lage aus.
| A i | P 1 | P 2 | P 3 | P 4 | min(a ij) |
| Eine 1 | 33 | 10 | 20 | 26.5 | 10 |
| Eine 2 | 50 | 67 | 11.5 | 25 | 11.5 |
| Eine 3 | 23.5 | 35 | 40 | 58.5 | 23.5 |
Wildes Kriterium.
Das Minimum-Risiko-Kriterium von Savage empfiehlt, als optimale Strategie diejenige zu wählen, bei der die Größe des maximalen Risikos unter den schlechtesten Bedingungen minimiert wird, d. h. bereitgestellt:
a = min(max r ij)
Savages Kriterium konzentriert die Statistik auf die ungünstigsten Naturzustände, d. h. Dieses Kriterium drückt eine pessimistische Einschätzung der Lage aus.
Wir finden die Risikomatrix.
Risiko– ein Maß für die Diskrepanz zwischen verschiedenen möglichen Ergebnissen der Übernahme bestimmter Strategien. Der maximale Gewinn in der j-ten Spalte b j = max(a ij) charakterisiert den günstigen Naturzustand.
1. Berechnen Sie die 1. Spalte der Risikomatrix.
r 11 = 50 - 33 = 17; r 21 = 50 - 50 = 0; r 31 = 50 - 23,5 = 26,5;
2. Berechnen Sie die 2. Spalte der Risikomatrix.
r 12 = 67 - 10 = 57; r 22 = 67 - 67 = 0; r 32 = 67 - 35 = 32;
3. Berechnen Sie die 3. Spalte der Risikomatrix.
r 13 = 40 - 20 = 20; r 23 = 40 - 11,5 = 28,5; r 33 = 40 - 40 = 0;
4. Berechnen Sie die 4. Spalte der Risikomatrix.
r 14 = 58,5 – 26,5 = 32; r 24 = 58,5 – 25 = 33,5; r 34 = 58,5 – 58,5 = 0;
| A i | P 1 | P 2 | P 3 | P 4 |
| Eine 1 | 17 | 57 | 20 | 32 |
| Eine 2 | 0 | 0 | 28.5 | 33.5 |
| Eine 3 | 26.5 | 32 | 0 | 0 |
| A i | P 1 | P 2 | P 3 | P 4 | max(a ij) |
| Eine 1 | 17 | 57 | 20 | 32 | 57 |
| Eine 2 | 0 | 0 | 28.5 | 33.5 | 33.5 |
| Eine 3 | 26.5 | 32 | 0 | 0 | 32 |
Hurwitz-Kriterium.
Das Hurwitz-Kriterium ist ein Kriterium des Pessimismus – Optimismus. Als optimale Strategie wird eine Strategie angenommen, für die die folgende Beziehung gilt:
max(s i)
wobei s i = y min(a ij) + (1-y)max(a ij)
Für y = 1 erhalten wir das Walde-Kriterium, für y = 0 das optimistische Kriterium (Maximax).
Das Hurwitz-Kriterium berücksichtigt die Möglichkeit sowohl des schlechtesten als auch des besten Verhaltens der Natur für den Menschen. Wie wird y ausgewählt? Je schlimmer die Folgen von Fehlentscheidungen sind, je größer der Wunsch ist, sich gegen Fehler abzusichern, desto näher liegt y bei 1.
Wir berechnen s i.
s 1 = 0,5 10+(1-0,5) 33 = 21,5
s 2 = 0,5 11,5+(1-0,5) 67 = 39,25
s 3 = 0,5 23,5+(1-0,5) 58,5 = 41
| A i | P 1 | P 2 | P 3 | P 4 | min(a ij) | max(a ij) | y min(a ij) + (1-y)max(a ij) |
| Eine 1 | 33 | 10 | 20 | 26.5 | 10 | 33 | 21.5 |
| Eine 2 | 50 | 67 | 11.5 | 25 | 11.5 | 67 | 39.25 |
| Eine 3 | 23.5 | 35 | 40 | 58.5 | 23.5 | 58.5 | 41 |
Als Ergebnis der Lösung des statistischen Spiels nach verschiedenen Kriterien wurde die Strategie A 3 häufiger empfohlen als andere.
Die Unternehmensleitung beschließt, die Produktion eines neuen Produkts an einem bestimmten Standort anzusiedeln. Um sich ein Bild von der Marktsituation eines neuen Produkts zum Zeitpunkt der Beherrschung der Produktion zu machen, müssen die Kosten für die Lieferung der fertigen Produkte an den Verbraucher sowie die Entwicklung der Transport- und sozialen Infrastruktur berücksichtigt werden Region, Wettbewerb auf dem Markt, das Verhältnis zwischen Angebot und Nachfrage, Wechselkurse und vieles mehr. Mögliche Lösungen, deren Investitionsattraktivität als Prozentsatz des Einkommenswachstums im Verhältnis zur Höhe der Kapitalinvestitionen definiert wird, sind in der Tabelle dargestellt.
Wählen:
1) ein Standort für die Produktion, wenn der Leiter des Unternehmens zuversichtlich ist, dass sich Situation 4 auf dem Markt entwickeln wird;
2) ein Standort für die Produktion, wenn das Management die Wahrscheinlichkeit von Situation 1 auf 0,2 schätzt; Situationen 2 in 0,1; Situation 3 bei 0,25;
3) Wählen Sie eine Option unter Unsicherheitsbedingungen gemäß dem Kriterium aus: maximax, maximin, Laplace-Kriterium, Savage-Kriterium, Hurwitz-Kriterium (y = 0,3);
4) Ändert sich die beste Lösung nach dem Hurwitz-Kriterium, wenn der Wert von a auf 0,5 erhöht wird?
5) Unter der Annahme, dass die Tabellendaten die Kosten des Unternehmens darstellen, bestimmen Sie die Wahl, die das Unternehmen unter Verwendung jedes der folgenden Kriterien treffen wird: Maximin; maximax; Hurwitz-Kriterium (? = 0,3); Savage-Kriterium; Laplace-Kriterium
Typische Aufgaben
- Wählen Sie das optimale Projekt für den Bau anhand der Kriterien Laplace, Wald, maximaler Optimismus, Savage und Hurwitz mit a=0,58 aus. Die Kostenmatrix sieht so aus:
0.07 0.26 0.11 0.25 0.1 0.21 68 45 54 79 47 99 56 89 42 56 74 81 72 87 56 40 62 42 65 48 75 89 52 80 69 93 93 56 45 43 73 94 79 68 67 46 66 100 64 89 94 49 70 42 97 42 42 50 - Ein Einzelhandelsunternehmen hat mehrere Möglichkeiten für einen Plan zum Verkauf von Waren auf der kommenden Messe entwickelt. Unter Berücksichtigung der sich ändernden Marktbedingungen und der Kundennachfrage werden die resultierenden Gewinnbeträge aus ihren möglichen Kombinationen in Form einer Gewinnmatrix dargestellt. Bestimmen Sie den optimalen Plan für den Warenverkauf.
x=0,7 - Das Unternehmen plant, seine Produkte auf den Märkten zu verkaufen, unter Berücksichtigung möglicher Optionen für die Verbrauchernachfrage Pj, j=1͞,4͞ (niedrig, mittel, hoch, sehr hoch). Das Unternehmen hat drei Strategien für den Verkauf der Waren A 1, A 2, A 3 entwickelt. Das Umsatzvolumen (Geldeinheiten) ist je nach Strategie und Verbrauchernachfrage in der Tabelle dargestellt.
Ein j P j P 1 P 2 P 3 P 4 Eine 1 30+N 10 20 25 + N/2 Eine 2 50 70 - N 10 + N/2 25 Eine 3 25 – N/2 35 40 60 - N
Wobei N=3
Die möglichen Zustände der Verbrauchernachfrage sind bekannt: q 1 =0,3, q 2 =0,2, q 3 =0,4, q 4 =0,1. Es gilt, eine Vertriebsstrategie zu finden, die den durchschnittlichen Umsatz des Unternehmens maximiert. Verwenden Sie in diesem Fall die Kriterien von Wald, Hurwitz, Savage und Bayes.
Lösung - Die Kosten der Fabrik pro Produktionseinheit betrugen von April bis Mai: Kleider – 8 Währungseinheiten, Anzüge – 27, und der Verkaufspreis beträgt 16 bzw. 48. Nach früheren Beobachtungen kann die Fabrik in diesen Monaten bei warmen Wetterbedingungen verkaufen 600 Anzüge und 1975 Kleider und bei kühlem Wetter 625 Kleider und 1000 Anzüge.
Koshechkin S.A. Ph.D., International Institute of Economics of Law and Management (MIEPM NNGASU)
Einführung
In der Praxis muss ein Ökonom im Allgemeinen und ein Finanzier im Besonderen sehr oft die Effizienz eines bestimmten Systems bewerten. Abhängig von den Eigenschaften dieses Systems kann die wirtschaftliche Bedeutung von Effizienz in verschiedenen Formeln ausgedrückt werden, ihre Bedeutung ist jedoch immer dieselbe – das ist das Verhältnis von Ergebnissen zu Kosten. In diesem Fall liegt das Ergebnis bereits vor und die Kosten sind angefallen.
Doch wie wichtig sind solche nachträglichen Schätzungen?
Natürlich stellen sie einen bestimmten Wert für die Rechnungslegung dar, charakterisieren den Betrieb des Unternehmens im vergangenen Zeitraum usw., aber für einen Manager im Allgemeinen und einen Finanzmanager im Besonderen ist es viel wichtiger, die Effizienz des Unternehmens zu bestimmen die Zukunft. Und in diesem Fall muss die Effizienzformel leicht angepasst werden.
Tatsache ist, dass wir weder die Größe des in der Zukunft erzielten Ergebnisses noch die Größe der potenziellen zukünftigen Kosten mit hundertprozentiger Sicherheit kennen.
Die sogenannte „Unsicherheit“, die wir in unseren Berechnungen berücksichtigen müssen, sonst treffen wir einfach die falsche Entscheidung. Dieses Problem tritt in der Regel bei Investitionsrechnungen bei der Ermittlung der Wirksamkeit eines Investitionsvorhabens (IP) auf, wenn ein Investor gezwungen ist, selbst zu bestimmen, welches Risiko er einzugehen bereit ist, um das gewünschte Ergebnis zu erzielen, während die Lösung dazu Dieses Zwei-Kriterien-Problem wird durch die Tatsache erschwert, dass die Risikotoleranz der Anleger individuell ist.
Daher lässt sich das Kriterium für Investitionsentscheidungen wie folgt formulieren: Ein einzelner Unternehmer gilt als effektiv, wenn seine Rentabilität und sein Risiko in einem für den Projektteilnehmer akzeptablen Verhältnis stehen und formal in Form eines Ausdrucks dargestellt werden (1):
IP-Effizienz = (Rentabilität; Risiko) (1)
Unter „Rentabilität“ soll eine wirtschaftliche Kategorie verstanden werden, die das Verhältnis zwischen den Ergebnissen und den Kosten eines einzelnen Unternehmers charakterisiert. Im Allgemeinen lässt sich die Rentabilität einzelner Unternehmer durch Formel (2) ausdrücken:
Rentabilität =(NPV; IRR; PI; MIRR) (2)
Diese Definition widerspricht keineswegs der Definition des Begriffs „Effizienz“, da die Definition des Begriffs „Effizienz“ in der Regel für den Fall völliger Sicherheit erfolgt, d.h. wenn die zweite Koordinate des „Vektors“ - Risiko, ist gleich Null.
Effizienz = (Rentabilität; 0) = Ergebnis: Kosten (3)
Diese. in diesem Fall:
Effizienz ≡ Rentabilität(4)
In einer Situation der „Unsicherheit“ ist es jedoch unmöglich, mit hundertprozentiger Sicherheit über die Größenordnung der Ergebnisse und Kosten zu sprechen, da diese noch nicht eingegangen sind, sondern erst in der Zukunft erwartet werden und daher Anpassungen erforderlich sind zu dieser Formel, nämlich:
R r und R z – die Möglichkeit, ein bestimmtes Ergebnis bzw. Kosten zu erzielen.
In dieser Situation tritt also ein neuer Faktor in Erscheinung – ein Risikofaktor, der bei der Analyse der Wirksamkeit von IP unbedingt berücksichtigt werden muss.
Definition von Risiko
Im Allgemeinen wird unter Risiko die Möglichkeit des Eintritts eines ungünstigen Ereignisses verstanden, das verschiedene Arten von Verlusten nach sich zieht (z. B. Körperverletzung, Verlust von Eigentum, Erhalt von Einkommen unter dem erwarteten Niveau usw.).
Das Vorhandensein eines Risikos ist mit der Unfähigkeit verbunden, die Zukunft mit 100-prozentiger Genauigkeit vorherzusagen. Auf dieser Grundlage muss die Haupteigenschaft des Risikos hervorgehoben werden: Risiko tritt nur in Bezug auf die Zukunft auf und ist untrennbar mit Prognose und Planung und damit mit der Entscheidungsfindung im Allgemeinen verbunden (das Wort „Risiko“ bedeutet wörtlich „Entscheidung“) Herstellung“, deren Ergebnis unbekannt ist). Im Anschluss daran ist auch anzumerken, dass die Kategorien „Risiko“ und „Unsicherheit“ eng miteinander verbunden sind und häufig als Synonyme verwendet werden.
Erstens entsteht Risiko nur dann, wenn eine Entscheidung erforderlich ist (ist dies nicht der Fall, macht es keinen Sinn, Risiken einzugehen). Mit anderen Worten: Es ist die Notwendigkeit, Entscheidungen unter Bedingungen der Unsicherheit zu treffen, die Risiken entstehen lässt; ohne eine solche Notwendigkeit besteht kein Risiko.
Zweitens ist das Risiko subjektiv und die Unsicherheit objektiv. Beispielsweise führt der objektive Mangel an verlässlichen Informationen über das potenzielle Nachfragevolumen nach hergestellten Produkten zu einer Reihe von Risiken für Projektteilnehmer. Beispielsweise wird das Risiko, das durch Unsicherheit aufgrund fehlender Marktforschung für einen einzelnen Unternehmer entsteht, zu einem Kreditrisiko für den Investor (die diesen einzelnen Unternehmer finanzierende Bank) und im Falle der Nichtrückzahlung des Kredits zu einem Kreditrisiko Risiko des Liquiditätsverlusts und weiter in das Risiko eines Konkurses, und für den Empfänger verwandelt sich dieses Risiko in das Risiko unvorhergesehener Schwankungen der Marktbedingungen, und für jeden der IP-Teilnehmer ist die Risikoausprägung sowohl qualitativ als auch quantitativ individuell Bedingungen.
Was die Unsicherheit betrifft, stellen wir fest, dass sie auf unterschiedliche Weise spezifiziert werden kann:
In Form von Wahrscheinlichkeitsverteilungen (die Verteilung einer Zufallsvariablen ist genau bekannt, es ist jedoch unbekannt, welchen konkreten Wert die Zufallsvariable annehmen wird)
In Form subjektiver Wahrscheinlichkeiten (die Verteilung einer Zufallsvariablen ist unbekannt, die durch Experten ermittelten Wahrscheinlichkeiten einzelner Ereignisse sind jedoch bekannt);
In Form der Intervallunsicherheit (die Verteilung einer Zufallsvariablen ist unbekannt, es ist jedoch bekannt, dass sie in einem bestimmten Intervall jeden Wert annehmen kann)
Darüber hinaus ist zu beachten, dass die Art der Unsicherheit unter dem Einfluss verschiedener Faktoren entsteht:
Die vorübergehende Unsicherheit beruht auf der Tatsache, dass es unmöglich ist, den Wert eines bestimmten Faktors in der Zukunft mit einer Genauigkeit von 1 vorherzusagen;
Die Unbekanntheit der genauen Werte der Parameter des Marktsystems kann als Unsicherheit der Marktbedingungen charakterisiert werden;
Auch die Unvorhersehbarkeit des Verhaltens von Teilnehmern in einer Interessenkonfliktsituation führt zu Unsicherheit etc.
Die Kombination dieser Faktoren führt in der Praxis zu einer Vielzahl unterschiedlicher Arten von Unsicherheit.
Da Unsicherheit eine Risikoquelle darstellt, sollte sie durch die Beschaffung von Informationen minimiert werden. Im Idealfall sollte versucht werden, die Unsicherheit auf Null zu reduzieren, d. h. auf vollständige Sicherheit, indem qualitativ hochwertige, zuverlässige und umfassende Informationen eingeholt werden. In der Praxis ist dies jedoch in der Regel nicht möglich. Daher ist es bei einer Entscheidung unter unsicheren Bedingungen erforderlich, diese zu formalisieren und die Risiken zu bewerten, die diese Unsicherheit hervorrufen.
Risiken sind in fast allen Bereichen des menschlichen Lebens vorhanden, daher ist es unmöglich, sie präzise und eindeutig zu formulieren, weil Die Definition des Risikos hängt vom Umfang seiner Verwendung ab (z. B. ist das Risiko für Mathematiker eine Wahrscheinlichkeit, für Versicherer der Gegenstand der Versicherung usw.). Es ist kein Zufall, dass in der Literatur viele Definitionen von Risiko zu finden sind.
Risiko ist die Unsicherheit, die mit dem Wert einer Investition am Ende eines Zeitraums verbunden ist.
Risiko ist die Wahrscheinlichkeit eines ungünstigen Ergebnisses.
Risiko ist ein möglicher Verlust, der durch das Eintreten zufälliger ungünstiger Ereignisse verursacht wird.
Risiko ist eine mögliche Verlustgefahr, die sich aus den Besonderheiten bestimmter Naturphänomene und Aktivitäten der menschlichen Gesellschaft ergibt.
Risiko ist die Höhe des finanziellen Verlusts, ausgedrückt a) in der Möglichkeit, das Ziel nicht zu erreichen; b) die Unsicherheit des vorhergesagten Ergebnisses; c) in der Subjektivität der Beurteilung des vorhergesagten Ergebnisses.
Alle untersuchten Methoden zur Risikoberechnung lassen sich in mehrere Ansätze einteilen:
Erste Ansatz : Das Risiko wird als Summe der Produkte möglicher Schäden bewertet, gewichtet unter Berücksichtigung ihrer Wahrscheinlichkeit.
Zweiter Ansatz : Das Risiko wird als Summe der Risiken aus der Entscheidungsfindung und der Risiken aus dem externen Umfeld (unabhängig von unseren Entscheidungen) bewertet.
Dritter Ansatz : Risiko ist definiert als das Produkt aus der Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines negativen Ereignisses und dem Ausmaß der negativen Folgen.
Alle diese Ansätze haben in gewisser Weise die folgenden Nachteile:
Der Zusammenhang und die Unterschiede zwischen den Konzepten „Risiko“ und „Unsicherheit“ werden nicht klar dargestellt;
Die Individualität des Risikos und die Subjektivität seiner Manifestation werden nicht beachtet;
Das Spektrum der Risikobewertungskriterien beschränkt sich in der Regel auf einen Indikator.
Darüber hinaus ist die Einbeziehung von Indikatoren wie Opportunitätskosten, entgangenen Gewinnen usw. in die Risikobewertung, die in der Literatur zu finden sind, nach Ansicht des Autors unangemessen, weil Sie charakterisieren eher Rentabilität als Risiko.
Der Autor schlägt vor, Risiko als Chance zu betrachten ( R) Verluste ( L), die sich aus der Notwendigkeit ergeben, Investitionsentscheidungen unter unsicheren Bedingungen zu treffen. Gleichzeitig wird besonders betont, dass die Konzepte „Unsicherheit“ und „Risiko“ nicht identisch sind, wie oft angenommen wird, und die Möglichkeit des Eintretens eines unerwünschten Ereignisses nicht auf einen Indikator reduziert werden sollte – die Wahrscheinlichkeit. Der Grad dieser Möglichkeit kann durch verschiedene Kriterien charakterisiert werden:
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt;
Das Ausmaß der Abweichung vom vorhergesagten Wert (Variationsbereich);
Streuung; erwarteter Wert; Standardabweichung; Asymmetriekoeffizient; Kurtosis sowie viele andere mathematische und statistische Kriterien.
Da Unsicherheit durch ihre verschiedenen Typen (Wahrscheinlichkeitsverteilungen, Intervallunsicherheit, subjektive Wahrscheinlichkeiten etc.) spezifiziert werden kann und die Risikoausprägungen äußerst vielfältig sind, ist es in der Praxis notwendig, das gesamte Arsenal der aufgeführten Kriterien zu nutzen, jedoch im Im allgemeinen Fall schlägt der Autor vor, den Erwartungswert und die mittlere quadratische Abweichung als die geeignetsten und in der Praxis am besten bewährten Kriterien zu verwenden. Darüber hinaus wird betont, dass bei der Risikobewertung die individuelle Risikotoleranz berücksichtigt werden sollte ( γ ), die durch Indifferenz- oder Nutzenkurven beschrieben wird. Daher empfiehlt der Autor, das Risiko durch die drei oben genannten Parameter zu beschreiben (6):
Risiko = (P; L; γ) (6)
Im nächsten Absatz wird eine vergleichende Analyse der statistischen Risikobewertungskriterien und ihrer wirtschaftlichen Bedeutung vorgestellt.
Statistische Risikokriterien
Wahrscheinlichkeit (R) Veranstaltungen (E)– Zahlenverhältnis ZU Fälle günstiger Ergebnisse zur Gesamtzahl aller möglichen Ergebnisse (M).
P(E)= K/M (7)
Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses kann durch eine objektive oder subjektive Methode bestimmt werden.
Die objektive Methode zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit basiert auf der Berechnung der Häufigkeit, mit der ein bestimmtes Ereignis auftritt. Beispielsweise beträgt die Wahrscheinlichkeit, beim Werfen einer perfekten Münze Kopf oder Zahl zu bekommen, 0,5.
Die subjektive Methode basiert auf der Verwendung subjektiver Kriterien (dem Urteil des Gutachters, seiner persönlichen Erfahrung, der Einschätzung eines Experten) und die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses kann in diesem Fall unterschiedlich sein, da sie von verschiedenen Experten beurteilt wird.
Zu diesen unterschiedlichen Herangehensweisen sind einige Dinge zu beachten:
Erstens haben objektive Wahrscheinlichkeiten wenig mit Investitionsentscheidungen zu tun, die nicht viele Male wiederholt werden können, während die Wahrscheinlichkeit, Kopf oder Zahl zu erhalten, bei einer signifikanten Anzahl von Würfen 0,5 beträgt und beispielsweise bei 6 Würfen 5 Köpfe auftreten können. und 1 Schwanz.
Zweitens neigen manche Menschen dazu, die Wahrscheinlichkeit ungünstiger Ereignisse zu überschätzen und die Wahrscheinlichkeit positiver Ereignisse zu unterschätzen, während andere das Gegenteil tun, d. h. reagieren unterschiedlich auf die gleiche Wahrscheinlichkeit (die kognitive Psychologie nennt dies den Kontexteffekt).
Trotz dieser und anderer Nuancen wird jedoch angenommen, dass die subjektive Wahrscheinlichkeit dieselben mathematischen Eigenschaften hat wie die objektive Wahrscheinlichkeit.
Variationsbreite (R)– die Differenz zwischen dem Maximal- und Minimalwert des Faktors
R= X max - X min (8)
Dieser Indikator gibt eine sehr grobe Einschätzung des Risikos, weil es ist ein absoluter Indikator und hängt nur von den Extremwerten der Reihe ab.
Streuung – die Summe der quadratischen Abweichungen einer Zufallsvariablen von ihrem Mittelwert, gewichtet mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten.
(9)
Wo MICH)– Durchschnitts- oder Erwartungswert (mathematischer Erwartungswert) einer diskreten Zufallsvariablen E ist definiert als die Summe der Produkte seiner Werte und ihrer Wahrscheinlichkeiten:
(10)
Der mathematische Erwartungswert ist das wichtigste Merkmal einer Zufallsvariablen, weil dient als Zentrum seiner Wahrscheinlichkeitsverteilung. Seine Bedeutung besteht darin, dass es den plausibelsten Wert des Faktors anzeigt.
Die Verwendung der Varianz als Risikomaß ist nicht immer praktisch, weil seine Dimension ist gleich dem Quadrat der Maßeinheit der Zufallsvariablen.
In der Praxis sind die Ergebnisse der Analyse klarer, wenn die Streuung der Zufallsvariablen in denselben Maßeinheiten ausgedrückt wird wie die Zufallsvariable selbst. Verwenden Sie für diese Zwecke Standard (quadratischer Mittelwert) Abweichung σ(Ε).
(11)
Alle oben genannten Indikatoren haben einen gemeinsamen Nachteil: Es handelt sich um absolute Indikatoren, deren Werte die absoluten Werte des Anfangsfaktors vorgeben. Daher ist es viel bequemer, den Variationskoeffizienten zu verwenden (LEBENSLAUF).
(12)
Definition Lebenslauf Dies wird insbesondere dann deutlich, wenn sich die Durchschnittswerte eines Zufallsereignisses deutlich unterscheiden.
Bei der Risikobewertung finanzieller Vermögenswerte sind drei Punkte zu beachten:
Erstens sollte bei einer vergleichenden Analyse von Finanzanlagen die Rentabilität als Basisindikator herangezogen werden, denn Der Wert des Einkommens in absoluter Form kann erheblich variieren.
Zweitens sind Streuung und Standardabweichung die Hauptrisikoindikatoren am Kapitalmarkt. Da die Grundlage für die Berechnung dieser Indikatoren die Rentabilität (Rentabilität) ist, ein relatives und vergleichbares Kriterium für verschiedene Arten von Vermögenswerten, besteht keine dringende Notwendigkeit, den Variationskoeffizienten zu berechnen.
Drittens werden in der Literatur manchmal die oben genannten Formeln ohne Berücksichtigung der Wahrscheinlichkeitsgewichtung angegeben. In dieser Form eignen sie sich nur für eine retrospektive Analyse.
Darüber hinaus sollten die oben beschriebenen Kriterien auf eine normale Wahrscheinlichkeitsverteilung angewendet werden. Es wird tatsächlich häufig bei der Analyse der Risiken von Finanztransaktionen verwendet, weil Seine wichtigsten Eigenschaften (Symmetrie der Verteilung um den Durchschnitt, vernachlässigbare Wahrscheinlichkeit großer Abweichungen einer Zufallsvariablen vom Zentrum ihrer Verteilung, die Drei-Sigma-Regel) ermöglichen eine deutliche Vereinfachung der Analyse. Allerdings gehen nicht alle Finanztransaktionen von einer normalen Einkommensverteilung aus (Fragen der Wahl einer Verteilung werden weiter unten ausführlicher erörtert). Beispielsweise werden die Wahrscheinlichkeitsverteilungen für den Erhalt von Erträgen aus Transaktionen mit derivativen Finanzinstrumenten (Optionen und Futures) häufig charakterisiert durch Asymmetrie (Schiefe) relativ zur mathematischen Erwartung einer Zufallsvariablen (Abb. 1).
So ermöglicht beispielsweise eine Option zum Kauf eines Wertpapiers seinem Inhaber, bei positiver Rendite einen Gewinn zu erzielen und bei negativer Rendite gleichzeitig Verluste zu vermeiden, d. h. Im Wesentlichen schneidet die Option die Renditeausschüttung an dem Punkt ab, an dem Verluste beginnen.
Abb. 1 Wmit rechter (positiver) Asymmetrie
In solchen Fällen kann die Verwendung von nur zwei Parametern (Mittelwert und Standardabweichung) im Analyseprozess zu falschen Schlussfolgerungen führen. Die Standardabweichung charakterisiert das Risiko für voreingenommene Verteilungen nicht ausreichend, weil Es ignoriert, dass der Großteil der Variabilität auf der „guten“ (rechts) oder „schlechten“ (linken) Seite der erwarteten Rendite liegt. Daher wird bei der Analyse asymmetrischer Verteilungen ein zusätzlicher Parameter verwendet – der Asymmetriekoeffizient (Schiefekoeffizient). Es stellt den normierten Wert des dritten Zentralmoments dar und wird durch Formel (13) bestimmt:
Die wirtschaftliche Bedeutung des Asymmetriekoeffizienten ist in diesem Zusammenhang wie folgt. Wenn der Koeffizient einen positiven Wert hat (positiver Skew), dann werden die höchsten Einkommen (der rechte „Schwanz“) als wahrscheinlicher angesehen als die niedrigsten und umgekehrt.
Der Schiefekoeffizient kann auch verwendet werden, um die Hypothese, dass eine Zufallsvariable normalverteilt ist, grob zu testen. Sein Wert sollte in diesem Fall gleich 0 sein.
In einigen Fällen kann eine nach rechts verschobene Verteilung normalisiert werden, indem 1 zur erwarteten Rendite addiert und dann der natürliche Logarithmus des resultierenden Werts berechnet wird. Diese Verteilung wird lognormal genannt. Es wird in der Finanzanalyse zusammen mit dem Normalwert verwendet.
Einige symmetrische Verteilungen können durch ein viertes normalisiertes Zentralmoment gekennzeichnet sein – Kurtosis (e).
(14)
Wenn der Kurtosis-Wert größer als 0 ist, ist die Verteilungskurve stärker schief als die Normalkurve und umgekehrt.
Die wirtschaftliche Bedeutung des Überschusses ist wie folgt. Wenn zwei Transaktionen symmetrische Renditeverteilungen und die gleichen Durchschnittswerte aufweisen, gilt die Anlage mit der höheren Kurtosis als weniger riskant.
Für eine Normalverteilung beträgt die Kurtosis 0.
Auswahl der Verteilung einer Zufallsvariablen.
Die Normalverteilung wird verwendet, wenn es unmöglich ist, die Wahrscheinlichkeit, mit der eine kontinuierliche Zufallsvariable einen bestimmten Wert annimmt, genau zu bestimmen. Bei der Normalverteilung wird davon ausgegangen, dass die Varianten des vorhergesagten Parameters zum Mittelwert tendieren. Parameterwerte, die deutlich vom Durchschnitt abweichen, d.h. Diejenigen, die sich in den „Enden“ der Verteilung befinden, haben eine geringe Implementierungswahrscheinlichkeit. Dies ist die Natur der Normalverteilung.
Die Dreiecksverteilung ist ein Ersatz für die Normalverteilung und geht von einer Verteilung aus, die bei Annäherung an den Modus linear zunimmt.
Eine trapezförmige Verteilung setzt das Vorhandensein eines Werteintervalls mit der höchsten Umsetzungswahrscheinlichkeit (HBP) innerhalb der RVD voraus.
Eine Gleichverteilung wird dann gewählt, wenn davon ausgegangen wird, dass alle Varianten des vorhergesagten Indikators die gleiche Eintrittswahrscheinlichkeit haben
Wenn die Zufallsvariable jedoch diskret und nicht kontinuierlich ist, verwenden Sie Binomialverteilung Und Poisson-Verteilung .
Illustration Binomialverteilung Ein Beispiel ist das Würfeln. In diesem Fall interessiert den Experimentator die Wahrscheinlichkeit von „Erfolg“ (Ausstieg aus einer Seite mit einer bestimmten Zahl, zum Beispiel mit einer „Sechs“) und „Misserfolg“ (Ausfall aus einer Seite mit einer anderen Zahl) .
Die Poisson-Verteilung wird angewendet, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
1. Jeder kleine Zeitabschnitt kann als eine Erfahrung betrachtet werden, deren Ergebnis eines von zwei Dingen ist: entweder „Erfolg“ oder dessen Abwesenheit – „Misserfolg“. Die Intervalle sind so klein, dass es in einem Intervall nur einen „Erfolg“ geben kann, dessen Wahrscheinlichkeit klein und konstant ist.
2. Die Anzahl der „Erfolge“ in einem großen Intervall hängt nicht von ihrer Anzahl in einem anderen ab, d.h. „Erfolge“ sind zufällig über Zeiträume verteilt.
3. Die durchschnittliche Anzahl der „Erfolge“ ist über die gesamte Zeit konstant.
Typischerweise wird die Poisson-Verteilung durch die Aufzeichnung der Anzahl der Verkehrsunfälle pro Woche auf einem bestimmten Straßenabschnitt veranschaulicht.
Unter bestimmten Bedingungen kann die Poisson-Verteilung als Näherung der Binomialverteilung verwendet werden, was besonders praktisch ist, wenn die Verwendung der Binomialverteilung komplexe, arbeitsintensive und zeitaufwändige Berechnungen erfordert. Die Näherung garantiert akzeptable Ergebnisse, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
1. Die Anzahl der Experimente ist groß, vorzugsweise mehr als 30. (n=3)
2. Die „Erfolgswahrscheinlichkeit“ in jedem Experiment ist gering, vorzugsweise kleiner als 0,1. (p = 0,1) Wenn die „Erfolgswahrscheinlichkeit“ hoch ist, kann die Normalverteilung als Ersatz verwendet werden.
3. Die geschätzte Anzahl der „Erfolge“ beträgt weniger als 5 (np=5).
In Fällen, in denen die Binomialverteilung sehr arbeitsintensiv ist, kann sie auch durch eine Normalverteilung mit einer „Kontinuitätskorrektur“ angenähert werden, d. h. Dabei wird davon ausgegangen, dass beispielsweise der Wert einer diskreten Zufallsvariablen 2 der Wert einer kontinuierlichen Zufallsvariablen im Intervall von 1,5 bis 2,5 ist.
Eine optimale Näherung wird erreicht, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind: n=30; np=5 und die Wahrscheinlichkeit des „Erfolgs“ p=0,1 (optimaler Wert p=0,5)
Der Preis des Risikos
Es ist zu beachten, dass in der Literatur und Praxis neben statistischen Kriterien auch andere Indikatoren zur Risikomessung verwendet werden: die Höhe des entgangenen Gewinns, des entgangenen Einkommens und andere, üblicherweise in Geldeinheiten berechnet. Natürlich haben solche Indikatoren ihre Daseinsberechtigung, zudem sind sie oft einfacher und verständlicher als statistische Kriterien, müssen aber zur adäquaten Beschreibung des Risikos auch dessen probabilistische Eigenschaften berücksichtigen.
C-Risiko = (P; L) (15)
L – ist definiert als die Summe möglicher direkter Verluste aus einer Investitionsentscheidung.
Um den Preis des Risikos zu bestimmen, wird empfohlen, nur solche Indikatoren zu verwenden, die beide Koordinaten des „Vektors“ berücksichtigen, sowohl die Möglichkeit des Eintretens eines unerwünschten Ereignisses als auch die Höhe des daraus resultierenden Schadens. Als solche Indikatoren schlägt der Autor vor, zunächst Streuung, Standardabweichung ( RMS-σ) und Variationskoeffizient ( Lebenslauf). Um eine wirtschaftliche Interpretation und vergleichende Analyse dieser Indikatoren zu ermöglichen, wird empfohlen, sie in ein monetäres Format umzuwandeln.
Die Notwendigkeit der Berücksichtigung beider Indikatoren lässt sich anhand des folgenden Beispiels verdeutlichen. Gehen wir davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Konzert, für das bereits ein Ticket gekauft wurde, stattfindet, mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 beträgt, ist es offensichtlich, dass die Mehrheit derjenigen, die ein Ticket gekauft haben, zum Konzert kommen wird.
Nehmen wir nun an, dass die Wahrscheinlichkeit eines günstigen Ausgangs eines Linienflugs ebenfalls 0,5 beträgt; es ist offensichtlich, dass die Mehrheit der Passagiere den Flug ablehnen wird.
Dieses abstrakte Beispiel zeigt, dass bei gleicher Wahrscheinlichkeit eines ungünstigen Ergebnisses die getroffenen Entscheidungen genau entgegengesetzt sein werden, was die Notwendigkeit beweist, den „Preis des Risikos“ zu berechnen.
Besonderes Augenmerk liegt auf der Tatsache, dass die Risikoeinstellung der Anleger subjektiv ist. Daher gibt es bei der Beschreibung des Risikos einen dritten Faktor – die Risikotoleranz des Anlegers (γ). Die Notwendigkeit, diesen Faktor zu berücksichtigen, wird durch das folgende Beispiel veranschaulicht.
Angenommen, wir haben zwei Projekte mit den folgenden Parametern: Projekt „A“ – Rentabilität – 8 % Standardabweichung – 10 %. Projekt „B“ – Rentabilität – 12 % Standardabweichung – 20 %. Die anfänglichen Kosten für beide Projekte sind gleich – 100.000 US-Dollar.
Die Wahrscheinlichkeit, unter diesem Niveau zu liegen, ist wie folgt:
Daraus ergibt sich eindeutig, dass Projekt „A“ weniger riskant ist und dem Projekt „B“ vorgezogen werden sollte. Dies ist jedoch nicht ganz richtig, da die endgültige Anlageentscheidung von der Risikotoleranz des Anlegers abhängt, die durch die Indifferenzkurve deutlich dargestellt werden kann .
Aus Abbildung 2 wird deutlich, dass die Projekte „A“ und „B“ für den Investor gleichwertig sind, da die Indifferenzkurve alle für den Investor gleichwertigen Projekte vereint. Darüber hinaus ist die Art der Kurve für jeden Anleger individuell.
Abb.2. Die Indifferenzkurve als Kriterium der Risikotoleranz von Anlegern.
Die individuelle Risikoeinstellung eines Anlegers lässt sich grafisch anhand der Steilheit der Indifferenzkurve beurteilen: Je steiler sie ist, desto höher ist die Risikoaversion, und umgekehrt, je niedriger sie ist, desto indifferenter ist die Risikoeinstellung. Um die Risikotoleranz zu quantifizieren, schlägt der Autor vor, den Tangens des Tangenswinkels zu berechnen.
Die Risikoeinstellung der Anleger kann nicht nur durch Indifferenzkurven, sondern auch mit der Nutzentheorie beschrieben werden. Die Risikoeinstellung des Anlegers spiegelt sich in diesem Fall in der Nutzenfunktion wider. Die x-Achse stellt die Änderung des erwarteten Einkommens dar, und die y-Achse stellt die Änderung des Nutzens dar. Da im Allgemeinen ein Einkommen von Null einem Nutzen von Null entspricht, verläuft die Grafik durch den Ursprung.
Da die getroffene Investitionsentscheidung sowohl zu positiven Ergebnissen (Erträge) als auch zu negativen (Verlusten) führen kann, kann ihr Nutzen sowohl positiv als auch negativ sein.
Wie wichtig es ist, die Nutzenfunktion als Leitfaden für Investitionsentscheidungen zu verwenden, soll anhand des folgenden Beispiels veranschaulicht werden.
Nehmen wir an, ein Investor steht vor der Wahl, ob er sein Geld in ein Projekt investieren möchte oder nicht, das es ihm ermöglicht, mit gleicher Wahrscheinlichkeit 10.000 US-Dollar zu gewinnen und zu verlieren (Ergebnisse A bzw. B). Betrachtet man diese Situation aus der Perspektive der Wahrscheinlichkeitstheorie, lässt sich argumentieren, dass ein Investor mit gleicher Wahrscheinlichkeit sowohl seine Mittel in das Projekt investieren als auch es aufgeben kann. Nach der Analyse der Nutzenfunktionskurve können Sie jedoch erkennen, dass dies nicht ganz stimmt (Abb. 3).
Abbildung 3. Nutzenkurve als Kriterium für Investitionsentscheidungen
Aus Abbildung 3 ist ersichtlich, dass der negative Nutzen des Ergebnisses „B“ deutlich höher ist als der positive Nutzen des Ergebnisses „A“. Der Algorithmus zum Erstellen einer Nutzenkurve wird im nächsten Absatz angegeben.
Es ist auch offensichtlich, dass der Investor, wenn er gezwungen wird, an dem „Spiel“ teilzunehmen, einen Nutzenverlust in Höhe von U E = (U B – U A):2 erwartet
Daher muss der Investor bereit sein, den OS-Betrag zu zahlen, um an diesem „Spiel“ nicht teilzunehmen.
Beachten Sie auch, dass die Nutzenkurve nicht nur konvex, sondern auch konkav sein kann, was die Notwendigkeit des Anlegers widerspiegelt, für diesen konkaven Abschnitt eine Versicherung zu zahlen.
Es ist auch erwähnenswert, dass der auf der y-Achse aufgetragene Nutzen nichts mit dem neoklassischen Nutzenkonzept der Wirtschaftstheorie zu tun hat. Darüber hinaus hat die Ordinatenachse in diesem Diagramm eine ungewöhnliche Skala; die darauf befindlichen Nutzwerte sind in Grad auf der Fahrenheit-Skala aufgetragen.
Die praktische Anwendung der Nutzentheorie hat folgende Vorteile der Nutzenkurve ergeben:
1. Nutzenkurven, die Ausdruck der individuellen Präferenzen des Anlegers sind und einmal erstellt werden, ermöglichen es, künftige Anlageentscheidungen unter Berücksichtigung seiner Präferenzen zu treffen, jedoch ohne zusätzliche Rücksprache mit ihm.
2. Mit der Nutzenfunktion können grundsätzlich Entscheidungsrechte delegiert werden. In diesem Fall ist es am logischsten, die Nutzenfunktion des Top-Managements zu nutzen, da es zur Sicherung seiner Position bei Entscheidungen versucht, die widersprüchlichen Bedürfnisse aller Stakeholder, also des gesamten Unternehmens, zu berücksichtigen. Beachten Sie jedoch, dass sich die Nutzenfunktion im Laufe der Zeit ändern kann, um die finanziellen Bedingungen zu einem bestimmten Zeitpunkt widerzuspiegeln. Somit ermöglicht uns die Nutzentheorie, den Umgang mit Risiken zu formalisieren und dadurch Entscheidungen, die unter Bedingungen der Unsicherheit getroffen werden, wissenschaftlich zu untermauern.
Zeichnen einer Nutzenkurve
Die Konstruktion einer einzelnen Nutzenfunktion erfolgt wie folgt. Der Proband der Studie wird gebeten, eine Reihe von Entscheidungen zwischen verschiedenen hypothetischen Spielen zu treffen, auf deren Grundlage die entsprechenden Punkte in der Grafik aufgetragen werden. Wenn es einer Person beispielsweise gleichgültig ist, mit absoluter Sicherheit 10.000 $ zu gewinnen oder ein Spiel zu spielen, bei dem sie mit gleicher Wahrscheinlichkeit 0 $ oder 25.000 $ gewinnt, dann kann man Folgendes argumentieren:
U(10.000) = 0,5 U(0) + 0,5 U(25.000) = 0,5(0) + 0,5(1) = 0,5
Dabei ist U der Nutzen des in Klammern angegebenen Betrags
0,5 – Wahrscheinlichkeit des Spielausgangs (je nach Spielbedingungen sind beide Ausgänge gleichwertig)
Dienstprogramme in anderer Höhe können aus anderen Spielen mithilfe der folgenden Formel ermittelt werden:
Uc (C) = PaUa(A) + PbUb(B) + PnUn(N)(16)
Wo Nn– Nutzen der Summe N
Un– Ergebniswahrscheinlichkeit beim Erhalt einer Geldsumme N
Die praktische Anwendung der Nutzentheorie lässt sich anhand des folgenden Beispiels demonstrieren. Nehmen wir an, eine Person muss eines von zwei Projekten auswählen, die durch die folgenden Daten beschrieben werden (Tabelle 1):
Tabelle 1
Konstruieren einer Nutzenkurve.
Trotz der Tatsache, dass beide Projekte den gleichen erwarteten Wert haben, wird der Investor Projekt 1 den Vorzug geben, da dessen Nutzen für den Investor höher ist.
Die Art des Risikos und Ansätze zu seiner Bewertung
Wenn wir die obige Studie über die Natur des Risikos zusammenfassen, können wir ihre Hauptpunkte formulieren:
Unsicherheit ist eine objektive Bedingung für die Existenz eines Risikos;
Die Notwendigkeit einer Entscheidung ist ein subjektiver Grund für das Vorliegen eines Risikos;
Die Zukunft ist eine Risikoquelle;
Das Ausmaß der Verluste stellt die Hauptbedrohung des Risikos dar;
Verlustmöglichkeit – der Grad der Bedrohung durch das Risiko;
Das „Risiko-Rendite“-Verhältnis ist ein stimulierender Faktor bei der Entscheidungsfindung unter Bedingungen der Unsicherheit;
Risikotoleranz ist eine subjektive Komponente des Risikos.
Bei der Entscheidung über die Wirksamkeit einer Einzelinvestition unter unsicheren Bedingungen löst der Investor mindestens ein Zwei-Kriterien-Problem, d. h. er muss die optimale Risiko-Rendite-Kombination des einzelnen Unternehmers finden. Offensichtlich ist es nur in sehr seltenen Fällen möglich, die ideale Option „maximale Rentabilität – minimales Risiko“ zu finden. Daher schlägt der Autor vier Ansätze zur Lösung dieses Optimierungsproblems vor.
1. Der „Maximalgewinn“-Ansatz besteht darin, dass aus allen Möglichkeiten der Kapitalanlage diejenige ausgewählt wird, die das größte Ergebnis liefert ( Kapitalwert, Gewinn) mit einem für den Anleger akzeptablen Risiko (R ex.add). Somit kann das Entscheidungskriterium in formalisierter Form geschrieben werden als (17)
(17)
2. Der Ansatz der „optimalen Wahrscheinlichkeit“ besteht darin, aus den möglichen Lösungen diejenige auszuwählen, bei der die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses für den Anleger akzeptabel ist (18)
(18)
M(NPV) mathematische Erwartung Kapitalwert
3. In der Praxis wird empfohlen, den Ansatz der „optimalen Wahrscheinlichkeit“ mit dem Ansatz der „optimalen Variabilität“ zu kombinieren. Die Variabilität von Indikatoren wird durch ihre Streuung, Standardabweichung und Variationskoeffizient ausgedrückt. Der Kern der Strategie der optimalen Ergebnisschwankung besteht darin, dass aus den möglichen Lösungen diejenige ausgewählt wird, bei der die Gewinn- und Verlustwahrscheinlichkeiten für die gleiche riskante Kapitalinvestition eine kleine Lücke aufweisen, d. h. die kleinste Streuung, Standardabweichung, Variation.
(19)
Wo:
CV(NPV) – Variationskoeffizient Kapitalwert
4. Ansatz mit minimalem Risiko. Aus allen möglichen Optionen wird diejenige ausgewählt, mit der Sie die erwarteten Gewinne erzielen können (NPV ex.add.) mit minimalem Risiko.
(20)
Risikosystem für Investitionsprojekte
Das Spektrum der Risiken, die mit der Umsetzung einzelner Unternehmer verbunden sind, ist äußerst breit. In der Literatur gibt es Dutzende von Risikoklassifizierungen. In den meisten Fällen ist der Autor mit den vorgeschlagenen Klassifizierungen einverstanden. Als Ergebnis der Untersuchung einer beträchtlichen Menge an Literatur kam der Autor jedoch zu dem Schluss, dass Hunderte von Klassifizierungskriterien benannt werden können; tatsächlich spielt der Wert jedes geistigen Eigentums eine Rolle die Zukunft ist ein ungewisser Wert, d.h. stellt eine potenzielle Gefahrenquelle dar. In dieser Hinsicht ist die Erstellung einer universellen allgemeinen Klassifizierung von IP-Risiken nicht möglich und auch nicht erforderlich. Laut dem Autor ist es viel wichtiger, einzelne Risiken zu identifizieren, die für einen bestimmten Investor potenziell gefährlich sind, und diese zu bewerten. Daher konzentriert sich diese Dissertation auf die Instrumente zur quantitativen Bewertung der Risiken eines Investitionsprojekts.
Lassen Sie uns das Risikosystem eines Investitionsvorhabens genauer untersuchen. Wenn man über das Risiko einzelner Unternehmer spricht, ist anzumerken, dass es mit den Risiken eines äußerst breiten Spektrums menschlicher Tätigkeitsbereiche verbunden ist: wirtschaftliche Risiken; politische Risiken; technische Risiken; rechtliche Risiken; natürliche Risiken; soziale Risiken; Produktionsrisiken usw.
Selbst wenn wir die Risiken berücksichtigen, die nur mit der Umsetzung der wirtschaftlichen Komponente des Projekts verbunden sind, wird die Liste davon sehr umfangreich sein: das Segment der finanziellen Risiken, Risiken im Zusammenhang mit Schwankungen der Marktbedingungen, Risiken von Schwankungen der Konjunkturzyklen.
Finanzielle Risiken sind Risiken, die durch die Wahrscheinlichkeit von Verlusten aufgrund von Finanzaktivitäten unter unsicheren Bedingungen verursacht werden. Zu den finanziellen Risiken gehören:
Risiken von Schwankungen der Kaufkraft des Geldes (inflationär, deflationär, Währung)
Das Inflationsrisiko eines einzelnen Unternehmers wird in erster Linie durch die Unvorhersehbarkeit der Inflation bestimmt, da eine im Abzinsungssatz enthaltene fehlerhafte Inflationsrate den Wert des Indikators für die Wirksamkeit eines einzelnen Unternehmers erheblich verzerren kann, ganz zu schweigen von der Tatsache, dass sich die Betriebsbedingungen nationaler Wirtschaftseinheiten bei einer Inflationsrate von 1 % pro Monat (12,68 % pro Jahr) und 5 % pro Monat (79,58 % pro Jahr) erheblich unterscheiden.
In Bezug auf das Inflationsrisiko ist anzumerken, dass die in der Literatur häufig vorkommende Interpretation des Risikos, dass das Einkommen schneller abnimmt als es indexiert ist, gelinde gesagt falsch und in Bezug auf einzelne Unternehmer inakzeptabel ist, weil Die Hauptgefahr der Inflation liegt weniger in ihrem Ausmaß als vielmehr in ihrer Unvorhersehbarkeit.
Vorbehaltlich Vorhersehbarkeit und Sicherheit kann selbst die höchste Inflation im UZ leicht berücksichtigt werden, entweder im Abzinsungssatz oder durch die Indexierung der Höhe der Cashflows, wodurch der Unsicherheitsfaktor und damit das Risiko auf Null reduziert wird.
Unter Währungsrisiko versteht man das Risiko des Verlusts finanzieller Ressourcen aufgrund unvorhersehbarer Schwankungen der Wechselkurse. Das Währungsrisiko kann für die Entwickler dieser Projekte ein grausamer Scherz sein, die, um das Risiko einer unvorhersehbaren Inflation zu vermeiden, Cashflows in „harter“ Währung, in der Regel in US-Dollar, berechnen, weil Selbst die härteste Währung unterliegt einer internen Inflation und die Dynamik ihrer Kaufkraft in einem einzelnen Land kann sehr instabil sein.
Es ist auch unmöglich, die Zusammenhänge zwischen verschiedenen Risiken nicht zu übersehen. Beispielsweise kann sich das Währungsrisiko in ein Inflations- oder Deflationsrisiko verwandeln. Alle diese drei Risikoarten sind wiederum mit dem Preisrisiko verbunden, das sich auf die Risiken von Schwankungen der Marktbedingungen bezieht. Ein weiteres Beispiel: Mit Anlagerisiken ist das Risiko von Konjunkturschwankungen verbunden, beispielsweise das Risiko von Zinsänderungen.
Jedes Risiko im Allgemeinen und das Risiko einzelner Unternehmer im Besonderen ist in seinen Erscheinungsformen sehr vielfältig und stellt oft eine komplexe Konstruktion aus Elementen anderer Risiken dar. Das Risiko von Schwankungen der Marktbedingungen stellt beispielsweise eine ganze Reihe von Risiken dar: Preisrisiken (sowohl für Kosten als auch für Produkte); Risiken von Veränderungen in der Struktur und dem Volumen der Nachfrage.
Schwankungen der Marktbedingungen können auch durch Schwankungen der Konjunkturzyklen usw. verursacht werden.
Darüber hinaus sind die Risikoausprägungen für jeden Teilnehmer in einer mit Unsicherheit verbundenen Situation, wie oben erwähnt, individuell
Die Vielseitigkeit des Risikos und seiner komplexen Zusammenhänge zeigt sich darin, dass selbst die Lösung zur Risikominimierung Risiken birgt.
IP-Risiko (Laufen)– Hierbei handelt es sich um ein System von Faktoren, das sich in Form einer Reihe von Risiken (Bedrohungen) manifestiert, die für jeden Teilnehmer am IP sowohl quantitativ als auch qualitativ individuell sind. Das IP-Risikosystem lässt sich in folgender Form darstellen (21):
(21)
Der Schwerpunkt liegt auf der Tatsache, dass das Risiko eines IP ein komplexes System mit zahlreichen Beziehungen ist, das sich für jeden der IP-Teilnehmer in Form einer individuellen Kombination manifestiert – ein Komplex, das heißt das Risiko des i- Projektteilnehmer (Ri) wird durch Formel (22) beschrieben:
Spalte der Matrix (21) zeigt, dass sich die Bedeutung eines Risikos für jeden Projektteilnehmer auch individuell manifestiert (Tabelle 2).
Tabelle 2
Ein Beispiel für das Risikosystem eines einzelnen Unternehmers.
Zur Analyse und Verwaltung des IP-Risikosystems schlägt der Autor den folgenden Risikomanagementalgorithmus vor. Seine Inhalte und Aufgaben sind in Abb. 4 dargestellt.
1. Die Risikoanalyse beginnt in der Regel mit einer qualitativen Analyse, deren Zweck darin besteht, Risiken zu identifizieren. Dieses Ziel gliedert sich in folgende Aufgaben:
Identifizierung des gesamten Risikospektrums des Investitionsvorhabens;
Beschreibung der Risiken;
Klassifizierung und Gruppierung von Risiken;
Analyse der Ausgangsannahmen.
Leider hört die überwiegende Mehrheit der inländischen IP-Entwickler in dieser Anfangsphase auf, bei der es sich eigentlich nur um die Vorbereitungsphase einer umfassenden Analyse handelt.
Reis. 4. Algorithmus zum Management des IP-Risikos.
2. Die zweite und komplexeste Phase der Risikoanalyse ist die quantitative Risikoanalyse, deren Zweck die Risikomessung ist, die zur Lösung folgender Aufgaben führt:
Formalisierung der Unsicherheit;
Risikoberechnung;
Risikobewertung;
Risikobuchhaltung;
3. Auf der dritten Stufe geht die Risikoanalyse reibungslos von a priori theoretischen Urteilen in praktische Risikomanagementaktivitäten über. Dies geschieht zu dem Zeitpunkt, an dem der Entwurf der Risikomanagementstrategie abgeschlossen ist und mit der Umsetzung begonnen wird. Die gleiche Phase wird durch die Planung von Investitionsprojekten abgeschlossen.
4. Die vierte Stufe – Kontrolle – ist in der Tat der Beginn des IP-Reengineerings; sie vervollständigt den Risikomanagementprozess und stellt dessen zyklischen Charakter sicher.
Abschluss
Leider ist es uns aufgrund des Umfangs dieses Artikels nicht möglich, die praktische Anwendung der oben genannten Prinzipien vollständig zu demonstrieren. Darüber hinaus besteht der Zweck des Artikels darin, die theoretischen Grundlagen für praktische Berechnungen zu untermauern, die in anderen Veröffentlichungen ausführlich beschrieben werden. Sie können sie unter www. koshechkin.narod.ru.
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Geben Sie das Konzept statistischer Entscheidungen für einen diagnostischen Parameter und für die Entscheidungsfindung bei Vorliegen einer Unsicherheitszone an. Erklären Sie den Entscheidungsprozess in verschiedenen Situationen. Welcher Zusammenhang besteht zwischen Entscheidungsgrenzen und den Fehlerwahrscheinlichkeiten erster und zweiter Art? Die betrachteten Methoden sind statistischer Natur....
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Vorlesung 7
Thema. METHODEN STATISTISCHER LÖSUNGEN
Ziel. Geben Sie das Konzept statistischer Entscheidungen für einen diagnostischen Parameter und für die Entscheidungsfindung bei Vorliegen einer Unsicherheitszone an.
Lehrreich. Erklären Sie den Entscheidungsprozess in verschiedenen Situationen.
Entwicklung. Entwickeln Sie logisches Denken und eine naturwissenschaftliche Weltanschauung.
Lehrreich . Wecken Sie Interesse an wissenschaftlichen Errungenschaften und Entdeckungen in der Telekommunikationsbranche.
Interdisziplinäre Verbindungen:
Unterstützend: Informatik, Mathematik, Computertechnik und MP, Programmiersysteme.
Bereitgestellt: Praktikum
Methodische Unterstützung und Ausstattung:
Methodische Entwicklung für den Unterricht.
Lehrplan.
Trainingsprogramm
Arbeitsprogramm.
Sicherheitsbesprechung.
Technische Lehrmittel: Personal Computer.
Bereitstellung von Arbeitsplätzen:
Arbeitsbücher
Verlauf der Vorlesung.
Zeit organisieren.
Analyse und Kontrolle der Hausaufgaben
Beantworten Sie die Fragen:
- Was ermöglicht es Ihnen zu bestimmen Bayes-Formel?
- Was sind die Grundlagen der Bayes-Methode?Geben Sie die Formel an. Geben Sie eine genaue Definition der Bedeutung aller in dieser Formel enthaltenen Größen an.
- Was bedeutet das?Implementierung einer bestimmten Reihe von Funktionen K* ist bestimmen?
- Erklären Sie das BildungsprinzipDiagnosematrix.
- Was bedeutet Entscheidende Akzeptanzregel?
- Definieren Sie die Methode der sequentiellen Analyse.
- Welcher Zusammenhang besteht zwischen Entscheidungsgrenzen und den Fehlerwahrscheinlichkeiten erster und zweiter Art?
Vorlesungsübersicht
Die betrachteten Methoden sind statistischer Natur. Bei statistischen Entscheidungsmethoden wird die Entscheidungsregel auf der Grundlage bestimmter Optimalitätsbedingungen ausgewählt, beispielsweise der Bedingung des minimalen Risikos. Die betrachteten Methoden haben ihren Ursprung in der mathematischen Statistik als Methoden zum Testen statistischer Hypothesen (die Arbeit von Neyman und Pearson) und haben breite Anwendung im Radar (Erkennung von Signalen vor dem Hintergrund von Interferenzen), in der Funktechnik, in der allgemeinen Kommunikationstheorie und in anderen Bereichen gefunden. Statistische Lösungsverfahren werden bei technischen Diagnoseproblemen erfolgreich eingesetzt.
STATISTISCHE LÖSUNGEN FÜR EINEN DIAGNOSEPARAMETER
Wenn der Zustand des Systems durch einen Parameter charakterisiert wird, dann verfügt das System über einen eindimensionalen Merkmalsraum. Die Einteilung erfolgt in zwei Klassen (Differentialdiagnose bzw. Dichotomie).(Gabelung, sequentielle Teilung in zwei Teile, die nicht miteinander verbunden sind.) ).
Abb.1 Statistische Wahrsdes Diagnoseparameters x für betriebsbereites D 1 und defekt D 2 Zustände
Es ist wichtig, dass die Bereiche wartungsfähig sind D 1 und defekt D 2 Zustände schneiden sich und daher ist es grundsätzlich unmöglich, den Wert von x zu wählen 0, bei dem es keine gab wären falsche Entscheidungen.Die Aufgabe besteht darin, x zu wählen 0 war in gewisser Weise optimal, zum Beispiel gab es die geringste Anzahl fehlerhafter Entscheidungen.
Fehlalarm und verfehltes Ziel (Defekt).Diese bisher vorkommenden Begriffe haben eindeutig einen Bezug zur Radartechnik, sind jedoch bei Diagnoseaufgaben leicht zu interpretieren.
Es wird ein Fehlalarm ausgelöstDies ist der Fall, wenn über das Vorliegen eines Defekts entschieden wird, die Anlage aber in Wirklichkeit in einem guten Zustand ist (statt D 1 wird als D 2 akzeptiert).
Ein Ziel verfehlen (Defekt)Treffen einer Entscheidung über einen Betriebszustand, während das System einen Defekt aufweist (statt D 2 wird als D 1 akzeptiert).
In der Regelungstheorie nennt man diese FehlerLieferantenrisiko und Kundenrisiko. Es liegt auf der Hand, dass diese beiden Arten von Fehlern unterschiedliche Konsequenzen oder unterschiedliche Ziele haben können.
Die Wahrscheinlichkeit eines Fehlalarms ist gleich der Wahrscheinlichkeit des Eintretens zweier Ereignisse: das Vorliegen eines betriebsbereiten Zustands und der Wert x > x 0 .
Mittleres Risiko. Die Wahrscheinlichkeit, eine Fehlentscheidung zu treffen, setzt sich aus den Wahrscheinlichkeiten eines Fehlalarms und des Fehlens eines Fehlers (mathematische Risikoerwartung) zusammen.
Natürlich sind die Kosten eines Fehlers relativ, aber sie müssen die zu erwartenden Folgen eines Fehlalarms und des Übersehens eines Defekts berücksichtigen. Bei Zuverlässigkeitsproblemen sind die Kosten für das Übersehen eines Defekts in der Regel deutlich höher als die Kosten für einen Fehlalarm.
Methode des minimalen Risikos. Die Wahrscheinlichkeit, eine fehlerhafte Entscheidung zu treffen, ist definiert als die Minimierung des Extrempunkts des durchschnittlichen Risikos fehlerhafter Entscheidungen bei maximaler Wahrscheinlichkeit, d. h. Es wird das minimale Risiko des Eintretens eines Ereignisses berechnet bei Verfügbarkeit von Informationen über möglichst viele ähnliche Veranstaltungen.
Reis. 2. Extrempunkte des durchschnittlichen Risikos von Fehlentscheidungen
Reis. 3. Extrempunkte für doppelhöckerige Verteilungen
Das Verhältnis der Wahrscheinlichkeitsdichten der Verteilung von x unter zwei Zuständen wird als Likelihood-Verhältnis bezeichnet.
Erinnern wir uns an die Diagnose D 1 entspricht gutem Zustand, D 2 mangelhafter Zustand des Objekts; MIT 21 Kosten eines Fehlalarms, C 12 Kosten für das Verfehlen des Ziels (der erste Index gilt als akzeptierter Zustand, der zweite als gültig); MIT 11 < 0, С 22 < 0 цены правильных решений (условные выигрыши). В большинстве практических задач условные выигрыши (поощрения) для правильных решений не вводятся.
Oft ist es zweckmäßig, nicht das Likelihood-Verhältnis, sondern den Logarithmus dieses Verhältnisses zu berücksichtigen. Das Ergebnis ändert sich dadurch nicht, da die logarithmische Funktion monoton mit ihrem Argument wächst. Etwas einfacher gestaltet sich die Berechnung für Normal- und einige andere Verteilungen mit dem Logarithmus des Likelihood-Verhältnisses. Die Mindestrisikobedingung kann aus anderen Überlegungen abgeleitet werden, die sich später als wichtig erweisen werden.
Methode der minimalen Anzahl fehlerhafter Entscheidungen.
Wahrscheinlichkeit einer fehlerhaften Entscheidung für eine Entscheidungsregel
Bei Zuverlässigkeitsproblemen führt die betrachtete Methode häufig zu „unvorsichtigen Entscheidungen“, da sich die Folgen fehlerhafter Entscheidungen erheblich voneinander unterscheiden. Normalerweise sind die Kosten für das Übersehen eines Defekts deutlich höher als die Kosten für einen Fehlalarm. Sind die angegebenen Kosten annähernd gleich (bei Mängeln mit begrenzten Folgen, bei einigen Kontrollaufgaben etc.), ist der Einsatz der Methode durchaus gerechtfertigt.
Geplant ist die Minimax-Methodefür eine Situation, in der keine vorläufigen statistischen Informationen über die Wahrscheinlichkeit von Diagnosen vorliegen D 1 und D 2 . Betrachtet wird der „Worst Case“, also die ungünstigsten Werte von P 1 und P 2 , was zum größten Wert (Maximum) des Risikos führt.
Für unimodale Verteilungen kann gezeigt werden, dass der Risikowert zum Minimax wird (d. h. zum Minimum unter den durch den „ungünstigen“ Wert verursachten Maximalwerten). Pi ). Beachten Sie, dass für P 1 = 0 und P 1 = 1 besteht kein Risiko einer Fehlentscheidung, da die Situation keine Unsicherheit aufweist. Bei P 1 = 0 (alle Produkte sind fehlerhaft) Lecks x 0 → -oo und alle Objekte werden tatsächlich als fehlerhaft erkannt; bei P 1 = 1 und P 2 = 0 x 0 → +®® und entsprechend der Ist-Situation werden alle Objekte als gebrauchsfähig eingestuft.
Für Zwischenwerte 0< Pi < 1 риск возрастает и при P 1= P 1* wird zum Maximum. Zur Auswahl des Wertes x wird die betrachtete Methode verwendet 0 so, dass für die ungünstigsten Werte Pi Verluste durch Fehlentscheidungen wären minimal.
Reis . 4. Bestimmung des Grenzwertes eines Diagnoseparameters mit der Minimax-Methode
NeymanPearson-Methode. Wie bereits angedeutet, sind Schätzungen der Kosten von Fehlern oft unbekannt und ihre verlässliche Ermittlung ist mit großen Schwierigkeiten verbunden. Gleichzeitig ist das im Großen und Ganzen klar s l u Bei Tees ist es wünschenswert, ab einem bestimmten (akzeptablen) Niveau eines der Fehler den Wert des anderen zu minimieren. Hier verlagert sich der Schwerpunkt des Problems auf eine vernünftige Wahl eines akzeptablen Niveaus Fehler mit unter Nutzung früherer Erfahrungen oder intuitiver Überlegungen.
Die NeymanPearson-Methode minimiert die Wahrscheinlichkeit, ein Ziel zu verfehlen, bei einem gegebenen akzeptablen Maß an Fehlalarmwahrscheinlichkeit.Somit steigt die Wahrscheinlichkeit eines Fehlalarms
wobei A das angegebene akzeptable Niveau der Wahrscheinlichkeit eines Fehlalarms ist; R 1 Wahrscheinlichkeit eines guten Zustands.
Beachten Sie das normalerweise Das die Bedingung wird als bedingte Wahrscheinlichkeit eines Fehlalarms (Faktor P) bezeichnet 1 abwesend). Bei technischen Diagnoseaufgaben werden die Werte von P 1 und P 2 sind in den meisten Fällen aus statistischen Daten bekannt.
Tabelle 1 Beispiel – Berechnungsergebnisse unter Verwendung statistischer Lösungsmethoden
|
NEIN. |
Methode |
Grenzwert |
Wahrscheinlichkeit eines Fehlalarms |
Wahrscheinlichkeit, einen Mangel zu übersehen |
Mittleres Risiko |
|
|
Methode des minimalen Risikos |
7,46 |
0,0984 |
0,0065 |
0,229 |
||
|
Methode der minimalen Fehleranzahl |
9,79 |
0,0074 |
0,0229 |
0,467 |
||
|
Minimax-Methode |
Grundlegende Option |
5,71 |
0,3235 |
0,0018 |
0,360 |
|
|
Option 2 |
7,80 |
0,0727 |
0,0081 |
0,234 |
||
|
NeymanPearson-Methode |
7,44 |
0,1000 |
0,0064 |
0,230 |
||
|
Maximum-Likelihood-Methode |
8,14 |
0,0524 |
0,0098 |
0,249 |
||
Aus dem Vergleich wird deutlich, dass die Methode der minimalen Fehleranzahl eine inakzeptable Lösung darstellt, da die Fehlerkosten deutlich unterschiedlich sind. Der Grenzwert dieser Methode führt zu einer erheblichen Wahrscheinlichkeit, einen Fehler zu übersehen. Die Minimax-Methode in der Hauptversion erfordert eine sehr große Stilllegung der untersuchten Geräte (ca. 32 %), da sie auf dem ungünstigsten Fall (der Wahrscheinlichkeit eines fehlerhaften Zustands P) basiert 2 = 0,39). Der Einsatz der Methode kann gerechtfertigt sein, wenn keine auch nur indirekten Schätzungen der Wahrscheinlichkeit eines fehlerhaften Zustands vorliegen. Im betrachteten Beispiel werden mit der Minimalrisikomethode zufriedenstellende Ergebnisse erzielt.
- STATISTISCHE LÖSUNGEN IN DER VORHANDENHEIT EINER ZONE DER UNSICHERHEIT UND ANDERER GENERALISIERUNGEN
Entscheidungsregel bei Vorliegen einer Zone der Unsicherheit.
In einigen Fällen, in denen eine hohe Zuverlässigkeit der Erkennung erforderlich ist (hohe Fehlerkosten bei Zielverfehlungen und Fehlalarmen), empfiehlt es sich, eine Zone der Unsicherheit (Zone der Erkennungsverweigerung) einzuführen. Die Entscheidungsregel lautet wie folgt
bei Verweigerung der Anerkennung.
Selbstverständlich ist die Nichterkennung ein unerwünschtes Ereignis. Dies weist darauf hin, dass die verfügbaren Informationen nicht ausreichen, um eine Entscheidung zu treffen, und dass zusätzliche Informationen erforderlich sind.
Reis. 5. Statistische Lösungen bei Vorhandensein einer Unsicherheitszone
Ermittlung des durchschnittlichen Risikos. Der Wert des durchschnittlichen Risikos bei Vorliegen einer Anerkennungsverweigerungszone kann durch die folgende Gleichung ausgedrückt werden
wo C o die Kosten einer Verweigerung der Anerkennung.
Beachten Sie, dass C o > 0, sonst verliert die Aufgabe ihre Bedeutung („Belohnung“ für Nichterkennen). Genauso C 11 < 0, С 22 < 0, так как правильные решения не должны «штрафоваться».
Methode des minimalen Risikos bei Vorliegen einer Unsicherheitszone. Lassen Sie uns die Grenzen des Entscheidungsbereichs anhand des minimalen Durchschnittsrisikos bestimmen.
Wenn Sie gute Entscheidungen nicht fördern (C 11 = 0, C 22 = 0) und zahlen nicht für die Verweigerung der Anerkennung (C 0 = 0), dann wird der Bereich der Unsicherheit den gesamten Bereich der Parameteränderung einnehmen.
Das Vorliegen einer Unsicherheitszone ermöglicht die Sicherstellung vorgegebener Fehlerquoten durch die Verweigerung der Anerkennung in „zweifelhaften“ Fällen
Statistische Lösungen für mehrere Staaten.Die Fälle wurden oben berücksichtigt, als statistische Entscheidungen getroffen wurden D Zur Unterscheidung zweier Zustände (Dichotomie). Dieses Verfahren ermöglicht grundsätzlich eine Trennung N Staaten, wobei jedes Mal die Ergebnisse für den Staat kombiniert werden D 1 und D 2. Hier unter D 1 bezieht sich auf alle Staaten, die die Bedingung „nicht“ erfüllen D 2 " In manchen Fällen ist es jedoch von Interesse, die Frage in einer direkten Formulierung zu betrachten: statistische Lösungen für die Klassifizierung n Staaten.
Oben haben wir Fälle betrachtet, in denen der Zustand des Systems (Produkts) durch einen Parameter x und die entsprechende (eindimensionale) Verteilung charakterisiert wurde. Der Systemzustand wird durch Diagnoseparameter x charakterisiert 1 x 2, ..., x n oder Vektor x:
x= (x 1 x 2,...,x n).
M Methode mit minimalem Risiko.
Die Methoden des minimalen Risikos und ihre Sonderfälle (die Methode der minimalen Anzahl fehlerhafter Entscheidungen, die Maximum-Likelihood-Methode) lassen sich am einfachsten auf mehrdimensionale Systeme verallgemeinern. In Fällen, in denen die statistische Lösungsmethode die Bestimmung der Grenzen des Entscheidungsbereichs erfordert, wird die Berechnungsseite des Problems erheblich komplizierter (Nayman-Pearson- und Minimax-Methoden).
Hausaufgaben: § Notizen.
Fixieren des Materials:
Beantworten Sie die Fragen:
- Was ist ein Fehlalarm?
- Was bedeutet das Fehlen eines Ziels (Defekts)?
- Geben Sie eine ErklärungRisiko des Lieferanten und Risiko des Kunden.
- Geben Sie die Formel für die Methode der minimalen Anzahl fehlerhafter Entscheidungen an. Definieren Sie eine unvorsichtige Entscheidung.
- Für welche Fälle ist die Minimax-Methode gedacht?
- NeymanPearson-Methode. Erklären Sie sein Prinzip.
- Für welche Zwecke wird die Unsicherheitszone genutzt?
Literatur:
Amrenov S. A. „Methoden zur Überwachung und Diagnose von Kommunikationssystemen und Netzwerken“ VORLEGUNGSHINWEISE -: Astana, Kasachische Staatliche Agrotechnische Universität, 2005.
ICH G. Baklanow Prüfung und Diagnose von Kommunikationssystemen. - M.: Öko-Trends, 2001.
Birger I. A. Technische Diagnostik. M.: „Maschinenbau“, 1978.240, S., Abb.
ARIPOV M.N., DZHURAEV R.KH., DZHABBAROV S.YU.„TECHNISCHE DIAGNOSTIK DIGITALER SYSTEME“ – Taschkent, TEIS, 2005
Platonov Yu. M., Utkin Yu. G.Diagnose, Reparatur und Prävention von Personalcomputern. -M.: Hotline - Telecom, 2003.-312 S.: Abb.
M.E.Bushueva, V.V.BelyakovDiagnostik komplexer technischer Systeme Tagungsband des 1. Treffens zum NATO-Projekt SfP-973799 Halbleiter . Nischni Nowgorod, 2001
Malyschenko Yu.V. TECHNISCHE DIAGNOSTIK Teil I Vorlesungsskript
Platonov Yu. M., Utkin Yu. G.Diagnose von Computerabstürzen und -störungen/Serie „Technomir“. Rostow am Don: „Phoenix“, 2001. 320 S.
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Staatliches Komitee der Russischen Föderation für Fischerei
Landespädagogik
Institution der höheren Berufsausbildung
Staatliche Technische Universität Kamtschatka
Fachbereich Mathematik
Studienleistungen in der Disziplin
„Mathematische Ökonomie“
Zum Thema: „Risiko und Versicherung.“
Einleitung………………………………………………………..……………….....3
1. KLASSISCHES SYSTEM ZUR BEWERTUNG FINANZGESCHÄFTE UNTER UNSICHERHEITSBEDINGUNGEN …………………................................... ...... ........................................4 1.1. Definition und Wesen des Risikos…………………………………..……………..…...4
1.2. Folgen- und Risikomatrizen…………………………………….……..……6
1.3.Analyse einer verwandten Gruppe von Entscheidungen unter Bedingungen völliger Unsicherheit……………………………………………………………...………………...7
1.4. Analyse einer zusammenhängenden Gruppe von Entscheidungen unter Bedingungen teilweiser Unsicherheit………………………………………………………………..8
1.5. Pareto-Optimalität…………………………………………………….9
2. MERKMALE PROBABILISCHER FINANZOPERATIONEN……..…..…...12
2.1. Quantitative Risikobewertung……………………………………………..12
2.2. Risiko einer separaten Operation……………………………………………………..13 2.3. Einige gängige Risikomaßnahmen…………………………………….15
2.4. Gefahr des Untergangs…………………………………………………………..…16
2.5. Risikoindikatoren in Form von Kennzahlen……………………………………..17
2.6. Kreditrisiko………………………………………………………….17
3. ALLGEMEINE METHODEN ZUR RISIKOMINDERUNG……………………………………………………….…….18
3.1. Diversifikation……………………………………………………………18
3.2. Absicherung………………………………………………………………………………21
3.3. Versicherung……………………………………………………………………………...22
3.4. Qualitätsrisikomanagement………………………………….……….24
Praktischer Teil…………………………………………………………...….27
Abschluss………………………………………………………..………….…. ..29
Referenzen………………………………………………………….……….……..….30
Bewerbungen……………………………………………………….…………..…...31
EINFÜHRUNG
Die Entwicklung der Weltfinanzmärkte, die durch die Intensivierung der Globalisierungs-, Internationalisierungs- und Liberalisierungsprozesse gekennzeichnet ist, hat direkte Auswirkungen auf alle Teilnehmer des globalen Wirtschaftsraums, deren Hauptmitglieder große Finanzinstitute, Produktions- und Handelsunternehmen sind. Alle Teilnehmer am Weltmarkt spüren unmittelbar die Auswirkungen aller oben genannten Prozesse und müssen bei ihren Aktivitäten neue Trends in der Entwicklung der Finanzmärkte berücksichtigen. Die Zahl der Risiken, die sich aus der Tätigkeit solcher Unternehmen ergeben, hat in den letzten Jahren deutlich zugenommen. Dies ist auf das Aufkommen neuer Finanzinstrumente zurückzuführen, die von den Marktteilnehmern aktiv genutzt werden. Der Einsatz neuer Instrumente ermöglicht zwar eine Reduzierung der eingegangenen Risiken, birgt jedoch auch gewisse Risiken für die Aktivitäten der Finanzmarktteilnehmer. Daher werden das Bewusstsein für die Rolle des Risikos in der Unternehmenstätigkeit und die Fähigkeit des Risikomanagers, angemessen und rechtzeitig auf die aktuelle Situation zu reagieren und die richtige Risikoentscheidung zu treffen, für den erfolgreichen Betrieb des Unternehmens immer wichtiger. Hierzu ist der Einsatz verschiedener Versicherungs- und Absicherungsinstrumente gegen mögliche Verluste erforderlich, deren Spektrum sich in den letzten Jahren erheblich erweitert hat und sowohl klassische Versicherungsmethoden als auch Absicherungsmethoden mittels Finanzinstrumenten umfasst.
Die Effizienz des gesamten Unternehmens wird letztendlich davon abhängen, wie richtig das eine oder andere Tool ausgewählt wird.
Die Relevanz des Forschungsthemas wird auch durch die Unvollständigkeit der Entwicklung der theoretischen Grundlagen und Klassifizierung der Finanzrisikoversicherung und der Identifizierung ihrer Merkmale in Russland vorgegeben.
Kapitel 1. KLASSISCHES SYSTEM FÜR DIE FINANZIELLE BEWERTUNG
Operationen unter Unsicherheit
Risiko – eines der wichtigsten Konzepte, die jede aktive menschliche Aktivität begleiten. Gleichzeitig ist dies eines der unklarsten, zweideutigsten und verwirrendsten Konzepte. Doch trotz seiner Mehrdeutigkeit, Mehrdeutigkeit und Komplexität wird das Wesen des Risikos in vielen Situationen sehr gut verstanden und wahrgenommen. Dieselben Eigenschaften des Risikos stellen ein ernstes Hindernis für seine quantitative Bewertung dar, die in vielen Fällen sowohl für die Entwicklung der Theorie als auch für die Praxis notwendig ist.
Betrachten wir das klassische Entscheidungsschema unter Bedingungen der Unsicherheit.
1.1. Definition und Wesen des Risikos
Wir möchten Sie daran erinnern finanziell ist ein Vorgang, dessen Anfangs- und Endzustand einen Geldwert haben und dessen Zweck die Maximierung des Einkommens ist – Unterschied zwischen final und initial
Noten (oder ein anderer ähnlicher Indikator).
Finanztransaktionen werden fast immer unter unsicheren Bedingungen durchgeführt und ihre Ergebnisse können daher nicht im Voraus vorhergesagt werden. Daher Finanztransaktionen riskant : Wenn sie durchgeführt werden, sind sowohl Gewinn als auch Verlust möglich (oder kein sehr großer Gewinn im Vergleich zu dem, was diejenigen, die diese Operation durchgeführt haben, erhofft haben).
Die Person, die die Operation durchführt (die Entscheidung trifft), wird als Entscheidungsträger bezeichnet – Gesicht ,
Entscheidungsträger . Natürlich ist der Entscheidungsträger am Erfolg der Operation interessiert und trägt die Verantwortung dafür (manchmal nur sich selbst gegenüber). In vielen Fällen der Entscheidungsträger – ist ein Investor, der Geld in eine Bank investiert, in die – dann eine Finanztransaktion, der Kauf von Wertpapieren usw.
Definition. Die Operation wird aufgerufen riskant , wenn es mehrere Ergebnisse haben kann, die für den Entscheidungsträger nicht gleichwertig sind.
Beispiel 1 .
Betrachten Sie drei Operationen mit denselben zwei Ergebnissen –
Alternativen A , IN, die das Einkommen des Entscheidungsträgers charakterisieren. Alle drei
Operationen sind riskant. Es ist klar, dass Ersteres und Zweites riskant sind
Operationen, da jede Operation zu Verlusten führen kann.
Aber warum sollte eine dritte Operation als riskant angesehen werden? Schließlich verspricht es den Entscheidern nur positive Einnahmen? Betrachtet man die möglichen Ergebnisse der dritten Operation, sehen wir, dass wir ein Einkommen von 20 Einheiten erzielen können, sodass die Möglichkeit, ein Einkommen von 15 Einheiten zu erhalten, als Misserfolg angesehen wird, als Risiko, nicht 5 Einkommenseinheiten zu erhalten. Der Begriff des Risikos setzt also zwangsläufig voraus Risikos eingehen – derjenige, für den dieses Risiko gilt und der sich Sorgen um das Ergebnis der Operation macht. Das Risiko selbst entsteht nur dann, wenn die Operation trotz aller Bemühungen, diese Operation zu bewältigen, für ihn zu Ergebnissen führen kann, die für ihn nicht gleichwertig sind.
Unter unsicheren Bedingungen erhält die Operation also eine andere Charakteristik – Risiko. Wie bewertet man einen Betrieb hinsichtlich seiner Rentabilität und seines Risikos? Diese Frage ist vor allem deshalb so einfach zu beantworten, weil der Begriff Risiko vielschichtig ist. Für diese Beurteilung gibt es verschiedene Möglichkeiten. Betrachten wir einen dieser Ansätze.
1.2. Konsequenz- und Risikomatrizen
Nehmen wir an, es wird über die Durchführung einer Finanztransaktion nachgedacht. Es ist unklar, wie es enden könnte. In diesem Zusammenhang werden mehrere Lösungsansätze und deren Konsequenzen analysiert. Wir kommen also zu dem folgenden allgemeinen Schema für die Entscheidungsfindung (einschließlich finanzieller Entscheidungen) unter Bedingungen der Unsicherheit.
Nehmen wir an, dass der Entscheidungsträger mehrere mögliche Lösungen in Betracht zieht
ich =1, …,N. Die Situation ist ungewiss, es ist nur klar, dass es welche gibt – dann aus den Optionen J =1,….,N. Wenn angenommen ich- Das ist keine Lösung, aber es gibt eine Situation J- Ich, dann erhält das vom Entscheidungsträger geleitete Unternehmen Einnahmen Q ij . Matrix Q =(Q ij) heißt Matrix der Konsequenzen(mögliche Lösungen). Nehmen wir an, wir möchten das von uns ausgehende Risiko abschätzen ich-te Lösung. Wir kennen die reale Situation nicht. Aber wenn wir es wüssten, würden wir die beste Lösung wählen, d.h. das meiste Einkommen erwirtschaftet. Wenn die Situation J-i, dann würde eine Entscheidung getroffen werden, die Einnahmen generieren würde Q ich =max Q ij. Also, nehmen ich-te Entscheidung, wir riskieren es zu bekommen Q J , aber nur Q ij , diese. Annahme ich- Die Entscheidung birgt das Risiko, nicht zustande zu kommen R ij = Q J -Q ij heißt Risikomatrix .
Beispiel 2.
Lassen Sie es eine Matrix von Konsequenzen geben
Lassen Sie uns eine Risikomatrix erstellen. Wir haben Q 1 =max Q i1 =8, Q 2 =5, Q 3 =8, Q 4 =12. Daher ist die Risikomatrix
1.3. Analyse einer gekoppelten Gruppe von Entscheidungen unter Bedingungen völliger Unsicherheit
Eine Situation völliger Unsicherheit ist dadurch gekennzeichnet, dass keine zusätzlichen Informationen vorliegen (z. B. über die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Optionen für die reale Situation). Wie lauten die Regeln? – Gibt es Empfehlungen für die Entscheidungsfindung in dieser Situation?
Waldsche Regel (Regel des extremen Pessimismus).
Angesichts ich-ten Entscheidung gehen wir davon aus, dass die Situation tatsächlich die schlimmste ist, d.h. das geringste Einkommen bringen: A ich =min Q A 0 mit dem Größten A i0. Die Waldsche Regel empfiehlt also, eine Entscheidung zu treffen ich 0 so dass A i0 =max A i =max(min Q ij).In Beispiel 2 haben wir also A 1 =2, A 2 =2, A 3 =3, A 4 = 1. Aus den Zahlen 2, 2, 3, 1 ermitteln wir nun das Maximum – 3. Das bedeutet, dass die Waldsche Regel empfiehlt, die 3. Entscheidung zu treffen.
Savage-Regel (Minimum-Risiko-Regel).
Bei der Anwendung dieser Regel wird die Risikomatrix analysiert R =(R ij). Angesichts ich Bei dieser Entscheidung gehen wir davon aus, dass sich tatsächlich eine Situation mit maximalem Risiko abzeichnet B ich =max R ij. Aber jetzt wählen wir eine Lösung ich 0 mit dem kleinsten B i0. Savages Regel empfiehlt also, eine Entscheidung zu treffen ich 0 so dass B i0 =min B i =min(max R ij).In Beispiel 2 haben wir also B 1 =8, B 2 =6, B 3 =5, B 4 =7. Nun von den Zahlen 8, 6 , 5, 7 finden wir das Minimum - 5.
Hurwitz-Regel (Abwägung pessimistischer und optimistischer Herangehensweisen an eine Situation).
Eine Entscheidung wird getroffen ich, welches das Maximum erreicht
{λ Mindest Q ij +(1 – λ max Q ij)),
wobei 0≤ λ ≤1. Bedeutung λ aus subjektiven Gründen ausgewählt. Wenn λ Ansätze 1 , dann nähert sich die Regel von Hurwitz der Regel von Wald, während wir uns nähern λ auf 0 nähert sich Hurwitz‘ Regel der Regel des „rosa Optimismus“ (raten Sie selbst, was das bedeutet). In Beispiel 2 empfiehlt die Hurwitz-Regel mit λ=1/2 die zweite Lösung.
1.4. Analyse einer gekoppelten Gruppe von Entscheidungen unter Bedingungen teilweiser Unsicherheit
Nehmen wir an, dass im betrachteten Schema die Wahrscheinlichkeiten bekannt sind R j dass sich die reale Situation entsprechend der Variante entwickelt J. Diese Situation wird als partielle Unsicherheit bezeichnet. Wie trifft man hier eine Entscheidung? Sie können eine der folgenden Regeln auswählen.
Regel zur Maximierung des durchschnittlich erwarteten Einkommens.
Einnahmen, die das Unternehmen aus Verkäufen erhält ich-te Lösung ist eine Zufallsvariable Q Ich mit einer Vertriebsserie. Erwarteter Wert M [Q i ] ist das durchschnittliche erwartete Einkommen, ebenfalls angegeben Q ich . Die Regel empfiehlt also, die Entscheidung zu treffen, die die maximale durchschnittliche erwartete Rendite bringt. Nehmen wir an, dass im Schema von Beispiel 2 die Wahrscheinlichkeiten sind – 1/2, 1/6, 1/6, 1/6.
Dann Q 1 =29/6, Q 2 =25/6, Q 3 =7, Q 4 =17/6. Die maximale durchschnittliche erwartete Rendite beträgt 7 und entspricht der dritten Lösung.
Regel zur Minimierung des durchschnittlich erwarteten Risikos.
Das Risiko des Unternehmens bei der Umsetzung ich-te Lösung ist eine Zufallsvariable R ich mit Vertriebsserie
Erwarteter Wert M [R i ] und ist das durchschnittliche erwartete Risiko, ebenfalls angegeben R ich. Die Regel empfiehlt, eine Entscheidung zu treffen, die das minimale durchschnittlich erwartete Risiko mit sich bringt. Berechnen wir die durchschnittlich erwarteten Risiken für die oben genannten Wahrscheinlichkeiten. Wir bekommen R 1 =20/6, R 2 =4, R 3 =7/6, R 4 =32/6. Das minimale durchschnittliche erwartete Risiko beträgt 7/6 und entspricht der dritten Lösung.
Kommentar. Der Unterschied zwischen teilweiser (probabilistischer) Unsicherheit und vollständiger Unsicherheit ist sehr signifikant. Natürlich hält niemand die Entscheidungsfindung nach den Regeln von Wald, Savage und Hurwitz für endgültig oder das Beste. Aber wenn wir beginnen, die Wahrscheinlichkeit einer Option abzuschätzen, setzt dies bereits die Wiederholbarkeit des betreffenden Entscheidungsmusters voraus: Es ist bereits in der Vergangenheit geschehen, oder es wird in der Zukunft geschehen, oder es wiederholt sich irgendwo im Raum, zum Beispiel in den Filialen des Unternehmens.
1.5. Pareto-Optimalität
Bei dem Versuch, die beste Lösung auszuwählen, wurden wir im vorherigen Absatz mit der Tatsache konfrontiert, dass jede Lösung zwei Merkmale aufweist – durchschnittliche erwartete Rendite und durchschnittliches erwartetes Risiko. Jetzt haben wir ein Optimierungsproblem mit zwei Kriterien zur Auswahl der besten Lösung.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, solche Optimierungsprobleme zu formulieren.
Betrachten wir dieses Problem in allgemeiner Form. Lassen A - eine Reihe von Operationen, jede Operation A hat zwei numerische Eigenschaften E (A), R (A) (z. B. Effizienz und Risiko) und verschiedene Vorgänge unterscheiden sich zwangsläufig in mindestens einem Merkmal. Bei der Auswahl der besten Operation ist es ratsam, dies zu tun E es gab mehr und R weniger.
Wir werden sagen, dass die Operation A dominiert den Betrieb B, und benennen A >b, Wenn E (A)≥E (B) Und R (A)≤R (B) und mindestens eine dieser Ungleichungen ist streng. In diesem Fall die Operation A angerufen Dominant , und die Operation B- dominiert . Es ist klar, dass bei keiner vernünftigen Wahl der besten Operation eine dominierte Operation nicht als solche erkannt werden kann. Folglich muss unter den nicht dominierten Operationen die beste Operation gesucht werden. Die Menge dieser Operationen wird aufgerufen Pareto-Set oder Pareto-Optimalitätssatz .
Das ist eine äußerst wichtige Aussage.
Stellungnahme.
Auf dem Pareto-Set jedes der Merkmale E , R-(eindeutige) Funktion ist unterschiedlich. Mit anderen Worten: Wenn eine Operation zur Pareto-Menge gehört, kann eines ihrer Merkmale verwendet werden, um ein anderes eindeutig zu bestimmen.
Nachweisen. Lassen A ,B - also zwei Operationen aus der Pareto-Menge R (A) Und R (B) – Zahlen. Tun wir mal so R (A)≤R (B), Dann E (A) kann nicht gleich sein E (B), da beide Punkte A , B gehören zur Pareto-Menge. Es wurde nachgewiesen, dass dies den Eigenschaften entspricht R E. Es ist auch einfach bewiesen, dass gemäß der Charakteristik E Charakteristik ermittelt werden kann R .
Lassen Sie uns die Analyse des in § 10.2 gegebenen Beispiels fortsetzen. Schauen wir uns eine grafische Darstellung an. Jede Operation (Entscheidung) ( R,Q) als Punkt auf der Ebene markieren – Einkommen wird vertikal nach oben verschoben und Risiko – horizontal nach rechts (Abb. 10.1). Wir haben vier Punkte erhalten und setzen die Analyse von Beispiel 2 fort.
Je höher der Punkt ( R,Q), desto profitabler ist die Operation; je weiter der Punkt rechts liegt, desto riskanter ist sie. Das bedeutet, dass Sie einen Punkt höher und links wählen müssen. In unserem Fall besteht die Pareto-Menge nur aus einem Drittel der Operation.
Um die beste Operation zu finden, wird manchmal eine geeignete Abwägungsformel verwendet, die für die Operation gilt Q mit Eigenschaften ( R,Q) gibt eine Zahl an, anhand derer die beste Operation bestimmt wird. Nehmen wir zum Beispiel die Wägeformel an F (Q)=2Q–R. Dann gilt für die Operationen (Entscheidungen) von Beispiel 2: F (Q 1)=2*29/6– 20/6=6,33; F (Q 2)=4,33; F (Q 3)=12,83; F (Q 4)=0,33. Es ist ersichtlich, dass die dritte Operation die beste ist und die vierte – das Schlechteste.
Kapitel 2. MERKMALE DER PROBABILISTEN FINANZIELLEN
OPERATIONEN
Die Finanztransaktion wird aufgerufen probabilistisch , wenn es für jedes Ergebnis eine Wahrscheinlichkeit gibt. Der Gewinn einer solchen Operation – die Differenz zwischen der endgültigen und der anfänglichen monetären Schätzung – ist eine Zufallsvariable. Für eine solche Operation ist es möglich, eine quantitative Risikobewertung einzuführen, die unserer Intuition entspricht.
2.1. Quantitative Risikobewertung
Im vorherigen Kapitel wurde eine riskante Operation als eine Operation definiert, die mindestens zwei Ergebnisse hat, die im Präferenzsystem des Entscheidungsträgers nicht gleichwertig sind. Im Kontext dieses Kapitels kann anstelle des Entscheiders auch der Begriff „Investor“ oder etwas Ähnliches verwendet werden, was das Interesse der Person widerspiegelt, die die Operation (ggf. passiv) an ihrem Erfolg durchführt.
Bei der Betrachtung des Operationsrisikos stoßen wir auf eine grundsätzliche Aussage.
Stellungnahme.
Eine quantitative Einschätzung des Operationsrisikos ist nur mit einer probabilistischen Charakterisierung mehrerer chirurgischer Ergebnisse möglich.
Beispiel 1.
Betrachten wir zwei probabilistische Operationen:
Zweifellos ist das Risiko der ersten Operation geringer als das Risiko der zweiten Operation. Welche Operation der Entscheidungsträger wählt, hängt von seiner Risikobereitschaft ab (diese Fragen werden im Nachtrag zu Teil 2 ausführlich erörtert).
2.2. Gefahr einer separaten Operation
Da wir das Risiko einer Operation quantifizieren wollen und dies ohne eine probabilistische Charakteristik der Operation nicht möglich ist, weisen wir ihren Ergebnissen Wahrscheinlichkeiten zu und bewerten jedes Ergebnis anhand des Einkommens, das der Entscheidungsträger aus diesem Ergebnis erhält. Als Ergebnis erhalten wir eine Zufallsvariable Q, was man natürlich als Nebeneinkommen der Operation bezeichnen kann, oder einfach zufälliges Einkommen . Beschränken wir uns zunächst auf eine diskrete Zufallsvariable (d.r.v.):
Wo Q J - Einkommen und R J – die Wahrscheinlichkeit dieses Einkommens.
Die Operation und die sie darstellende Zufallsvariable – Bei Bedarf ermitteln wir das Zufallseinkommen und wählen aus diesen beiden Begriffen den für die jeweilige Situation passenderen aus.
Jetzt können Sie den Apparat der Wahrscheinlichkeitstheorie anwenden und die folgenden Merkmale der Operation finden.
Durchschnittliches erwartetes Einkommen – mathematische Erwartung r.v. Q, d.h. M [Q ]=Q 1 P 1 +…+Q N P n, auch bezeichnet M Q, Q, der Name wird auch verwendet Effizienz des Betriebs .
Varianz der Bedienung - Dispersion r.v. Q, d.h. D [Q ]=M [(Q - m Q) 2 ], auch bezeichnet D Q.
Standardabweichung s.v. Q, d.h. [ Q ]=√(D [E ]), bezeichnet durch
Auch σ Q.
Beachten Sie, dass die durchschnittliche erwartete Rendite oder betriebliche Effizienz ebenso wie die Standardabweichung in denselben Einheiten gemessen wird wie das Einkommen.
Erinnern wir uns an die grundlegende Bedeutung der mathematischen Erwartung von r.v.
Das arithmetische Mittel der Werte als r.v. in einer langen Reihe von Experimenten ungefähr seiner mathematischen Erwartung entspricht. Es wird zunehmend akzeptiert, das Risiko der gesamten Operation anhand der Standardabweichung der Zufallsvariablen Einkommen zu beurteilen Q, d.h. durch σ Q. Dies ist die Hauptquantifizierung in diesem Buch.
Also, Risiko einer Operation angerufene Nummer σ Q – Standardabweichung des zufälligen Betriebseinkommens Q. Auch bezeichnet R Q.
Beispiel 2.
Lassen Sie uns die Risiken der ersten und zweiten Operation aus Beispiel 1 ermitteln:
Zuerst berechnen wir den mathematischen Erwartungswert von r.v. Q 1:
T 1 =– 5*0,01+25*0,99=24,7. Berechnen wir nun die Varianz mithilfe der Formel D 1 =M [Q 1 2 ]-M 1 2 . Wir haben M [Q 1 2 ]= 25*0,01+625*0,99=619. Bedeutet, D 1 =619– (24,7)2=8,91 und schließlich R 1 =2,98.
Ähnliche Berechnungen ergeben sich für die zweite Operation M 2 =20; R 2 =5. Wie „die Intuition nahelegte“, ist die erste Operation weniger riskant.
Die vorgeschlagene quantitative Risikobewertung steht voll und ganz im Einklang mit dem intuitiven Verständnis von Risiko als dem Grad der Streuung der Ergebnisse der Operation – Schließlich sind Streuung und Standardabweichung (die Quadratwurzel der Streuung) die Essenz der Maße einer solchen Streuung.
Andere Risikomaßnahmen.
Unserer Meinung nach ist die Standardabweichung das beste Maß für das Risiko einer einzelnen Operation. In Kap. 1 diskutiert das klassische Schema der Entscheidungsfindung unter Bedingungen der Unsicherheit und der Risikobewertung in diesem Schema. Es ist nützlich, sich mit Folgendem vertraut zu machen: andere Risikomaßnahmen. In den meisten Fällen sind es diese Messgeräte – einfach die Wahrscheinlichkeiten unerwünschter Ereignisse.
2.3. Einige gängige Risikomaßnahmen
Die Verteilungsfunktion sei bekannt F Zufallseinkommensoperation Q. Wenn Sie es wissen, können Sie den folgenden Fragen einen Sinn geben und sie beantworten.
1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Einnahmen des Betriebs unter dem angegebenen liegen? S. Sie können bei uns nachfragen – zu einem anderen: Wie groß ist das Risiko, weniger als das angegebene Einkommen zu erhalten? Antwort: F (S).
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Operation fehlschlägt, d. h. Ihr Einkommen wird unter dem durchschnittlich erwarteten Einkommen liegen M ?
Antwort: F (M) .
3. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit von Verlusten und wie hoch ist deren durchschnittliche erwartete Höhe? Oder wie hoch sind die Verlustrisiken und deren Bewertung?
4. Wie groß ist das Verhältnis des durchschnittlich erwarteten Verlusts zum durchschnittlich erwarteten Einkommen? Je niedriger dieses Verhältnis ist, desto geringer ist das Risiko des Ruins, wenn der Entscheidungsträger alle seine Mittel in den Betrieb investiert hat.
Bei der Analyse von Betriebsabläufen möchte der Entscheidungsträger mehr Einnahmen und weniger Risiko erzielen. Solche Optimierungsprobleme werden Zwei-Kriterien-Probleme genannt. Bei der Analyse gibt es zwei Kriterien – Einkommen und Risiko – oft in ein Kriterium „zusammengebrochen“. So entsteht zum Beispiel das Konzept relatives Operationsrisiko . Tatsache ist, dass der Wert der Standardabweichung gleich ist σ Q, das das Risiko einer Operation misst, wird je nach Wert der durchschnittlich erwarteten Rendite unterschiedlich wahrgenommen T Q , daher der Wert σ Q / T Q wird manchmal als relatives Risiko einer Operation bezeichnet. Dieses Risikomaß kann als Faltung eines Zwei-Kriterien-Problems interpretiert werden
σ Q →min,
T Q →max,
diese. Maximieren Sie die durchschnittliche erwartete Rendite und minimieren Sie gleichzeitig das Risiko.
2.4. Gefahr des Ruins
Damit wird die Wahrscheinlichkeit solch großer Verluste bezeichnet, die der Entscheidungsträger nicht kompensieren kann und die daher zu seinem Ruin führen.
Beispiel 3.
Lassen Sie das zufällige Einkommen der Operation Q hat die folgende Verteilungsreihe, und Verluste von 35 oder mehr führen zum Ruin des Entscheiders. Daher beträgt das Risiko eines Ruins infolge dieser Operation 0,8;
Die Schwere der Ruingefahr wird anhand der Höhe der entsprechenden Wahrscheinlichkeit genau beurteilt. Ist diese Wahrscheinlichkeit sehr klein, wird sie oft vernachlässigt.
2.5. Risikoindikatoren in Form von Kennzahlen.
Wenn die Mittel des Entscheidungsträgers gleich sind MIT, dann, wenn die Verluste übersteigen Uüber MIT Es besteht eine reale Gefahr des Ruins. Um diese Einstellung zu verhindern ZU 1 = U / MIT , angerufen Risikokoeffizient , begrenzt durch eine spezielle Zahl ξ 1 . Als besonders riskant gelten Operationen, bei denen dieser Koeffizient ξ1 überschreitet. Oftmals wird auch die Wahrscheinlichkeit berücksichtigt R Verluste U und dann den Risikokoeffizienten berücksichtigen ZU 2 = R J/ MIT , die durch eine andere Zahl ξ 2 begrenzt ist (es ist klar, dass ξ 2 ≤ ξ 1). Im Finanzmanagement werden häufiger umgekehrte Beziehungen verwendet. MIT / U Und MIT /(RU), die als Risikodeckungskoeffizienten bezeichnet werden und nach unten durch die Zahlen 1/ ξ 1 und 1/ ξ 2 begrenzt werden.
Dies ist genau die Bedeutung des sogenannten Cook-Koeffizienten, der dem Verhältnis entspricht:
Die Cook-Ratio wird von Banken und anderen Finanzunternehmen verwendet. Wahrscheinlichkeiten dienen beim „Abwägen“ als Waage – Risiken des Verlusts des betreffenden Vermögenswerts.
2.6. Kreditrisiko
Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass der aufgenommene Kredit nicht fristgerecht zurückgezahlt wird.
Beispiel 4.
Die Kreditantragsstatistik lautet wie folgt: 10 % – Regierungsbehörden, 30 % – andere Banken und andere – Einzelpersonen. Die Wahrscheinlichkeiten der Nichtrückzahlung des aufgenommenen Kredits betragen jeweils: 0,01; 0,05 und 0,2. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit der Nichtrückgabe der nächsten Kreditanfrage. Dem Leiter der Kreditabteilung wurde mitgeteilt, dass eine Nachricht über die Nichtrückzahlung des Kredits eingegangen sei, der Name des Kunden jedoch in der Faxnachricht schlecht gedruckt sei. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Kredit nicht zurückgezahlt wird? – ist es eine Bank?
Lösung. Die Wahrscheinlichkeit des Nicht-Wiederkehrens ermitteln wir mithilfe der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel. Lassen N 1 - die Anfrage kam von einer Regierungsbehörde, N 2 – von der Bank, N 3 – von einer Einzelperson und A - Nichtrückzahlung des betreffenden Darlehens. Dann
R (A)= R (N 1)R H1 A + R (N 2)R H2 A + R (N H) P H3 A = 0,1*0,01+0,3*0,05+0,6*0,2=0,136.
Wir finden die zweite Wahrscheinlichkeit mithilfe der Bayes-Formel. Wir haben
R A N 2 =R (N 2)R H2 A / R (A)= 0,015/0,136=15/136≈1/9.
Wie in der Realität alle in diesem Beispiel angegebenen Daten bestimmt werden, beispielsweise bedingte Wahrscheinlichkeiten R H1 A? Basierend auf der Häufigkeit von Kreditausfällen der entsprechenden Kundengruppe. Lassen Sie Einzelpersonen nur 1000 Kredite aufnehmen und nicht 200 zurückgeben. Also die entsprechende Wahrscheinlichkeit R H3 A geschätzt auf 0,2. Relevante Daten – 1000 und 200 stammen aus der Informationsdatenbank der Bank.
Kapitel 3. ALLGEMEINE METHODEN ZUR RISIKOMINDERUNG
In der Regel versuchen sie, das Risiko zu reduzieren. Dafür gibt es viele Methoden. Eine große Gruppe solcher Methoden ist mit der Auswahl anderer Operationen verbunden. Dadurch ist die gesamte Operation weniger risikoreich.
3.1. Diversifikation
Denken Sie daran, dass die Varianz der Summe unkorrelierter Zufallsvariablen gleich der Summe der Varianzen ist. Daraus folgt die folgende Aussage, die der Diversifikationsmethode zugrunde liegt.
Aussage 1.
Lassen UM 1 ,...,UM N – unkorrelierte Operationen mit Effizienzen e 1 ,..., e n und Risiken R 1 ,...,R 2 . Dann ist die Operation „arithmetisches Mittel“ UM =(UM 1 +...+O N) / P hat Effizienz e =(e 1 +...+e N)/ N und Risiko R =√(R 1 2 +…R 2n)/ N .
Beweis dieser Aussage – eine einfache Übung zu den Eigenschaften der mathematischen Erwartung und Streuung.
Folgerung 1.
Lassen Sie die Operationen unkorreliert sein und a≤ e Ich und B ≤ R ich ≤ C mit für alle ich =1,..,N. Dann ist die Effizienz der Operation „arithmetisches Mittel“ nicht geringer A(d. h. die geringste Effizienz der Operationen) und das Risiko erfüllt die Ungleichung B √ N ≤ R ≤C √ N und somit mit zunehmender N nimmt ab. Mit zunehmender Anzahl unkorrelierter Operationen weist ihr arithmetischer Durchschnitt also eine Effizienz auf, die im Bereich der Effizienz dieser Operationen liegt, und das Risiko nimmt definitiv ab.
Diese Ausgabe wird aufgerufen Diversifikationseffekt(Vielfalt) und ist im Wesentlichen die einzig vernünftige Regel für die Arbeit auf Finanz- und anderen Märkten. Der gleiche Effekt ist in der Volksweisheit verkörpert – „Legen Sie nicht alle Eier in einen Korb.“ Das Prinzip der Diversifizierung besagt, dass es notwendig ist, verschiedene, voneinander unabhängige Vorgänge durchzuführen, dann wird die Effizienz gemittelt und das Risiko wird definitiv sinken.
Bei der Anwendung dieser Regel ist Vorsicht geboten. Daher ist es unmöglich, die unkorrelierte Natur der Operationen zu leugnen.
Vorschlag 2.
Nehmen wir an, dass es unter den Operationen eine führende gibt, mit der alle anderen in einem positiven Zusammenhang stehen. Dann nimmt das Risiko der Operation „arithmetisches Mittel“ nicht mit zunehmender Anzahl summierter Operationen ab.
Tatsächlich akzeptieren wir der Einfachheit halber eine stärkere Annahme, nämlich dass alle Operationen UM ich; ich =1,...,N, kopieren Sie einfach den Vorgang Ö 1 in dem – dann Skalen, d.h. Ö ich = k ich Ö 1 und alle Proportionalitätsfaktoren k Ich bin positiv. Dann ist die Operation „arithmetisches Mittel“ UM =(Ö 1 +...+Ö N)/ N Es gibt nur eine Operation Ö 1 maßstabsgetreu
und das Risiko dieser Operation
Wenn also die Operationen ungefähr den gleichen Umfang haben, d. h. k dann ist i ≈1
Wir sehen, dass das Risiko der arithmetischen Mittelwertoperation mit zunehmender Anzahl von Operationen nicht abnimmt.
3.2. Absicherung
Im Sinne der Diversifizierung stellte der Entscheidungsträger einen neuen Betrieb aus mehreren ihm zur Verfügung stehenden Betrieben zusammen. Bei der Absicherung (aus dem Englischen. Hecke - Zaun) Der Entscheidungsträger wählt neue Operationen aus oder entwirft sie sogar speziell, um das Risiko zu verringern, indem er sie zusammen mit der Hauptoperation durchführt.
Beispiel 1.
Laut Vertrag muss das russische Unternehmen innerhalb von sechs Monaten eine hohe Zahlung von dem ukrainischen Unternehmen erhalten. Die Zahlung beträgt 100.000 Griwna (ca. 600.000 Rubel) und erfolgt in Griwna. Das russische Unternehmen befürchtet, dass der Wechselkurs der Griwna gegenüber dem russischen Rubel in diesen sechs Monaten sinken wird. Das Unternehmen möchte sich gegen einen solchen Rückgang absichern und schließt mit einer der ukrainischen Banken einen Terminvertrag über den Verkauf von 100.000 Griwna zum Kurs von 6 Rubel ab. pro Griwna. Es spielt also keine Rolle, was in dieser Zeit mit dem Rubel-Wechselkurs passiert – Griwna, das russische Unternehmen wird die Kosten nicht tragen – für diesen Verlust.
Das ist die Essenz der Absicherung. Bei der Diversifizierung waren unabhängige (oder unkorrelierte) Transaktionen von größtem Wert. Bei der Absicherung werden Operationen ausgewählt, die in engem Zusammenhang mit der Hauptoperation stehen, aber sozusagen ein anderes Vorzeichen haben, genauer gesagt, negativ mit der Hauptoperation korrelieren.
In der Tat, lass Ö 1 – Hauptbetrieb, seine Risiken R 1 , Ö 2 – Eine zusätzliche Operation ist riskant R 2 , UM - Betrieb – Summe, dann die Varianz dieser Operation D =R 1 2 +2k 12 R 1 R 2 +R 2 2 wo k- Korrelationskoeffizient der Wirksamkeit der Haupt- und Zusatzoperationen. Diese Varianz kann nur dann geringer sein als die Varianz der Hauptoperation, wenn dieser Korrelationskoeffizient negativ ist (genauer: er sollte 2 sein). k 12 R 1 R 2 +R 2 2 <0, т.е. k 1 2 <-R 2 /(2R 1)).
Beispiel 2.
Lassen Sie den Entscheidungsträger über die Durchführung der Operation entscheiden Ö 1 .
Ihm wird empfohlen, sich gleichzeitig einer Operation zu unterziehen S, eng verwandt mit UM. Im Wesentlichen müssen beide Vorgänge mit den gleichen Ergebnissen dargestellt werden.
Bezeichnen wir die Gesamtoperation mit UM, diese Operation ist die Summe der Operationen Ö 1 und S. Berechnen wir die Eigenschaften der Operationen:
M [Ö 1 ]=5, D [Ö 1 ]=225, R 1 =15;
M [S ]=0, D [S ]=25;
M [Ö ]=5, D [Ö ]=100, R =10.
Die durchschnittliche erwartete Wirksamkeit der Operation blieb unverändert, das Risiko verringerte sich jedoch aufgrund der starken negativen Korrelation zusätzlicher Operationen S in Bezug auf den Hauptbetrieb.
Natürlich ist es in der Praxis nicht so einfach, einen zusätzlichen Vorgang auszuwählen, der negativ mit dem Hauptvorgang korreliert und sogar keinen Wirkungsgrad aufweist. Normalerweise ist ein kleiner negativer Wirkungsgrad eines zusätzlichen Vorgangs zulässig, wodurch der Wirkungsgrad des Gesamtvorgangs geringer wird als der des Hauptvorgangs. Inwieweit eine Effizienzminderung pro Risikominderungseinheit zulässig ist, hängt von der Risikoeinstellung des Entscheidungsträgers ab.
3.3. Versicherung
Eine Versicherung kann als eine Art Absicherung betrachtet werden. Lassen Sie uns einige Begriffe klären.
Versicherungsnehmer(oder versichert) – derjenige, der versichert.
Versicherer - derjenige, der versichert.
Versicherungssumme - der Geldbetrag, für den Eigentum, Leben und Gesundheit des Versicherungsnehmers versichert sind. Dieser Betrag wird vom Versicherer bei Eintritt eines Versicherungsfalls an den Versicherungsnehmer ausgezahlt. Die Zahlung der Versicherungssumme wird aufgerufen Versicherungsentschädigung .
Versicherungszahlung vom Versicherungsnehmer an den Versicherer gezahlt.
Bezeichnen wir die Versicherungssumme ω , Versicherungszahlung S, Wahrscheinlichkeit eines Versicherungsfalls R . Nehmen wir an, dass die versicherte Immobilie einen Wert hat z. Gemäß den Versicherungsregeln ω≤ z.
Daher können wir das folgende Schema vorschlagen:
Somit scheint eine Versicherung im Hinblick auf die Risikominderung die profitabelste Maßnahme zu sein, wenn nicht die Versicherungszahlung. Manchmal macht die Versicherungsleistung einen erheblichen Teil der Versicherungssumme aus und stellt einen erheblichen Betrag dar.
3.4. Qualitätsrisikomanagement
Risiko – ein so komplexes Konzept, dass es oft unmöglich ist, es zu quantifizieren. Daher sind qualitative Risikomanagementmethoden ohne quantitative Bewertung weit verbreitet. Dazu gehören viele Bankrisiken. Die wichtigsten davon – Dabei handelt es sich um das Kreditrisiko sowie die Risiken der Zahlungsunfähigkeit und Zahlungsunfähigkeit.
1. Kreditrisiko und Möglichkeiten, es zu reduzieren . Bei der Vergabe eines Kredits (oder Darlehens) besteht immer die Befürchtung, dass der Kunde den Kredit nicht zurückzahlen wird. Ausfall verhindern, Kreditausfallrisiko reduzieren – Dies ist die wichtigste Aufgabe der Kreditabteilung der Bank. Welche Möglichkeiten gibt es, das Risiko eines Kreditausfalls zu reduzieren?
Die Abteilung muss Informationen über vergebene Kredite und deren Rückzahlung ständig systematisieren und zusammenfassen. Informationen über vergebene Kredite sollten nach der Größe der vergebenen Kredite systematisiert werden und es sollte eine Klassifizierung der Kunden erstellt werden, die einen Kredit aufgenommen haben.
Die Abteilung (die Bank als Ganzes) muss die sogenannte Bonitätshistorie ihrer Kunden, auch potenzieller Kunden, führen (d. h. wann, wo, welche Kredite der Kunde aufgenommen hat und wie diese zurückgezahlt wurden). Bisher verfügt in unserem Land die Mehrheit der Kunden nicht über eine eigene Kredithistorie.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, einen Kredit abzusichern. Beispielsweise stellt der Kunde etwas als Sicherheit und wenn er den Kredit nicht zurückzahlt, wird die Bank Eigentümerin der Sicherheit;
Die Bank muss über klare Weisungen zur Kreditvergabe verfügen (an wen kann ein Kredit für welchen Zeitraum vergeben werden);
Es muss eine eindeutige Befugnis zur Kreditvergabe geschaffen werden. Nehmen wir an, ein normaler Abteilungsmitarbeiter kann einen Kredit von höchstens 1.000 US-Dollar vergeben, Kredite bis zu 10.000 US-Dollar können vom Abteilungsleiter vergeben werden, Kredite über 10.000 US-Dollar, aber nicht mehr als 100.000 US-Dollar, können vom Vizepräsidenten für Finanzen vergeben werden. und Kredite über 100.000 US-Dollar können nur vom Vorstand vergeben werden (lesen Sie den Roman „Moneychangers“ von A. Hayley);
Um besonders große und gefährliche Kredite zu vergeben, schließen sich mehrere Banken zusammen und vergeben diesen Kredit gemeinsam;
Es gibt Versicherungsgesellschaften, die Kreditausfälle versichern (es gibt jedoch die Ansicht, dass Kreditausfälle nicht versicherungspflichtig sind). – Dies ist das Risiko der Bank selbst);
Es gibt externe Beschränkungen für die Kreditvergabe (z. B. durch die Zentralbank); sagen wir, es ist nicht erlaubt, einem Kunden einen sehr großen Kredit zu gewähren;
2. Risiken der Illiquidität , Insolvenz und Möglichkeiten, sie zu reduzieren . Sie sprechen davon, dass die Mittel einer Bank ausreichend liquide sind, wenn die Bank in der Lage ist, die Auszahlung der ihr anvertrauten Gelder kurzfristig an ihre Kunden schnell und ohne nennenswerte Verluste sicherzustellen. Illiquiditätsrisiko – Das ist das Risiko, damit nicht zurechtzukommen. Dieses Risiko wird jedoch nur der Kürze halber genannt; sein vollständiger Name lautet – Gefahr eines Ungleichgewichts Liquiditätsbilanz .
Alle Bankaktiva werden entsprechend ihrer Liquidität in drei Gruppen eingeteilt:
1) erstklassige liquide Mittel (Bargeld, Bankguthaben auf einem Korrespondenzkonto bei der Zentralbank, Staatspapiere, Wechsel großer zuverlässiger Unternehmen;
2) liquide Mittel (erwartete kurzfristige Zahlungen an die Bank, einige Arten von Wertpapieren, einige Sachanlagen, die schnell und ohne große Verluste verkauft werden können usw.);
3) illiquide Mittel (überfällige Kredite und uneinbringliche Forderungen, viele Sachanlagen der Bank, vor allem Gebäude und Bauwerke).
Bei der Analyse des Illiquiditätsrisikos werden zunächst erstklassige liquide Mittel berücksichtigt.
Man sagt, dass eine Bank zahlungsfähig ist, wenn sie in der Lage ist, alle ihre Kunden auszuzahlen. Dies kann jedoch einige große und langwierige Transaktionen erfordern, einschließlich des Verkaufs von Geräten, Gebäuden, die der Bank gehören, usw. Ein Insolvenzrisiko entsteht, wenn unklar ist, ob die Bank zahlungsfähig sein wird.
Zahlungsfähigkeit der Bank hängt von so vielen Faktoren ab. Die Zentralbank legt eine Reihe von Bedingungen fest, die Banken erfüllen müssen, um ihre Zahlungsfähigkeit aufrechtzuerhalten. Die wichtigsten davon sind: Begrenzung der Verbindlichkeiten der Bank; Refinanzierung von Banken durch die Zentralbank; Reservierung eines Teils der Bankmittel auf einem Korrespondenzkonto bei der Zentralbank.
Das Risiko der Zahlungsunfähigkeit führt zu möglichen unnötigen Verlusten für die Bank: Um den Kunden zu bezahlen, muss die Bank möglicherweise Geld bei anderen Banken zu einem höheren Zinssatz als unter normalen Bedingungen leihen. Das Risiko einer Insolvenz kann durchaus zum Bankrott führen.
Praktischer Teil
Nehmen wir an, dass ein Entscheidungsträger die Möglichkeit hat, eine Operation aus vier unkorrelierten Operationen zusammenzustellen, deren Effizienz und Risiken in der Tabelle angegeben sind.
Betrachten wir mehrere Optionen zum Zusammenstellen von Operationen aus diesen Operationen mit gleichen Gewichten.
1. Die Operation besteht nur aus der 1. und 2. Operation. Dann e 12 =(3+5)/2=4;
R 12 = √ (2 2 +4 2)/2≈2,24
2. Die Operation besteht nur aus der 1., 2. und 3. Operation.
Dann e 123 =(3+5+8)/3=5,3; R 123 =√(2 2 +4 2 +6 2)/3≈2,49.
3. Die Operation besteht aus allen vier Operationen. Dann
e 1– 4 =(3+5+8+10)/4=6,5; R 1– 4 =√(2 2 +4 2 +6 2 +12 2)/4≈ 3,54.
Es ist ersichtlich, dass das Risiko beim Zusammenstellen einer Operation aus einer zunehmenden Anzahl von Operationen sehr leicht ansteigt und nahe an der Untergrenze der Risiken der Teiloperationen bleibt und die Effizienz jedes Mal dem arithmetischen Durchschnitt der Komponente entspricht Effizienzen.
Das Prinzip der Diversifizierung wird nicht nur auf gleichzeitig, sondern an verschiedenen Orten durchgeführte Mittelungsoperationen angewendet (Mittelung im Raum), sondern auch zeitlich sequentiell, beispielsweise bei der Wiederholung einer Operation über die Zeit (Mittelung über die Zeit). Eine völlig vernünftige Strategie besteht beispielsweise darin, am 20. Januar eines jeden Jahres Aktien eines stabilen Unternehmens zu kaufen. Dank dieses Verfahrens werden die unvermeidlichen Schwankungen des Aktienkurses dieses Unternehmens gemittelt und hier kommt der Diversifikationseffekt zum Tragen.
Theoretisch ist der Effekt der Diversifikation nur positiv – Die Effizienz gleicht sich aus und das Risiko nimmt ab. Allerdings können die Bemühungen, eine große Anzahl von Operationen durchzuführen und deren Ergebnisse zu überwachen, natürlich alle Vorteile der Diversifizierung zunichte machen.
ABSCHLUSS
Diese Kursarbeit untersucht theoretische und praktische Fragestellungen und Risikoprobleme.
Im ersten Kapitel wird das klassische Schema zur Bewertung von Finanztransaktionen unter Bedingungen der Unsicherheit erörtert.
Das zweite Kapitel gibt einen Überblick über die Merkmale probabilistischer Finanztransaktionen. Unter finanziellen Risiken versteht man Kredit-, Handels- und Devisentransaktionsrisiken sowie das Risiko der rechtswidrigen Anwendung von Finanzsanktionen durch staatliche Steueraufsichtsbehörden.
Kapitel drei zeigt allgemeine Techniken zur Risikominderung. Es werden Beispiele für ein qualitativ hochwertiges Risikomanagement gegeben.
Referenzliste
1. Malykhin V.I. . Finanzmathematik: Lehrbuch. Handbuch für Universitäten. M.: EINHEIT – DANA, 1999. – 247 S.
2. Versicherung: Grundsätze und Praxis / Zusammengestellt von David Bland: trans. aus dem Englischen – M.: Finance and Statistics, 2000.–416 S.
3. Gvozdenko A.A. Finanzielle und wirtschaftliche Versicherungsmethoden: Lehrbuch. – M.: Finanzen und Statistik, 2000. – 184 S.
4. Serbinovsky B.Yu., Garkusha V.N. Versicherungsgeschäft: Lehrbuch für Universitäten. Reihe „Lehrbücher, Lehrmittel“ Rostow n/d: „Phoenix“, 2000–384 S.